무한서고

ζ(0)의 값은?

0. 서론: 또 다른 미스터리 ζ(0)의 값은?

자, 이전 글 마지막에 제가 뜬금없는 질문을 하나 던졌습니다.

아, 그래서 추천은 이전 글을 한번 읽고 오시는걸 추천드립니다.(자연수를 무한히 더한(1+2+3+4+…) 값은 사실 -1/12이었다!?)

ζ(0)의 값은 무엇일까요? 제타 함수의 정의에 0을 그대로 넣어보면...

\begin{align}
\zeta(0) = & \ \frac{1}{1^0} + \frac{1}{2^0} + \frac{1}{3^0} + \frac{1}{4^0} + \cdots \\
= & \ 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots
\end{align}

당연히 무한대로 발산합니다.

이전처럼 리만의 '거울 공식'을 쓰면 되지 않냐고요?

거울 공식은 ζ(s)와 ζ(1-s)를 연결해줍니다. ζ(0)을 구하려면 s=0을 넣어야 하고, 그러면 ζ(1-0) = ζ(1)의 값을 알아야 합니다. 하지만 ζ(1) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... 은 그 유명한 조화급수!

무한대로 발산하며, 함수가 정의되지 않는 유일한 특이점(Pole)입니다. 즉, 거울의 한쪽이 깨져버려서 반대편을 비출 수가 없는 상황인 거죠.

그럼 어떻게 구할까요? 여기서 제타 함수의 숨겨진 조력자, 에타 함수(Eta Function)가 등장합니다.

1. 구원투수의 등장: 에타 함수(η)

에타 함수는 제타 함수와 거의 똑같이 생겼는데, 부호가 플러스와 마이너스를 번갈아 가며 나타나는 점만 다릅니다.

\begin{align}
\eta(s) = & \ \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \cdots\\
\end{align}

자, 그럼 이 에타 함수에 s=0을 넣어볼까요?

\begin{align}
\eta(0) = & \ \frac{1}{1^0} - \frac{1}{2^0} + \frac{1}{3^0} - \frac{1}{4^0} + \cdots \\
= & \ 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots
\end{align}

어디서 많이 보지 않았나요?

네, 바로 모든 '꼼수'를 시작하게 했던 바로 그 무한급수 $S_1 $입니다! 그리고 우리는 $S_1$의 값이 1/2이라는 것을 이미 알고 있습니다.

따라서 우리는 첫 번째 단서를 얻었습니다: $\eta(0)=\frac{1}{2} $

2. 제타와 에타의 비밀 관계

1단계: 제타 함수를 홀수 항과 짝수 항으로 분리하기

먼저, 제타 함수 ζ(s)를 펼쳐 쓴 뒤, 홀수 항들의 합과 짝수 항들의 합으로 나눕니다.

\begin{align}
\zeta(s) = & \ \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \dots \\
= & \ \left(\frac{1}{1^s} + \frac{1}{3^s} + \dots\right) + \left(\frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \dots\right)
\end{align}

2단계: 짝수 항의 합을 제타 함수로 표현하기

짝수 항들의 합에서 공통 인수인 $\frac{1}{2^s}$를 묶어내면, 괄호 안이 다시 제타 함수가 됩니다.

\begin{align}
& \ \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \dots \\
= & \ \frac{1}{2^s} \left(\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \dots\right) \\
= & \ \frac{1}{2^s}\zeta(s)
\end{align}

3단계: 에타 함수에 위 결과 대입하기

에타 함수 η(s)는 (홀수 항의 합) - (짝수 항의 합) 입니다.

\begin{align}
\eta(s) = & \ \left(\frac{1}{1^s} + \frac{1}{3^s} + \dots\right) - \left(\frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \dots\right)
\end{align}

여기서 1단계 식 ζ(s) = (홀수 항의 합) + (짝수 항의 합)을 변형하면, (홀수 항의 합) = ζ(s) - (짝수 항의 합)이 됩니다.

(짝수 항의 합)에 2단계 결과를 넣어 정리하면, (홀수 항의 합) = ζ(s) - $\frac{1}{2^s}\zeta(s)$ 입니다.

이제 이 결과들을 에타 함수 식에 모두 대입합니다.

