무한서고

오라클 클라우드 인프라스트럭쳐(Oracle Cloud Infrastructure) 세팅하기

미렌스 — Fri, 30 Jan 2026 19:29:59 +0900

오라클 클라우드 인프라스트럭쳐(Oracle Cloud Infrastructure) 세팅하기

0. 서론

정말 간만의 포스팅이긴 한데... 요 근래 AWS가 정책이 매우 괴랄하게 변했다..

25년 7월 15일에 엄청난 개악(?)을 단행했는데...

기간 반토막: 12개월 월 750시간 프리티어를 주던 정책을 6개월로 줄임
대신 용돈 줌: 새로 가입하면 $200 크레딧(현금 포인트)을 주고 "이걸로 6개월 동안 마음껏 써봐!"라는 식으로 바뀜
거기다가 요새는 가장 기본 프리티어인 t2.micro 조차도 용량을 수정하기 매우 어렵게 완전히 꽁꽁 숨겨놨다.

덕분에 나름 꼼꼼히 보면서 다시 만들었어도, 기본 8gb 용량이라 제대로 아나콘다 하나 설치를 못한다...

그래서 인스턴스 뿌시고, 다시 만들어봤더니... 이야 한달만에 크레딧 다 쓰고 유료 전환하라고 메일이 와서... 이번에 그냥 다른 대안을 찾아보다가 오라클 클라우드(OCI)를 선택했다.

OCI는 하드 총량도 200Gb나 주고, 기본 성능도 t2.micro보다는 좋다고하고, 무엇보다 "평생 무료"이다.

거기에 더불어서 꽤나 좋은 '암페어' 모델도 평생 무료다(그래서 이건 진짜 매번 생성불가에다가, 이미 다른 '매크로'들이 호시탐탐 노리고 있다)

일년마다 프리티어를 새로 만드는 짓거리를 하지 않아도 되는 셈...

그러나 사람이란게 한번 익숙해지면, 새로운 것을 받아들이는덴 참 시간이 걸리고 어려운지라, 오늘 복습도 할겸 한번 끄적거려본다.

1. 회원가입하기

일단 회원가입은 기본적인 거니까 쭉쭉 진행을 하면 되는데... 여기서 제일 중요한게 회원가입단계에서 바로 '리전'을 선택하게 되어있다.

그리고 aws랑 다르게 oci는 한번 리전을 설정하면 유료로 돌리기 전에는 바꿀 수 없다.

그래서 '서울'이나 '춘천'을 노리게 되는데... 서울은 진짜 너무 빡세서 리스트에조차 없다. '춘천'도 빡빡하긴 마찬가지...

만약 서울/춘천 둘 다 안되면 적어도 Japan East (Tokyo)나 Japan West (Osaka)라도 노리자..

이렇게 회원가입을 하고 나면, 의외로 회원가입에 시간이 꽤나 걸린다. 최장 24시간까지 걸린다는 흉흉한 소문도 들어봤고...

내 경우엔 한 10분? 로딩 화면에 있다가 15분 정도 시간 더 걸릴거라는 페이지로 넘어가며 '메일'을 보냈다고 알람이 왔다.

실제로 메일을 받았으면 내 계정은 잘 만들어 진 셈.

그리고 여기는 따로 mfa를 설정하는게 아니라 아예 가입하면서 mfa를 설정할 수 밖에 없게 만들어 놓는다.

그리고.. 여기 프리티어지만, 진짜 무서운게 aws보다 더 빡빡하게 신용카드 결제 가능 여부를 관리한다는 점이다.. 매달 확인한다는 '썰'이 있는데...

일단 프리티어니까 적당히 잘 했으면 이제 인스턴스를 만들러 가보자.

2. 인스턴스 만들기

아... 여기서부터 꽤나 힘들다. aws처럼 이 친구들도 엄청나게 복잡하게 화면을 구성해 놨기 때문...

게다가 여전히 aws 처럼 수시로 ui를 바꿔 댈 테니 여기서는 스크린샷은 최대한 자제하고 '느낌'으로 전달하려고한다.

인스턴스 만들때 의외로 단계가 꽤나 된다?는 느낌을 받았다

1] Basic Information
1. 이름 및 위치 (Name & Placement)
Name: 원하는 대로 (예: main-server)
Placement: 기본값 유지 (AD-1 하나밖에 없을 겁니다)

2. 이미지 및 셰입 (Image and Shape)
이 부분을 반드시 수정(Edit)해야 합니다.

- Image (운영체제):
기본값: Oracle Linux
추천: Canonical Ubuntu 24.04.

- Shape (하드웨어):
기본값: VM.M.Standard.E2.1.Micro (aws에서의 t2.micro 모델)
일단 기본값 자체도 그다지 나쁘지는 않다고 한다.(심지어 내가 돌리려는게 꽤나 큰 모델이나 프로젝트도 아니고...)
그러나 ARM 프로세서로 OCPU: 4, Memory: 24GB까지 쓸 수 있는 하드웨어도 "평생 무료"라고 한다. 그래서 지금 이 인스턴스는 엄청난 인기! 그래서 한번에 생성은 거의 불가능하다. 보통 이 인스턴스를 쓰고 싶어도 일단 기본값으로 만들어 놓고(얘는 쉽게 생성됨) 거기서 매크로를 돌리는게 일반적이라고 하니...

일단 변경 방법은 다음과 같다.

Change Shape 클릭
Ampere 시리즈 선택 (ARM 프로세서)
VM.M.Standard.A1.Flex 체크
-(여기서부턴 리스트에서 선택인지, 슬라이드 바가 나오는지는 '신비의 전설' 수준이라 명확하진 않지만 어찌되었든)
OCPU: 4 / Memory: 24 GB로 선택
Select Shape 클릭

당연히 나는 안만들어져서, 기본 마이크로로 만들었다.

2] 시큐리티
아무것도 건드리지 말것

3] 네트워킹 (Networking)
- vnic 이름 만들어주고(이건 나중에 바꿀 수도 있고.. 뭐 대충 아무렇게나..)

- Create new virtual cloud network 선택
아래쪽에 Automatically assing Public IPV4 address 가 체크되면 땡큐인데.. 오라클 홈페이지가 진짜 엄청나게 예민해서 비활성화 되는 경우도 있다. 안되면 나중에 수동으로 붙일 수 있으니 일단 넘어가기

아 그리고 aws랑 다르게 포트(80, 443 등) 여는 건 따로 설정해야 함..

- SSH 키 추가 (Add SSH keys)
당연히 너무나도 잘들 아실테지만.. 이거 잃어버리면 서버 못 들어갑니다.

Generate a key pair for me 선택 (기본값)
Save private key 버튼을 눌러서 .key 파일 다운로드.
public key도 받아도 상관은 없음..

4] 부트 볼륨 (Boot volume)
프리티어는 총 200GB까지 공짜!
근데 여기도 기본 50Gb?로 설정되어 있으니까
Specify a custom boot volume size 눌러서 100GB 정도로 넉넉하게 잡으면 될듯요. (200GB 다 쓰면 나중에 서버 하나 더 만들 때 용량 부족합니다. 뭐 만일을 위해서 좀 남겨두는거고.. 실상 100Gb도 충분하기도 하고...)

이렇게 다 세팅을 하고 나면, 리뷰?로 한번 모든 정보를 싹 보여주고 'Create'가 나오는데.. 그냥 마이크로 했으면 바로

Case A: "Provisioning" (주황색) 상태가 된다.

일 것이고, 욕심을 내서 암페어를 골랐다면, 인터넷 창 아래에 빨간 색으로 오류메시지 즉,

Case B: "Out of host capacity" 에러가 뜬다.

가 될 확률이 높죠.

Case B면, 그냥 속편하게 마이크로로 셰입 바꾸고 만드는게 속 편합니다.

이렇게 해서 인스턴스를 만들었습니다!

2. 퍼블릭 아이피 붙이기

자, 느낌적인 느낌으로 설명드릴께요.

방금 인스턴스를 만들었죠? 그러면 바로 인스턴스 창이 브라우저에 뜰 겁니다.

바로 이 인스턴스 창에서 파란색 링크된 인스턴스 클릭(이 부분은 생략될 수도 있습니다. 만들어지고 바로 '디테일'창으로 들어와졌다면요)

인스턴스 명 아래 여러 탭이 보이는데, 그중에 네트워킹 탭 클릭

스크롤 내려서 Attached VNICs 에서 name 아래 파란 링크 클릭

상단 탭에서 'IP administration'클릭

하단 표에서 오른쪽 끝 점 세개 클릭 Edit

Ephemeral Public IP 선택하고 Update 누르면 끝!

수 분 내로(거의 즉시?) 퍼블릭 아이피가 붙습니다.

자, 이제 퍼블릭 아이피도 얻었겠다, 일단 ssh로 접속해볼까요?

ssh -i "C:\Users\사용자명\Downloads\ssh-key-2026-01-30.key" ubuntu@"퍼블릭 IP 주소"

위 명령어를 복사해서 붙여넣되, [키파일경로] 부분만 실제 파일 경로로 바꿔주세요.
(팁: ssh -i 치고 한 칸 띄운 뒤, 다운로드 폴더에 있는 .key 파일을 터미널 창으로 드래그 앤 드롭하면 경로가 자동으로 입력됩니다.)

오라클 우분투의 기본 아이디는 ubuntu입니다. (opc 아닙니다.)

성공 신호
처음 접속하면 "Are you sure you want to continue connecting?" 이라고 물어봅니다.

yes 라고 타이핑하고 엔터 치세요.

ubuntu@"vnic 이름":~$ 라는 초록색 글씨가 뜨면 접속 성공입니다!

3. 포트개방

aws랑은 다르게 오라클은 조금 보안이 빡세서, 단계가 두개가 필요합니다.

1단계: 오라클 웹 콘솔 설정 (문 열기)

AWS의 Security Group 설정과 똑같습니다.

Networking 탭: 아까 그 인스턴스 상세 화면에서 중앙의 Networking 탭 클릭.
표에서 Subnet이라 써있고, 그 오른쪽에 파란색으로 링크 된 부분 클릭
상단 탭에서 시큐리티 클릭
시큐리티 리스트가 나오는데, 여기서 디폴트 시큐리티 리스트(파란색 링크) 클릭
상단 탭에서 Security rules클릭
Ingress rules가 나오는데, 여기서 Add ingress rules 눌러서

Source CIDR: 0.0.0.0/0 (전 세계 허용)
Destination Port Range: 80,443,8080,8888,8501,5000
두 개만 써주고 나머지는 그냥 디폴트 값으로 둔 상태에서

Add Ingress Rules 클릭

2단계: 서버 내부 설정

이게 제일 중요합니다.

오라클 우분투 이미지는 기본적으로 iptables라는 빡센 방화벽이 켜져 있어서, 위에서 열어도 접속이 안 됩니다.

그러면 어떻게 해야하나... 하면 그냥 터미널에서 쿨하게 방화벽 규칙을 싹 밀어버리고(허용하고) 저장합시다. (어차피 앞단의 오라클 콘솔이 막아주니까요.)

아래 명령어 3줄을 한 줄씩 복사해서 붙여넣으세요.

# 1. 현재 걸려있는 모든 차단 규칙 삭제 (프리패스)
sudo iptables -F

# 2. 앞으로의 모든 접속 허용으로 변경
sudo iptables -P INPUT ACCEPT
sudo iptables -P FORWARD ACCEPT
sudo iptables -P OUTPUT ACCEPT

# 3. 재부팅해도 초기화 안 되게 저장 (이거 안 하면 껐다 켜면 다시 막힘)
sudo netfilter-persistent save
끝났습니다.

이렇게 포트도 다 열었구요~

4. 이제 aws처럼 웹서버로 씁시다~

이젠, 이 블로그의 다른 포스팅에서처럼 아나콘다를 깔고, 주피터 서버를 만들면 이제 나만의 작은 주피터 서버가 생성되는 것이죠.

그 사이에 좀 많은 변화가 있어서 이참에 조금 정리해 두려고 합니다.

FTP 포트

일단 과거랑 가장 큰 차이는 FTP 포트(21)가 딱히 안전성이 좋지 않아서 굳이 사용하지 않을거라는 점? 그래서 위에서 포트개방때도 딱히 안열었었죠.

아나콘다 설치

그리고 아나콘다 설치는 https://omnil.tistory.com/72이 링크에서 자세히 설명하고 있습니다.

요 근래 아나콘다 설치 후 source ~/.bashrc해도 기본 패스가 잘 안잡히는 경우가 있는데, 이때는

export PATH=~/anaconda3/bin:$PATH
conda init
source ~/.bashrc

한번 더 강제로 돌려주면 잘 돌아갑니다.

주피터 서버

이게 사실상 제일 크게 변한 부분입니다.

과거에는 주피터 서버로 모든걸 관리했는데, 이제 이 부분이 주피터 랩으로 넘어가면서 명령어에 약간의 변화가 생겼습니다.

jupyter lab --generate-config
로 config 파일 만들어주고요
cd .jupyter
로 이동해서
vi jupyter_lab_config.py
config 파일 열고
i 눌러서 insert모드 들어가서 enter 두번 치고
c.ServerApp.ip = '0.0.0.0'
c.ServerApp.port = 8888
c.ServerApp.open_browser = False
c.ServerApp.notebook_dir = '/home/ubuntu/'
c.ServerApp.allow_remote_access = True
이렇게 써주고, esc 눌러준 다음 :wq 눌러서 저장하고 나와주시면 됩니다.
jupyter lab password
이걸로 패스워드 진짜 쉽게 설정할 수 있구요
screen -S jupyter
jupyter notebook
ctrl+a+d
로 스크린 켜고, 웹 브라우저에서 '퍼블릭 IP:8888'로 접속하면 바로 주피터 노트북이 열릴겁니다.

5. 마무리

네, 이렇게 나름 쉽다면 쉽게? OCI를 설정해봤습니다.

평생 무료란게 정말 마음에 드네요.

리만 가설(Riemann Hypothesis) 쉽게 이해하기2: 진짜 쉽게 이해하기

미렌스 — Mon, 24 Nov 2025 18:21:28 +0900

리만 가설(Riemann Hypothesis) 쉽게 이해하기2: 진짜 쉽게 이해하기

0) 서론

저번 시간에는 오일러 제타 함수와 오일러의 곱 공식 그리고 소수와의 접점을 살펴보았습니다.

이번에는 본격적으로 리만의 사고 과정으로 뛰어들어 볼까요?

1) 재앙의 소수

리만 이전의 수학계에서 소수(Prime Numbers)는 기존의 해석학적 방법론으로 접근하기 어려운 재앙과도 같은 대상이었습니다.

미분? 적분? 소수 앞에서는 아무 소용이 없었습니다.

미분과 적분을 포함한 해석학은 '연속성'을 전제로 하지만, 소수는 불연속적인 자연수 안에서도 '곱셈적 성질'을 띠는 이산적인 대상이었기 때문입니다.

이러한 난제 속에서 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)가 중요한 통찰을 제시합니다.

1792년경, 당시 15세였던 가우스는 소수표를 귀납적으로 분석하여 소수의 분포에 통계적인 경향성이 있음을 발견했습니다.

그는 $x$보다 작은 소수의 개수를 나타내는 함수 $\pi(x)$가 $x$가 증가함에 따라 로그 함수 $\frac{x}{\ln x}$에 점근적으로 수렴한다고 추측했습니다.

이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

$$\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}$$

가우스는 이후 이를 보정하여 로그 적분 함수($\text{Li}(x)$)가 더 정확한 근사값임을 제시하였으나, 이는 어디까지나 경험적 데이터에 기반한 '추측'이었을 뿐, 수학적으로 엄밀하게 증명된 '정리(Theorem)'는 아니었습니다.

그리고 여기서 이 가설을 수학적으로 증명하기 위해 해석학적 도구를 본격적으로 도입한 인물이 바로 가우스의 제자, 베른하르트 리만입니다.

2) 오일러 곱 공식을 보고 '가능!'을 외친 리만

당시 리만이 주목한 것은 선배 수학자 오일러가 남긴 오일러 곱 공식이었습니다. 이것은 소수 연구에 있어서 유일한 예외이자, 희망이었습니다.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \left( \frac{1}{1 - p^{-s}} \right)$$

리만은 이 식의 좌변과 우변이 가지는 본질적인 차이에 주목했습니다.

좌변(무한급수): 자연수의 덧셈으로 이루어진, 미분과 적분이 가능한 '해석학(질서)의 세계'
우변(무한곱): 소수의 곱셈으로만 이루어진, 불규칙하고 다루기 힘든 '정수론(혼돈)의 세계'

리만이 천재라고 불리는 이유는, 이 등식을 단순한 계산 결과로 보지 않고 서로 다른 두 세계를 잇는 통로로 인식했기 때문입니다. 그의 통찰을 글로 옮기면 다음과 같았을 것입니다.

"이것은 그냥 신기한 등식이 아니다. 수학 전체를 통틀어 질서의 세계와 혼돈의 세계를 연결하는 유일한 다리(bridge)다. 소수의 비밀을 파헤치려면, 우리는 반드시 이 다리를 건너야만 한다. 다른 길은 존재하지 않는다. 나라면 할수있다 나라면! 가능!!!!"

리만에게 제타 함수는 단순한 호기심의 대상이 아니었습니다. 소수라는 견고한 성을 무너뜨리기 위해 반드시 넘어야 할, 유일하고도 필연적인 공성 무기였던 셈입니다.

3) 리만, 오일러 제타 함수를 갈고 닦는다!

이 식의 본질을 깨달은 리만.

결국 우변의 '소수의 비밀'을 완벽히 파헤치기 위해선 좌변을 '완벽하게 분석'해야 함을 알게됩니다.

그리고 '완벽하게 분석'한다는 말인즉슨 현재 s>1인 상황에서만 정의된 오일러 제타함수가 아닌, s가 '모든 수'를 다 아우를 수 있는 '복소수'영역으로 확장되어야 한다는 말인 것이죠.

그리고 사실상 s>1인 영역은 그저 '실수'에서 '복소수'로 확장만 시켜주면 되니 매우 쉬웠습니다.

그러나 여기서 문제는 '복소수 전체 영역'으로 확장해야 한다는 점에 있었습니다.

현재 오일러 제타 함수에서는 s가 1보다 작거나 같은 경우 '무조건 발산'하여 아예 그쪽은 쳐다도 보지 않고 있었습니다.

그러나 리만은 이것을 넘어 '복소수 전체'로 확장해야 하는 필요성이 있었죠.

결국 리만은 s>1에서만 정의되는 오일러 제타 함수를 해석적 연속(혹은 해석적 확장, Analytic continuation)이라는 방법을 통해 s=1을 제외한(s=1에서는 발산) 복소수 전체로 확장시키고 리만 제타 함수라고 이름을 붙입니다.

해석적 연속(Analytic continuation)이란 "함수를 연속이면서 미분가능하게 확장시키는 것"으로 수학자들이 자주사용하는 테크닉입니다.(자연수에서만 정의된 팩토리얼도 감마함수라는 형태로 확장이 가능하죠.)

그리고 이 방법을 사용하면 유일한 형태의 확장된 함수를 얻을 수 있습니다.

일단, 해석적 연속의 기본 예시와 함께 리만이 어떻게 해석적 연속을 사용해서 오일러 제타 함수를 리만 제타 함수로 확장시켰는지 살펴보겠습니다.

1. 해석적 확장의 기본 예시 (등비급수)

가장 직관적인 예시는 무한 등비급수입니다. 하나의 함수가 정의된 영역에 따라 어떻게 확장되는지 보여줍니다.

$$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1-x}$$

좌변 (급수 형태): 오직 $|x| < 1$ (단위 원 내부)인 범위에서만 수렴하고 정의됩니다.
우변 (분수 함수 형태): $x = 1$을 제외한 모든 복소 평면($\mathbb{C} \setminus \{1\}$)에서 정의됩니다.(여기서 역슬래시 표현은 '집합에서 제외한다'는 표현입니다)
의미: $\frac{1}{1-x}$는 좁은 영역($|x|<1$)에서 정의된 급수를 더 넓은 영역으로 해석적으로 확장(Analytic Continuation)한 결과입니다.

바로 이것이 해석적 연속이죠.

리만도 똑같은 짓을 했습니다. $s>1$에서만 놀던 오일러의 식을 복소수 전체로 확장했더니, 전혀 새로운 모습의 식이 튀어나온 겁니다. 마치 $1+x+x^2...$가 $\frac{1}{1-x}$로 변신한 것처럼요.

그 결과물이 바로 아래의 무시무시해 보이는 함수 방정식입니다. (식은 복잡해 보이지만, 그냥 '확장된 버전'이라고 생각하고 넘어가세요!)

2. 리만 제타 함수의 함수 방정식 (Functional Equation)

리만은 해석적 확장을 통해 제타 함수를 $s=1$을 제외한 전 복소 평면으로 확장시켰고, 다음의 함수 방정식을 유도해냈습니다.

이 식은 $\zeta(s)$와 $\zeta(1-s)$ 사이의 관계를 보여줍니다.

$$\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)$$

구성 요소:

$2^s, \pi^{s-1}$: 지수 및 파이 항
$\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)$: 삼각함수 항 (이 항 때문에 음의 짝수에서 자명한 근이 발생함)
$\Gamma(1-s)$: 감마 함수 (팩토리얼의 일반화)
$\zeta(1-s)$: 대칭되는 위치의 제타 함수 값

대칭성 (Symmetry):

이 방정식에 의해 제타 함수는 $s$와 $1-s$가 서로 연결됩니다. 이는 복소 평면 상에서 실수부 $Re(s) = \frac{1}{2}$인 직선(Critical Line)을 축으로 하여 대칭적인 구조를 가짐을 의미합니다.

4) 리만가설 용어 해설

자, 여기까지 약간 조금 깊게 살펴본 것 같으면, 다시 이제 '쉽게 알아보기' 수준으로 다시 올라오도록 하죠.

사실상 원래 이 포스팅의 집필의도가 '엄밀한 수학적 탐구' 보다는 먼저 '리만 가설이 뭔데?'를 쉽게 설명하기 위한 글이었으니까요!

따라서 더 깊게 들어가지는 않고, 이제 여기서 나오는 용어들만 해설하고 마무리 짓도록 하죠.

앞서 보여드린 그 복잡한 식에 $\sin$ 항($\sin(\frac{\pi s}{2})$)이 있었던 거 기억하시나요?

이 $\sin$ 항의 $s$에 음의 짝수($-2, -4, -6, \dots$)를 넣으면, 사인 함수 특성상 무조건 0이 되어버립니다.

곱셈식에서는 어느 한 놈만 0이 되어도 전체 결과가 0이 되죠? ($A \times B \times 0 = 0$ 이니까요!)

즉, 이 근들은 별다른 노력 없이도 식의 구조만 보면 "어? 여기 0 되네?" 하고 바로 찾아낼 수 있습니다.

수학자들은 이렇게 너무 뻔하고 싱겁게 구해지는 근들을 자명한 근(Trivial Zeros)이라고 부릅니다. "야, 이건 볼 것도 없어. 패스해." 하고 치워버리는 거죠.

그렇다면 비자명한 근(Non-trivial Zeros)이란?

바로 저 뻔한 곳(음의 짝수)이 아닌데도 불구하고, 기묘하게 함수값을 0으로 만드는 근들을 말합니다.

리만은 이 근들이야말로 소수의 비밀 정보를 담고 있는 진짜 보물이라고 생각했습니다.

그리고 바로 여기서 우리가 포스팅을 처음 시작하면서 쓴

"리만 제타 함수 $\zeta(s)$의 모든 비자명근(non-trivial zeros)은 실수부가 $\frac{1}{2}$인 직선 위에 있다."

이 말을 이해할 수 있게 됩니다!

즉, "소수의 비밀은 아무 데나 흩어져 있는, 무작위적인 게 아니라, 정확히 $\frac{1}{2}$ 라인에 일렬로 정렬해 있는 규칙이 있다"는 뜻이 됩니다!

5) 그래서 왜 리만가설이요?

재밌는 포인트는... 실제로 리만은 이 비자명근을 네 개까지만 구했습니다.

그리고 "내가 네 개 정도 구해봤는데, 다 실수부가 1/2이던데? 그러니까 앞으로 나오는 모든 근도 다 실수부가 1/2일껄?"하고 넘어갔다는 부분이죠.

이 쿨한(?) 추측이 바로 수학 역사상 가장 거대한 난제, "리만 가설"의 시작이었습니다.

현재 우리는 슈퍼컴퓨터를 돌려서 10조(10 trillion) 개가 넘는 비자명근을 찾아냈습니다.

결과는 어땠을까요? 놀랍게도 10조 개 모두 정확히 $\frac{1}{2}$ 직선 위에 있었습니다. 단 하나의 예외도 없이 말이죠.

또한, 앞서 살펴본 함수 방정식을 통해 근들이 대칭적($\frac{1}{2}$을 기준으로 좌우 대칭)이라는 사실도 이미 증명되었습니다.

"그럼 끝난 거 아니야?"라고 하실 수 있으시겠지만, 아닙니다.

수학에서는 10조 개가 맞아도, 무한대까지 가는 길 어딘가에 숨어 있는 단 하나의 반례(예외)만 있어도 가설은 즉시 거짓이 되어 폐기처분됩니다.

리만 가설은 아직 그 '단 하나'의 예외가 없다는 것을 수학적으로 완벽히 증명하지 못했기에, 여전히 '가설(Hypothesis)'이라는 꼬리표를 달고 있는 것입니다.

그리고 현대 정수론과 암호학의 수많은 정리들이 "리만 가설이 참이라면..."이라는 전제하에 지어져 있습니다.

만약 이 가설이 거짓으로 판명 난다면? 수학계는 그야말로 대혼란(Crisis)에 빠지게 될 겁니다. 수많은 논문이 휴지 조각이 될 테니까요.

6) 소수랑은 무슨 상관?

자, 이제 '리만 가설' 자체는 알아보았는데, '도대체 이 리만 제타함수의 비자명한 근이 소수랑 무슨 연관인데?'에 관해서 궁금하지 않으세요?

앞서 가우스가 소수의 분포를 예측하며 로그 적분 함수($\text{Li}(x)$)를 제안했다고 했었죠?

가우스의 예측은 전체적인 경향성(Trend)을 아주 잘 맞춥니다.

하지만 실제 소수는 이 매끄러운 함수를 따라 얌전하게 움직이지 않습니다.

함수는 '연속적'이지만, 소수는 '이산적'인 존재니까요.

바로 이 지점에서 리만 제타 함수가 등장합니다.

리만은 제타 함수의 비자명한 근($\frac{1}{2}+14.13i \dots$)들이 단순한 숫자가 아니라, 가우스의 예측값과 실제 소수 사이의 간극을 메워주는 '오차 보정항(Correction Term)' 역할을 한다는 것을 밝혀냈습니다.

이것을 우리가 아는 푸리에 변환의 관점에서 보면 소름 돋는 일이 벌어집니다.

제타 함수의 근들을 파동(Wave)으로 바꿔서(푸리에 역변환) 하나씩 더해나가면(중첩시키면), 처음에는 밋밋했던 곡선이 점점 구불구불해지더니...

파동을 10개, 100개, 1000개 더해갈수록 그 구불거림이 점점 날카로워집니다.

그러다 마침내, 정확히 소수가 존재하는 위치($2, 3, 5, 7 \dots$)에서만 그래프가 직각으로 꺾이며 '계단' 모양을 만들어냅니다.(누적 그래프처럼 말이죠!)

-더 나아가기

리만의 명시적 공식(Riemann's Explicit Formula)이라는 것이 있습니다.

개념만 살짝 주워담아 보자면,

1. "곱하기"를 "더하기"로 찢어발기기 (로그의 마법)

오일러의 곱 공식을 다시 봅시다.

$$\zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1 - p^{-s}}$$

우변은 소수들의 곱(Product)입니다. 수학에서 곱셈 덩어리는 다루기가 까다롭습니다. 미분을 하기도 힘들고, 분석하기도 어렵죠.

그래서 리만은 양변에 자연로그($\ln$)를 취해버립니다. 로그의 성질($\ln(ab) = \ln a + \ln b$) 덕분에 곱셈이 덧셈으로 바뀝니다.

$$\ln \zeta(s) = \sum \text{(소수와 관련된 항들)}$$

이제 우변은 '소수들의 합' 형태가 되었습니다.

즉, 제타 함수($\zeta$)의 정보 = 소수($p$)들의 정보의 합이라는 등식이 성립합니다.

2. 소수의 개수를 '파동'으로 표현하다 (명시적 공식)

리만은 여기서 멈추지 않고, 복소해석학의 도구(유수 정리, 푸리에 역변환 등)를 총동원하여 역사적인 수식을 만들어냅니다.

이것이 바로 "소수의 개수 $\pi(x)$를 제타 함수의 해(Zero, 0이 되는 값)들로 표현하는 공식"입니다.

직관적으로 표현하면 다음과 같습니다.

$$\pi(x) \approx \underbrace{\text{Li}(x)}_{\text{가우스의 예측값}} - \underbrace{\sum_{\rho} \text{Li}(x^{\rho})}_{\text{제타 함수의 0점들에 의한 오차}}$$

$\pi(x)$: 실제 소수의 개수 (우리가 알고 싶은 것)
$\text{Li}(x)$: 가우스가 예측한 매끄러운 곡선 (평균)
$\sum \text{Li}(x^{\rho})$: 제타 함수가 0이 되는 지점($\rho$)들이 만들어내는 파동(오차)

이 식의 의미:

"실제 소수의 분포($\pi(x)$)는 가우스의 예측값에서, 제타 함수의 0점($\rho$)들이 만들어내는 파동들을 빼주면 정확하게 일치한다."

즉, 제타 함수의 0점(Zero)의 위치를 안다는 것은, 소수 분포 그래프가 평균에서 얼마나 출렁거리는지 그 '오차의 파동'을 완벽하게 안다는 뜻이 됩니다. 그러니 필연적으로 소수의 위치가 드러날 수밖에 없는 것이죠.

7) 마무리

자, 이렇게 리만가설을 쉽게 이해해 보았습니다.

이 포스팅은 "리만 가설이 뭔데?"에 초점을 맞춘 것이라 은근히 매우 간단하게 서술되었지만, 실제로 이 가설은 '소수의 근본'을 찾는 과정이라 파려고 들면 진짜 복잡하게 팔 수 있는 부분입니다.

나중에 조금 더 여력이 되면, 조금 더 파보도록 하겠습니다.

리만 가설(Riemann Hypothesis) 쉽게 이해하기1: 오일러 또또 당신이에요?

미렌스 — Sun, 23 Nov 2025 12:00:57 +0900

리만 가설(Riemann Hypothesis) 쉽게 이해하기1: 오일러 또또 당신이에요?

0) 서론

오늘은 리만가설을 한번 살펴보고자 합니다.

"리만 가설이 뭐지?"라고 한다면 무조건 나와야 하는 친구가 '소수'입니다. 1과 자기 자신으로만 나눠떨어지는 수죠.

근데 이 소수의 분포는 언뜻보기에 매우 불규칙하게 등장합니다.

그러나 인간은 '패턴화'를 좋아하는 동물.

이 불규칙을 규칙적으로 만들어 줄 수 있는 '법칙'이 없을까 엄청 고민하게 되는데요

바로 이 지점에서 탄생한 것이 바로 "리만 가설"입니다.

리만 가설을 한 마디로 써 보자면 다음과 같습니다.

"리만 제타 함수 $\zeta(s)$의 모든 비자명근(non-trivial zeros)은 실수부가 $\frac{1}{2}$인 직선 위에 있다."

뭔가 되게 어렵죠...? 그래서 이것을 좀 더 쉽게 풀어 써보면 그냥 '소수들이 얼마나 규칙적으로 분포하는가'입니다.(진짜로요!)

첫 시작부터 결론까지 다 내버리고 뭐하는거냐구요?

사실상, 이게 뭔지는 알아야 이후에 하는 모든 설명들이 재미있어지거든요!

근데 리만 가설을 들어가기 전 무조건 거쳐가야하는 사람이 있습니다.

바로바로 그 유명한 또또 오일러씨죠

1) 오일러 제타 함수(Euler Zeta Function)

오일러가 처음 명성을 떨치게 된 문제는 바로 "바젤 문제"라고 불리는 문제였습니다.

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} $$

바로 이것인데요, 비록 오일러가 증명한 방법은 아니지만 이 식의 증명 과정이 궁금하시다면 위의 바젤 문제 링크를 클릭해서 한번 살펴보시는 것도 좋습니다.

근데 진짜 학자들은 뭘 하나 발견해도 거기서 만족을 하지 못하는 것 같습니다.

오일러는 바로 이것을 증명해 내고는,

"잠깐.. 지수가 2인 상황으로 볼 수 있지 않나? 그럼 지수를 $s$라고 놓고, 이 $s$가 1보다 큰 실수일 때는 어떻게 움직이지?"

(참고로 $s$가 1이면 이 급수는 발산합니다)

를 궁금해 하죠

수식으로 다시 써보자면,

$$ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \qquad (s>1) $$

이렇게 정리할 수 있습니다.

오일러는 순수하게 $s$가 커지면 이 급수가 어떤식으로 움직이는지(어떤 값들을 가지는지)가 궁금했던거죠.

그리고 이 급수를 함수로 정의하고는 "오일러 제타 함수"라고 이름을 붙여줍니다.

2) 오일러는 아직도 만족 못 함: 오일러의 곱 공식(Euler Product Formula)

근데 이렇게 만들어 놓기만 했다면 천하의 오일러가 아니겠죠?

이 식을 이리저리 변형해보기 시작합니다.

그 중 소수를 판별하는 방법 중에 '에라토스테네스의 체'라는 방법이 있습니다.

간단하게 설명하자면, 1 이상의 자연수에서 자기 자신을 남겨두고 자신으로 나눠 떨어지는 모든 수를 제거하는 방법입니다.

2를 처음 만나면 2를 남기고 나머지 2의 배수를 모두 지웁니다.
이후 3을 처음 만났으므로 3을 남기고 나머지 3의 배수를 모두 지웁니다.
그 다음에 만나는 4는 앞서 2의 배수를 모두 지울 때 지워졌으므로 넘어갑니다.
이후 5는 처음 만났으므로 5를 남기고 나머지 5의 배수를 모두 지웁니다.
...

이렇게 하면, 소수의 정의(1과 자기 자신만으로 나눠 떨어지는 수)를 만족하는 수 만을 '체'처럼 거를 수 있다는 개념입니다!

물론 이걸 알고리즘으로 만들면 속도는 무진장 느려서(게다가 무한대로 지울 수도 없는 노릇이고..) 알고리즘적으로는 쓰지는 않지만, 그래도 굉장히 중요한 개념이죠!

갑자기 이걸 왜 설명했냐구요?

우리 대단하신 오일러 선생님께서 이 오일러 제타 함수에 이 개념을 가지고 변형을 하셨거든요...

자, 그럼 이 변형을 따라가 볼까요?

[Step 1] 양변에 $\frac{1}{2^s}$를 곱합니다.

$$\frac{1}{2^s}\zeta(s) = \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \frac{1}{8^s} + \cdots$$

이렇게 곱하면 밑이 '짝수'인 친구들만 식에 나타나겠죠?

[Step 2] 원래 식에서 위 식을 뺍니다.

$$\left(1 - \frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \cdots$$

이렇게 빼버리면 밑이 '짝수' 즉, 2의 배수인 모든 항이 깔끔하게 싹 다 사라져 버린답니다.

[Step 3] 남은 식에 다음 소수인 $\frac{1}{3^s}$를 곱하여 다시 뺍니다.

$$\left(1 - \frac{1}{3^s}\right)\left(1 - \frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1 + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \cdots$$

자, 이제 대충 감이 오시나요? 이런식으로 '에라토스테네스의 체'처럼 '밑'이 배수인 항들을 싹싹 소거시켜 나가는 겁니다.

[Step 4] 이 과정을 모든 소수 $p$에 대해 반복하면 우변에는 1만 남게 됩니다.

$$\cdots \left(1 - \frac{1}{p^s}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{3^s}\right)\left(1 - \frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1$$

[Step 5] 이를 정리하면 오일러의 곱 공식이 탄생합니다.

\begin{align}
\prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)\zeta(s) &= 1 \\
\prod_{p} \left(\frac{p^s-1}{p^s}\right)\zeta(s) &= 1 \\
\zeta(s) &= \prod_{p} \left(\frac{p^s}{p^s-1}\right) \\
\zeta(s) &= \prod_{p} \left(\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}\right) \\
\zeta(s) &= \prod_{p} \left( \frac{1}{1 - p^{-s}} \right)
\end{align}

여기서 $\prod$기호는 $\sum$과 완전히 같습니다. $\sum$이 '모두 더하라~'였으면, $\prod$는 '모두 곱하라~'죠.

자, 이렇게 길다면 길고 짧다면 짧은 과정을 거쳐서 곱 공식을 만들었는데... 오일러 선생님은 아직도 목이 마르신가봅니다.

이걸 한번 더 정리하는데, 따라가 볼까요?

3) 여기서 갑자기 등비급수가 나타났다

오일러 곱 공식의 우변(소수 부분)에 있는 각 항은 $\frac{1}{1 - p^{-s}}$ 형태입니다.

이 식은 수학에서 무한 등비급수의 합 공식 $S = \frac{a}{1-r}$의 구조와 정확히 일치합니다.

첫째 항($a$) = 1
공비($r$) = $p^{-s}$ ($=\frac{1}{p^s}$)

따라서, 이 분수 식을 다시 급수(더하기) 형태로 풀어서 쓰면 다음과 같이 전개됩니다.

$$\frac{1}{1 - p^{-s}} = 1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \frac{1}{p^{3s}} + \cdots$$

이 식의 의미는 "특정 소수 $p$를 0번, 1번, 2번... $k$번 사용하는 모든 경우를 더해 놓은 것"입니다.

여기서 이제 $\prod\limits_p$를 합쳐서 풀어봅시다. 이 기호는 인덱스 $p$ ($p=2, 3, 5, \dots$)에 대해서 모두 곱하라~ 라는 뜻이니까

$$\prod_{p} \left( \frac{1}{1 - p^{-s}} \right) = \underbrace{\left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{2^{2s}} + \cdots \right)}_{p=2} \times \underbrace{\left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{3^{2s}} + \cdots \right)}_{p=3} \times \underbrace{\left(1 + \frac{1}{5^s} + \cdots \right)}_{p=5} \times \cdots$$

이 무한한 괄호들을 전개(분배법칙 적용)한다는 것은, 각 괄호에서 항을 하나씩 골라 모두 곱한 뒤, 그 결과들을 다 더하는 것과 같습니다.

즉, 다시말해 오일러 제타함수의 정의로 돌아온겁니다.

$$\left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{2^{2s}} + \cdots \right) \times \left(1 + \frac{1}{3^s} + \cdots \right) \times \left(1 + \frac{1}{5^s} + \cdots \right) \times \cdots = \zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots$$

결국 좌항의 분모(모든 소수의 곱의 조합)는 결국 우항에서 나타내듯이 모든 자연수 분모를 나타낼 수 있음을 시각적으로 확인할 수 있습니다.

그래도 이해가 잘 안가신다구요? 조금 더 자세히 설명해 볼까요?

4) 산술의 기본 정리(The Fundamental Theorem of Arithmetic)

"갑자기 설명하다 말고 산술의 기본 정리요?"라고 하실 수 있습니다만, 위에서 말했듯이 조금 더 자세히, 그리고 엄밀하게 설명하기 위해서 꼭 필요한 개념입니다.

근데, 사실 그렇게 어려운 내용은 아니에요.

딱 한 줄

"1보다 큰 모든 자연수는 소수들의 곱으로 표현할 수 있으며, 그 표현 방법은 오직 하나뿐이다."
(곱하는 순서는 무시)

로 정의되는 정리입니다.

"너무나도 당연한 걸 있어보이게 풀어놓은게 정리"라는 우스개 소리도 있는 만큼, 사실 소인수분해를 해봤던 분들이라면 너무나도 당연하게 들릴 소리입니다.

그럼 위에서 설명한거랑 어떤 연관성이 있길래 이걸 따로 설명한 걸까요? 뭐 물론 '소수'라는 연관성이 있으니까 그랬겠지만서도요?

자 그럼 다시 원래의 흐름으로 돌아와서, 시각적으로만 보여드렸던 부분에 대해서 이해를 돕기 위해 $s=1$이라고 가정하고, 소수가 2와 3만 있는 경우부터 보겠습니다.

$$\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots \right) \times \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots \right)$$

분배법칙에 따라 앞 괄호의 항과 뒤 괄호의 항을 하나씩 짝지어 곱합니다.

$1 \times 1 = \frac{1}{1}$$\frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$
$1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$\frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{4}$
$\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{6}$
$\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{2^2 \times 3} = \frac{1}{12}$
$\dots$

이렇게 곱해서 나온 결과들의 분모를 보면 $1, 2, 3, 4, 6, 12, \dots$ 가 됩니다. 이는 소인수가 2와 3뿐인 숫자들입니다.

이제 이 논리를 모든 소수($2, 3, 5, 7, \dots$)가 있는 무한한 괄호로 확장합니다. 각 괄호에서 하나의 항을 선택해 곱하면 다음과 같은 형태의 항이 하나 만들어집니다.

$$\frac{1}{2^{a s}} \times \frac{1}{3^{b s}} \times \frac{1}{5^{c s}} \times \cdots = \frac{1}{(2^a \times 3^b \times 5^c \times \cdots)^s}$$
($a, b, c \dots$는 각 소수를 몇 번 곱했는지를 나타내는 0 이상의 정수)

여기서 분모인 $n = 2^a \times 3^b \times 5^c \times \cdots$ 를 봅시다.

산술의 기본 정리에 따르면:

유일성: 모든 자연수 $n$은 소인수분해의 결과가 유일합니다. 즉, $a, b, c \dots$의 조합이 결정되면 자연수 $n$도 딱 하나 결정됩니다.
존재성: 모든 자연수는 소수들의 곱으로 표현 가능합니다.

따라서, 각 소수의 거듭제곱(괄호 안의 항들)을 조합하는 모든 경우의 수를 계산하면, 자연수 $1$부터 무한대까지의 모든 수 $n$이 빠짐없이, 그리고 중복 없이 한 번씩 분모에 등장하게 됩니다.

이 과정을 수식으로 요약하면 아래와 같습니다. 분모를 기준으로 소수들의 거듭제곱의 합을 모두 곱한 것은, 결과적으로 모든 자연수의 합과 같습니다.

$$\prod_{p} \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{p^{ks}} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$$

5) 마무리

이야, 리만 가설을 시작하기도 전에 오일러 씨의 발견만으로도 벌써 한바닥 포스팅이 되어버렸네요!

왜 이렇게 오일러 씨의 업적을 길게 늘어놨냐면... 이게 진짜 불규칙 속의 규칙을 찾기위한 거의 유일한 키이기 때문이죠!

덧셈으로 이루어진, 해석학으로 다룰 수 있는 '질서의 세계'를 나타내는 한쪽 변과 소수와 곱셈으로 이루어진 '혼돈의 세계'를 나타내는 한쪽 변을 등호로 연결한 유일무이한 식이니까요!

다음 번엔 바로 진짜 리만의 사고로 뛰어들어 봅시다!

ζ(0)의 값은?

미렌스 — Tue, 9 Sep 2025 20:25:50 +0900

ζ(0)의 값은?

0. 서론: 또 다른 미스터리 ζ(0)의 값은?

자, 이전 글 마지막에 제가 뜬금없는 질문을 하나 던졌습니다.

아, 그래서 추천은 이전 글을 한번 읽고 오시는걸 추천드립니다.(자연수를 무한히 더한(1+2+3+4+…) 값은 사실 -1/12이었다!?)

ζ(0)의 값은 무엇일까요? 제타 함수의 정의에 0을 그대로 넣어보면...

\begin{align}
\zeta(0) = & \ \frac{1}{1^0} + \frac{1}{2^0} + \frac{1}{3^0} + \frac{1}{4^0} + \cdots \\
= & \ 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots
\end{align}

당연히 무한대로 발산합니다.

이전처럼 리만의 '거울 공식'을 쓰면 되지 않냐고요?

거울 공식은 ζ(s)와 ζ(1-s)를 연결해줍니다. ζ(0)을 구하려면 s=0을 넣어야 하고, 그러면 ζ(1-0) = ζ(1)의 값을 알아야 합니다. 하지만 ζ(1) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... 은 그 유명한 조화급수!

무한대로 발산하며, 함수가 정의되지 않는 유일한 특이점(Pole)입니다. 즉, 거울의 한쪽이 깨져버려서 반대편을 비출 수가 없는 상황인 거죠.

그럼 어떻게 구할까요? 여기서 제타 함수의 숨겨진 조력자, 에타 함수(Eta Function)가 등장합니다.

1. 구원투수의 등장: 에타 함수(η)

에타 함수는 제타 함수와 거의 똑같이 생겼는데, 부호가 플러스와 마이너스를 번갈아 가며 나타나는 점만 다릅니다.

\begin{align}
\eta(s) = & \ \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \cdots\\
\end{align}

자, 그럼 이 에타 함수에 s=0을 넣어볼까요?

\begin{align}
\eta(0) = & \ \frac{1}{1^0} - \frac{1}{2^0} + \frac{1}{3^0} - \frac{1}{4^0} + \cdots \\
= & \ 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots
\end{align}

어디서 많이 보지 않았나요?

네, 바로 모든 '꼼수'를 시작하게 했던 바로 그 무한급수 $S_1 $입니다! 그리고 우리는 $S_1$의 값이 1/2이라는 것을 이미 알고 있습니다.

따라서 우리는 첫 번째 단서를 얻었습니다: $\eta(0)=\frac{1}{2} $

2. 제타와 에타의 비밀 관계

1단계: 제타 함수를 홀수 항과 짝수 항으로 분리하기

먼저, 제타 함수 ζ(s)를 펼쳐 쓴 뒤, 홀수 항들의 합과 짝수 항들의 합으로 나눕니다.

\begin{align}
\zeta(s) = & \ \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \dots \\
= & \ \left(\frac{1}{1^s} + \frac{1}{3^s} + \dots\right) + \left(\frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \dots\right)
\end{align}

2단계: 짝수 항의 합을 제타 함수로 표현하기

짝수 항들의 합에서 공통 인수인 $\frac{1}{2^s}$를 묶어내면, 괄호 안이 다시 제타 함수가 됩니다.

\begin{align}
& \ \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \dots \\
= & \ \frac{1}{2^s} \left(\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \dots\right) \\
= & \ \frac{1}{2^s}\zeta(s)
\end{align}

3단계: 에타 함수에 위 결과 대입하기

에타 함수 η(s)는 (홀수 항의 합) - (짝수 항의 합) 입니다.

\begin{align}
\eta(s) = & \ \left(\frac{1}{1^s} + \frac{1}{3^s} + \dots\right) - \left(\frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \dots\right)
\end{align}

여기서 1단계 식 ζ(s) = (홀수 항의 합) + (짝수 항의 합)을 변형하면, (홀수 항의 합) = ζ(s) - (짝수 항의 합)이 됩니다.

(짝수 항의 합)에 2단계 결과를 넣어 정리하면, (홀수 항의 합) = ζ(s) - $\frac{1}{2^s}\zeta(s)$ 입니다.

이제 이 결과들을 에타 함수 식에 모두 대입합니다.

4단계: 최종 정리

\begin{align}
\eta(s) = & \ \left(\zeta(s) - \frac{1}{2^s}\zeta(s)\right) - \frac{1}{2^s}\zeta(s) \\
= & \ \zeta(s) - \frac{2}{2^s}\zeta(s) \\
= & \ \left(1 - \frac{2}{2^s}\right)\zeta(s) \\
= & \ \left(1 - 2^{1-s}\right)\zeta(s)
\end{align}

이렇게 수학자들은 제타 함수와 에타 함수 사이에 아주 깔끔한 관계식이 있다는 것을 발견했습니다.

\begin{align}
\eta(s) = (1 - 2^{1-s})\zeta(s)
\end{align}

이 둘을 연결하는 비밀의 다리인 셈이죠. 이제 모든 준비가 끝났습니다.

3. 마지막 퍼즐 맞추기

위 관계식에 우리가 아는 모든 것을 대입해 봅시다. s=0을 넣는 겁니다.

\begin{align}
\eta(0) = & \ (1 - 2^{1-0})\zeta(0)
\end{align}

η(0)은 1/2이라는 것을 알고 있으니 대입하면,

\begin{align}
\frac{1}{2} = & \ (1 - 2^{1})\zeta(0) \\
\frac{1}{2} = & \ (1 - 2)\zeta(0) \\
\frac{1}{2} = & \ (-1)\zeta(0)
\end{align}

따라서, 양변에 -1을 곱해주면 최종 결론에 도달합니다.

\begin{align}
\zeta(0) = -\frac{1}{2} \qquad \blacksquare
\end{align}

놀랍게도 1+1+1+...의 대표값은 -1/2이었습니다!

마치 잘 짜인 추리소설처럼, 가장 처음 등장했던 단서(1-1+1-...=1/2)가 마지막 미스터리를 푸는 결정적인 열쇠가 되었네요.

이 기묘하고 아름다운 수학의 세계, 정말 신기하지 않나요?

[바젤문제(Basel problem)] π가 없는 식에서 π를 만든다고? 샌드위치 정리로 증명하는 1+1/4+1/9+... = π²/6

미렌스 — Wed, 3 Sep 2025 15:56:05 +0900

π가 없는 식에서 π를 만든다고? 샌드위치 정리로 증명하는 1+1/4+1/9+... = π²/6

0. 서론: 대학 수학 없이 증명하기

제곱수의 역수를 모두 더하면 원주율의 제곱을 6으로 나눈 값이 된다는 기묘한 등식, $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

바젤 문제라고도 알려져 있는 이 문제!

아마 이 증명을 찾아보면 대부분 푸리에 급수, 테일러 급수 등 복잡한 대학 수학을 이용해 설명할 겁니다. 하지만 이 문제가 처음 풀렸을 때는 그런 도구들이 없었다면 믿으시겠어요? 오늘은 고등학교 과정에서 배우는 삼각함수와 샌드위치 정리(조임 정리)만을 이용해 이 문제를 증명해 보겠습니다. 수학자들이 말하는 가장 '초등적(elementary)'인 증명법, 함께 따라가 보시죠!

1. 핵심 재료: 마법의 부등식

모든 증명은 마법 같은 부등식 하나에서 시작합니다. 바로 이것이죠.

\begin{align}
\cot^2(x) < \frac{1}{x^2} < \csc^2(x)
\end{align}

이 부등식은 삼각함수 극한에서 배우는 $\sin(x) < x < \tan(x)$로부터 유도할 수 있습니다.
(단위원을 그려놓고 본다면 한방에 이해됩죠! 작은 삼각형의 넓이<부채꼴의 넓이<큰삼각형의 넓이 에서 유도됩니다.)

자세한 과정은 생략하지만, 이 부등식이 바로 오늘의 주인공인 '샌드위치'의 양쪽 빵 역할을 합니다.

가운데 우리가 구하고 싶은 값($\sum \frac{1}{n^2}$)의 재료가 되는 $\frac{1}{x^2}$이 끼어있는 것을 확인하세요!

2. '빵'의 값 계산하기: 드무아브르의 마법

접근 전략은 다음과 같습니다.

핵심 부등식 만들기 > 값을 아는 유한 급수 만들기 > 극한 취하기(무한 급수로 만들기)

1단계는 위에서 마쳤으니, 이제 2단계인 '값을 아는 유한 급수 만들기', 즉 빵을 구하러 가봅시다.

1) cot²x의 합 구하기

자~ 양쪽 빵을 구해야하는데, 사실 양쪽 빵이 다르죠?
근데 재밌는 사실은 양쪽 빵은 서로 항등식에 의해서 연결되어 있답니다.
$ \csc^2 x = \cot^2 x + 1 $인데요, 이건 $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $이라는 정말 유명한 삼각 항등식에서 모든 항을 $ \sin^2 x $로 나누면 바로 나오죠?

그렇다면, 우리는 둘 중 하나만 구하면 됩니다. 그러면 뭐가 더 쉬울까요?
기본적으로 '삼각함수의 지수'를 다룰 때 사용되는 대표적인 방정식이 '드무아브르 방정식'이고 이걸 이용했을 때, cos과 sin의 조합으로 수가 전개된다는 걸 보면 사실 cot가 조작하기 더 쉬운 함수란 걸 알 수 있죠! $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ 이고 $ \csc x = \frac{1}{\sin x} $이므로, cos과 sin항이 곱셈으로 붙어 나올 때, 두 항이 모두 연관되어있는 cot가 조작하기 더 편하기 때문입니다.

그래서 우리는 바로 cot를 구하고, 이걸로 csc를 구해보도록 하겠습니다!

2) cot²x의 유한 급수 만들기

우리가 원하는 건
1) $ \cot^2 x $가 임의의 유한한 항 $ m $에서 급수 형태로 나타날 것
2) 그 급수의 모든 항을 더한 값을 구할 것

자, 일단 '뭔가 유한항 내에서 더해지는 형태'를 만들 수 있는 방법이 무엇일까요?
항 두 개를 이용한 거듭제곱을 전개하면 바로 두 항의 덧셈이 펼쳐지지 않을까요? 이걸 삼각함수로 구현하는 공식이 바로 드무아브르 공식입니다.(드무아브르 공식이 궁금하시다면? 삼각함수의 3배각 공식(삼중각 공식) 증명(feat 오일러&드무아브르 공식))

그럼 지수항은 어떻게 정의해야 할까요? 현재 우리는 단순 $ \cot x $가 아니라 $ \cot^2 x $를 구하기 때문에, 곱셈공식에서 곱해지는 지수는 임의의 m항에 대해 2m이 되어야 할 것입니다. 또한 cot를 조작하기 쉽도록 홀수 지수가 유리합니다. 이 조건들을 고려하면 지수는 '2m+1'이 가장 적절해 보입니다. 뭐, 일단 아무 생각 없이 고른 것도 아니니 한번 적용해보고 틀리면 수정해보죠. 인생은 트라이 앤 에러입니다.

자, 드무아브르 공식을 전개해볼까요?

\begin{align}
(\cos x + i \sin x)^{2m+1} = \cos((2m+1)x)+i\sin((2m+1)x)
\end{align}

이항정리로 전개하면 다음과 같습니다.

\begin{align}
(\cos x + i \sin x)^{2m+1} = \sum_{k=0}^{2m+1} \binom{2m+1}{k} i^k \cos^{2m+1-k} x \sin^k x
\end{align}

현재 $ \cot^2 x$를 찾는데 실수부의 cos 지수는 홀수라 조금 힘드니, 허수부를 가지고 조작을 해야겠네요. 허수부만 모아보면 (양변의 허수 단위 i는 제거했습니다):

\begin{align}
\sin((2m+1)x) = \binom{2m+1}{1}\cos^{2m}x\sin x - \binom{2m+1}{3}\cos^{2m-2}x\sin^3 x + \cdots
\end{align}

이제 좀 실마리가 잡힌 것 같습니다. 양변을 $ \sin^{2m+1} x $로 나누면,

\begin{align}
\frac{\sin((2m+1)x)}{\sin^{2m+1} x} = \binom{2m+1}{1}\cot^{2m} x - \binom{2m+1}{3}\cot^{2m-2} x + \cdots
\end{align}

이야 이걸로 $ \cot^2 x$에 대해 m이 한 항씩 줄어드는 '유한 급수'식을 만들어 냈네요! 후.. 길었습니다.

3) 유한 급수의 합 구하기

그런데 여기서 또 하나의 문제... "다 더한 값을 구할 것"

우와... 진짜 산 넘어 산이네요.. 근데.. 잘 보세요!

\begin{align}
\frac{\sin((2m+1)x)}{\sin^{2m+1} x} = \binom{2m+1}{1}(\cot^{2} x)^m - \binom{2m+1}{3}(\cot^{2} x)^{m-1} + \cdots
\end{align}

요렇게 보는 관점만 조금 바꿔주면 우항은 계수가 $\binom{2m+1}{k}$인 $ \cot^2 x $에 대한 m차 다항식이 됩니다. 그리고 우리가 잘 아는 부분이죠? 근과 계수의 관계(Viete's rule)를 쓰면, 모든 근의 합을 계산할 수 있다는 사실!

그럼 근과 계수의 관계를 쓰기 위해 좌항을 0으로 만들어 방정식을 세워보죠. $ \sin \theta = 0 $인 $ \theta = r\pi $이므로,

\begin{align}
(2m+1)x = r\pi \implies x = \frac{r\pi}{2m+1}
\end{align}

즉, x에 이 값을 넣어주면 좌항은 0이 되어버립니다. (단, r=0인 경우는 cot(0)이 정의되지 않으므로 r=1부터 시작합니다.)

이제 $y = \cot^2 x$라고 생각하고 근과 계수의 관계를 적용합시다. $m$차 방정식 $a_m y^m + a_{m-1} y^{m-1} + \cdots = 0$에서 모든 근의 합은 $-\frac{a_{m-1}}{a_m}$ 입니다.

우리 식의 계수는 $ a_m = \binom{2m+1}{1} $ 이고 $ a_{m-1} = -\binom{2m+1}{3} $ 이므로,

\begin{align}
\text{모든 근의 합} = -\frac{-\binom{2m+1}{3}}{\binom{2m+1}{1}} = \frac{\binom{2m+1}{3}}{\binom{2m+1}{1}} = \frac{\frac{(2m+1)(2m)(2m-1)}{3\cdot 2\cdot 1}}{2m+1} = \frac{m(2m-1)}{3}
\end{align}

이 방정식의 근들은 $x = \frac{r\pi}{2m+1}$일 때의 $\cot^2 x$ 값들이므로, 그 근들의 합은 좌변을 0으로 만드는 모든 경우(r=1부터 m까지)를 다 표현해주어야 합니다. 결론적으로,

\begin{align}
\sum_{r=1}^{m} \cot^2\left(\frac{r\pi}{2m+1}\right) = \frac{m(2m-1)}{3}
\end{align}

이렇게 쓸 수 있습니다. 이제 샌드위치를 만들 모든 재료 준비가 끝났습니다.

3. 샌드위치 조립하고 꾹 누르기!

이제 모든 것을 합쳐봅시다.

1) 1단계의 '마법 부등식'에 $x = \frac{r\pi}{2m+1}$ (단, $r=1, 2, \dots, m$) 값들을 대입하고 $m$개만큼 모두 더해줍니다.

\begin{align}
\sum_{r=1}^{m} \cot^2\left(\frac{r\pi}{2m+1}\right) < \sum_{r=1}^{m} \frac{1}{\left(\frac{r\pi}{2m+1}\right)^2} < \sum_{r=1}^{m} \csc^2\left(\frac{r\pi}{2m+1}\right)
\end{align}

2) 가운데 항을 우리가 원하는 $\sum \frac{1}{r^2}$ 모양이 나오도록 정리하고, 양쪽 항에는 2단계에서 구한 값과 삼각함수 공식($\csc^2x = \cot^2x + 1$)을 이용해 값을 채워 넣습니다.(+1이 +m이 되는건 m번 더하는 시그마 기호 때문이죠~)

\begin{align}
\frac{m(2m-1)}{3} < \frac{(2m+1)^2}{\pi^2} \sum_{r=1}^{m} \frac{1}{r^2} < \frac{m(2m-1)}{3} + m
\end{align}

3) 마지막으로, 가운데에 우리가 구하려는 합만 남도록 부등식 전체를 $\frac{\pi^2}{(2m+1)^2}$로 곱해줍니다.

\begin{align}
\frac{\pi^2}{3}\frac{2m^2-m}{4m^2+4m+1} < \sum_{r=1}^{m} \frac{1}{r^2} < \frac{\pi^2}{3}\frac{2m^2+2m}{4m^2+4m+1}
\end{align}

4) 이제 샌드위치를 꾹 눌러봅시다! 즉, $m$을 무한대($m \to \infty$)로 보냅니다.

맨 왼쪽(아래쪽 빵)의 극한값: $\frac{\pi^2}{3} \cdot \frac{2}{4} = \frac{\pi^2}{6}$
맨 오른쪽(위쪽 빵)의 극한값: $\frac{\pi^2}{3} \cdot \frac{2}{4} = \frac{\pi^2}{6}$

양쪽의 극한값이 모두 $\frac{\pi^2}{6}$으로 수렴합니다!

따라서 샌드위치 정리에 의해, 그 사이에 끼어있던 값의 극한 역시 $\frac{\pi^2}{6}$이 될 수밖에 없습니다.

\begin{align}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
\end{align}

4. 결론: 가장 '초등적인' 증명

이 증명 과정을 보고 "이게 어떻게 가장 쉬운 방법이냐!"라고 생각하실 수도 있습니다. 맞습니다. 각 단계는 결코 간단하지 않으며 매우 기발한 아이디어를 필요로 합니다.

하지만 수학자들이 이 증명을 '초등적(elementary)'이라고 부르는 이유는, 복소해석학이나 푸리에 분석 같은 더 고등수학 분야의 강력한 이론을 빌려오지 않고, 고등학교 과정에서 배운 개념(삼각함수, 다항식, 극한, 샌드위치 정리)만을 차곡차곡 쌓아 올려 만든 증명이기 때문입니다.

마치 두 친구가 양쪽에서 당신의 손을 잡고 한 점으로 다가갈 때, 당신 역시 그 점으로 갈 수밖에 없는 것처럼, 이 증명은 우리가 구하려는 값을 양쪽에서 논리적으로 꽉 조여서 답을 찾아내는 아름다움을 보여줍니다.

자연수를 무한히 더한(1+2+3+4+…) 값은 사실 -1/12이었다!?

미렌스 — Mon, 1 Sep 2025 18:59:49 +0900

자연수를 무한히 더한(1+2+3+4+…) 값은 사실 -1/12이었다!?

0. 서론: 상식을 파괴하는 등식

네? 이게 뭔소리나고요? 뭔 공교육 박살나는 소리냐고요??

아마 지금 모니터 앞에서 이런 생각을 하고 계실 겁니다. 하지만 일단 저를 믿고 따라와 보세요. 오늘은 서론 없이, 상식을 파괴하는 여정을 곧바로 시작하겠습니다.

1. 증명

1)

일단 무한 급수 하나를 가정하죠.

\begin{align}
S_1 = & \ 1-1+1-1+1- \cdots
\end{align}

이렇게 무한히 나열되는 무한 급수가 있습니다.

일단 양변에 1을 빼보겠습니다.

\begin{align}
-1 + S_1 = & -1 + (1-1+1-1+1- \cdots)
\end{align}

그리고 양변에 똑같이 -를 붙여주겠습니다(부호변경)

\begin{align}
1 - S_1 = & \ 1 - (1-1+1-1+1- \cdots)
\end{align}

오른쪽 괄호를 풀어주면

\begin{align}
1 - S_1 = & \ 1 - 1+1-1+1-1+ \cdots
\end{align}

어? 우항이 그냥 $ S_1 $ 자기 자신이네요?

다시 쓰면

\begin{align}
1 - S_1 =& \ S_1 \\
2S_1 =& \ 1 \\
S_1 =& \ \frac{1}{2} \\
\end{align}

따라서 $ S_1 $의 값은 $ \frac{1}{2} $입니다.

2)

이번에는 또 재밌는 무한급수를 한번 만들어 볼까요?

아까는 1번($S_1$)을 썼으니까 이번에는 2번을 붙여줘보죠.

\begin{align}
S_2 = & \ 1 - 2+3-4+5-6+ \cdots
\end{align}

이런 무한급수가 있습니다.

그냥 심심하니까 이 무한급수를 한번 자기 자신으로 더해볼까요?

아 물론 그냥 더하면 재미 없으니까, 하나씩 항을 밀어서 더해볼께요!

\begin{align}
S_2 = & \ 1 - 2+3-4+5-6+ \cdots \\
\underline{\ + \ S_2 =} & \underline{\qquad 1 - 2+3-4+5- \cdots} \\
2S_2 = & \ 1 -1+1-1+1-1+ \cdots
\end{align}

오, 우항이 바로 $ S_1 $이군요!

정리하면,

\begin{align}
2S_2 = & \ S_1 = \frac{1}{2} \\
\implies S_2 = & \ \frac{1}{4}
\end{align}

$ S_2 $의 값은 $ \frac{1}{4} $입니다.

[항을 하나 밀면 뒤에 항이 하나 남지 않냐고 날카롭게 질문한 당신! 박수! 그러나 무한의 세계에선 끝에 남는 항이 없답니다~
무한이 더 궁금하시다면 "어서오세요! 힐베르트 호텔에! ~무한의 세계로 떠나는 여행~" 포스팅을 읽어보시면 재밌으실 것 같습니다!]

3)

자 이제,

\begin{align}
S = & \ 1 + 2+3+4+5+6+ \cdots
\end{align}

자연수의 합, 자연수의 무한급수를 보겠습니다.

그냥은 어떻게 할 도리가 없으니까, 아까 $ S_2 $를 빼 볼까요?

\begin{align}
S \ \ = & \ 1 + 2+3+4+5+6+ \cdots \\
\underline{-\ S_2 = } & \underline{ \ 1 -2+3-4+5-6+ \cdots} \\
S - S_2 = & \ 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + \cdots
\end{align}

두 급수를 빼주는거니까, 부호가 같은 애들은 0이되고, 다른 애들은 더해서 두배가 되는 거죠!

이 수열을 다시 정리하면,

\begin{align}
S - S_2 = & \ 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + \cdots \\
= & \ 4 + 8 + 12 + \cdots \\
= & \ 4(1 + 2 + 3 + \cdots) \\
\end{align}

오 우항에서 다시 $ S $가 등장했군요!

\begin{align}
S - S_2 = & \ 4S \\
3S = & -S_2 \\
3S = & -\frac{1}{4}\\
S = & -\frac{1}{12}\\
\end{align}

오, 다시 정리하면

\begin{align}
1+2+3+4+5+6+\cdots = & -\frac{1}{12} \qquad \blacksquare
\end{align}

헐... 이게 증명이 되어버리네요!?!?

그럼 진짜 그동안 공교육에서 잘못 가르치고 있던거란 말입니까!?!?

2. 비밀: 왜 이 증명은 '꼼수'일까?

방금 본 증명은 그럴듯해 보이지만, 사실 수학적으로는 허점이 많습니다.

가장 큰 문제는 '발산하는 무한급수'를 수렴하는 급수처럼 마음대로 다루었다는 점입니다.

무한급수가 특정 값으로 수렴하지 않을 때는 항의 순서를 바꾸거나(항 밀기), 괄호를 치거나, 다른 급수와 더하고 빼는 연산을 함부로 할 수 없습니다.

[별개로 아까 무한이라서 항밀기는 되어요~ 라고 한건, 무한 급수에 대해서 성립한답니다! 실로 재밌는 무한의 세계]

즉, 위의 증명은 엄밀한 수학이라기보다는 "만약 저 발산하는 급수에 어떤 값을 억지로 부여한다면, 그 값은 -1/12가 되어야 논리적으로 아귀가 맞을 것이다"라는 것을 보여주는 일종의 발견적(heuristic) 방법에 가깝습니다.

그리고 중요한 사실, 제목에도 적어놨지만 이건 '꼼수'지 '궤변'이 아닙니다.

네? 지금 스스로 '그러나 트릭장난이었다~'라고 시인한거 아니냐구요? 트릭 장난은 맞는데요... 근데 답은 맞아요...

