이항정리를 이항급수로 확장하기

이항정리를 이항급수로 확장하기

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📘 카탈란 수열 시리즈

• 🌱 카탈란(Catalan) 수열 - 카탈란 수열이란게 뭔데?
• 🔢 카탈란 수열의 일반항 구하기: 조합으로 구하기
• 🧮 카탈란 수열의 점화식 구하기
• 📐 카탈란수의 응용: n+2각형에서 삼각형으로 분할하기
• 🧪 카탈란 수열의 일반항을 생성함수로 구해보자 (1)
• 🧰 이항정리를 이항급수로 확장하기
• 🔍 카탈란 수열의 일반항을 생성함수로 구해보자 (2)
• 🔄 라그랑주 역함수 정리 (Lagrange Inversion Theorem)
• 🧠 번외: 카탈란 수를 선형대수로 풀 수 있다고?

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1. 이항정리가 뭐야?

이항정리는 중학교 때부터 자연스럽게 접하지만, 제대로 들여다보면 조합, 대수, 함수 등 다양한 수학 영역이 얽혀있는 흥미로운 정리입니다. 간단히 말해서, 어떤 두 항 a와 b의 합을 거듭제곱했을 때, 그 결과를 전개하는 방법을 알려주는 식입니다.

일단 $ (a + b)^2 = (a + b)(a + b) $를 예시로 보면, 2개의 a와 2개의 b중 2개를 고르는 경우의 수라고 볼 수도 있는데요(두개의 괄호에서 각각 a를 (혹은 b를) 고르는 경우의 수죠)

두개의 괄호 모두에서 a를 0개 고르는 경우 b는 무조건 2개 고르는 한가지 경우만 생기고

두개의 괄호 중 한 괄호에서 a를 1개 고르고 다른 괄호에서는 b를 1개 고르는 두가지 경우(ab, ba)가 생기고

두개의 괄호 중 a를 2개 고르는 경우 b는 무조건 0개 고르는 한가지 경우가 생겨서

1, 2, 1이 되죠! 여기서 보면 '두 개 중 0개', '두 개 중 1개', '두 개 중 2개'니까, 각각 $ {_2 C_0}, {_2 C_1}, {_2 C_2} $로 볼 수 있겠네요

그리고 여기서 2는 일반 식에서 n이 되므로 결국 경우의 수는 $ {_n C_0}, ... , {_n C_n} $ 요렇게 되겠군요.

그럼 이 값들은 뭘 뜻하냐고 하냐면, 전개식에서의 계수가 됩니다.

그리고 마찬가지로, 이 경우의 수를 나오게 한 항을 뒤에 붙여서 써주게 되면

$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {_n C_k} a^ka^{n-k} $가 되고,

이를 한번 더 정리해보면 다음과 같이 될 것입니다.

$ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $

(a와 b는 둘 위치가 바뀌어도 상관이 없기 때문에 일부러 위에서와 아래서 지수를 바꿔 써 봤습니다)

여기서 \( \binom{n}{k} \)는 조합(combination) 기호이며, "n개 중 k개를 고르는 경우의 수"를 의미합니다.

이 식이 얼마나 강력하냐면, 단순한 항의 전개뿐 아니라, 파스칼 삼각형, 조합의 성질, 다항식 계수 계산 등에도 응용됩니다. 하지만 이 식은 지금은 정수 \(n\)에 대해서만 정의되어 있죠. 그렇다면 이것을 실수나 더 일반적인 수로 확장할 수 있을까요?

 

2. 이항정리를 좀 더 정리해보자

우리가 앞으로 확장할 것을 염두에 두고, 이항정리를 조금 더 다듬어 봅시다. 우선, \( a + b \) 대신 \( 1 + x \)로 바꿔 표현해보죠.

그러면 이항정리는 이렇게 됩니다:

$ (1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k $

이제 다항식의 계수가 오직 x에만 의존하게 되며, 함수적 관점에서 다루기 훨씬 쉬워집니다.

 

3. 정리된 식으로 다르게 구해보자

이번엔 직접 \((1 + x)^n\)을 전개하지 않고, 테일러 급수처럼 항의 계수를 미분을 통해 구해보겠습니다. 실제로 많은 함수들이 이 방식으로 전개되거든요.

우선, 어떤 다항식이 있다고 가정합시다($ (1+x)^n $을 전개하면 계수가 $ a_n $인 다항식이 생성되겠죠?):

$ (1 + x)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n $

여기서 양변에 있는 x에 0을 대입하면, $ a_0 $를 구할 수 있겠죠?

$ 1 = a_0 $입니다.

그리고 위에서 말했듯이 좌우변 모두 x에 대해 미분하면 다음과 같아지겠죠?

$ n(1+x)^{n-1} = 0 + a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 ... $

여기서 x에 0을 대입하면,

$ n = a_1 $이 되겠네요.

하나만 더 해보겠습니다.

한번 더 미분하면

$ n(n-1)(1+x)^{n-2} = 0 + 2a_2 + 3\cdot2 a_3x + ... $

x에 0 대입하면,

$ n(n-1) = 2a_2 $

이제 양변을 계속해서 미분해보면 좌변의 지수가 0으로 떨어지며 우변의 $ a_n $항이 상수항이 되겠죠.

즉, 일반적인 방법으로 구하면 다음과 같은 항이 생깁니다:

$ (1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!} x^k $

여기서 지수가 자연수이므로, 어떤 시점 이후에는 \( n-k+1 = 0 \)이 되어 항이 소멸하게 됩니다. 이것이 다항식이 되는 이유죠. 결국 정리하면:

$ (1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k $

같은 식이지만, 이번에는 다항급수 관점에서 접근한 결과입니다.

 

4. 지수가 자연수가 아니라면?

그렇다면 이제 지수를 자연수 \(n\)이 아니라, 실수 \(m\)으로 확장해보면 어떻게 될까요?

이제는 위에서 말한 “어느 시점에 0이 되므로 끝나는” 현상이 사라집니다. 다시 말해 무한급수가 되겠죠!

이제 다음과 같은 형태로 일반화할 수 있습니다:

$ (1 + x)^m = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{m(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{k!} x^k $

즉, 이 식은 더 이상 다항식이 아니라 무한급수, 곧 이항급수가 됩니다.

 

5. 이항계수를 새로 정의해보자

이제는 이 계수를 일반적인 \( \binom{m}{k} \)로 다시 정의할 수 있습니다. 자연수 \(n\)일 때는 기존 조합 기호를 쓰고, 실수 \(m\)일 때는 다음과 같이 일반화할 수 있죠.

$ \binom{m}{k} = \frac{1}{k!} \prod_{i=1}^{k} (m - i + 1) $

혹은 앞에서 본 것처럼:

$ \binom{m}{k} = \frac{m(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{k!} $

이제 이를 이용해서 일반화된 이항급수는 다음과 같이 간단하게 표현됩니다.

$ (1 + x)^m = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{m}{k} x^k $

이제 이항정리는 단순한 정수항 다항식을 넘어, 무한급수로 확장된 보편적 전개식이 된 셈입니다.

다시말에 이항정리가 이항급수로 확장된 것이죠!

 

그리고 물론 이는 자연수에도 적용됩니다.

자연수인경우, k가 m보다 커지는 순간 분자에 무조건 m-m항이 존재하게 되어 그 이후의 모든 식이 0이 되어버리기 때문이죠.

 

고생하셨습니다!

다음엔 더 재밌는 포스팅으로 돌아올께요!