4단계: 최종 정리

\begin{align}
\eta(s) = & \ \left(\zeta(s) - \frac{1}{2^s}\zeta(s)\right) - \frac{1}{2^s}\zeta(s) \\
= & \ \zeta(s) - \frac{2}{2^s}\zeta(s) \\
= & \ \left(1 - \frac{2}{2^s}\right)\zeta(s) \\
= & \ \left(1 - 2^{1-s}\right)\zeta(s)
\end{align}

이렇게 수학자들은 제타 함수와 에타 함수 사이에 아주 깔끔한 관계식이 있다는 것을 발견했습니다.

\begin{align}
\eta(s) = (1 - 2^{1-s})\zeta(s)
\end{align}

이 둘을 연결하는 비밀의 다리인 셈이죠. 이제 모든 준비가 끝났습니다.

3. 마지막 퍼즐 맞추기

위 관계식에 우리가 아는 모든 것을 대입해 봅시다. s=0을 넣는 겁니다.

\begin{align}
\eta(0) = & \ (1 - 2^{1-0})\zeta(0)
\end{align}

η(0)은 1/2이라는 것을 알고 있으니 대입하면,

\begin{align}
\frac{1}{2} = & \ (1 - 2^{1})\zeta(0) \\
\frac{1}{2} = & \ (1 - 2)\zeta(0) \\
\frac{1}{2} = & \ (-1)\zeta(0)
\end{align}

따라서, 양변에 -1을 곱해주면 최종 결론에 도달합니다.

\begin{align}
\zeta(0) = -\frac{1}{2} \qquad \blacksquare
\end{align}

놀랍게도 1+1+1+...의 대표값은 -1/2이었습니다!

마치 잘 짜인 추리소설처럼, 가장 처음 등장했던 단서(1-1+1-...=1/2)가 마지막 미스터리를 푸는 결정적인 열쇠가 되었네요.

이 기묘하고 아름다운 수학의 세계, 정말 신기하지 않나요?

π가 없는 식에서 π를 만든다고? 샌드위치 정리로 증명하는 1+1/4+1/9+... = π²/6

0. 서론: 대학 수학 없이 증명하기

제곱수의 역수를 모두 더하면 원주율의 제곱을 6으로 나눈 값이 된다는 기묘한 등식, $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

바젤 문제라고도 알려져 있는 이 문제!

아마 이 증명을 찾아보면 대부분 푸리에 급수, 테일러 급수 등 복잡한 대학 수학을 이용해 설명할 겁니다. 하지만 이 문제가 처음 풀렸을 때는 그런 도구들이 없었다면 믿으시겠어요? 오늘은 고등학교 과정에서 배우는 삼각함수와 샌드위치 정리(조임 정리)만을 이용해 이 문제를 증명해 보겠습니다. 수학자들이 말하는 가장 '초등적(elementary)'인 증명법, 함께 따라가 보시죠!

1. 핵심 재료: 마법의 부등식

모든 증명은 마법 같은 부등식 하나에서 시작합니다. 바로 이것이죠.

\begin{align}
\cot^2(x) < \frac{1}{x^2} < \csc^2(x)
\end{align}

이 부등식은 삼각함수 극한에서 배우는 $\sin(x) < x < \tan(x)$로부터 유도할 수 있습니다.
(단위원을 그려놓고 본다면 한방에 이해됩죠! 작은 삼각형의 넓이<부채꼴의 넓이<큰삼각형의 넓이 에서 유도됩니다.)

자세한 과정은 생략하지만, 이 부등식이 바로 오늘의 주인공인 '샌드위치'의 양쪽 빵 역할을 합니다.

가운데 우리가 구하고 싶은 값($\sum \frac{1}{n^2}$)의 재료가 되는 $\frac{1}{x^2}$이 끼어있는 것을 확인하세요!

2. '빵'의 값 계산하기: 드무아브르의 마법

접근 전략은 다음과 같습니다.

핵심 부등식 만들기 > 값을 아는 유한 급수 만들기 > 극한 취하기(무한 급수로 만들기)

1단계는 위에서 마쳤으니, 이제 2단계인 '값을 아는 유한 급수 만들기', 즉 빵을 구하러 가봅시다.

1) cot²x의 합 구하기

자~ 양쪽 빵을 구해야하는데, 사실 양쪽 빵이 다르죠?
근데 재밌는 사실은 양쪽 빵은 서로 항등식에 의해서 연결되어 있답니다.
$ \csc^2 x = \cot^2 x + 1 $인데요, 이건 $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $이라는 정말 유명한 삼각 항등식에서 모든 항을 $ \sin^2 x $로 나누면 바로 나오죠?