일종의 게임 '버그'를 활용한 '치트플레이'에 가까운 부분이죠.("어찌됐든 최종보스(=정답)를 만난다"는 점에서는 차이가 없습니다.)

"아니! 자연수를 다 더한 급수는 '무한대!!!!'지!!!! 어떻게 $ -\frac{1}{12} $가 맞다고 우길 수 있는거냐!!!"

라고 하신다면... 약간 보는 관점이 다르달까... 여기서 나오는게 바로 [양자역학]이거든요...

그럼 일단 한발 양보하셔서

'그래 1+2+3+...이 $ -\frac{1}{12} $일 수도 있다고 가정하면, 너가 스스로 치트플레이를 시인했는데 어떻게 엄밀하게 알려줄 수 있는데?'

부터 시작해볼까요?

3. 진짜 수학의 등장: 리만 제타 함수와 해석적 연속(Analytic Continuation)

그렇다면 왜 수학자들은 이 결과를 '맞다'고 이야기할까요? 그 답은 리만 제타 함수($ \zeta(s) $)에 있습니다.

리만 제타 함수는 아래와 같이 정의됩니다.

\begin{align}
\zeta(s) = & \ \sum \limits _{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots
\end{align}

여기서 $ s $는 복소수까지 들어갈 수 있구요, 일반적으로 복소수의 실수부가 1보다 큰 값에 대해서만 수렴합니다.( $ \mathfrak{R}(s) > 1 $ )

고등 수학까지 공부하셨던 분들이면 $ \frac{1}{n} $ 급수는 수렴하지 않고, $ \frac{1}{n^2} $은 수렴하던 걸 기억하실겁니다.

참고로 $ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} $이죠.

그리고 우리가 찾는 $ 1+2+3+ \cdots $는 이 함수에 $s = −1$을 넣은 값, 즉 $ \zeta(-1) $과 형태가 같습니다.

하지만 $s = −1$은 함수가 정의된 영역( $ \mathfrak{R}(s) > 1 $ ) 밖에 있습니다. 여기서 수학자들은 '해석적 연속(Analytic Continuation)'이라는 강력한 도구를 사용합니다.

쉽게 비유하자면, 특정 구간에서만 그려진 함수 그래프가 있을 때, 이 그래프의 곡률이나 패턴을 유지하면서 정의되지 않은 영역까지 그래프를 자연스럽게 연장하는 것과 같습니다. 마치 함수의 '거울'을 만들어 반대편을 비춰보는 것과 비슷하죠.

정확히는 리만의 함수 방정식이라는 도구를 사용합니다만, 궁금하신 분은 더보기 클릭!

해석적 연속에는 여러 방법이 있지만, 제타 함수의 경우 '리만의 함수 방정식(Riemann Functional Equation)'을 사용합니다. 이 방정식은 $\zeta(s)$와 $\zeta(1-s)$의 관계를 보여주는 아름다운 '거울'과 같습니다.

리만의 함수 방정식

\begin{align}
\zeta(s) =& \ 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)
\end{align}

따라서 $ \zeta(2) $를 이용하여 $ \zeta(-1) $ 구하기도 가능합니다.

\begin{align}
\zeta(-1) =&\ 2^{-1} \pi^{-1-1} \sin\left(\frac{-\pi}{2}\right) \Gamma(1-(-1)) \zeta(1-(-1))\\
\zeta(-1) =&\ \frac{1}{2} \pi^{-2} \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \Gamma(2) \zeta(2)\\
\zeta(-1) =&\ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\pi^2} \cdot (-1) \cdot 1 \cdot \frac{\pi^2}{6} \quad \leftarrow \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1, \ \ \Gamma(2) = 1! = 1, \ \ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\\
\zeta(-1) =&\ -\frac{1}{12}
\end{align}

이 '해석적 연속'이라는 방법으로 리만 제타 함수를 $s = −1$이 포함된 영역까지 확장하면, 놀랍게도 그 지점의 함수 값이 정확히 $ -\frac{1}{12}$가 됩니다.

$ \zeta(-1) = -\frac{1}{12} $

즉, 꼼수 증명으로 얻은 값이 더 고차원적인 수학 체계 안에서 올바르다는 것이 증명된 셈입니다.

4. 현실 세계와의 연결고리: 카시미르 효과(Casimir effect)

"그래 봤자 수학자들의 머릿속에서만 존재하는 것 아닌가?"라고 생각할 수 있습니다.

하지만 이 기묘한 합은 놀랍게도 현실 세계에서 그 증거를 드러냅니다.(아까 말했던 그 '양자역학' 이야기 입니다)

바로 카시미르 효과(Casimir effect)라는 건데요.

완벽한 진공 상태에 아주 매끄러운 금속판 두 개를 아주 가깝게 붙여 놓으면, 아주 신기하게도 이 두 금속판이 서로를 잡아당깁니다...!

진공속에서! 아무것도 없는데! 왜!?!?

과학자들 대혼란. 이었죠.

일상적으로 '진공'이라하면 '아무것도 없는 거', '텅 빈 공간'이라고 생각하지만 양자역학에 따르면 진공은 수많은 가상 입자들이 나타났다가 사라지는 에너지의 바다입니다. 이 에너지는 온갖 종류의 파동(전자기파)으로 들끓고 있죠.

여기서 바로 파동의 차이가 발생하게 되는데요

금속판 바깥: 공간이 무한하므로 모든 종류의 파동이 존재할 수 있습니다.
금속판 사이: 공간이 매우 좁기 때문에, 기타 줄이 특정 음만 내는 것처럼 딱 맞아떨어지는 파동만 존재할 수 있습니다. 즉, 존재 가능한 파동의 종류가 바깥보다 적습니다.

그리고 여기서 바깥의 파동 에너지가 더 크고 안쪽의 에너지가 더 작기 때문에, 바깥에서 안쪽으로 미는 아주 미세한 힘(압력)이 생깁니다.

그리고 이에따라 두 금속판은 저절로 서로에게 끌어당겨집니다!

이제 원인은 밝혀졌습니다. 그 힘을 계산하고 측정하는 것만 남았죠!

계산: 이 힘은 (바깥의 모든 파동 에너지 합) - (안쪽의 모든 파동 에너지 합)으로 계산됩니다. 그런데 이 '모든 파동 에너지의 합'이라는 것이 바로 무한급수의 형태로 나타납니다.

그리고 이 무한대의 계산을 '조절(regularization)'하는 과정에서 물리학자들은 경악스러운 수식과 마주칩니다. 바로 그 힘의 크기가 1 + 2 + 3 + 4 + ... 와 직접적으로 연관된다는 것입니다.

여기서 물리학자들이 만약 "에이, 이건 그냥 무한대잖아. 계산 못 해!"라고 포기했다면 아무 결과도 얻지 못했을 겁니다. 대신 그들은 수학자들이 알려준 '대표값'인 -1/12을 그 자리에 넣었습니다.

그렇게 계산을 마쳤더니, 두 금속판을 미는 힘의 크기가 정확하게 예측되었습니다.

측정: 1997년, 과학자들은 정밀한 실험을 통해 이 힘을 실제로 측정하는 데 성공했고, 그 값은 -1/12을 넣어 계산한 이론과 거의 완벽하게 일치했습니다.

이는 마치 허수(i)가 처음엔 상상 속의 수였지만, 지금은 전기공학 등 현실의 문제를 푸는 데 없어서는 안 될 도구가 된 것과 같습니다.

5. 또 다른 천재의 길: 라마누잔 합

사실 이 결과는 리만보다 앞서, 인도의 천재 수학자 라마누잔이 독자적으로 발견했습니다.

그는 서양 수학계와 교류가 거의 없던 상태에서 자신만의 독창적인 방식(오일러-매클로린 급수 활용)으로 발산급수에 값을 할당하는 '라마누잔 합'을 고안했고 자연수의 무한 급수=−1/12라는 결과를 얻었습니다.

이후 리만 제타 함수가 더 포괄적이고 엄밀한 수학적 토대를 제공했지만, 이 놀라운 통찰력 덕분에 이 결과는 종종 '라마누잔 합'이라고 불리기도 합니다.

6. 결론

\begin{align}
1+2+3+4+5+6+\cdots = & -\frac{1}{12}
\end{align}

이 식은 '사과를 세는' 덧셈의 세계에서는 거짓이지만, '양자 세계의 파동 에너지를 재는' 확장된 수학의 세계에서는 참입니다. 그리고 그 참은 실제 물리 현상으로 증명됩니다.

위에서도 얼핏 언급되었지만, '허수'는 곱해서 -1이 되는 수입니다. 이 '허수'또한 현실에서는 존재할 수가 없죠.

사과 i개, 이런게 성립하나요?

그러나 일단 받아들이는 순간 그 활용도는 무궁무진해집니다. 수학적인 부분(관련 포스팅: 사원수(Quaternion)란? ~허수에서 출발하는 차원확장~)에서 뿐만 아니라, 현재 전기-교류, 더 넘어서 스마트폰의 전파를 설명하는데 아주 필수적이죠.

끝까지 오시면서도, 위의 허수 예시를 들으시면서도 와닿지 않을 걸 압니다. 애초에 거의 새로운 개념인 허수와는 다르게 우리가 거의 '산수'의 시작과 함께 한 '자연수'와 '덧셈'에서 파생되는 아주 충격적인 결과니까요.

그럼 이렇게 생각해보는 건 어떨까요?

아주 작은 양자 세계로 가면, 세상은 사과 같은 알갱이가 아니라 끝없이 출렁이는 '파동'으로 가득 차 있습니다.

여기서의 질문은 '몇 개냐?'가 아니라 '이 무한한 출렁임 전체가 가지는 대표적인 힘(에너지)이 얼마냐?'는 거죠.

이 질문에 답하려면 사과를 세던 자(ruler)가 아니라, 파동 에너지를 재는 특수한 측정 장비가 필요하겠죠?

바로 그 장비의 이름이 '제타 함수'인 거구요.

그리고 이 특수 장비로 1+2+3...처럼 무한히 뻗어나가는 에너지의 총량을 측정했더니, 그 계기판에 $-\frac{1}{12}이라는 값이 딱 찍힌 겁니다.

어떻게 조금은 와 닿으셨나요? 안 와 닿으셨나요?

괜찮습니다. 뭐 양자역학이란게 그런거니까요

정말, 기존의 상식을 파괴하는 기묘한 세상에서 고생하셨습니다.

아, 재밌는거 하나 알려드릴까요?

$ \zeta(0) $도 값이 있는 걸 알고계셨나요?

그냥 풀어쓰면 $ 1 + 1 + 1 + \cdots $라서 무한대로 발산이지만, 과연 제타함수에서는 어떻게 값이 나올까요!?

참고로 위에서 '더보기'를 누르셨던 용감하신 분도 이 해석적 확장 만으로는 구하실 수 없을 겁니다.(애초에 $ \zeta(1) $은 절대로 정의되지 않거든요)

직접 구해보시는 것도 즐거울 겁니다!

감마함수(Gamma function)란 무엇인가? ~ 오일러, 또 당신이에요? ~

미렌스 — Sun, 17 Aug 2025 15:17:16 +0900

감마함수(Gamma function)란 무엇인가? ~ 오일러, 또 당신이에요? ~

0. 서론

이 블로그의 이전 포스팅들에서 아주 심심치 않게 등장하던 특수함수(special function)가 있습니다.

바로 감마함수(gamma function)인데요.

사실 그동안 감마함수가 무엇인지 정확히 모르고 일단 하나의 도구로 썼었는데, 오늘은 이게 무엇인지 낱낱이 밝혀보도록 하겠습니다.

1. 감마함수의 정의

$ \Gamma(n+1) = n! = \int_0^\infty t^{n}e^{-t} dt $

로 정의되는 감마함수는 한마디로 말해서 팩토리얼 함수입니다.(정확히는 '정수에서의 팩토리얼과 일치하며, 이를 실수와 복소수 영역까지 확장한 특수함수 즉, 팩토리얼을 일반화한 함수'라는게 맞겠지요)

그런데 이미 팩토리얼을 정의하는 다른 방법들($ \Pi $라던가 !라던가..)이 있는데도, 왜 이런 특수함수가 필요하냐 하면..

!로 정의되는 팩토리얼 연산은 정수에서만 정의가 되어있고, $ \Pi $로 쓰는 형태는 조작이 쉽지 않아서 랍니다.

더 자세한 내용을 따라가 볼까요?

2. 팩토리얼 확장의 시작: 오일러의 탐구

1729년, 수학계의 오랜 질문 중 하나는 정수 n에 대해서만 정의되던 팩토리얼(n!)을 어떻게 실수와 복소수 영역까지 연속적(analytic)으로 확장할 수 있을까 하는 문제였습니다. 다니엘 베르누이(Daniel Bernoulli), 크리스티안 골드바흐와(Christian Goldbach) 같은 당대의 수학자들이 이 주제를 놓고 활발히 서신을 주고받았죠.

이 문제에 뛰어든 레온하르트 오일러는 먼저 팩토리얼을 다른 방식으로 표현하는 것에서 출발했습니다. 그는 1729년 골드바흐에게 보낸 편지에서 다음과 같은 무한 곱 형태를 제안하며 팩토리얼을 일반화할 실마리를 찾았습니다.

$ n! = \lim \limits _{m \rightarrow \infty} \frac{(m+1)^n m!}{(n+1)(n+2) \cdots (n+m)} $

하지만 무한 곱은 다루기 까다로웠고, 오일러는 더 우아하고 실용적인 형태를 찾고자 했습니다.

여기서 그는 새로운 함수 $ f(x) $가 만족해야 할 세 가지 핵심 조건을 설정했습니다.

초기값과 재귀성질: f(1)=1, f(x+1)=xf(x)
정수 팩토리얼 값과 일치: f(n) = n!
해석적 성질: 함수가 연속적이고 미분 가능하며, 적분 등으로 표현 가능해야 한다.

그리고 이제 이 함수를 찾기 위한 여정을 떠납니다.

3. 영감의 원천: 오일러의 제1종 적분(베타 함수)

오일러는 이 문제를 고민하기 전, 훗날 베타 함수(Beta function)라 불리는 '오일러의 제1종 적분(Euler's integral of the first kind)'을 연구한 경험이 있었습니다.

베타 함수는 이항 계수를 실수 범위로 일반화한 것으로, 다음과 같이 정의됩니다.

$ B (x, y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt $

그리고 이 함수를 부분적분하면

$ B(x, y) = \frac{y-1}{x} B(x+1, y-1) $라는 재귀 관계가 나타납니다.

위에서 정한 조건 중 가장 핵심인 '재귀성질'을 찾아낸 것입니다.

또한 이 구조는 오일러에게 결정적인 영감을 주었습니다.

두 함수의 곱을 적분하는 과정(특히 부분적분)이 재귀적인 성질을 만들어낼 수 있다.
재귀 관계를 단순하게 만들기 위해 변수는 한가지로 통일
한 함수는 미분/적분해도 형태가 유지되는 지수 함수($ e^t $) 꼴을 가져야 한다.
다른 함수는 재귀적 성질을 반영해야하므로 미적분시 차수가 변하는 $ t^n $ 꼴을 가져야 한다.

4. 감마 함수의 탄생: 오일러의 제2종 적분(Euler's integral of the second kind)

이러한 통찰을 바탕으로 오일러는 1730년 1월 8일, 마침내 팩토리얼을 일반화하는(즉, 위의 세가지 조건을 모두 만족하는) 아름다운 적분 형식을 찾아냈습니다.

이는 '오일러의 제2종 적분(Euler's integral of the second kind)'이라 불리며, 훗날 감마 함수라고 불리게 됩니다.
(이 결과는 나중에 논문(De progressionibus transcendentibus, E19 등)에 정리되어 발표됩니다.)

$ n! = \int_0^\infty t^{n}e^{-t} dt $

여기서 몇 가지 요소는 오일러의 영감과 함께 치밀한 수학적 계산의 결과입니다.

1) 왜 $ e^t $가 아닌 $ e^{−t} $인가?

이는 '균형' 때문입니다.

부분적분
$ \int u dv = uv - \int v du $
을 하면 원시함수의 곱이 나오게 되는데 이 항을 경계항(Boundary term)이라고 합니다.
적분구간의 아래끝과 위끝의 값으로 최종 적분값이 결정되기 때문이죠.

그리고 여기서 재귀 관계가 깔끔하게 나오려면 경계항(boundary term)이 0이 되어 사라져야 합니다.

$t^n$은 $ t \rightarrow \infty $ 일 때 발산하므로, 이 값을 0으로 수렴시키기 위해 더 강력하게 감소하는 함수인 $ e^{−t} $가 곱해져야만 했습니다.

2) 왜 적분 구간이 0부터 $ \infty $인가?

만약 임의의 유한구간 T를 상한으로 놓고 유한한 구간에서 적분하면 경계항이 0이 되지 않아 재귀 관계가 복잡해집니다.
따라서 적분 구간을 0부터 $ \infty $까지로 설정함으로써, 경계항은 구간의 양 끝점(t=0, t→∞)에서 모두 0이 되어 깔끔하게 사라지고 원하는 재귀 관계만 남게 됩니다.

5. 감마함수: 이름의 유래와 정의

시간이 흘러 1809년, 프랑스 수학자 아드리앵마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre)가 이 함수에 감마 함수(Gamma function)라는 이름을 붙이고 대문자 감마(Γ) 기호를 도입했습니다.

그런데 왜 하필 '감마'를 도입했을까요?
여러가지 설이 있습니다만.. 안타깝게도 정확하게 명시된 내용은 없답니다.
그래도 흥미돋는 썰들을 살펴보자면

당시 특수 함수에 그리스 문자를 붙이는 유행이 있었다
이 오일러의 제2종 적분이 팩토리얼을 일반화(Generalization)시켰다는 뜻에서 G의 Gamma를 선택했다.
대문자 감마(Γ) 기호가 '계단'이나 '각(angle)'의 형태를 띠고 있어, 팩토리얼의 이산적인(discrete) 성질과 연속적인 확장을 연결하는 시각적 상징으로 선택했을 수도 있다

정도가 가장 대표적이라고 볼 수 있겠습니다.

또한 르장드르는 감마 함수를 다음과 같이 정의했는데, 이로 인해 한 가지 독특한 관습이 생겼습니다.

$ \Gamma(n) = \int_0^\infty e^{-x}x^{n-1} = (n-1)! $

왜 $\Gamma(n)$이 $n!$이 아닌 $(n-1)!$이 되도록 정의했는지에 대한 명확한 이유는 없습니다.
그냥 르장드르가 제일 처음에 이렇게 정의를 해서 썼고, 이 최초 정의가 그대로 학계의 관습으로 굳어져 내려온다고 알려져 있습니다.

그러나 이렇게 내린 정의 덕분에 베타 함수와의 관계식($ B(x, y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$) 등 다른 여러 공식이 더 깔끔한 형태로 표현되니, '그냥'이라기 보다는 꽤나 많은 고민 끝에 내린 결론 같죠?

참고로, 베타함수라는 이름은 1839년 자크 비네(Jacques P. M. Binet)가 명명합니다.
명명의 이유는 정확히 알려져 있지 않지만, 감마함수가 제2종 적분이니 제1종 적분은 베타함수라고 그리스알파벳 순서에 따라 명명하지 않았나 추측합니다.

6. 마무리

수학사에서 뭔가 괴짜같다(=대단하다) 싶은 결과는 오일러, 가우스, 라그랑주 세 명 중 한 명을 찍으면 대충 맞습니다.
오일러는
오일러 방정식을 통해 복소평면에서 지수함수와 삼각함수와의 관계를 정립한 것처럼
오일러의 적분을 통해 이산적인 연산을 연속적인 연산으로 확장해냅니다.(이항 계수가 그러하며, 팩토리얼이 그러하죠)

Golden: Huntr/x(헌트릭스) 말고 Ratio(비)

미렌스 — Tue, 12 Aug 2025 15:53:03 +0900

Golden: Huntr/x(헌트릭스) 말고 Ratio(비)

0. 서론

아 예 요새 케이팝 데몬 헌터스가 아주 핫합니다.

거기서 나오는 OST들도 이제 공중파에서도 쓰일만큼 엄청 유명해졌구요~

저는 그 중에서도 Golden이라는 노래를 제일 좋아합니다.

그래서 오늘 주제도 바로 Golden ratio, 즉 황금비를 가져와 봤는데요!

일단 황금비가 무엇인지 간단하게 알아보고, 어디어디서 찾을 수 있는지 살펴봅시다!

1. 황금비란?

선분을 두 부분으로 나눌 때 “전체:긴쪽 = 긴쪽:짧은쪽”이 되도록 나누는 비가 바로 황금비 입니다.

사람이 가장 아름답다고 생각하는 비율이기도 하죠.

황금비는 실제로 $ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.618 \cdots $의 값을 가진답니다.

2. 황금비가 숨어있는 곳

고대 그리스의 파르테논 신전을 정면에서 봤을 때, 가로 길이와 높이가 황금비로 구성되어있었다고하며 그외 다양한 건축/미술 영역에서 활용되고 있죠.

또한, 이것을 각의 비율로 보게된다면, 전체 360도를 황금비로 나눈 값은 약 222.5도입니다. 그리고 여기서 그 나머지각(360-222.5)인 137.5도를 '황금각(golden angle)'이라고 하며, 자연계에서 식물의 잎이 순차적으로 나는 각도로도 알려져있죠.

그리고 수열에서도 찾아볼 수 있는데요, 바로 피보나치 수열의 비율의 극한이 황금비로 수렴한답니다!

더욱 자세한건 이전 포스팅 >>피보나치 수열의 일반항과 비율의 극한(황금비)<<에 더욱 잘 정리되어 있답니다!

3. 더욱 재밌는 사실

정오각형을 그려볼까요?

여기서 대각선을 전부 그려봅시다

자, 오각형의 한 내각은 몇 도였죠? $ \frac{180(n-2)}{n} $이니까 108도네요!

빨간 삼각형을 보면, 최 상단은 내각을 3등분하니까, 108/3 해서 36도임을 알 수 있습니다.

그럼, 여기서 하늘색 선과, 노란색선의 비율을 한번 알아 볼까요?

아주 흥미롭게도 이전 포스팅 >>삼각함수의 일반각(18도, 36도) 구하기<<을 보시다보면 cos 36도가 바로 황금비의 절반이라는 사실을 눈치채셨나요!?

일단 노란색 선을 1이라고 가정하고, 파란색 선의 길이를 구하려면 가장 쉬운 방법은 코사인 제2법칙 일 겁니다.(현재 cos 36도의 값을 알고 있기 때문이죠)

파란색 선을 알고 싶은 길이이므로 x로 놓습니다. 그리고 파란색과 빨간색 선은 이등변 삼각형의 양 변이므로 길이가 같습니다.

따라서 식을 써보면

\begin{align}

1^2 = & x^2+x^2-2 \cdot x \cdot x \cdot \cos 36^\circ\\

1 = & 2x^2-2x^2 \cos 36^\circ \\

1 = & 2x^2 (1 - \cos 36^\circ) \\

1 = & 2x^2 \left(1 - \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right) \quad \leftarrow \cos 36^\circ = \frac{1+\sqrt{5}}{4} \\

1 = & 2x^2 \frac{3-\sqrt{5}}{4} \\

1 = & x^2 \frac{3-\sqrt{5}}{2} \\

\frac{2}{3-\sqrt{5}} = & x^2 \\

x^2 = & \frac{2}{3-\sqrt{5}} \\

x^2 = & \frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5} \\

x^2 = & \frac{6+2\sqrt{5}}{4} \\

x = & \sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{4}}

\end{align}

이렇게 x값을 구할 수 있습니다.

그런데 이중근호가 보이니 너무 좀 그렇죠? 이중근호를 제거해줍시다.

이중근호 공식 $ \sqrt{a+b \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} $에 따라 x를 정리해주면

\begin{align}

x = & \sqrt{\frac{1+5+2\sqrt{5}}{4}} \\

x = & \frac{\sqrt{1+5+2\sqrt{5}}}{\sqrt{4}} \\

x = & \frac{\sqrt{1} + \sqrt{5}}{2} \\

x = & \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

\end{align}

따라서 변의 길이를 1이라고 가정하면, 대각선의 길이가 $ \frac{1+\sqrt{5}}{2} $가 됨을 알 수 있습니다!

또한 더욱 재밌는 사실은 이 오각형 내부의 삼각형들은 전부 이등변 삼각형이므로, 두변과 밑변의 비가 모두 황금비를 가지게 된답니다!

훨씬 간단하게도 알아볼 수 있습니다.

정오각형의 한 변(빨간선)을 1로 놓는다면 하늘색선(x)과 자주색선(y)의 합은 정오각형의 한 변과 같을 겁니다(이등변 삼각형의 성질)

다시쓰면 $ x + y = 1 $이군요.

아까 황금비의 정의는 "황금비 = 전체:긴쪽 = 긴쪽:짧은쪽"이었으므로

$ 1 : x = x : y $

다시쓰면

$ \frac{1}{x} = \frac{x}{y}$

정리하면

$ y = x^2 $

아까 y는 1 - x 였으므로

$ 1-x = x^2 $

양변 $ x^2 $으로 나누어 정리하면

$ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} = 1 $

$ \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x} + 1 $

여기서 $ \frac{1}{x}$를 t로 치치환하면

$ t^2 = t + 1 $

$ t^2 - t - 1 = 0 $

근의 공식으로 정리하면

$ t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} $

현재 우리는 '비율'을 보고 있으므로 음수는 제외하면

$ t = \frac{1}{x} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $

로 정리가 되고, 바로 이것이 황금비 임을 알 수 있죠!

또한, 황금비의 제곱은 황금비 +1이라는 사실도 더불어 알 수 있습니다.

프톨레마이오스 정리(Ptolemy's theorem)으로 보면

원에 내접하는 사각형($ \square ABCD $)은 항상 식 $ \overline{AC} \cdot \overline{BD} = \overline{AB} \cdot \overline{CD} + \overline{AD} \cdot \overline{BC} $을 만족합니다.

따라서 오각형(ABCDE)에서 사다리꼴($ \square ABDE $)을 보면

$ \overline{AD} \cdot \overline{BE} = \overline{AB} \cdot \overline{DE} + \overline{AE} \cdot \overline{BD} $

이고, 여기서 변의 길이를 s, 대각선의 길이를 d라고하면

$ d^2 = s^2 + s \cdot d $

가 되겠죠?

양변을 $ s^2 $으로 나누고, 아까처럼 "황금비 = 전체:긴쪽 = 긴쪽:짧은쪽"으로 봐서 긴쪽을 d, 짧은쪽을 s로하여 $ \frac{d}{s} $를 황금비($ \phi $)로보면

위와 같은 $ \phi^2 = \phi +1 $꼴이 나오면서 황금비가 증명된답니다.

괜히 르네상스시절에 다빈치가 오각형과 그 오망성에 심취했던게 아니죠!

4. 마무리

사실 황금비의 전반적 개괄을 작성하는 듯 했으나, cos 36도가 황금비의 절반이라는 점에서 시작된 포스팅이었습니다.

뭔가 고급? 공식들이 이리저리 엮이는게 너무 흥미롭지 않나요!?

제곱근의 값은 어떻게 구할까?[개평법, 바빌로니아법, 뉴턴-랩슨법]

미렌스 — Sun, 10 Aug 2025 23:43:28 +0900

제곱근의 값은 어떻게 구할까?[개평법, 바빌로니아법, 뉴턴-랩슨법]

0. 서론

제곱근도 숫자인가요?

네, 숫자이죠!

그렇다면 분수를 소수점으로 나타낼 수 있듯이, 제곱근(=무리수)도 소수점으로 표현할 수 있겠죠?

참고로 무리수는 순환하지 않는 무한소수로 알려져있습니다.

자, 그럼 우리가 흔히 알고 있는,

$ \sqrt{2} = 1.414 \cdots $
$ \sqrt{3} = 1.732 \cdots $
$ \sqrt{5} = 2.236 \cdots $

이런 값들은 어떻게 구하는 걸까요?

자, 오늘은 이 제곱근의 값을 직접 구하는 방법을 알아보겠습니다!

1. 제곱 범위로 찾기

제일 쉬운 방법이죠. 가령 $ \sqrt{2} $ 는 제곱하면 2이고, 이 수는 1보다는 크고 4보다는 작으니 다시 제곱근을 취하면 1보다는 크고 2보다는 작은 수 일 겁니다.

$ 1 < \sqrt{2} < 2 $

소수점 이하로 확장해볼까요?

1.1의 제곱은 1.21, 1.5의 제곱은 2.25이므로

$ 1.21 < 2 < 2.25 \rightarrow 1.1 < \sqrt{2} < 1.5 $

따라서 $ \sqrt{2} $는 1.1과 1.5 사이의 수가 되겠네요.. 이런 방식으로 점점 범위를 좁혀나가는 겁니다.

그러면 소수점 이하 자리수를 늘릴수록 더 정확한 근사값을 얻을 수 있겠죠?

장점은 정말 매우매우매우 직관적입니다. 교과서에서도 무리수의 값을 찾는 방법으로 바로 소개가 되죠.

더불어 제곱근의 확장이 용이합니다. 즉, 세제곱, 네제곱... 거듭해서 제곱을 해도 그에 해당하는 거듭제곱 값을 범위로 설정하면 되기 때문이죠.

그러나 단점은.. try&error방식으로 진행되다보니

범위를 적극적으로 좁히면 error 즉 제곱근 값의 범위를 넘어갈 수 있는 가능성이 높아지고
범위를 소극적으로 좁히면 try 즉 제곱근의 정확한 값으로의 수렴이 느려집니다.

2. 개평방법(開平方法) 혹은 개평법(開平法)

딱 봐도 한자가 출동한 게 보이시죠?

동아시아의 전통 학문인 산학(算學)에서 발전한 방법입니다.

동아시아에서는 어떤 수의 제곱을 '평방(平方)'이라고 하였고, 이 제곱을 풀어낸다(=제곱근)는 뜻에서 '열 개'자를 써서 개평방(開平方) 혹은 줄여서 개평(開平)이라고 불렀습니다.

그 유명한 중국의 산학책 '구장산술'에 실렸던 방법입니다.

방법은 간단합니다. 나눗셈과 비슷해요. 다만 근호 왼쪽의 수가 계속 변화하는 나눗셈이지요.

\begin{align}
& ㅤㅤ\! \textcolor{red}{1}.\,\textcolor{blue}{4} \ \textcolor{orange}{1} \ \textcolor{green}{4} \ \cdots
\\
\textcolor{red}{1} ㅤㅤ & \ \, \sqrt{2ㅤㅤㅤㅤ\ }
\\
\underline{+\textcolor{red}{1} ㅤㅤ\! } & \underline{\ -\textcolor{red}{1}ㅤㅤㅤㅤ\ } ㅤ(1 = 1 \times 1)
\\
2 \textcolor{blue}{4} ㅤ\ & ㅤㅤ\! 1 \, 00
\\
\underline{+ \ \ \ \textcolor{blue}{4} \, ㅤ} & \underline{ㅤ\ -\textcolor{blue}{96}ㅤㅤ\ \ \ }ㅤ(96=24\times4) \\ 28 \textcolor{orange}{1} \ \ & ㅤㅤㅤ4 \, 00
\\
\underline{+ \ ㅤ\ \textcolor{orange}{1} \ \, } & \underline{ㅤ　\! -\textcolor{orange}{2\, 81}ㅤ\ \ }ㅤ(281=281\times1)
\\ 　282 \textcolor{green}{4} & ㅤㅤㅤ\,119 \, 00
\\
\underline{+ㅤㅤ\textcolor{green}{4}\!} & \underline{ㅤ　-\textcolor{green}{112 \, 96}\ } \,ㅤ(11296=2824\times4)
\\
2828 &ㅤㅤㅤㅤ\ 6\,04
\\
& ㅤ\ \ \, \vdots
\end{align}

1) 자, 여기서 보면 나눗셈처럼 시작을 합니다.

2를 제곱하여 나눌 수 있는 가장 큰 수를 선택을 합니다. 여기서는 $ \textcolor{red}{1} $이네요.

그럼 이 $ \textcolor{red}{1} $을 제곱근호 왼쪽과 위에 하나씩 써 줍니다.

자, 여기서부터 근호기준 왼쪽연산과 오른쪽 연산이 분리됩니다.

오른쪽 연산은 완전한 나누기 연산입니다. 다만 자릿수를 내릴 때 나눗셈은 0 하나만 내리지만, 개평방에서는 00으로 0을 두개 내리지요.

왼쪽 연산은 이전에 선택한 수를 더해서 내리고 새로운 자리를 추가하는 연산입니다.

오른쪽 연산: 나눗셈처럼 근호 왼쪽에 있는 수를 근호 위쪽에 있는 수와 곱하여 그 곱한 값을 근호 내에 있는 값과 빼주고, 나머지를 내립니다.(나머지: 2 - 1 = 1)

왼쪽 연산: 현재 선택한 수(1)를 더해주고, 그 수를 아래로 내려줍니다.(1 + 1 = 2 $)

오른쪽 연산: 나머지에 00을 내립니다.(100)

왼쪽 연산: 내린 수의 끝자리에 수를 하나 더 추가합니다.(십의자리 2, 일의자리 ?)

오른쪽 연산: 왼쪽에서 이 2? 와 ?를 곱해서 현재 "나머지+00"인 수보다 크지 않은 수를 찾습니다.
여기서는 24*4 = 96이므로 4가 우리가 찾던 ?입니다. 100에서 96을 뺀 4를 아래로 내려줍시다.
근호 위에도 써줍시다. 원래 근호 안에 있던 수의 자릿수보다 더 나누게 되니 소수점도 추가해줍시다.

왼쪽 연산: 위에서와 마찬가지로 24와 4를 더하고 아래로 내려줍니다.

5) 이후 계속 반복계산합니다.

글로보면 어렵지만, 이미지로 보면 정말 쉽습니다.

장점은

처음 방법을 터득할때까지가 어색할 뿐이지 한번 터득하고 나면 계속 완전 같은 방식으로 연산을 반복하므로 직관적이고 쉽습니다.
개평방법으로 구한 각 자릿수는 절대 변동의 여지없이 정확한 숫자를 나타냅니다.(이후 다른 방법들을 이용하여 제곱근을 구하게되면 소수점 자리들이 출렁출렁하면서 바뀝니다)
나눗셈과 같이 한자리 한자리 구해나가는 것이므로, 완전제곱수의 경우 유한한 단계에서 명확하게 끝이 납니다.

단점은

계산이 갈수록 엄청 번거로워지고(자릿수가 하나씩 늘어나는 곱셈 및 뺄셈 연산)
이에따라 자릿수를 하나하나 늘려가는데 시간이 갈수록 오래 걸린다는 점이 있습니다.

3. 바빌로니아식 제곱근 근사법(Babylonian method)

3-1. 유래

제곱근을 계산하는 다른 방법으로는 바빌로니아 방법 혹은 바빌로니아 알고리즘이라는 방법이 있습니다.

왜 바빌로니아식 제곱근 근사법이냐 하면...

고대 바빌로니아(기원전 1800년경)의 점토판 유물에서 발견된 수학 문서에 제곱근 근사값을 계산하는 방식이 등장합니다.

Plimpton 322 (기원전 1800년경 수메르/바빌로니아 지역의 점토판): 고대 바빌로니아 수학자들이 작성한 것으로 보이는 피타고라스 삼수표(Table of Pythagorean triples)로 해석되는 표(직각삼각형 계산과 연루)가 작성된 점토판. 정확한 용도에 대해서는 논란이 있으나, 제곱근 근사와 관련된 고대의 계산 문화와 맥락이 담겨있다고 볼 수 있다.
YBC 7289 점토판: $ \sqrt{2} \approx 1.414213 $의 고정밀 근사값이 기록되어 있음 (실제값과 소수점 여섯째 자리까지 일치)

그래서 현대의 수학자들이 이 방법을 '바빌로니아식'이라고 명명하였습니다.

이후 고대 그리스 수학자 헤론(Heron of Alexandria)이 동일한 공식을 사용했어서 '헤론의 방법'이라고도 부르나, 보통은 바빌로니아 기록이 더 이르기 때문에 '바빌로니아식 제곱근 근사법'이라고 부릅니다.

3-2. 의미

위에서 봤던 개평법과는 다르게, 바빌로니아식 제곱근 근사법은 "반복 근사법"입니다.

즉, 계속해서 같은 공식에 이전에 나왔던 값을 '반복 대입'하며 근사값을 찾아가는 방법이죠.(점화식과 같습니다)

"반복 근사하면 오래걸리지 않아?"라고 하실지 모르겠습니다만, 일단 수렴속도가 어마어마하게 빨라서 해당 제곱근 수 근처의 수를 고르면 다섯번 이내로 최소 소수점이하 두세자리까지는 완벽하게 알 수 있습니다.(첫 값을 잘 고르면 네 번 만에 여덟자리까지 수렴하기도 합니다)

3-3. 수식

$ x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{S}{x_n}\right) $

수식은 이와같이 생겼습니다. 즉, $ x_n $을 넣고 계산을 하면 $ x_{n+1} $값이 나오고, 이 값을 다시 넣어서 계산하면서 반복해서 근사해나가는 방식이죠.

이때 $ x_0 > 0 $에서 시작하면 이 수열의 극한값이 $ \sqrt{S} $라는 것이 바빌로니아식 제곱근 근사법입니다.

왜 $ x_0 > 0 $이 조건이 필요하냐면... 0이면 아예 계산이 안되고, 음수면 $ -\sqrt{S} $로 수렴해서 그렇습니다.

3-4. 수렴하는 이유

직관적으로 보면

어떤 수 $ x $가 $ \sqrt{S} $보다 작으면 $ \frac{S}{x} $는 커지고, 반대로 $ x $가 크면 $ \frac{S}{x} $는 작아집니다.
그러므로 둘의 평균을 취하면 더 정확한 근사치에 다가갈 수 있죠!

수학적으로 보면

[수식의 나열입니다. 아래 더보기를 눌러보시고, 어려우시면 건너뛰시죠!]

현재 수식 $ x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{S}{x_n}\right) $의 우항은 '산술평균'이라고 볼 수 있습니다.

따라서 기하평균을 구해보면 $ \sqrt{x_n \cdot \frac{S}{x_n}} = \sqrt{S} $가 되죠.

산술기하평균 부등식으로 살펴보면 따라서

$ \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{S}{x_n}\right) \ge \sqrt{S} $

즉, 처음 잡아주는 $ x_0 $를 제외하고는 이후에 계산되어 나오는 모든 수가 $ \sqrt{S} $보다 큰 값이란 걸 알 수 있습니다.(즉, $ \sqrt{S} $보다 큰 수에서부터 수렴한다는 뜻이기도 하죠)

따라서, 항상 $ x_n \ge \sqrt{S} \Leftrightarrow (x_n)^2 \ge S, \ (n \ge 1) $ 임을 알 수 있습니다.

그렇다면 $ \frac{S}{x_n} $은 $ \sqrt{S} $에 비해 어떨까요? 클까요 작을까요?

일단 부등호 방향을 모르니 ? 라고 두고 풀어보죠

\begin{align}

\frac{S}{x_n} \ & ? \ \sqrt{S} \\

\frac{S^2}{(x_n)^2} \ & ? \ S \\

\frac{S}{(x_n)^2} \ & ? \ 1

\end{align}

자 여기서 아까, $ (x_n)^2 \ge S $였으므로, $ \frac{S}{(x_n)^2} $는 무조건 1보다 작아지겠군요. 따라서 $ ? $는 $ \le $가 됩니다.

$ \frac{S}{(x_n)^2} \le 1 $이 되며, 따라서 제일 처음에 썼던 식도 부등호방향이 정해집니다. $ \frac{S}{x_n} \le \sqrt{S} $

즉, $ \frac{S}{x_n} $은 $ \sqrt{S} $에 비해 항상 작다고 볼 수 있습니다.

따라서 $ x_n \ge \sqrt{S} $이고, $ \frac{S}{x_n} \le \sqrt{S} $이니, 두 값이 서로 반대방향으로 움직이며 평균치를 조정한다는 걸 알 수 있습니다.

그러나 여기서 또 문제가 발생하죠. '왜 수렴하는가'입니다.

아닌말로 두 값이 서로 반대방향으로 움직여도 서로 완전히 같은 값을 가지고 움직이면, 혹은 둘중에 한값이 더 크게 움직이면 아무리 평균을 해봤자 절대 수렴하지 못하죠! (일정 이거나 발산 이거나..)

수렴하는 방법은 단 하나입니다. 근사값 $ x_n $과 $ \frac{S}{x_n} $의 평균이 점점 $\sqrt{S}$에 가까워지는, 즉 다시말해 두 수의 오차가 줄어드는 방법밖에 없죠.

그러면 왜 수렴하는지 한번 살펴볼까요? 여기까지 따라오셨으면 이거는 쉽습니다.

자, 이제 어떤 근사값 $ x_n $ 혹은 $ \frac{S}{x_n} $와 $ \sqrt{S} $의 '차이' 혹은 '오차'만 보겠습니다.(양인지 음인지 중요하지 않고 그 값만 보겠다는 말입니다. 즉 값에 절대값 씌워서 보겠습니다.)

$ | \sqrt{S} - \frac{S}{x_n} | $

그럼 바로 이 부분이 실제 참값 $ \sqrt{S} $와 근사값 $ \frac{S}{x_n} $의 차이일 겁니다.

자, 여기서 $ | x_n - \frac{S}{x_n} | $보다 $ | \sqrt{S} - \frac{S}{x_n} | $이 작으면 수렴하겠군요.

식변형 해보죠

$ | \sqrt{S} - \frac{S}{x_n} | = | \frac{\sqrt{S}}{x_n}(x_n - \sqrt{S}) | $

어? 잘 보면 우항에서 $ | x_n - \sqrt{S} | $부분이 나왔습니다. 그런데 앞에 $ \frac{\sqrt{S}}{x_n} $가 곱해져있군요!

위에서 $ \frac{S}{(x_n)^2} \le 1 $이었고, $ \frac{\sqrt{S}}{x_n} \le 1 $이므로

$ | \frac{\sqrt{S}}{x_n}(x_n - \sqrt{S}) | $는 항상

$ | \frac{\sqrt{S}}{x_n}(x_n - \sqrt{S}) | \le | x_n - \sqrt{S} | $ 가 되겠네요!

따라서 $ | \sqrt{S} - \frac{S}{x_n} | \le | x_n - \sqrt{S} | $이고,

결과적으로 $ \sqrt{S} $를 기준으로 하방으로 $\frac{S}{x_n}$ 오차는 더 작아지되 상방으로 $x_n$오차 와 반대방향 값을 가지므로 이 둘을 평균하면 점점 더 값이 작아지게 됩니다.

실제 수식으로 풀어보면 다음과 같습니다.

현재까지 밝혀진 사실로, $ n \ge 1 $일 때,

$ \frac{S}{x_n} \le \sqrt{S} \le x_n $ 입니다.($ x_n $이 항상 $\sqrt{S}$보다 크거나 같은건 산술기하평균으로, $ \frac{S}{x_n} \le \sqrt{S} $는 식변형으로 증명했죠)

그리고 위에서 오차의 크기도 증명했죠.(여기서는 n이 1이상일때 식 순서에 따르면 부호는 양수로 자명하니 절댓값 부호 빼고 진행하겠습니다.)

$ \sqrt{S} - \frac{S}{x_n} \le x_n - \sqrt{S} $

이와 같습니다.

$ \frac{S}{x_n} \le \sqrt{S} $를 정리하면

$ 0 \le \sqrt{S} - \frac{S}{x_n} $

이므로

결국

$ 0 \le \sqrt{S} - \frac{S}{x_n} \le x_n - \sqrt{S} $

입니다.

여기서 $ x_n - \sqrt{S} $를 a, $ \sqrt{S} - \frac{S}{x_n} $를 b라고 한다면

$ 0 \le b \le a $

라고 할 수 있겠죠?

여기서 처음 점화식은

\begin{align}

x_{n+1} & = \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{S}{x_n}\right)

\end{align}

여기서 좌우변 모두 $ \sqrt{S} $를 빼줘서 기준값 기준 오차로 살펴보도록하죠

\begin{align}

x_{n+1} -\sqrt{S} & = \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{S}{x_n}\right) -\sqrt{S}\\

& = \frac{(x_n-\sqrt{S})-(\sqrt{S}-\frac{S}{x_n})}{2}\\

& = \frac{a-b}{2}

\end{align}

자, 여기서 $ 0 \le b \le a $이므로

$ b \le a $를 정리하면, $ 0 \le a-b $죠.

또한, $ b \ge 0 $이면, $ a - b $는 무조건 $ a $보다 작아질 것이므로, $ a - b \le a $입니다.

따라서 다시 정리하면, $ 0 \le a-b \le a $가 됩니다.

여기서 다시 2로 나누면, $ 0 \le \frac{a-b}{2} \le \frac{a}{2} $로 정리가 됩니다.

다시 a, b 대입하여 정리하면

\begin{align}

0 \le \frac{x_n - \sqrt{S} - (\sqrt{S} - \frac{S}{x_n})}{2} & \le \frac{x_n - \sqrt{S}}{2} \\

0 \le \frac{x_n + \frac{S}{x_n} - 2\sqrt{S}}{2} & \le \frac{1}{2}(x_n - \sqrt{S}) \\

0 \le \frac{x_n + \frac{S}{x_n}}{2} - \sqrt{S} & \le \frac{1}{2}(x_n - \sqrt{S}) \\

0 \le x_{n+1} - \sqrt{S} & \le \frac{1}{2}(x_n - \sqrt{S})

\end{align}

여기까지 정리하면, 끝났습니다. 이 식에서 바로 두 가지가 동시에 드러납니다.

단조 감소: $ n \ge 1 $에서는 현재값은 항상 참값(제곱근) 이상이고, 역보정값 $ \frac{S}{x_n} $은 항상 그 이하입니다. 그러므로 두 값의 평균인 다음 값은 항상 현재값 이하입니다.
오차 축소: 다음 오차는 ‘큰 쪽 오차에서 작은 쪽 오차를 뺀 뒤 절반으로 나눈 값’이므로, 항상 이전 오차의 절반 이하입니다.

참고로 점화식을 조금 다르게 변형하면

$ x_{n+1}-\sqrt{S} = \frac{(x_n-\sqrt{S})^2}{2x_n} $

으로 변형이 되고, 여기서 $ x_n \ge \sqrt{S} $이므로

$ 0 \le x_{n+1}-\sqrt{S} \le \frac{(x_n-\sqrt{S})^2}{2\sqrt{S}} $

로 정리가 됩니다. 따라서, 실제 오차 축소는 “절반”보다 더 강한 이차적 감소(quadratic convergence)입니다.

3-5. 뉴턴-랩슨법(Newton-Raphson Method)의 특수한 형태

사실상 현재 어떤 함수에 대해 어떤 지점에서의 근삿값을 알고 싶다고 하면, 가장 빠르고 효율적인 알고리즘이 바로 뉴턴-랩슨법입니다.

그리고 사실 이 바빌로니아식 제곱근 풀이법은 뉴턴-랩슨법의 아주 특수한 형태라고 볼 수 있습니다.

뉴턴 랩슨법은 다음과 같습니다.

$ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $

우리는 어떤 수 x가 $ \sqrt{S} $와 같기를 바랍니다.

$ x = \sqrt{S} $

양변 제곱하면

$ x^2 = S $

이항하면

$ x^2 - S = 0 $

딱 이 값을 원하는 거죠. 그리고 이거는 함수로 표현하자면 f(x) = 0인 값을 찾고 싶은거고, 그러면 이제 함수 f(x)는 다음과 같이 정의 됩니다.

$ f(x) = x^2 - S $

여기서 0인 값을 찾는거죠.

그럼 이걸 뉴턴-랩슨법에 대입하면

$ x_{n+1} = x_n - \frac{(x_n)^2-S}{2x_n} $이 되고

정리하면

$ x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{S}{x_n}\right) $

가 되면서, 바빌로니아식 제곱근 근사법이 짜잔 하고 나타납니다!

4. 마무리

어떠셨나요..!

조금은 어렵지만, 조금은 재밌는, 무리수로의 한 발짝이었습니다!

삼각함수의 일반각(18도, 36도) 구하기

미렌스 — Fri, 8 Aug 2025 15:22:38 +0900

삼각함수의 일반각(18도, 36도) 구하기

0. 서론

삼각함수를 처음 배울 때 특수각에 대한 값은 다 암기를 합니다. 특수각은 0도, 30도, 45도, 60도, 90도의 다섯가지죠!

그리고 '일반각은 어려워서 못구한다~ 계산기 써야해~'라고 배우죠!

그런데 갑자기 18도, 36도는 어떻게 구하냐구요?

에이 구할 수 있으니까 글을 썼겠죠..!?

그렇다면 이 신기한 각도를 구하는 여정을 떠나봅시다.

1. sin과 cos값의 신비

학창시절에 뭐 90도, 180도, 등등 더하면 부호가 바뀌고 함수가 바뀌고~ 하는 것들을 배우셨을 겁니다.

그때당시엔 그냥 무작정 외웠지만...

sin과 cos함수 사이에는 아주 깊은 연이 있답니다..!

수식으로 바로 써보자면, $ \sin t = \cos (\frac{\pi}{2}-t) $

즉, 합이 90도($ \frac{\pi}{2} $)가 되는 두 각도의 사인 값과 코사인 값은 서로 같답니다!

(직각 삼각형을 그려보면 아주 명확히 나오죠!)

2. 18도를 구해보자

자 그럼 여기서 18도는 어떻게 구할까요?

잘 보면, 18도를 5배하면 90도가 되는 것을 알 수 있죠!

그렇다면 18도를 그냥 A라고 쓰면, $ 5A = \frac{\pi}{2} $겠네요!

그리고 아까 sin과 cos의 관계에서 sin의 각과 cos의 각의 합이 90도이면 서로 같다고 했으니..

$ \sin 2A = \cos 3A $가 되겠군요?(2A+3A=5A=90도)

배각공식과 3배각 공식을 쓰면

$ 2\sin A \cos A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A $

여기서 삼각함수 항등식 $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $을 적용하면,

$ 2\sin A \cos A = 4\cos A (1-\sin^2 A) - 3 \cos A $

이 식에서 $ \cos A $는 0이 아니므로, 좌우변 모두 나눠주면

$ 2\sin A = 4(1-\sin^2 A) - 3 = 1 - 4\sin^2 A$

다시 수식 정리해주면

$ 4 \sin^2 A + 2 \sin A -1 = 0 $으로 정리가 되겠군요.

$ \sin A $를 t로 치환하고 근의 공식을 적용하면,

$ 4 t^2 + 2t -1 =0 $

$ t = \frac{-1 + \sqrt{1+4}}{4} \lor \frac{-1 - \sqrt{1+4}}{4} $

이렇게 나오겠죠? 그러나 여기서 $ \sin A $는 무조건 양수 값만 가질 것이므로

$ \sin A = \frac{-1 + \sqrt{1+4}}{4} $

즉, $ \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4} $입니다.

오, $ \sin 18^\circ $는 쉽게 구했군요! 그렇다면 cos도 같은 방법으로 구하면.... 아 쉽지 않아요...

sin의 경우와 다르게 수식이 쉽게 정리되지 않습니다.

그렇다면 cos은 구하지 못하는 걸까요?

아니죠!

우리에게는 삼각항등식이 있잖아요!

$ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $

$ \sin^2 18^\circ + \cos^2 18^\circ = 1 $

$ \cos^2 18^\circ = 1 - \sin^2 18^\circ $

$ \cos^2 18^\circ = 1 - \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)^2 $

따라서

$ \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} $

3. 36도를 구해보자

$ \cos 36^\circ $는 어떻게 구할까요?

$ \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 1 - \sin^2 A - \sin^2 A = 1- 2\sin^2 A $

이므로, 아까 구한 $ \sin 18^\circ $를 이용하면

$ \cos 36^\circ = 1 - 2 \sin^2 18^\circ $

$ \cos 36^\circ = 1- 2 \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)^2 $

따라서

$ \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4} $

여기서 삼각항등식을 이용하면 쉽게 $ \sin 36^\circ $도 구할 수 있습니다.

$ \sin^2 36^\circ = 1 - \left( \frac{\sqrt{5}+1}{4} \right)^2 $

$ \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} $

4. 마무리

이렇게 일반각 18도와 36도의 값을 알아 보았습니다.

더해서 90도가 되는 각은 sin과 cos이 같다고 했으니, 위의 각만 알고있어도 72도, 54도의 값은 알고있는거나 마찬가지 입니다.

이번 포스팅에서 tan는 언급이 없었는데, 사실 tan는 sin과 cos의 조합으로 이루어진 함수이므로 sin, cos값만 알고있으면 tan값은 알고있는거나 마찬가지이므로 따로 언급을 하지 않았습니다.

삼각함수의 3배각 공식 증명(feat 오일러&드무아브르 공식)

미렌스 — Thu, 7 Aug 2025 12:54:48 +0900

삼각함수의 3배각 공식(삼중각 공식) 증명(feat 오일러&드무아브르 공식)

0. 서론

오늘은 삼각함수의 3배각 공식(Triple Angle Formula)을 증명해보겠습니다.

일단, 덧셈 공식을 아신다는 가정 하에 덧셈 공식으로 유도해보고 그 다음 오일러 공식과 드무아브르 공식을 이용해서 유도해보도록 하겠습니다.

1. 덧셈 공식을 활용하여 유도해보기

sin함수의 덧셈 공식과 배각 공식은 다음과 같습니다.

$ \sin (a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \ \rightarrow \sin 2t = 2\sin t \cos t $

cos함수의 덧셈 공식과 배각 공식은 다음과 같습니다.

$ \cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \ \rightarrow \cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t $

1-1. $ \sin 3t $

일단 삼각함수 중 sin부터 유도해보죠.

$ \sin 3t = \sin (2t + t) $

$ = \sin 2t \cos t + \cos 2t \sin t $

$ = 2\sin t \cos t \cos t + (\cos^2 t - \sin^2 t) \sin t $

$ = 2\sin t \cos^2 t + \sin t \cos^2 t - \sin^3 t = 3\sin t \cos^2 t - \sin^3 t $

여기서 삼각함수 항등식 $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \Leftrightarrow \cos^2 t = 1- \sin^2 t $를 적용하면

$ = 3\sin t (1-\sin^2 t) - \sin^3 t $

$ = 3\sin t - 4 \sin^3 t $

따라서

$ \sin 3t = 3\sin t - 4 \sin^3 t \quad \blacksquare$

1-2. $ \cos 3t $

다음으로 cos을 유도해 보겠습니다.

$ \cos 3t = \cos (2t + t) $

$ = \cos 2t \cos t - \sin 2t \sin t $

$ = (\cos^2 t - sin^2 t) \cos t - 2\sin t \cos t \sin t $

$ = \cos^3 t - \sin^2 t \cos t - 2\sin^2 t \cos t = \cos^3 t - 3\sin^2 t \cos t $

여기서 삼각함수 항등식 $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \Leftrightarrow \sin^2 t = 1- \cos^2 t $를 적용하면

$ = \cos^3 t - 3(1-\cos^2 t)\cos t $

$ = 4\cos^3 t - 3\cos t $

따라서

$ \cos 3t = 4 \cos^3 t - 3\cos t \quad \blacksquare$

2. 오일러 공식과 드무아브르 공식으로 유도하기

간단하게 오일러 공식은 $ e^{it} = \cos t + i \sin t $

드무아브르 공식은 $ (\cos t + i \sin t)^n = \cos (nt) + i \sin (nt) $입니다.

이번에는 오일러 공식이 굉장히 중요하게 작용하니, 잘 모르시는 분들께서는 >>오일러 공식<< 포스팅을 먼저 읽고 오시길 추천드립니다.

일단 드무아브르 공식이 왜 성립하는지 살펴본 뒤에 이를 이용하여 3배각을 증명해보죠!

2-1. 드무아브르 공식의 증명

오일러 공식은 $ e^{it} = \cos t + i \sin t $라고 했습니다.

여기서 $ e^{it} $를 n제곱 해볼까요?

$ \left( e^{it} \right)^n $

이렇게 수식으로 나타낼 수 있고, 지수 법칙에 따라 이는 아래와도 같이 나타낼 수 있을 겁니다.

$ e^{int} = e^{i(nt)} $ [결합법칙에 따라 int와 i(nt)는 같죠!]

즉, $ \left( e^{it} \right)^n = e^{i(nt)} $겠네요.

그렇다면 여기서 오일러 공식을 바로 대입해볼까요?

좌항은:

$ e^{it} = \cos t + i \sin t $이므로,

$ \left( \cos t + i \sin t \right)^n $

이렇게 정리 될 것이고

우항은:

오일러 공식 $ e^{iA} = \cos A + i \sin A $에서 $ A = nt $로 치환하면,

$ e^{int} = \cos nt + i \sin nt $

로 정리될 겁니다.

따라서

$ \left( \cos t + i \sin t \right)^n = \cos nt + i \sin nt \quad \blacksquare $

임이 증명되었습니다.

2-2. 드무아브르 공식을 활용한 3배각 증명

2-2-1. $ \sin 3t $

$ \sin 3t $을 찾으려면 아까 증명한 공식에서 n이 3인 형태를 구해보면 될 것 같습니다.

$ \left( \cos t + i \sin t \right)^3 = \cos 3t + i \sin 3t $ 이니까요.

그럼 좌항을 한번 전개해보죠.

$ \left( \cos t + i \sin t \right)^3 = \cos^3 t + 3\cos^2 t \cdot i \sin t - 3\cos t \cdot \sin^2 t - i \sin^3 t $

식 정리하면,

$ \cos^3 t - 3\cos t \cdot \sin^2 t + i (3\cos^2 t \sin t - \sin^3 t) $

이렇게 정리가 되겠습니다.

다시 살펴보면

$ \cos 3t + i \sin 3t = \left( \cos t + i \sin t \right)^3 $

$ \cos 3t + i \underline{\sin 3t} = \cos^3 t - 3\cos t \sin^2 t + i \underline{(3\cos^2 t \sin t - \sin^3 t)} $

이렇게 정리가 된 식인데요, 여기서 저희는 $ \sin 3t $만 궁금하기때문에, 허수가 곱해진 허수부만 보면 될 것 같습니다.

$ 3\cos^2 t \sin t - \sin^3 t $

여기서 $ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t$이므로 대입하면

$ 3(1 - \sin^2 t) \sin t - \sin^3 t $

$ 3\sin t - 4\sin^3 t $

오, 따라서 $ \sin 3t = 3\sin t - 4\sin^3 t \quad \blacksquare $

위에서 공식으로 증명한 것과 완전히 같은 값이 나왔습니다!

2-2-2. $ \cos 3t $

여기서는 $ \cos 3t $라고 아예 새로 시작할 필요가 없는게, 이미

$ \underline{\cos 3t} + i \sin 3t = \underline{\cos^3 t - 3\cos t \sin^2 t} + i (3\cos^2 t \sin t - \sin^3 t) $

이 식에서 $ \cos 3t $를 바로 찾을 수 있습니다.

네, 바로 아까와 다르게 실수부만 보면 되기 때문이죠!

따라서

$ \cos 3t = \cos^3 t - 3\cos t \sin^2 t $

$ = \cos^3 t - 3\cos t (1-\cos^2 t) $

$ \cos 3t = 4\cos^3 t - 3\cos t \quad \blacksquare $

바로 유도가 되죠!?

3. 마무리

오늘은 sin과 cos의 3배각 공식(삼중각 공식)에 대해 알아보았습니다.

배각공식만 알아도 금방 유도할 수 있지만, 오일러 공식과 드무아브르 공식으로 자연히 유도되는 부분이 경이롭지 않나요?

아, 근데 왜 tan는 없냐고요?

아쉽게도 tangent 함수는 정의 자체가 sin과 cos의 분수형태거든요.. $ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} $

그래서 바로 계산할 수 있는 방법은 없습니다.

tan의 덧셈 공식(배각 공식)자체도 sin과 cos의 덧셈 공식을 분수로 나열한 뒤에 정리해서 만드는 형태이고, 3배각도 배각 공식을 다시 정리해서 유도하는 형식이기 때문에 오늘의 포스팅에서는 살짝 생략을 하였답니다.

그래도 궁금하시다면..! 한번 직접 유도해보시는 건 어떨까요!?

정담은 살짝 알려드리도록 하겠습니다!

tan의 덧셈 공식

$ \tan (a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a \tan b} $

세상에서 가장 아름다운 수식(박사가 사랑한 수식, 오일러 항등식)

미렌스 — Mon, 28 Jul 2025 19:31:52 +0900

세상에서 가장 아름다운 수식(박사가 사랑한 수식, 오일러 항등식)

0. 서론

세상에서 가장 아름다운 수식 혹은 박사가 사랑한 수식을 아시나요?

바로 오일러 항등식(Euler's identity)

$ e^{\pi i}+1 = 0 $인데요(관련글 복소수 평면에서의 오일러 공식(Euler's formula))

왜 가장 아름다운 수식이라고 했을까요?

오늘은 이 이유를 알아보도록 하겠습니다.

1. 오일러의 공식에서 오일러 항등식으로 변형

오일러의 공식은 $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $입니다.

그리고 여기서 x에 $ \pi $를 대입하면, $ e^{\pi i} = -1 $를 얻을 수 있습니다.

그리고 -1을 이항하면(혹은 1을 양변에 더해주면) $ e^{\pi i} +1 = 0 $이라는 오일러 항등식이 만들어집니다.

참고로 항등식(identity)이라는 말은 '기호의 조작 없이 항상 참인 형태의 수식'을 의미합니다.

여기서 $ e^{\pi i} = -1 $은 왜 따로 안부르고, $ e^{\pi i} +1 = 0 $만 오일러 항등식이라고 부를까요?

두 가지 가능성 있는 이야기를 해보겠습니다.

1-1. 대입 결과 vs 자명한 등식

$ e^{\pi i} = -1 $는 사실 오일러 공식 $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $에서 $ \pi $를 대입해준 결과에 불과합니다.

즉, 오일러 공식의 한가지 대입 결과(=특수 케이스)라고 볼 수 있는 형태이지요.

그러나, $ e^{\pi i} +1 = 0 $는 오일러 공식에 값을 대입한 결과를 "자명한 등식" 형태로 재정리한 것이라고 볼 수 있습니다.

따라서 이렇게 재정리된 식을 따로 '오일러 항등식'이라고 명명해 준 것이죠.

1-2. '0(無)'과 관계짓기

$ e^{\pi i} = -1 $ 자체로도 충분히 아름답습니다.

그러나 수학자들은 '+1=0' 형태로 이항하여 '0(無)'과의 관계를 만드는 것을 선호합니다. 이는 모든 중요한 요소들이 더해져 완벽한 '없음'의 상태, 즉 균형을 이룬다는 철학적 의미를 더하기 때문입니다.

실제로도 어떤 방정식을 푼다고 하면 '=0'으로 놓고 푸는 것이 일반적이고, 이런 것들이 '자명한 등식'이라는 느낌에 암암리에 영향을 미치지 않았을까 싶습니다.

2. 5개의 가장 기초적이고 중요한 수를 모두 포함

이 하나의 수식에 아래의 상수가 모두 들어 있습니다:

$ e $ : 자연로그의 밑, 미적분과 자연성장의 핵심
$ i $ : 허수 단위, 복소수 체계의 근간
$ \pi $ : 원주율, 기하학과 주기성의 상징
$ 1 $ : 곱셈 항등원, 수의 단위
$ 0 $ : 덧셈 항등원, 무의 개념

이 5개는 각각 다른 수학적 영역을 대표합니다. 그들이 하나의 방정식에 조화롭게 등장하는 것은 극히 드문 일입니다.

3. 최소한의 수식으로 최대한의 의미 전달

이 수식은 다음의 특성을 모두 만족합니다:

등식(=)
지수함수
복소수
원주율
음수
항등식 형태

즉, 구조적으로 단순하면서도 의미적으로는 극단적으로 복잡하고 깊이 있는 내용을 담고 있습니다.

4. 해석학, 대수학, 복소수, 삼각함수, 위상수학까지 아우름

이 수식의 기원은 복소수 평면에서의 오일러 공식:

$ e^{ix} = \cos x + i\sin x $

입니다.(관련글 복소수 평면에서의 오일러 공식(Euler's formula))

여기서 $ \pi $ 를 대입하면 자연스럽게 오일러 항등식이 됩니다. 즉,

$ e^{i\pi} = -1 \Rightarrow e^{i\pi} + 1 = 0 $

이것은 복소수의 극형태 표현, 삼각함수와의 연계, 그리고 지수함수의 본질까지 포괄합니다.

5. 수학자들이 ‘신의 언어’라고 불렀을 정도로 완벽한 조화

리처드 파인만(Richard Feynman)은 이 수식을 "수학에서 가장 놀라운 공식"이라 칭했습니다.("Feynman once described Euler's identity as 'our jewel' in mathematics") 또 다른 수학자들은 이 수식을 "수학이 예술과 과학의 경계에서 빛나는 순간"이라고 평합니다.

6. 실제 응용성과 철학적 깊이 모두 갖춤

이 수식은 단지 아름답기만 한 것이 아니라, 파동 이론, 양자역학, 신호처리, 회전군 이론, 푸리에 해석 등에서도 핵심 역할을 합니다.

철학적으로도, “무(0)”와 “존재(1)”, “무한한 성장($e$)”, “회전과 순환($\pi$)”, “상상($i$)”이 함께 관계를 맺고 있다는 해석도 존재합니다.

7. 결론: 왜 아름다운가?

서로 다른 영역의 근본적인 수학 개념들이 극도로 단순한 형태로 만났기 때문입니다.

마치 우주와 시간, 존재와 무, 실재와 상상이 단 하나의 언어로 압축된 듯한 느낌을 주기 때문에, 이 수식을 보고 많은 수학자들이 "숭고함" 혹은 "경외심"을 느끼기 때문이죠..!

혹시 "아니 이 식이 왜 아름다운거야?" 싶으셨던 분들! 이 포스팅으로 이해하는데 도움이 되셨길 바랍니다!

복소수 평면에서의 오일러 공식(Euler's formula)

미렌스 — Sun, 27 Jul 2025 18:21:50 +0900

복소수 평면에서의 오일러 공식(Euler's formula)

0. 서론

오일러의 공식은 다음과 같습니다.
$ e^{ix} = \cos x + i \sin x $

언뜻 보면 "지수함수가 삼각함수랑 등호로 연결된다고...? 이게 왜 성립하는 식이야?"하며 의아함이 들 수 있지만, 사실 이 공식은 복소평면 위에서의 특별한 움직임을 표현하면서 지수함수와 삼각함수 사이의 연결고리를 제공한답니다!

이 공식을 정확히 이해하면, 나중에 ‘세상에서 가장 아름다운 수식’이라 불리는
$ e^{\pi i} + 1 = 0 $
도 자연스럽게 받아들일 수 있게 됩니다.
(물론, 그 외에도 푸리에 해석, 양자역학, 신호처리 등 수많은 분야에 등장합니다.)

오늘은 이 공식이 어떻게 유도되는지 살펴보겠습니다.

1. 복소평면

복소평면이라하면 말이 거창해보이지만, 사실 실수를 나타내는 수직선(number line)에 직각으로 허수를 나타내는 축을 도입하여 하나의 평면으로 나타낸 것입니다. 그리고 이것을 통해 복소수(1+i)를 수직좌표평면처럼 나타낼 수 있게 됩니다.

Cartesian은 Descartes에서 유래한 거 알고 계셨나요?

2. 오일러의 공식 유도하기

2-1. 미분으로 이해하기

사실 어떻게보면 이 방식이 제일 쉽고 빠르게 이해할 수 있는 방식입니다.

미분이라고 어려울 것 없습니다.

위치를 미분하면 속도가 됩니다.
특정 거리 $ e^{ax} $에서의 속도는 $ a \cdot e^{ax} $입니다.
- $ e^x $는 미분해도 그대로 $e^x$인 재밌는 함수입니다.
- 여기서 $ e^{ax} $를 미분하면 '미분규칙'에 의해 $ a \cdot e^{ax} $가 됩니다.

이 두가지만 알면 됩니다.

2-1-1. a=1일 때,

특정 거리 $ e^x $에서의 속도는 $ e^x $입니다. 즉, x가 증가한다면 증가하는 방향으로 위치와 같은 속도를 가지고 움직인다는 거죠.

파란색 화살표가 가리키는 점이 위치, 초록색 화살표가 속도입니다.

2-1-2. a=2일 때,

특정 거리 $ e^{2x} $에서의 속도는 $ 2e^{2x} $입니다. 즉, x가 증가한다면 증가하는 방향으로 위치의 두배 속도를 가지고 움직인다는 거죠.

파란색 화살표가 가리키는 점이 위치, 초록색 화살표가 속도입니다.

2-1-3. a=$-\frac{1}{2}$일 때,

특정 거리 $ e^{-\frac{1}{2}x} $에서의 속도는 $ -\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x} $입니다. 즉, x가 증가한다면 증가하는 방향의 반대로 위치의 절반 속도를 가지고 움직인다는 거죠.

파란색 화살표가 가리키는 점이 위치, 초록색 화살표가 속도입니다.

2-1-4. a=i 일 때,

이제 복소평면이 등장합니다.

이전까지는 수직선(number line) 상에서 양의 방향과 음의 방향의 선형적 움직임이었다면 이제, 허수축으로도 움직입니다.

특정 거리 $ e^{ix} $에서의 속도는 $ ie^{ix} $입니다.

즉, x가 증가한다면 현재 위치에서 수직인 방향(허수 i가 곱해졌으므로)으로 위치와 같은 속도를 가지고 움직인다는 거죠.

그렇다면 복소평면에서 $ e^{ix} $가 나타내는 점의 자취는 원이 될 것입니다.(매 순간 수직방향으로 힘이 가해지면 원운동이 되죠?)

따라서 x는 호도법으로 정의된 각과 같은 값을 가집니다.

2-1-5. $e^{ix}$와 $ \cos x $, $ \sin x $ 연결시키기

이 원 위의 한 점은, 위에서 알아봤다시피 $ e^{ix} $로 나타낼 수 있습니다.

여기서 좌표평면에서 단위원을 각 $ \theta $로 나타내던 것 기억나시나요?

원의 방정식 $ x^2+y^2 = 1 $에서
임의의 점 $ (x, \ y) $를 각 $ \theta $로 표기하면
$ x = \cos \theta $
$ y = \sin \theta $
로 표기가 됐었죠?(그래서 자연스럽게 삼각함수 항등식 $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $이 유도되는거구요)

마찬가지로 $ e^{ix} $도 다시 나타내면 $ \cos x + i\sin x $가 될 것입니다.

다만, Cartesian 평면에서는 x값과 y값이 따로 제시가 되었지만 복소평면에서는 실수+허수i로 표현을 하기 때문에

허수축의 값인 $ \sin x $에 $ i $를 곱해서 실수축의 값인 $ \cos x$와 더한 값인 $\cos x + i \sin x $가 $e^{ix}$와 같은 값을 나타내게 됩니다.

따라서 $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $입니다.

2-2. 3차원으로 이해하기

위에서는 복소평면 위에서의 원운동으로 수식을 설명하였습니다.

그러나 이 복소평면 외에 '시간(t)'축을 하나 더 설정하여 3차원으로 보면 과연 어떻게 나타날까요?

출처: TikZ.net

이 복소수 운동이 나선형으로 전개되며 실수부와 허수부가 시간에 따라 각각 사인과 코사인 파형으로 나타나는 구조를 가집니다.

이런 시각화 방식은 단순한 함수 표현을 넘어서, 푸리에 해석의 기하적 기초를 제공하는 중요한 직관적 도식입니다.

2-3. 테일러 급수로 유도하기[심화: 수학적으로 엄밀하게 증명하기]

이 파트 시작 전 warning:

이 부분은 미적분 및 기본적 급수 지식이 필요하니, 가볍게 읽고 싶은 분들은 건너뛰고 '3. 결론'으로 가셔도 좋습니다!

테일러 급수(Taylor series)는 어떤 함수(특히 초월함수)가 특정 점 a에서 충분히 매끄럽게(무한 미분 가능하게) 정의되어 있을 때, 그 함수를 해당 점 근방에서 다항함수의 무한합(멱급수)으로 근사하는 수학적 도구입니다.

$ f(x) = \sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n $

임의의 a점에서 함수 f를 다항함수로 근사시킬 때, 원래 함수 f의 n계 도함수(n번 미분)를 n 팩토리얼로 나눈 멱급수의 형태이죠.

여기서 $ f^{(n)} $은 미분 횟수를 나타내는 표현입니다.

보통은 초월함수를 계산 가능하게 근사할 때 많이 쓰입니다.

그리고 여기서 a가 0인, 즉 원점에서 근사하는 것을 특별히 매클로린 급수(Maclaurin series)라고 합니다.

$ f(x) = \sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n $

테일러 급수에 비해 계산이 훨씬 쉬워지죠.

이제 각 식을 매클로린 급수로 나타내면 다음과 같습니다.

$ e^x $는 미분해도 $ e^x $라는 걸 위에서도 알아봤으니, $ e^x $의 매클로린급수는 다음과 같아집니다.

$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $

$ \cos x $는 1번 미분하면 $ -\sin x $, 2번 미분하면 $ -\cos x $, 3번 미분하면 $ \sin x $, 4번미분하면 다시 $ \cos x $가 되는 주기함수입니다.

여기서 매클로린 급수로 표현했을때, 상수항을 포함하여 본다면, 매 짝수번째 항이 $ \sin x $의 값을 가지고, 결과적으로 짝수번째 항은 전부 사라져버립니다.(다시말해 분모가 짝수 팩토리얼인 항만 남습니다.)

$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots $

$ \sin x $는 1번 미분하면 $ \cos x $, 2번 미분하면 $ -\sin x $, 3번 미분하면 $ -\cos x $, 4번미분하면 다시 $ \sin x $가 되는 주기함수입니다.

여기서 매클로린 급수로 표현했을때, 상수항을 포함하여 본다면, 매 홀수번째 항이 $ \sin x $의 값을 가지고, 결과적으로 홀수번째 항은 전부 사라져버립니다.(다시말해 분모가 홀수 팩토리얼인 항만 남습니다.)

$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots $

여기서 $x$에 $it$를 대입하면

$ e^{it} = 1 + it - \frac{t^2}{2!} - \frac{i \cdot t^3}{3!} + \cdots $

이므로, 정리하면

$ e^{it} = (1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \cdots) + i(t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \cdots) $

이와같이 정리할 수 있습니다.

다시 여기서, 위에서 살펴보았던, cos과 sin의 매클로린 급수는

$ \cos t = 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \frac{t^6}{6!} + \cdots $

$ \sin t = t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \frac{t^7}{7!} + \cdots $

이므로, 최종적으로 정리하면

$ e^{it} = \cos t + i \sin t $

이렇게 정리됨을 알 수 있습니다.

실제 각 함수의 매클로린 급수를 하나씩 늘려가며(원래 그래프에 근사시켜가며) 이미지로 한번 볼까요?

검은선은 원래 함수, 파란선은 매클로린 급수(특정 차수의 근사 함수)입니다.
sin t가 그려지는 평면은 세로 허수축과 가로 t축
cos t가 그려지는 평면은 가로 실수축과 세로 t축
$ e^{it} $가 그려지는 평면은 세로 허수축과 가로 실수축(복소평면)입니다.

위의 그래프는 각 아래의 수식을 시각화 한 것입니다.

Order	$\sin t$	$\cos t$	$e^{it}$
0	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $
1	$ t $	$ 1 $	$ 1 + it $
2	$ t $	$ 1 - \frac{t^2}{2!} $	$ 1 - \frac{t^2}{2!} + it $
3	$ t - \frac{t^3}{3!} $	$ 1 - \frac{t^2}{2!} $	$ 1 - \frac{t^2}{2!} + i\left(t - \frac{t^3}{3!}\right) $
4	$ t - \frac{t^3}{3!} $	$ 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} $	$ 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} + i\left(t - \frac{t^3}{3!}\right) $
5	$ t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} $	$ 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} $	$ 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} + i\left(t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!}\right) $
$ \vdots $	$ \vdots $	$ \vdots $	$ \vdots $

각 $\sin t$, $\cos t$, 그리고 $e^{it}$를 맥클로린 급수로 차수별로 근사해보면, 20차 항만으로도 실제 함수와 거의 일치함을 확인할 수 있습니다.

특히 $\cos t$는 복소평면에서 실수축(x축)의 좌표로 작용하므로, 시각적 직관을 높이기 위해 x축과 y축을 바꿔 표현했습니다.

그림을 보면,

$\sin t$는 짝수 차 항의 계수가 0이기 때문에 해당 차수에서는 그래프에 변화가 없고,
$\cos t$는 홀수 차 항이 0이므로 홀수 차수에서도 마찬가지입니다.

또한 두 함수 모두 최고차 항의 부호가 교대로 바뀌기 때문에, 차수가 한 항씩 증가하면서 곡선의 기울기나 방향이 우상향 ↔ 우하향으로 번갈아 나타납니다.

이러한 곡선의 굽음 방향 변화는 복소평면 위 $e^{it} = \cos t + i\sin t$의 궤적에도 그대로 반영되며,
실수부($\cos t$), 허수부($\sin t$)의 방향성이 차수에 따라 교대로 뒤집히는 과정을 통해 점점 단위원에 수렴하는 원형 궤적을 시각적으로 관찰할 수 있습니다.

3. 결론

오일러의 공식 $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $이 증명되었습니다.

더불어 오일러 항등식에 사용되는 '$ x = \pi $일때 $ e^{\pi i} = -1 $'도 자명하게 나오죠?
(삼각함수 계산($ e^{\pi i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + i \cdot 0 $)을 해도 나오고, 좌표상에서도 시작 1에서 180도(=$\pi$) 돌아가면 -1이니까요!)

사원수(Quaternion)란? ~허수에서 출발하는 차원확장~

미렌스 — Tue, 22 Jul 2025 13:35:57 +0900

사원수(Quaternion)란? ~허수에서 출발하는 차원확장~

0. 개요

사원수(Quaternion)라는 개념에 대해서 알고 계신가요?

처음 들어보시는 분들도 많으실 거라 생각하는데요, 이 수는 4개의 요소로 '공간'을 나타내는 한가지 방법이랍니다.(그래서 4개의=사, 요소=원, 해서 사원수죠!)

'공간을 나타내는 방법'하면 대표적으로 떠오르는게 '벡터'가 있으실텐데, 이것도 사원수에서 출발한 개념인 걸 알고계실까요!?

그렇다면 이 사원수는 어떻게 발견되게 되었을까요!?

그리고 어떻게 쓰는 걸까요!?

지금부터 따라오시죠! 팔로팔로미~

1. 허수 발견의 역사

그 전에, 일단 사원수는 '허수(imaginary number)'를 사용합니다.

간단하게 "현실 세계에서는 있을 수 없는 수!"라고 해서 '비다/없다/헛되다/가짜'를 뜻하는 '허(虛)'를 붙인거죠.

영어로도 '가상으로만 있는 수'라는 뜻에서 'imaginary number'라고 부릅니다.

그리고 수학적으로는 $ \sqrt{-1} $을 뜻하죠. 현실세계에서는 무언가를 제곱하면 '무조건' 양수가 나와서, 그 역연산인 제곱근을 사용할 때는 그 대상이 무조건 양수여야만 하는데, 현실에서 절대로 나올 수 없는 '제곱해서 음수가 나오는 수'를 정의한 거니까요.

가만히 생각해보면, 현재 우리들도 이해하기 어려운 '헛 것'을 과거 사람들은 쉽게 받아들일 수 있었을까요? 심지어 처음 보는 개념인데요!

그래서 이 허수를 발견하고 받아들이는데는 참 많은 시간이 필요했답니다.

간단하게 정리해보자면,

카르다노(Gerolamo Cardano, 1545)는 3차방정식의 근의 공식을 발견했는데요, 이 삼차방정식의 근을 푸는 공식에서 실수해가 존재함에도 불구하고 중간 계산 과정에 $ \sqrt{-121} $과 같은 형태가 스쳐지나가고는 했죠. 일단 최종 계산상 사라지니까 그냥 기계적으로 풀기는 할 수 있었지만, 당시에 이 "음수 제곱근"은 의미 불명 상태로 남아있었습니다.
=> 허수의 발견
라파엘 봄벨리(Rafael Bombelli, 1572)는 이 '기계적'이고 '규칙적'인 계산을 아예 연산 규칙으로 정립하여서 복소수 연산의 실제적 출발점을 세웠다고 볼 수 있습니다.
=> 복소수 연산 정립
오일러(Euler)와 드무아브르(de Moivre)는 18세기에,
(오일러 공식) $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $
(드무아브르 공식) $ (\cos x + i \sin x)^n = \cos nx + i \sin nx $
등의 공식을 통해 복소수를 해석학적으로 확장하였습니다.
=> 복소수가 단순 기이한 수가 아니라, 삼각함수, 지수함수와 연결된 분석 도구로 자리잡기 시작
가우스(Carl Friedrich Gauss, 1799)는 복소수를 수로서 명확히 인정하고, 복소평면 상에서의 시각적 표현을 개념화하였습니다. 여기서 복소평면이란, 말만 좀 거창할 뿐이지 원래 실수를 표현하던 수평선에 수직으로 허수축을 하나 더 붙여 좌표평면처럼 만든 것입니다.
=> 이후 복소수는 “실수와는 다른 차원의 수”가 아닌, "실수의 확장된 체계"로 인정되기 시작합니다.

2. 복소평면으로 확장

그리고 여기서 평면상에서의 시작적 표현 하면 빠질 수 없는 분이 바로 르네 데카르트(René Descartes)죠.

데카르트는 1637년 2차원 평면좌표계(수직좌표계)를 처음으로 수학적으로 체계화했는데요, 그 발견 일화가 좀 재밌습니다.

데카르트는 누워있기를 매우 좋아했다고 합니다. 그러다 어느날 파리가 천장 아래서 날아다니는 모습을 유심히 보다가 좌표계를 떠올렸다고 합니다. 파리가 점, 천장이 평면이고 파리의 위치를 기술하려면 수직좌표계를 쓰면 파리의 위치를 명확하게 기술할 수 있기때문이죠!

어찌되었든, 이렇게 평면좌표계가 만들어지고나서 당연히 '공간'을 나타내고 싶어했습니다만...

다들 그냥 '축하나 더해서 공간으로 확장하면 되지'하는 수준이고, 이 공간상에서의 회전과 같은 명확한 연산법이 발견되지 않고있었습니다.

3. 공간으로의 확장

그리고 여기서 오늘의 주제를 만든 윌리엄 로완 해밀턴(Sir William Rowan Hamilton, 1843) 경이 등장합니다.(영국에서 작위를 받아 Sir가 붙고 한국어로 '경'이 붙죠)

데카르트의 평면좌표계처럼 1차원이었던 실수체계에서 가우스가 허수축을 도입해서 복소수가 2차원이 되며 평면을 표현할 수 있게 되고, 또한 여기에서 허수의 곱셈이 바로 좌표의 회전을 나타내게 되니(실수 1에서 $i$를 곱하면 바로 허수축으로 90도 회전이 일어나고, 여기서 다시 i를 곱하면, $ i^2 $이니 -1이 되며 원래 1에서 180도 회전, 다시 $i$를 곱하면 $-i$가되며 270도 회전, 다시 $i$를 곱하면 360도 회전이 되죠?) 해밀턴 경은 "오? 이거 잘하면 3차원에서 회전 연산을 내가 만들 수 있겠는걸!?"하면서 연구에 착수합니다.(평행이동은 각 요소별 덧셈/뺄셈이고 증감은 곱셈/나눗셈이니(=간단하니) 회전연산이 엄청 중요한 걸 알 수 있습니다.)

그러나... 다른 사람들의 생각처럼 '그냥 2차원에다가 축하나 더 넣으면 3차원 아냐?'하는 식으로 복소평면에 허수축을 하나 더 도입하여 3차원을 만든 초기 (가칭)'삼원수'는 실패로 끝납니다.

왤까요?

회전을 보자면, 2차원 평면에서는 평면 위에서 회전하는 딱 한가지 회전 방식 밖에 없습니다.[좀 더 있어보이게 말하자면, 평면을 정의하는 법선벡터를 기준으로 회전하는 방법밖에 없죠]

그러나 3차원이 되면, 회전하는 방향이 세가지가 됩니다.(Roll/Pitch/Yaw라고도 하고, 쉽게 x축 기준 회전/y축 기준 회전/z축 기준 회전 이라고도 하죠)

결국 축 하나 추가됐을 뿐이지만, 회전하는 방향은 세가지가 되어버리는거죠..

이걸 수학적 살펴보자면
$ a+bi+cj $형태로 3차원 표현을 시도하면 $ i^2 = j^2 = -1 $이 될겁니다.(다시 말해, i축으로 회전가능하고 j축으로 회전 가능하다는 말입니다.)
그렇다면 복소평면에서처럼 $i$를 곱할수록 $i$축 방향으로 90도가 돌아가고, $j$를 곱할수록 $j$축 방향으로 90도가 돌아가는건 정의가 되는데...

이렇게 돌아가겠죠?

$ij$의 곱 정의에서 문제가 발생합니다.

$i$의 제곱이 $i$축으로 회전, $j$의 제곱이 $j$축으로 회전을 정의한다면, 같은 논리로 $ij$는 $i$축으로 회전 후 $j$축으로 회전을 뜻하겠죠?

근데 $i, \ j$모두 허수니까 곱하면 $-1$이겠네요?

엥.. 근데... 이렇게 정의가 되어 버리면, $ i $축 위에 있는 점이 $ j $축으로 가는게 아니라 다시 실수축(-1)으로 와버리네요!?

심지어 공간이니까 i->j로 움직일 수도 있지만, j->i로 움직일 수도 있는거 아닌가요?

그러나 현재 상황에서는 $ji$도 -1로 정의가 되면서, 아까와 똑같은 값으로 실수축으로 가버리는 문제가 발생합니다.

와... 문제가 아주 심각합니다.

그렇게 처음 생각이었던, 삼원수가 실패로 돌아가고... 그러던 어느 1843년 10월 16일...

집에서 시름시름 앓던 해밀턴 경..(그랬는지는 모르겠지만)

아내가 보다 못해 나가서 산책이나 하자고 꼬드기고(팩트는 알 수 없다는 거임..)

해밀턴은 부인과 함께 더블린의 왕립 운하를 따라 터덜터덜 걷(고는 있었으나 머릿속으로는 계속해서 삼원수의 곱셈에 대해 생각하고 있)던 중 뭔가 삐로링! 하면서 번뜩 아이디어가 떠오릅니다!

이 모든 문제는..! 바로..! 허수축을 하나 더 추가하면 해결이 된다는 사실을..!!

그리고 허수축을 하나 더 추가하면 i->j랑 j->i도 표현할 수 있다는 것을..!(단순히 부호바꿔주면 되겠죠?)

정말 엄청난 영감은 끊임없이 고민하던 중 한순간에 오는 것!

그래서 해밀턴은 이 아이디어를 놓치지 않기 위해 '기록'을 하기로하고 종이를 찾았으나... 종이가 없었다..!

해밀턴의 선택은..!?

바로 근처에 있던 브로엄 교(Brougham bridge)의 난간에 칼로 새겨 놓았다고 합니다.

집에 들고가지 못하니 의미 없는거 아닌가.. 싶기도 하지만, '절대 까먹고 싶지 않다'는 바람이면 이해할 수 있을 것 같습니다.

그래서 뭐라고 새겨 놓았냐면..

$ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 $

인데.. 암호같지만, 여기까지 따라오셨으면 다 아시죠?

일단 i랑 j는 위에서 살펴봤고, 여기서 k라고 하는 허수를 하나 더 추가했다는 말이고,

두번째로 $ ijk=-1 $ 이게 진짜입니다. 바로 여기에서 회전법칙을 깔끔하게 정리해버립니다.

잘 보세요. 허수 세개를 곱했는데 -1입니다. 이상하지않아요? 허수의 정의 상 제곱해야 -1인데 말이죠?

자, 바로 여기서 아까 설명했던 문제 중 i->j, j->i를 해결해버린겁니다.

즉, 이 모든 수식을 정리해보면 $ ij = k, \ jk = i, \ ki=j, \ ji=-k, \ kj = -i, \ ik=-j $로 정리되면서 ijk=-1이 바로 풀리죠?

그래서 3차원을 나타내기 위해 허수축 하나만 추가하면 안됐던거고, 두 개를 추가해서 허수축 하나당 회전 방향 하나 씩을 할당해야 했던 거랍니다.

[여담이지만, 여기서 해밀턴은 처음에는 복소평면에서처럼 각 허수를 한번씩 곱해주면 '그 허수 방향'으로 회전하는 것을 생각했을 겁니다. 그러나 논지가 진행되면서 '그 허수 방향'으로 회전하는게 아니라 '그 허수를 축'으로 회전한다는 걸 발견했을 겁니다. 물론 공리가 틀리진 않았기에, 회전하긴 합니다만 생각한 것과 다른 방향, 다른 각도로 회전하면서 알게되지 않았을까요?]

4. 사원수의 이해

이렇게 해서 공간 상에서 실수축을 아예 빼버리고, 허수축으로만 구성을 함으로써 해밀턴의 사원수는 성공적인 첫 발을 떼게 됩니다.

그럼 실수축은 아예 역할이 없어진거냐? 하면

아니죠! 애초에, 처음 시작부터 실수축은 '기준점'의 역할을 했었습니다(복소평면에서 부터 삼원수 확장 까지도)

'이 점부터 돌려!' 같은 느낌이었던거죠

이거는 공간으로 확장되면서도 마찬가지의 역할을 가집니다.

공간상에서 딱 찍혀있는 애는 실수가 없어도 되지만, 얘를 공간상에서 '회전'시키려는 순간 말이 달라지게 됩니다.

단순 허수값만 가진애랑 곱해버리면, 얘는 회전을 하긴 합니다.
근데, 사원수에서 실수란건 '질량'이나 '관성'같은 존재인거라 얘가 없으면 그냥 '다 회전해!'하는 식이고 얘가 크면클수록 '아 너 허수만큼 회전을 하긴 하되, 나 좀 무거운 애야~' 해버리는거죠.
그래서 허수가 지정한 만큼 회전을 못해버리는 사태가 발생합니다.

그리고 더 재밌는건 실수 이기때문에 음수도 가능하다는 부분입니다.
그러나 앞서 얘시로 든 '질량'에 대해 '음수 질량'이라는게 조금 걸린다면, 개념을 조금 더 확장해서 '회전 강도 조절 다이얼'이라고 생각해 봅시다.

0이면 딱 정한 기본회전(순수 허수 곱=180도 회전)을 보여줍니다.
근데 다이얼을 +로 돌리면, 회전에 '제동'을 가하는 개념이 되어, 다이얼을 많이 돌릴수록 그 억제력이 강해져서 점점 0도로 수렴해버리죠.
그럼 반대로 -로 돌리면? 반대로 회전에 '부스트'를 거는 개념이 되어, 정해진 180도를 넘어서 '과회전'하는 겁니다. 다이얼을 많이 돌릴수록 360도 가까이까지 돌아가겠죠?

[45도는? 더 들어가지 맙시다... 머리아파요.. 그래도 궁금하면 대략 무게가 12인데 얘를 5만큼의 힘으로 돌리면 45도가 돌아갑니다..]

중간결론: 사원수는 두가지로 나뉜다!

$ v $ 공간상에 찍힌 점($ ai+bj+ck $) [a.k.a 실수 없는 애=회전 당할 사원수]
$ q $ 어떻게 회전하세요($ d+ei+fj+gk $) [a.k.a 다이얼 달린 애=회전 시킬 사원수]

5. 사원수의 계산

지금까지 공간상에 찍힌 점($ ai+bj+ck $) [a.k.a 실수 없는 애=회전 당할 사원수]

어떻게 회전하세요($ d+ei+fj+gk $) [a.k.a 다이얼 달린 애=회전 시킬 사원수]

를 살펴보았습니다.그리고 이 두개를 곱하면 '공간상에 찍힌 점'이 돌아! 갈거라고 생각했지만... 사실은

'회전 시킬 사원수'만 곱한다고 돌아가지 않습니다...

'엥? 아까 돌아간다며! 사기꾼아!'

라고 하신다면 좀만 기다려보세요. 왜그런지 설명들어갑니다!

자, 잘 보셔요.

원래 점이 있었습니다.

우리는 얘를 그냥 공간상에 '점!'이라고 볼수도 있지만, 'i로 얼마만큼, j로 얼마만큼, k로 얼마만큼에 있는 점!'이라고도 볼 수 있습니다.

자 여기다가 그냥 '회전 시킬 사원수'만 곱해버리면 무슨일이 발생하냐면.. 차원이 확장됩니다!

'어머 이게 무슨 차원폭발하는 소리양?' 하시겠지만..

실제로 점은 3차원 공간에 있는데, 회전시킬애는 '무게'(혹은 '정도')까지 더해줘서 4차원입니다.

그리고 이 두개를 그냥 곱하면 정상적으로 3차원에 있던 애가 4차원의 이상한 애가 되어버려요... 호앵...

그럼 어떻게 다시 현실로 돌려놓냐면... 다시 '차원축소' 시켜주면 됩니다!

아 뭐 PCA나 이런 거창한 차원축소 아니구요...

그냥 곱했던 애로 다시 나눠버리면 얘가 다시 정신을 차립니다.

4차원에서 헤롱거리던애가 다시 3차원 복귀하는거죠.

그리고 차원 확장되면서 반쯤 돌아버린애가 다시 원래 차원으로 돌아오면서 반쯤 더 돌아서 말그대로 '훼까닥' 돌아버리는 겁니다!

다시 말해서 얘가 이상한 약 먹고 정신 나가서 어디 갔다가 다시 약먹고 정신차리니까 '오엥? 내가 여기왜있슴?'하는 상태란 것!

근데1: 곱했던거 다시 나누면 그냥 또이또이 쌤쌤 그게그거 아님? 이라고 하는 당신. 짝짝짝.

아님1: 교환법칙(캬 이것도 있어보이는 말)이 성립하면 당연한 소린데, 안타깝게도 이 사원수는 교환법칙이 성립 안해요. 아까 보셨잖아요? ij랑 ji는 달라서 순서대로 연산하면 결과가 그게 그거가 아니게 되는거에요.

근데2: 그래 뭐 그건 이해했다치는데, 그래도 개념상 곱했던거 다시 나누면 역연산이니까 다시 원점으로 돌아와야 하는거 아님!?

아님2: 아, '아님1'을 제대로 이해못한거에오... 일단 또이또이가 아니구요! 그리고 조금 어렵지만 부가설명해보자면, 사실 '나눈다'고 했지만, 얘는 복소수랍니다. 복소수 나눗셈은 켤레복소수라는걸로 분모 싸그리 정리해버리고 분자 바꿔서 곱하면 그게 나눗셈이에요. 감 오시나요? '그냥 나눈게 아니라', '다른 무언가를 곱해줌'이라는 개념인거죠. 그래서 이렇게 곱해주면, 실수항은 사라지는데 원래 의미(회전)은 남아있게 되는거죠!

자, 이제 예시를 한번 풀어볼까요?

공간 위에 i+j라고 하는 점을 i축을 기준으로 90도(1+i죠?) 돌려봅시다.

그러면, $ (1+i)(i+j)(1+i)^{-1} $일 것이고

$ = (i+j+i \cdot i+i \cdot j)(1+i)^{-1} $ (곱하는 순서 바뀌면 안돼요!)

$ = (i+j-1+k)\frac{1}{1+i} $

$ = (i+j-1+k)\frac{1-i}{(1+i)(1-i)} \ = \ \frac{(i+j-1+k)(1-i)}{2} $

$ = \frac{(i+j-1+k)-(ii+ji-i+ki)}{2} \ = \ \frac{(i+j-1+k)-(-1-k-i+j)}{2} \ = \ \frac{2i+2k}{2} $

$ = i+k $

네, 실제로 i+j점을 i축을 중심으로 90도 돌리면 i+k가 되겠죠?

중간결론: 사원수 공간에서 점을 회전시키고 싶으면 회전 시킬 사원수를 곱하고 다시 나눠줘야한다!

$ v' = q v q^{-1} $

6. 사원수의 정규화

여기서 좀 더 어렵게 가보겠습니다!

사실 우리는 대게 가볍게 그냥 '회전 시킬 사원수 곱하고 나눠뿌자'하지만, 사실 회전사원수는 딱 그 최소 단위로 만들어주어야 좋습니다.

네? 뭔말이냐구요? 보세요. 3.

3은 최소 단위가 뭘까요? 라고 하면 대답할 수 있는 분?

어렵게 생각해서 다 대답 못하는시는 겁니다.

1이에요. 1+1+1? =3이죠.

그래서 우리는 아주 재밌게 최소단위*몇배 로 모든 개념을 쓸 수 있습니다! 3도 3*1이죠!

그럼 다시 생각해봐서. 3을 최소단위로 만들어주려면? 3으로 나누면 될겁니다!

똑같습니다. 이 사원수도 '크기'라는게 있습니다.( $ |\ a+bi+cj+dk\ | = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$ ) 뭐 그냥 막 쓰면 '3'같은 애죠.

근데, 얘를 최소단위로 만들어줘야 사실 '회전'에서 의미있는 뜻을 알 수 있어요!

그래서 그냥 '회전시킬 사원수'를 '크기'로 나눠주면 '최소단위'가 됩니다.

이거를 '정규화'라고 해요.

근데, 일반 계산에선 의미 없어요.. 왜냐면 곱하고 나눠주니까요... 또륵..

'아까는 곱하고 나누는거 쌤쌤 아니라며!'라고 하신다면, 얘는 교환법칙이 성립해요...(허수가 들어가는 연산이 비가환이고, 대수적으로 곱해지는 수들은 가환이에요..) 그래서 의미가 없어요...

그래서 연산에서는 의미가 없는데, 그 '회전'자체를 분석하고 싶으면 해줘야합니다...

중간결론: 회전시킬 사원수를 정규화하면 그 의미를 알 수 있다.

$ |q| = \frac{q}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}} $

7. 사원수의 회전 정도

아까 사원수를 정규화하면 그 의미를 알 수 있다고 했는데, 그건 뭔 뜻이냐하면...

아까 해밀턴 이전에 오일러나 드무아브르가 삼각함수와 허수를 엮었던거 기억나시나요?

비슷하게 사원수도 삼각함수랑 엮이는데, 허수부를 하나의 벡터로 본다면

$ |q| = \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) + \overrightarrow{u} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) $

이런 관계식이 성립합니다.

따라서 정규화된 사원수를 분석하면 어디로 어느정도 각도를 돌리는 친구인지 알 수 있게 되죠.

그리고 더 나아가서 아까 곱하고 나누는 연산에서 두번 회전을 적용해주는게 여기서도 보입니다. 즉 돌릴 각 $ \theta $를 반으로 나누어서 가지기 때문이죠.

한가지 더, 아까 '다이얼'이라고 표기했던게 cos부분인데, 실제로 cos값이 커질수록 그에 해당하는 각 $ \theta $는 작아지는 걸 아실 수 있겠죠?

8. 사원수 그 이후

사원수는 이후 선형대수학에 큰 영향을 미쳤는데요

벡터 라는 말도 사실 해밀턴이 처음 만든 말로, 실수부를 제외한 허수부 즉 공간상에서 표현되는 부분을 벡터부(vector part)라고 명칭했고실수부는 스칼라부라고 했습니다.(그래서 공간벡터를 i, j, k라고 명명하는게 여기서 출발한 겁니다.)

그리고 사원수는 계산하면 스칼라부와 벡터부로 연산이 진행되는데, 후대에 이를 가리켜 스칼라부로 곱해지는 부분을 내적(inner product)라고 칭하고(Peano, 1898) 벡터부로 곱해지는 부분을 외적(outer product)라고 명명(Grassman, 19C 중반)하게 됩니다.

9. 마무리

사원수는 거의 처음, 공간에 대한 직접적인 연산을 가능하게 만든 체계입니다.

그러나 계산이 너무 복잡하고, 허수를 사용하는데다, 교환법칙도 성립하지 않는 등의 문제를 안고 있었습니다.

그리고 이것을 개선하기위해 등장한 것이 선형대수학, 벡터 미적분학 등이죠.

그래서 요새는 참 선형대수학이 엄청나게 발전하여(특히나 AI관련으로 더욱 가속화 되었죠) 사원수가 잊혀진 것 같으나, 그럼에도 불구하고 로봇공학과 같은 특수한 영역에서는 아직도 사용되고 있답니다.

특히나 오일러 각을 이용하여 공간을 표현할 때 생기는 짐벌락(Gimbal lock)이 없다는 장점도 있죠.

어서오세요! 힐베르트 호텔에! ~무한의 세계로 떠나는 여행~

미렌스 — Wed, 16 Jul 2025 17:05:53 +0900

어서오세요! 힐베르트 호텔에! ~무한의 세계로 떠나는 여행~

자연수가 클까? 유리수가 클까?

0. 무한 호텔에 오신 것을 환영합니다!

안녕하세요! 어서오세요! 여기는 힐베르트 그랜드 호텔(Hilbert Grand Hotel)입니다!

이 호텔은 정말 말그대로 '그랜드(Grand)'해서 방이 정말 많아요!
진짜 말그대로 방이 무한히 많답니다.

게다가 엄청난 성업중!
오늘도 평화로운 힐베르트 호텔호텔호텔. 모든 방에 손님이 꽉 차 있습니다. 빈방이 하나도 없죠.

그런데 새로운 손님 한 명이 찾아옵니다.
"형님들 안녕하십니까?"
어라? 방이 꽉차있는데 어쩌죠? 입장 거절 확정인가요?

그런데 말입니다. 지배인 형님 등장하셨죠. 끝났습니다.
당황하지 않고 입을 여시죠.
"1번 방 손님은 2번 방으로, 2번 방 손님은 3번 방으로..."
마법처럼 모든 손님에게 자신의 방 번호에 +1을 더한 방으로 강제 이주 들어갑니다.
이제 1번방 비었죠? 새 손님 입장 확정입니다.
끝났습니다. 입장하시죠.

이처럼 '꽉 찼지만' 항상 공간을 더 만들 수 있는 것이 바로 무한의 신비입니다. 여기서 한 가지 궁금증이 생깁니다.

"아니, 한 명이 더 와도, 심지어 무한 명이 더 와도 수용이 가능한 이 무한에도 '크기'라는 게 있을까? 무한끼리 크기를 비교할 수 있다는 게 말이 될까?"

놀랍게도, 대답은 "네, 가능합니다." 입니다.

모든 무한이 다 같은 레벨의 무한은 아니라는 사실. 믿겨지시나요?

"무한대는 다 똑같은 거 아니야?" 라고 생각했다면 큰 오산! 오늘은 무한의 세계로 떠나 어떤 무한이 더 '큰지' 비교해보는 신기한 여행을 시작하겠습니다.

미리 힌트를 좀 드리자면, 수학자 게오르그 칸토어가 발견한 '일대일 대응'이라는 마법 같은 방법만 알면 누구나 이 무한의 크기를 이해할 수 있답니다.

1. 자연수가 더 클까요, 짝수가 더 클까요?

자, 일단 자연수가 더 큰지, 짝수가 더 큰지 생각해 볼까요?

자연수는 짝수와 홀수로 이루어져 있고, 따라서 일견 짝수가 자연수보다 크기가 더 작을 것 같습니다.

"당연히 자연수가 더 많지! 짝수는 자연수에 포함되잖아?" 라고 자연스럽게 말하게 될 것입니다.

직관적으로는 그렇게 생각하기 쉽습니다.

하지만 무한의 세계에서는 우리의 직관이 항상 통하지는 않습니다.

두 집합의 크기를 비교하는 방법은 바로 일대일로 짝을 지어보는 것입니다.

하나도 남거나 모자라지 않게 짝을 지을 수 있다면 두 집합의 크기는 같다고 봅니다.

즉, 일대일대응을 시켜서 대응이 된다면 두 집합의 크기가 같은것이죠!

자, 자연수와 짝수를 한번 짝지어 볼까요?

자연수 1 에는 짝수 2를

자연수 2 에는 짝수 4를

자연수 3 에는 짝수 6을

...

자연수 n 에는 짝수 2n을

어떤가요? 모든 자연수는 자신만의 짝꿍 짝수를 가질 수 있고, 어떤 짝수도 짝꿍이 없는 경우가 없습니다.

이렇게 빈틈없이 일대일로 대응시킬 수 있으므로, 놀랍게도 자연수의 개수와 짝수의 개수는 같습니다.

결론: 자연수와 짝수의 '무한'은 같은 크기다!

2. 정수가 더 클까요, 자연수가 더 클까요?

이번엔 0과 음수까지 포함하는 정수와 자연수를 비교해 봅시다.

정수는 자연수(양의 정수)와 0, 그리고 음의 정수까지 있으니 당연히 더 많아 보이죠?

하지만 이번에도 일대일 대응의 마법을 사용해 보겠습니다.

이렇게 짝을 지어보면 어떨까요?

자연수 1 에는 정수 0을

자연수 2 에는 정수 -1을

자연수 3 에는 정수 1을

자연수 4 에는 정수 -2를

자연수 5 에는 정수 2를

...

즉, 홀수 자연수 n에 대해서는 (n-1)/2를 대응하고, 짝수 자연수 n에 대해서는 -n/2를 대응하면 나오는 규칙이죠!

이런 규칙으로 자연수를 양의 정수와 음의 정수에 번갈아 가며 대응시키면, 모든 정수는 자신만의 자연수 짝을 찾을 수 있습니다.(1:1 대응 성립) 따라서 정수와 자연수도 같은 크기의 무한입니다.

결론: 정수와 자연수의 '무한'도 같은 크기다!

3. 유리수가 더 클까요, 자연수가 더 클까요?

그럼 이제 집합의 크기를 좀 더 키워봅시다.
수의 체계에서 정수보다 큰 집합은? 네 유리수죠!
그럼 유리수는 자연수보다 커질까요? 아니면 지금처럼 같은 크기일까요?

유리수는 이제 분수가 들어가기 시작하면서 간단한 수식계산 같은 조작으로는 이제 조금 버겁기 시작합니다.

그러나 세상에는 똑똑한 사람이 참 많은 것 같습니다.

이 분수를 전부 기약분수(p/q)로 만든 뒤, 분자(p)의 값을 x값에, 분모(q)의 값을 y값에 대응시킵니다.

기약분수의 꼴이므로 본모도 정수(0이 아닌), 분자도 정수임을 이용한 것이죠.

이렇게 좌표위에 하나씩 찍어주면... 정수 격자점 위에 점이 하나씩 찍힐 것입니다.

다음 그림처럼 말이죠.

기약분수니까, 점 (p, q)에서 p, q가 공약수를 가지는 격자점은 공백이 됩니다.

또한, (0, q)는 q가 1일 때만 기약분수로 간주하기 때문에, q가 다른 값은 모두 공백이 됩니다.

자, 이렇게 그리고보니까 이 파란색으로 x표 쳐진 격자점 하나하나를 '셀 수 있게' 되었네요?

일단 0을 첫번째로 세고, (1,1)을 두번째로 세고, (-1,1)을 세번째로 세고, (2, 1)을 네번째로 세고.....

결국 자연수와 1:1 대응을 시킬 수 있습니다.

결론: 유리수와 자연수의 '무한'도 같은 크기다!

여기서 중간 정리 하자면, 무한의 크기는 자연수=정수=유리수 입니다.

4. 실수가 더 클까요, 자연수가 더 클까요?

이제 정말 흥미로운 질문입니다. 유리수와 무리수를 모두 포함하는 '빽빽한' 수의 집합인 실수와 자연수를 비교해 보겠습니다. 지금까지의 결과처럼 이번에도 두 집합의 크기가 같을까요?

결론부터 말하자면, 실수가 자연수보다 훨씬 더 큰 무한입니다.

어떻게 이럴수가 있죠!?

수학자 칸토어는 '대각선 논법'이라는 기발한 방법으로 이를 증명했습니다.

간단히 설명하자면, 모든 실수를 목록으로 만들어 자연수와 일대일로 짝을 지었다고 '가정'해 봅시다.

그리고 그 목록에 존재하지 않는 새로운 실수를 하나 만들어내는 것입니다.(그러면 가정이 무너지겠죠!?)

자세히 살펴볼까요?

일단, 지금까지 모든 집합은 자연수와 크기가 같았으니 일단 실수도 자연수와 크기가 같다고 가정합니다.
그렇다면 모든 실수는 자연수와 1:1 대응일 것입니다.(크기가 같다 = 1:1 대응이다)
이는 (0, 1)사이에서도 무조건 성립해야겠죠?(모든 수를 셀 수 있으니까 0에서 1사이에 모든 수도 셀 수 있어야 할 것입니다)
그렇다면 그 리스트는 다음과 같겠죠?
$ \begin{vmatrix}
1: && 0.\textcolor{blue}{a_{11}}a_{12}a_{13} \dots \\
2: && 0.a_{21}\textcolor{blue}{a_{22}}a_{23} \dots \\
3: && 0.a_{31}a_{32}\textcolor{blue}{a_{33}} \dots \\
\vdots && \vdots
\end{vmatrix} $
이제 우리는 여기서 '네가 세지 못한 수가 존재한다!'는 것을 보여줄 것입니다. 그리고 이걸 보여주는 순간 원래 가정이 무너지면서 '셀 수 없음'이 반대로 증명되는거죠.(이걸 귀류법이라고 한답니다)
일단 '이 안에 있는 수와 다르다(=리스트에 없는 수다)'는 것을 보여주기위해 각 순서의 소수점 이하 자리를 취하겠습니다.
뭔 말인고 하니, 이제 우리는 새로운 수를 이렇게 만들 겁니다(이렇게 대각선으로 수를 모아서 만든다고 '대각선 논증'입니다.)
$ 0.\textcolor{blue}{a_{11}a_{22}a_{33}} \dots $
그리고 이 수를 변형하겠습니다.

10진수체계로 보면, $ a $가 1이면 2로 바꾸고, 1이 아니면 1로 바꿉니다.
2진수체계라면, $ a $를 그냥 바로 보수취해줍니다. 1은 0으로, 0은 1로.
요지는 원래숫자를 다른 숫자로 바꿔주는 겁니다.

자, 이제 모든게 다 끝났습니다.

만약 이 수($0.a_1a_2a_3\dots$)들의 집합이 셀 수 있다면, 변형한 이 수도 그동안 셌던 수 안에 있어야 합니다.
그러나 이 변형한 수가 그동안 셌던 수 안에 없다면..? 이 수는 셀 수 있다는 가정이 무너져 버리면서 '셀 수 없다'가 되어버립니다.

결과를 까 볼까요?

결과적으로 만들어진 이 수는 지금까지 셌던 모든 수와 n번째 자리가 달라서 그 어느 수와도 같아질 수가 없습니다. 즉, 목록에 존재하지 않는 새로운 실수가 하나 만들어 진거죠!

이 방법으로 목록에 있는 어떤 실수와도 다른 새로운 실수를 끝없이 만들어 낼 수 있음을 보였습니다. 이는 애초에 실수 전체를 자연수와 일대일로 짝짓는 것이 불가능하다는 것을 의미합니다.

결론: 모든 실수를 셀 수 있다고 가정하여 하나의 수 목록을 만들었다고 가정하면, 대각선 논법을 통해 만들어진 새로운 수는 우리가 가정한 목록에 존재하지 않는 수 이므로, 가정이 거짓으로 증명된다.(귀류법) 따라서 실수는 셀 수 없으며, 자연수보다 '한 단계 더 높은' 크기의 무한이다!

5. 가산무한, 알레프 제로($ \aleph_0 $)

수학자들은 자연수처럼 하나하나 셀 수 있는 무한을 '가산무한(countable infinity)'이라고 부릅니다. 그리고 이 가산무한의 크기를 나타내는 기호로 히브리 문자 첫 글자인 '알레프(ℵ)'에 0을 붙여 알레프 제로($ \aleph_0 $)라고 이름 붙였습니다.

지금까지 살펴본 것처럼, 자연수, 짝수, 정수, 그리고 심지어 분수로 표현 가능한 유리수까지 모두 알레프 제로($ \aleph_0 $)라는 같은 크기의 무한에 속합니다.

6. 그렇다면 실수는?

자연수와 짝을 지을 수 없었던 실수의 무한은 알레프 제로($ \aleph_0 $)보다 더 큰 무한입니다.
이를 '비가산무한(uncountable infinity)'이라고 부르며, 그 크기는 $ 2^{\aleph_0} $입니다.

더 자세히 알고 싶으시다면... 아래 더 보기를 눌러주세요. 그러나 그냥 '실수는 자연수보다 큰 무한집한이네~'하고 넘어가셔도 무방합니다.

더 보기를 클릭하신 용자분. 환영합니다.

이제 좀 더 자세히 알아보도록 하죠.

일단, 아까 위에서 대각선 논법에서 살펴봤듯이 이미 0에서 1사이의 수 만으로도 가산무한이 깨지는 것을 보셨을 겁니다.

즉, 이말은 0과 1사이에서 모든 논지를 전개시켜도 무방하다는 의미가 됩니다.

그렇다면 [0, 1]구간에서 모든 실수를 2진수로 변환시켜봅시다.

소수점이하가 전부 이진수로 변하면서, 무한이진소수로 표현이 되겠죠?

그리고 이 변한 이진소수는 각자 유일할 것입니다.(물론 0.1 = 0.011111... 같은 '한가지 수를 나타내는 두가지 표현'이 나올 수 있습니다. 그러나 이런 '주소가 두 개인' 숫자들은 전체 실수의 개수에 비하면 무시할 수 있을 만큼 적어서 괜찮습니다.)

자, 이제 두가지 방법으로 실수의 크기를 찾아 볼 건데요, 첫번째는 아주 쉽게 직관적으로 이해해보기, 두번째는 집합론적으로 따라가며 이해해보기 입니다.

1. 매우 쉽게 생각하기(중복순열)

네, 여기서 수학적 엄밀함을 일단 약간은 내려놓고, 쉽게 생각해봅시다.(엄밀함을 내려놓는다고, 틀린말을 하는 건 아닙니다. 개념적 지름길? 같은 느낌이죠)

일단 소수점 이하 자릿수에 들어갈 수 있는 수는 무조건 0 아니면 1입니다.

그리고 소수점 이하 N자리까지 나열한다고 생각하면,

중복순열로 $ _{2} \Pi _{N} $이겠죠?

그리고 이거는 수식으로 $ 2^{N} $입니다. 그리고 N은 무조건 자연수일 수 밖에 업죠. '소수점이하 몇 번째 자리'를 나타내기 때문에요.

그렇다면, 아까 자연수 N은 크기가 뭐라고 했죠? $ \aleph_0 $였죠?

그렇다면 실수의 크기는?

네, 자연스럽게 $ 2^{\aleph_0} $라고 유도됩니다.

집합론적으로 유도한 것이 아니고, 사실 중복순열은 '유한'에서 정의되는 개념이라 약간의 cheating이긴 합니다만, 수학에서는 오히려 직관적 개념으로 이해하는게 쉬울 때도 있습니다.

2. 집합론적으로 생각하기

[0, 1] 사이의 모든 실수는 소수점 아래로 0 또는 1이 무한히 나열되는 이진수열로 표현될 수 있다고 했죠?

1/3 = -> (0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)
1/2 = -> (1, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
= -> (0, 0, 1, 0, 0, 1, ...)

여기서 각 숫자는 '무한한 선택의 결과물'로 볼 수 있습니다.

첫 번째 자리에 0을 쓸까, 1을 쓸까? (2가지 선택)
두 번째 자리에 0을 쓸까, 1을 쓸까? (2가지 선택)
세 번째 자리에 0을 쓸까, 1을 쓸까? (2가지 선택)
...
번째 자리에 0을 쓸까, 1을 쓸까? (2가지 선택)
이 선택을 무한히 계속합니다.

이것을 집합론의 언어로 표현한 것이 바로 $ \{0,\ 1\}^\mathbb{N} $ 입니다.

{0, 1}: 각 자리에서 선택할 수 있는 기호의 집합 (0 또는 1)
$\mathbb{N}$: 자연수 집합 {1, 2, 3, ...}을 의미하며, 여기서는 '첫 번째, 두 번째, 세 번째,...'와 같이 자리의 위치를 나타냅니다.
$\{0,\ 1\}^\mathbb{N}$: $\mathbb{N}$의 각 원소(각 자리)에 {0, 1}의 원소(0 또는 1)를 하나씩 대응시키는 모든 가능한 함수(경우의 수)의 집합을 의미합니다. 즉, '모든 가능한 무한 이진수열의 집합'을 뜻하는 기호입니다.

그리고 집합론에서 $2^{|A|}$는 A의 멱집합(Power Set), 즉 A의 모든 부분집합들의 집합의 크기를 의미합니다. (여기서 $ |A| $표시는 집합 A의 크기를 뜻합니다)

자, 이 두가지 개념을 가지고 실수의 크기를 유도해 봅시다.

핵심 아이디어는 결국 두 개념 '$\{0,\ 1\}^\mathbb{N}$' 과 '자연수의 모든 부분집합'을 1:1로 연결하는 것입니다.

$ \{0,\ 1\}^\mathbb{N} $에 속하는 하나의 무한 이진수열이, 자연수의 부분집합 하나와 완벽하게 짝을 이룰 수 있다면 믿으시겠습니까?

예를 들어보죠. 어떤 이진수열 s = (1, 0, 1, 1, 0, ...) 가 있다고 합시다.

이 수열을 가지고 자연수의 부분집합을 만드는 규칙을 정하는 거예요. "n번째 숫자가 1이면, 자연수 n을 부분집합에 포함시킨다!"

첫 번째 숫자(1)가 1이니까 -> 1을 포함
두 번째 숫자(2)가 0이니까 -> 2는 미포함
세 번째 숫자(3)가 1이니까 -> 3을 포함
네 번째 숫자(4)가 1이니까 -> 4를 포함
다섯 번째 숫자(5)가 0이니까 -> 5는 미포함
... 이렇게 무한히 계속합니다.

결과적으로, 이진수열 s = (1, 0, 1, 1, 0, ...) 는 자연수의 부분집합 {1, 3, 4, ...} 와 정확히 짝을 이룹니다.

이 관계는 완벽한 1:1 대응입니다.

어떤 무한 이진수열을 가져와도, 그에 해당하는 부분집합은 유일하게 단 하나 존재합니다.
반대로, 자연수의 어떤 부분집합을 가져와도(예: {2, 5, 6}), 그에 해당하는 이진수열 (0, 1, 0, 0, 1, 1, ...)은 유일하게 단 하나 존재합니다.

따라서 $ \{0,\ 1\}^\mathbb{N} $(모든 무한 이진수열의 집합)의 개수는 자연수의 모든 부분집합의 개수와 정확히 같습니다.

자연수의 집합 $\mathbb{N}$의 크기가 $ \aleph_0 $이므로, 자연수의 모든 부분집합의 개수는 $2^{\aleph_0}$입니다. 그러므로 $ \{0,\ 1\}^\mathbb{N}$의 크기(=실수 $\mathbb{R}$의 크기} 역시 $2^{\aleph_0}$ 됩니다.

하나 더 나아가서, '왜 우리는 $ \{0,\ 1\}^\mathbb{N}$의 크기의 크기를 본건데 이게 왜 실수 $\mathbb{R}$의 크기와 같은데염?'이라면, $ \tan(\pi(x-\frac{1}{2})) $와 같은 함수를 통과시키면, 0과 1 사이값이 실수 전체로 확장될 수 있기 때문입니다.

이는 $ \aleph_0 $보다 명백히 더 큰 '비가산 무한'입니다. 이 크기가 $ \aleph_0 $ 바로 다음 크기의 무한인 $ \aleph_1 $과 같은지는 연속체 가설에 따라 달라지기에(연속체 가설은 ZFC 공리계에서는 독립적이다. 즉, ZFC로부터 참도, 거짓도 증명할 수 없다.) 아직 해결되지 않은 문제입니다.
이 크기는 또한 연속체의 농도($\mathfrak{c}$)와 같은 다른 기호로도 표현합니다.

7. 결론

놀랍게도 무한에도 서로 다른 등급이 존재한다는 사실!

무한이라고 다 같은 무한이 아닙니다.
어떤 무한은 셀 수 있고,
어떤 무한은 셀 수조차 없습니다.

칸토어는 바로 이걸 처음으로 엄밀하게 증명해낸 수학자입니다.

그의 손끝에서 ‘무한의 계층 구조’가 드러난 거죠.

[수학/패러독스] 동전을 굴리면 더 많이 굴러간다? – 동전 역설(Coin Paradox)

미렌스 — Tue, 15 Jul 2025 12:56:53 +0900

동전을 굴리면 더 많이 굴러간다? – 동전 역설(Coin Paradox)

0. 들어가며

두 개의 똑같은 동전이 있습니다. 하나는 바닥에 가만히 두고, 다른 하나를 그 동전 주위에 미끄러짐 없이 착 붙여서 한 바퀴 굴려보세요. 자, 굴러간 동전은 스스로 몇 바퀴를 돌았을까요?

대부분의 사람들은 "당연히 한 바퀴지!"라고 대답할 겁니다. 굴러간 거리가 고정된 동전의 둘레와 같으니까요. 하지만 정답은 놀랍게도 두 바퀴입니다.

이해가 안 가시나요? 직접 동전을 놓고 해보면 정말 두 바퀴를 도는 것을 보고 머리가 띵해지는 경험을 할 수 있습니다.

"동전을 굴렸을 때, 실제로는 반대편 동전이 더 많이 굴러간다?"

이 직관에 반하는 현상은 바로 Coin Paradox, Coin Rotation Paradox 또는 Rolling Coin Paradox. 즉, 동전 역설이라고 합니다.
수학적으로는 간단한 곡선의 길이 계산일 뿐이지만, 물리적 직관과의 차이 때문에 많은 사람들을 혼란에 빠뜨립니다.

실제로 1982년 미국 SAT math에서 이것을 이용한 문제가 출제되었습니다.

SAT는 매년 약 200만명이 치르는 미국판 수능이라고 볼 수 있는데요.(뭐 수능과 다른점은 sat는 1년에 여러번 봅니다)

1982년도 전체 16회 SAT시험 중 30만명이 본 5월 시험에서 출제가 되었었죠.

맞춘 사람은 단 3명이었다고 하는데요, 그 이유는 '보기가 없었기 때문'입니다.(즉, 이 3명만 College Board에 이의제기를 신청했고, College Board는 문제를 무효화하고 결국 전체 재채점했다고 하네요..)

결국 문제를 냈던 사람조차도 틀렸다는건데.. 일단 문제를 한번 보시죠.

문제는 다음과 같습니다: 원 A는 원 B 반지름의 1/3이다. 원 A가 원 B를 따라 한 바퀴를 돌아 원점으로 왔을 때 원 A는 몇바퀴 돌았는가?

출제자를 포함하여 모든 사람들은 그냥 '원 B의 반지름보다 원 A가 1/3배 작으니까, 세번 돌았겠지?'하고 (B)를 골랐으나...

오늘은 이 신기한 역설을 직접 계산과 함께 낱낱이 파헤쳐 보겠습니다.

1. 상황 설정 – 두 동전의 만남

실험 설정:

반지름이 같은 두 개의 동전 A, B가 있다고 합시다.
동전 A는 정지해 있고, 동전 B는 동전 A의 외곽에 맞닿은 채로 한 바퀴를 굴러갑니다.
마찰이 충분해 미끄러짐 없이 굴러간다고 가정합니다.

질문:
동전 B가 한 바퀴 굴러가면, 몇 도 회전했을까요?

2. 직관의 오류 – "한 바퀴니까 360도?" ❌

많은 사람들은 이렇게 생각합니다:

"동전 B가 동전 A의 바깥둘레를 따라 한 바퀴 돌았으니, 360도 회전했겠지!"

하지만 실제 실험을 해보면, 동전 B는 720도, 즉 두 바퀴를 돌게 됩니다.

이것이 바로 Coin Paradox입니다.

3. 왜 2바퀴가 되는가? – 시각적 직관

다음과 같은 비유를 생각해보면 이해가 쉽습니다:

동전 B가 단순히 바닥을 따라 굴러간다면 1바퀴 회전합니다.
그러나 원형 경로를 따라 회전하면 자신의 회전 중심 또한 회전하게 되므로 추가적인 회전이 더해집니다.

좀 더 자세히 말해서
1. 동전 자체의 중심을 기준으로 한 '자전(Rotation)'
이것은 우리가 직관적으로 생각하는 회전입니다. 굴러가는 동전은 고정된 동전의 둘레(2
pir)만큼의 거리를 이동합니다. 굴러가는 동전의 둘레도 똑같이 2
pir이므로, 이 거리만큼 굴러가면서 스스로의 중심에 대해 정확히 한 바퀴를 돕니다. 여기까지는 모두가 동의하는 부분입니다.

2. 고정된 동전의 중심을 기준으로 한 '공전(Revolution)'
이것이 바로 우리가 놓치기 쉬운 '숨겨진 한 바퀴'입니다. 굴러가는 동전의 '중심점' 자체도 고정된 동전의 중심점을 기준으로 원을 그리며 움직입니다. 즉, 동전이 스스로 도는 것과 별개로, 동전 자체가 거대한 원궤도를 따라 공전하는 셈이죠.

이해가 어렵다면, 동전을 전혀 굴리지 않고 그냥 옆면이 미끄러지게만 하면서 한 바퀴 돌려보세요. 연필을 잡고 옆면이 항상 같은 방향을 보게 하면서 캔 주위를 한 바퀴 돌리는 것과 같습니다. 출발점으로 돌아왔을 때, 동전은 어느새 한 바퀴를 돌아 처음과 같은 방향을 보고 있을 겁니다. 이 움직임이 바로 공전으로 인한 한 바퀴입니다.

이 현상은 지구가 자전과 공전을 동시에 하는 구조와도 유사합니다.
지구는 1년 동안 태양을 한 바퀴 공전하면서,
자신은 365.25회 자전합니다.

결론: 자전 + 공전 = 두 바퀴
결국, 우리가 관찰하는 동전의 총회전수는 이 두 가지 움직임의 합입니다.

총회전수 = 자전(1바퀴) + 공전(1바퀴) = 2바퀴

즉, 굴러가면서 스스로 한 바퀴를 돌고(자전), 그와 동시에 다른 동전 주위를 돌면서 위치가 변해 저절로 한 바퀴가 추가된(공전) 것입니다.

다시 말해, 동전 B가 굴러가는 거리는 동전 A의 원주 만큼입니다. 따라서 동전 A를 펴서 직선으로 만들면 동전 B는 딱 한바퀴만 회전 할 것이나, 동전 A가 원이니까 동전 B가 A를 따라 한번 더 도는 효과가 생기는 것이죠!(결론적으로는 한바퀴 더 도는것이나, 매 순간 이 '공전하는 양'만큼이 동전 B의 회전에 추가되기 때문에, 실제 회전하는 모습은 더 신기한 상황이죠!)

그리고 SAT문제도 따라서 3바퀴가 아닌, 4바퀴가 됩니다.

이렇게 보면 이해가 쉬우시겠죠?

4. 수학으로 증명하기: 왜 '플러스 1'이 생길까?

직관적인 설명을 넘어, 수학을 통해 이 현상을 명확히 증명해 보겠습니다. 두 가지 접근법이 있습니다.

접근법 1: 자전 + 공전 모델

3번에서 설명한 개념을 수식으로 옮겨보겠습니다.

1] 반지름이 같은 경우

원주 길이 계산:
동전 A의 반지름: $ r $

따라서 원주: $ 2 \pi r $

동전 B는 동전 A의 원주를 따라 굴러가야 하므로, 굴러간 거리도 $ 2 \pi r $ 입니다.

그런데 이때 중요한 점은, 이 굴러간 거리만큼 접선 방향으로 회전하게 되는 것 외에, 곡선을 따라가면서 생기는 추가 회전 효과도 있다는 점입니다.

진짜 회전 각도는?
동전 B가 굴러간 선형 거리는
$ 2 \pi r $

동전 B 하나의 자체 원주 길이도
$ 2 \pi r $

그렇다면 미끄러짐 없이 굴렀을 경우, 동전 B는 총 몇 바퀴 돌았을까요?

$ \frac{굴러간 거리}{자기 원주} = \frac{2 \pi r}{2 \pi r} = 1바퀴 $

이게 끝이 아닙니다.
동전 B는 곡선을 따라 회전하면서 자기 자신의 위치도 회전하기 때문에, 추가적으로 1바퀴 더 회전하게 됩니다.

총 회전 각도:
총 회전 = 1(접선 방향 굴림(자전량))+1(곡선 회전(공전량)) = 2바퀴 = 720°

2] 반지름이 다른 경우

동전 B가 동전 A보다 더 작거나 클 경우에도, 유사한 계산이 가능합니다.

예를 들어, 동전 A의 반지름이 $ r_a $, 동전 B의 반지름이 $ r_b $라면,

굴러간 거리: $ 2 \pi r_a $ (고정된 동전의 원주)

자기 원주: $ 2 \pi r_b $ (굴러가는 동전의 원주)

회전 수 $ \frac{2\pi r_a}{2\pi r_b} +1 = \frac{r_a}{r_b} +1 $

즉, 동전 B는 $ \frac{r_a}{r_b}(자전량) +1(공전량) $ 바퀴 회전합니다.

접근법 2: '중심의 이동 경로'로 한 번에 증명하기 (가장 확실한 방법)

여기까지 따라오셨어도 "움직이는 동전 B는 결국 $ 2 \pi r_b $ 만큼 움직이는데! 이러면 한바퀴지!"라고 하실 수 있습니다.
그렇다면 '동전 B의 중심'이 이동하는 거리를 따져보는 것도 의미가 있겠습니다.
결국 동전 B의 중심이 이동하는 거리를 동전 B의 원주로 나눈 것이 엄밀한 의미에서의 '동전 B의 회전수'일테니까요!
동전 B의 중심이 이동한 거리는 동전 A의 중심에서 동전 B의 중심까지가 반지름인 원의 둘레의 길이와 같습니다.
즉, 동전 A의 반지름을 $ r_a $, 동전 B의 반지름을 $ r_b $라고한다면

고정된 동전 A의 중심에서 굴러가는 동전 B의 중심까지의 거리는 항상 $ r_a+r_b $ 입니다.
동전 B의 중심은 이 거리()를 반지름으로 하는 거대한 원을 그리며 한 바퀴 돕니다.
따라서 동전 B의 중심이 움직인 총거리는 이 거대한 원의 둘레인 $ 2 \pi (r_a+r_b) $ 입니다.

동전 B의 총회전수는 '중심이 이동한 거리'를 '자기 자신의 둘레'로 나눈 값이므로,
$ \frac{2 \pi (r_a+r_b)}{2 \pi r_b} $
이걸 다시 계산하면
$ \frac{r_a}{r_b} +1 $
이 되고, 이것은 바로 지금까지 우리가 고찰해왔던 결과와 일치합니다.

이처럼, '중심의 경로'라는 하나의 기준으로 계산하니 '공전'에 해당하는 +1이 수식에서 저절로 나타납니다. 이로써 논쟁은 완벽하게 마무리됩니다.

5. 결론 – 회전의 패러독스

Coin Paradox는 단순한 거리 계산이 아니라, 곡선 경로에서의 회전 중심 변화까지 고려해야 이해할 수 있는 현상입니다.

이는 물리학, 미분기하학, 동역학 시스템 등 여러 분야에서 응용되며, 직관과 실제 결과가 충돌할 때 수학이 왜 중요한지를 잘 보여주는 사례입니다.

이 간단한 역설은 우리에게 고정관념을 깨고, 현상을 여러 관점에서 분석하는 것의 중요성을 알려줍니다. 단순한 머리싸움 퀴즈를 넘어, 물리학의 자전과 공전, 기준 좌표계의 개념을 직관적으로 이해할 수 있는 훌륭한 예시랍니다.

사이클로이드(Cycloid) 회전체의 표면적(겉넓이) 구하기(회전체적분, 겉넓이적분)

미렌스 — Sun, 13 Jul 2025 16:16:36 +0900

사이클로이드(Cycloid) 회전체의 표면적(겉넓이) 구하기(회전체적분, 겉넓이적분)

사이클로이드(Cycloid) 시리즈 목차

0. 서론

자 오늘은 대망의 마지막시간!

사이클로이드의 선 길이, 넓이, 회전체 부피까지 알아봤으면 그다음은 무엇? 바로바로 표면적이다~

그럼 바로 알아보도록하죠~

1. 어떻게 구할건데?

표면적은 원기둥의 옆 넓이에서 힌트를 얻어보면 되는데, 원기둥의 옆 넓이는 원기둥의 원주길이($ 2 \pi r $)에다가 높이를 곱한 것이잖아요?

그러면 이걸 그래프로 가져와보면~

저번에 구하면서 생각해 봤듯이 이 회전체는 아주 얇은 원판으로 이루어져 있을테니 이 원판의 옆넓이를 구해보면 되겠슴다.

원판의 옆 넓이는 위에서 봤듯이 원주길이에 높이를 곱한것인데, 적분을 하려면 여기서 일반적인 높이 대신 미소높이(아주아주 작은 높이)를 곱해주면 되겠죠?

자 회전체에서 원판의 반지름은 바로 $ y $죠, 그리고 높이는? 전에 선 길이를 적분할때처럼 아주 미소한 변화량만큼의 곡선길이 일겁니다.($ \sqrt{dx^2 + dy^2} $)

그리고 이거를 매개변수 $ t $에 대해서 0부터 $ 2 \pi $까지 싹 모으면 짜잔, 옆넓이 즉 표면적이 나오겠군요!

2. 구해보자

즉, $ r = y, \ y = r(1 - \cos t), \ dh = \sqrt{dx^2 + dy^2} $ 여기서 dh는 미소 높이를 의미합니다.

식으로 써보면

$ S = \int_0^{2\pi} 2\pi y \ dh $

$ S = 2 \pi \int_0^{2 \pi} y * \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} \ dt $

$ S = 2 \pi r \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt $

이렇게 매개변수 식이 최종적으로 정리가 되겠습니다.

여기서, $ \frac{dx}{dt}=r(1 - \cos t,) \ \frac{dy}{dt} = r\sin t $ 니까

$ S = 2 \pi r \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * r\sqrt{(1 - \cos t)^2 + (\sin t)^2} dt $

$ S = 2 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{(1 - \cos t)^2 + (\sin t)^2} dt $

$ (1 - \cos t)^2 $ 풀어주고,

$ S = 2 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{1 - 2\cos t + (\cos t)^2 + (\sin t)^2} dt $

$ (\cos t)^2 + (\sin t)^2 = 1 $이니까

$ S = 2 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{1 - 2\cos t + 1} dt $

$ S = 2 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{2 - 2\cos t} dt $

$ S = 2 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{2(1 - \cos t)} dt $

$ S = 2 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{2(2\sin^2 \frac{t}{2})} dt \quad \leftarrow \cos (\frac{t}{2}+\frac{t}{2}) = \cos^2 \frac{t}{2} + \sin^2 \frac{t}{2} = 1 - 2\sin^2 \frac{t}{2} = 2\cos^2 \frac{t}{2} -1 $

$ S = 4 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{\sin^2 \frac{t}{2}} dt $

원래 $ \sqrt{A^2} = |A| $지만, 적분 구간 $ t \in [0, 2\pi] $에서 $ \frac{t}{2} $의 범위는 $ [0, \pi] $가 되고, 이 범위에서 $ \sin \frac{t}{2} \ge 0$ 이므로 절댓값 없이 정리가 가능합니다.

$ S = 4 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sin \frac{t}{2} dt $

아까와 마찬가지로 $ \cos t = 1 - 2\sin^2 \frac{t}{2} $로 바꿔주면,

$ S = 4 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} 2 \sin^2 \frac{t}{2} * \sin \frac{t}{2} dt $

$ S = 8 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} \sin^2 \frac{t}{2} * \sin \frac{t}{2} dt $

$ S = 8 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} \sin^3 \frac{t}{2} dt $

이렇게 간단하게 정리가 됩니다.

그런데, 저번에도 말씀드렸다시피 삼각함수의 세제곱은 바로 적분으로 풀 수가 없으니 찢어줍시다.

$ S = 8 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} \sin^2 \frac{t}{2} * \sin \frac{t}{2} dt $

삼각함수 항등식에서 $ (\cos t)^2 + (\sin t)^2 = 1 $이니까 $ (\cos \frac{t}{2})^2 + (\sin \frac{t}{2})^2 = 1 $이겠죠?

$ S = 8 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos^2 \frac{t}{2}) * \sin \frac{t}{2} dt \quad \leftarrow \cos \frac{t}{2} = u, -\frac{1}{2} \sin \frac{t}{2} dt = du \Leftrightarrow \sin \frac{t}{2} dt = -2du $

그리고나서 치환해줍니다.

$ S = 8 \pi r^2 \int (1 - u^2) * (-2) du $

이제 엄청 쉽게 풀릴 일만 남은 것 같죠?

아, 저번처럼 치환했다가 다시 돌아올거라 아래끝 위끝은 치환값으로 계산 안합니다.

치환 하고 적분한 다음 다시 원래대로 안돌리고 그 상태에서 값을 구하기위해 하는게 사실상 아래끝 위끝 값을 치환값으로 바꿔주는건데, 저희는 그냥 적분 후 다시 삼각함수로 돌리겠습니다.(즉, 아래끝 위끝 치환값은 계산 안하고 진행)

$ S = -16 \pi r^2 \int (1 - u^2) du $

$ S = -16 \pi r^2 (\int 1 du - \int u^2 du) $

$ S = -16 \pi r^2 (u - \frac{1}{3}u^3) $

$ S = -16 \pi r^2 (\cos \frac{t}{2}]_0^{2 \pi} - \frac{1}{3}(\cos \frac{t}{2})^3]_0^{2 \pi}) \quad \leftarrow \cos \frac{t}{2} = u $

보시다시피, 치환값을 다시 원래대로 돌립니다. 적분구간은 그대로겠죠?

$ S = -16 \pi r^2 ((-1 - 1) - \frac{1}{3}(-1 - 1)) $

$ S = -16 \pi r^2 (-2 + \frac{2}{3}) $

$ S = -16 \pi r^2 (-\frac{6}{3} + \frac{2}{3}) $

$ S = -16 \pi r^2 * -\frac{4}{3} $

$ S = \frac{64}{3} \pi r^2 $

3. 결론

따라서, 사이클로이드의 회전체의 표면적(겉넓이)는 $ \frac{64}{3} \pi r^2 $ 이라는 것이 밝혀졌습니다!

사이클로이드(Cycloid)의 부피 구하기(회전체적분, 부피적분)

미렌스 — Sat, 12 Jul 2025 19:12:52 +0900

사이클로이드(Cycloid)의 부피 구하기(회전체적분, 부피적분)

사이클로이드(Cycloid) 시리즈 목차

0. 서론

우리는 앞서 사이클로이드의 호의 길이(사이클로이드(Cycloid)의 길이 구하기(선적분))와 면적(사이클로이드의 면적구하기(면적분))을 구해보았습니다.

이번엔 세번째 시간으로 사이클로이드의 부피에 대해서 알아봅시다!

1. 부피?

사이클로이드는 2차원 평면에 있는데 왠 부피?라고 하신다면, 적분에는 항상 따라붙는 세가지가 선적분! 면적분! 회천체적분! 입니다.

즉, 2차원 평면에 있는 '면'을 x축 주위로 회전시키면 3차원 입체가 만들어지고, 그 부피를 적분으로 구할 수 있는거죠!

그리고 지금 우리는 이 사이클로이드를 x축을 기준으로 한바퀴 돌려서 소위 '럭비공'과 같은 모양으로 만들 예정입니다.

요렇게 생긴 곡선을

x축 기준으로 요렇게 회전시키는거죠.

대략 3D로 보면 이런 느낌이겠죠?

2. 회전체의 부피 공식 설정

자, 일단 '회전'하면 그 단면은 항상 '원'이 되겠죠?

그럼 적분의 모토와도 같이, 면을 쫘좌좌좍 모아가면 부피가 되겠네요!(뭐, 엄밀히는 면*미소높이 하여 아주 작은 원통들을 모아가는 거겠지만요..)

일단 원의 넓이는 $ \pi r^2 $으로 정의됩니다. 여기서 $ r $은 반지름이죠.

우리는 현재, x축을 기준으로 한바퀴 돌려서 만들었으니, 반지름은 바로 이 곡선의 높이가 될 겁니다.

이전 포스팅에서 확인하실 수 있듯이 현재 이 곡선의 높이 y는 $ y = r(1-\cos t)$ 이렇게 정의 되어 있으므로,

회전체의 단면의 원의 넓이는 $ \pi r^2 = \pi (r(1-\cos t))^2$이 되겠네요.

그리고 여기서 아주 작은 미소부피(dV)를 구하기위해 원 넓이에다가 아주 미소한 높이를 곱해줘야 하겠습니다.

현재 회전체의 부피를 x축을 따라가며 구하고 있으므로 이 원통(원기둥)의 높이는 바로 $ dx $가 되겠네요.

즉, $ dV = \pi (r(1-\cos t))^2 dx $ 되겠습니다.

그리고 이 미소부피들을 싹 다 적분하면, 회전체의 부피가 나오겠죠?

즉, $ \int dV = \int \pi (r(1-\cos t))^2 dx $입니다.

그러나 여기서 본식은 매개변수 표현인데 바로 $ dx $를 써서 계산이 불가능 하기때문에, 과거 포스팅에서 정리했던 내용들을 다시 상기해보면, $ dx = r(1-\cos t)dt $입니다.

적분을 위한 준비는 끝났습니다. 다시한번 정리해보죠.

적분의 아래끝은 0 위끝은 $ 2 \pi $, $ y = r(1-\cos t)$, $ dx = r(1-\cos t)dt $

이제 이걸 이용해서 수식으로 정리해주면,

$ V = \int_0^{2 \pi} dV = \pi \int_0^{2 \pi} (r(1-\cos t))^2 r(1-\cos t) dt $

이렇게 정리가 되겠습니다.

수식은 다 세워졌네요. 이제 정리하며 풀기만하면 끝입니다.

3. 적분 계산

$ \pi \int_0^{2 \pi} (r(1-\cos t))^2 r(1-\cos t) dt $

이 수식을 다시 깔끔하게 정리하면

$ \pi r^3 \int_0^{2 \pi} (1-\cos t)^3 dt $

요렇게 세제곱 형식으로 묶을 수 있을겁니다.

그리고 세제곱을 다시 풀어주면

$ \pi r^3 \int_0^{2 \pi} (1-3\cos t+3\cos^2 t-\cos^3 t) dt $

이렇게 풀 수 있고,

삼각항수 항등식에서 $ \cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2} $ 이므로

$ \pi r^3 \int_0^{2 \pi} (1-3\cos t+\frac{3}{2}(\cos 2t+1)-\cos^3 t) dt $

$ \pi r^3 \int_0^{2 \pi} (\frac{5}{2}-3\cos t+\frac{3}{2}\cos 2t-\cos^3 t) dt $

이렇게 정리가 되겠군요.

이제 적분은 선형결합에 대해 분배될 수 있으므로,

$ \pi r^3 \left( \int_0^{2 \pi} \frac{5}{2} \ dt-3\int_0^{2 \pi} \cos t \ dt+\frac{3}{2}\int_0^{2 \pi}\cos 2t \ dt-\int_0^{2 \pi} \cos^3 t \ dt \right) $

여기서, $ \cos^3 t $는 직접적으로 적분할 수가 없으니, 찢어줍시다.

$ \pi r^3 \left( \frac{5}{2} \int_0^{2 \pi} dt-3\int_0^{2 \pi} \cos t \ dt+\frac{3}{2}\int_0^{2 \pi}\cos 2t \ dt-\int_0^{2 \pi} \cos^2 t \cdot \cos t \ dt \right) $

이러면 약간의 빛이 보입니다. 삼각항수 항등식 $ \cos^2 t + \sin^2 t = 1 \Leftrightarrow \cos^2 t = 1-\sin^2 t $을 쓰면

$ \pi r^3 \left( \frac{5}{2} \int_0^{2 \pi} dt-3\int_0^{2 \pi} \cos t \ dt+\frac{3}{2}\int_0^{2 \pi}\cos 2t \ dt-\int_0^{2 \pi} (1-\sin^2 t) \cdot \cos t \ dt \right) $

그리고 $ \sin t $를 $ u $로 치환하면, 사실 치환한 아래끝 위끝이 모두 값이 0이 되면서 적분결과가 0이 되어버리지만 조금 더 수학적 재미를 위해 끝을 임의로 놓고 계산진행해보겠습니다.(구조를 보기 위해 양 끝에 임의기호 @, * 사용)

$ \pi r^3 \left( \frac{5}{2} \int_0^{2 \pi} dt-3\int_0^{2 \pi} \cos t \ dt+\frac{3}{2}\int_0^{2 \pi}\cos 2t \ dt-\int_{@}^{*} (1-u^2) du \right) \leftarrow u = \sin t,\ du = \cos t dt $

$ \pi r^3 \left( \frac{5}{2} \int_0^{2 \pi} dt-3\int_0^{2 \pi} \cos t \ dt+\frac{3}{2}\int_0^{2 \pi}\cos 2t \ dt-(\int_{@}^{*} du - \int_{@}^{*} u^2 du) \right) $

$ \pi r^3 \left( \frac{5}{2} \int_0^{2 \pi} dt-3\int_0^{2 \pi} \cos t \ dt+\frac{3}{2}\int_0^{2 \pi}\cos 2t \ dt-(u\vert_{@}^{*} - \frac{1}{3} u^3\vert_{@}^{*}) \right) $

$ \pi r^3 \left( \frac{5}{2} \int_0^{2 \pi} dt-3\int_0^{2 \pi} \cos t \ dt+\frac{3}{2}\int_0^{2 \pi}\cos 2t \ dt- \left( \sin t \vert_0^{2\pi} - \frac{1}{3} \sin^3 t \vert_0^{2\pi} \right) \right) \leftarrow u = \sin t $ (+치환에서 다시 돌아왔으니 적분구간 다시 전과 같은 구간으로 살려주기)

여기서 바로 $ \sin t $에 값 대입하면 0 나오지만, 그냥 수식 그대로 끌고가 볼께요. 이제 다 적분해줍니다.

$ \pi r^3 \left( \frac{5}{2} t \vert_0^{2 \pi} -3 \sin t \vert_0^{2 \pi}+\frac{3}{4}\sin 2t\vert_0^{2 \pi} \ dt- \sin t \vert_0^{2\pi} + \frac{1}{3} \sin^3 t \vert_0^{2\pi} \right) $

적분 풀면

$ \pi r^3 \left( \frac{5}{2} \cdot 2\pi-0+0-0+0 \right) $

즉, 살아 남은 항은 첫번째 항 뿐이므로

$ 5 \pi^2 r^3 $

이 됩니다.

사실 모든게 0으로 정리되는 걸 보여드리고 싶어 이렇게 진행했는데, 사실... 0에서 $ 2\pi $까지 $ \cos $함수의 홀수승 적분은 전부 0이라서

$ \pi r^3 \left( \int_0^{2 \pi} \frac{5}{2} \ dt-3\int_0^{2 \pi} \cos t \ dt+\frac{3}{2}\int_0^{2 \pi}\cos 2t \ dt-\int_0^{2 \pi} \cos^3 t \ dt \right) $

이렇게 정리된 순간 $ \cos $적분은 전부 사라지니 사실상 이 단계에서 계산이 끝난거나 다름없긴 합니다...

4. 결론

사이클로이드 회전체의 부피 $ V $ 는 $ 5 \pi^2 r^3 $입니다.

연산의 정의부터 군, 환, 체까지 – 닫힘성에서 시작하는 대수 구조의 세계

미렌스 — Tue, 8 Jul 2025 21:46:49 +0900

연산의 정의부터 군, 환, 체까지 – 닫힘성에서 시작하는 대수 구조의 세계

0. 들어가며

우리는 고등학교 수학 시간에 처음으로 연산이라는 개념을 접합니다.

특히 "자연수끼리 더하면 자연수다" 또는 "자연수끼리 나누면 자연수가 아니다"라는 식으로 연산에서 '닫혀 있다', '열려 있다'는 개념을 처음 접했던 기억이 있을 것입니다.(고등학교 수학시간에 너무 뜬금없이 나왔던 그거 말입니다..)

이렇게 연산의 성질을 분석하는 과정은 고등학교, 대학교를 지나면서 더 정교해지고 추상화됩니다.

결국 하나의 연산 혹은 여러 연산이 어떤 성질을 만족하는지를 기준으로, 군(group), 환(ring), 체(field) 같은 수학적 구조로 발전하게 됩니다.

1. 연산이란?

연산(operation)이란, 어떤 집합에 정의된 규칙으로서, 집합의 원소들을 입력받아 결과를 내는 함수입니다.

단항 연산: 원소 1개 → 예: 음수, 제곱근
이항 연산: 원소 2개 → 예: 덧셈, 곱셈

가장 흔한 이항 연산의 예는 다음과 같습니다:

정수의 덧셈: ∀a,b∈ℤ, a + b ∈ ℤ → 닫혀 있음 (여기서 ∀는 '모든' 이라는 뜻이고, ∈는 속한다는 뜻입니다)
자연수의 뺄셈: 3 - 5 = -2 ∉ ℕ → 닫혀 있지 않음

2. 연산의 성질

이항 연산에 대해 주요하게 다루는 성질은 다음과 같습니다:

닫힘성: 결과가 다시 같은 집합에 속함
결합법칙: (a * b) * c = a * (b * c)
항등원: a * e = a = e * a
역원: a * a⁻¹ = e
교환법칙: a * b = b * a

3. 주요 대수적 구조 비교표

구조	결합법칙	항등원	역원	가환성	분배법칙	설명 / 예시
마그마 (Magma)	❌	❌	❌	❌	❌	임의의 이항연산만 있는 집합 예: (S, *)
반군 (Semigroup)	✅	❌	❌	❌	❌	결합법칙 만족 예: (ℕ, +)
모노이드 (Monoid)	✅	✅	❌	❌	❌	항등원 존재 예: (ℕ, +, 0)
군 (Group)	✅	✅	✅	❌	❌	모든 원소가 역원 가짐 예: (ℤ, +)
아벨군 (Abelian Group)	✅	✅	✅	✅	❌	가환군 예: (ℝ, +)
준군 (Quasigroup)	❌	❌	✅	❌	❌	항등원 없이도 양쪽 해 존재 예: 라틴방진 구조
루프 (Loop)	❌	✅	✅	❌	❌	항등원 + 준군 예: 옥타니온
환 (Ring)	✅	✅ (덧셈) ❌ (곱셈)	✅ (덧셈) ❌ (곱셈)	✅ (덧셈) ❌ (곱셈)	✅	두 연산 +, × 보유 덧셈은 아벨군 곱셈은 결합 + 분배 법칙 만족 곱셈 항등원은 필수가 아님(전통적) 곱셈 항등원 없는 환을 rng로 정의(현대적) 예: (ℤ, +, ×), (2ℤ, +, ×)
가환환 (Commutative Ring)	✅	✅ (덧셈) ❌ (곱셈)	✅ (덧셈) ❌ (곱셈)	✅	✅	환 + 곱셈 가환성 곱셈 항등원은 선택적 예: (ℝ[x], +, ×)
단환 (Ring with Unity)	✅	✅	✅ (덧셈) ❌ (곱셈)	✅ (덧셈) ❌ (곱셈)	✅	일반적인 환에 곱셈 항등원(1) 포함 예: (ℤ, +, ×), (ℚ[x], +, ×)
정역 (Integral Domain)	✅	✅	✅ (덧셈) ❌ (곱셈)	✅	✅	가환 단환 + 제로인멸성 예: (ℤ, +, ×)
디비전링 (Division Ring)	✅	✅	✅ (덧셈) ✅ (곱셈: 0 제외)	✅ (덧셈) ❌ (곱셈)	✅	모든 0이 아닌 원소가 곱셈 역원을 가짐 곱셈은 가환이 아님 예: 쿼터니언 ℍ
체 (Field)	✅	✅	✅ (덧셈) ✅ (곱셈: 0제외)	✅	✅	정역 + 곱셈역원 존재 예: (ℚ, +, ×), (ℝ, +, ×), ( ₚ)

※ 참고: 모든 곱셈 결과가 0이 되는 '제로환(zero ring)'이라는 극단적인 구조도 있으나, 보통은 정역이나 체와 같은 구조에 포함되지 않으므로 이 글에서는 생략합니다.

4. 예시로 보는 구조들

ℕ (자연수): 덧셈에 대해 닫혀 있음 → 반군
ℤ (정수): 덧셈에 대해 아벨군, 곱셈은 결합법칙만 → 환
ℚ (유리수): 덧셈과 곱셈 모두 아벨군 (0 제외) → 체
n × n 정방행렬: 덧셈에 대해 아벨군, 곱셈에 대해 모노이드 → 환(종합적으로)

5. 마무리

하나의 연산으로부터 시작해 여러 가지 성질을 차례로 추가하면, 대수학의 주요한 구조들이 자연스럽게 나타납니다.

마그마 → 반군 → 모노이드 → 군 → 아벨군 → 환 → 정역 → 체 순으로 점점 더 많은 조건이 요구됩니다.

이러한 분류는 단순히 집합과 연산의 조합이 아니라, 구조 전체가 어떤 논리적 규칙을 따르는지를 보여주는 강력한 언어입니다.

우리가 흔히 다루는 숫자나 행렬도 사실 이 구조의 일부이며, 연산의 정의와 성질을 이해함으로써 훨씬 깊이 있는 수학 공부가 가능해집니다.

6. 참고 수식

연산의 닫힘성: ∀a, b ∈ S, a * b ∈ S
결합법칙: (a * b) * c = a * (b * c)
항등원: ∃e ∈ S, ∀a ∈ S, e * a = a * e = a (∃표시는 ~가 존재할때 라는 뜻입니다)
역원: ∀a ∈ S, ∃a⁻¹ ∈ S, a * a⁻¹ = e
교환법칙: ∀a, b ∈ S, a * b = b * a

모츠킨 수열(Motzkin sequence)

미렌스 — Mon, 7 Jul 2025 12:17:45 +0900

모츠킨 수열(Motzkin sequence)

0. 서론

카탈란 수열과 비슷하지만 또 재밌는 수열이 한가지 있습니다. 바로 모츠킨 수열(Motzkin numbers)인데요

오늘은 이 모츠킨 수열을 한번 살펴보도록 하겠습니다.

카탈란 수열에 +a한 수열이므로, 사실 카탈란 수열(https://omnil.tistory.com/221)시리즈를 전부 읽고 오시는 걸 추천드립니다.

1. 모츠킨 수열이란?

조합론에서 등장하는 아름다운 수열 중 하나가 모츠킨 수열(Motzkin numbers)입니다. 이 수열은 특정한 경로를 세는 문제나 괄호 구조, 평면 그래프의 엣지 수와도 관련이 있어, 카탈란 수열과 함께 종종 등장합니다.

카탈란 수열과 마찬가지로 테오도르 모츠킨(Theodore Motzkin)이 1948년 체계화해 발표한 것을 계기로 명명된 수열입니다.

2. 정의

모츠킨 수열 $M_n$은

1) 제일 간단하게 카탈란 수열(https://omnil.tistory.com/221)의 Dyck path에서 우상향(↗), 우하향(↘) 외에 평행이동(→)이 추가된 수열입니다.

2) 다음 조건을 만족하는 경로의 수로 정의됩니다:

시작점 $(0,0)$에서 시작하여 $(n,0)$에서 끝나는 경로 중,

한 번에 $(1,1)$ (↗), $(1,0)$ (→), $(1,-1)$ (↘) 이동 가능하고
절대 음의 높이(음수 y좌표)를 가지지 않는 경로의 개수.

즉, 위로 올라가거나 수평으로 가거나 내려가되, 절대로 수평선((0,0)~(n,0)) 아래로 내려가지 않는 경로의 개수를 셉니다.

3. 예시

$ M_0 = 1, \ M_1 = 1, \ M_2 = 2, \ M_3 = 4, \ M_4 = 9, \ M_5 = 21, \ M_6 = 51, \ \cdots $

카탈란 수보다 증가속도가 느리다고 생각할수도 있지만, 사실은 경우의 수가 한가지 더 늘어나서 더 빠르게 증가합니다.

그러나 항 수로 보면 느리게 증가하게 보이는 이유는, 카탈란 수와는 다르게 조건이 홀수개 이므로 수열 자체가 $ n \rightarrow 2n $으로 정의되던 카탈란 수열과 다르게 $ n \rightarrow n $으로 정의되기 때문입니다.

실제로 짝수항만 놓고보면 카탈란 수열보다 더 빠르게 증가함을 알 수 있습니다.

4. 점화식

모츠킨 수열을 다음과 같은 점화식을 만족합니다.

$ M_0 = 1, \ M_1 = 1, \ M_n = M_{n-1} + \sum \limits _{k=0} ^{n-2} M_kM_{n-2-k} \quad \operatorname{for} \ n \ge 2$

1) 첫 시작이 수평(→)이라면, 단순히 경로가 하나 줄어든 것이므로 $ M_{n-1} $ 값을 가집니다.

2) 첫 시작이 수평(→)이 아니라면, 무조건 우상향(↗)으로 시작해야하며, 이것은 카탈란 수의 점화식과 동일한 모양을 갖습니다.

단, 카탈란 수열은 무조건 총 경로가 짝수개여야만 하므로 점화식에서 -1만 빼 주어도 1쌍(시작:우상향, 끝:우하향)이 빠지는 결과가 나오지만, 모츠킨 수열은 총 경로가 홀수개여도 되므로, 점화식에서 -2(시작:우상향, 끝:우하향)를 빼주어야 합니다.

5. 생성함수

점화식을 알고있으니, 생성함수도 구할 수 있습니다.

카탈란 수열과 비슷하게 생성함수를 구해보면

$ M(x) = \sum \limits _{n=0} ^\infty M_n x^n = \frac{1-x-\sqrt{1-2x-3x^2}}{2x^2} $

으로 구해집니다만.. 카탈란 수보다 근호 안쪽이 한 차수 늘어난 걸 보면, 생성함수로 일반항 찾기는 아주 쉽지 않아보입니다.

일단 생성함수도 구할 수 있다 정도로만 생각하시고 넘어가시죠

사실 모츠킨수열은 조합론적 수열이다보니 경우의 수로 일반항 구하는게 더 쉽습니다.(카탈란 수열에서도 경우의 수로 구하는게 훨씬 쉬웠죠?)

6. 일반항

모츠킨 수열의 일반항은

$ M_n = \sum \limits_{k=0}^{[n/2]} \ _{n}\operatorname{C}_{2k} \ C_k$

여기서 왼쪽 C는 조합이고, 오른쪽 C는 카탈란 수 인데, 헛갈리니까 binomial 표현으로 바꿔주면

$ M_n = \sum \limits_{k=0}^{[n/2]} \binom{n}{2k} \ C_k$

이 됩니다.

여기서
- $ \binom{n}{2k} $는 전체 n칸 중에 길이 2k짜리 구간을 선택하는 방법의 수를 나타내며,
- $ C_k $는 카탈란 수로, 길이 2k인 Dyck path의 개수를 의미합니다.

이 식을 조합적으로 해석하면 다음과 같습니다.

1. 전체 경로의 길이는 n입니다.
   우리는 이 길이를 Dyck path 구간(길이 2씩 짝을 이루는 구간)과 수평선(→)으로 나눠 생각합니다.

2. 짝수 영역 선택하기:
   Dyck path는 길이가 항상 짝수여야 하므로, 2k ≤ n인 k에 대해서만 고려할 수 있습니다.
   즉, 가능한 k의 범위는 0 ≤ k ≤ [n/2]입니다.(여기서 대괄호는 '가우스 기호'혹은 '가우스 함수'라고 불리며, '기호 안의 값을 넘지 않는 최대 정수'를 의미합니다. 내림(floor)과 동일합니다. 즉, [2.5] = 2입니다.)[여기서 이 기호는 짝수 2k가 전체 길이 n을 넘지 않게 제한하는 역할을 합니다.]

3. $ \binom{n}{2k} $는 길이 n 중에서 길이 2k짜리 블록이 들어가는 위치를 고르는 방법입니다.

4. $ C_k $는 선택된 2k칸에 대해 Dyck path를 구성하는 방법의 수입니다.

5. 남은 n - 2k칸은 모두 수평선(→)으로 채우면 됩니다.

즉,
- 각 k마다
$ \binom{n}{2k} $: Dyck path가 들어갈 위치 조합 ×
$ C_k $: 그 위치에 Dyck path를 실제로 배치하는 방법
을 곱해서 전체 경로의 수를 계산하는 것입니다.

예를 들어 n = 3이라면,
가능한 k는 0 또는 1입니다.

- k = 0: 전부 수평선(→) → 1가지
- k = 1:
$ \binom{3}{2} $ = 3 (길이 2짜리 블록 하나를 어디 넣을지 선택) ×
C₁ = 1
→ 총 3가지

따라서,

$ M_3 = \binom{3}{0}·C_0 + \binom{3}{2}·C_1 = 1·1 + 3·1 = 4 $

다시 정리해보자면

$ M_n = \sum \limits_{k=0}^{[n/2]} \binom{n}{2k} \ C_k$

- k는 Dyck path로 채울 수 있는 짝수 영역의 개수
- binom(n, 2k)는 그 위치를 고르는 조합
- $ C_k $는 그 영역에 실제 Dyck path를 채우는 방법의 수

라는 조합적 해석을 갖습니다.

여기서 카탈란 수열 $ C_k $는 $ \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} $이므로 전체 풀어쓰면

$ M_n = \sum \limits_{k=0}^{[n/2]} \binom{n}{2k} \cdot \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$

결국, 카탈란 수열을 나눠서 얘들이 어디에 쏙쏙 배치될지만 결정하는게 모츠킨 수열이네요~

7. 결론

모츠킨 수열의 점화식: $ M_0 = 1, \ M_1 = 1, \ M_n = M_{n-1} + \sum \limits _{k=0} ^{n-2} M_kM_{n-2-k} \quad \operatorname{for} \ n \ge 2$

모츠킨 수열의 일반항: $ M_n = \sum \limits_{k=0}^{[n/2]} \binom{n}{2k} \cdot \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$

카탈란 수열을 심도있게 공부해봤다면, 너무나도 쉽게 카탈란 수가 들어갈 공간만 계산해주면 바로 모츠킨 수열의 일반항이 나온다는 사실을 알 수가 있답니다~

신입생의 꿈과 대학교 2학년의 꿈(Freshman's dream & Sophomore's dream)

미렌스 — Sun, 6 Jul 2025 00:09:56 +0900

신입생의 꿈과 대학교 2학년의 꿈(Freshman's dream & Sophomore's dream)

0. 서론

과거 작성하였던 0에서 1사이의 x^x(x의 x승) 적분 값 계산(integral from 0 to 1 x to the power x dx) 포스팅이 있습니다.

고등학생 때 미적분을 공부하다 궁금했었는데, 결국 그 당시에 해결하지는 못하고 나중에 대학교를 졸업하고 나서야 우연히 해결방법을 접하고 신기한 마음에 포스팅을 올렸었죠.

그러나 그때까지도 이게 정확히 뭔지 몰랐다가, 요근래 정확한 명칭을 알게되었습니다.

바로 "대학교 2학년생의 꿈(Sophomore's dream)"이라는 이름이더군요.

수학자들이 붙인 이름입니다.

이걸 보면 모든 학문이 한번에 짠하고 완성되는 경우는 없는 것 같습니다.

뭔가 하나씩 하나씩 시간이 지나며 완성되는 느낌이랄까요?

그런데 왜 하필 "대학교 2학년생의 꿈(Sophomore's dream)"일까요?

"대학교 1학년생의 꿈(신입생의 꿈, Freshman's dream)"도 있을까요?

혹시 다른 "꿈" 시리즈들도 있을까요?

이 포스팅의 시작은 바로 여기서 부터입니다.

1. 신입생의 꿈 혹은 대학교 1학년생의 꿈(Freshman's dream)

1-1. 정의

대학교 1학년생의 꿈은 다음과 같습니다.

$ (x+y)^p = x^p + y^p $

1-2. 유래

사실 곱셈공식을 처음 배울 때 처음 실수하는 구간이죠.

$ 3(x+y) = 3x+3y $와 같이 분배법칙에 익숙했던 우리 모두가 한번쯤은 거쳐가지 않았을까요

그리고 한편으론 '이렇게 쉬웠으면 얼마나 좋아~'싶은 바람이기도 하죠.(왜 '바람'이냐면, 아시잖아요? 일반적인 상황에서 p가 1인 경우를 제외하고는 이항계수와 각 항의 곱의 조합으로 인하여 저렇게 심플하게 나올 수가 없답니다)

그래서 어떻게 보자면, 수학자들이 "초심자들의 실수를 장난스럽게 놀리기 위해 + 초심자들의 바람"을 담아서 이것을 신입생의 꿈(Freshman's dream)이라고 부르기 시작했습니다.

"전 세계적으로 곱셈공식은 대학교 입학 전에 배우는데 왜 '신입생'이냐"고 하신다면, 사실 처음 붙인 사람의 의도를 알지 못하는 한 정확하게 알 수는 없지만 유추해보자면

대학교육의 '초심자'의 의미
제대로 학문하는 사람(교수)이 처음 보는 학생
이전까지는 '기본'적인 것들을 배웠다면 정말 대학교에서 본격적인 '수학'이라는 학문에 처음 들어온 뉴비

뭐 이정도의 느낌으로 신입생의 꿈 혹은 대학교1학년생의 꿈이라고 불렀겠죠?

대략 용어가 처음 등장한건 1940년대, 본격적으로 교재에까지 올라온 건 1974년이라고하니, 그렇게 엄청 오래된 용어는 아닙니다.

1-3. 그냥 헛소리일 뿐인가?

그러나 일반적으로는 성립하지 않는 저 식도 특수한 환경에서는 성립하게 됩니다.

아주 간단하게 설명해서, 특정 수가 p가 되면 0이 되는 공간에서 p가 소수일 때 저 등식은 성립합니다.

가령 p가 2가 되면 0이 되는 공간이 있다고 해봅시다.

0은 0이고, 1은 1이고, 2는 0입니다.

여기서 $ (x + y)^2 $은 $ x^2 + 2xy + y^2 $으로 전개되지만, 공간 정의에서 2는 0이 되므로 결국 $ x^2 + 0 + y^2 = x^2 + y^2 $이 됩니다.

따라서 신입생의 꿈이 성립하는거죠.

여기서부터는 좀더 나아가는 부분입니다. 가볍게 읽고 싶으시다면 건너 뛰셔도 좋습니다. 읽다가 복잡하시면 그냥 넘어가셔도 좋습니다.

수학적으로 엄밀하려면 물론 여러 조건들이 붙어야 합니다.

수학적으로 엄밀한 신입생의 꿈 정의는 "단위원이 있는 가환환 공간에서 표수 p에 대해 p가 소수일 때 신입생의 꿈 식은 성립한다"입니다.

1-3-1) 단위원이 있는 가환환(Commutative ring with unity)

일단 공간은 단위원이 있는 가환환(Commutative ring with unity)이어야 합니다.

이야 첫 단어부터 엄청 어렵죠?

단위원이란 unit element로, 동그라미 원이 아니라 항등원 같은 '원소'를 나타내는 말입니다. 뜻도 항등원이랑 비슷한데, 보통 곱셈의 항등원을 단위원이라고 표현하는 경우가 많습니다.

가환환이란 쉽게 생각해서 가환 즉 '교환이 가능한 고리'라는 건데요.

환 즉 '고리'란건 뭐 영역을 잡다보니 나온말로, 나중가면 '체(영역)'이란 것도 나옵니다.

크게 그냥 '영역을 나타내는 말이구나~'하고 생각하면 되지만, 왜 하필 'ring'이라고 붙였을까 생각해보면

"덧셈과 곱셈을 통해 만들어지는 여러 연산 결과들이 '서로 연결되어 닫힌 구조(closed structure)'를 만든다는 점에서, 마치 연산 결과들이 하나의 고리를 이루듯이 연결되어 있다"는 비유적 표현이지 않을까 싶긴하네요.

그리고 여기서 나오는 '여러 연산'을 또 정의하는 부분이 "덧셈으로는 군을 이루고, 곱셈으로는 결합법칙이 만족되며, 분배법칙도 있는 연산 구조"입니다.

뺄셈, 나눗셈이 덧셈과 곱셈의 역연산이라는걸 생각하면 일단, 덧셈과 곱셈만으로 환을 정의하는 건 알겠습니다.

그리고 곱셈에 대해서 이 '환(ring)'은 이렇게 요구하죠 '너는 그냥 결합법칙, 분배법칙만 만족하면 돼'라고요.

근데, 여기서 덧셈에 대해서는 '군을 이룬다'는게 뭔 말일까요?

군은 group으로 환이 성립하기 위한 군은 '가환군'이라고 합니다.

즉, '환'은 다음과 같이 요구합니다.

'덧셈은 가환군을 만족시킬 것, 곱셈은 결합법칙, 분배법칙을 만족할 것'

그럼 또 가환군은 뭔가요?

가환군은 네가지 조건을 만족하는 것입니다.

결합법칙 성립
항등원 존재
역원 존재 [여기까지가 '군'의 조건입니다]
교환법칙 성립 [이것까지 만족하면 '가환군' 입니다]

그리고 덧셈에 대해서는 가환군을 만족해야 한다고 했으므로

결합법칙 성립: $ (a + b) + c = a + (b + c) $
항등원 존재: $ a + 0 = a $
역원 존재: $ a + (-a) = 0 $
교환법칙 성립: $ a + b = b + a $

요 네가지가 성립하면 덧셈에 대해서 가환군이 만족됩니다.

자, 여기까지가 '환(ring)'이 되기 위한 조건이었습니다.

엄청 복잡하죠?

그러면 가환환이란 무엇이냐?

결국 위에서 정의한 '환'에 '가환' 즉 교환법칙까지 성립하게하면 '가환환'이 됩니다.

아까 환은 덧셈은 가환군을 만족해야하고, 곱셈은 단순히 결합법칙, 분배법칙만 만족하면 된다. 고 했으니

가환환은 덧셈은 가환군을 만족해야하고, 곱셈은 단순히 결합법칙, 분배법칙, 교환법칙까지 만족하면 된다. 입니다.

이렇게 해서 가환환까지는 정의가 끝났는데, 그럼 다시 처음으로 돌아가서 왜 "'단위원'이 있는"이라는 조건이 붙었을까요?

잘 보시면 가환환의 정의에서 곱셈은 '항등원'과 '역원'조건이 없습니다.

왜 없는고 하면, 이것까지 만족시키기가 굉장히 까다롭거든요(그래서 이것까지 만족하는 영역을 '체(field)'라고 따로 부릅니다)

그러나 여기서, 우리는 곱셈의 항등원(=단위원)은 필요하기 때문에(나중에 표수의 정의에서 쓰입니다), '가환환'조건에 따로 '단위원'을 추가시킨겁니다.

우와 여기까지가 공간정의 였습니다.

왜 이런 공간정의가 필요하냐면, 곱셈공식이 위와같은 연산규칙들을 따라야 우리가 원하는 모양대로 정리가 되기 때문에 그렇습니다.

1-3-2) 표수 p(Characteristic p)

표수(characteristic)라는건 쉽게말해 mod(나머지) 연산을 하는 제수(divisor)입니다.

이것도 엄밀하게는 "환 또는 체의 항등원 1을 반복 덧셈했을 때 0이 되는 최소 자연수"라는 정의를 가지고 있으나, 현재 우리가 논의하고 있는 유한환에 대해서는 쉽게 위와같은 정의로 이해해도 됩니다.(결국 유한환에서는 같은 얘기거든요..)

예시로 보는게 더 쉽습니다 이건

p=2,

1 = 1 $ \Leftrightarrow $ 1 mod 2 = 1
1+1=0 $ \Leftrightarrow $ 2 mod 2 = 0

p=3

1 = 1 $ \Leftrightarrow $ 1 mod 3 = 1
1+1=2 $ \Leftrightarrow $ 2 mod 3 = 2
1+1+1=0 $ \Leftrightarrow $ 3 mod 3 = 0

바로 이해되시죠? 이름만 어렵습니다.

1-3-3) p가 소수일때

그럼 왜 p가 소수일때만 이 식은 성립하는 걸까요?

이항정리를 보면, 그 답이 나옵니다.

이항계수는 아래와 같이 정의됩니다.

$ \binom{p}{k} = \ _{p}C_k = \frac{p!}{k!(p-k)!} $

여기서, 우리는 $ x^p, \ y^p $의 계수인 1, 즉 $ k $가 0이나, $ p $가 아닌 항들에 대해서 볼 것이므로 $ 0 < k < p $조건이 붙겠죠.

그리고 이 수식을 다시 써보면

$ \frac{p \cdot (p-1) \cdots (p-k)!}{k!(p-k)!} = \frac{_{p}P_k}{k!} $로 정리할 수 있겠죠?

여기서, $ p $가 소수이면, 분모의 어떤 수와도 약분되지 않으므로 $ p $가 분자에 존재하게 됩니다.

반대로 $ p $가 합성수이면, 분모의 어떤 수와도 약분되므로, $ p $가 분자에 존재하지 않게됩니다.

따라서, $ p $가 소수라면, 계수는 무조건 $ p $의 배수를 계수로 가지게 됩니다.

그리고 표수가 $ p $였기 때문에, 이 항들은 모두 0이 되버리게 되죠.

이로써, 위의 엄밀한 정의를 따른다면 무조건 신입생의 꿈(Freshman's dream)은 성립합니다.

2. 대학교 2학년생의 꿈(Shopomore's dream)

자, 그럼 대학교 2학년생의 꿈은 뭘까요?

2-1. 정의

$ \int^1_0 x^{-x} dx = \sum \limits _{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} $

$ \int^1_0 x^x dx = \sum \limits _{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^n} = - \sum \limits _{n=1}^\infty (-n)^{-n} $

위의 두 식을 대학교 2학년의 꿈이라고 합니다.

그리고 위키피디아 등 여러 문헌에서 두 식을 1697년 요한 베르누이(Johann Bernoulli)가 발견했다고 저술하고 있습니다.

여담으로 요한 베르누이는, 우리에게 익숙한 '베르누이의 정리'를 발표한 다니엘 베르누이의 아버지 입니다.

2-2. 유래

그럼 진짜로 요한 베르누이는 이 두 식을 발표했을까요?

현재 문헌상에서 찾을 수 있는 것은 1742년에 총 4권으로 출간된 "Opera omnia"입니다.

Jean(Johann) Bernoulli가 그동안 저술한 것을 모아서 출간한 전집이죠.

그리고 여기서 Vol 3, pp 376-383에 "대학교 2학년의 꿈" 식의 증명이 등장합니다.

(원문은 구글 아카이브(https://archive.org/details/johannisbernoul00berngoog/page/n406/mode/1up)에서 확인하실 수 있습니다. 세상좋아졌어요.. 1742년 출간된 책을 인터넷으로 볼 수 있다니...)

1697년 악타 에루디토룸(Acta Eruditorum) 3월호에 실린 논문의 내용을 다시 정리하여 소개하고 있죠.

이 논문에서 요한 베르누이는 "지수함수 계산법의 원리(Principia calculi exponentialium)는 내가 처음 고안해낸 것으로, 이후 1697년 3월호 "Acta Eruditorum"에 발표했다"라고 밝히고 있습니다.

그리고 내용을 좀 더 살펴보면, 사실은 본인은 이 증명을 이미 예전에 발견하였으나 따로 알리지는 않고있었지만 라이프니츠 등 다른 수학자들이 요청하여 공개한다고 밝히고 있습니다.

그리고 뒤이어 나오는 증명은 $ \int_0^1 x^x dx $를 급수로 풀어내는 증명입니다.

우리는 이전 포스팅(https://omnil.tistory.com/173)에서 감마함수를 이용하여 식변형 만을 가지고 이를 풀었었는데요,

실제로 요한 베르누이는 이 적분을

로그변환($ x^x = e^{x \cdot \ln x} $)
매클로린 급수 전개
항별 부분적분
x = 1 대입

의 방법으로 구하고 있습니다.(이후에는 일반항 $ x^n(\ln x)^m $에 대한 일반화된 적분 규칙을 정립하고, 논문을 마무리짓습니다.)

더불어, 이 식은 매우 빠르게 수렴하기 때문에 앞 몇 항만 계산해도 소수점 아래 10자리까지 계산할 수 있다고 밝혔습니다.

즉, 요한 베르누이의 논문에서는

$ \int^1_0 x^x dx = \sum \limits _{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^n} = - \sum \limits _{n=1}^\infty (-n)^{-n} $

이 식만 등장한다고 볼 수 있죠.

2-3. 검증

그렇다면, $ \int^1_0 x^{-x} dx = \sum \limits _{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} $ 이 식은 어디서 나온걸까요? 후대에 다른 수학자가 임의로 넣은 걸까요?

사실 베르누이의 방식을 따르던, 저희가 구했던 방식을 따르던 첫 함수를 $ x^{-x} $로 놓고 풀면, 아주 간단하게 식이 유도됩니다.

따라서 베르누이가 발견했다고도 볼 수 있죠(베르누이가 이 함수를 적분할 수 있는 방법을 찾은거나 마찬가지니까요)

더불어 오히려 처음 구한 $ x^x $보다 그 식이 너무나도 깔끔하고 딱 보기에 좌항과 우항이 적분이냐 급수냐의 차이만 있을 뿐 식이 똑같기 때문에 놀라움을 자아낼 수 있죠.

$ \int^1_0 \frac{1}{x^{x}} dx = \sum \limits _{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} $

그리고 이것을 바탕으로 대학교 2학년의 꿈(Sophormore's dream)이라는 언어유희가 탄생합니다.

첫 언급은 Borwein의 저술에 2004년에 등장하는 것으로 알려져 있습니다.

2-4. 신입생의 꿈 vs 대학교 2학년의 꿈

신입생의 꿈이라는 말은 위에서 '직관적으로 될 것 같지만 되지 않는 등식'을 일종의 '장난+그들의 염원'을 담아서 장난식으로 붙였다고 했습니다.

여기서 대학교 2학년의 꿈이라는 말은 반대로 '직관적으로 이게 돼!?' 싶은 등식이 '실제로 성립하는' 놀라움을 담아 붙인 셈입니다.

3. 다른 꿈 시리즈?

인터넷을 돌아다니다보면 '초등학생의 꿈'이니 뭐니 여러 '꿈'시리즈가 보이는 듯도 싶은데, 세계적으로 통용되는 보편적인 개념이나 용어는 아니고, 오히려 "'신입생의 꿈'처럼 어찌보면 '억지'인 상황을 제시하고, 어떤 특수한 상황에서는 성립한다는 것을 제시하는" 스타일입니다.

대표적으로 '초등학생의 꿈'은 과학잡지 등에서 기고로 실렸던 흔적을 찾을 수 있습니다.(뭐 사실 문제는 만들기 나름이지요. 신입생의 꿈 스타일이면 다 '~~꿈'이라고 할 수 있지 않을까요)

억지인 상황:

분수의 덧셈에서 통분을 하지않고, 분모끼리 분자끼리 더하는 상황(현실적으로는 성립하지 않지만, 직관적으로 '이렇게 해도 되지 않나!?'싶은 오류 상황)

특수한 해:

어떠한 집합 $ F_n $를 정의합시다.

이 집합은 0과 1사이의 기약분수의 모임입니다.

그리고 여기서 분모가 n 이하인 것들을 크기 순서대로 배열하기로 합시다.

수식으로 표현해보자면,

$ F_n = \left\{ \frac{a}{b} \,\middle|\, 0 \leq \frac{a}{b} \leq 1,\ \gcd(a,b) = 1,\ b \leq n \right\} $

이 됩니다. 여기서 gcd는 최대공약수(Greatest Common Divisor)로, 최대공약수가 1이라는 말은 두 수가 서로소(coprime)이라는 뜻이고 분수로 확장되면 기약분수를 나타내는 말이 되겠죠?

참고로 이 집합의 이름은 Farey set이라고 부른답니다.

예시로 볼까요?

$ F_1 = \left\{ \frac{0}{1}, \frac{1}{1} \right\} $
$ F_2 = \left\{\frac{0}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{1} \right\} $
$ F_3 = \left\{\frac{0}{1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{1} \right\} $

그리고 이 집합의 연속된 세 수를 고르면, 첫항과 세번째항의 '초등학생의 꿈' 연산의 결과가 두번째 항이 되는 것을 알 수 있습니다.

4. 결론

역사적 시간으로 다시 정리해보자면,

베르누이가 1697년에 $ \int^1_0 x^x dx = \sum \limits _{n=1}^\infty (-1)^{n+1}n^{-n} = - \sum \limits _{n=1}^\infty (-n)^{-n} $을 발견
1940~70년대 신입생의 꿈이라는 말이 만들어짐(초심자의 실수+그들의 바람 을 표현한 용어(직관적으로 될 것 같은데 안된다))
2004년 Borwein등의 저술에서 베르누이가 발견한 내용에 대학교 2학년생의 꿈이라는 용어를 붙임(신입생의 꿈과는 반대로 '직관적으로 맞는거 같은데... 맞는다!' 느낌)[여기서 원래 베르누이의 발견은 $ \int_0^1 x^x dx $이었지만, 약간 바꾸어서 더 아름다운 형태인 $ \int_0^1 x^{-x} dx $를 대표적인 식으로 표현(사실상 약간의 식변형이라 베르누이 논문에 직접 언급되지는 않지만 베르누이가 발견했다고해도 틀린말은 아님)]
이후에 다른 '꿈'들이 있었지만, 세계적으로 통용되는 것들은 아님

이렇게 되겠네요

5. 마무리

어떻게 오늘 포스팅도 즐거우셨나요? 우리모두 꿈을 꿔보도록 합시다~

정규분포의 확률밀도함수(Probability Density Function, PDF) 증명

미렌스 — Sun, 8 Jun 2025 14:54:25 +0900

정규분포의 확률밀도함수(Probability Density Function, PDF) 증명

0. 서론

확률밀도함수(PDF), 그 중에서도 정규분포함수가 왜 너무나도 당연하게 유도되는지를 증명해보려고 합니다.

신기하게도 하나하나 따라가다보면, 우리가 아는 그 유명한 종 모양 그래프가 나온답니다.

1. 정규분포의 함수 모양은 어떻게 생겼나?

아시는 분들은 대충 종 모양이라고 알고 계시겠고, 더욱 자세히 아시는 분들은 적어도 이 함수가 e의 지수함수꼴이라는 것은 알고계실겁니다.

그러나 그게 왜 그렇게 나오는지는 모르시는 경우가 많을 것이라 생각됩니다. 그럼 정말 '무지'에서 시작해서 이 그래프를 찾아가보도록 하겠습니다.

2. 조건들을 확인하자

우리가 아는 정규분포의 pdf의 조건들은 다음과 같습니다.

$ \int_{-\infty}^\infty f(x) dx = 1 $ : 함수의 전체 넓이는 1(=전체 확률은 1)
$ \int_{-\infty}^\infty x \cdot f(x) dx = \mu $ : 확률변수 x의 기댓값은 평균($ \mu $)
$ \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 \cdot f(x) dx = \sigma^2 $ : 확률변수 x의 분산은 표준편차($ \sigma $)의 제곱
$ \mu $를 기준으로 좌우 대칭
최대한 자연적인 분포(분포가 치우침이 없고 편향되지 않음)

이 조건들을 가지고 바로 함수의 모양을 찾아볼까요?

3. 최대한 자연적이다?

최대한 자연스러운 분포란 무엇일까요?

예를 들어, 동전을 던진다고 가정해봅시다.

가장 자연스러운 상황은 앞면이 나올 확률이 0.5, 뒷면도 0.5인 경우입니다.
왜냐하면 결과를 전혀 예측할 수 없기 때문이죠. (어느 쪽이 나올지 도무지 알 수 없음)

반면, 만약 앞면이 나올 확률이 0.99, 뒷면은 0.01이라면 어떨까요?
이건 거의 항상 앞면이 나오는 인위적인 상황으로, 결과를 예측하기 매우 쉽습니다.
더 이상 ‘무작위’라기보다는 ‘조작된’ 느낌이 들죠.

이처럼 우리가 말하는 ‘자연스러운 분포’란
결과를 예측하기 가장 어려운 상태,
즉 불확실성이 최대인 상태라고 할 수 있습니다.

그런데 생각해봅시다.

앞면이 나왔을 때 더 놀라운 경우는 어느 쪽일까요?

확률이 0.5인 공정한 동전?
아니면 0.99로 앞면이 나오는 조작된 동전?

당연히 전자입니다.

공정한 동전에서는 앞면과 뒷면이 동일한 가능성을 가지기 때문에,
결과가 나왔을 때 우리는 순간적으로 “아! 앞면이 나왔네!” 하고 반응하게 되죠.
반대로 조작된 동전에서는 앞면이 나와도 별로 새로울 것이 없습니다.
애초에 그럴 거라 거의 확신하고 있었으니까요.

이런 “놀라움의 크기”를 다른 말로 표현하면,
우리가 그 순간 “새롭게 알게 된 정보의 양”,
즉 정보량이라고 할 수 있습니다.

정리해보면 이렇게 연결됩니다:

불확실성이 크다 = 예측이 어렵다 = 놀라움이 크다 = 정보량이 크다

그리고 정보이론에서는 이것을 '엔트로피(entropy)'라고 부릅니다. 정보량이 크면 엔트로피가 큽니다.

[엔트로피의 원래 의미에서도 무질서도가 증가하는게 엔트로피가 크다고 하잖아요? 무질서할수록 우리가 알아야할 정보량은 커집니다.]

자, 그럼 정리되었습니다. 정규분포의 pdf는 엔트로피가 최대가 되어야 합니다.

4. 엔트로피는 어떻게 정의되는가

엔트로피는 샤논 엔트로피 공식(Shannon entropy formula)으로 구할 수 있습니다.

정보이론에서 샤논이라는 분이 엔트로피(불확실성)을 정량적으로 측정하기 위해 제안한 공식이죠.

수식을 보면

$ H(X) = - \sum p_i \log_b p_i $

이와 같습니다.

여기서 b가 2이면 bit로 나오고, e이면 nat, 10이면 hartley라고 하는데, 10은 거의 안쓰니까 크게 신경 안쓰셔도 됩니다.

p는 확률이죠.

이 수식은 정보이론에서 파생되었기 때문에 bit로 계산되는 이산적 공식이지만, 이 개념을 이용해서 연속적으로도 활용할 수 있습니다.

또한 보통 연속적으로 사용할때는 b가 e인 nat(natural unit of information) 단위로 쓰이지만, 이 단위가 크게 중요한 부분은 아닙니다.

중요한건 이 공식으로 연속함수의 불확실성을 나타낼 것이라는 점입니다.

$ H[f] = - \int f(x) \ln f(x) dx $

이제 이 공식에서 f(x)가 가장 불확실함을 나타내는 함수를 찾으면 됩니다. 그렇다면 H[f] 즉, 함수 f의 엔트로피가 최대가 되면 되겠죠?

5. 값이 최대가 아니라, 함수가 최대라구요?

여기서 값이 최대인 것을 찾는 방법이 미분법이라고 한다면, 함수가 최대인 것을 찾는 방법은 변분법이라고 불립니다.

그러면 바로 H[f]를 바로 변분법을 쓰면 될까요?

아니겠죠..? 위에서 조건들이 엄청 많았는데 그것들을 무시하고 찾으면 안되는 거잖아요?

그렇다면 위의 조건들을 어떻게 반영할 것이냐.. 하면 여기서 라그랑주 승수법이라는것이 나옵니다.

어떤 함수에 대해서 각 조건들에 라그랑주 승수를 곱해서 원 함수에서 더하거나 빼서 그 함수를 조건짓는 겁니다.

그렇게 해서 중간에 나오는 식을 '라그랑지안'이라고 부릅니다.

그렇다면 H[f]에서 각 조건들을 빼주면 되겠죠?

$ \mathcal{L} = - \int f(x) \ln f(x) dx - \lambda_0 ( \int f(x) dx -1 ) - \lambda_1 ( \int x \cdot f(x) dx - \mu ) - \lambda_2 ( \int (x-\mu)^2 \cdot f(x) dx - \sigma^2 ) $

이렇게 정리될겁니다.

그리고 여기에서 변분법을 적용하여(함수로 미분하는 겁니다) 이 값이 0인 점을 찾으면 미분처럼 극값을 주는 함수를 찾을 수 있습니다.

$ \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta f(x)} = - (1 + \ln f(x)) - \lambda_0 - \lambda_1 \cdot x - \lambda_2 \cdot (x-\mu)^2 = 0 $

으로 나올테고, 이를 정리하면

$ \ln f(x) = -1 - \lambda_0 - \lambda_1 \cdot x - \lambda_2 \cdot (x-\mu)^2 $

이 되고, 이를 다시 f(x)로 표현하면

$ f(x) = e^{-1 - \lambda_0 - \lambda_1 \cdot x - \lambda_2 \cdot (x-\mu)^2} $

$ f(x) = Ae^{- \lambda_1 \cdot x - \lambda_2 \cdot (x-\mu)^2} $

이렇게 정리할 수 있습니다.

그리고 여기서 '함수는 평균을 기준으로 좌우 대칭이다'라는 조건에 의해 $ \lambda_1 $은 0이 되어야만 합니다. x가 살아있으면 이 함수는 좌우 대칭이 깨지기 때문이죠. 따라서 다시 써보면

$ f(x) = Ae^{- \lambda_2 \cdot (x-\mu)^2} $

이렇게 정리가 됩니다.

그리고 이것을 통해서 정말 신기하게도, 이 함수의 '개형'을 알게 되었습니다.

그러면 이제 $ \lambda_2 $와 A만 알면 완벽한 정규분포식을 알 수 있겠군요!?

6. $ \lambda_2 $와 A 찾으러 떠나세~

여기서 다시한번 정리해보죠. 정규분포함수의 pdf는 $ f(x) = Ae^{- \lambda_2 \cdot (x-\mu)^2} $입니다.

그렇다면,

조건1:

조건 $ \int_{-\infty}^\infty f(x) dx = 1 $에서, f(x)를 대입하면

$ \int_{-\infty}^\infty Ae^{- \lambda_2 \cdot (x-\mu)^2} dx =1 $

이렇게 정리가되고, 이것을 풀면 $ \lambda_2 $와 A를 구할 수 있겠네요.

일단, A는 상수계수이므로 적분기호 밖으로 뺄 수 있을테니, $ \lambda_2 $부터 구해보도록하죠.

$ A \int_{-\infty}^\infty e^{- \lambda_2 \cdot (x-\mu)^2} dx = 1 $

그러나 여기서 안타까운 상황에 직면합니다.

$ e^{x^2} $꼴의 적분은 자명한 원시함수가 없음이 밝혀져있죠.(리우빌의 정리(Liouville’s theorem on integration in finite terms)에 의해 증명됩니다.)

그러면 풀지 못하냐.. 하면 우리 엄청나신 가우스님께서 이걸 약간의 트릭으로 아주 멋지게 풀어내십니다.

일단 $ x-\mu $를 $ u $로 치환해줍니다.

$ \int _{-\infty}^\infty e^{-\lambda_2 u^2} du $

여기서 해를 $ I $라고 하면 식은 다시

$ I = \int _{-\infty}^\infty e^{-\lambda_2 u^2} du $

이렇게 쓸 수 있습니다.

그리고 여기서 양변을 제곱해줍니다.

적분 변수를 구분해주기위해 다른 문자인 x, y를 씁니다. 여기서 x는 위에서의 x와 상관이 없습니다.(잠깐 쓰고 사라질 친구들이라 그냥 x쓰겠습니다)

$ I^2 = \left( \int _{-\infty}^\infty e^{-\lambda_2 x^2} dx \right)\left( \int _{-\infty}^\infty e^{-\lambda_2 y^2} dy \right) $

적분을 합치고, 수식을 정리하면

$ I^2 = \iint _{\mathbb{R^2}} e^{-\lambda_2 (x^2+y^2)} dx dy $

여기서 $ \mathbb{R^2} $는 '실수*실수 모든 영역에서'라는 뜻으로 $ \int _{-\infty}^\infty\int _{-\infty}^\infty = \iint_{\mathbb{R^2}} $입니다.

여기서 $ x^2+y^2 = r^2 $이라는, 원의 방정식이자 극좌표 표기 형식으로 바꿔보면,

$ dx dy $의 경우 미소 면적을 뜻하는 것인데, 극좌표 형식에서는 미소한 $ \theta $에 대해 부채꼴의 호의 길이인 $ rd\theta $와 $ dr$의 곱으로 표현할 수 있으므로 둘이 치환되며,

구간의 경우 $ r $이 0부터 무한대까지, 그리고 $ \theta $가 0에서 $2\pi$까지면 실수영역에서 $ \mathbb{R^2} $를 커버하므로 이와같이 치환하면 수식은

$ I^2 = \int_{0}^{2\pi}\int _{0}^\infty e^{-\lambda_2 r^2} rdrd\theta $

이와같이 바뀝니다.

여기서 안쪽 적분인

$\int _{0}^\infty e^{-\lambda_2 r^2} rdr$

부터 적분하면, $ \lambda_2 r^2 = v $, $ 2\lambda_2 rdr = dv \Leftrightarrow rdr = \frac{dv}{2\lambda_2} $로 치환하면

$\frac{1}{2\lambda_2}\int_0^\infty e^{-v} dv $

이렇게 변형이 되고, $ \int_0^\infty e^{-v} dv = 1 $이므로

안쪽적분은 $\frac{1}{2\lambda_2}$가 나옵니다.

이제 바깥쪽 적분으로 들어가면

$ \frac{1}{2\lambda_2} \int_0^{2\pi}d\theta $이므로

$ I^2 = \frac{2\pi}{2\lambda_2} $

$ I = \sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2}} $

가 됩니다.

$ A \int_{-\infty}^\infty e^{- \lambda_2 \cdot (x-\mu)^2} dx = 1 $

여기에서 적분부분이 $ I $이므로, $ A\sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2}} = 1 $

$ A = \sqrt{\frac{\lambda_2}{\pi}} $

조건2:

여기서 저희는 분산조건도 만족시켜야 합니다.

$ \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 \cdot f(x) dx = \sigma^2 $

f(x)에 $ Ae^{- \lambda_2 \cdot (x-\mu)^2} $대입하고, 마찬가지로 $ x-\mu $를 $u$로 치환하면

$ \int_{-\infty}^\infty u^2 \cdot Ae^{- \lambda_2 \cdot u^2} du = \sigma^2 $

여기서 A를 적분 밖으로 빼면

$ A \int_{-\infty}^\infty u^2 \cdot e^{- \lambda_2 \cdot u^2} du = \sigma^2 $

요런식이 나오는데, 여기서 부분적분해야하나?라는 생각이 들수도 있지만, 아주 멋있는 해법이 있습니다.

아까

$ I = \int _{-\infty}^\infty e^{-\lambda_2 u^2} du = \sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2}} $

였죠?

이걸 바로 $ \lambda_2 $로 미분해줍니다.

$ \frac{dI}{d\lambda_2} = \frac{d}{d\lambda_2}\int _{-\infty}^\infty e^{-\lambda_2 u^2} du = \int _{-\infty}^\infty \frac{d}{d\lambda_2}e^{-\lambda_2 u^2} du = \int_{-\infty}^\infty (-u^2) \cdot e^{- \lambda_2 \cdot u^2} du $

따라서

$ \int_{-\infty}^\infty u^2 \cdot e^{- \lambda_2 \cdot u^2} du = -\frac{d}{d\lambda_2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2}} $

$ = -\sqrt{\pi} \frac{d}{d\lambda_2} \lambda_2^{-\frac{1}{2}} $

$ = -\sqrt{\pi} (-\frac{1}{2}) \lambda_2^{-\frac{3}{2}} $

$ = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2^3}} $

$ = \frac{1}{2\lambda_2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2}} $

다시정리하면,

$ A \frac{1}{2\lambda_2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2}} = \sigma^2 $

위에서 $ A = \sqrt{\frac{\lambda_2}{\pi}} $이었으므로

$ \sqrt{\frac{\lambda_2}{\pi}} \frac{1}{2\lambda_2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2}} = \sigma^2 $

$ \frac{1}{2\lambda_2} = \sigma^2 $

$ \lambda_2 = \frac{1}{2\sigma^2} $

이렇게 $ \lambda_2 $가 구해지고, A는

$ A = \sqrt{\frac{\lambda_2}{\pi}} $

이므로 여기에 대입하면

$ A = \sqrt{\frac{1}{2\pi\sigma^2}} $

$ = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} $

7. 결론

따라서 유도된 정규분포 pdf는

$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{- \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $

이와 같습니다.

완전 무에서부터 조건들만 가지고 정규분포 pdf가 증명되는게 너무 신기하지 않나요?

생성함수(Generating Function)란?(feat. 멱급수(power series))

미렌스 — Thu, 5 Jun 2025 21:51:33 +0900

생성함수(Generating Function)란?(feat. 멱급수(power series))

0. 서론

생성함수(Generating function)에 대해 그 의미가 생소한 분들이 많은 것 같아 추가로 이 포스팅을 기획하였습니다.

이전까지 글들이 좀 더 수학적으로 엄밀하고, 수식을 통해서 논지가 진행되었던 것에서 이번 포스팅은 조금 탈피해보려고 합니다.

아무래도 개념적인 부분을 다루고, 심지어 생소한 개념이다보니 최대한 쉽게 써보려고 하는데요.

여기서 예시로 들거나 대화를 하는 듯한 부분은 하나의 과장이자 허구이니 진지하게 받아들이시지는 마시고, '아~ 그냥 이래서 이렇게 되었던 거구나~'정도로만 이해해주시면 감사하겠습니다.(진짜 저런 대담이 오갔다거나 저게 진짜 기원이라고 믿으시면 안됩니다... 흐름만 봐주세요..)

그럼 시작해보겠습니다.

1. '등비수열의 합' 공식을 아시나요?

혹시 '등비수열의 합' 혹은 '등비급수' 공식을 알고 계신가요?

고등학교에서 처음 나오는 부분이라, 고등학교 교육을 지나쳐 오신 분들은 조금 친숙하시거나 적어도 '아.. 그런것도 있긴했었다...' 하실테고 아직 고등학교 교육을 이수하지 못하신 분들이라면 '엥?'이라고 하실수도 있으실 겁니다.

결론적으로 공식만 써보면 다음과 같습니다.

$ \sum \limits _{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r} $

여기서 a는 초항(제일 처음 항), r은 공비 죠.

그리고 여기서 r은 $ | r | < 1 $입니다. 이래야만 수렴하거든요.(간단히 쓰기로 했으니까 자세한 내용은 생략하겠습니다만, 부분합 공식에서 극한을 취해보면 $ | r | < 1 $인 경우에만 수렴한답니다.)

1-1. 등비급수 공식을 직접 유도해보자~

이 공식은 고등학교에서 두가지 방식으로 유도합니다.

1) 등비 수열의 부분합 공식에서 n에 극한을 취해서 구한다.

2) r을 하나 곱해서 빼서 구한다.

여기서 두번째 구하는 방법을 한번 볼까요?

먼저 어떤 등비수열의 무한급수가 있다고 해 봅시다. 그리고 이 친구를 그냥 $ S $라고 놓을께요.

편의상 초항 a는 1로 놓겠습니다.

$ \sum \limits _{n=0}^{\infty} r^n = \sum \limits _{n=0}^{\infty} r^n = 1 + r + r^2 + \cdots = S $

그리고 여기서 $ S $에 $ r $을 하나 곱해봅시다.

$ r+r^2+r^3+\cdots = rS $

오 근데 위 식과 아래 식을 잘 보면 항이 서로 뺄 수 있을 것 같이 생기지 않았나요? 바로 빼봅시다

$ 1 + r + r^2 + \cdots - (r+r^2+r^3+\cdots) = 1 = S - rS $

$ 1= S-rS \Leftrightarrow 1 = (1-r)S $

다시정리하면,

$ \frac{1}{1-r} = S \Leftrightarrow \frac{1}{1-r} = 1 + r + r^2 + \cdots $

여기서 초항 a를 편의상 1로 놓고 계산했지만, 다시 살려줘서 양변에 곱해주면

$ \frac{a}{1-r} = a(1 + r + r^2 + \cdots) = a \sum \limits _{n=0}^{\infty} r^n = \sum \limits _{n=0}^{\infty} ar^n $

바로 우리가 처음 보았던 바로 등비수열의 합 공식이 짜란 하고 펼쳐집니다.

1-2. 근데 이걸 다시 곱해보면?

근데, 이 수식에서 분모를 다시 양변 곱해볼 생각 해보신분 계신가요?

$ \frac{1}{1-r} = 1 + r + r^2 + \cdots $

바로 이부분에서요.

'무한한데 어떻게 분배하냐~~~'라고 하실수도 있지만, 잘 보면 분배는 (1-r)에서 1곱한 급수 - r곱한 급수가 된답니다.

$ (1+r+r^2+\cdots)(1-r) = (1+r+r^2+\cdots) - r(1+r+r^2+\cdots) = (1+r+r^2+\cdots) - (r+r^2+r^3+\cdots) $

이렇게 분배가 되구요.. 수식을 잘 보고 뺄셈을 해보시면... 1만 남는걸 알 수 있습니다.

(여기서 '빼는 항 개수가 안맞잖아요~'라고 하신 당신은 엄청난 재능러! 그러나 무한의 공간에서는 말 그대로 '무한'하기 때문에 항 수에 대한 1:1 매칭이 의미가 없답니다! 관심있는 분들은 '힐베르트 호텔'을 한번 찾아보세요!)

그럼 수식을 다시 써보면

$ \frac{1}{1-r} = 1+r+r^2+\cdots \Leftrightarrow 1 = (1+r+r^2+\cdots)(1-r) = 1 $

엥? $ 1 = 1 $이라는 너무나도 기묘한? 이상한? 결과가 나왔네요?

뭐 별거 없습니다. 그냥 '당연하다~'이소립니다.

"좌변이 1이고, 우변도 계산하면 1이니까 둘은 같잖아! 그러니까 너의 식변형은 맞아~"

라고 알려주는거나 마찬가지지요.

결국 저 무한한 등비 수열이 더하기로 연결되어있는 걸 '단 하나의 수식'으로 표현할 수 있다는 거죠!

그럼 이 당연한걸 왜 해봤냐면요...

2. r을 확장해보자~

이제 수학자들이 이런 생각을 하기 시작합니다.

"오호 신기한지고... 어떻게 무한한 더하기를 이 단 하나의 공식으로 표현할 수 있는겐가..."

"오호오호 너무나 신기한지고... 아니 그러면 '값'을 넣으면 '값'이 나오는 r이라는 '공비' 대신에 의문스러운 '무언가'를 나타내는 문자 x를 써보면 어떠할까?"

그렇게 문자 x로 확장을 해봤는데? 어머어머 이게 x라도 딱 맞는거에요~~ 1=1이 나와버렸다니까요~~ (궁금하시면 직접 x로 바꿔서 풀어보셔도 됩니다만.. 어차피 r이나 x나... 글자만 바뀐거니까 결과도 동일하겠죠...?)

3. x에다가 무슨 장난을 칠 수 있을까... 계수?

거기다 이게 "아니 공비(r)라고 하는 틀에 갖혀서는 무조건 공비의 조건을 만족해야만 수식이 수렴하면서 값이 나왔기에 그냥 그런갑다~~ 했는데, 이걸 x라고 놔버리고보니 우항이 x의 거듭제곱꼴이되면서 x의 계수가 다시 또 어떤 등비수열을 나타낼 수 있잖아!? 오마나 세상에나 만상에나!!"

"봐봐, 봐봐, x라고 하는 자리에 2x를 넣으면, x의 계수가 바로 공비가 2인 수열이 만들어진다니까!?"

아주 난리가 납니다. 완전히 새로운 접근이 되어버린거죠.

이제 무한한 수열을 단 하나의 수식으로 '압축'해서 표현할 수 있는 방법이 생긴겁니다. 혁신이었죠.

그리고 여기서 다시 잘 살펴보면 x는 '어떤 미지의 수'를 뜻하는게 아니라 진짜 말그대로 '그냥 무언가'를 뜻하는 걸로 출발해서 이와같은 결실을 맺었기에, 그리고 그 '그냥 무언가'를 몇 제곱 했는지가 바로 그 계수를 몇제곱했는지랑 같은 의미가 되며, 그냥 'n번째'를 나타내는 '$ x^n $'으로의 의미가 생기게 됩니다.

4. 계수가 할말이 있대 집중

근데 여기서 수학자들이 또 아주 재밌는 사실을 발견합니다.

"근데, 꼭 등비수열만 이렇게 나타낼 수 있는걸까?"

그러면서 계수를 이제부터 (등비수열의 정의 $ a_n = ar^n $에서)

$ ar^n $으로 보지 않고 $ a_n $으로 봐버리는 겁니다. 발상의 전환! ~~집중과 선택!~~

그러면 바로 이 급수 비스므리한 수식은! 안타깝게도 등식이 깨져버립니다.

좌변의 수식이 바로 '등비급수'를 나타내는 수식이었기 때문이죠...

그러나 하늘이 무너져도 솟아날 구멍은 있다! 어떤 수학자가 발상의 전환을 해버립니다

"어? 그럼 그냥 좌변을 '나도 모르는 수식 무언가 ‍ '라고 놓아버리면 우변도 바꿔도 되지 않을까?

아니 그러면... 반대로 생각해보면...

우변의 계수가 등비수열이었으니까 -> 좌변의 수식이 등비수열을 나타내는 수식

그렇다면

우변의 계수가 'ㅁㄴㅇㄹ'수열이면 -> 좌변의 수식이 'ㅁㄴㅇㄹ'수열을 나타내는 수식(일명 '나도 모르는 수식 무언가 ‍ ')

이 되어버리는 거네!?

그러면 이번엔 좌변이 '수식 무언가'니까 대애충 '수식이에요'하는 모냥으로 함수처럼 A(x) 이런식으로 써놓고, 우변의 계수에 내가 알고싶은 수식의 일반항 넣고 계산해서 계산이 되어버리면, 그 계산된게 '수식무언가'겠네!?!?!?!?

오 마이 갓!!"

이렇게 깨달음을 얻은 그들... 다시한번 심호흡하며 그동안 깨달은걸 다시한번 검토해봅니다.

1) 등비급수를 구하는 공식을 찾았다!

2) 거기에다가 공비대신에 문자 써도 성립하던데?

3) 어? 근데 문자 옆에 계수 쓰면 그 계수를 공비로 가지는 등비수열이 나와

4) 지금 이건 등비급수 공식을 가지고 계수가 등비수열을 나타내는걸 만들어낸거나 마찬가지네?

5) 여기서 등비수열을 또 일반항 $ a_n $으로도 표현할 수 있잖아?

6) 그렇다면 일반항 $ a_n $에 대해서 표시가 된다면, 아무 수열이나 다 쓸수있는거아냐?

7) 어? 그럼 '나도모르는 공식' 무언가는 계수가 'ㅁㄴㅇㄹ'수열을 나타낼 수도 있지 않을까?

8) 6번 7번을 섞어서 생각해보면, 'ㅁㄴㅇㄹ'수열을 넣고 계산해서 어떤 특정한 공식이 나온다면 그게 바로 그 수열의 '공식'이네!?

9) 반대로 이 공식을 $ a_n $으로 표시할 수 있으면, 이게 바로 그 수열의 일반항이 되는건가아아아아아아!!!!

한번 더 검토하고는 '유레카!'를 외치며, 그들은 자신들이 맞았음을 확신하고는 이내 계수에 온갖 수열을 다 넣어봅니다.

가장 간단한 등차수열도 넣어봅니다.

등차수열의 일반항은 다음과 같습니다.

$ a_n = a + (n-1)d \quad (n \ge 1) $

보통은 수열의 첫 항을 1항이라고 표시해서 이런 식이 나오는데, 그냥 첫 항을 0이라고 놔버리면 수식은 좀 더 간단해집니다.

$ a_n = a + nd \quad (n \ge 0) $

아까 우항을 아래와 같이 표기할 수 있다고 그랬습니다.

$ \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n $

여기다 등차수열의 일반항을 대입해보면

$ \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left(a + nd\right) x^n $

이렇게 될 겁니다.

근데 여기서 이 친구는 우항이었죠?

좌항은 '분명히 무슨 공식이 있을텐데...?'수준입니다. 그래서 그냥 '수식 비스므리한 무언가'라고 $ A(x) $라고 써주겠습니다.

그렇다면 완성된 수식은

$ A(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left(a + nd\right) x^n $

사실상 급수수식

$ \frac{1}{1-rx} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} r^n x^n $

과 다를바가 없습니다.(수식의 비슷한 정도를 위해 문자 x로 바꾼 버전으로 썼습니다)

다른점이라면 등비수열 수식은 이미 우리가 등비급수 수식을 통해 유도해 내려오면서 좌변을 알 뿐이고, 등차수열은 좌변을 모르니까 A(x)라고 놨을 뿐이죠.

개념 포스팅이니 자세한 유도는 생략하겠습니다만, 결국 풀어보면

$ A(x) = \frac{a}{1 - x} + \frac{d\,x}{(1 - x)^2} $

이렇게 됩니다. 결론은 '우리가 뭔지 몰라서 A(x)로 놨던 수식은 사실은 $ \frac{a}{1 - x} + \frac{d\,x}{(1 - x)^2} $ 였어~'

라는 뜻입니다.

그리고 이걸

$ \frac{1}{1-rx} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} r^n x^n $

요런식으로 표현해보면

$ \frac{a}{1 - x} + \frac{d\,x}{(1 - x)^2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left(a + nd\right) x^n $

즉, 등차수열을 계수로 가지는 급수는 좌항과 같은 '단 하나의 수식'으로 표현 가능하대요~ 라는 의미가 되죠.

어머 이게 풀려버렸습니다. 등차수열이 또 단 하나의 수식으로 표현되어버립니다.

"와 미쳤다. 우효~ 이거 우리가 어마어마한걸 발견해버린거 아니냐고~~ "

수학자들은 신이났습니다.

그리곤 진짜 별의 별 수열들을 다 넣어보는데.... 어머나.. 모두다 단 하나의 수식으로 압축이 되어버리는거있죠~~~

이렇게 수열을 하나의 수식으로 다 표현할 수 있게 되자, 수학자들은 이 놀라운 방식을 아예 이름을 붙이기로 합니다.

거기다 왠지 '거창한 이름'을 지어주고 싶어졌죠.

5. 너의 이름은 생성함수니라~

그래서 이름도 아주 거창하게 '생성함수(generating function)'라고 지어버립니다.

처음 듣는 사람 아주 기죽게말이죠..

그러나 실상은 별거없어요.

'생성' : 아 이걸로 무한한 수열을 만들어 낼 수(생성할 수) 있어~
'함수' : 아 수식 비스므리한거니까 함수야~ 그리고 우항이 x의 거듭제곱으로 표현되어버려서 미적분이나 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 등등 함수처럼 다룰 수 있어~ 그러니까 좌항 너는 이제부터 함수여~

라서 그냥 생성함수입니다.

그리고 좌항에 하나의 수식으로 표현되는 부분은 생성함수라고 이름 붙여줬으니, 우항에 x의 거듭제곱이 덧셈으로 연결되어있는 이 부분을 "그래 너네는 거듭제곱이 계속 더해지니까 '거듭제곱 급수' 혹은 거듭제곱이 계속 나오니까 power(거듭제곱) series(나열)라고 불러주마"라고 해버렸습니다. 한자로 거듭제곱이 '멱'이라서 멱급수라고도 하죠.

6. 모일 모처에서는...

동시에 다른곳에서는 다른 수학자들이 다른 고민을 하고 있었습니다.

"'초월함수(transcendental function)'가 너무 어려워!!! 크악!!!"

여기서 초월함수란, '유한한' 다항식의 합으로 표현가능한 대수적 함수를 '초월(transcendental)'했다는 뜻에서 붙인 함수에요. 말 그대로 $ e^x $, sin x, ln x 등을 말하는 거죠.

수학자들은 이 초월함수를 어떻게든 대수적 함수(유한 개의 다항식의 합으로 나타낼 수 있는 함수)로 나타내보려했으나 모두 실패했답니다... 그리고는 '초월함수'란 이름을 붙이고 백기를 들...려고 했으나! 일부 수학자가 이를 벅벅 갈면서

"너가 초월함수면 다야? 너가 어디 다항함수로 '근사'까지 할 수 없나 보자!"

라며 이 초월함수를 다항식으로 비슷하게 만들어보려고 애씁니다.

그리고 결국 '무한한' 다항식의 합. 바로 급수로 이 초월함수를 근사해 내는데 마침내 성공합니다.(테일러 급수(Taylor series), 매클로린 급수(Maclaurin series) 등)

정말 집념이 대단합니다.

그런데, 이 급수... 잘 보면 '무한한 다항식의 합' 즉, x의 거듭제곱의 합으로 표현이 됩니다. 그래서 이 수학자들은 여기에 '멱급수(power series)'라고 이름을 붙였죠. 영어 그대로 보자면 power ~~힘!이 아니라~~ 거듭제곱!의 series 연속 이란 뜻이죠.

그런데 이거.... 어디서 본거 같지 않나요?

7. 대충돌

네, '수열의 압축법' 즉, 생성함수를 찾아낸 쪽도 x의 거듭제곱의 합으로 수열을 나타내고, 초월함수를 근사하는 방법을 찾아낸 쪽도 x의 거듭제곱의 합으로 함수를 근사합니다.

이제 이 둘이 옥신각신 싸웁니다.

누가 먼저냐...는건 관심도 없고, 이거 용어를 뭐라할지 싸웁니다.

서로 같은 용어를 쓰면 이게 생성함수에서 사용하는건지, 함수근사에서 사용하는건지 헛갈리잖아요?

그래서 결국 우여곡절 끝에 양측이 합의를 합니다.

초월함수측: 잘 보니까 우리 x의 사용법에 차이가 있는 것 같다. 우리는 x에 실제 값을 대입해서 함수처럼 쓴다. 그러니까 초월함수를 근사할 수 있지.

생성함수측: 그래 맞아. 우리는 x를 그냥 '문자'이자 그 거듭제곱이 '몇 번째인지'를 알려주는 색인으로만 쓰지 직접 값을 대입하지 않는다. 그러면 너네들이 진짜 값을 대입하니까 '멱급수(power series)'는 니네가 가져라.

초월함수측: 먼저 그렇게 선뜻 내주다니 고마운걸? 그럼 우리는 더 멋있는 이름을 지어주마. 아주 엘레강스하고 포멀하게~ 너네는 x를 실제 값으로 안쓰고 '형식적'으로 쓰니까 형식적 멱급수(formal power series)라고 붙여주마

생성함수측: 오우 왕년에 이름 쫌 지어보셨나봐?

양측: 호호호 오호호

뭐 실제로 이랬는지는 알 수 없지만... 어찌됐든 이러한 이유로 생성함수에서 사용하는 멱급수는 형식적 멱급수, 즉 x 자체에 특정 값을 대입하는 해석적 방식이 아닌 그냥 자리만 표기해주는 형식적 방식이 된 것입니다.

8. 결론

그래서 생성함수란 무엇이냐 하면,

1) 무한한 수열을 단 하나의 수식으로 압축시킨 것
2) 그러나 여기서 x는 형식적(색인같은)일 뿐 어떤 값을 가지진 않는다.

요 두가지로 표현할 수 있겠습니다.

9. 더 나아가기

여기서 위에서 살짝 언급이 되었던 부분이 있습니다.

"일반항을 넣고 계산해서 생성함수를 알 수 있었으면, 반대로 생성함수를 알면 일반항을 알 수 있겠네?"

라는 구절이 있었죠.(뭐 물론 토시하나 안틀리고 저렇게 나오진 않았습니다만..)

네, 바로 이부분이 "계수추출"이라고 불리는 부분인데...

보통 수열은 처음부터 일반항이 정의가 되는데, 처음부터 일반항이 정의되지 않은 수열 이를테면 점화식으로만 정의되는 수열 같은 경우에많이 쓰는 개념입니다.

위에서 따라 내려왔던 일반항->생성함수 보다는, 생성함수->일반항(계수추출)을 주로 쓰게 되는데요.

1) 점화식으로 정의된 수열을 멱급수로 나타내고(우항의 형식으로 표현하고) 이를 계산해서 생성함수를 알아냅니다.

2) 그리고 그 생성함수를 가지고 반대로 일반항을 찾아냅니다.

즉, [점화식->멱급수의 계수로 대입(우항 스타일)->생성함수 찾아내기(우항으로 좌항 스타일 찾기)->일반항 찾아내기(계수추출:생성함수에서 일반항 찾기)]의 구조를 가진답니다.

결국 생성함수로 '압축!'했다가 '변형풀기!'한거죠.

10. 마무리

결국 생성함수는 수학자들이 수열을 다루는 방식에 큰 전환을 가져온 도구입니다.

무한한 수열을 단 하나의 수식으로 압축할 수 있다는 것만으로도 놀랍지만, 그 수식을 조작함으로써 일반항을 찾아내고 점화식을 해석할 수 있다는 점은 더욱 강력하죠.

이제 우리는 단순히 수열을 나열하는 것이 아니라, 수열을 '다룰 수 있는' 시대에 들어선 것입니다.

어떻게 최대한 수식사용을 지양하고 개념설명에 충실하려 노력했습니다만... 조금 이해가 되셨을지 모르겠습니다.

뭐라고 끝내야하지... 우리존재 화이팅요!

번외: 카탈란 수를 선형대수로 풀 수 있다고?

미렌스 — Fri, 23 May 2025 15:38:22 +0900

번외: 카탈란 수를 선형대수로 풀 수 있다고?

카탈란 수열 시리즈

0. 서론

사실상 카탈란 수 시리즈는 저번 포스팅으로 공식적으로 마무리.. 지만, 또 재밌는 주제를 발견해서 '번외'로 한번 써볼까 합니다.
제목에서 아실 수 있다시피 오늘의 주제는 선형대수인데요.
선형대수는 '선형성(linearity)'이 유지되는 문제를 다루는 수학 분야입니다.
따라서 '선형'문제였던 피보나치 수열의 일반항을 구하는 문제는 선형대수로 아주 멋있게 풀 수 있었죠.
그러나 카탈란 수열의 경우 이 점화식 자체가 비선형이기때문에 특성방정식도 사용할 수 없고, 선형대수로도 풀 수 없습니다.
근데, 왜 제목은 선형대수로 풀 수 있다고 해 놓았을까요?
바로 이 카탈란 수열 문제를 직접 해부하는 것이 아니라, Dyck path문제로 바꾸어 전이행렬(Transition matrix)을 놓고 이를 통해서 풀 수 있기 때문입니다. 재밌지 않나요?
그럼 바로 이 재밌는, 게임과 같은 문제를 풀어보도록 하겠습니다.

참, 이전까지 저희는 항상 Dyck path를 n x n 격자위에서 움직이는 경로로 생각해서 풀었었는데요, 이제는 진짜로 수직선 위에서 ↗오른쪽 위로 올라가는 경우와 ↘오른쪽 아래로 내려가는 경우를 가지고 생각해보겠습니다.

사실 수직선을 대각선으로 보든, 수평선 위의 우상향·우하향으로 보든 결국 동일한 Dyck path를 다르게 해석한 것일 뿐입니다. 결국 시점에서 종점까지 이 선을 넘어가지 않고 움직이는 경우의 수 인거죠.
이렇게 수평선으로 놓고 보면 Dyck path는 수평선 아래로 내려가지 않는 경우를 말하겠군요.

1. Dyck path로 전이행렬을 만들자

1-1. Dyck path를 다시 한번 살펴보자

Dyck path는 이제 너무나도 익숙하시겠지만, 다시한번 간단하게 정리하면

Dyck path란 총 2n개의 스텝으로 구성된 경로로, 각 스텝은 U (up: ↗(+1)) 또는 D (down: ↘(-1))로 구성됩니다. 이때 항상 $ U \ge D $, 즉 현재 높이 h ( = #U - #D )가 음수가 되지 않아야 한다는 조건을 만족해야 합니다.
(여기서 #은 Number of 라는 뜻으로, 각각 U의 갯수와 D의 갯수를 뜻합니다.)

그리고 한가지 더, 실제 Dyck path를 보면 점 자체의 이동이 x축으로도 일어나지만 여기서는 y축의 높이 만을 중심으로 보겠습니다.

1-2. Dyck path를 상태 전이 모델로 모델링해보자

이를 상태 $ h \in \mathbb{Z}_{\ge 0} $(기호가 어렵지만 결국 그냥 "높이 h가 0이상의 정수 영역에 있다"라는 의미입니다.)로 보는 순간, 우리는 Dyck path를 다음과 같이 모델링 할 수 있습니다.

상태 h: 현재 높이 = #U - #D
입력 기호: U 또는 D
시작 상태: h = 0
제약조건: $ h \ge 0 = i \ge j$
종료조건: 길이 2n이며, 최종 상태 h = 0

그리고 이 모델을 통해 다음과 같은 상태 전이 구조가 생깁니다:

U를 선택하면: 높이 $h \to h + 1$
D를 선택하면: 높이 $h \to h - 1$ (단, $h > 0$일 때(=$ i \ge j $)만 허용)

이렇게 정의된 상태 전이 구조는 바로 전이행렬(Transition matrix)로 표현할 수 있습니다.

1-3. 전이행렬을 정의하자

이제 상태 공간을 전이행렬 $ \mathbb{A} $로 나타내보겠습니다.

상태 공간은 높이 h=0, 1, ..., n 까지 존재하며, 이때 전이행렬 $ \mathbb{A} $는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.
요소별 index $ i, \ j $를 현재 높이 i에서 j로 가는 $ h = i \to j $라고 본다면,
$ \mathbb{A}_{i,j} = \begin{cases} 1 & \mathrm{if} \ j=i+1 & \mathrm{(U \ 이동)} \\ 1 & \mathrm{if} \ j=i-1 & \mathrm{(D \ 이동 \ and \ }i>0) \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases} $
이렇게 정의되겠죠.

예를 들어, n = 2일 때 상태공간은 h = 0, 1, 2 즉, 3x3 행렬이고, 다음과 같은 형태가 됩니다.
$ \mathbb{A} = \begin{bmatrix} \textcolor{red}{0}&\textcolor{green}{1}&0 \\ \textcolor{blue}{1}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{green}{1} \\ 0&\textcolor{blue}{1}&\textcolor{red}{0} \end{bmatrix} $
살펴보면, 각자 자기자신으로는 움직이지 못합니다. 즉, (0,0), (1,1), (2,2)는 모두 0입니다.
한 단계 상승(0->1, 1->2)은 가능합니다. 즉, (0,1), (1,2)는 1입니다.
한 단계 하강(1->0, 2->1)은 가능합니다. 단, i가 j보다 커야합니다. 즉, (1,2), (2,1)은 1입니다.
한 번에 두 칸 이동은 불가능 합니다. 즉, (0,2), (2,0)는 0입니다.

이렇게 움직임이 가능한 부분을 매핑하여 "높이 상태 전이"를 표현하는 전이행렬 $ \mathbb{A} $를 정의했습니다.

2. 2n번 이동하니까 전이행렬을 2n번 제곱하자

Dyck path는 총 2n개의 이동으로 구성됩니다. 전이행렬 $ \mathbb{A} $가 한 번의 상태 전이를 나타낸다면, 총 경로의 상태 전이는:

$ \mathbb{A}^{2n} $

즉, 전이행렬을 2n번 곱한 결과가 전체 경로 공간에서 상태 간 도달 가능성을 모두 표현합니다.

여기서 이 전이행렬은 정확히는 '움직일 수 있는 방법'이라기보다는 '움직이고 난 후의 결과'로 보는게 타당합니다.
현재 저희는 첫번째 이동이라는 특성상 '움직일 수 있는 방법' = '움직이고 난 후의 결과'이므로 움직일 수 있는 방법을 매칭한 것과 마찬가지지만, 이를 제곱하여 실제로 n번 이동의 결과를 행렬로 표현하면 각 index의 해석을 '높이 $i \to j$'로 이동가능한 경우의 수로 보아야 옳습니다.

3. 전이행렬의 요소별 의미

전이행렬 $ \mathbb{A} $의 $(i, j)$ 원소 $ \mathbb{A}^k_{i, j}$는 다음을 의미합니다:

> "높이 i에서 출발하여 k번의 이동 후 높이 j에 도달하는 경로의 수"

특히 $ \mathbb{A}^{2n}_{0, 0} $은 "높이 0에서 시작해서 2n 스텝 후 다시 높이 0으로 돌아온 모든 경로의 수"를 의미하게 되죠.
따라서 다른 행(가령 높이 1에서 출발해서 1로 돌아오는 등)은 의미가 없고, 다른 열(가령 높이 1에서 출발해서 3에서 끝나는 등)도 의미가 없습니다. (말그대로 "전체 경로 공간에서 상태 간 도달 가능성을 모두 표현"하는게 전이함수니까요)

저희는 0에서 0으로 정확하게 돌아온 경우의 수만 필요하고 이것이 카탈란 수입니다.
즉, $ \mathbb{A}_{0,0} $만이 저희가 원하는 카탈란 수가 되는 것입니다.
[여기서 전이행렬 자체를 정의할 때 $ i \ge j $ 규칙을 반영하였기 때문에 음수로 내려가는 경우는 발생하지 않습니다.]

이것만 해도 매우 신기하죠?
근데, 문제점이.. 일단 행렬이 굉장히 크고, 그걸 2n번이나 거듭제곱 해주어야 한다는 점이 크네요...
어떻게 더 좋은수가 없을까요?

4. 한 칸만 이동하므로 대각선 근처에만 값이 있는 희소행렬 구조

위에서 전이행렬을 정의할 때를 잘 보면(즉 무조건 한번 이동한다고 하면)

자기 자신으로 움직일 수는 없다
한 번에 두 칸 이상 움직일 수는 없다(무조건 한 칸만 이동해야 한다)

의 두가지 조건에 의해 그렇게 움직일 수 있는 경우는 전부 0으로 막혀있었죠?
그리고 이때문에 행렬에 0이 더 많고, 오히려 움직일 수 있는 값을 나타내는 1의 갯수는 희박해 졌습니다.
이때, 우리는 이렇게 행렬 전체적으로 봤을 때 의미있는 값이 '희박' 혹은 '희소'하게 있는 행렬을 '희소행렬(sparse matrix)'라고 부릅니다.

그리고 움직이는 조건에서 한 번의 전이에서 높이는 +1 또는 -1만 가능하므로,

$ \mathbb{A}_{i, i+1} = 1 $ (U)
$ \mathbb{A}_{i, i-1} = 1$ (D)

결국, $ \mathbb{A} $는 대각선 위와 아래에만 값이 있는 띠 행렬(Band matrix) 혹은 삼중대각행렬(Tridiagonal matrix)입니다.

어찌되었든, 이 희소행렬이란건 딱 봐도 0이 많으니까 불필요한 연산이 많아질 수 있다는 점을 직감할 수 있습니다.

5. 상태벡터로 필요없는 연산을 줄여보자

자, 위에서 살펴봤듯이 전이행렬을 n번 제곱할때마다 n번 이동한 경우의 수를 나타내게 된다고 알게 되었습니다.
그런데 자세히보면 우리가 알고 싶은 건 0에서 0으로 돌아오는 경우의 수, 좀 더 러프하게 말하면 최소한 0에서 출발하는 경우만 세면 됩니다.
근데 전이행렬 자체를 n번 제곱하면 모든 요소에 대해서 연산이 이루어져야하니까 굉장히 비효율적입니다.(아무리 희소행렬이라도 매번 0을 곱해야 한다면 매우 비효율적이겠죠)
그래서 저희는 이제부터 '상태벡터'를 정의해보겠습니다.

$ \vec{v}^{(0)} = \underbrace{[1, 0, \ldots, 0]}_{[h_0, h_1, \ldots, h_n]} $
이 벡터의 지수위치에 있는 (0)이 뜻하는 것은 초기상태를 뜻하고, 이게 한번씩 상태가 전이될때마다 1씩 올려서 몇번째 상태벡터인지 표현해주겠습니다.
그리고 이 벡터가 가진 성분은 각각 $ h_0 $부터 $h_n$까지 인데, 이것이 뜻하는 건 한번의 상태 전이가 일어나고 나서 각 h위치에서 끝난 경우의 수를 나타내주는 값입니다.
그래서 한번의 전이가 일어난 상태벡터는 아래과 같이 쓰이겠죠
$ \vec{v}^{(k+1)} = \mathbb{A} \cdot \vec{v}^{(k)} $

여기서 n=2인 상황을 가정하면, 전이행렬 $ \mathbb{A} $는
$ \mathbb{A} = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 1&0&1 \\ 0&1&0 \end{bmatrix} $
이와 같이 정의되고,
$ C_2 = \mathbb{A}^4_{(0,0)} = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 1&0&1 \\ 0&1&0 \end{bmatrix}^4 $ 중 0,0요소
이렇게 정리가 되겠죠?
근데 여기서 0,0 요소를 꺼내는걸 수식으로 바꿔보자면
$ \mathbb{A}^4_{(0,0)} = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 1&0&1 \\ 0&1&0 \end{bmatrix}^4 \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix} $
이렇게 될 것이고, 여기서 $ \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix} $ 이것은 $ = [1, 0, 0]^T = \vec{v}^{(0)} $이네요.
그러면 다시 써보면
$ \mathbb{A}^4_{(0,0)} = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 1&0&1 \\ 0&1&0 \end{bmatrix}^4 \vec{v}^{(0)} = \vec{v}^{(4)} $
이렇게 되겠네요.

행렬의 거듭제곱은 특수한 형태가 아니면 일일이 반복해서 연산을 해야합니다.
어차피 반복해서 할거면 좀 더 간단하게 연산하는게 낫지 않을까요?
그러면 위 식을 좀 풀어봅시다.
아까 1번의 상태 전이가 이루어진 상태벡터는 전이행렬을 한번 곱해준 것과 같다고 했습니다.
$ \vec{v}^{(1)} = \mathbb{A} \cdot \vec{v}^{(0)} $
그렇다면 반복해서
$ \vec{v}^{(2)} = \mathbb{A} \cdot \vec{v}^{(1)} $
$ \vec{v}^{(3)} = \mathbb{A} \cdot \vec{v}^{(2)} $
$ \vec{v}^{(4)} = \mathbb{A} \cdot \vec{v}^{(3)} $
이렇게 쓸 수 있겠죠?

이러면 연산량이
그냥 전이 행렬을 제곱할 때: 내적 9번
상태벡터로 계산할 때: 내적 3번
으로 1/3 줄어듧니다.
그럼 이걸 4번 반복해서 연산할경우 연산량이 확 줄겠죠?

그러나 아직 내적(곱의 합)을 계속 반복해야하는 단점이 있습니다.
그러면 이것 조차도 극복할 수 있을까요?

6. 상태벡터와 희소행렬의 정의를 이용해서 연산을 최적화하기

결론적으로 먼저 얘기해보자면, "네 가능합니다"입니다.
그럼 어떻게 이게 가능할까요?

위에서 살펴봤듯이 이 행렬을 보면 정말 특이한 희소행렬입니다.
삼중대각행렬인데, 그 중 주대각성분(main diagonal entries)이 0이며, 다른 두 상/하대각성분은 1인 굉장히 독특한 희소행렬이죠.
그렇다면 왠지 이 특성을 살려볼 수 있지 않을까요?

일단 $ \vec{v}^{(k+1)} = \mathbb{A} \cdot \vec{v}^{(k)} $를 한번 분해해봅시다.
아까 상태벡터는 각 요소가 h=0~n의 경우의 수를 나타낸다고 했습니다.
그러면 상태벡터의 각 h요소는 다음과 같이 계산될 것입니다.
$ \vec{v}^{(k+1)}_h = \mathbb{A}_{h,*} \cdot \vec{v}^{(k)} $
여기서 *은 모든 인덱스를 나타냅니다.
그리고 다시 이 행렬 연산을 요소별 연산으로 바꿔 나타내면,
$ \vec{v}^{(k+1)}_h = \sum \limits _j \mathbb{A}_{h,j} \cdot \vec{v}^{(k)}_j $
이와 같죠.

하지만 전이행렬 $ \mathbb{A} $는 희소해서 대부분의 $ \mathbb{A}_{h,j} = 0 $이며, 값이 있어 실제로 연산을 수행할 수 있는 부분은 '상대각요소'와 '하대각요소' 두 부분밖에 없죠.
따라서 살아있는 항만 남기면:
$ \vec{v}^{(k+1)}_h = \underbrace{\mathbb{A}_{h,h-1}}_{하대각요소} \cdot \vec{v}^{(k)}_{h-1} + \underbrace{\mathbb{A}_{h,h+1}}_{상대각요소} \cdot \vec{v}^{(k)}_{h+1} $
여기서 각 대각요소는 무조건 1의 값만 가지므로,
$ \vec{v}^{(k+1)}_h = \vec{v}^{(k)}_{h-1} + \vec{v}^{(k)}_{h+1} $
이렇게 간단히 덧셈계산만으로 해결이 됩니다.
여기서 h=0인경우와 h=n인 경우엔 index가 정의되지 않습니다.
여기서 index가 벗어나는 경우는 0으로 처리해주면 아래와같은 조건식으로 정리할 수 있습니다.
$ \vec{v}^{(k+1)}_h = \begin{cases} \vec{v}^{(k)}_{h+1} & \mathrm{if} \ h=0 \\ \vec{v}^{(k)}_{h-1} + \vec{v}^{(k)}_{h+1} & \mathrm{if} \ 0 < h < n \\ \vec{v}^{(k)}_{h-1} & \mathrm{if} \ h=n \end{cases} $

한번 실제로 계산해볼까요?
n=2일때로 진행해봅시다.
전이행렬 $ \mathbb{A} $는
$ \mathbb{A} = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 1&0&1 \\ 0&1&0 \end{bmatrix} $
초기 상태벡터는 $ \vec{v}^{(0)} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $ 이와같을 겁니다.
그럼 첫번째 전이 이후의 상태벡터 $ \vec{v}^{(1)} $는
$ \vec{v}^{(1)} = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 1&0&1 \\ 0&1&0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} $
이렇게 볼 수 있겠죠?
여기서
$ \vec{v}^{(k+1)}_h = \underbrace{\textcolor{red}{\mathbb{A}_{h,h-1}}}_{하대각요소} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}^{(k)}_{h-1}} + \underbrace{\textcolor{blue}{\mathbb{A}_{h,h+1}}}_{상대각요소} \cdot \textcolor{blue}{\vec{v}^{(k)}_{h+1}} $
$ \vec{v}^{(k+1)}_h = \begin{cases} \vec{v}^{(k)}_{h+1} & \mathrm{if} \ h=0 \\ \vec{v}^{(k)}_{h-1} + \vec{v}^{(k)}_{h+1} & \mathrm{if} \ 0 < h < n \\ \vec{v}^{(k)}_{h-1} & \mathrm{if} \ h=n \end{cases} $
이 정의를 한번 사용해봅시다.
일단, h=0에서 봅시다
$ \vec{v}^{(1)}_{0} = \begin{bmatrix} \textcolor{green}{\lbrack}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{green}{1}&\textcolor{blue}{0}&\textcolor{green}{\rbrack} \\ & 1&0&1 & \\ &0&1&0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \textcolor{red}{1} \\ 0 \\ \textcolor{blue}{0} \end{bmatrix} $
$ \vec{v}^{(1)}_{0} = [\ 0\ ]$
h=1에서는
$ \vec{v}^{(1)}_{1} = \begin{bmatrix} &0&1&0 \\ \textcolor{green}{\lbrack}& \textcolor{red}{1}&\textcolor{green}{0}&\textcolor{blue}{1} &\textcolor{green}{\rbrack} \\ &0&1&0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \textcolor{red}{1} \\ 0 \\ \textcolor{blue}{0} \end{bmatrix} $
$ \vec{v}^{(1)}_{1} = [\ 1\ ]$
h=2에서는
$ \vec{v}^{(1)}_{2} = \begin{bmatrix} &0&1&0 \\ & 1&0&1 & \\ \textcolor{green}{\lbrack}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{green}{1}&\textcolor{blue}{0}&\textcolor{green}{\rbrack} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \textcolor{red}{1} \\ 0 \\ \textcolor{blue}{0} \end{bmatrix} $
$ \vec{v}^{(1)}_{2} = [\ 0\ ]$
최종적으로
$ \vec{v}^{(1)} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} $
네, 실제 행렬 연산 결과와 같네요!
그럼 $ \vec{v}^{(2)} $는 그냥 바로 정의대로 계산해볼까요?
$ \vec{v}^{(2)}_0 = \vec{v}^{(1)}_1 = [1] $
$ \vec{v}^{(2)}_1 = \vec{v}^{(1)}_0 + \vec{v}^{(1)}_2 = [0] $
$ \vec{v}^{(2)}_2 = \vec{v}^{(1)}_1 = [1] $
$ \vec{v}^{(2)} = \begin{bmatrix} 1\\0\\1 \end{bmatrix} $
와.. 이제 2번째 상태벡터를 구했네요...
그럼 이제 계산도 하나하나 해봤으니 이제 바로 결과만 보겠습니다.
$ \vec{v}^{(3)} = \begin{bmatrix} 0\\2\\0 \end{bmatrix} $
$ \vec{v}^{(4)} = \begin{bmatrix} 2\\0\\2 \end{bmatrix} $
여기서 h=0인 첫번째 요소만 보면 바로 2이고, 이것은 바로 $ C_2 $값과 같네요!

길고 긴 여정이었지만..

이러한 구조를 이용하면, 선형대수적 계산만으로도(특히나 덧셈의 반복연산만으로도) 카탈란수를 구할 수 있습니다!

7. 결론

정리하자면, n번째 카탈란 수는
$ \vec{v}^{(k+1)}_h = \begin{cases} \vec{v}^{(k)}_{h+1} & \mathrm{if} \ h=0 \\ \vec{v}^{(k)}_{h-1} + \vec{v}^{(k)}_{h+1} & \mathrm{if} \ 0 < h < n \\ \vec{v}^{(k)}_{h-1} & \mathrm{if} \ h=n \end{cases} $
이와 같은 상태벡터의 반복 업데이트로 구할 수 있습니다.

특히나 전이행렬의 특이한 성질로 인하여 위 식을 유도한 뒤에는, 전이행렬을 정의할 필요 없이 초기 상태벡터의 정의 이후 n번의 상기 규칙의 업데이트만으로 카탈란 수를 구할 수 있다는 것이 아주 독특한 결론이네요!

8. 의의와 한계

* 의의

비선형 점화식이었던 카탈란 수열을, Dyck path의 전이 구조로 선형대수적 모델링에 성공했습니다.
희소행렬과 상태벡터를 이용하여, 곱의 합(내적)같은 복잡한 연산 심지어는 단순 곱셈조차도 없이 단순 덧셈만으로 카탈란 수를 구할 수 있게 되었습니다.

* 한계

n번째 카탈란수를 구하려면 2n번 순차적으로 상태벡터를 업데이트해야 합니다.
카탈란수의 일반항은 선형대수로는 풀 수 없습니다.

9. 더 알아보기

사실 흥미롭게도, 위에서 모델링한 전이행렬 $ \mathbb{A} $는 Toeplitz 행렬이라고 불리는 특정한 형태의 행렬과 매우 유사한 구조를 가집니다.
Toeplitz 행렬은 각 대각선(왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 방향)의 원소가 모두 같은 행렬을 말하는데,
여기서는 주대각선이 0, 상하대각선이 1로 채워진 삼중대각행렬 형태를 띠고 있죠.

이는 곧, 이 행렬이 상태벡터에 대해 [1, 0, 1] 형태의 커널을 가지는 convolution 연산을 수행하고 있다는 뜻이기도 합니다.(행렬에서 확인하실 수 있듯이 맨 처음과 끝에 커널의 한쪽을 잘라 연산하면 크기가 동일한 convolusion vector를 얻을 수 있습니다.)[엄밀히는 cross-correlation 방법이지만요.. 커널 형태가 뒤집어도 동일하니 convolusion이라고 봐도 무방하기도하고..]
다시 말해, 각 단계에서 상태벡터는 인접한 두 값의 합으로 갱신되며, 이는 일종의 필터링 또는 합성곱 연산으로 해석할 수 있습니다.

물론 Toeplitz 행렬과 convolution의 정확한 관계를 깊이 있게 탐구하려면 다소 복잡한 내용이므로, 이 포스팅에서는 그 가능성에 대한 화두를 던지는 정도로 마무리하겠습니다.

10. 총평

이처럼 카탈란 수는 조합적 정의, 생성함수, 역함수 정리뿐 아니라, 선형대수의 관점에서도 풀어낼 수 있는 문제입니다.
이 방식은 일반항 도출에는 적합하지 않지만, 구조적 이해와 계산 방법, 알고리즘 구현에서 강점을 지니고 있습니다.(특히나 덧셈의 반복계산은 코딩문제에 아주 적합하죠)
정말 이것으로 찐 카탈란 수 시리즈를 마무리 짓겠습니다!
따라오시느라 수고 많으셨습니다!

라그랑주 역함수 정리(Lagrange Inversion Theorem)

미렌스 — Thu, 22 May 2025 14:41:01 +0900

라그랑주 역함수 정리(Lagrange Inversion Theorem)

카탈란 수열 시리즈

1. 라그랑주 역함수 정리(Lagrange Inversion Theorem)

'라그랑주 역함수 정리' 용어자체가 생소하신 분들이 많으실거라 생각합니다.

혹여는 'Inversion'을 '역함수'라고 안보고 그냥 '반전'이라고 번역해서 '라그랑주 반전 정리'라고도 쓰이더군요.

그러나 '라그랑주'는 아주 다들 친숙하실테죠?

지구과학이나 물리에서 나오는 '라그랑주 점'도 이 분 이름이고 말이죠...

살면서 한번은 듣게되는 이름 중 하나가 아닐까 싶습니다.

아 물론 사람이구요, 위대한 인물이시죠.

[뭐 라플라스, 푸리에, 뉴턴, 오일러, 가우스 뭐 이런사람들 있잖아요... 심지어 저번 포스팅의 코시곱도 코시라는 사람이름이에요..]

뭐 사실 이 포스팅을 쓰는 순간조차도 저는 저 라그랑주 역함수 정리의 전체 형상을 모릅니다.

그저 그 정리의 결과로써 도출되는 내용과 그걸 어떻게 사용할 수 있는지 정도만 어렴풋하게 알고있는 수준입니다만,

제가 이걸 왜 포스팅에 쓰게 되었냐면,

이 정리를 이용하면 진짜 아주 쉽게 비선형 점화식을 가진 수열을 풀 수 있거든요.

라그랑주 역함수 정리는 결과적으로 '어떤 함수의 역함수를 멱급수로 전개했을 때, 각 항의 계수를 직접 계산할 수 있도록 해주는 정리'입니다.

2. 카탈란 수열의 생성함수에의 적용

바로 얼마전까지 진짜 온몸을 비틀어가며 간신히 생성함수로부터 이항급수를 통해 카탈란수의 일반항을 구했었는데요(누가 시키지도 않았었지만..)

이때, 생성함수가 자기자신을 포함한 '암시적'인 형태로 나왔었죠.(여기서 말하는 명시적vs암시적 함수라는 뜻은 f(x)=x처럼 깔끔하게 x로 정의되는 함수가 '명시적 함수', f(x) = xg(f(x))처럼 f(x)자체가 자신을 포함한 구조로 정의되는 함수가 '암시적 함수'라고 합니다)

물론 간단한 조작으로 이걸 다시 명시적 함수로 바꾼뒤 그 뒤를 진행했지만,

여기서 바로 라그랑주 역함수 정리를 이용하면

'암시적으로 정의된 함수의 생성함수를 "역함수로 본 다음" 그 멱급수 전개를 추출'하게 됩니다.

즉, $ C(x) $가 무엇인지 바로 찾는게 아니라,

우리가 구하려는 생성함수 C(x)가 어떤 함수 F의 역함수라고 보고 F(C(x)) = x 꼴로 놓는다면, 역함수 정리를 통해 C(x)를 추출할 수 있다는 것이죠.

다시말해,

$ xC(x)^2 - C(x) + 1 = 0 $에서 오히려

$ x = \frac{C(x) - 1}{C(x)^2} $ 꼴로 놓고

$ x = F(C(x)) $ 이런 식으로 본 다음에, 역함수를 취해

$ F^{-1}(x) = C(x) $로 만듧니다.

여기서 어떤 함수 $ F(x) $의 역함수 $ F^{-1}(x) = C(x) $를 멱급수로 전개했을 때, 그 항의 계수 $ C_n $을 직접 계산할 수 있게 해주는 정리가 바로 라그랑주 역함수 정리입니다.

(※ 생성함수의 멱급수 전개와 계수의 의미는 https://omnil.tistory.com/226, https://omnil.tistory.com/227에서 자세히 다뤘으니, 궁금하신 분은 그쪽을 참고해주세요!)

뭐, 결국 C(x)를 역함수로 보고, 이 역함수를 멱급수로 전개했을 때 특정 항의 계수를 알 수 있다는거죠.

그냥 원래 저희가 구하고 싶던거 구하는겁니다.

3. 형태는 어떻게 생겼는데?

라그랑주 역함수 정리는 다음과 같은 모양을 가졌습니다.

$ [x^n]f^{-1}(x) = \frac{1}{n}[t^{n-1}]\left(\frac{t}{f(t)}\right)^n \qquad (f(0) = 0, f'(0) \neq 0) $

여기서 대괄호 안에 있는 부분은 '거듭제곱이 n인 항을 찾겠다'는 뜻입니다.

(좀 더 자세하게는, $ [x^n]f(x) $란 표기는 멱급수 $f(x)=\sum a_kx^k $ 중 $a_n$을 의미합니다.)

말로 설명해보자면 "역함수의 $x^n$의 계수는 $\left(\frac{t}{f(t)}\right)^n$의 $t^{n-1}$의 계수를 n으로 나눈 값과 같다." 입니다.

그냥 정의자체가 이래요. 그리고 진짜로 풀면 답이 나오는게 신기하죠.

4. 라그랑주 역함수 정리의 다른 형태

그런데, 위와 같은 형식(standard form)에서는 계산을 하기가 조금 애매한 사항이 많습니다.

역함수가 분석적으로 존재하고 전개가 단순한 경우에는 저 형태도 굉장히 잘 작동하지만, 조합적 구조(재귀적 생성)를 가진 함수는

- $\frac{t}{f(t)}$ 자체가 복잡한 유리함수가 되기 쉽고
- 그것을 n제곱하면 차수가 급격히 상승하고
- 원하는 $ t^{n-1} $ 항이 존재하지 않거나, 매우 뒤에 등장하는 경우가 많기 때문에

저 형식을 사용하기 어려워지죠.

그러면 아예 답이 없냐고 하면, 식 자체를 재귀적 생성 형태(자기자신을 포함하는 형태)로 변형시키면 됩니다.(다르게 변형한 라그랑주 역함수 정리도 많습니다)

[[아래와 같은 변형을 Lagrange-Bürmann formula[라그랑주 뷔르만 공식]이라고 합니다.]]

$ y = x \cdot \phi (y) $

형태로 변형시키면, 이 변형에 해당하는 라그랑주 역함수 정리는

$ [x^n]y(x) = \frac{1}{n}[t^{n-1}]\phi(t)^n $

가 됩니다.

5. 역함수 정리의 변형 형태로 풀어보는 카탈란 수열

카탈란 수열을 예로 들어볼께요.

카탈란 수열의 생성함수는

$ C(x) = xC(x)^2 +1 $

이와 같고, 이를

$ y = x \cdot \phi(y) $ 형태로 바꾸면

$ C(x) - 1 = x \cdot C(x)^2 $ 과 같이 바꿀 수 있습니다. 여기서 바로 $ y = C(x)-1 $로 치환합니다.

그러면

$ y = x(y+1)^2 $처럼 정리가되고, 이는 바로 $ y = x \cdot \phi(y) $의 형태가 됩니다.

여기서 바로 역함수 정리를 적용하면

$ [x^n]y(x) = \frac{1}{n}[t^{n-1}]\phi(t)^n $

$ [x^n](C(x)-1) = \frac{1}{n}[t^{n-1}](t+1)^{2n} \quad (n \ge 1) $

이렇게 정리가 되겠죠?

여기서 $ C(x)-1 $의 의미는 생성함수에서 상수항을 제거한 조건(tail truncation)인데요, 말그대로 카탈란 수열의 재귀적 항들만 보겠다는 의미가 됩니다.

그래서 $ C_0 $를 따로 정의해줘야합니다. 식 자체도 n이 분모에 있기때문에 1부터 정의가 되니까 n=0인 상황은 따로 정의해줘야죠.

그리고 $ x^n $의 계수는 멱급수 정의에서 $ C_n $이었으므로, $ C_n $을 알고싶다면, $ x^n $의 계수를 찾으면 됩니다.

6. 구한 식으로 n = 2 계산해보기

그럼 간단하게 $ n=2 $인 상황을 봅시다. $ C_2 $값은 이미 2라는걸 저희는 알고있죠?

$ [x^2](C(x)-1) = \frac{1}{2}[t^1](t+1)^4 $

이렇게 식이 정리가 되겠고, 네제곱에서 지수가 1인 항의 계수는 이항정리에서 $ {_4} C_1 $이므로, 4가 되죠?

그러면

$ C_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 $

오.. 바로 딱 나왔네요

7. 라그랑주 역함수 정리 식으로 일반항 구하기

그럼 이걸로 일반항도 유도할 수 있을까요? 뭔가 특정 수를 넣어주는 대신 주어진 그대로 n에대해 풀면 되지 않을까요?

이제 우항만 살펴봅시다

$ \frac{1}{n}[t^{n-1}](t+1)^{2n} $

여기서 2n승의 (1+x)에서 n-1승 항의 계수는

$ {_{2n}} C_{n-1} $이겠네요?

그럼 우항을 정리하면

$ \frac{1}{n}{_{2n}} C_{n-1} $

하나의 식이 나왔군요! 근데 어째 항상 저희가 보던 식의 모습이랑 조금 다릅니다?

그럼 식 변형을 한번 해볼까요?

일단 조합 공식은 다음과 같습니다.

$ {_n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} $

$ {_{2n}}C_{n-1} = \frac{(2n)!}{(n-1)!(2n-(n-1))!} = \frac{(2n)!}{(n-1)!(n+1))!} $

자, 여기서 $ \frac{1}{n} $까지 포함해서 식을 다시쓰면

$ \frac{(2n)!}{(n-1)!(n+1))! \cdot n} $

$ = \frac{(2n)!}{n!(n+1))!} \quad \because (n-1)! \cdot n = n! $

$ = \frac{(2n)!}{n!n! \cdot (n+1)} \quad \because (n+1)! = n! \cdot (n+1) $

$ = {_{2n}}C_n $

결국,

$ C_n = \frac{1}{n}{_{2n}} C_{n-1} = \frac{1}{n+1}{_{2n}}C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} $

으로 정리가 되면서, 일반항이 풀립니다.

그러나 여기서 $ n=0 $인 경우는 예외로 두었기 때문에 엄밀하게는 구간을 나눠서

$ C_n = \begin{cases} \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} \quad n \ge 1 \\ 1 \qquad n = 0 \end{cases} $

이렇게 보아야하지만, 식이 정리되면서 일반항이 n=0인 것까지 포함을 할 수 있게 되면서

$ C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} $이라는 일반항을 라그랑주 역함수 정리로 유도할 수 있었습니다.

8. 결론

사실 뭔가 빙빙 돌아왔지만, 개념만 알고있으면 공식을 통해 특정 항의 계수를 바로 알아내거나 심지어는 아주 빠르게 일반항을 뽑아낼 수 있는 강력한 공식이 바로 라그랑주 역함수 정리입니다.

카탈란 수열의 일반항을 생성함수로 구해보자(2)

미렌스 — Tue, 20 May 2025 20:53:43 +0900

카탈란 수열의 일반항을 생성함수로 구해보자(2)

카탈란 수열 시리즈

1. 서론

네, 불가피하게? 카탈란 수열의 일반항을 생성함수로 구해보자 두번째 시간입니다...!

저번 포스팅까지 카탈란 수열의 생성함수를 구해보았는데요, 이번 포스팅에서는 이렇게 구한 생성함수로 일반항을 끌어내 보도록 하겠습니다.

이번 포스팅은 제발 길어지지 않기를...

2. 생성함수에서 어떻게 일반항을 끌어내는데?

자 여기서 제일 중요한 부분입니다.

생성함수를 왜 사용하는지는 저번 포스팅에서 깔끔하게 정리했습니다.

자, 그러면 이 생성함수를 써서 압축한 정보를 어떻게 다시 변형하여 unzip할거냐!

바로 '멱급수를 써서 압축했으니, 멱급수 형태로 다시 표현되면 unzip이겠네?'입니다.

큰 맥락은 다음과 같습니다.

1) 무한한 수열을 무한한 멱급수의 계수에 대응시킵니다.

2) 그리고 이걸 '너는 이제부터 생성함수여'하면서 생성함수를 한줄의 수식으로 이쁘게 정리합니다.

3) 이렇게 정리된 수식은 이제부터 씹고 뜯고 맛보고 즐길 수 있는 형태가 된 것입니다. 그러니 열심히 조작을 가합니다.

4) 이렇게 조작이 가해져 이젠 형체조차 알아볼 수 없게 된 친구를 다시 멱급수의 형태로 바꿉니다.

5) 오잉? 멱급수의 $ \sum $와 $ x^n $사이에 전혀 새로운 형태가 생성됩니다

6) 오호 이 수열을 나타내는 다른 방식(= 일반항)이 바로 너구나!

이렇게 진행되는 겁니다.

그리고 저번 포스팅까지 우리는 3번까지 한겁니다.

조작을 가하던 중간에 일단 한숨 돌린셈이죠. 일단 명시적인 생성함수를 찾았으니까요.

이번의 포스팅은 4번부터 시작입니다.

이렇게 조작된 생성함수를 다시 멱급수의 형태로 바꿀겁니다.

그러면 일반항의 모양이 나오겠죠?

그러면 계수만 따로 떼서 이 수열의 일반항은 너여! 이러면 끝나는 겁니다

3. 생성함수를 이항급수로 나타내기

일단 저번 포스팅의 결과를 다시 끌어오죠

$ C(x) = \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x} $

자 여기서 어떻게 하면 다시 '무한급수'형태로 다시 바꿀 수 있을까요?

$ (1+x)^n $을 이산적으로 풀어낸 이항정리에서 이걸 무한급수로 풀어낸 이항급수로의 변환을 기억하고 계실까요?(https://omnil.tistory.com/223)

왠지 이걸로 '무한급수'형태를 만들 수 있을 것 같지 않나요?

마침 저기 식에도 비슷한 꼴이 보입니다. 루트는 $ \frac{1}{2} $승이라고 볼 수도 있으니까,

$ (1+(-4)x)^\frac{1}{2} $

이 친구가 이항급수의 꼴이네요~

그러면 바로 슉슈슉슉 조작을 가해볼까요?

이항급수는 아래와 같은 식으로 정의됩니다.(다시한번 포스팅을 보고오셔도 좋습니다: https://omnil.tistory.com/223)

$ (1+x)^n = \sum \limits _{k=0} ^\infty \frac{1}{k!} \prod_{i=1}^{k} (n - i + 1) x^k = \sum \limits _{k=0} ^\infty \binom{n}{k} x^k $

[ 그리고 여기서 $ k=0 $항과 $ k=1 $항은 독특하게 정의됨을 알 수 있습니다.

애초에 $ k=0 $항은 곱셈구간이 정의되지 않으므로 무조건 1이 나오며, $ k=1 $항은 무조건 계수가 $ n $이 나오는 걸 알 수 있죠. ]

이제 위 식에 대입해보면

$ (1+(-4)x)^\frac{1}{2} = \sum \limits _{k=0} ^\infty \binom{\frac{1}{2}}{k} (-4x)^k = \sum \limits _{k=0} ^\infty \frac{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\cdots\left(\frac{1}{2}-k+1\right)}{k!}(-4x)^k $

가 되고, 풀어쓰면

$ 1 + \frac{1}{2}(-4x) + \frac{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)}{2!}(-4x)^2 + \cdots $

부호는 상수항을 빼고는 전부 마이너스 부호가 나옵니다.

- 거듭제곱이 홀수면 거듭제곱의 부호는 음수이지만, 계수에서의 부호가 양수이므로 마이너스

- 거듭제곱이 짝수면 거듭제곰의 부호는 짝수이지만, 계수에서의 부호가 음수이므로 마이너스

이기 때문이죠.

결국 제일 초항인 상수항 만을 제외하고 전부 마이너스로 묶으면 이제 부호는 신경쓸 필요가 없어진단 말이겠군요.

그렇다면 이부분을 부호상관없이 바꿔보겠습니다.

$ \frac{1}{2}-k+1 $ 여기에 절대값을 취하면(부호상관 없어졌으니 다 양수로 갈음합니다)

$ \frac{\vert 1-2k+2 \vert}{2} = \frac{2k-3}{2} $ ($ k \ge 2 $에서 양수가 나오게 수식 변형합니다. $ k = 1 $은 위에서 봤듯이 무조건 $ n $입니다.)

그러면 주어진 수식은 다음과 같이 변형됩니다.

$ 1 - \frac{\frac{1}{2}}{1!}(4x) - \sum \limits _{k=2} ^\infty \underbrace{ \frac{\frac{1}{2}\frac{3}{2}\cdots\left(\frac{2k-3}{2}\right)}{k!}(4x)^k } $

수식을 다 쓰기가 힘드니까 underbrace한 부분만 따로 떼놓고 봅시다.

$ \frac{\frac{1}{2}\frac{3}{2}\cdots\left(\frac{2k-3}{2}\right)}{k!}(4x)^k $

분모를 따로 빼고, 분자의 모습을 보면

분자에서 분모는 무조건 2인 상태로 k번 반복해서 곱해지고 있으므로 $ 2^k $입니다.

$ \frac{1}{k!}\frac{1\cdot3\cdot\ ... \ \cdot (2k-3)}{2^k} 2^{2k}x^k $

수식 정리하면

$ \frac{1\cdot3\cdot\ ... \ \cdot (2k-3)}{k!} 2^{k}x^k $

분자를 잘 보면 1, 3, 5, ..., 2k-3 으로 홀수로 증가하고 있습니다.

뭔가 조작을 가해주면 아주 깔끔하게 팩토리얼로 표현할 수 있을 것 같은데 말이죠...

바로... 빈 짝수들을 끼워넣어주면 되겠네요!

2, 4, 6, ..., 2k-2을 사이사이에 넣어주면 왠지 (2k-2)!할 수 있겠죠?

짝수들은 다 2가 곱해진 형태이고, 2를 다 나눠주면 자연수랑 같아지잖아요? 그렇다면..

$ 2^{k-1}(1\cdot2\cdot...\cdot (k-1)) $ 요렇게 정리가 되겠고.. 뒷부분은 간단하게 다시 팩토리얼로 정리가능하겠네요

$ 2^{k-1}(k-1)! $

입니다.

자, 이제 끼워넣어 줍시다.

잘 보면 이미 식에 $ 2^k $가 있죠?

분모분자에 같은 식을 곱해줍시다.

$ \frac{1\cdot3\cdot\ ... \ \cdot (2k-3)(k-1)!2^{k-1}}{k!(k-1)!} 2x^k $

$ \frac{(2k-2)!\cdot2}{k!(k-1)!} x^k$

다시 전체 식을 써주면

$ 1 - \underbrace{\frac{\frac{1}{2}}{1!}(4x)}_{1} - \sum \limits _{k=2} ^\infty \underbrace { \frac{2(2k-2)!}{k!(k-1)!} x^k }_{2}$

자, 근데 이제 2번 underbrace를 잘 봐봅시다.

여기서 $ k = 1 $인 상황을 한번 봐볼까요?

$ \frac{2 * 0!}{1!0!}x = 2x $

어? 1번 underbrace와 같군요!

아하~ 아까는 부호문제로 포함하지 못했던 $ k=1 $도, 수식이 정리되고 나니 한꺼번에 합칠 수 있겠네요!

그렇게 다시 쓰면

$ (1+(-4)x)^\frac{1}{2} = 1 - 2\sum \limits _{k=1} ^\infty \frac{(2k-2)!}{k!(k-1)!} x^k $

여기서, $ k $는 1부터 시작하는데, 우리는 처음에 멱급수 0부터 시작했었으니까 index조정해줍시다.

지금까지 따라오시면서 index조정은 이제 일도 아니시잖아요들?

$ (1+(-4)x)^\frac{1}{2} = 1 - 2\sum \limits _{k=0} ^\infty \frac{(2k)!}{(k+1)!k!} x^{k+1} $

자, 그럼 이제 생성함수 $ C(x) $에 이걸 대입시켜 정리하도록 하죠!

$ C(x) = \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x} = \frac{1}{2x} \left(1- \underline{(1+(-4)x)^\frac{1}{2}}\right) $

$ = \frac{1}{2x}\left(1-\left(1 - 2\sum \limits _{k=0} ^\infty \frac{(2k)!}{(k+1)!k!} x^{k+1}\right)\right) $

$ = \frac{1}{2x} 2\sum \limits _{k=0} ^\infty \frac{(2k)!}{(k+1)!k!} x^{k+1} $

$ = \frac{1}{2x} 2x\sum \limits _{k=0} ^\infty \frac{(2k)!}{(k+1)!k!} x^k $

$ = \sum \limits _{k=0} ^\infty \frac{(2k)!}{(k+1)!k!} x^k $

$ C(x) = \sum \limits _{k=0} ^\infty \frac{(2k)!}{(k+1)!k!} x^k $

와우! 뭔가 엄청 깔끔하게 정리가 되었습니다!

4. 무한급수 형태에서 계수를 꺼내기

그럼 다시 처음에 저희 카탈란 수열의 생성함수를 정의하던 순간으로 돌아가볼까요?

$ C(x) = \sum \limits _{k=0} ^\infty C_k x^k $

오 그렇다면

$  \sum \limits _{k=0} ^\infty C_k x^k = C(x) = \sum \limits _{k=0} ^\infty \frac{(2k)!}{(k+1)!k!} x^k $

$  \sum \limits _{k=0} ^\infty C_k x^k = \sum \limits _{k=0} ^\infty \frac{(2k)!}{(k+1)!k!} x^k $

자, 여기서 저희는 수열이 궁금했었어서 멱함수에 대응시켜줬었죠? 그러면 멱함수 부분을 떼버리고 계수만 본다면?

$  C_k = \frac{(2k)!}{(k+1)!k!} $

우와! 일반항을 구했습니다!

5. 일반항을 다시 정리

자 이 일반항을 다시 예쁘게 쓰면

$ C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n!}{n!} $

가 되고, 이건 제일 처음 조합적 아이디어로 일반항을 구한 식과 완전히 동일합니다.(진짜 맞나 궁금해요? https://omnil.tistory.com/222)

완전 신기하지 않나요?

6. 미리니름

자, 사실은 앵간하면 점화식으로 정의된 수열의 일반항은 생성함수까지 오면 거의 끝이나 마찬가지인데요,

저는 여기서 한단계 더 나아가서 라그랑주 역함수 정리(Lagrange Inversion Theorem)까지 소개시켜드리도록 하겠습니다!

그리고 이번 포스팅도 엄청 길어졌네요...

다음에 보아요!

카탈란 수열의 일반항을 생성함수로 구해보자(1)

미렌스 — Mon, 19 May 2025 15:46:36 +0900

카탈란 수열의 일반항을 생성함수로 구해보자(1)

카탈란 수열 시리즈

1. 서론

이미 우리는 카탈란 수열의 일반항을 조합적 아이디어로 구해보았습니다.
그러나 피보나치 수열의 일반항을 구하는 포스팅에서처럼, 사실 카탈란 수열도 여러가지 방법으로 구해볼 수 있을 것 같습니다
그래서 이번엔 카탈란 수열의 일반항을 생성함수로 구해보고자 합니다.

2. 생성함수?

일단 생성함수(generating function)란 사실 어떤 수열의 모든 정보를 단 하나의 식으로 압축한 zip 파일과도 같습니다. 겉으로는 한 줄의 함수식일 뿐이지만, 안에는 무한히 많은 항의 정보가 차곡차곡 저장되어 있죠.

그래서 부분적으로 이 생성함수에서 약간씩의 정보를 끌어낼 수는 있지만, 이 생성함수 자체로 뭔가 큰 의미를 직관적으로 끌어낼 수는 없죠.

말그대로 모든 수열의 정보를 쓴 종이를 꾸겨서 공으로 만들어 놓아('압축') 겉으로는 잘 안보이는 그런 현상과도 비슷합니다.
그러나 이 생성함수는 말 그대로 수열의 전체 정보를 담고있기때문에 살살살 잘 풀어내면(종이를 펴면) 의미있는 정보를 끌어낼 수 있답니다!

여기서 생성함수는 일반적으로 멱급수로 표현됩니다.(멱급수는 이전포스팅(https://omnil.tistory.com/206)에서 자세히 보실 수 있습니다)
이렇게 표현하는 이유는, 수열을 하나의 식으로 압축하는 데 그치지 않고,
미분, 적분, 곱셈, 대입 등 우리가 잘 아는 함수 조작을 통해 계수들의 성질이나 일반항을 효과적으로 분석할 수 있기 때문입니다.
즉, 멱급수는 단순한 ‘형식’이 아니라, 수열을 다루기 위한 강력한 도구인 셈이죠.

하지만 우리는 x의 값보다는 각 항의 계수를 중심으로 볼 것이기 때문에, 멱급수에서 중요한 수렴 반경과 같은 해석적 특성은 고려하지 않는 형식적 멱급수(formal power series)로 다룰 것입니다.

이때 사용되는 x는 실제로 어떤 수를 대입하기 위한 값이라기보다는 각 항의 계수를 표시해주는 기호나 색인 같은 역할만 할 뿐인거죠.

그래서 중간에 나오는 생성함수에서 x가 사용되긴 하지만, 해석학적으로 변형이 가해지거나 다른 숨은 뜻을 (일부러) 찾아내지 않는 한 직접 대입으로는 의미있는 값을 산출하지 않습니다.

결국 생성함수를 x라는 색인값으로 '변환•압축'하고 다시 의미있는 일반항으로 '변환•압축풀기'하면 자연스레 x는 사라지는 매개변수 같은, 정보를 꺼내기 위한 일종의 ‘열쇠’ 같은 존재일 뿐이며 우리가 관심 있는 건 언제나 계수들(=수열)이랍니다!

한가지 예를 들어볼까요?
모든 항이 1인 수열 $ a_n $을 생각해봅시다.
이를 멱급수로 표현해보면
$ G(x) = a_0x^0 + a_1x^1 + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots $
로 표현되고,
다시 정리해보자면
$ G(x) = 1 + x + x^2 + \cdots $로 정리될겁니다.

양변에 x를 곱하면 $ xG(x) = x + x^2 + \cdots $가 되고, 이는 원래 $ G(x) - 1 $과 같아지죠?

$ G(x) - 1 = xG(x) $
$ G(x) - xG(x) = 1 $
$ G(x) (1-x) = 1 $
$ G(x) = \frac{1}{1-x} $

이렇게 정리가 되겠죠?

즉, 아주 간단한 이 함수 하나가 $ a_n = 1 $이라는 수열 전체의 정보를 담고 있는 생성함수인 것입니다!

여기까지 읽으셨는데도 생성함수에 대해서 감이 잘 오지 않으신다면 생성함수(Generating Function)란?(feat. 멱급수(power series)) 포스팅을 한번 보시면 더욱 쉽게 이해가 가실겁니다!

3. 카탈란 수열의 생성함수?

그러면 카탈란수열의 생성함수를 바로 구해볼까요?
일단 형식적 멱급수를 이용하여 카탈란 수열을 계수로 표현하면

$ C(x) = C_0 + C_1x + C_2x^2 + \cdots $
$ C(x) = \sum \limits _{n=0} ^{\infty} C_nx^n $

로 표현할 수 있겠습니다.

여기서 점화식이 선형조합으로 구성되어있다면 아주 단순한 조작만으로 생성함수를 정리할 수 있겠지만(피보나치 수열의 생성함수 포스팅(https://omnil.tistory.com/206)을 참조해주세요)

애초에 카탈란 수열의 점화식이 비선형 점화식이므로 간단하게 정리는 힘듦니다.

그럼 일단 점화식으로 다시 풀어서 써 볼까요?

$ C(x) = C_0 + \sum \limits _{n=1}^{\infty} \left ( \sum \limits _{k=0} ^{n-1} C_kC_{n-1-k} \right ) x^n $

$ C_0 $는 점화식에서도 정의가 없었으니까 따로 더해줍니다.

$ C(x) = C_0 + x \cdot \sum \limits _{n=1}^{\infty} \left ( \sum \limits _{k=0} ^{n-1} C_kC_{n-1-k} \right ) x^{n-1} $

자, summation식에서 $ x $하나를 빼줍니다. 그러고나서 n을 0부터 시작하는 모양으로 다시 바꿔주면,

$ C(x) = C_0 + x \cdot \underbrace{ \sum \limits _{n=0}^{\infty} \left ( \sum \limits _{k=0} ^{n} C_kC_{n-k} \right ) x^{n} } $

이렇게 나올겁니다.

근데, 우측항에서 underbrace된 부분이 뭔가 재밌지 않나요?

$ \sum \sum \sim x^n\ $은 뭔가 분해될 것 처럼 생기지 않았습니까?

네, 바로 코시곱(Cauchy product)라는 모양인데요, 두 무한 급수 $ \sum \limits _{n=0}^{\infty} a_n x^n $과 $ \sum \limits _{n=0}^{\infty} b_n x^n $의 곱은 $ \sum \limits_{n=0}^{\infty} \sum \limits _{k=0}^{n} a_kb_{n-k} x^n $ 급수와 같다는 정의입니다.(여기서 급수는 기본적으로 덧셈과 같으므로, 곱셈에 대하여 분배/결합법칙이 성립합니다. 즉, $ x^n $은 없어도 상관없는 항이지만 이해를 돕기위해 같이 썼습니다.)

그럼 이 정의를 따르게 되면, underbrace된 부분은

$ \sum \limits _{n=0}^{\infty} C_nx^n \cdot \sum \limits _{n=0}^{\infty} C_nx^n $이 되겠군요.

처음에 $ C(x) = \sum \limits _{n=0} ^{\infty} C_nx^n $이라고 정의하였으니 다시 정리하면

$ C(x) \cdot C(x) = C(x)^2 $으로 정리되겠네요!

그럼 다시쓰면

$ C(x) = C_0 + x C(x)^2 $

이고, 이걸 다시 방정식 형태로 정리하면, 아래와 같이 깔끔하게? 나옵니다.

$ xC(x)^2 - C(x) + 1 = 0 $

지금까지 유도해본게 뭔가 수학적으로 유도해 보았다면(뭔가 이상한 코시곱이란 것도 나오고...) 이젠 좀 더 쉽게? 좌충우돌 유도해보겠습니다.

생성함수를 잘 보면 x의 거듭제곱을 기준으로 수열의 항들이 배치되어있습니다.
위에서 x가 일종의 열쇠 같은, 색인 역할을 한다고 얼핏 말씀드렸는데요, 이것이 바로 그것입니다.
그래서 x를 곱하거나 나누는 행위는 이 색인을 앞으로 당기거나 뒤로 미는것과 같은 행위가 되죠.
더불어 상수배를 하거나 상수항을 더하는 행위는 수열 전체를 스케일링하거나 평행이동하는 것과 비슷하죠.

일반적으로 생성함수를 푼다는 것은 멱급수로 정의된 수열을
1) x에 대해 명시적 함수로 변환하거나
2) 또는 그것이 어려울 경우 자기자신을 포함하는 방정식(암시적 함수)으로 정리하는 과정을 뜻합니다.
이는 무한한 수열을 무한한 멱급수로 표현한 뒤, 다시 단 한줄의 수식으로 변환/압축하는 과정이죠.

그리고 이 과정에서 자주 사용하는 테크닉들이 바로 위에서 말했던, x 차수 변환/상수배/상수항정리 등의 연산입니다.
이런 방법들을 통해 x에 대한 명시적 함수를 얻을 수 있다면, 더할나위 없이 쉽게 이후 과정이 진행되지만, 그렇지 않은 경우엔 암시적 함수가 되어서 조금 복잡해지는데요...
여기서 잘 보면, 이 카탈란수의 생성함수는 단순히 x를 곱하거나 나누거나, 상수배하거나 상수항을 조정하는 등의 조작만으로는 풀리지 않을 것 같습니다.

결국 험한 길을 가야한다는 뜻이 되겠네요...

그렇다면, 일단 생성함수 $ C(x) = C_0 + C_1x + C_2x^2 + \cdots $를 점화식으로 한번 풀어봅시다.

$ C(x) = C_0 + C_1x + (C_0C_1+C_1C_0)x^2 + (C_0C_2+C_1C_1+C_2C_0)x^3 + \cdots $

이렇게 나오겠죠?

뭔가 어떤 조작도 불가능 해 보이지만, 딱 하나 뭔가 가능해 보일 것 같은게 있지 않나요?

$ (1 + 2x) $를 한번 제곱해볼까요?
$ (1 + 2x)(1 + 2x) = 1*1 + 1*2x + 2x*1 + 2x*2x = 1*1 + (1*2+2*1)x + 4x^2 $

$ (1 + 2x + 2x^2) $도 한번 제곱해볼까요?
$ (1 + 2x + 3x^2)(1 + 2x + 3x^2) = 1*1 + (1*2+2*1)x + (1*3+2*2+3*1)x^2 + 12x^3 + 9x^4 $

오.. 딱 제곱한 최고차항만큼 까지 계수가 조합적으로 구성됨을 알 수 있습니다.

그러면 결국 생성함수를 제곱하면, 다시 자기 자신이 튀어나오겠군요!?

$ C(x) = C_0 + C_1x + C_2x^2 + \cdots $
$ C(x)^2 = C_0^2 + (C_0C_1+C_1C_0)x + (C_0C_2+C_1C_1+C_2C_0)x^2 + \cdots $

이걸 다시쓰면 $ C_0 = 1 $이고, 점화식을 다시 수열로 바꿔주면

$ C(x)^2 = 1 + C_2x + C_3x^2 + \cdots $

가 되겠네요.

잘 보면, 우항에서 x를 한번 곱해주고 1더하면 완벽히 자기 자신으로 돌아오는 걸 확인할 수 있습니다.

식으로 쓰면

$ C(x) = xC(x)^2 + 1 $이네요!

마찬가지로 정리해보면

$ xC(x)^2 -C(x) +1 = 0 $

완전히 위에서 구한것과 같습니다!

4. 카탈란 수열의 생성함수를 구하자

자 그럼 위에서 구한 식을 정리해볼까요?
$ C(x) $에 대해서 근의 공식을 구하면 풀릴 것 같습니다. 여기서 $ x $는 상수처럼 놓고 풀어보죠

근의 공식은
$ \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $입니다.

대입해보면
$ C(x) = \frac{1 \pm \sqrt{1-4x}}{2x} $

이렇게 정리되겠습니다.

여기서 근의 공식 때문에 생성함수가 두 개처럼 보이게 되는데요, 어떠한 경우에도 한 수열을 생성하는 멱급수(생성함수)는 단 하나만 존재합니다.(함수식의 표현은 다양하게 할 수 있지만($ x \ = \frac{x^2}{x} $), 본질은 무조건 하나($ x $)라는 겁니다.

그러면 둘 중에 뭐가 진짜 생성함수일까요?

자, 생성함수에서 x는 어떤 값을 대입하기 위한 것이 아닌 특정 색인만 제공하는 역할이라고 했습니다.
그러나 딱 하나 예외적인 경우가 있는데요. 바로 $ x=0$인 경우입니다.
애초에 생성함수(멱급수)의 정의에서
$ C(x) = C_0 + C_1x + C_2x^2 + \cdots $라고 쓰기로 한거 기억나시나요?

여기서 아주 재밌게도, $ x=0 $인 순간 의미있는 값이 나옵니다.
바로 딱 $ C_0 $값이 나온다는거죠.

$ C(0) = C_0 = 1 $

입니다.

그러므로 우리는 $x=0$을 가지고 저 생성함수가 1이라는 값을 가지는지 아닌지로 판별해보겠습니다.

근데... 매우 슬프게도 정리한 수식의 분모에 $ x $가 있어서 0을 직접 대입할 수 없습니다...

그럼 아예 못구하냐? 하면 극한이라는 방법이 있죠

일단 $ C(x) = \frac{1 + \sqrt{1-4x}}{2x} $부터 검증해보겠습니다.

$ \lim \limits_{x\rightarrow0} C(x) = \lim \limits_{x\rightarrow0} \frac{1 + \sqrt{1-4x}}{2x} $

이라고 수식을 쓸 수 있겠고... 극한으로 가면갈수록 이 값은...

$ C(0) = \frac{2}{0} = \infty $

무한대로 가겠네요... 그럼 일단 얘는 아니라는거고 그럼 무조건 다른 식이 생성함수라는건데.. 한번 검증해볼까요?

다른 식은 부호가 마이너스인 식입니다.

$ C(x) = \frac{1 - \sqrt{1-4x}}{2x} $

똑같이 극한을 취해주면

$ \lim \limits_{x\rightarrow0} C(x) = \lim \limits_{x\rightarrow0} \frac{1 - \sqrt{1-4x}}{2x} $

$ C(0) = \frac{0}{0} $ 꼴이 되네요.

그러면 우항을 수식정리해서 분모가 0이 아니게 해줍시다.

일단 유리화합시다. 분자 분모에 $ 1 + \sqrt{1-4x} $를 곱해줍시다.

$ \frac{1^2 - (1-4x)}{2x(1 + \sqrt{1-4x})} $

이렇게 정리가 되겠네요. 식을 정리해주면

$ \frac{4}{2(1 + \sqrt{1-4x})} $

다시 여기에 극한 취해줍시다.

$ \lim \limits_{x\rightarrow0} \frac{4}{2(1 + \sqrt{1-4x})} $

$ \frac{4}{2(1 + 1)} $

$ C(0) = 1 $

5. 결론

네!! 카탈란수의 생성함수는 바로바로~

$ C(x) = \frac{1 - \sqrt{1-4x}}{2x} $

이것이었습니다!!!!

6. 여담

와.. 원래 한번에 일반항까지 쭉 구해보려했는데, 이거 뭐 작성시간이 장난이 아니네요... 불가피하게 2부작으로 나눠서 진행하겠습니다..!

카탈란수의 응용: n+2각형에서 삼각형으로 분할하기

미렌스 — Sat, 17 May 2025 22:15:02 +0900

카탈란수의 응용: n+2각형에서 삼각형으로 분할하기

카탈란 수열 시리즈

1. 서론

저번 포스팅까지, 아주 기나긴 여정을 거쳐왔습니다. 키탈란 수가 뭔지부터 시작해서 일반항을 구하고 점화식까지 찾아봤었죠.
그러는 와중 어렵기도 하였지만, 아주 완벽하게 카탈란수의 점화식을 구해봤는데요
오늘은 본질적으로 '그래서 카탈란 수로 뭘 할 수 있는데?'에 대해 한가지 문제를 풀어볼까 합니다. 사실 그 전에 카탈란수는 여기저기 조합적 문제에서 답이 된다고 말씀드렸고, 간단하게 괄호치기 문제도 살펴보았으나 좀 더 본격적으로 문제를 하나 풀어보죠!

2. 삼각분할(Triangulation)[n각형을 n-2개의 삼각형으로 분할하기 = n+2각형을 n개의 삼각형으로 분할하기]

여러분은 n각형의 내각의 합을 아시나요?
예에에전에 얼핏 본 기억이 있지 않으신가요?
삼각형은 180도, 사각형은 360도... 어라? 규칙이 보이는 것도 같습니다?
네 바로 180(n-2)가 n각형의 내각의 합이죠!
그리고 이건 n각형을 n-2개의 (볼록다각형의 최소 단위인)삼각형으로 분할할 수 있으며, 이때 각 삼각형의 내각의 합은 무조건 180도가 되기때문에 간단하게 유도되는 식입니다.
다시말해 n+2각형을 n개의 삼각형으로 분해할 수 있다고 볼수도 있네요(n 위치만 조금 조정했습니다)
그렇다면, 여기서 문제!
삼각형으로 분할할 수 있는 경우의 수는 몇가지일까요!?
일단 삼각형은 단 한가지로밖에 분할이 안될 것 같고... 사각형은 어떻게 될까요?

사각형은

이렇게 두 가지 방법이 나올겁니다

그렇다면 오각형은요?

네, 요렇게 세가지 방법이 나오겠죠?
는 아닙니다!
잘 보시면 제일 왼쪽모양은 오른쪽에 사각형이 남아있고 위에서 봤듯이 이 사각형은 다시 두가지 방식으로 삼각형으로 나눌 수 있습니다.
제일 오른쪽 또한 마찬가지겠네요?
그래서 방법은 총 2+1+2로 다섯가지입니다.

어라..? 눈치빠르신 분들은 벌써 알아차리셨죠?
바로 카탈란수의 점화식 꼴이네요!!

쉽게 이해해보자면 두개의 점을 바닥에 두고 기준 변으로 잡은 뒤에 남은 n개 기준점에 순차적으로 삼각형을 그려보면서 그 뒤에 더 분할되는 부분이 있는지 보게 되는거죠!

기준점의 왼쪽과 오른쪽, 각각의 도형으로 분할하여 더 나눌 건덕지가 있는지 보는겁니다!

그래서 어떤 기준점 왼쪽에 아예 뭐가 없으면 $ C_0 $, 삼각형 하나 있으면(점 하나있으면) $ C_1 $ ... 이런식으로 보는거죠

그럼 육각형을 한전 카탈란수로 봐볼까요?

자, 제일 왼쪽그림(첫 번째그림)에서 삼각형 왼쪽은 점이 없죠?($ C_0 $), 그리고 오른쪽은 오각형, 그러니까 점이 3개 있습니다($ C_3 $)
= $ C_0C_3 $

두 번째그림은 왼쪽에 점 하나, 오른쪽에 점 두 개 있으니, $ C_1C_2 $네요

세 번째그림은 왼쪽에 점 두개, 오른쪽에 점 하나있으니 $ C_2C_1 $

네 번째그림은 왼쪽에 점 세개, 오른쪽에 점 0개 있으니 $ C_3C_0 $

모든 경우의 수를 합쳐주면 6각형(4+2각형)에서는
$ C_0C_3 + C_1C_2 + C_2C_1 + C_3C_0 $
즉, $ C_4 $군요

3. 결론

결국 n+2각형을 n개의 삼각형으로 나누는 경우의 수는 카탈란수의 점화식으로 나타나며, 결국 n번째 카탈란 수가 정답이 되겠네요!

의외로 신기하지 않나요? 뭔가 경우의수나 조합같지않은, 생뚱맞은 기하학 문제에서 이렇게 경우의 수와 카탈란 수열이 연관이 있다니요!

사실은 이거 진짜 쉽게 이해하기 어려운 부분입니다
그러나 이미 저번 포스팅에서 고생하며 구한 노력이 여기서 빛을 발하네요~

4. 미리니름

다음 번에는 아주 조금 어려운 주제를 들고와보겠습니다. 기대해주세요!

5. 여담

재미삼아 정 18각형으로 그려본 그림... 사실 원리만 알면 이렇게 n이 큰 다각형을 그릴 필요도 없지만요...

카탈란 수열의 점화식 구하기

미렌스 — Mon, 12 May 2025 20:02:22 +0900

카탈란 수열의 점화식 구하기

카탈란 수열 시리즈

0. 서론

저번 포스팅까지 해서 카탈란 수열의 일반항을 아주 직관적으로 조합적 방식을 통하여 구해보았습니다.
~~사실 개인적으로는 이거보다 더 깔끔하게 설명할 수 있나!? 싶을 정도로 자화자찬하고 싶습니다만...~~
오늘은 카탈란 수열의 점화식에 대해서 살펴보겠습니다.

1. 카탈란 수열의 점화식?

사실상 '카탈란 수열에도 점화식이 있어!?'라는 질문이 처음 나오는게 너무나도 당연한 시작일 것이라고 생각합니다.
왜냐면 사실 카탈란 수(카탈랑 수) 라는 거 자체가 처음부터 수열을 만들기 위한 정의 자체가 아니었거든요.

원래는 '문제풀이'가 카탈란 수의 본질이라면 본질이라고 볼 수 있습니다.

첫 포스팅에서 알아볼때, 참 많은 문제들의 답안으로 카탈란 수열이 사용된다고 알아보았습니다.
다시 정리하자면 가장 독특한게 괄호치기 문제, 그리고 그 다음으로 볼록 n+2각형에서 n개의 삼각형으로 분할하는 경우의 수, 뒤크 경로(Dyck path) 풀이(딕 경로라고도 부르는데요, 카탈란 수열 구하면서 봤죠? 엄밀하게는 격자이동 없이 우상향, 우하향하는 경로를 Dyck path라고 합니다), 뒤크 문자열의 수, 원 위에 2n개 점 잡고 n개 선분 그릴때 교점 없이 긋는 방법의 수, n개의 노드를 가지는 이진트리 구성 방법의 수, 스택정렬 가능한 경우의 수 등 여러 조합론적 문제에서 답이 되는 수 입니다.
그리고 그만큼 '어떤 n에 대해서 어떤 경우의 수를 가지나~'하는게 카탈랑 수의 본질이죠.

그래서 사실 점화식도 이후에 유도된 것이라고 봐도 무방합니다.(애초에 점화식으로 정의된 수열이 아니걸랑요!)

따라서 애초에 점화식으로 정의되며, 수열을 기본적으로 정의로 가지는 피보나치 수열과는 차이가 있습니다.
그럼에도 불구하고 이 카탈란 수를 이용한 수열은 어떠한 규칙성을 가지고 수를 계속 만들어 내기 때문에 수열이라고 볼 수 있는거구요.

2. 점화식은 어떻게 구할까?

사실 위에서 수많은 예시를 들었고, 그 예시들을 가지고 문제를 풀다보면 점화식은 쉽게 도출됩니다.
오히려 점화식에 비해 일반항이 구하기 어려운 편인데, 그마저도 격자이동에서의 Dyck path를 구하는 문제로 보면 쉽게 구할 수 있죠.(그래서 이걸로 카탈란 수의 일반항을 먼저 구했었죠)
(점화식으로 쉽게 정의되어 만들어진 피보나치 수열이 오히려 일반항은 굉장히 어렵게 구해지던 거랑 정 반대죠?)

그럼 저런 수많은 예시들을 놓고 어떤 방법으로 구해야 가장 쉽게 구해질까!? 하면, 사실 괄호치기 문제가 제일 간단하게 구할 수 있습니다.
물론, Dyck path문제로도 구할 수 있는데 이거는 아주 약간의 기하학적 아이디어들이 들어가야하므로 먼저 괄호치기 문제로 귀납적으로 점화식을 구하고, 그 다음 구해보도록 하겠습니다.(심지어 기하학적 아이디어 없이 수열분해부터 들어가면 어렵습니다)

3. 카탈란 수열의 점화식을 구해보자

3-1. 괄호치기 문제

괄호치기 문제로 점화식을 구하는게 왜 쉬운지는, 이후에 Dyck path를 통해 구하면서 알아보기로 하고 일단 구해봅시다.

- 괄호가 아예없다면 보나마나 경우의 수는 1입니다. = $ C_0 $

- 괄호가 '(' 하나 ')' 하나 있다면 경우의 수는 1입니다 = $ C_1 $

- 괄호가 '(' 두개 ')' 두개 있다면 경우의 수는 2입니다 = $ C_2 $
()(), (()) 이렇게 되겠지요?
여기서 첫 괄호가 열리고 닫히는걸 주목해 봅시다.
첫 괄호가 열리고 나서 어쩌구 저쩌구 한 뒤에 닫힌 경우와 그 뒤의 경우를 나눠서 생각해보면
* ()() 경우에는
첫 괄호가 열린 뒤 아무것도 하지 않고 닫혔고, 그 뒤에는 괄호가 한번 열리고 닫혔습니다.
첫 괄호가 열린 뒤 아무 것도 하지 않고 닫혔다 = $ C_0 $
그리고 그 뒤에 괄호가 한번 열리고 닫혔다 = $ C_1 $
동시에 일어났으니까 곱하기!
결국 $ C_0 \cdot C_1 $
* (()) 경우에는
첫 괄호가 열린 뒤 괄호가 한번 열리고 닫히고나서 첫 괄호가 닫혔고, 그 이후에는 뭐 어떻게 할 괄호가 없네요.
  첫 괄호가 열린 뒤 괄호가 한번 열리고 닫히고 나서 첫 괄호가 닫혔다 = $ C_1 $
  이후에는 괄호가 없다 = $ C_0 $
  곱해서 나타내면 $ C_1 \cdot C_0 $
그리고 이 두가지 경우를 더해서 경우의 수를 나타내면 $ C_0 \cdot C_1 + C_1 \cdot C_0 $
결과는 2입니다!

여기서 왜 첫괄호가 열리고 닫히는건 신경도 안쓰냐! 하실 수 있는데, 카탈란 수의 구조에서 ‘( )’처럼 괄호를 열자마자 바로 닫는 경우는, 구조적으로 아무것도 하지 않고 본래 상태로 되돌아온 것과 같습니다.
점화식에서는 첫 괄호쌍이 닫히는 시점(즉, 원점으로 돌아온 시점)을 기준으로 경로를 나누기 때문에(첫 원점이 제일 중요합니다. 첫 원점 이후 상황은 카탈란 수로 바로 결정되거든요), ‘열자마자 닫는’ 경우는 앞부분에서 유의미한 구조를 형성하지 못하므로, 기저적으로 $ C_0 (=1) $에 해당하는, 의미 없는 기본 단위로 간주하는 것입니다.
좀 더 그럴듯한 이유는 이어지는 Dyck path 문제에서 한번 더 살펴보시죠!

- 이젠 각 괄호가 세개씩 있는 상황입니다.
()()()
()(())
(())()
(()())
((()))
자, 첫 괄호가 닫히는 시점이 중요하다고 했죠?
잘 보면 첫 괄호가 닫히는 시점이 세가지로 나뉘는 걸 알 수 있습니다.
첫괄호가 바로 닫히는 경우
첫 괄호안에 괄호가 하나 있는경우
첫 괄호안에 괄호가 두개 있는경우
이렇게 말이죠.
첫 괄호가 열리자마자 닫히면 구조적으로 $ C_0 $ 라고 하였습니다.
그리고 그 뒤를 보면 바로 위에서 했던 모양이 보이죠? $ C_2 $입니다.
첫 괄호가 바로 닫히는 경우 클리어했습니다.
그 다음 첫 괄호 안에 괄호가 하나 있는 경우를 보겠습니다.
첫 괄호 안에 괄호 하나는 $ C_1 $이겠군요? 그리고 그 뒤로 괄호 하나가 더 나오니 또 $ C_1 $입니다. 두번째 조건도 클리어!
첫 괄호 안에 괄호가 두개 있는 조건도 보겠습니다.
첫 괄호 안에 괄호가 두개니까(그리고 그 모양은 바로 위에서 살펴보았던 모양) $ C_2 $겠군요.
그리고 그 뒤에는 남은 괄호가 없으니 $ C_0 $겠어요..
그러면 결국 다 더하면 $ C_3 = C_0C_2 + C_1C_1 + C_2C_0 $ 겠네요! 값은 5구요!

그리고 여기서 '점화식'이라고 볼 수 있는 것이 나옵니다.

눈치 빠르시면 아시겠지만, 바로 이전까지 나왔던 카탈란 수가 다음 카탈란 수를 결정하고 있는게 보이시나요?

그리고 규칙성도 보이지 않습니까?

그럼 지금까지 살펴본 것을 바탕으로 귀납적으로 사고해봅시다.

만약 $ C_n $의 점화식을 본다면,

1) 첫 괄호가 닫히는 걸 기준으로, '앞 카탈란 수'와 '뒷 카탈란 수'의 곱을 구분한다고 볼 수 있으므로 항은 n개가 생성이 될겁니다.

2) '앞 카탈란 수'는 첫 괄호 내에 계속해서 괄호들이 한 쌍씩 추가 될 것이므로 $ C_0 $부터 $ C_{n-1} $까지 늘어나겠네요(첫 괄호에서 이미 한쌍을 사용하죠? 그래서 n-1까지만 늘어납니다.)

3) '뒷 카탈란 수'는 남는 괄호를 가지고 만들어지는 카탈란 수니까 첫 괄호에 한쌍을 사용하고 남는 괄호들로 만들어지므로 $ C_{n-1} $부터 $ C_0 $까지 줄어들겠네요!

수식으로 써보면

$ C_n = C_0 C_{n-1} + C_1C_{n-2} + \cdots + C_{n-2} C_1 + C_{n-1} C_0 $

가 되겠구요!

$ C_4 $로 한번 확인해볼까요?

$ C_4 = C_0 C_3 + C_1 C_2 + C_2 C_1 + C_3 C_0 $

카탈란수가 0항부터 3항까지 각각 1, 1, 2, 5의 값을 가지니까, 계산해보면

$ C_4 = 1*5 + 1*2 + 2*1 + 5*1 = 14 $

예, 정답이 나오네요! 점화식을 귀납적으로 잘 찾아낸 것 같습니다!

근데, 저렇게 덧셈을 주루룩 늘어놓으면 보기가 별로 좋지 않죠...?

그래서 우리는 summation으로 저것을 간단하게 표현해 볼 것입니다. 대문자 sigma죠!

규칙도 간단합니다. 0부터 n-1까지 커지는거 하나, n-1에서 0까지 작아지는거 하나!

$ C_n = \sum\limits_{k=0}^{n-1} C_k C_{n-1-k} $

이렇게 간단(?)하고 깔끔(?)하게 카탈란 수열의 점화식을 구해보았습니다!

사실, 곰곰이 생각해보면 맞는 말이긴 하지만, 그럼에도 귀납법으로 유추를 하기도 하고 왠지 설명이 조금 부족하다 싶은 부분이 있을 수도 있습니다.

그럼 이어서 Dyck path로 구하는 법을 보도록 하죠.

3-2. Dyck path 문제

이번에는 Dyck path의 구조적 성질을 활용해 연역적으로 점화식을 유도해보겠습니다.

기하학적으로 보면 제일 깔끔한 유도방식이 아닐까 싶네요.

그러나 여기서는 각 점별로 하나하나 생각해 주는 것도 필요하고, 더군다나 prime Dyck path, 최초 귀환 이라는 개념들이 새로 나오는게 문제지만요, 사실 뭐 별다른 개념도 아닙니다.

자, 일단 개념 들어갑시다!

1] 최초 귀환점

'최초 귀환점'이란건, (0,0)에서 출발해서 Dyck path를 따라가다가 제일 처음으로 y=x선이랑 만나는 지점을 '최초 귀환점'이라고 합니다.

R과 U가 짝이 맞으면 다시 처음부터 이동하는 것과 마찬가지라고 생각할 수 있으므로 '다시 돌아왔다'고 볼 수 있는데, 직감적으로 이해가 되시죠?[혹은 0에서 출발해서 R이 +1, U가 -1이라고 보면 R하고 U가 짝이 맞으면(+1 + (-1)) 다시 0이 되죠?]

출발점 (0,0)은 귀환점에 포함되지 않으며, 일반적으로 (1,1), (2,2), ..., (n,n)까지 n개의 귀환점이 생깁니다.

이 최초 귀환점을 기준으로 경로를 두 부분으로 분해할 수 있습니다:

최초 귀환점까지의 경로 (앞 구간)
그 이후부터 종점까지의 경로 (뒷 구간)

n=2인 격자에서 그림으로 보자면, (1, 1)과 (2, 2)가 최초귀환점이 됩니다.

2] prime Dyck path

prime이라는 단어는 '더이상 분해할 수 없는' 상황에 붙이는 단어인데(1과 자기자신 이외에는 나눠지지 않는 수가 소수(prime number)죠) 이를 통해 유추해보자면 'Dyck path 중 더이상 분해되지 않는 Dyck path다'라고 생각해 볼 수 있습니다.

이게 무슨말인고?하니.. n=2인 격자를 한번 생각해보죠.[바로 위에 이미지가 있죠?]

Dyck path는 두 가지가 있는데, 하나는 중간에 y=x선에 닿았다가 진행하는 경우이고, 하나는 닿지 않고 진행하는 경우입니다.

여기서 잘 생각해보면, y=x선에 닿은 Dyck path(왼쪽)는 y=x선에 닿은 점을 기준으로 앞쪽 Dyck path랑 뒤쪽 Dyck path로 분해할 수 있게 되겠죠?

그런데, 두번째인 오른쪽의 경우는 그냥 그 자체로 하나의 Dyck path이지, 다른 Dyck path들로 분해할 수 없죠?

그래서 바로 오른쪽과 같은 경로를 prime Dyck path라고 부릅니다.

결국 prime Dyck path란 처음 출발 이후 종점에 도착할 때까지 한번도 y=x선에 닿지 않으면서 이동하는 경로를 말하는 것이죠.

3] prime Dyck path의 개수 구하기

저번 포스팅의 기억을 한번 돌이켜 볼까요?

저번 포스팅에서 Dyck path의 경우의 수는 전체 경로에서 Dyck path를 위반한 경로를 빼서 구했었습니다.

그때 Dyck path를 위반한 경로는 어떻게 구했나요?

'y=x선을 넘어간 애는 위반한 애야 $ \leftrightarrow $ y=x+1선과 닿은 애는 위반한 애야'

라고, 새로운 선을 하나 추가해서 풀었었죠!

그럼 이 아이디어를 다시 차용해 봅시다.

prime Dyck path는 y=x 선에 닿지 않아야 합니다.(위에서 살펴봤듯이 닿으면, 그 점을 기준으로 분해가 된다고 했죠?)

그렇다면, y=x-1 아래에서만 움직이는 경로는 그 어떤 상황에서도 절대로 y=x선과 닿을 수 없겠죠?

그리고 y=x-1 아래에서만 움직이기 위해서는 처음 y=x-1 선 아래로 움직이는 R 한번, 그리고 y=x-1 선에서 종점으로 움직이는 U 한번이 필수적으로 필요하다고 볼 수 있겠습니다.

따라서 n x n 격자에서 prime Dyck path의 수는 (n-1) x (n-1)을 움직이는 Dyck path의 수와 같아집니다.

2 x 2 격자에서 prime Dyck path의 수는 1 x 1 Dyck path의 수 즉, $ C_1 = 1 $입니다.

3 x 3 격자에서 prime Dyck path의 수는 2 x 2 Dyck path의 수 즉, $ C_2 = 2 $입니다.

4 x 4 격자에서 prime Dyck path의 수는 3 x 3 Dyck path의 수 즉, $ C_3 = 5 $입니다.

4] 그렇다면 1 x 1 격자에서 prime Dyck path의 수는 어떻게 될까요?

여기서 위에서 살펴보았던 괄호치기에서 왜 맨처음 열고닫는 괄호는 생각하지 않는지에 대한 해답이 있습니다.

1>> 지금까지 구한 대로라면 0 x 0 Dyck path의 수 즉, $ C_0 = 1 $이어야 합니다.(그리고 이 결과는 썩 괜찮은 논리적 귀결입니다.)

그러나 아직까지도 우리는 'R한번 U한번으로 움직이는 경로가 있잖아! 얘는 prime Dyck path아냐? 분해불가잖아!'라고 생각할 수 있습니다.

2>> 하지만 생각해보면 prime Dyck path란건 시점과 종점을 제외하고 중간에 한번은 닿을 수 있는 점이 있을 때만(= 분해 가능한 경우가 있어야만) 정의가 됩니다.

어떻게 요렇게 조렇게 조합하면 분해할 수 있는 상황에서, 특별한 방법의 조합으로 분해가 불가능한 상황을 정의한 거니까요.

[가령 RURU는 분해가능한 조합이고, 이걸 특별한 방법으로 RRUU로 조합하면 분해가 불가능한 prime Dyck path가 되죠]

그렇다면 너무나도 당연하게 시점과 종점만 있는 상황에서는 prime Dyck path를 정의할 수 없습니다.

[또 다르게 생각해서 1이 소수(prime number)가 아닌 이유와도 상통하겠네요, 1x1에서는 prime Dyck path가 없습니다.]

3>> 다르게 생각하면 하나 작은 격자의 Dyck path를 구함에 있어 그 하나 작은 격자로 '들어가는' 한 스텝과, '나오는' 한 스텝은 필수적으로 필요하기 때문에 카운트 안한다고 생각하셔도 무방합니다.

자, 이제 괄호치기 문제에서 왜 첫번째 괄호를 열고 닫는건 카운트하지 않는지에 대해서 아주 명확하게 해결이 되었습니다.

괄호치기 문제에서의 설명에 더불어 1, 2, 3번 설명 중 와닿는 설명으로 이해하시면 됩니다.

어찌됐든 그래서 첫 카탈란 조합(RU던 ()던)은 노카운트($ C_0 $)입니다!

5] 격자에서의 Dyck path 문제 규칙 살펴보기

요지는 간단합니다.

n x n 격자에서 Dyck path의 경우의 수는 최초 귀환점들로 분해할 수 있습니다.(물론 분해된 모든 경로는 Dyck path일테니 카탈란 규칙을 만족한다는 가정입니다)

따라서 너무나 당연하게도 최초 귀환점들로 분해해서 구한 Dyck path들을 다시 다 더하면 전체 Dyck path의 경우의 수가 될 것입니다.

그리고 최초 귀환점을 기준으로, 최초 귀환점 앞부분은 무조건 prime Dyck path여야 하고(당연히 '최초'귀환이니 y=x에 닿는 지점이 없어야 겠죠?)

그 뒷부분은 그냥 Dyck path이기만 하면 됩니다. 그리고 이 Dyck path를 가지는 경우의 수가 바로 카탈란 수였죠?

그리고 더불어 이렇게 분해를 함으로써 항상 이 분해된 Dyck path의 경우의 수는 전체 경우의 수보다 작아지게 됩니다.

결국 '이전의 수들로 다음 수를 결정한다'는 점화식의 정의를 만족하게 되고, 이 방법론을 따라가면 카탈란 수열의 점화식을 알 수 있게 되겠네요!

바로 n이니 k니 문자를 사용해서 유도를 하면 복잡하고 와닿지도 않게되니, 일단 n=3인 상황을 봅시다.(n=2는 위에서 살펴보았죠?)

아까 prime Dyck path는 y=x-1을 넘지않는 Dyck path의 수라고 했습니다.

그리고 이 말은 항상 최초귀환 점보다 1작은 격자를 Dyck path를 따라 움직이는 것과 마찬가지인 경우의 수를 가지게 됩니다.

이미지로 살펴볼까요?

최초귀환점이 (1, 1)인 경우를 보면 다음과 같습니다.

보시면 아시겠지만, y=x-1선(오렌지색) 아래로 움직일 수 있는 방법이 전혀 없습니다.

이번엔 최초귀환점이 (2, 2)인 경우를 볼까요?

잘 보면 y=x-1보다 아래 즉, (2, 2)보다 1작은 1x1격자(빨간색)에서 Dyck path를 만족하는 경로를 움직이는 것이 prime Dyck path임이 보입니다.

이번엔 마지막 (3, 3)이 최초귀환인 상황을 보죠.

마찬가지로 y=x-1보다 아래 즉, 1작은 (2, 2)격자를 Dyck path로 움직이는 경로가 (3, 3)에서의 prime Dyck path가 됨을 알 수 있습니다.

6] Dyck path 문제로 점화식 구하기

이로써 모든 규칙을 파악했습니다.

1. 격자이동문제에서 Dyck path는 (0, 0)에서 (2n, 0)까지 도달하는 경로 중, y=x선 위로 올라가지 않는 경로이다. 이러한 경로는 (0, 0)을 출발하여 항상 최초로 y=x선에 다시 닿는 지점을 기준으로 두 부분으로 분해할 수 있다.[앞구간, 뒷구간] 그리고 이 다시 닿는 지점을 최초귀환점이라 한다.

2. 최초귀환점은 R과 U가 같은 상황에서 빌생하므로 (1, 1)부터 (n, n)까지 항상 n개가 발생한다.

3. 이 최초귀환점은 항상 (k, k)의 형태이며, 최초귀환점 이전 구간(앞 구간)은 항상 y=x-1선을 넘지않는 prime Dyck path가 된다. 이 부분은 본질적으로 $ C_{k-1} $개의 경우의 수를 가진다.

4. 최초귀환 이후의 경로는 (k, k)에서 시작하여 (n, n)까지 도달하는 일반적인 Dyck path이므로, 이는 $ C_{n-k} $개의 경우의 수를 가진다.

5. 따라서 $ C_n $은 가능한 모든 최초귀환점 k(k=1~n)에 대해 $ C_{k-1} \cdot C_{n-k} $의 합으로 표현할 수 있다.

6. 이에 따라 점화식이 유도된다:

$ C_n = \sum \limits _{k=1}^{n} C_{k-1} \cdot C_{n-k} \quad (C_0=1, \ n \ge 1) $

$ \Leftrightarrow C_n = \sum \limits _{k=0}^{n-1} C_k \cdot C_{n-(k+1)} \Leftrightarrow C_n = \sum \limits _{k=0}^{n-1} C_k \cdot C_{n-k-1} \quad (C_0=1, \ n \ge 1) \ \blacksquare $

[아랫식으로의 변형은 식에서 k를 1씩 더하고 summation의 범위를 1씩 빼서 동치로 만든 것이다.

그러나 우리가 유도한 것과 다르게 처음에 U와 R을 한개씩 쓴 것으로 생각하고 index를 유도하면 다음과 같은 해석도 가능하다.

- 앞 부분은 k쌍 중 1쌍을 뺀, 즉 2(k−1)짜리 Dyck path 수 → $C_{k-1}$
- 뒷 부분은 전체 n쌍 중 첫 1쌍을 뺀 (n−1)쌍에서 다시 k쌍을 뺀 Dyck path 수 → $C_{n-1-k}$
이러한 해석을 통해 바로 아랫식으로의 유도도 자연스럽게 가능하다. 그러나 어떻게 해석하든 결과는 같다.]

이것으로 격자이동에서의 Dyck path의 구조적 성질에 의거한 연역법(structural deduction)으로 카탈란수의 점화식을 구했습니다.

연역법으로 구하였기에 보편타당한 식이 유도되었으며, 이를통해 귀납적으로 구한 점화식도 맞다는 것이 입증되었네요!

4. 마무리

카탈란 수열의 점화식

$ C_n = \sum \limits _{k=0}^{n-1} C_k \cdot C_{n-1-k} \quad (C_0 = 1, \ n \ge 1) $

오늘은 여러가지 방법을 통해 카탈란 수열의 점화식을 유도해 보았습니다.

다음에는 이를 응용하여, n+2각형에서 n개의 삼각형으로 분할하는 경우의 수에 대해 알아보도록하겠습니다!

이항정리를 이항급수로 확장하기

미렌스 — Mon, 5 May 2025 21:20:56 +0900

이항정리를 이항급수로 확장하기

카탈란 수열 시리즈

1. 이항정리가 뭐야?

이항정리는 중학교 때부터 자연스럽게 접하지만, 제대로 들여다보면 조합, 대수, 함수 등 다양한 수학 영역이 얽혀있는 흥미로운 정리입니다. 간단히 말해서, 어떤 두 항 a와 b의 합을 거듭제곱했을 때, 그 결과를 전개하는 방법을 알려주는 식입니다.

일단 $ (a + b)^2 = (a + b)(a + b) $를 예시로 보면, 2개의 a와 2개의 b중 2개를 고르는 경우의 수라고 볼 수도 있는데요(두개의 괄호에서 각각 a를 (혹은 b를) 고르는 경우의 수죠)

두개의 괄호 모두에서 a를 0개 고르는 경우 b는 무조건 2개 고르는 한가지 경우만 생기고

두개의 괄호 중 한 괄호에서 a를 1개 고르고 다른 괄호에서는 b를 1개 고르는 두가지 경우(ab, ba)가 생기고

두개의 괄호 중 a를 2개 고르는 경우 b는 무조건 0개 고르는 한가지 경우가 생겨서

1, 2, 1이 되죠! 여기서 보면 '두 개 중 0개', '두 개 중 1개', '두 개 중 2개'니까, 각각 $ {_2 C_0}, {_2 C_1}, {_2 C_2} $로 볼 수 있겠네요

그리고 여기서 2는 일반 식에서 n이 되므로 결국 경우의 수는 $ {_n C_0}, ... , {_n C_n} $ 요렇게 되겠군요.

그럼 이 값들은 뭘 뜻하냐고 하냐면, 전개식에서의 계수가 됩니다.

그리고 마찬가지로, 이 경우의 수를 나오게 한 항을 뒤에 붙여서 써주게 되면

$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {_n C_k} a^ka^{n-k} $가 되고,

이를 한번 더 정리해보면 다음과 같이 될 것입니다.

$ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $

(a와 b는 둘 위치가 바뀌어도 상관이 없기 때문에 일부러 위에서와 아래서 지수를 바꿔 써 봤습니다)

여기서 $ \binom{n}{k} $는 조합(combination) 기호이며, "n개 중 k개를 고르는 경우의 수"를 의미합니다.

이 식이 얼마나 강력하냐면, 단순한 항의 전개뿐 아니라, 파스칼 삼각형, 조합의 성질, 다항식 계수 계산 등에도 응용됩니다. 하지만 이 식은 지금은 정수 $n$에 대해서만 정의되어 있죠. 그렇다면 이것을 실수나 더 일반적인 수로 확장할 수 있을까요?

2. 이항정리를 좀 더 정리해보자

우리가 앞으로 확장할 것을 염두에 두고, 이항정리를 조금 더 다듬어 봅시다. 우선, $ a + b $ 대신 $ 1 + x $로 바꿔 표현해보죠.

그러면 이항정리는 이렇게 됩니다:

$ (1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k $

이제 다항식의 계수가 오직 x에만 의존하게 되며, 함수적 관점에서 다루기 훨씬 쉬워집니다.

3. 정리된 식으로 다르게 구해보자

이번엔 직접 $(1 + x)^n$을 전개하지 않고, 테일러 급수처럼 항의 계수를 미분을 통해 구해보겠습니다. 실제로 많은 함수들이 이 방식으로 전개되거든요.

우선, 어떤 다항식이 있다고 가정합시다($ (1+x)^n $을 전개하면 계수가 $ a_n $인 다항식이 생성되겠죠?):

$ (1 + x)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n $

여기서 양변에 있는 x에 0을 대입하면, $ a_0 $를 구할 수 있겠죠?

$ 1 = a_0 $입니다.

그리고 위에서 말했듯이 좌우변 모두 x에 대해 미분하면 다음과 같아지겠죠?

$ n(1+x)^{n-1} = 0 + a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 ... $

여기서 x에 0을 대입하면,

$ n = a_1 $이 되겠네요.

하나만 더 해보겠습니다.

한번 더 미분하면

$ n(n-1)(1+x)^{n-2} = 0 + 2a_2 + 3\cdot2 a_3x + ... $

x에 0 대입하면,

$ n(n-1) = 2a_2 $

이제 양변을 계속해서 미분해보면 좌변의 지수가 0으로 떨어지며 우변의 $ a_n $항이 상수항이 되겠죠.

즉, 일반적인 방법으로 구하면 다음과 같은 항이 생깁니다:

$ (1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!} x^k $

여기서 지수가 자연수이므로, 어떤 시점 이후에는 $ n-k+1 = 0 $이 되어 항이 소멸하게 됩니다. 이것이 다항식이 되는 이유죠. 결국 정리하면:

$ (1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k $

같은 식이지만, 이번에는 다항급수 관점에서 접근한 결과입니다.

4. 지수가 자연수가 아니라면?

그렇다면 이제 지수를 자연수 $n$이 아니라, 실수 $m$으로 확장해보면 어떻게 될까요?

이제는 위에서 말한 “어느 시점에 0이 되므로 끝나는” 현상이 사라집니다. 다시 말해 무한급수가 되겠죠!

이제 다음과 같은 형태로 일반화할 수 있습니다:

$ (1 + x)^m = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{m(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{k!} x^k $

즉, 이 식은 더 이상 다항식이 아니라 무한급수, 곧 이항급수가 됩니다.

5. 이항계수를 새로 정의해보자

이제는 이 계수를 일반적인 $ \binom{m}{k} $로 다시 정의할 수 있습니다. 자연수 $n$일 때는 기존 조합 기호를 쓰고, 실수 $m$일 때는 다음과 같이 일반화할 수 있죠.

$ \binom{m}{k} = \frac{1}{k!} \prod_{i=1}^{k} (m - i + 1) $

혹은 앞에서 본 것처럼:

$ \binom{m}{k} = \frac{m(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{k!} $

이제 이를 이용해서 일반화된 이항급수는 다음과 같이 간단하게 표현됩니다.

$ (1 + x)^m = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{m}{k} x^k $

이제 이항정리는 단순한 정수항 다항식을 넘어, 무한급수로 확장된 보편적 전개식이 된 셈입니다.

다시말에 이항정리가 이항급수로 확장된 것이죠!

그리고 물론 이는 자연수에도 적용됩니다.

자연수인경우, k가 m보다 커지는 순간 분자에 무조건 m-m항이 존재하게 되어 그 이후의 모든 식이 0이 되어버리기 때문이죠.

고생하셨습니다!

다음엔 더 재밌는 포스팅으로 돌아올께요!

카탈란 수열의 일반항 구하기: 조합으로 구하기

미렌스 — Sun, 27 Apr 2025 15:38:16 +0900

카탈란 수열의 일반항 구하기: 조합으로 구하기

카탈란 수열 시리즈

1. 서론

저번 포스팅에서 살짝 설명했듯이 카탈란 수는 n x n 격자에서 R과 U를 써서, 즉 오른쪽과 위쪽으로 움직이는 방법으로도 찾을 수 있다고 하였습니다.
그렇다면 카탈란 수를 만족하면서 움직이는 방법은 뭘까요?
저번시간 포스팅을 잘 보신 분들이라면 힌트? 아니 답을 바로 아실 수 있을겁니다!

바로 y=x인 선을 넘어가지 않고 움직이는 경우가 바로 카탈란 규칙을 만족하면서 움직이는 방법인데요(Dyck(뒤크) 경로라고도 한답니다)
그렇다면 n x n의 격자에서 카탈란 규칙을 만족하며 움직이는 Dyck 경로의 수만 찾으면 카탈란 수열의 일반항을 바로 구할 수 있겠네요!?
그리고 경우의 수 찾기면 팩토리얼이나 조합(combination)으로 구해지겠군요?

자, 그럼 바로 카탈란수의 일반항을 찾으러 떠납시다!
(참고로 이번 포스팅의 모든 이미지는 제가 직접 만든 것임을 밝힙니다.)

2. 카탈란 수의 일반항을 구하기 위한 여정

그러나 안타깝게도 뒤크 경로의 수를 직접적으로 구할 수 있는 방법이 없다는 사실... 물론 어떤 한 점마다 경우의 수를 따져가며 구하려면 구할수야 있겠지만은 수학적으로 간단하게 구하기가 쉽지가 않죠.
그리고 재밌게도 뒤크경로를 만족하는 경우보다 만족하지 않는 경우를 찾는게 더 쉽답니다?
그래서 이제부터 저희는 전체사건에서 뒤크경로를 만족하지 않는 사건을 빼주겠습니다.(확률적으로 여사건이라고 하죠?)
그려면 결국 뒤크경로를 만족하는 경우의 수가 나올테고 이것이 결국 카탈란 수 일테니까요!(그리고 더 나아가 카탈란 수열의 일반항이 되겠죠?)

2-1. 천릿길도 한걸음 부터: 일단 n x n 격자 이동 총 경로 구하기

이제 뭘 해야 할지 알았으니 바로 작업 들어갑니다.
전체사건은 n x n 격자에서 오른쪽과 위쪽으로 한칸씩 차례대로 이동하여 시점부터 종점까지 움직이는 경우의 수 입니다. 따라서 시점은 좌하단, 종점은 우상단이 되겠네요.
더불어 중복으로 움직이는게 아니라 딱 오른쪽 n번 위쪽 n번만 이동하므로(결국 총 2n번만 움직이게 되는거죠?) 되돌아서 움직이는건 못합니다.
이미지로 나타내보자면 아래와 같겠습니다.

빨간색 점에서 파란색 점까지, 오른쪽 혹은 위쪽으로 한칸씩 이동하며 오른쪽 n번 위쪽 n번 총 2n번 이동하겠군요.
자, 그럼 사실 경우의 수가 다 풀린겁니다.
총 2n번 움직인다고 하였습니다. 결국 2n개를 순서대로 늫어놓는 경우의 수와 마찬가지겠네요. 2n개를 순서대로 늘어놓는 경우의 수는 쉽게 팩토리얼(!)로 구할 수 있죠?
즉, $ 2n! $ 입니다.

그런데 여기서 오른쪽 혹은 위쪽으로 움직이는 것에 순서가 있나요?
가령 오른쪽 명령(R)이 $ R_{(0 \to 1)}, R_{(1 \to 2)}... $ 이렇게 따로 있어서 맨 처음에 오는 오른쪽 명령이 $ R_{(1 \to 2)} $면 시작점에서 갑자기 워프해서 1에서 2로 이동하나요? 아니죠? R은 n개 중에 어떤 R이 와도 무조건 지금 시점부터 오른쪽으로 간다는 의미니까 R끼리는 순서가 의미가 없습니다. 또한 이는 U도 마찬가지겠지요?
그리고 경우의 수에서 '순서가 상관 없어요~'하는 애들은 전체 나열하는 경우의 수에서 그 해당하는 애들끼리 나열하는 경우를 나눠주면 되니까 아까 전체 경우의 수에서 R n개, U n개를 나열하는 경우의 수를 나눠주면 되겠군요! 나열은 팩토리얼!
즉,
$ \frac{2n!}{n!n!} $
으로 나타낼 수 있겠네요!

전체 경우의 수를 아주 쉽게 구했습니다!

(더불어 조합의 정의에 따라 $ _{2n} C_{n} $이라고 표현할 수도 있겠네요. 그리고 개념도 총 2n개의 자리 중 n개의 자리에 R n개를 순서상관없이 채우는 경우라고 볼 수도 있구요.(그러면 자연스럽게 나머지 자리에 U를 다 채우면 경로가 완성이 되겠죠))

자, 그럼 이미지로도 한번 확인해볼까요?
n=2는 너무 간단하니까 n=3으로해서 모든 경로를 그리고, 여기서 카탈란 수 조건에 맞는 경로는 파란색으로, 위반한 경우는 빨간색으로 그려보겠습니다.

이미지로 보니까 한눈에 들어오죠!?
3 x 3에서 총 이동경로는 20가지(6!/(3!3!)), 이중에서 카탈란 조건을 만족하며 움직이는 경우의 수는 다섯가지!

2-2. Dyck 경로가 아닌 경우의 수 구하기

카탈란 조건(차례로 나열하는 어느 순간에도 R>=U)을 만족하는 경로는 다시말해 y = x 직선을 '넘어가지 않는' 경로라고 했습니다.
여기서 딱 봐도 '넘어가지 않는'이란 말이 참 구하기 어려울 것 같지 않나요?

실제로도 이 조건을 위반하는 '위반 타이밍'이 x점마다 있어서 각 경우의 수를 다 고려하지 않으면 안되는 상황이죠.(반대로 생각하려해도 선과 만나는 경우 그리고 만나지 않는 경우를 다 생각해줘야하죠? 복잡합니다..)

그러면 결과는 같은데 조건을 어떻게 바꿔야 우리가 전체 경로의 경우의 수를 구하듯이 쉽게 구할 수 있을까요?

바로 y = x + 1 직선과 만나는 경우를 세면 됩니다!
맞죠? y = x 직선을 '넘어가면, 그 순간 바로 y = x + 1 직선과 만나게 되니까요!
그러면 바로 '위반 타이밍'이 'y = x+1 직선과 만나는 상황' 한가지로 통일되게 됩니다.(이 조건이면 반대로 생각해도 이 선과 만나지 않는 경우로 단 한가지 조건이네요!)

이미지로보면 좀 더 확실하겠죠? 오렌지색 선이 y = x+1, 하늘색 점이 y = x + 1과 만난 점입니다.

그럼 이 경우는 어떻게 셀 수 있을까... 하면 또 기가 막힌 방법이 있습니다.

2-2-1. 반사원리(Reflextion principle)

자, 지금 조건을 변경해서 조건은 명확해졌지만, 아직도 판 자체가 구하기 어려운 판입니다.
어떻게 보자면 지금 y = x+1 선을 기준으로 ㄱ자를 대칭시켜놓은, ┏ 이런 모양으로 경로가 꺾여있는 것과 마찬가지입니다.
그러면 단순히 펴주면 되겠네요? 어떻게요?
여기서 등장하는 것이 반사원리입니다.
어떤 경로를 가던 처음 y = x + 1선과 만나는 순간, 이 점을 기준으로 지금까지 진행해왔던 경로를 y = x + 1에 대해서 선대칭이동하는 조작을 반사원리라고 합니다.

그렇게 되면 (0, 0)이던 시점은 (-1, 1)로 옮겨지게되죠.

'그러면 문제가 바뀌는거 아니냐!'라고 생각해 볼 수도 있지만, 실제로 처음 만나는 점에서 선대칭이동을하더라도 경우의 수의 차이는 없습니다. 1:1 대응(bijection)이니까요!

자 이미지로 처음 만난 시점부터 대칭을 만들어봤습니다. 아까 하늘 색 점이 위반한 점이라 했는데, 첫 하늘색 점을 기준으로 선대칭이동하였습니다. 보면 실제로 경우의 수는 변화가 없는것을 알 수 있습니다.

2-2-2. 조금 더 쉽게 개념적으로 설명해보자면...

자, 여기서부터는 제가 더 생각해 본 부분인데요, 반사원리가 조금 생소하다 싶은 분께 개념적으로 어떤 상황인지 설명하기 쉬울 것 같아 만들어본 설명입니다.

이번엔 먼저 이미지부터 보시죠

자 일단 오렌지색 경로를 만나면 무조건 안된다고 했습니다.
그 말인 즉슨, 위에서 보이듯이 빨간 네모를 이동하는 모든 경로는 '안되는' 경로입니다.

자 그럼 이 빨간 경로로 들어가는 방법은 아래 파란박스를 이동하며 들어가는 경로일거고, 나오는 경로는 오른쪽 초록박스를 이동하며 움직일 것입니다.

즉, 여기서 시점부터 파란박스를 이동해서 빨간박스를 이동한 뒤 초록박스를 이동하여 종점으로 가는 모든 경로는 '안되는' 경로 인 것입니다.

다시말해 이 말은 절대 움직이면 안되는 경로인 빨간 박스 영역과 그 영역으로 들어가는 경로인 파란박스 그리고 나오는 경로인 초록박스, 바로 이 세 영역이 빨간박스의 네 변중 두 변에 붙어있기만 하면 어떤 모양을 하던지 상관이 없다는 의미가 됩니다.

단적인 예로 네가지 정도만 뽑아봤습니다.

이와같이 다향한 모양으로 변형시켜도 그 경우의 수는 모두 같을 수 밖에 없습니다. 특히 몇가지 경우는 돌리거나 대칭이동시키기만해도 나오는 모양이므로 직관적으로 이해가 쉽죠?

그래서 우리는 이 모양들 중 가장 계산하기가 편한 1번 모양을 쓰는겁니다. 그리고 이 모양이 위에서 '반사원리'라고 하는 원리가 적용된 모양과 동일한 모양이죠.(제일 처음 이미지의 파란박스를, 1번 모양과 비교해보면 y=x+1에 대해서 선대칭(반사)인 것을 알 수 있습니다.)

여담으로 반대로 마지막에 닿은 점을 반전시켜 종점을 대칭시킨 반사원리를 이용할 수도 있습니다. 이 모양은 네번째 모양이 되는거구요.(이것도 처음 이미지와 비교해보면 초록박스가 y=x+1에 대해서 선대칭(반사)입니다.)

자 그럼 간단하게 이 경로를 움직이는 방법만 구하면 되겠네요.
위에서 말했다시피 굽어져 있는 상태이므로 이를 편 모양으로 만들면 쉽게 구할 수 있겠죠.

그리고 펴는 방법은 위에서 알아봤듯 반사원리로 파란박스를 옆으로 이동해서 직사각형을 만들어도 되고, 반대로 초록박스를 위로 이동시켜서 직사각형을 만들어도 경우의 수는 같을겁니다.(결국 첫번째 모양이나 네번째 모양으로 만든다는 뜻입니다.)

어찌됐든 반사원리든 개념적인 설명이든 이 방법을 사용하면 아주 간단하게 '안되는' 경우의 수를 찾을 수 있습니다.

최종적으로 지금까지 알아본, '변형시킨 격자'를 이동하는 경로는 안되는 경우의 수가 됩니다.

따라서 (-1,1) 부터 (n, n)(여기서는 (3, 3))까지 움직이는 경로는 가로로 n+1번 세로로 n-1번, 전체 2n번 움직이는 경로의 경우의 수를 구하면 되겠네요.

그렇다면 그 경우의 수는 $ \frac{2n!}{(n+1)!(n-1)!} $ 이 되겠습니다.

2-3. 뒤크 경로를 만족하며 움직이는 경로의 경우의 수

다 구했습니다.

이제 전체 경우의 수에서 뒤크경로를 만족하지 않는 경우의 수를 빼 주면 뒤크경로를 만족하는 경우의 수가 나오게 됩니다.
즉,

$ C_n = \frac{2n!}{n!n!} - \frac{2n!}{(n+1)!(n-1)!} $

3. 결론

네, 이미 구했다시피 카탈란 수의 일반항은 바로

$ C_n = \frac{2n!}{n!n!} - \frac{2n!}{(n+1)!(n-1)!} $
이 됩니다!

그리고 잘 보면 조금 더 정리할 수 있을 것 같지 않나요?
일단 공통된 부분을 묶어보면,
$ C_n = \frac{2n!}{n!(n-1)!} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) $
통분하여 정리하면
$ C_n = \frac{2n!}{n!(n-1)!} \left(\frac{1}{n(n+1)}\right) $
다시 합치면
$ C_n = \frac{2n!}{(n+1)!n!} $
짠! 깔끔하게 정리된 일반항을 얻었습니다!

조합으로 써보자면

$ C_n = \frac{1}{n+1}{_{2n}C_{n}} = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} $
이렇게 되겠네요!

이렇게 카탈란 수의 일반항을 조합적인 방법을 이용하여 구했습니다!

4. 응용

지금까지 배운 것을 응용해서 n=4와 n=5인 경우도 구해볼까요?
여기서는 깔끔하게 유도된 최종 형태 말고, 우리가 실제로 구했던 방법대로 구해볼께요!
n = 4일 때 전체 경로의 수는
$ \frac{8!}{4!4!} = 70 $
카탈란 수는
$ C_4 = \frac{8!}{4!4!} - \frac{8!}{5!3!} = 70 - 56 = 14$
실제 이미지로 만들어보면

정확히 맞죠?

n = 5일 때 전체 경로의 수는
$ \frac{10!}{5!5!} = 252 $
카탈란 수는
$ C_4 = \frac{10!}{5!5!} - \frac{10!}{6!4!} = 252 - 210 = 42 $
얘도 그려보면,

맞는게 딱 보이네요!

n=6 부터는 계산해봐도 전체 경로 924, $ C_5 = 132 $이므로 더이상은 그리기 힘... 듭니다만은 그려봅시다

여튼, n=3으로 구했지만, 결국 n에 대하여 전부 성립하는 일반항을 구했습니다!

5. 미리니름

자, 다음번에는 카탈란수의 점화식을 한번 유도해보도록 하겠습니다!

카탈란(Catalan) 수열 - 카탈란 수열이란게 뭔데?

미렌스 — Sat, 12 Apr 2025 08:39:58 +0900

카탈란(Catalan) 수열 - 카탈란 수열이란게 뭔데?

카탈란 수열 시리즈

오랜만의 포스팅으로 돌아왔습니다.

요 근래 새롭게 관심이 생긴 수열이 있습니다.
바로 카탈란 수열(Catalan Number)입니다. 뭐 카탈랑 수열이라고도 한다는군요.
어찌됐든, 그럼 이 수열은 어떻게 정의가 되는가... 하면, 일단 한가지 이야기를 해보도록하겠습니다.

카탈란 수열을 처음부터 파헤쳐 보자!

1. 카탈란 수열이 뭐길래?

카탈란 수열은 외젠 샤를 카탈랑(Eugène Charles Catalan)이 1838년에 제안하였습니다.

1-1. 카탈란 수열의 정의

카탈란 수열의 정의는 다음과 같습니다.

각 n개씩 가지고 있는 두 종류의 기호(A, B)를 길이 2n으로 나열할 때, 나열하는 매 순간 A의 개수가 B의 개수보다 적지 않도록 배열하는 방법의 수(나열하는 매 순간 $ \sum A \ge \sum B $)

또는

'1(A)' n개와 '-1(B)' n개를 2n개까지 차례대로 나열할 때, 나열하는 매 순간까지의 부분합이 음수가 되지 않게 나열하는 경우의 수
그 값이 바로 카탈란 수 $C_n$입니다.

그리고 여기서 각 n에 해당하는 경우의 수를 카탈란 수(Catalan Number), 이 수들이 이루는 수열을 카탈란 수열(Catalan Series)라고 합니다.

2. 예시 살펴보기

2‑1. 영화관 잔돈 문제

어느 영화관 주인은 잔돈 0원으로 영업을 시작하고 마감까지 잔돈이 생기면 안 됩니다. 영화표는 5,000원, 손님은 5,000원권(A)과 10,000원권(B)만 가지고 오죠. 줄 세우는 순간순간 A ≥ B를 만족해야 잔돈을 거슬러 줄 수 있습니다. 총 $2n$명의 손님(A $n$명, B $n$명)이 들어올 때 가능한 줄 세우기 가짓수가 $C_n$!

2‑2. 올바른 괄호 문자열

프로그래머라면 익숙한 “괄호 짝 맞추기” 역시 카탈란 수의 고전 예시입니다. 길이가 $2n$인 문자열에서 (를 A, )를 B라 두고 어느 접두사(미완성 문자열)에서도 ( 개수 ≥ ) 개수, 최종적으로 동일한 개수를 만족해야 “올바른 괄호”가 됩니다. 그 가짓수가 또 $C_n$!

2‑3. 뒤크(Dyck) 문자열

문자열 이론에서는 이런 문자열을 Dyck 문자열이라 부릅니다. 조건은 동일해요.

길이 $2n$
A와 B가 $n$개씩
모든 접두사(미완성 문자열)에서 A ≥ B

영화관, 괄호치기, Dyck 문자열… 전부 같은 문제를 다른 언어로 설명했을 뿐이라는 사실!

2‑4. 볼록 다각형 삼각 분할(대각선 갯수 예시)

모든 n각형의 내각의 합은 180°(n-2)입니다.
그 이유는 n각형은 항상 n-2개의 삼각형으로 분할할 수 있으며, 삼각형의 내각은 항상 180°이기 때문이죠.
여기서 볼록 다각형(n+2각형)을 삼각분할 하는 경우의 수(대각선 개수)는 꼭지점 고정시 재귀적으로 하위 다각형을 만들어가는 구조이며, 카탈란 수로 귀결됩니다!
단순 나열의 문제가 아닌 도형과 결부되며, 재귀적인 조합이 들어가는 문제이므로 자세한 유도는 이후 따로 진행하도록 하겠습니다.

즉, “교차하지 않는 대각선으로 삼각 분할” 이라는 조건이 A ≥ B 조건과 같은 재귀 구조를 만들어 낸다는 사실! 도형에서도 카탈란 수가 튀어나오는 이유가 여기 있습니다.

좀 더 확장해서 원 위에서 2n개의 점을 잡고 교차하지 않는 n개의 선분을 긋는 경우의 수도 포함됩니다!

2-5. n개의 노드를 가지는 이진트리 구성 방법의 수

이진트리는 노드 하나 + 왼쪽, 오른쪽 두개의 리프(leaf)노드를 가질 수 있는 구조입니다.
보통 첫 시작 노드는 루트 노드(root node), 말단 노드를 리프 노드(leaf node), 그 외 노드들을 내부 노드(internal node)라고 부릅니다.
여기서 n개의 노드를 가지는 이진트리를 구성하는 방법의 수가 카탈란 수!

2-6. 스택정렬 가능한 방법의 수

스택(stack)이란 바구니죠 바구니.

이 바구니에 어떤 숫자를 차례대로 넣을 때 만들 수 있는 경우의 수가 또한 카탈란 수 입니다.

가령 1, 2, 3이라고 하는 수를 차례대로 바구니에 넣을 때

1 넣고 바로 빼고 2 넣고 바로 빼고 3 넣고 바로 빼면 => 123

1 녛고 바로 빼고 2 넣고 3넣고나서 3빼고 2빼면(바구니라 넣었던 순서의 반대로밖에 못꺼냅니다) => 132

1 넣고 2넣고 바로 빼고 3 넣고 바로 빼고 마지막 1 빼면 => 231

1 넣고 2넣고 바로 빼고 1빼고 3넣고 바로 빼면 => 213

1 넣고 2 넣고 3 넣은 다음, 3빼고 2빼고 1빼면 => 321

이 다섯가지 경우밖에 만들 수 없고, 이것이 바로 $ C_3 $에 해당하는 5죠!

결국 정리해보면,

스택(stack)이란 바구니이며, 이 바구니에 특정 n가지의 수를 넣었다 빼었을 때 나올 수 있는 숫자(스택 정렬 가능한 숫자)
‘넣는 행위(push)’와 ‘빼는 행위(pop)’을 A와 B에 대응시키면 정확하게 카탈란수를 따른다.

라고 볼 수 있습니다!

3. n × n 격자 맛보기

3‑1. R은 오른쪽, U는 위쪽

A를 R(오른쪽), B를 U(위쪽)으로 바꿔 생각해 봅시다. 그럼 (0,0)에서 (n,n)까지 오른쪽·위쪽으로만 2n번 이동하는 경로가 생깁니다. 조건 A ≥ B는 언제나 $y≤x$ 선 아래에 있다는 뜻. 이 경로를 Dyck 경로라고 부르는데, 본격적인 분석은 다음 포스팅에서 진행할 예정이니 여기서는 “카탈란 수가 격자 경로와도 연결된다!”만 기억해 두면 OK.

4. 작은 n 직접 세어 보기

n	가능한 A/B 배열	$C_n$
0	(빈문자열)	$1$
1	AB	$1$
2	ABAB, AABB	$2$
3	ABABAB, AABABB, ABAABB, AAABBB, AAABAB	$5$

$n$이 커질수록 폭발적으로 늘어나죠? 실제로 카탈란 수열은 다음과 같습니다. $$ 1,\;1,\;2,\;5,\;14,\;42,\;132,\dots $$

5. 왜 재미있을까?

영화관 잔돈 같은 스토리텔링 예제
괄호치기·컴퓨터 스택 문제
다각형 삼각 분할·트리 구조 등 수학·CS 곳곳에서 등장

이렇게 많은 분야에 얼굴을 내미니 안 재밌을 수가 없죠!

6. 마무리

오늘은 “카탈란 수는 무엇인가?”를 중점적으로 살펴봤습니다. 다음 포스팅에서는 다음 포스팅에서는 일반항 $C_n$을 손에 넣는 과정을 차근차근 풀어 보겠습니다. 기대해 주세요!

마비노기 모바일 PC버전 다운로드 안될 때

미렌스 — Tue, 8 Apr 2025 12:58:06 +0900

마비노기 모바일 PC버전 다운로드 안될 때

마비노기 모바일이 아주 요새 핫하다해서 모바일로 즐기던 중 아무래도 PC가 하기 편하지 않을까 싶어 PC버전을 다운로드 받으려는데!

홈페이지에서 첫 페이지에서 'GAME START'버튼이 안뜨고, 심지어 다운로드 페이지에 들어가도 '다운로드' 링크가 안뜬다면!!

해상도의 문제일 수 있습니다.

마비노기 모바일 홈페이지가 진짜 왜 그렇게 만들었는진 모르겠는데 반응형 웹사이트로 이 버튼이 뜨게/안뜨게 해놨더라구요.

간단하게, 브라우저에서 '확대/축소'하셔서 화면을 조금 축소해주면 바로 버튼들이 나타납니다!!

키보드에서 'ctrl'누르고 마우스 휠 돌리셔도 같은효과입니다!

저같이 며칠동안 PC버전 시작도 못해보시는 일 없기를 바랍니다...

피보나치 수열을 선형대수로 풀어보자

미렌스 — Sun, 30 Mar 2025 17:44:18 +0900

피보나치 수열을 선형대수로 풀어보자

피보나치 수열 해체에 멱급수가 끝인 줄 알았건만... 또 새로운 insight로 선형대수로도 풀어볼 수 있게 됐네요..
1. 계차의 등비수열로 풀기
2. 특성방정식으로 풀기
3. 멱급수로 풀기

1. 선형대수로 풀 수 있다고?

우리는 이미 앞에서 피보나치 수열의 일반항도 구했고, 여러 방법으로 구해보기도 하였습니다.
이 과정을 선형대수로도 할 수 있다는 것이 이 포스팅의 골자가 되겠네요.

2. 어떻게 풀건데?

2-1. 피보나치 수열을 선형대수적으로 나타내기

일단 수열 $ F_n $을 선형대수적으로 정의해봅시다.
$ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} $를
$ \begin{bmatrix} F_n\\F_{n-1} \end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} 1&1\\1&0 \end{bmatrix}}_{\mathsf{Companion \; Matrix}} \begin{bmatrix} F_{n-1}\\F_{n-2} \end{bmatrix} $
이렇게 표현 가능합니다. 여기서 잘 보면 $ F_n $과 $ F_{n-1} $ 사이에 생기는 행렬을 Companion matrix(동반 행렬)이라고 하는데, 어떻게 저렇게 표현되는지는 사실 간단합니다.
일단 그냥 $ F_n $을 $ F_n $과 $ F_{n-1} $을 성분으로 갖는 열벡터로 정의합시다.(선형대수에서 벡터의 의미는 열이나 행 하나로 정의된 행렬을 뜻합니다)
$ \overrightarrow{F_n} = \begin{bmatrix} F_n\\F_{n-1} \end{bmatrix} $
이 될 것이고, 여기서 $ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} $라는 피보나치 수열의 정의를 이용하면
$ \overrightarrow{F_n} = \begin{bmatrix} F_{n-1}+F_{n-2}\\F_{n-1} \end{bmatrix} $
덧셈의 항등원인 0까지 넣어주면
$ \overrightarrow{F_n} = \begin{bmatrix} F_{n-1}+F_{n-2}\\F_{n-1}+0 \end{bmatrix} $
좀 더 보기 편하게 곱셈의 항등원 1도 표시해주죠
$ \overrightarrow{F_n} = \begin{bmatrix} 1 \cdot F_{n-1}+1 \cdot F_{n-2}\\ 1 \cdot F_{n-1}+ 0 \cdot F_{n-2} \end{bmatrix} $
행렬의 곱셈공식을 생각해서 분리해보면
$ \overrightarrow{F_n} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_{n-1}\\F_{n-2} \end{bmatrix} $
여기서
$ \overrightarrow{F_n} = \begin{bmatrix} F_n\\F_{n-1} \end{bmatrix} $
이므로
$ \begin{bmatrix} F_n\\F_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_{n-1}\\F_{n-2} \end{bmatrix} $
이렇게 유도가 됩니다. 그리고 이를 벡터로 표기하면
$ \overrightarrow{F_n} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \end{bmatrix} \overrightarrow{F_{n-1}} $
이렇게도 표현할 수 있겠죠?

2-2. 피보나치 수열을 변환하기

자, 그럼 아주 재밌게도 $ F_n $과 $ F_{n-1} $ 사이에는 companion matrix의 곱만큼 차이가 납니다.
가령, $ F_{n-1} $을 표현해보아도
$ \overrightarrow{F_{n-1}} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \end{bmatrix} \overrightarrow{F_{n-2}} $
일 것이고, 이를 위 식에 대입을 하면
$ \overrightarrow{F_n} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \end{bmatrix} \overrightarrow{F_{n-1}} $
$ \overrightarrow{F_{n-1}} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \end{bmatrix} \overrightarrow{F_{n-2}} $
$ \overrightarrow{F_n} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \end{bmatrix} \overrightarrow{F_{n-2}} $
$ \overrightarrow{F_n} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}^2 \cdot \overrightarrow{F_{n-2}} $
가 되겠고, 이제 조금 표기의 편의성을 위해 companion matrix를 A라고 놓으면
$ \overrightarrow{F_n} = A^2 \cdot \overrightarrow{F_{n-2}} $
라고 표기할 수 있겠습니다. 자, 다시 돌아가서 $ F_n $과 $ F_{n-1} $ 사이에는 companion matrix의 곱만큼 차이가 난다고 했습니다.
그렇다면 이를 이용하면 $ F_n $을 $ F_{1} $으로 표현도 가능하겠네요?
그렇다면 companion matrix A는 n-1번 곱해지면 되겠습니다.
$ \overrightarrow{F_n} = A^{n-1} \cdot \overrightarrow{F_{1}} $
열벡터를 풀어서 행렬로 보게 된다면
$ \begin{bmatrix} F_n\\F_{n-1} \end{bmatrix} = A^{n-1} \cdot \begin{bmatrix} F_{1}\\F_{0} \end{bmatrix} $
여기서 $ F_1 = 1, \; F_0 = 0 $이므로,
$ \begin{bmatrix} F_n\\F_{n-1} \end{bmatrix} = A^{n-1} \cdot \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} $
이렇게 깔끔하게 정리가 되겠네요!
여기까지는 아주 순조롭습니다! 여기까지는...

자, 여기서 어려움에 봉착합니다.
행렬의 곱은 일반 적인 대수적 곱이랑은 다르다고 했습니다.
그렇다면 곱으로 연결되어있는 행렬, 즉 행렬의 거듭제곱은 쉬울까요? 각 요소에다가 각자 다 거듭제곱을 붙여주면 되는걸까요?
아뇨.. 일반적으로는 매우 어렵습니다. 대수의 거듭제곱처럼 쉬웠으면 얼마나 좋을까요..
그렇다고 거듭제곱으로 압축표기된 행렬을 쫙 풀어놓고 하나하나 곱하고 있자니 그것도 조금 메롱합니다..
물론 앞의 몇번을 반복하고 수학적 귀납법으로 이런 규칙이 있다!하고 찾은 뒤 적용해주어도 괜찮지만, 우리는 뭔가 좀 더 신박한 방법을 찾아보려 합니다.
그렇다면 행렬을 일반 대수처럼, '행렬의 거듭제곱 = 요소의 거듭제곱'으로 나타낼 수 있는 행렬이 있을까요?

예, 행렬의 곱셈에 대해 조금만 생각해보면, '대각행렬'은 자기 자신이 속한 행과 열 중에서 자기 자신을 제외한 다른 요소들이 전부 0이므로 행렬의 곱셈을 수행하여도 자기 자신의 거듭제곱만 결과로 나타나게 됩니다! 즉,
$ \begin{bmatrix} 1&0\\0&2 \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} 1&0\\0&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0\\0&2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0\\0&4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1^2&0\\0&2^2 \end{bmatrix} $
오! 결국 행렬의 거듭제곱을 요소의 거듭제곱으로 표현할 수 있는 방법을 찾았습니다!
그럼 행렬을 대각행렬로 바꿔주면 되겠네요!? 근데.. 어떻게 해야하죠...?

여기서 나오는 개념이 바로 '대각화'입니다.
연역적으로 너무나도 당연하게 한 행렬을 대각행렬로 바꿔주는 작업이죠.
그런데, 딱 봐도 뭔가 그럴싸해보이는 작업이 맨입으로 가능할까요? 아니겠죠...
그래서 대각화에 앞서서 바로 '고유값 분해(eigen decomposition)'가 필요합니다.
갑자기 뭔가 난이도가 엄청 뛴 느낌입니다.

2-3. 대각화를 위한 고유값 분해

간단하게 고유값 분해를 설명하자면, '어떤 행렬을 어떤 벡터에 곱한 값이 그 어떤 벡터의 상수배 만큼과 같은 그 어떤 벡터와 상수 찾기'라고 생각하시면 됩니다.
좀 더 설명해보자면, 행렬의 곱은 기본적으로 어떤 공간에서의 좌표변환 역할을 합니다.
그러나 이 행렬의 변환을 거쳐도 변하지 않는 그런 벡터를 찾는 것이 고유벡터(아이젠 벡터, eigen vector)를 찾는 과정입니다.
그리고 물론 이 벡터는 변환을 거쳐서 특정 상수배만큼 길이가 길어지거나 짧아질텐데, 바로 그런 상수를 찾는 것이 고유값(아이젠 벨류, eigen value)을 찾는 과정입니다.
그리고 이둘이 한번에 이루어지기때문에 고유값분해라고 명명지어진 것이죠.
그럼 실제로 한번 어떻게 이루어지는지 봐 볼까요?
아, 참고로 고유값 분해는 정방행렬에서만 적용된답니다. 이를 확장한게 특이값 분해(singular value decomposition)죠.

자, 일단 '어떤 행렬과 곱한 열벡터' 즉, '행렬변환을 한 열벡터'라는 식을 세워봅시다.
지금 쓰는 A 행렬은 위에서의 companion matrix였던 A행렬과 다른 행렬입니다.
$ A \cdot \overrightarrow{v} $
그리고, '상수배만큼 변한 열벡터'도 식으로 세워보죠
$ \lambda \cdot \overrightarrow{v} $
이젠 이 둘을 합쳐 동치로 놓습니다. 뜻은 아까 말했듯 'A 행렬 변환을 거친 벡터 = 특정 상수배 만큼 변한 벡터'입니다. 결국 벡터의 방향은 바뀌지 않고 크기만 바뀐셈이죠
$ A \cdot \overrightarrow{v} = \lambda \cdot \overrightarrow{v} $
그리고 이걸 풀기위해 이항하여 =0으로 바꿔줍니다.
$ A \cdot \overrightarrow{v} - \lambda \cdot \overrightarrow{v} = 0 $
공통된 벡터를 묶어줍니다. 행렬에서는 곱하는 방향이 중요하기 때분에(교환법칙 성립 x) 같은 방향으로 묶어줍니다.
$ (A - \lambda) \overrightarrow{v} = 0 $
근데 여기서 문제가 생깁니다. A는 행렬이고, $ \lambda $는 스칼라거든요..
그럼 어떻게 처리해줘야할까요? 행렬을 스칼라로? 스칼라를 행렬로?

네, 스칼라 값을 행렬로 변환해줘야합니다.
왜냐하면 지금 저희는 어떤 변환을 하더라도 변하지 않는 벡터를 찾는 중이니까요, 어떤 변환을 하는 행렬을 찾아야죠
그러면 $ \lambda $를 어떻게 행렬로 변환 할 것이냐...
일단 행렬의 뺄셈을 하려면 행렬의 크기가 맞아야겠죠?
그럼 이 스칼라 값에 어떤 행렬을 곱해주면 될텐데.. 어떤 행렬을 곱해줄까요..? 그냥 A행렬과 크기만 맞는 행렬이면 다 되는 걸까요?

물론 아니겠죠..! 스칼라 값을 어떤 행렬 공간에서 동일하게 작용하는 행렬로 확장하려면 단위행렬을 곱해줘야 합니다.
좀 더 정확하게 말하자면 [단위행렬은 '모든 벡터를 자기 자신으로 보존'하는 유일한 선형변환]이기 때문입니다.
어떻게 보자면 곱셈의 항등원과 같은 뜻입니다.
자, 이렇게 알아냈으니 다시 식을 써보죠
$ (A - \lambda \cdot I) \overrightarrow{v} = 0 $
네, 이게 바로 고유값 분해의 식입니다.

그리고 여기서 잘 보자면, 결국 $ (A - \lambda \cdot I) $가 0이거나, $ \overrightarrow{v} $가 0이어야지만이 이 식이 성립함을 알 수 있습니다.
그런데, 저희는 처음 시작부터 고유 벡터 $ \overrightarrow{v} $가 있다! 하고 가정을 하고 출발했으니까 $ \overrightarrow{v} $는 0이 되면 안됩니다. 결국, $ (A - \lambda \cdot I) $가 0이 되어야 하는데... 이게 0이 되는걸 어떻게 찾을 수 있을까요?
행렬을 단 하나의 스칼라 값으로 바꾸는 방법은 여러가지가 있지만, 그 중에서도 행렬식(determinant)이 가장 대표적입니다.

그냥 간단하게 스칼라 값으로 바꾼다고 했지만, 사실 고등학교정도의 행렬을 배웠던 사람이라면 행렬식은 좀 익숙할 겁니다.
바로 역행렬을 만들때 필요한 친구이기 때문인데요, 고등학교에서는 역행렬을 만들 때, $ \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix} $로 배웠을 거에요.
그리고 사실 $ ad-bc $가 행렬식(determinant)이죠.
그리고 여기서 '행렬식이 0이면, 역행렬이 없다' = '역행렬이 존재하려면 행렬식이 0이면 안된다'는 결론이 나옵니다.
결국 이 문제에서도 $ (A - \lambda \cdot I) $가 역행렬이 있으면 안되기 때문에 $ det(A - \lambda \cdot I) $(행렬식 연산을 det라고 줄여서 표기합니다)가 0인 것을 찾는 겁니다.
여담으로 $ (A - \lambda \cdot I) $가 역행렬이 된다면,
$ (A - \lambda \cdot I)^{-1} (A - \lambda \cdot I) \overrightarrow{v} = (A - \lambda \cdot I)^{-1} \cdot 0 $
$ \overrightarrow{v} = 0 $
즉, 고유벡터가 영벡터가 되어버리므로 결국 저희가 세웠던 가정이 맞지 않게되어버립니다.

행렬식은 이미 아시다시피 2차는 아주 간단하게 $ \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} $ 행렬에서 $ ad-bc $입니다.
3차부터 복잡해지지만, 일단 저희는 지금 피보나치 수열을 구하는 수준에서 2차까지 알아보겠습니다.

자 그럼 다시 돌아와서, 우리는 지금 companion matrix를 대각화 하고 싶고, 그래서 방법을 찾다보니 우선 고유값 분해를 해야한다는 걸 알았습니다.
그러면 companion matrix를 고유값 분해합시다.
$ (A - \lambda \cdot I) \overrightarrow{v} = 0 $
여기서 A는 현재 companion matrix의 A입니다.
$ det(A - \lambda \cdot I) = 0 $이면 된다고 했습니다.
일단, 실제값으로 바꿔보죠
$ det( \begin{bmatrix} 1&1\\1&0 \end{bmatrix} - \lambda \cdot \begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix} ) = 0$
$ det( \begin{bmatrix} 1&1\\1&0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda&0\\0&\lambda \end{bmatrix} ) =0 $
$ det( \begin{bmatrix} 1-\lambda&1\\1&-\lambda \end{bmatrix} ) =0 $

여기서 행렬식 연산을 해줍니다. $ ad-bc $
$ (1-\lambda)(-\lambda)-1 = 0 $
$ \lambda^2 - \lambda -1 = 0 $
풀어주면 되겠죠? 근의 공식에 넣어서 풀어주면 됩니다. 여기까지 오면서 정말 많이 풀었으니까(다른 포스팅에서 피보나치 수열 풀던 가락..) 여기서는 그냥 바로 뿅 가겠습니다.
$ \lambda = \frac{1+\sqrt5}{2} \; or \; \frac{1-\sqrt5}{2} $
$ \lambda_1 = \frac{1+\sqrt5}{2}, \; \lambda_2 = \frac{1-\sqrt5}{2} $
이렇게 놓을 수 있겠네요!
고유값(eigen value) 찾았습니다!

그럼이제 고유벡터를 찾아야겠죠?
고유벡터의 요소를 ab라고 놓으면,
$ \overrightarrow{v} = \begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix} $
$ \lambda $값이 두개였으니까 하나만 살펴보죠
$ (A - \lambda_1 \cdot I) \overrightarrow{v_1} = 0 $ 이므로,
$ \begin{bmatrix} 1-\lambda_1&1\\1&-\lambda_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix} = 0 $ 이겠네요.
풀면,
$ \begin{cases} (1-\lambda_1)a+b = 0 \\ a-\lambda_1 b = 0 \end{cases} $
결국, $ a = \lambda_1 b $이고
$ \overrightarrow{v_1} = \begin{bmatrix} \lambda_1 b\\b \end{bmatrix} $
여기서 고유벡터는 방향만 나타내주면 되는 성분이니 그냥 가장 간단하게 b에다가 1 대입하면
$ \overrightarrow{v_1} = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\1 \end{bmatrix} $
요렇게 정리가 됩니다. $ \lambda_2 $에 대해서 정리해도 똑같죠!
고유벡터(eigen vector) 찾았습니다!

위에서 왜 연립방정식 안푸냐... 하시는 분들도 계실텐데.. 두번째 식 $ a = \lambda_1 b $을 첫번째 식에 대입해서 풀어보시면 그냥 의미없이 $ b \cdot 0 = 0 $이런 결과를 얻으실 겁니다...

자, 그리고 이제 이 고유벡터를 column으로 stack한 새로운 행렬 P를 정의해보죠.(열벡터를 쌓아서 행렬 만들기는 흔한 조작중에 하나입니다)
$ P = \begin{bmatrix} v_1&v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1&\lambda_2\\1&1 \end{bmatrix} $
자, 이제 대각화를 할 준비를 마쳤습니다.
어휴.. 쓰다보니까 진짜 엄청 기네요! 잘 따라와주세요!(사실 보통은 따로따로 파편적으로 공부하지만 이렇게 한번에 쭉 보는것도 도움이 된답니다!)

2-4. 드디어 대각화

자, 우리의 염원이던 '행렬의 거듭제곱 = 요소의 거듭제곱 그러나 답은 바뀌지 않는'을 찾기위한 여정의 막바지 입니다.
일단 우리는 companion matrix인 A를 알고있고, 고유벡터를 쌓아서 만든 P라는 matrix를 알고있습니다.
일단 이 두개. 곱해보죠.
$ AP = A \begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix} $
자, 혹시 여기서 설명이 조금 헛갈리시면 행렬곱셈 개념정리를 한번 참조해주시기 바랍니다.
matrix와 column끼리 곱한 column을 모아도 행렬의 곱셈이 성립한다고 했습니다.
그렇다면 여기서 이렇게 식을 변형할 수 있겠네요?
$ AP = \begin{bmatrix} A \cdot v_1 & A \cdot v_2 \end{bmatrix} $
근데 위에서 우리는 고유값 분해를 했습니다.
고유값 분해식은
$ A \cdot \overrightarrow{v} = \lambda \cdot \overrightarrow{v} $
이거였죠.
어? 얘를 또 변형 가능해보입니다?
$ AP = \begin{bmatrix} A \cdot v_1 & A \cdot v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1 \cdot v_1 & \lambda_2 \cdot v_2 \end{bmatrix} $

자, 여기서 아까 [단위행렬은 '모든 벡터를 자기 자신으로 보존'하는 유일한 선형변환]이라고 했습니다.
즉, 이 단위행렬에 어떤 벡터하나가 곱해졌을 때 자기 자신이 나온다는 말이죠.
그럼 이 단위행렬이 스칼라배가 되면, 당연히 어떤 벡터도 방향은 그대로이고 스칼라배가 된 벡터가 나오겠죠?
자, 근데 여기서 벡터가 쌓인 행렬이 곱해지면 어떻게 될까요?

가령
$ \begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix} $
이건 자명하죠? 결국 [단위행렬은 '모든 벡터를 자기 자신으로 보존'하는 유일한 선형변환]이 맞네요
그렇다면 일정 스칼라배 한건?
$ \begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5&0 \\ 0&5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \cdot v_1 & 5 \cdot v_2 \end{bmatrix} $
오, 역시 벡터의 배수배가 되는군요? 그럼 좀 더 나아가서 단위행렬이 아니라, 대각선으로 다른 값을 주면 각 벡터마다 곱해지는 배수가 달라지겠네요?
$ \begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&0 \\ 0&5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot v_1 & 5 \cdot v_2 \end{bmatrix} $
오~ 그럼 다시 돌아가서
$ AP = \begin{bmatrix} \lambda_1 \cdot v_1 & \lambda_2 \cdot v_2 \end{bmatrix} $
이친구를 다시 보면...
오!
$ AP = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} $
이렇게 변환이 되겠군요!
그리고 우리는 이 결과로부터 아주 재밌는 결과도 같이 얻었습니다! 네! 결국 대각선인 행렬을 찾아냈어요!

이 대각선 행렬을 D라고 해볼께요!
그럼 수식은
$ AP = A \begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A \cdot v_1 & A \cdot v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1 \cdot v_1 & \lambda_2 \cdot v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} = PD $
$ AP = PD $가 되겠죠!
여기서 P의 역행렬을 좌우변 모두 곱해주면!
$ A = PDP^{-1} $
와! 결국 companion matrix를 연역적 방법으로 대각행렬로 변환하는데 성공하였습니다!!!

그리고 이 변형에는 아주 재밌는 특성이 있는데요
$ A^2 = (PDP^{-1}) \cdot (PDP^{-1}) $이 되잖아요? 근데 $ P^{-1}P $는 상쇄되니까
$ A^2 = PDDP^{-1} = PD^2P^{-1} $이 되면서, 결국 대각행렬만 제곱이 되는 꼴이 된답니다!
그럼 대각행렬의 거듭제곱은 뭐다? 요소의 거듭제곱으로 나타낼 수 있다!
와! 해결!
그럼 우리 companion matrix의 거듭제곱 문제가 해결되었어요!

2-5. 대각행렬로 다시나타내기

아까
$ \begin{bmatrix} F_n\\F_{n-1} \end{bmatrix} = A^{n-1} \cdot \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} $
요렇게 깔끔하게 정리된 식을 얻었으나, 결국 companion matrix의 거듭제곱에 막혔던 것을 이번에 우리는 쉽게 파고들 수 있습니다.
$ A^{n-1} = PD^{n-1}P^{-1} $
$ \begin{bmatrix} F_n\\F_{n-1} \end{bmatrix} = PD^{n-1}P^{-1} \cdot \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} $
이제 진짜로 식을 풀어봅시다

3. 결론

여기서 $ P^{-1} $은
$ P^{-1} = \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} \begin{bmatrix} 1&-\lambda_2 \\ -1 & \lambda_1 \end{bmatrix} $
$ \begin{bmatrix} F_n\\F_{n-1} \end{bmatrix} = \overbrace{\begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1&1 \end{bmatrix}}^P \overbrace{\begin{bmatrix} \lambda_1^{n-1}&0\\0&\lambda_2^{n-1} \end{bmatrix}}^{D^{n-1}} \cdot \overbrace{\frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} \begin{bmatrix} 1&-\lambda_2 \\ -1 & \lambda_1 \end{bmatrix}}^{P^{-1}} \cdot \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} $
$ \begin{bmatrix} F_n\\F_{n-1} \end{bmatrix} = \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} \cdot \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \lambda_1^{n-1}&0\\0&\lambda_2^{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-\lambda_2 \\ -1 & \lambda_1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} $
$ \begin{bmatrix} F_n\\F_{n-1} \end{bmatrix} = \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} \cdot \begin{bmatrix} \lambda_1^{n}&\lambda_2^{n} \\ \lambda_1^{n-1}&\lambda_2^{n-1}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-\lambda_2 \\ -1 & \lambda_1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} $
$ \begin{bmatrix} F_n\\F_{n-1} \end{bmatrix} = \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} \cdot \begin{bmatrix} \lambda_1^{n}&\lambda_2^{n} \\ \lambda_1^{n-1}&\lambda_2^{n-1}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix} $
$ \begin{bmatrix} F_n\\F_{n-1} \end{bmatrix} = \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} \cdot \begin{bmatrix} \lambda_1^{n}-\lambda_2^{n} \\ \lambda_1^{n-1}-\lambda_2^{n-1}\end{bmatrix} $
그리고 여기서 우리는 $ F_n $ 성분만 필요하므로 (개념적으로는 1번 요소만 꺼내서 쓰면 될 것이고, 수식적으로는 양변에 [1 0]을 곱해주면 될 것이다)
$ F_n = \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} (\lambda_1^{n}-\lambda_2^{n}) $
여기서, $ \lambda_1 = \frac{1+\sqrt5}{2}, \; \lambda_2 = \frac{1-\sqrt5}{2} $이므로

$ F_n = \frac{1}{\sqrt5} \left(\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n}\right) $

와! 선형대수로 피보나치 수열 풀기 성공!

선형대수[Linear Algebra]: 행렬곱셈(Matrix multiplication)의 개념 정리

미렌스 — Fri, 28 Mar 2025 19:25:19 +0900

선형대수[Linear Algebra]: 행렬곱셈(Matrix multiplication)의 개념 정리

1. 서론

선형대수를 하면서 사실 제일 큰게 수를 다루는 '감각'이 아닌가 싶다.

'엄밀하게 왜이래?'를 따지는 것도 중요하지만, 사실은 약간 '어~ 이게 이러니까 이렇게 되네? 오 쫌 재밌네?'하면서 받아들이고 사용하다보면 나중에 크게 이해되는 때가 오기도 한다.(그리고 그건 어떤 내부적이든 외부적이든 깨달음의 순간이 왔을 때 익숙했었어야지만이 깨달을 수 있다는 부분이기도 하다..)

그리고 선형대수는 아주 재밌게도, 직관적으로 '어 이거 되는거 아냐?'했을 때 되는 경우가 굉장히 많다. 사실 그래서 선대 수학자들이 '이게 왜 돼!?!?'하면서 연구를 더욱 더 심도있게 진행시키지 않았을까~ 하는 생각도 든다.

그래서 결론은 다른 고급(?)선형대수를 들어가기 전에, 가장 기본적인 행렬 곱셈의 개념부터 한번 정리하고 가면 좋겠다고 생각을 했다.

우리가 흔하게 아는 고등학교 때 배웠던 요소별로 채워넣는 행렬곱셈 말고도 행렬을 가로로(열로) 세로로(행으로) 찢어서 계산도 가능하다는 아주 재밌는 사실이 있기 때문이다.

2. 행렬의 곱셈방식은 몇가지?

그렇다면 행렬의 곱셈방식은 몇가지나 있을까?

물론 '방식'이 여러가지 인거지, '답'은 하나다.

결론부터 말하자면 곱셈방식은 사실 네가지다.

행렬을 행과 열로 찢어서 조합할 수 있다고 하면, 꽤나 많은 경우의 수가 나오겠지만

행렬곱셈을 수행하면 그 대원칙인 $ \sum row * column $가 수행되고, 따라서 (n x m) * (m x k) = (n x k)의 행렬이 나온다는 것만 알고 있으면 경우의 수는 사실 아래의 네가지로 귀결된다.

행(row) * 열(column), 행렬(matrix) * 열(column), 행(row) * 행렬(matrix), 열(column) * 행(row)

두 행렬을 모두 행과 열로 찢어서 곱해 볼 수 있는 두가지 방식이 있을 것이고

또 다른 하나는 한 행렬 전체를 다른 행렬을 찢어서 곱해볼 수 있을 것이다.

그렇다면 남은 건 하나. '진짜 되는가?'이다.

사실 '개념'적으로 저렇게 나눠 놓은거지, 사실 실제 계산을 하면 결국 $ \sum row * column $이 수행되기때문에 결과는 항상 모두 같을 수 밖에 없다. 다만 저런 개념을 알고 있으면 행렬 곱셈을 조작할 때 좀더 자유롭게 조작이 가능해진다는 장점?

3. 간단한 행렬로 진짜 되는지 보기

$ A = \begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix} $

$ B = \begin{bmatrix} 1&2\\ 1&3 \end{bmatrix} $

두 행렬을 가지고 $ A * B = C $를 해 볼 예정입니다.

3-1. row * column

가장 기본적인 행렬 곱셈 방식이죠.

$ C = \begin{bmatrix} a_{11}*b_{11}+a_{12}*b_{21}&a_{11}*b_{12}+a_{12}*b_{22}\\ a_{21}*b_{11}+a_{22}*b_{21}&a_{21}*b_{12}+a_{22}*b_{22} \end{bmatrix} $

$ \quad \, = \begin{bmatrix} 1*1+2*1&1*2+2*3\\ 3*1+4*1&3*2+4*3 \end{bmatrix} $

$ \quad \, = \begin{bmatrix} 3&8\\ 7&18 \end{bmatrix} $

3-2. matrix * column

여기서부터 재밌어집니다. matrix*column은 결과를 column으로 내보내고, 그렇기 때문에 결과에서 column으로 stack됩니다.

$ C = \begin{bmatrix} A*\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} & A*\begin{bmatrix} 2\\3 \end{bmatrix} \end{bmatrix} $

$ \quad \, = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 2\\3 \end{bmatrix} \end{bmatrix} $

$ \quad \, = \begin{bmatrix} 3&8\\ 7&18 \end{bmatrix} $

3-3. row * matrix

row * matrix는 결과를 row로 내보내고, 결과적으로 row로 stack됩니다.

$ C = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&2 \end{bmatrix}*B \\ \begin{bmatrix} 3&4 \end{bmatrix}*B \end{bmatrix} $

$ \quad \, = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&2 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1&2\\ 1&3 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 3&4 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1&2\\ 1&3 \end{bmatrix} \end{bmatrix} $

$ \quad \, = \begin{bmatrix} 3&8\\ 7&18 \end{bmatrix} $

3-4. column * row

두 행렬을 일반적인 행렬 곱셈 방식인 row*column이 아닌 반대로 column*row로 찢어서 계산합니다.

위의 행렬을 기준으로 보면 column*row로 계산하게되면 (2, 1) x (1, 2)가 되므로 (2, 2)의 확장이 일어나는 것과 마찬가지 결과가 생깁니다.

찢어서 계산했을 때 matrix가 2x2로 확장되므로, 결과값을 더해줍니다.

$ C = \begin{bmatrix} 1\\3 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 1&2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2\\4 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 1&3 \end{bmatrix} $

$ \quad \, = \begin{bmatrix} 1&2\\3&6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2&6\\4&12 \end{bmatrix} $

$ \quad \, = \begin{bmatrix} 3&8\\ 7&18 \end{bmatrix} $

4. 결론

이것으로 결국 어떤 방식으로 곱하든 결과는 같다는 걸 알았습니다.

반대로, 결과가 같다면 여러 방법으로 행렬의 곱셈을 조작해 볼 수 있습니다.

[TIPS/ERRORS] 쉐보레 차량의 사이드 깜빡이가 갑자기 빠르게 점멸하다 꺼진다면?

미렌스 — Thu, 19 Dec 2024 09:36:50 +0900

쉐보레 차량의 사이드 깜빡이가 갑자기 빠르게 점멸하다 꺼진다면?

차에 노란색 경고등이 들어왔을 때 그런다

예시로 타이어 공기압 부족 등이 있다

Gap not found

미렌스 — Mon, 18 Nov 2024 19:49:47 +0900

Gap not found

오류상세-

갭을 찾을 수 없음(Gap not found)

#1028

라벨 유형에 맞게 센서 설정을 조정하거나 센서를 청소하세요.

오류정보-

SATO CL4NX 라벨기에서 라벨과 라벨사이 갭을 찾지 못하여 발생하는 오류이다.

오류 발생시 갭을 찾지못하고 라벨이 계속 나오다가 에러가 발생한다.

해결-

(리본방식이 아닌 감열방식에서의 해결법이다)

'설정>인쇄>고급>캘리브레이션'으로 들어가 '갭 레벨'을 선택하여 들어간다.

Emit을 4 이상으로 설정한뒤 v표시를 눌러 설정한다.

추가사항-

기본값은

Emit: 4
Receive: 40

으로 보인다.

그러나 상황마다 장소마다 라벨마다 설정된 기본값이 다를 수 있으니, 이때는 다른 라벨기의 값은 어떤지 참조하여 설정한다.

사이클로이드의 면적구하기(면적분)

미렌스 — Sun, 17 Nov 2024 05:24:03 +0900

사이클로이드의 면적구하기(면적분)

사이클로이드(Cycloid) 시리즈 목차

말머리-

사이클로이드를 아주 뽕을 뽑아 먹어보자구요!

1탄 사이클로이드 선적분

에 이어 2탄 사이클로이드의 면적을 구해봅시다.

수식세우기-

직사각형의 면적은 어떻게 구하죠? 그렇죠 가로 곱하기 세로입니다.

곡선의 면적은요? 애매하죠?

여기서 정말 미세하게 나눠서 직사각형의 면적을 구한다음에 다 합치면? 곡선의 아래 면적이 되겠죠?

자, 가봅시다

각 위치에서 높이는 고정인데, 그 밑변만 아주아주 작게 잘라서 직사각형 구하고 다 합치면 되겠죠? 식으로 써 봅시다

직사각형 구하고

$ y dx $

다 합칩니다

$ \int y dx $

이렇게 쓸 수 있겠네요?

1탄에서 사이클로이드 매개변수로 어떻게 표현한다고 했죠?

$ x = r(t-sin t) $
$ y = r(1-cos t) $

저번처럼 미분하면~

$ dx = r(1-cos t) dt $

$ dy = rsin t dt $

그대로 대입해서 매개변수로 나타내 봅시다.

$ \int_{0}^{2\pi} y * dx $

$ \int_{0}^{2\pi} r(1-cos t) * r(1-cos t) dt $
$ r^2 \int_{0}^{2\pi} (1-cos t)^2 dt $

$ r^2 \int_{0}^{2\pi} (1-2cos t+cos^2 t) dt $
$ r^2 \int_{0}^{2\pi} (1-2cos t+\frac{cos 2t+1}{2}) dt $
$ r^2 \int_{0}^{2\pi} (\frac{3}{2}-2cos t+\frac{cos 2t}{2}) dt $

$ r^2 \frac{3}{2}t]_{0}^{2\pi} \because cos\ t, cos\ 2t $함수는 0에서 $ 2\pi $까지 적분하면 $ \pm 0 $

$ 3 \pi r^2 $

결론-

즉, 사이클로이드의 넓이는 원 넓이의 세배!

직선 두개로 뢸로 삼각형(Reuleaux triangle) 4등분 하기[그러나 이제 적분이 없는]

미렌스 — Thu, 14 Nov 2024 11:48:17 +0900

직선 두개로 뢸로 삼각형(Reuleaux triangle) 4등분 하기[그러나 이제 적분이 없는]

[나야 기하학]

말머리-

어제 뢸로 삼각형을 해체했다는 기쁨도 잠시... 어제 포스팅 쓰면서 적분 변환하느라 아주 길고 긴 latex을 작성했던 것이 떠올랐다.

근데 적분 말고, 전에 원을 나눌때도 기하학으로 하면 더 편했던 것 처럼 기하학으로는 안될까..?

싶었는데... 고민해보니 되긴하네!? 해서 시작한 포스팅이네요

하다보니 항이 많고, 원 변수를 모두 포함해서 계산하자면 아주 복잡해지는데 이를 적당히 간단한 변수로 치환치환 해가며 정리하면 금새 수식이 정리되는게, 정말 복잡한 적분 없이 바로 결과식에 도달하는게 재미지네요!

수식세우기-

1] 도형 나누기

이전 포스팅인 >>적분으로 뢸로삼각형 4등분하기<<를 기본으로 보시면 좋습니다.

기본 뼈대는 같습니다. 뢸로삼각형 넓이의 $ \frac{1}{4} $을 구하는 거지요.

그러나 기하학을 곁들여서 생각해보면 이번에는 뢸로삼각형을 아래와 같이 나눠볼 수 있을 것 같네요!

예 색칠을 좀 해봤습니다!

저 자주색 영역이(빗금까지 포함해서) 부채꼴입니다. 뢸로 삼각형의 정의가 한 꼭지점을 원점으로하여 다른 두 꼭지점을 연결하는 원의 일부분을 그리는 것이었으니 당연히 한 꼭지점을 원점으로하는 자주색 영역은 부채꼴이 됩니다.

다만 여기서는 임의의 각 $ \theta $만큼의 부채꼴인거죠.

자 그러면 이제 뢸로삼각형의 영역의 $ \frac{1}{4} $의 넓이를 저 도형들로 살펴보죠!

먼저 자주색 부채꼴 넓이에서 빨간색 삼각형 넓이를 빼고 파란색 삼각형 넓이를 더하고 주황색 활꼴의 절반 넓이를 더하면 뢸로 삼각형의 1/4이 되겠네요!

똑같이 뢸로삼각형의 내부 정삼각형의 밑변을 y=0에 두고, 그 높이를 a라고 칭하겠습니다.

그리고 a높이에서 x위치는 이전 포스팅과 동일하게 원의 방정식으로 놓겠습니다.

그러면,

$ 자주-빨강+파랑+주황 = \frac{1}{4} 뢸로삼각형 전체 넓이 $

으로 볼 수 있고, 이거를 좀 더 있어보이게 표현해보면 아래와 같습니다.

$ A_{Sector}-A_{SectorTriangle}+A_{UpperTriangle}+\frac{1}{2}A_{Segment} = \frac{1}{4}A_{ReuleauxTriangle} $

자, 이제 각각의 넓이를 구하러 출동해보시죠

2] 각각의 넓이 구하기

차례대로 하나씩 넓이를 구해보죠

일단 자주색 부채꼴입니다.

임의의 각 $ \theta $로 계산하면 부채꼴의 넓이는

$ A_{Sector} = \frac{1}{2}d^2\theta $

이렇게 되겠죠?

다음은 빨간 삼각형입니다.

삼각형의 넓이는 밑변*높이*절반 입니다. 여기서 밑변은 폭의 절반이지만, 높이는 일반각 $ \theta $로 정의되기때문에 밑변에 $ tan\theta $를 곱한 것으로 알 수 있죠. 따라서

$ A_{SectorTriangle} = \frac{1}{2}*\frac{1}{2}d*\frac{1}{2}dtan\theta $

이 됩니다.

파란 삼각형을 보죠

빨간 삼각형과 비슷하게 밑변*높이*절반을 가져가려하나, 밑변에 해당하는 길이가 변수 a에 의해서 계속 변화합니다. 따라서 밑변은 변수 a에 의해 길이가 결정되는데, 이 법칙을 나타낸게 원의 방정식을 정리한 함수죠. 자세한 내용은 이전 포스팅에 있으니 여기서는 빠르게 수식을 세워보도록 하겠습니다.

그리고 이 파란 삼각형에서도 높이는 밑변에 tan값을 곱한 값이 되는데, 여기서 일반각은 평행한 두 직선 사이 엇각의 관계가 되므로(정확히는 내엇각(alternate interior angle)) 똑같이 $ \theta $가 됩니다.

수식으로 세워보면

$ A_{UpperTriangle} = \frac{1}{2}*(\sqrt{d^2-a^2}-\frac{d}{2})*(\sqrt{d^2-a^2}-\frac{d}{2})tan\theta $

이 됩니다.

대망의 활꼴의 절반인 주황색이 나왔습니다.

전체 활꼴의 넓이는 아래와 같고

$ A_{Segment} = \frac{1}{2}d^2\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}d^2 $

이것의 절반이 주황색의 넓이죠?

전체 수식에서 나중에 1/2을 해줄테니 수식은 여기까지 세우는 걸로 하죠

마지막 뢸로 삼각형의 넓이 입니다.

$ A_{ReuleauxTriangle} = \frac{3}{2}d^2\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}d^2 $

부채꼴넓이*3-정삼각형넓이*2 해주면 나옵니다.

이제 각각의 넓이를 다 구했으니 다 합칠까요?

아뇨... 각각만 봐도 너무 복잡한데 지금 다 합쳐버리면 길이가 너무 길어져요...

그러니 동일하게 각각 다 수식을 정리해서 마지막에 합쳐보죠!

3] 수식 정리하기

$ \frac{a}{d} = s $ 로 놓겠습니다. 그럼 $ a = ds $도 성립하겠죠?

그리고 sin함수의 정의는 임의의 각 $ \theta $에 대해 그 직각삼각형의 $ \frac{높이}{빗변} $로 정의됩니다. 따라서
$ sin\theta = \frac{a}{d} $ 가 되겠네요. 그리고 $ \frac{a}{d} = s $니까, 삼단논법으로 $ sin\theta = s $입니다.

sin을 정의했으니 다른 삼각함수들도 정의해보죠. 삼각함수들은 하나가 정해지면 다른것들로도 다 변환이 된답니다.
$ cos\theta = \sqrt{1-sin^2\theta} = \sqrt{1-s^2} $
$ tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta} = \frac{s}{\sqrt{1-s^2}} $

자, 이제 간단하게 할 준비는 다 끝났습니다. 수식정리하러가죠

부채꼴은 다음과 같이 정리될겁니다. $ sin\theta=s $면 $ \theta=arcsin\ s $겠죠?

$ A_{Sector} = \frac{1}{2}d^2\theta $
$ A_{Sector} = \frac{1}{2}d^2arcsin\ s $

빨간삼각형은

$ A_{SectorTriangle} = \frac{1}{2}*\frac{1}{2}d*\frac{1}{2}dtan\theta $
$ A_{SectorTriangle} = \frac{d^2s}{8\sqrt{1-s^2}} $

파란삼각형은

$ A_{UpperTriangle} = \frac{1}{2}*(\sqrt{d^2-a^2}-\frac{d}{2})*(\sqrt{d^2-a^2}-\frac{d}{2})tan\theta $
$ A_{UpperTriangle} = \frac{d^2}{2}(\sqrt{1-s^2}-\frac{1}{2})^2\frac{s}{\sqrt{1-s^2}} $

요렇게 정리가 되겠네요!

활꼴과 뢸로 삼각형도 각각 절반, 사등분 해준 결과를 먼저 써서 정리하죠

$ \frac{1}{2}A_{Segment} = \frac{d^2}{4}(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}) $
$ \frac{1}{4}A_{ReuleauxTriangle} = \frac{d^2}{8}(\pi-\sqrt{3}) $

이 두개는 상수항이므로 먼저 계산을 통해 정리해보도록 하겠습니다.

$ A_{Sector}-A_{SectorTriangle}+A_{UpperTriangle}+\frac{1}{2}A_{Segment} = \frac{1}{4}A_{ReuleauxTriangle} $

이게 전체식이구요, 상수항을 이항해서

$ A_{Sector}-A_{SectorTriangle}+A_{UpperTriangle} = \frac{1}{4}A_{ReuleauxTriangle}-\frac{1}{2}A_{Segment} $

요렇게 놓은뒤에 위에서 정리한 식을 넣고 다시 정리하면

$ A_{Sector}-A_{SectorTriangle}+A_{UpperTriangle} = \frac{d^2\pi}{24} $

요렇게 상수항이 깔끔해집니다.

이제 나머지 식들을 대입해보죠

$ \frac{1}{2}d^2arcsin\ s-\frac{d^2s}{8\sqrt{1-s^2}}+\frac{d^2}{2}(\sqrt{1-s^2}-\frac{1}{2})^2\frac{s}{\sqrt{1-s^2}} = \frac{d^2\pi}{24} $

길어졌죠? 일단 공통되는 변수를 양변 나눠줘서 일단 최대한 간단하게 해봅시다.

$ \frac{d^2}{2} $로 양변 나누면(=$ \frac{2}{d^2} $로 양변 곱하면)

$ arcsin\ s-\frac{s}{4\sqrt{1-s^2}}+(\sqrt{1-s^2}-\frac{1}{2})^2\frac{s}{\sqrt{1-s^2}} = \frac{\pi}{12} $

훨씬 간단해졌죠?

그래도 루트가 있으니까 뭔가 보기 불편합니다. 더 줄여보죠. $ u = \sqrt{1-s^2} $ 이렇게 루트를 치환해보겠습니다.

$ arcsin\ s-\frac{s}{4u}+(u-\frac{1}{2})^2\frac{s}{u} = \frac{\pi}{12} $

보기 훨씬 편하죠?

이제 세번째 항의 제곱을 풀어봅시다. 아주 수식이 간단하니 그 옆에 있는 곱셈으로 연결된 부분까지 같이 곱해주죠. 이렇게 간단하게 놓은 상황에서 풀면 간단하지만, 처음부터 풀어버리려면 아주 복잡했겠죠?

$ arcsin\ s-\frac{s}{4u}+(su-s+\frac{s}{4u}) = \frac{\pi}{12} $

보면 $ \frac{s}{4u} $가 덧셈 뺄셈으로 있네요? 소거해주면

$ arcsin\ s+su-s = \frac{\pi}{12} $

와우 엄청 간단한 식이 나왔네요

이제 줄이고 줄인 식이니까, 다시 치환한 변수들을 원래 변수들로 돌려주죠.

일단 u를 다시 s로,

$ arcsin\ s+s\sqrt{1-s^2}-s = \frac{\pi}{12} $

그리고 s를 다시 a와 d로 바꿔줍니다.

$ arcsin \frac{a}{d}+\frac{a}{d}\sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}-\frac{a}{d} = \frac{\pi}{12} $

그러면!!

바로 적분으로 풀었던 식과 완전 동일한 식이 짜잔 하고 나타난답니다.

결론-

조금 번거롭지만 복잡한 적분 없이도 풀 수 있었던 것이었습니다!

직선 두개로 뢸로 삼각형(Reuleaux triangle) 4등분 하기

미렌스 — Tue, 12 Nov 2024 15:13:22 +0900

직선 두개로 뢸로 삼각형(Reuleaux triangle) 4등분 하기

[바라크루드(Baraclude) 4등분(4분할)하기]

말머리-

여러분은 뢸로 삼각형(Reuleaux triangle)이라는 걸 아시나요?

출처: wikipedia.org

요렇게 생긴 삼각형이랍니다.
정삼각형의 각 꼭지점에서 그 변을 반지름으로하는 호를 그렸을 때 만들어지는 도형이죠!
그리고 이 도형의 특징은! 바로 등폭도형(curve of constant width)이라는거죠!
그 뜻은 이 도형의 어느 양 끝을 기준으로 삼아도 폭이 일정하다는 말입니다.(그도그럴게 정삼각형의 한 변을 기준으로 각각 호를 그렸으니 너무나도 당연한 결과죠!)
그리고 여기서 폭은 정삼각형의 한 변의 길이가 됩니다.
그러나 오늘은 이 뢸로 삼각형을 소개하는 것 뿐만이 아니라, 이 뢸로삼각형을 같은 넓이로 4등분해 볼건데요!
왜 요런짓을 하는지는 나중에 마무리부분에서 보기로 하고 일단 4등분 고고싱 해보죠
고고싱~

수식세우기-

1] 전체 넓이 구하기

일단 4등분을 하려면 과거 >>직선 두개로 원 삼등분하기<<처럼 전체 넓이를 기준으로 계산을 하는 것이 편합니다.
따라서 이 뢸로 삼각형의 전체 넓이 S를 구해보겠습니다.
언뜻 '아니 곡선으로 이루어진 도형의 넓이를 어떻게 구해?' 싶지만, 의외로 부채꼴의 조합이므로 계산이 어렵지 않아요!
[전체넓이 = 한 부채꼴의 넓이*3 - 삼각형의 넓이*2] 로 구할 수 있답니다!
여기서 부채꼴의 반지름 r은 등폭도형이므로 폭 d와 같습니다.(폭 d는 정삼각형 한 변의 길이와도 같죠)
또한 부채꼴의 각도는 60도이므로(정삼각형의 한 각과 같습니다) 라디안으로 쓰면 $ \frac{\pi}{3} $죠
한 부채꼴의 넓이: $ \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}d^2\frac{\pi}{3} $
정삼각형의 넓이: $ \frac{\sqrt{3}}{4}d^2 $
그렇다면 부채꼴 넓이 *3-정삼각형 넓이는
$ S = \frac{1}{2}d^2\frac{\pi}{3}*3 - \frac{\sqrt{3}}{4}d^2*2 $
$ S = \frac{1}{2}d^2(\pi - \sqrt{3}) $
자, 그러면 이 전체넓이의 $ \frac{1}{4} $을 부분넓이 구하는 식에서 찾으면 되겠죠?
$ \frac{S}{4} = \frac{1}{8}d^2(\pi - \sqrt{3}) $

2] 부분넓이 구하기

자, 이제 '어느 높이에서 이 뢸로 삼각형의 넓이는 이만큼입니다~'하고 알려주는 부분넓이 공식이 필요한데... 아무래도 호(arc)이다 보니 계산이 녹록치 않아보이죠?
일단 계산이 쉽게 좌표 세팅부터 해주겠습니다.

자, 먼저 정삼각형의 밑변을 x축에 접하게두고, y축의 중심에 놓습니다.
이렇게두면 정삼각형은 y축으로 이등분이 되는 꼴이 되겠죠, 그리고 좌우 대칭일 겁니다
이걸로 일단 4등분을 할 때 세로로 2등분은 해결이 되었습니다. 무조건 세로로 2등분하면 넓이는 절반이 되겠죠
그렇다면 가로로 2등분 점을 찾아야 한다는 결과에 도달합니다.
그러면 세로로 2등분, 가로로 어느정도 높이에서 2등분하면 전체 넓이의 $ \frac{1}{4} $이 되는 넓이가 나올겁니다. 이 높이를 찾으면 되겠네요.
폭이 d라고 했으니, 오른쪽 빨간색 호의 중심은 왼쪽아래 빨간점이 되겠고 좌표는 ($-\frac{d}{2}$, 0)
그러면 이 부채꼴의 원래 원의 방정식은
$ (x + \frac{d}{2})^2+y^2=d^2 $이 될겁니다.
그럼 이 식을 정리해서, x좌표에 대한 식으로 변형한 다음 0부터 어떤 지점 a까지 적분하면 이 뢸로삼각형의 부채꼴의 일부의 넓이를 구할 수 있겠네요! 이 넓이를 T라고 해보죠(a부터 $ \frac{\sqrt{3}}{2}d $까지 구할 수도 있으나, 밑끝이나 위끝에 0이 들어가야 적분식이 깔끔해지는 경향이 있어 그냥 0부터 적분하겠습니다.)
자, 근데 하나 문제가 있죠. 이거는 0부터 적분해가는 식인데, 저희가 놓은 좌표대로면 아래쪽 활꼴(주황색)의 넓이가 반영이 안됩니다.
근데, 뭐 이 활꼴의 넓이는 너무 쉬우니까 바로 계산해보죠
활꼴의 넓이 = 부채꼴의 넓이-삼각형의 넓이
$ A_{sector} = \frac{1}{2}d^2\frac{\pi}{3} $
$ A_{triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4}d^2 $
$ A_{segment} = \frac{1}{2}d^2\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{4}d^2 $
$ A_{segment} = \frac{1}{2}d^2(\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}) $
근데 여기서 절반의 넓이만 포함되어야하므로
$ \frac{1}{2}A_{segment} = \frac{1}{4}d^2(\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}) $
그러면
$ \frac{1}{4}S = \frac{1}{2}A_{segment} + T$(0부터 a까지 부채꼴의 일부의 넓이 적분)
이면 높이 a를 구할 수 있겠군요!
영역으로 보자면, 오른쪽 위에 해당하는 1사분면만 적분이 되어야 하구요
일단 찾은 원의 방정식을 정리해봅시다.
$ (x + \frac{d}{2})^2+y^2=d^2 $
$ (x + \frac{d}{2})^2=d^2-y^2 $
$ x + \frac{d}{2}=\pm \sqrt{d^2-y^2} $
$ x=\sqrt{d^2-y^2} - \frac{d}{2} $
로 정리가 되었습니다.
여기서 마지막줄로 정리할 때 제곱근의 양수만 취한 것은 오른쪽 영역만 표현하는 함수를 얻기 위함이며, y값이 음수와 양수를 모두 포함하더라도 적분 자체에서 0부터 a까지 적분할 예정이므로 y값의 영역이 정해지기에 문제가 없습니다!
그러면 적분을 해봅시다
$ T = \int_{0}^{a} (\sqrt{d^2-y^2} - \frac{d}{2}) dy $
$ T = \int_{0}^{a} \sqrt{d^2-y^2} dy - \int_0^a \frac{d}{2} dy $
$ T = \int_{0}^{a} \sqrt{d^2-y^2} dy - [\frac{d}{2}y]^a_0 $
$ T = \int_{0}^{a} \sqrt{d^2-y^2} dy - \frac{d}{2}a $
자, 적분의 뒤쪽영역은 아주 쉽게 적분이 되었으나, 앞쪽은 쉽지 않아보이네요?
원을 적분할 때 가장 많이 쓰이는 트릭이 치환 적분에서 y를 r * sin t로 놓는 것입니다. 똑같이 적용해보죠
$ y = d*sin\theta $
$ dy = d*cos\theta d\theta $
$ T_1 = \int_{0}^{a} \sqrt{d^2-(d*sin\theta)^2} * d*cos\theta d\theta $
$ T_1 = \int_{0}^{a} d*\sqrt{1-(sin\theta)^2} * d*cos\theta d\theta $
$ T_1 = \int_{0}^{a} d^2*\sqrt{1-(sin\theta)^2} * cos\theta d\theta $
$ 1-sin^2\theta $는 항등식에 따라 $ cos^2\theta $와 같으니
$ T_1 = \int_{0}^{a} d^2*\sqrt{(cos\theta)^2} * cos\theta d\theta $
$ T_1 = \int_{0}^{a} d^2*cos\theta * cos\theta d\theta $
$ T_1 = \int_{0}^{a} d^2*cos^2\theta d\theta $
여기서 삼각함수의 제곱은 적분불가하므로 더 쉬운 형태로 바꿔주겠습니다.
cos 2배각을 이용하면
$ cos^2\theta = \frac{1+cos2\theta}{2} $ 이므로
$ T_1 = \int_{0}^{a} d^2*\frac{1+cos2\theta}{2} d\theta $
$ T_1 = \frac{d^2}{2}\int_{0}^{a} (1+cos2\theta) d\theta $
자, 여기서 변수치환 했으니 당연히 아래끝 위끝도 변경해줘야합니다.
여기서 y가 0일땐, $ \theta $도 0이므로 아래끝은 동일하게 0이고,
위끝이 a인 경우엔,
$ a = d*sin\theta $
$ \frac{a}{d} = sin\theta $
$ arcsin \frac{a}{d} = \theta $
로 정리되므로, 위끝 아래끝 바꿔서 최종식을 써보면
$ T_1 = \frac{d^2}{2}\int_{0}^{arcsin \frac{a}{d}} (1+cos2\theta) d\theta $가 되겠네요
$ T_1 = \frac{d^2}{2}(\int_{0}^{arcsin \frac{a}{d}} 1 d\theta + \int_{0}^{arcsin \frac{a}{d}} cos2\theta) d\theta $
$ T_1 = \frac{d^2}{2} ([\theta]^{arcsin \frac{a}{d}}_{0}+ \int_{0}^{arcsin \frac{a}{d}} cos2\theta) d\theta $
$ T_1 = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + \int_{0}^{arcsin \frac{a}{d}} cos2\theta) d\theta $
$ T_1 = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + [\frac{1}{2}sin2\theta]^{arcsin \frac{a}{d}}_{0}) $
여기서 sin 2t는 2sin t cos t와 같으므로
$ T_1 = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + [sin\theta cos\theta]^{arcsin \frac{a}{d}}_{0}) $
$ T_1 = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + sin(arcsin \frac{a}{d}) * cos(arcsin \frac{a}{d})) $
여기서 arcsin은 sin의 역함수이므로 $ f(f^{-1}(x)) = x $를 이용하여 $ sin(arcsin \frac{a}{d}) = \frac{a}{d} $
cos(arcsin)의 경우
$ \theta = arcsin \frac{a}{d} $
$ sin \theta = \frac{a}{d} $
$ sin^2\theta + cos^2\theta = 1 $
$ cos\theta = \sqrt{1-sin^2\theta} $
$ cos\theta = \sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2} $ 로 정리되므로
$ T_1 = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + \frac{a}{d} \sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}) $
이 되며
결국 총 식은
$ T = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + \frac{a}{d} \sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}) - \frac{d}{2}a $
자, 이제 다 왔습니다.
$ \frac{1}{4}S = \frac{1}{2}A_{segment} + T $
$ \frac{1}{8}d^2(\pi - \sqrt{3}) = \frac{1}{4}d^2(\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + \frac{a}{d} \sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}) - \frac{d}{2}a $
식이 복잡하니 정리해보죠.
일단 $ \frac{2}{d^2} $으로 양변 곱해줍니다.
$ \frac{1}{4}(\pi - \sqrt{3}) = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}) + (arcsin \frac{a}{d} + \frac{a}{d} \sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}) - \frac{a}{d} $
풀어서 상수항 정리하면,
$ \frac{\pi}{12} = arcsin(\frac{a}{d})+\frac{a}{d}\sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}-\frac{a}{d} $
이 식에서 a를 찾아주면 영점에서 얼만큼 위로 올라가서 가로선을 그어야 4등분이 되는지가 나오며, 이를 $ \frac{\sqrt{3}}{2}d-a $를 하면 삼각형의 위쪽 꼭지점(주황색)으로부터의 거리를 구할 수 있습니다.
참고로 이 방정식은 초월방정식이라 사람이 일반해를 구할수는 없고, 계산기의 도움을 빌려야합니다.
~~이번에는 wolframalpha도 두손두발 들고 뻗어버렸기에, chatgpt를 이용하여 계산하면~~
gpt의 불확실한 결과(매번 결과가 달라지는)로 인해 다시 수식정리해서 wolframalpha로 계산하면
$ a = 0.268309283804244d $
로 결과가 나오고, $ \frac{\sqrt{3}}{2}d-a $이 식에 넣어 계산하면
0.597716119980195d
라는 결과가 나오게 됩니다.

3] 수식적 결론

결국 폭의 0.5977위치에서(삼각형의 꼭지점에서부터 0.5977d 위치에서) 가로로 한번, 이후 세로로 중앙을 한번 자르면 정확하게 이 뢸로삼각형을 4등분 할 수 있습니다.(전체 폭의 60%쯤 되는 위치네요. 위와같은 형태에선 정확한 절반보다 조금 아래라고 생각하시면 될 것 같습니다.)

마무리-

이 뢸로삼각형은 의외로 활용도가 꽤 있습니다. 벽을 네모나게 뚫는 드릴도 이 뢸로삼각형을 응용하고 있으며, 무엇보다 폭이 어디에서재도 같다는 성질은 아주 요긴하게 쓰일 수 있습니다.
가령 약을 만들때도, 이 뢸로 삼각형의 모양대로 타정하면 약이 어떤 슬라이드를 지나갈때 막힘없이 원과 비슷하게 흘러갈 수 있겠죠
그래서 실제로 시판되는 약중에서도 이 뢸로삼각형의 모양인 약들이 꽤 있습니다.
그중에 대표적인게 바라크루드(Baraclude)인데요, 실제로 약의 정보를 보면 가로 세로 높이가 같은 뢸로삼각형임을 알 수 있습니다.
0.5mg 제형의 경우 8.4mm의 폭을 가지는데, 이걸 계산한 결과에 대입하면
삼각형의 한 꼭지점에서부터 5mm떨어진 지점에서 가로로한번 세로로한번 자르면 된다는 결론이 나오죠.

[수학/패러독스] 아리스토텔레스의 바퀴 역설(Aristotle's wheel paradox)

미렌스 — Mon, 7 Oct 2024 21:50:12 +0900

[수학/패러독스] 아리스토텔레스의 바퀴 역설(Aristotle's wheel paradox)

말머리-

안녕하세요 여러분!

오랜만에 글감을 들고 찾아왔습니다.

오늘 소개드릴 내용은 바로 '바퀴 역설' 혹은 'Wheel paradox'라는 건데요

도대체 뭐가 '역설'일까요?

소개시켜드리겠습니다!

출처: wikipedia

위 이미지가 보이시나요?

이미지에는 큰 바퀴(파란색)과 그 안에 고정된 작은 바퀴(빨간색)이 있습니다.

이 두 바퀴는 따로 떼서 굴려보면 딱 그 바퀴의 원주(원 둘레)만큼 굴러가며 딱 한바퀴를 돌 겁니다.

그! 런! 데!

이 두 바퀴를 정 가운데 딱 붙여서 굴리는 순! 간!

큰 바퀴가 한바퀴 굴러갈 때, 그 거리만큼 작은 바퀴도 딱 한바퀴 도는 일이 발생하는 것이죠!

두 바퀴가 동시에 굴러갈 때, 큰 바퀴가 굴러간 거리 만큼 작은 바퀴도 같은 거리를 이동하는 겁니다!

아니 어떻게 이런일이!?

분명 떼어 놓으면 한바퀴 도는 거리가 다른데, 붙이면 같아진다!?

그래서 이것이 바로 역설(paradox), 패러독스입니다.

참고로 기원전 학자인 아리스토텔레스(Aristotle)의 이름이 붙은 만큼 엄청 오래된 역설이라는 거죠!

[더불어 제논의 역설도 고대 그리스에서 나온 걸 보면 역시 철학의 시대가 아니었나 싶네요]

그럼 도대체 이런 문제가 발생하는 이유는 뭘까요? 원인부터 살펴봅시다.

원인-

자, 이 문제를 해결하려면 원인을 일단 잘 살펴봐야겠죠?

1) 사이클로이드로 생각해보기

자 일단 사이클로이드가 궁금하시다면 >>여기<<에서 관련 내용을 한번 살펴보시기 바랍니다.

간단하게 말해 원에서 점 하나 찍고 그 원의 궤적을 보는게 사이클로이드입니다.

그렇다면 큰원에 점을 찍고, 작은 원에 점을 찍고 그 궤적을 본다면?

출처: 위키피디아

요런 자취가 나올겁니다. 자취는 점선으로 나타나있어요.

잘 보면 파란 자취와 빨간 자취가 다르죠?

그러니까 뭔가 운동이 다를 거라는 걸 암시하죠

보면 파란색 점선이 위아래로 더 많이 움직이고, 빨간색 점선은 위아래로 덜 움직이는데, 결국 총 이동한 거리는 같다고 한다면 당연히 빨간색이 좀 더 '효율적'으로 움직인 거니 수평방향으로 더 많이 움직였다는 사실을 도출해 낼 수 있습니다.

그러나 뭔가 조금 찝찝하죠?

2) 다각형으로 생각해보기

원은 다른말로 '무한각형'이라고도 합니다.

실제로 삼각형>사각형>오각형>... 이런식으로 각형을 늘려나가다보면 점점 원에 가까워지는 모습을 볼 수 있는데요

그렇다면 원에서의 문제이니까 각형을 줄여봅시다!

무한에서 줄이고 줄여서~~~ 사각형으로 가보죠!

자, 이런 네모바퀴가 굴러가는걸로 생각해봅시다.

이 네모바퀴는 총 네번을 굴러 가면 한바퀴를 돌 겁니다.

근데, 자세히보면, 큰 네모는 딱 붙어서 도는데, 작은 네모는 공간이 떨어져있네요?

요 초록 선 만큼요

아... 이제 감이 올 것 같습니다.

이 안에 있는 바퀴는 공간을 점프해서 이동하는 거였군요!?

그래서 큰 바퀴가 딱 한바퀴 도는동안 같은 거리를 이동할 수 있었던 거네요!

여기서 오각형>육각형 등 각수를 계속 늘려가면 이 초록선은 점점 짧아지겠지만, 더욱 많아지겠고, 사라지지는 않겠군요!

그렇다면 원은!? 아주 미세하게 이 초록선들이 거의 점으로 분포되어 보이지 않는 걸겁니다!

아하! 해결했습니다! 너무 미세해서 보이지 않지만 있다!

그럼 원은 '점프'라기보다는 아주아주 미세하게 '미끄러진다'라고도 볼 수 있겠네요?

(그러나 실제는 너무너무 작아서 얘가 점프를 하는지 미끄러지는지는 알기 어렵겠죠?)

자, 그럼 왠지 이 길이를 구하고 싶어지지 않나요?

수식으로 한번 풀어보죠!

이 애매한 거리를 수식으로 풀어보기!-

자자, 이제 수식으로 풀어보려고 하니까 일단 한가지 생각해보죠

어떤 n각형이 한 변에서 다른 변으로 돌때 돌아가는 각도는 그 n각형의 외각과 같습니다.

가령 삼각형은 120도를 돌아가 다음 변으로 돌아가겠고, 위에서 봤듯이 사각형은 90도를 돌면 다음 변으로 돌아갑니다.

마찬가지로 오각형은 72도를 돌면 다음 변으로 돌아가겠네요!

어.. 각형이 작아질수록 다음 변까지 돌아가는 각도가 작군요!

이를 수식으로 써보면 $ \theta = \frac{360}{n} $일겁니다.

좀 더 보기 편하게 60분법 각도를 호도법(radian)으로 바꿔주면, $ \theta = \frac{2 \pi}{n} $이 되겠네요.

자 그럼 도형에 열심히 보조선을 그어봅시다!

자, 여기 보라색선은 큰 바퀴의 반지름(이 될 예정인)입니다. (이를 a라고 하죠)

빨간색 바퀴의 안에 그려진 빨간색 선 또한 작은 바퀴의 반지름일 것입니다. (이를 b라고 해보겠습니다)

그리고 주황색 선은 큰 바퀴의 반지름-작은 바퀴의 반지름이죠 ( a-b 겠네요)

왜 저 주황색 선을 만들었냐면~ 초록색 선의 길이를 알고 싶기 때문이죠!

그리고 n각형의 바퀴는 한 변만큼 돌아갈 때 $ \theta $만큼의 각도로 돌아간다고 이미 정의를 했고, 주황색 선도 마찬가지로 $ \theta $만큼 돌겠죠

자, 각도와 변이 나오면 뭘 할 수 있다? 바로 삼각함수로 다른 변을 구할 수 있다!

일단 $ \theta $와 주황색 선 만으로는 바로 초록색 선의 길이를 구할 수 없으니 뭐든지 반을 똥강내봅시다.

일단 초록색 선의 반을 구하고 싶다면, 주황색 선 * $ \theta $의 절반을 하면 될 겁니다 수식으로 써보죠

근데 자꾸 무슨색 선~하니까 좀 헛갈리네요! 다시정의하죠

초록샌 선은 결국 우리가 구하고 싶은 선이니까 x라고 합시다

주황색 선은 a-b

돌아가는 각도 = 주황색 선의 각도 = $ \theta $

자, 전체 x길의 반은 (a-b)에다가 $ \theta $ 절반의 sin값을 곱해주면 나오게 되겠네요

$ \frac{x}{2} = (a-b)sin (\frac{\theta}{2}) $

자, 근데 저희는 $ \theta $를 아까 $ \frac{2 \pi}{n} $이라고 했으니

$ \frac{x}{2} = (a-b) * sin (\frac{2\pi}{2n}) $

$ \frac{x}{2} = (a-b) * sin (\frac{\pi}{n}) $

자, 왼쪽에 자꾸 2로 나누어져 있으니까 이제 양변에 2를 곱해서 전체 x길이에 대한 수식으로 바꿔보죠

$ x = 2(a-b) * sin (\frac{\pi}{n}) $

아, 근데 우리는 초록선 '단 하나'만 구했네요? 초록선은 바퀴가 n번 돌아 한바퀴 돌때까지 n개가 생기니까...

수식 복잡하게 하지말고 다시 정리하죠 $ n*x = L $이라고 새로 정의해봅시다. 초록선 n개가 모인걸 대문자 L로 놓을께요

$ L = 2*(a-b)*sin(\frac{\pi}{n})*n $

자 이제 어떤 n각형에 대해서 작은 바퀴가 점프하는 거리를 구하는 식이 완성되었습니다.

근데 아까 원은 무슨각형이다? 무한각형!

그럼 n이? 무한대!

근데 여기서 그냥 무한대 사용하면 수식이 '아니 뭐가 뭐지?'싶어지니 정리를 조금 해봅시다!

정말 재밌는 수식이 있는데요

$ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{sin x}{x} $

는 뭐게요?

답은 1이랍니다! 그러므로!

$ L = 2*(a-b)*sin(\frac{\pi}{n})*n \Leftrightarrow L = 2*(a-b)*sin(\frac{\pi}{n})*n*\frac{\pi}{n}*\frac{1}{\frac{\pi}{n}} $

$ L = 2*(a-b)*\frac{sin(\frac{\pi}{n})}{\frac{\pi}{n}}*n*\frac{\pi}{n} $

$ L = 2*(a-b)*\frac{sin(\frac{\pi}{n})}{\frac{\pi}{n}}*\pi $

자, 항등식을 이용한 식변형을 했구요

이제 $ \lim\limits{x \to \infty} \frac{sin x}{x} $ 요 꼴이 나왔으니 바로 극한을 걸어봅시다.

$ L = \lim\limits{x \to \infty} 2*(a-b)*\frac{sin(\frac{\pi}{n})}{\frac{\pi}{n}}*\pi $

$ L = 2*(a-b)*\pi $

$ L = 2\pi(a-b) $

원에서 가칭 '점프하는 구간'의 길이를 구했습니다!

그리고 정말 신기하게도 큰 원의 원주길이($ 2\pi a $)에서 작은 원의 원주길이($ 2\pi b $)를 뺀만큼이 점프하는 구간이라는 답이 나왔네요!

결론-

결국, 안쪽의 원은 아주 조금씩 모종의 방법으로 이동하며 큰 원이 움직이는 만큼을 따라가고 있었던 것이었습니다 여러분!!

[윈도우11(windows11)] 공유프린터 연결시 자격증명에러 발생

미렌스 — Tue, 24 Sep 2024 04:23:24 +0900

[윈도우11(windows11)] 공유프린터 연결시 자격증명에러 발생

문제 요약

* 문제

Windows 11에서 공유 프린터에 연결하려고 할 때 "제공한 자격 증명에 이 프린터에 액세스할 수 있는 권한이 충분하지 않습니다. 새 자격 증명을 지정하시겠습니까?"라는 오류 메시지가 나타남

* 원인

컴퓨터의 고급 공유 설정이 암호로 보호된 공유로 설정되어 있기 때문

해결 방법

고급 공유 설정에서 암호로 보호된 공유를 해제

* 해결 방법 상세 안내

* 설정 열기: 시작 메뉴에서 설정을 검색하여 열거나, Windows 키 + I를 누릅니다.
* 네트워크 및 인터넷 선택: 설정 창에서 "네트워크 및 인터넷" 메뉴를 선택합니다.
* 고급 공유 설정 변경: 네트워크 및 인터넷 설정에서 "고급 네트워크 설정"을 찾아 클릭합니다. 이후 "고급 공유 설정"을 찾아 클릭합니다.
* 암호로 보호된 공유 해제: 고급 공유 설정 창에서 "모든 네트워크"탭에서 "암호로 보호된 공유" 옵션을 끕니다.

* 자격증명관리자 추가: 윈도우 검색에 "자격증명 관리자"를 검색하여 자격증명관리자에서 "Windows 자격 증명 추가"를 눌러 공유프린터 IP, 비밀번호를 입력 후 다시 연결하면 됩니다. 혹은 네트워크가 등록되어있다면 실행에 "₩₩네트워크이름(혹은 IP주소)"를 검색한 뒤 "네트워크 자격 증명 입력" 창에서 사용자 이름(해당 네트워크 이름)과 암호를 입력 후 "내 자격 증명 기억"에 체크를 하고 로그인합니다.

[윈도우/윈도우즈] 부팅 시 넘버락(numlock) 켜지게하기

미렌스 — Mon, 23 Sep 2024 04:22:47 +0900

[윈도우/윈도우즈(windows)] 부팅 시 넘버락(numlock) 켜지게하기

윈도우 부팅 시 보통은 넘버락이 켜지게 되어있으나 어떤경우에는 넘버락이 안켜진 채 부팅되는 걸 본 적이 있는가?

이것도 윈도우 레지스트리에서 세팅할 수 있는 값이다.

수정해야 할 레지스트리 경로 및 값

* 레지스트리 편집기 사용법

1) Window키+R혹은 화면 왼쪽아래 돋보기를 눌러 "실행"을 검색하여 실행한다.

2) 여기에 "regedit"을 입력하여 실행한다.

혹은

1) 화면 왼쪽 아래 돋보기를 눌러 "레지스트리 편집기"를 검색하여 실행한다.

* 경로:

* HKEY_CURRENT_USER\Control Panel\Keyboard
* HKEY_USERS\.DEFAULT\Control Panel\Keyboard

* 수정할 값:

* InitialKeyboardIndicators 값을 "2"로 설정

수정하는 이유 및 효과

* NumLock 자동 활성화: 위와 같이 레지스트리 값을 변경하면 윈도우 부팅 시 NumLock이 자동으로 활성화됩니다.
* 편의성 증대: 매번 수동으로 NumLock을 켜는 번거로움을 해소할 수 있습니다.

사이클로이드(Cycloid)의 길이 구하기(선적분)

미렌스 — Mon, 1 Jul 2024 15:50:24 +0900

사이클로이드 길이 구하기(선적분)

사이클로이드(Cycloid) 시리즈 목차

1. 사이클로이드?

사이클로이드라는 곡선을 아는가?

원에서 한 점을 찍고, 원이 한바퀴 구르는 동안 그 점의 궤적을 따라서 그리면 아주 독특한 곡선이 하나 만들어지는데 이를 사이클로이드라고 한다.

https://www.desmos.com/calculator/v3ouxovbkf?lang=ko

Cycloid

www.desmos.com

위 사이트에 접속하여 왼쪽 위의 a 부분을 잡고 슬라이드 해보면 원이 굴러가면서 만드는 자취란 것을 알 수 있다.

참고로 위 그래프에서 cycloid는 파란선이다.

사이클로이드는 최속강하이론(다른말로 공이 가장 빨리 내려오는 곡선)에 활용 되기도 하는데, 이 특이하고 신기한 성질은 다음에 알아보도록하고..

2. 사이클로이드 곡선 길이 구하기!

이 독특한 곡선의 길이를 구할 수 없을까?

원은 $ 2 \pi r $이지 않은가?

한번 구해보자!

2-1. 선적분

길이를 구하는 적분을 '선적분'이라고도 하는데, 원리는 간단하다.

아주 미소한 양의 증분 x와 y을 피타고라스 정리 써서 직선 거리를 구해내고, 이를 쭉~ 끝까지 적분해내는것이다.

그럼 결국 미소하게 변하는 x와 y를 따라서 어떤 아주아주아주 미세한 직선이 만들어질테고, 이 아주 미소한 직선을 다시 모았으니 곡선의 길이가 되겠다.

그러면 이 아주 미소한 x와 y는 어떻게 구하냐면.. 특정 식을 x에 대해서 미분하고 y에 대해서 미분하면 아주 미소한 x의 증분과 y의 증분이 나올 것이고, 이를 피타고라스 정리로 모으면 아주 미소한 직선이 하나 구해질 것이다. 식으로 쓰면

$ \sqrt{(dx)^2+(dy)^2} $

그리고 이것을 모으면 되는데,

$ \int \sqrt{(dx)^2+(dy)^2} $

아뿔싸! 적분은 '아주 미소한 어떤 것'을 '모은다'로 정의 되기 때문에, $ \int $과 'd어쩌구'가 세트로 나와야한다.

따라서, 우리는 가장 간단하게 'x에 대해서 모을거야' 라고 정의를 해주기 위해 dx를 원 식에서 뽑아내면

$ \int \sqrt{\left(\frac{dx}{dx}\right)^2+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx $

$ \int \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx $

짜잔, 적분식 완성이다.

심지어 이 식이 매개변수로 나타나는 식이라면, 매개변수를 통한 미분으로도 정의할 수 있다.

여기서는 '미소한 x와 미소한 y를 미소한 매개변수로 나타냈을 때, 얘를 모을께!'니까

$ \int \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt $

로 정의할 수 있겠다.

2-2. 매개변수 표현법

자, 이제 선의 길이를 구할 수있는 '도구'는 찾아내고 정의를 마쳤는데... 정작 이 사이클로이드의 한 점을 어떻게 x와 y로 표현할 수 있을 것인가!?

가장 쉬운 방법은 원이 어떤 각도 t만큼 돌아갔을 때 그 각도에 대해서 x와 y가 정의가 되므로 이를 이용하여 매개변수로 나타낼 수 있겠다!

출처: 나무위키

자, 가장 쉬운 y부터 보자, y는 원이 t만큼 돌아갔을 때(위 그림에서 $ \theta $), 반지름 r에 대해서 $ r - r cos t $만큼 움직인 것을 알 수 있겠는가?(위 그림에서 원이 $ \theta $만큼 돌아갔을 때 $ \overline{CI} - \overline{CK} $가 y의 위치임을 알 수 있다. 이를 $ \overline{CI} = r,\ \overline{CK} = r cos \theta $로 치환하면 바로 식이 나온다)

그럼 x는? 원이 t만큼 돌아갔을 때 원의 중심이 x축으로 이동한 거리는, 그 호의 길이와 같다. 왜냐고? 바닥에 원 둘레를 딱 붙이고 돌아갔을테니까!(위 그림에서 $ \overline{OI} = \overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{\rm PI} $)

그러면 원의 중심은 $ r t $(위 그림에서 $ \overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{\rm PI} = \overline{OI} $)만큼 움직였을 테고, 여기서 x는 $ r sin t $(위 그림에서 $ \overline{PK} $)만큼 원의 중심보다 뒤에 있을 테니 $ r t - r sin t $가 되겠다.

다시 쓰면

$ x = r t - r sin t = r(t-sin t) $
$ y = r - r cos t = r(1-cos t) $

자, 이렇게 x와 y좌표를 나타낼 수 있는 관계식도 찾았다! 그렇다면 이제 바로 선적분 들어가보자

2-3. 매개변수로 표현된 선적분 풀기!

$ dx = r(1-cos t) dt \Leftrightarrow \frac{dx}{dt} = r(1-cos t) $
$ dy = r sin t dt \Leftrightarrow \frac{dy}{dt} = r sin t $

$ \int \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2} dt $
$ \int \sqrt{(r(1-cos t))^2+(r sin t)^2} dt $

근데 t가 0에서부터 $ 2 \pi $ 즉, 한바퀴 굴러갈때 거리를 잴거니까 적분의 위끝, 아래끝은 각각 0과 $ 2\pi $다.

$ \int_{0}^{2\pi} \sqrt{r^2((1-cos t)^2+(sin t)^2)} dt $
$ \int_{0}^{2\pi} r \sqrt{((1-cos t)^2+(sin t)^2)} dt $
$ r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{((1-cos t)^2+(sin t)^2)} dt $

$ r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1-2cos t+(cos t)^2+(sin t)^2} dt $

$ r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1-2cos t+1} dt \leftarrow cos^2 x + sin^2 x = 1 $
$ r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2-2cos t} dt $
$ r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2(1-cos t)} dt $

$ r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2(1-(1-2(sin \frac{t}{2})^2)} dt \leftarrow cos(\frac{t}{2}+\frac{t}{2}) = cos^2 \frac{t}{2} - sin^2 \frac{t}{2} = 1 - 2sin^2 \frac{t}{2} $

$ r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2(2(sin \frac{t}{2})^2)} dt $

$ r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{4(sin \frac{t}{2})^2} dt $

$ r \int_{0}^{2\pi} 2\sqrt{(sin \frac{t}{2})^2} dt $
$ 2r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(sin \frac{t}{2})^2} dt $
$ 2r \int_{0}^{2\pi} sin \frac{t}{2} dt $

$ 2r \left(-2 cos \frac{t}{2}\right]_{0}^{2\pi} $
$ 2r (-2 (-1 - 1)) $
$ 8r $

3. 결론

즉, 사이클로이드의 길이는 반지름의 8배, 지름의 4배 되겠다!

멱급수 전개(Power series expansion)로 피보나치 수열 풀기

미렌스 — Sun, 30 Jun 2024 00:14:12 +0900

멱급수 전개(Power series expansion)으로 피보나치 수열 풀기

결국 피보나치 수열 풀다가 멱급수까지 왔네요...

1. 계차의 등비수열로 풀기

2. 특성방정식으로 풀기

1. 멱급수로 피보나치 수열 풀기?

전 포스팅에서 왜 특성방정식으로 풀 수 있지?하면서 파보다가, 어느 Quora글에서 "멱급수로 풀다보면 자연스럽게 나와~"라는 걸 보고 멱급수로 풀어보았네요. 얼추 비슷한 형태가 나오기는 하지만 엄밀하게 멱급수에서 도출 가능한 생성함수는 특성방정식으로 유도하는 것과는 -부호의 차이가 있습니다. 이를 감안하면 사실상 멱급수에서 도출하는 생성함수가 1.번으로 풀때 사용되는 근과 계수의 관계에서의 변환($ a_{n+2} = x^2 $)에서도 사용되고, 2.번으로 풀때 놓게 되는 $ a_{n} = x^n $과도 연관이 생기니 어떻게보자면 근원을 잘 판 것 같습니다.

멱급수와 생성함수에 대해서 아직 개념이 약간 어색하시다면, 생성함수(Generating Function)란?(feat. 멱급수(power series)) 포스팅을 한번 읽어보시는 걸 추천드립니다!

2. 어떻게 풀건데?

2-1. 일단 멱급수가 뭔데?

멱급수는 영어로 Power series, 혹은 한자로 冪級數라고 쓰입니다.

네이버 지식백과의 설명을 보자면

일반적으로 $ \sum a_ń(x-a)^ń $인 꼴로 나타낼 수 있는 급수를 말한다. 정급수(整級數)라고도 한다. $ a_0, a_1, …, a_ń $이 상수, $ x $가 변수인 다항식 $ a_0+a_1 x+a_2 x^2+…+ a_ń x^ń $을 무한히 연장한 식

$ a_0+a_1 x+a_2 x^2+…+a_ń x^ń+… $

을 말한다. (후략)
[네이버 지식백과] 멱급수 [power series, 冪級數] (두산백과 두피디아, 두산백과)

라네요. 결국 특정 상수와 변수를 무한히 더한 급수를 말합니다.

그리고 이 멱급수는 등비급수의 성질을 띄기 때문에 공비라고 볼 수 있는 x의 값에 따라 수렴/발산이 정해지게 되는데, 이번에 저희는 이 멱급수의 특성을 가지고 상수항을 만들어내는 생성함수를 찾아낼 것이기 때문에 사실상 변수의 상태가 크게 중요하지 않게됩니다. 그래서 저희는 여기서 Formal power series(굳이 한국어로 번역하자면 형식적 멱급수?)를 사용할 것입니다. Formal의 뜻은 말그대로 '형식적'이라는 말로 공비 x의 범위를 따지지 않을 것이야요~ 하는 말입니다.

2-2. 시작은 어떻게 할건데?

자, 일단 처음 식을 놓는 것 부터가 아주 중요할 것 같네요. 천릿길도 한걸음부터!

일단 생성함수를 정의해보죠. 아까 보았던 멱급수를 그대로 대입해 줄 겁니다.

생성함수라고 해서 별거 없습니다. 그냥 '어떤 수를 생성하는 규칙을 가진 함수'라고 보면 됩니다.

Generating function(생성함수)의 이름을 따서 $ g(x) $라고 정의해봅시다!

그리고 피보나치 수열을 멱급수의 상수로 놓아봅시다.(피보나치 수열=$ F_n $, $ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} $)

$ g(x) = \sum\limits_0^\infty F_n x^n $

$ g(x) = F_0 x^0 + F_1 x^1 + F_2 x^2 + F_3 x^3 + ... $

이런 식이 나올겁니다. 시작이 반입니다. 이미 반 했습니다!

여기서 $ x^0 = 1,\ x^1 = x $이고, 피보나치 수열의 특성상 $ F_0 = 1,\ F_1 = 1 $이므로 식을 다시 정리해보면,

$ g(x) = 1 + x + \sum\limits_2^\infty F_n x^n $
$ g(x) = 1 + x + \sum\limits_2^\infty (F_{n-1} + F_{n-2}) x^n\ \ \because F_n = F_{n-1}+F_{n-2} $
$ g(x) = 1 + x + \sum\limits_2^\infty F_{n-1} x^n + \sum\limits_2^\infty F_{n-2} x^n $
$ g(x) = 1 + x + x\sum\limits_2^\infty F_{n-1} x^{n-1} + x^2\sum\limits_2^\infty F_{n-2} x^{n-2} $
$ g(x) = 1 + x + x\sum\limits_1^\infty F_{n} x^{n} + x^2\sum\limits_0^\infty F_{n} x^{n} $

로 정리됩니다. 여기서 $ \sum\limits_0^\infty F_{n} x^{n} $은 정의에 따라 $ g(x) $와 같고,

피보나치 수열의 정의를 따라 $ F_0 x^0 = 1 $ 이므로

$ \sum\limits_0^\infty F_n x^n = \sum\limits_1^\infty F_n x^n +1 $
$ \sum\limits_0^\infty F_n x^n -1 = \sum\limits_1^\infty F_n x^n $
$ g(x)-1 = \sum\limits_1^\infty F_n x^n $

입니다. 따라서 식을 $ g(x) $로 정리하면,

$ g(x) = 1 + x + x\sum\limits_1^\infty F_{n} x^{n} + x^2\sum\limits_0^\infty F_{n} x^{n} $
$ g(x) = 1 + x + x(g(x)-1) + x^2g(x) $
$ g(x) = 1 + x + xg(x)-x + x^2g(x) $
$ g(x) = 1 + xg(x)+ x^2g(x) $
$ g(x) - xg(x) - x^2g(x) = 1 $
$ (1 - x - x^2)g(x) = 1 $
$ g(x) = \frac{1}{1-x-x^2} $

이로써 생성함수식이 나왔습니다. 미지의 x값이 들어가면 어떤 숫자를 내보내 주는 함수입니다. 근데 여기서 어떤 x값이 들어가야 어떤수가 생성이 되는지 알 수 없기 때문에 바로 x의 값을 알아내러 출동하죠!

2-3. x 값 찾으러 출발!

2차 식이니까 x의 값도 2개가 나올 것입니다.

다만, 여기서 재밌는 점은 생성함수의 꼴이 2차 다항함수의 꼴이라는 점 입니다.

결국 분수의 꼴로 나타내어졌지만, 2차 다항함수의 선형결합으로 이루어진 것이 피보나치 수열의 생성함수이고 이를 토대로 특성방정식을 사용할 수 있는게 아닌가 생각이 듭니다.

여튼 각설하고, 다시 x의 해를 구하러 가봅시다!

2차 다항식의 분수꼴은 뭔가 해를 구하기 껄쩍지근하니, 부분분수로 쪼개봅시다.

부분분수로 쪼개려면 분모가 곱셈으로 연결되어있어야하는데, 까짓것 이차 다항식이니까 임의의 해를 놓고 인수분해해버리죠 뭐

$ g(x) = \frac{1}{1-x-x^2} $

$ g(x) = -\left(\frac{1}{x^2+x-1}\right) $

여기서 임의의 해를 $ r_1, r_2 $라 하겠습니다.

그리고 이 식에 근과 계수와의 공식(Vieta's formulas)을 적용하면 $ r_1 r_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1 $이 되고, 여기서 $ r_1 $과 $ r_2 $의 관계식이 도출됩니다. $ r_1=-\frac{1}{r_2} $

자, 그러면 분모를 인수분해하시오

$ g(x) = -\left(\frac{1}{(x-r_1)(x-r_2)}\right) $

부분분수로 짜갤때는 일정한 계수가 짜개진 분수 앞에 하나씩 붙습니다. 이 계수를 $ A, B $라고 하죠.

흔히 아는 부분분수 공식 $ \frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right) $과 완전히 같은 공식이에요. 앞에 붙는 $ \frac{1}{B-A} $를 계수처럼 놓았을 뿐입니다.

$ g(x) = -\left(\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}\right) $
$ -\left(\frac{1}{(x-r_1)(x-r_2)}\right) = -\left(\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}\right) $
$ \frac{1}{(x-r_1)(x-r_2)} = \frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2} $
$ 1 = A(x-r_2)+B(x-r_1) $

이 때, $ x = r_1 $이면,

$ 1 = A(r_1-r_2)+B(r_1-r_1) \Leftrightarrow A = \frac{1}{r_1-r_2} $

또한, $ x = r_2 $이면,

$ 1 = A(r_2-r_2)+B(r_2-r_1) \Leftrightarrow B = \frac{1}{r_2-r_1} $

즉 $ A = -B $임을 알 수 있습니다.

그리고 실제 x를 풀어보자면 이 두 근을 각각 $r_1,\ r_2$로 놓았기 때문에

$ x^2 + x - 1 \Rightarrow a=1,\ b=1,\ c=-1 $

근의 공식에서

$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $
$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4}}{2} \Leftarrow a=1,\ b=1,\ c=-1 $
$ x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\ or\ \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} $
$ r_1 = -\frac{1 - \sqrt{5}}{2},\ r_2= - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $

이며, $ A $ 값도 직접 찾아보자면,

$ A = \frac{1}{r_1-r_2} = \frac{1}{-\frac{1 - \sqrt{5}}{2} - (-\frac{1 + \sqrt{5}}{2})} = \frac{1}{\sqrt5} $

입니다.

본격적으로 수식을 정리하기 전, 미지수와 그 관계들을 모두 찾아보았는데요, 다시한번 정리해보겠습니다.

$ x = r_1\ or\ r_2 $

$ r_1 r_2 = -1 \Leftrightarrow r_1 = -\frac{1}{r_2} \Leftrightarrow r_2 = -\frac{1}{r_2} $

$ A = \frac{1}{r_1-r_2} $

$ A = -B $

$ r_1 = -\frac{1 - \sqrt{5}}{2},\ r_2= - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $

$ A = \frac{1}{\sqrt5} $

자, 본격적으로 식을 풀어봅시다!

2-4. 본격적으로 멱급수 해체!

다시 정리했던 식으로 돌아가 봅시다.

$ g(x) = -\left(\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}\right) $
$ g(x) = -\frac{A}{x-r_1}-\frac{B}{x-r_2} $
$ g(x) = \frac{A}{r_1-x}+\frac{B}{r_2-x} $
$ g(x) = \frac{1}{r_1}\frac{A}{1-\frac{x}{r_1}}+\frac{1}{r_2}\frac{B}{1-\frac{x}{r_2}} $
$ g(x) = \frac{A}{r_1}\frac{1}{1-\frac{x}{r_1}}+\frac{B}{r_2}\frac{1}{1-\frac{x}{r_2}} $
$ g(x) = \frac{A}{r_1}\frac{1}{1+r_2 x}+\frac{B}{r_2}\frac{1}{1+r_1 x} \Leftarrow r_1 = -\frac{1}{r_2},\ r_2 = -\frac{1}{r_2}$

여기서 무한 등비 급수 공식인 $ \sum\limits_0^\infty ar^n = \frac{a}{1-r} $을 적용하면,
$ g(x) = \frac{A}{r_1}\sum\limits_0^\infty(-r_2 x)^n+\frac{B}{r_2}\sum\limits_0^\infty(-r_1 x)^n$
$ g(x) = \frac{A}{r_1}\sum\limits_0^\infty(-r_2 )^n x^n+\frac{B}{r_2}\sum\limits_0^\infty(-r_1 )^n x^n$
$ g(x) = \sum\limits_0^\infty \left(\frac{A}{r_1}(-r_2 )^n+\frac{B}{r_2}(-r_1 )^n\right)x^n$
$ g(x) = \sum\limits_0^\infty \left(A(-r_2)^{n+1}+B(-r_1)^{n+1}\right)x^n \Leftarrow r_1 = -\frac{1}{r_2},\ r_2 = -\frac{1}{r_2} $
$ \sum\limits_0^\infty F_n x^n = \sum\limits_0^\infty \left(A(-r_2)^{n+1}+B(-r_1)^{n+1}\right)x^n $

여기서 양변 무한등비급수를 제거해주면

$ F_n = A(-r_2)^{n+1}+B(-r_1)^{n+1} $

피보나치 수열의 항만 나오게 되었습니다. 그리고 결국 이 식이 피보나치 상수를 만들어내는 생성함수인 격인데요, 결국 특정 상수를 만들어내는 생성함수 = 일반항이겠죠?

본격적으로 수를 대입하기전에 이 식을 좀 더 간단히 만들어보겠습니다.

$ F_n = A(-r_2)^{n+1}-A(-r_1)^{n+1} \because B = -A $
$ F_n = A\left((-r_2)^{n+1}-(-r_1)^{n+1}\right) $

3. 답은?

이제 대망의 실제 값 대입만 남았습니다.

원 식은,

$ F_n = A\left((-r_2)^{n+1}-(-r_1)^{n+1}\right) $

실제 값은,

$ r_1 = -\frac{1 - \sqrt{5}}{2},\ r_2= - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $

$ A = \frac{1}{\sqrt5} $

이었죠? 대입해줍시다.

$ F_n = \frac{1}{\sqrt5} \left(( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} )^{n+1}-( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} )^{n+1}\right) $

짜잔, 피보나치 수열의 일반항이 풀렸습니다.

참고로 여기서는 수열의 첫 항이 1이 아니라 0이므로 일반항에서 지수항이 n이 아니라 n+1인 점을 주목해주세요

진짜 맞는지 직접 값을 대입해봅시다.

$ F_{-1} = \frac{1}{\sqrt5} \left(( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} )^{0}-( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} )^{0}\right) = 0 $ (실제 피보나치 수열에는 없는 부분이지만 1, 1, 2, 3, 5... 식으로 앞의 두 수를 더해서 다음 수가 나오는 것으로 생각해보면 초항 앞은 0임을 생각해 볼 수 있습니다.)

$ F_0 = \frac{1}{\sqrt5} \left(( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} )^{1}-( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} )^{1}\right) = 1 $

$ F_1 = \frac{1}{\sqrt5} \left(( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} )^{2}-( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} )^{2}\right) = \frac{1}{\sqrt5} \left(\frac{1+2\sqrt5+5-(1-2\sqrt5+5)}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt5} \left( \frac{1+2\sqrt5+5-1+2\sqrt5-5}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt5} \left( \frac{4\sqrt5}{4} \right) = 1 $

네 첫 두항은 1, 1 이고, $ F_2 $부터는 3차식이기때문에 계산이 까다롭지만, wolfram alpha를 돌려보면 제대로 2, 3, 5... 나오는 것을 확인할 수 있습니다.

제대로 구했네요!

실제로 이전 포스팅인 점화식에서의 특성방정식에서 도출한 결과와 같습니다!(참고로 특성방정식에서 도출한 초항은 n이 1입니다.)

점화식에서의 특성방정식(characteristic equation)

미렌스 — Thu, 25 Jan 2024 13:28:57 +0900

점화식에서의 특성방정식(characteristic equation)

포스팅 개요

과거 피보나치 수열의 일반항 구하는 포스팅(>>피보나치 수열의 일반항과 비율의 극한(황금비)<<)을 작성하였다.

사실 작성하던 중에는 크게 못느꼈는데, 다른 사람에게 설명을 하던 중 특성방정식을 잠깐 빌려와서 근과 계수와의 관계로 풀어내는 과정에서 '왜 $ a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} \Leftrightarrow x^2 = x + 1 $ 인가?'에 대해서 너무나도 당연하게 받아들였다는 것을 깨닫고 추가로 더 공부해본 결과 이를 '특성방정식'이라고 한다는 것을 알게되고, 이에 포스팅을 작성한다.

점화식에서의 특성방정식(characteristic equation)

점화식을 풀 때 우리는 특성방정식(characteristic equation)을 이용해서 해결을 하게 된다.
(과거 고등학교 수학에서 나왔던 점화식의 해결법(계차의 등비수열로 해결)도 어떻게보면 특성방정식의 활용이다.)

그런데 '왜 특성방정식을 사용해서 점화식을 푸는가?'에 대해서 궁금하진 않은가? 그냥 된다니까 하기에는 조금 껄쩍지근하다.

한줄로 정의해보자면
'점화식 자체로는 뭔가를 찾기 힘드니까 본질이 같은 다른 것으로 바꾸어서 해를 찾자'이다.

여기서 좀 더 자세히 따져보자면
'본질이 같은'은 '같은 선형성을 가지는'이란 의미이고
'다른 것'은 '기저(basis)'를 뜻한다.
(갑자기 대수학에서 벡터공간에서 쓰는 '기저'라는 단어가? 싶기도 하겠지만, 사실 모든 '함수'는 벡터공간 안에서 구현이 가능하다는 점을 보면 이해할 수 있을 것이다.)

진짜 결국 그냥 '쉽게 구할 수 있는 걸로 변형하자!'이거다..

보통은 점화식 뿐만 아니라 미분방정식, 선형대수에 모두 사용가능하기 때문에 '특성방정식'이라고 검색하면 사실 점화식보다는 미분방정식이나 선형대수 관련한 벡터공간 관련 내용 더 나아가 고유값/고유벡터 등이 나오게 된다.(사실 고유값분해를 대충이라도 이해할 수 있다면 특성방정식이 뭐하는 놈인지는 쉽게 이해가 간다)

그러나 일단은 이렇게 복잡한 내용 이전에 여기서는 아주 간단하게 점화식에 대해서만 설명해보기로 한다.

이제부터 이해해야 하는 키워드는

1. 점화식의 구분
*선형성
*선형의 또다른 의미
2. 특성방정식이란
이다.

차례대로 알아보자

1. 선형성(linearity)이란 무엇인가?

선형성을 만족시키기 위해서는 두 가지 조건인 가산성(Additivity)와 동차(제차)성(Homogeneity)을 만족해야한다.

-가산성(Additivity)은 f(a)+f(b)=f(a+b)를 만족하는 함수를 말한다.
다른말로는 중첩의 원리(principle of superposition)라고도 한다.

-동차(제차)성(Homogeneity)이란 f(ax)=af(x)를 만족하는 함수를 동차성이 있다고 한다.(일부 서적의 번역으로는 제차성이라고한다)
쉽게말해 입력이 조정된 비율만큼 동일하게 결과도 조정된 값이 나온다는 것이다.
선형성과 마찬가지로 상수항이 없는 함수에 대하여 성립하며, 상수항(혹은 이에 준하는 상수를 출력하는 함수)이 있는 경우 동차성에 위배된다.

간단하게 선형성과 동차성에 대해 쉽게 알 수 있는 예제가 있다.

y=ax+b는 선형인가?

가산성을 먼저 살펴보자
f(x1)+f(x2)=f(x1+x2)이면 가산성이 있는 함수이다.
a(x1+x2)+2b $ \neq $ a(x1+x2)+b
가산성에 위배된다.

동차성은 어떤지 보자
f(k x1) = kf(x1)
akx1+b $ \neq $ k(ax1+b)
동차성에 위배된다.

결국 y=ax+b는 선형이 아니다.

근데 신기한건 엄밀한 선형이 아닌데도 '선형'이라는 단어를 붙이는 경우가 있다는 것이다.
아니 또 이것은 무엇인가?
선형이 아닌데 선형이라고?

아까 선형성의 정의에서 '가산성'을 보았다. 여기서 파생되어서 덧셈으로 연결되는 함수들을 보고 '함수들이 선형 결합을 한다'라고 말한다.

그리고 이게 줄어들어서 '선형'이 된 것이다.

그래서 다항함수는? 선형 함수이다. 만약 상수항이 없다면 엄밀한 '선형'함수이고, 상수항이 있다면 선형(결합을 한)함수이다.

따라서 특정 계수의 곱을 통한 덧셈으로 정의되는 일반적인 점화식의 경우 선형이다.

그러면 이렇게 선형이라는 말을 막쓰면, '엄밀한 선형'인지 '일반적 선형'인지는 또 어떻게 알 것인가?

그래서 선형이란 말 뒤에 '동차' 혹은 '비동차'라는 말을 써준다.

이렇게 되면 '선형 동차 점화식' 혹은 '선형 비동차 점화식'이라는 말이 생겨날 수 있는데, 결국 이 단어로 구분이 완벽하게 되는 것이다.

선형 동차 점화식: 모든 항이 선형 결합을 한 상태이며, 상수항(혹은 그에 준하는 상수를 출력하는 함수)이 없는 점화식
선형 비동차 점화식: 모든 항이 선형 결합을 한 상태이며, 상수항(혹은 그에 준하는 상수를 출력하는 함수)이 있는 점화식

자 이제 점화식의 종류에 대해서 알아보았다.
사실 '비'자가 붙으면 뭐든 어려워진다. 선형함수보다 비선형함수가 어렵고, 동차보다는 비동차가 어렵다.
현재 이 포스팅은 '쉽게!' 알아보려는게 목적이므로 앞으로는 '선형 동차'에 대해서만 써보려고한다.
이제 '특성방정식'이란게 뭔지 알아보러가자.

2. 특성방정식이란?

선형 동차 점화식은 결국 선형성을 띈다.
그리고 이것은 점화식의 어떠한 해 a, b에 대하여 이 둘에 특정 계수를 곱한 선형결합역시도 점화식을 만족시킨다는 것이다.
결국 어떠한 해를 찾고 이 해에 곱해지는 계수를 찾으면 점화식을 풀어낼 수 있다(일반항을 구할 수 있다)는 것이다.

그럼 일단 이 '어떠한 해'를 찾아야하는데, 이게 그냥 점화식만 뚫어져라 쳐다보면 툭 답이 나오는 것도 아니고.. 참 힘들다.
그래서 이 어떠한 해를 찾기위해 우리는 주어진 점화식을 변형할 것이다.
어떻게?
'같지만 다르게!'
같은 선형결합을 가지지만, 이 점화식을 다른 각도로 볼 수 있는 새로운 '틀'(=기저)을 찾아서 바꿔주면 될 것이다.
결국 이 '틀'은 진짜 오만가지 것이 다 되지만, 제일 간단하며 우리가 무언가를 찾아내기 쉬운 틀은 $ x^n $일 것이다.
(결국 점화식이란건 하나 전의 자신, 그리고 두개 전의 자신을 선형결합한 것이므로, 이 '하나 전, 두개전'에 해당하는 '이동'을 해도 자기자신 그대로인 함수면 점화식을 잘 나타낼 수 있지 않을까? 바로 그런 함수가 바로 $x^n$인 것이다.)
x를 찾아내면 점화식의 어떠한 해를 찾아낸 것이며, 이 어떠한 해에 특정 계수를 곱한 선형결합이 점화식을 만족시킬 것이기 때문이다.
그리고 새로운 틀을 $ x^n $으로 정의했으니, 이 틀을 이용해 만든 변화시킨 점화식에서는(해가 두개라고 가정하면) $ k_1 * x_{1}^n + k_2 * x_{2}^n $이 일반적인 해를 나타낸다고 볼 수 있겠다.
그렇다면 결국 $ a_n $이라는 수열을 새로운 틀 $ x^n $으로 놓게 된 것이다.

좀 더 이해를 쉽게하기위해서 하나의 예시를 가지고 논지를 진행시켜보자

$ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} $

라는 점화식이 있다고하자(상수항이 없는 이유는? 우리는 현재 선형 동차 점화식에 대해서 보고있다.)
이 점화식에서는 차수(order)가 2이다.
갑자기 뜬금없이 차수? 선형 동차 점화식이 몇개의 항으로 연결되었는가를 나타내는 것으로, 선형적인 다항함수의 차수와 그 의미가 같다.

이를 새로운 틀 $ x^n $으로 치환하면
$ x^n = x^{n-1} + x^{n-2} $
차수로 n을 제한하면(n의 최대값은 차수가 된다)
$ x^2 = x + 1 $ 이 된다.
(위에서도 논의했듯이 항이 두개로 연결된 점화식은 두개의 해를 가지며, 두개의 해를 가지기 위해서는 다항함수의 차수=수열의 항수 이다)

자, 여기까지의 논지가 바로 이전 포스팅(피보나치 수열의 일반항 구하기)에서 근과 계수와의 관계를 사용하기 위해 살짝 빌려왔던 개념되겠다. 모르고 그냥 받아들여도 크게 문제없지만 알면 더 신기한 그런거다.

각설하고, 더 논지를 진행시켜보자.

$ x^2 - x -1 = 0 $의 형태로 바꾸어 방정식을 만들어주고

여기서 해를 구하면
$ x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \mathrm{ or } \frac{1-\sqrt{5}}{2} $
이 나오며

이 두개의 해의 특정 상수배씩의 선형결합이 이 점화식의 일반항이 된다. (더 나아가서, 같은 말로 '특정한 벡터'를 고유값(eigen value, 아이젠 밸류)과 고유벡터(eigen vector, 아이젠 벡터)로 분해하였을 때, 두개의 고유벡터에 특정 상수배(고유값)씩의 선형결합이 '특정한 벡터'가 된다는 것과 동일하다.)

$ a_n = k_1 * x_{1}^n + k_2 * x_{2}^n $

이때 특정 상수배($ k_1, k_2 $)를 구하는 방법은, 초기 조건을 가지고 구하면 된다.

결국 $ a_0 = 0 $, $ a_1 = 1 $ 을 이용하면

$ a_0 = 0 = k_1 + k_2 $
$ a_1 = 1 = k_1 * (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^1 + k_2 * (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^1 $

$ k_1 = \frac{1}{\sqrt{5}} $, $k_2 = -\frac{1}{\sqrt{5}} $

따라서 이 점화식의 일반항은

$ a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} * (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - \frac{1}{\sqrt{5}} * (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n $

어디서 많이 본 일반항 아닌가?

맞다. 피보나치 수열의 일반항이다.

전 포스팅에서는 특성방정식을 그대로 이용하지 않고, 특성방정식의 아주 일부분만 잠깐 빌려다가 쓰고(특성 방정식에서 '틀'을 바꿔 수열을 잠깐 다항함수의 방정식 형태로 바꾼 뒤 근과 계수와의 공식으로 수열의 계수를 바꾼 정도) 계차의 공비를 구하는 식으로 점화식을 풀어내었다.

솔직히 전 포스팅에서는 이정도로 자세하게 특성방정식의 개념과 그 활용을 사용하지 않았기에 '일단 받아들여보세요~'하고 진행하였지만(사실 그 부분만 참고 넘어가면 이후에 유도하는데는 전혀 문제가 없다) 이후 좀 더 자세한 설명이 필요해보이기에 추가 포스팅한다.

안드로이드 갤럭시(galaxy) 예약 문자 확인 방법

미렌스 — Wed, 19 Apr 2023 07:46:08 +0900

안드로이드 갤럭시(galaxy) 예약 문자 확인 방법

안녕하세요!

안드로이드 갤럭시 문자는 예약 문자라는 아주 편리한 기능이 있죠!

그런데, 이게 원래 아는 사람한테 보낼때는 과거 문자 내역에서 예약으로 뜨는 걸 볼 수 있지만, 아예 생판 처음 보내는 사람한테는 예약 문자를 걸면 이게 갑자기 사라져버리는 상황이 연출됩니다!

완전히 완벽하게 보내서 확인이나 수정이 필요 없을때는 문제가 없지만, 수정이 필요하거나 다시 한 번 확인이 필요한 경우에는 갑자기 답답해지죠!

그러면 이거는 다시 확인할 수 없나!? 하면 할 수 있습니다!!

그럼 한번 알아볼까요?

1) 자 일단 "메시지" 앱으로 들어갑니다.

2) 오른쪽 제일 위에 돋보기 모양이 있습니다. 돋보기 모양을 눌러줍니다.

3) 검색창이 열립니다. 여기서 아까 예약문자를 걸었던 내용을 검색해줍니다. 가령 "좀 있다 10시에 봐~"라는 문자를 예약을 걸었으면 "10시"만 입력해도 됩니다!

4) 입력과 동시에 검색을 시작하죠! 혹~시 안뜬다면 "자판에서" 돋보기 모양을 한번 더 클릭해주세요. 아래쪽에 검색결과가 나타나는데 여기서 예약 문자도 나타납니다.

5) 예약문자를 누르면 대화창이 생성되며 예약문자가 뜹니다! 예약문자는 문자 옆에 시계표시가 있어요! 여기서 확인하고, 수정 및 삭제가 가능합니다!(문자 자체를 길게 누르면 문자의 수정이 가능하며, 시계를 누르면 예약 메시지 "지금보내기", "삭제", "편집"이 가능합니다!)

자! 엄청쉽죠!? 근데 이거 모르면 당황합니다! 인터넷에서 아무리 찾아도 안나와서 제가 직접 찾아낸 꿀!팁! 입니다!

여러분에게 도움이 되기를 간절히 바랍니다!

저는 이만 물러갑니다!

좋은하루 되세요!

[Arduino/아두이노] 3색 LED 켜기!

미렌스 — Sat, 8 Apr 2023 08:57:50 +0900

[Arduino/아두이노] 3색 LED 켜기!

안녕하세요! 여러분!

오랜만에 다시 아두이노 포스팅으로 돌아왔습니다!

저번시간까지 아두이노를 컴퓨터와 연결하고, 예제 프로젝트를 실행해보고(블링크(Blink)), 외부라이브러리까지 추가해보았는데요!

오늘은 대망의 아두이노 외에 다른 '부품'(혹은 '소자' 라고도 하죠?)을 써보는 프로젝트를 해보도록 하겠습니다! 와~

대망의 첫 부품은 아주아주 간단한 3색 LED입니다!

그냥 LED도 아니고, 왜 3색이냐구요..?

어차피 그냥 LED와 3색 LED가 큰 차이가 없기 때문입니다. 그냥 R/G/B, 레드/그린/블루 LED 3개를 쓰나, 3색 LED 하나를 쓰나!

그럼 이제 아주 간단한 3색 LED를 만들어 보기 위해 차근차근 알아가 보도록 하겠습니다!

항상 이제부터는 아두이노와 물리적인 부품들을 연결할 것이기 때문에, 부품의 스펙을 알아보고 아두이노와 어떻게 연결(배선)할지를 알아본 뒤, 코딩을 통하여 프로젝트를 완성할 것입니다.

그럼 일단 3색 LED 부품의 스펙을 먼저 알아보고 가겠습니다!

1. 3색 LED 스펙-

제가 사용하는 3색 LED 부품은 HW-479이지만, 다른 부품을 사용해도 상관이 없는게, 이 3색 LED는 무조건 4개의 핀으로 이루어져 있으며, 하나는 -로 표기되어있는 GND, 나머지 세 핀이 각 각 R, G, B를 입력받는 핀입니다.

각각, 앞면과 뒷면 이미지인데요! 각 핀이 어떤건지 너무 잘 나와있죠? 여기서 우리는 -에 아두이노 GND를, RGB에 각각 해당하는 핀을 연결할 겁니다!

그리고 오늘은 대망의 첫 부품을 가지고 진행하는 프로젝트인 만큼, 아두이노와 부품의 연결에 제일 중요한 두가지를 알아보려고 합니다.

바로 케이블(선)과 브레드보드(빵판) 입니다.

1. 케이블

케이블은 말 그대로 부품과 아두이노를 연결는 선 입니다.!

아두이노는 좋은 점이 '점퍼 케이블'이라고하는, 케이블 양 끝에 점퍼가 있는 케이블로 쉽게 연결을 할 수 있다는 점입니다.

따로 납땜을 하지 않아도 된다는 것이지요.

케이블에는 두가지 종류가 있습니다.

F-M(암-수) 케이블, 그리고 M-M(수-수) 케이블입니다.

F-M 케이블

M-M 케이블

2. 브레드보드(빵판)

브레드보드의 경우 크기는 매우 다양할 수 있습니다. 보통이 30 홀(hole)짜리 브레드보드를 쓰게되구요, 그거보다 작은 브레드보드도 있고, 저처럼 60 홀 짜리도 있고, 이보다 더 큰 것도 있습니다. 여기는 구멍이 나있어서 부품을 막 꽂을 수 있도록 되어있는데 여기서도 규칙이 있습니다.

자 위의 그림처럼, ABCDE끼리는 세로로 서로 연결되어있습니다.(가로로는 서로 끊어져 있습니다)[빨간선]

FGHIJ끼리도 세로로 연결되어있습니다.(가로로는 서로 끊어져 있습니다)[빨간선]

ABCDE와 FGHIJ는 끊어져있습니다.

제일 위에는 전원 선입니다. GND(-)[파란색] 라인과 전원(+)[빨간색] 라인이죠.

전원 선의 경우 가로로 쭉 이어져 있습니다. 당연히 +와 -간은 서로 끊어져 있구요.[주황선]

60홀의 경우 30홀을 기준으로 좌우가 끊어져있습니다.

지금은 개념이 어렵더라도 한번 읽고 머리에 기억해두면 이후에 소자를 연결하거나 할때 '왜 이렇게 꽂는지'에 대해서 이해하기 쉬워지니 그냥 가볍게 읽고 넘어가 봅시다! 간단하게 말하자면 저런 규칙이 있어서 브레드 보드를 쓸 수 있습니다.

참고로 브레드보드의 어원은 말 그대로 초기 비전문가들이 빵(브레드) 자르는 판(보드)에다가 회로를 구성했기에 브레드보드로 이름 붙었다네요! 빵판이라고도하죠!

* 그리고 여기서 아두이노와 부품을 연결하는 방식 두가지!

하나는 F-M케이블(암-수케이블)로 아두이노와 직접 연결!

또하나는 M-M케이블(수-수케이블)로 빵판(브레드보드)를 이용하여 연결!

이렇게 두가지 방법이 있습니다.

현재 3색 LED에는 내부적으로 내장 저항이 있어서 아두이노와 직접 F-M케이블로 연결해도 되지만, 보통 소자들은 내부적으로 저항이 없기 때문에, 브레드보드(빵판)에 부품을 꽂고, 저항을 꽂고, 거기에 M-M케이블로 연결하는 것이 보통입니다.

그렇기에 오늘은 브레드보드를 이용하여 아두이노와 소자를 케이블로 연결해보겠습니다.

2. 아두이노와 연결(배선)

배선 첫 시간이니 배선에 대해서 말씀드리자면, 가능한한 색을 다르게 써서 보기 편하게, 헛갈리지 않게 하는것이 중요합니다!

우선 전원 선(+선)은 빨간색, 접지 선(-선, GND선)은 까만색이 기본이고, 그 외에는 구분이 잘 가고 직관적인 색이면 됩니다!

오늘 저희는 전원 선이 따로 없기 때문에 RGB에 각각 빨간색, 초록색, 파란색 선을 쓸 것이고 GND에 검은색 선을 쓸 것입니다.

3색 LED이기 때문에 각 R, G, B에 입력신호를 줄 pin이 하나씩 있어야 겠죠? 그러니 일단 선 세개를 쓸 것이구요, 입력할때 전기를 넣어 줬으면 이 전기가 빠져나갈 곳이 있어야 하니 GND pin도 하나 있어야 하겠습니다. 결국 3색 LED는 선 4개로 아두이노와 연결하여 쓸 수 있습니다.

한번 부품도로 그려보면

이와 같이 되겠습니다. 별건 아니고요, 이 그림에서는 3색 LED 핀 순서가 R - B G 이기때문에 이런 식의 배선이 되었습니다만, 실제 부품에서는 부품 핀 순서가 - R G B 순서이므로 이렇게 꽂아주시면 됩니다.

아두이노에 연결할때는 아두이노 우노 기준으로 9번핀에 R, 10번핀에 B, 11번핀에 G를 할당해 주었고, GND(-)는 아두이노 GND핀에 바로 연결하였습니다.

실제로 부품을 꽂아봅시다!

'기기나 기판에 장치나 부품 따위를 실제로 사용할 수 있도록 설치'하는 것을 '실장하다'라고 하는데요, 실제로 부품을 실장해보면 위의 이미지와 같을 것입니다.

R, G, B, - 3색 LED 핀에 각각 9, 10, 11, GND를 연결해 주었습니다. 이로써 아두이노와 부품간 배선이 끝났습니다!

3. 코딩

저는 개인적으로 이 영역을 가장 좋아합니다. 이미 연결된 상태에서 코딩으로 이 부품을 자유자재로 다룰 수 있기 때문이죠!

자 일단 기본적인 세팅을 해 봅시다!

이전까지 저희가 열심히 설치했던 아두이노 IDE를 켜주세요!

처음 켜면

이렇게 setup 구간(함수)와 loop 구간(함수)로 구성되어 있는 것을 볼 수 있습니다.

아두이노의 가장 핵심적인 부분인데요, 아두이노는 처음 프로그램이 실행되면서 setup 함수에 있는 내용을 한번 쭉 실행한 뒤에 그뒤로는 loop 함수만 반복적으로 실행합니다. 즉, setup에는 말 그대로 이 프로그램에 대한 초기 셋팅들을 해주고 loop에서 아두이노가 계속적으로 처리할 내용을 적어주는거죠!

결국 아두이노는 setup -> loop -> loop -> loop ... 이렇게 실행하게 됩니다.

그럼 먼저 setup 영역부터 코딩해볼까요?

일단 아두이노는 각 핀에 대해서 정의를 내려줘야합니다.

'이 핀은 내가 전원을 내보낼 핀이야', '이 핀은 내가 전원을 읽을 핀이야' 이런식으로요!

이 정의를 해주는 함수는 pinMode()입니다. 이 함수는 값이 두개가 필요합니다. 핀 넘버와 핀 모드죠.

핀 넘버는 말그대로 저희가 사용할 pin입니다. 아두이노에 숫자로 써져있는거죠. 오늘 저희가 사용할 핀은 9, 10, 11번 핀입니다.

핀 모드는 내가 출력할거면 OUTPUT, 내가 읽을거면 INPUT을 쓰면 됩니다.

자, 이제 바로 코딩해보도록하겠습니다. 전원선과 GND선은 따로 핀모드 설정이 필요없기 때문에 RGB에 대응하는 9,10,11번 핀만 핀모드를 설정하겠습니다.

void setup(){
  pinMode(9, OUTPUT);
  pinMode(10, OUTPUT);
  pinMode(11, OUTPUT);
}

자, 그럼 이제 loop함수로 가볼까요!

가장간단하게 1초동안 빨간 불을 켜고, 바로 다음 1초동안 초록 불을 켜고, 바로 다음 1초동안 파란불을 켜보도록하겠습니다.

void loop(){
  digitalWrite(11, LOW);
  digitalWrite(9, HIGH);
  delay(1000);
  digitalWrite(9, LOW);
  digitalWrite(10, HIGH);
  delay(1000);
  digitalWrite(10, LOW);
  digitalWrite(11, HIGH);
  delay(1000);
}

여기서 digitalWrite는 0, 1 즉 켜고 끄는 걸로 해당 핀에 신호를 주겠다는 명령어이구요, delay는 ms단위로 쉬겠다는 의미입니다!

결국 완성된 코드는 다음과 같습니다!

void setup(){
  pinMode(9, OUTPUT);
  pinMode(10, OUTPUT);
  pinMode(11, OUTPUT);
}

void loop(){
  digitalWrite(11, LOW);
  digitalWrite(9, HIGH);
  delay(1000);
  digitalWrite(9, LOW);
  digitalWrite(10, HIGH);
  delay(1000);
  digitalWrite(10, LOW);
  digitalWrite(11, HIGH);
  delay(1000);
}

4. 결과

자, 그럼 배선과 코딩한 것을 바탕으로 결과를 한번 볼까요!?

자, 잘 돌아가는 것을 확인했습니다!

지금 현 상황에서 배선도 완료되어있고, 작동도 제대로 되고 있는 것을 확인했으니, 이제 코딩으로 다양한 활용이 가능해집니다!

더욱 자세한건 다음번에 알아보아요!

아참, 우리가 지금 한 것은 켜고 끄기만 하는 digitalWrite였는데요, 여기서 analogWrite는 0~255사이의 값을 PWM 방식으로 차등적으로 적용할 수 있습니다. 즉, '강도 조절'이 가능해진다는 말인데요!

이를 바탕으로 각 불이 점점 밝게 들어왔다가 꺼지는 것도 가능하답니다!

힌트는 여기까지! 다음번에 또 보아요~

[Arduino/아두이노] delay함수 없이 LED 깜빡이기

미렌스 — Wed, 5 Apr 2023 09:41:59 +0900

delay함수 없이 LED 깜빡이기

가끔씩 우리는 아두이노에서 병렬처리(한번에 두 가지 이상의 작업을 동시에 수행하는 것)가 필요할 때가 있습니다.
아두이노의 loop는 사실상 ms단위로 작동하기 때문에 구문을 나열해도 거의 동시에 처리되는 것처럼 보이긴 합니다.
그렇기에 평상시에는 크게 병렬처리에 대해서 생각할 필요가 없는데요.
그러나 LED핀을 깜빡이는데 가장 간편하게 사용하는 delay()함수가 들어가게 되면, 여기서부터 골치가 아파집니다.
왜냐하면 delay()함수를 사용하게 되면 아두이노가 프로그램을 일시 중지되기 때문이죠.
따라서 delay()함수가 작동하게 되면 지정한 시간만큼 프로그램이 일시 중지되고, 그 사이에는 다른 구문을 작동할 수가 없습니다.
예를들어 delay()함수 작동 중 버튼 눌림 체크가 불가능 하다거나, 다른 명령어 작동이 불가능하죠.

오늘 올릴 포스팅은 delay()함수를 사용하지 않고 LED를 깜박이는 방법에 대해 작성할 겁니다.

간단하게 개요부터 말씀드리자면,
1) delay()를 사용하지 않고
2) LED를 켜고(끄고) 시간(ms 단위)을 기록하고(millis() 함수)
3) 이 시간이 원하는 시간이 지났는지 확인하고
4) 시간이 지났으면 LED를 끕(켭)니다.

이렇게되면, delay()로 아두이노를 일시중지 시키지 않고 loop()함수가 살아서 계속 반복적인 작업이 이루어지므로 LED가 깜빡거리는 동안 다른 작업이 가능해집니다.

쉬운 예시로 전자레인지에 피자데우기를 들 수 있습니다.
자, 전자레인지에 피자를 넣고 전자레인지를 작동시킵니다.
여기서
1) delay()함수로 10초간 기다리라고 하는 말의 의미는 전자레인지 앞에서 10초가 다 지나가기를 가만히 기다리라는 의미입니다. 결국 그동안에 다른 일은 못하죠!
2) 그러나 우리가 만약에 두가지 일을 하고 싶다면 어떻게 하나요? 전자레인지에는 시간 카운터가 달려있기에 전자레인지를 돌리고 짧은시간 다른 용무를 보고와서 전자레인지 시계를 확인하고, 10초가 지났는지 확인하고, 만약 10초가 지났으면 꺼내서 먹으면 됩니다!

1. 배선

우리는 아주 간단하게 실험해 볼 것이므로 내장된 Blink예제를 사용해보도록하죠!(즉, 따로 배선이 필요 없습니다)
Blink예제는 >>링크<< 포스팅에서 다루었습니다. 링크의 포스팅을 따라 블링크 예제를 불러와봅시다!

2. 코딩

블링크 예제의 코드는 아래와 같습니다.(상단의 주석부분은 제거하였습니다.)

// 보드의 파워나 리셋 버튼을 눌렀을 때 이 setup 함수는 한번만 작동합니다.
void setup() {
  // digital pin인 LED_BUILTIN을 output으로 초기화 합니다.
  pinMode(LED_BUILTIN, OUTPUT);
}

// 이 loop 함수는 계속 계속 영원히 반복하여 작동합니다.
void loop() {
  digitalWrite(LED_BUILTIN, HIGH);  // LED 켜기 (HIGH는 전압 레벨)
  delay(1000);                      // 1초간 기다리기
  digitalWrite(LED_BUILTIN, LOW);   // 전압을 LOW로 설정하여 LED 끄기
  delay(1000);                      // 1초간 기다리기
}

자, 여기서 delay(1000) 즉, 1초간 아무것도 안하고 아두이노한테 기다리라고 하는 부분을 바꿔봅시다!

위의 예시에서 전자레인지의 시간만 중간중간 확인 가능하다면, 굳이 전자레인지 앞에서 지켜보고 있을 필요가 없다고했죠?
그러니 시간을 확인할 수 있는 함수를 알아봅시다!

millis()라고 하는 함수는 아두이노가 실행된 시점부터 내부적으로 카운팅하고 있는 밀리초의 시간을 반환하는 함수입니다.
즉, 이 millis()를 쓰면 중간중간 시간확인이 가능하다는 말이죠!

프로그램의 골자를 생각해봅시다.
1) 전자레인지를 돌리고 시간을 본다 => LED를 켜고 millis()로 시간을 확인한다(변수에 저장한다)
2) 시간을 확인한다 => 현재 시간이 처음 LED를 켠 시간에 비해 얼마나 지났는지 확인한다(현재시간 - LED 켠 시간)
3) 정해진 시간이 지났으면 피자를 꺼내먹는다 => [(현재시간 - LED 켠 시간) > 정해진 시간]이면 LED를 끈다

간단하죠? loop함수 내부 로직을 아래와 같이 짜봅시다.

// 1)
unsigned long startMillis;

digitalWrite(LED_BUILTIN, HIGH);
startMillis = millis();
// 2)&3)
if(millis()-startMillis >= 1000){
  startMillis = millis();
  digitalWrite(LED_BUILTIN, LOW);
}

자, 모든 조건을 만족하게 프로그래밍을 이렇게 하면... 작동하지 않습니다!
왤까요?
loop함수는 아두이노가 작동하는한 끊임없이 반복된다고 했습니다.
그런데 이 loop함수 내부에서 시작한 시간을 변수에 저장시키면, 매 loop함수가 작동할 때마다 변수에 새로운 값이 저장되기에 정확히 시작한 시간을 알 수 없죠!
그러면 대안은? 가장간단한건 loop함수 밖에서 시작시간을 설정해주거나, loop내에서도 일정한 조건일 때만 변수에 값을 넣어주는 겁니다.
게다가 loop함수 내부에서 digitalWrite(LED_BUILTIN, HIGH) 구문이 있기때문에 사실 LED_BUILTIN은 계속 켜져있을 겁니다.
일단은 가장 간단하게 갑시다! loop함수 밖에서 시작시간과 LED 켜기를 설정해줍시다.

unsigned long startMillis = millis(); // 전역변수는 함수 밖에 있어야 합니다.

void setup() {
  // digital pin인 LED_BUILTIN을 output으로 초기화 합니다.
  pinMode(LED_BUILTIN, OUTPUT);
  // 1)
  digitalWrite(LED_BUILTIN, HIGH);
}

// 이 loop 함수는 계속 계속 영원히 반복하여 작동합니다.
void loop() {
  if(millis()-startMillis >= 1000){
    startMillis = millis();
    digitalWrite(LED_BUILTIN, LOW);
  }
}

자, 이러면 작동합니다!
그러나 딱 한번만 작동합니다!
왤까요?
말그대로
1] 시작하면서 LED켜고 시간측정해!
2] 타이머가 1초가 지나가면 꺼!
끝이기 때문이죠. 1초가 지나면 꺼진상태가 그대로 유지됩니다.
그러면 어떻게 이 친구를 깜빡거리게(토글) 할 수 있을까요?
가장 간단한건 '1초일땐 꺼, 2초일땐 켜, 3초일땐 꺼...'지만, 이러면 모든 시간을 다 기록해줘야하죠..?
조금 더 머리를 써 봅시다.
지금 현재 LED 상태를 기억했다가 1초가 됐을 때 현재 LED상태를 보고 반대상태로 만들어주면 매 초마다 코딩을 하지 않아도 되지 않을까요!?
바로 실험해봅시다!

// 전역변수는 함수 밖에 있어야 합니다.
bool ledState; // led상태를 알 수 있는 변수를 하나 만듭니다. bool은 int와 다르게 참/거짓의 딱 두가지 값만 가질 수 있습니다. 우리는 결국 led가 켜졌냐/꺼졌냐 만 사용할 것이므로 bool을 사용합니다.
unsigned long startMillis = millis(); // 그리고 led 상태를 기록한 시간을 기록합시다.

void setup() {
  // digital pin인 LED_BUILTIN을 output으로 초기화 합니다.
  pinMode(LED_BUILTIN, OUTPUT);
  // 1)
  ledState = HIGH; // 그리고 바로 led를 켜지 말고, '상태'를 입력해주죠. 현재 led는 '켜짐상태'입니다.
}

// 이 loop 함수는 계속 계속 영원히 반복하여 작동합니다.
void loop() {
  if(millis()-startMillis >= 1000){ // led상태를 기록한 시간(startMillis)와 현재 시간(millis())를 비교해서 1초(1000ms)가 지났는지 판단합니다. 지났으면 if문 안으로! 만약 1초가 지나지 않았으면 이 if문은 통과합니다!
    if(ledState == HIGH){ // 현재 led상태를 확인합니다. 현재 led가 '켜짐상태'이면 '꺼짐상태'로, '꺼짐상태'이면 '켜짐상태'로 바꿔줄 겁니다.
      ledState = LOW; // 현재 led 상태가 '켜짐상태'였기에 '꺼짐상태'로 바꿔줍니다.
    }
    else{ // 아니면! 즉, 현재 led상태가 '꺼짐상태' 면
      ledState = HIGH; // 현재 led 상태를 '켜짐상태'로 바꿔줍니다.
    }
    startMillis = millis(); // 그리고 상태를 바꿔줬으니 바로 상태를 기록한 시간을 다시 기록합니다.
  }

  digitalWrite(LED_BUILTIN, ledState); // 마지막으로 '상태'를 LED에 진짜로 반영해줍니다!
}

자, 이 구문은 제대로 잘 작동합니다! 1초마다 LED_BUILTIN이 켜졌다 꺼졌다 하는군요!
전체적으로 작동로직을 한번 살펴볼까요?
처음 시작하면 setup함수 내부에서 LED를 '켜짐상태'로 설정하고, 그 시간을 기록합니다.
그리고 loop함수로 넘어오죠.
loop함수에서는 시작한시간과 현재시간을 비교하는데, 시작하고 1초도 지나지 않았습니다.
따라서 첫 if문은 바로 통과!
그 이후 loop함수 마지막에 digitalWrite로 LED_BUILTIN에 실제적으로 '상태'를 반영해줍니다.
결국 LED는 켜지고, 1초뒤에 첫번째 if문 안으로 들어갑니다.
첫번째 if문 안에서 현재 led상태가 HIGH이므로 두번째 if문으로 들어가 ledState를 LOW로 바꿔주고, 상태를 바꾼 시간을 다시 기록하고 if문을 빠져나와 digitalWrite로 LED_BUILTIN에 실제적으로 '상태'를 반영해줍니다.
그리고 이 반복이죠!

3. 더 나아가기

사실 위의 프로그램(스케치)은 loop함수 작동시마다 계속 digitalWrite를 부릅니다. 즉, 1초마다 한번씩만 바꿔주면 되는걸, 1초가 되기 전에 계속 '켜 켜 켜 켜 켜 켜 켜 켜'하고 반복신호를 주는거죠.(그리고 사실 이게 병렬처리가 되는 이유기도 합니다. 시간 체크하는 동안 계속해서 신호를 주는거죠.)
1초마다 신호를 주고, 더 짧은 코드를 공개합니다.
이번엔 주석을 지울테니 보고 더 생각해보세요!

bool ledState = LOW;
unsigned long startMillis = millis();

void setup() {
  pinMode(LED_BUILTIN, OUTPUT);
}

void loop() {
  if(millis()-startMillis >= 1000){
    digitalWrite(LED_BUILTIN, ledState=!ledState);
    startMillis = millis();
  }
}

[Arduino/아두이노] 함수설명: delay()

미렌스 — Mon, 6 Mar 2023 07:45:01 +0900

함수설명: delay()

설명:

매개변수로 지정된 시간(밀리초(millisecond, ms)) 동안 프로그램을 일시 중지합니다. (1초(s)는 1000밀리초(ms)입니다.)

문법(syntax):

delay(ms)

매개변수(parameters):

ms: 일시 중지할 시간(밀리초)입니다. 허용되는 데이터 유형: unsigned long(부호없는 정수).

리턴값(returns):

없음

예제 코드:

이 코드는 출력 핀을 토글하기 전에 프로그램을 1초 동안 일시 정지합니다.

int ledPin = 13; // 디지털 핀 13에 연결된 LED

void setup() {
  pinMode(ledPin, OUTPUT); // 디지털 핀을 출력으로 설정합니다.
}

void loop() {
  digitalWrite(ledPin, HIGH); // LED를 켭니다.
  delay(1000); // 1초간 기다립니다.
  digitalWrite(ledPin, LOW); // LED를 끕니다.
  delay(1000); // 1초간 기다립니다.
}

참고:

delay() 함수로 깜박이는 LED를 쉽게 만들 수 있고 많은 스케치에서 스위치 디바운싱과 같은 작업에 짧은 지연을 사용하지만, 스케치에서 delay()을 사용하면 상당한 단점이 있습니다. delay 함수 작동 중에는 센서 판독, 수학적 계산 또는 핀 조작을 계속할 수 없으므로 사실상 대부분의 다른 활동이 중단됩니다. 타이밍 제어에 대한 다른 접근 방식은 충분한 시간이 경과할 때까지 millis() 함수를 폴링하여 반복하는 >>delay함수 없이 LED 깜빡이기<<를 참조하십시오. 일반적으로 Arduino 스케치가 매우 간단하지 않는 한 10밀리초 이상의 이벤트 타이밍에 delay()함수를 사용하지 않습니다.

그러나 delay() 함수가 인터럽트를 비활성화하지 않기 때문에 delay() 함수가 Atmega 칩을 제어하는 동안에도 특정 작업이 계속 진행됩니다. RX 핀에 나타나는 직렬 통신이 기록되고, PWM(아날로그 쓰기) 값과 핀 상태가 유지되며, 인터럽트가 정상적으로 작동합니다.

Order	\(\sin t\)	\(\cos t\)	\(e^{it}\)
0	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 1 \)
1	\( t \)	\( 1 \)	\( 1 + it \)
2	\( t \)	\( 1 - \frac{t^2}{2!} \)	\( 1 - \frac{t^2}{2!} + it \)
3	\( t - \frac{t^3}{3!} \)	\( 1 - \frac{t^2}{2!} \)	\( 1 - \frac{t^2}{2!} + i\left(t - \frac{t^3}{3!}\right) \)
4	\( t - \frac{t^3}{3!} \)	\( 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} \)	\( 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} + i\left(t - \frac{t^3}{3!}\right) \)
5	\( t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} \)	\( 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} \)	\( 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} + i\left(t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!}\right) \)
\( \vdots \)	\( \vdots \)	\( \vdots \)	\( \vdots \)