그렇다면, 우리는 둘 중 하나만 구하면 됩니다. 그러면 뭐가 더 쉬울까요?
기본적으로 '삼각함수의 지수'를 다룰 때 사용되는 대표적인 방정식이 '드무아브르 방정식'이고 이걸 이용했을 때, cos과 sin의 조합으로 수가 전개된다는 걸 보면 사실 cot가 조작하기 더 쉬운 함수란 걸 알 수 있죠! $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ 이고 $ \csc x = \frac{1}{\sin x} $이므로, cos과 sin항이 곱셈으로 붙어 나올 때, 두 항이 모두 연관되어있는 cot가 조작하기 더 편하기 때문입니다.

그래서 우리는 바로 cot를 구하고, 이걸로 csc를 구해보도록 하겠습니다!

2) cot²x의 유한 급수 만들기

우리가 원하는 건
1) $ \cot^2 x $가 임의의 유한한 항 $ m $에서 급수 형태로 나타날 것
2) 그 급수의 모든 항을 더한 값을 구할 것

자, 일단 '뭔가 유한항 내에서 더해지는 형태'를 만들 수 있는 방법이 무엇일까요?
항 두 개를 이용한 거듭제곱을 전개하면 바로 두 항의 덧셈이 펼쳐지지 않을까요? 이걸 삼각함수로 구현하는 공식이 바로 드무아브르 공식입니다.(드무아브르 공식이 궁금하시다면? 삼각함수의 3배각 공식(삼중각 공식) 증명(feat 오일러&드무아브르 공식))

그럼 지수항은 어떻게 정의해야 할까요? 현재 우리는 단순 $ \cot x $가 아니라 $ \cot^2 x $를 구하기 때문에, 곱셈공식에서 곱해지는 지수는 임의의 m항에 대해 2m이 되어야 할 것입니다. 또한 cot를 조작하기 쉽도록 홀수 지수가 유리합니다. 이 조건들을 고려하면 지수는 '2m+1'이 가장 적절해 보입니다. 뭐, 일단 아무 생각 없이 고른 것도 아니니 한번 적용해보고 틀리면 수정해보죠. 인생은 트라이 앤 에러입니다.

자, 드무아브르 공식을 전개해볼까요?

\begin{align}
(\cos x + i \sin x)^{2m+1} = \cos((2m+1)x)+i\sin((2m+1)x)
\end{align}

이항정리로 전개하면 다음과 같습니다.

\begin{align}
(\cos x + i \sin x)^{2m+1} = \sum_{k=0}^{2m+1} \binom{2m+1}{k} i^k \cos^{2m+1-k} x \sin^k x
\end{align}

현재 $ \cot^2 x$를 찾는데 실수부의 cos 지수는 홀수라 조금 힘드니, 허수부를 가지고 조작을 해야겠네요. 허수부만 모아보면 (양변의 허수 단위 i는 제거했습니다):

\begin{align}
\sin((2m+1)x) = \binom{2m+1}{1}\cos^{2m}x\sin x - \binom{2m+1}{3}\cos^{2m-2}x\sin^3 x + \cdots
\end{align}

이제 좀 실마리가 잡힌 것 같습니다. 양변을 $ \sin^{2m+1} x $로 나누면,

\begin{align}
\frac{\sin((2m+1)x)}{\sin^{2m+1} x} = \binom{2m+1}{1}\cot^{2m} x - \binom{2m+1}{3}\cot^{2m-2} x + \cdots
\end{align}

이야 이걸로 $ \cot^2 x$에 대해 m이 한 항씩 줄어드는 '유한 급수'식을 만들어 냈네요! 후.. 길었습니다.

3) 유한 급수의 합 구하기

그런데 여기서 또 하나의 문제... "다 더한 값을 구할 것"

우와... 진짜 산 넘어 산이네요.. 근데.. 잘 보세요!

\begin{align}
\frac{\sin((2m+1)x)}{\sin^{2m+1} x} = \binom{2m+1}{1}(\cot^{2} x)^m - \binom{2m+1}{3}(\cot^{2} x)^{m-1} + \cdots
\end{align}

요렇게 보는 관점만 조금 바꿔주면 우항은 계수가 $\binom{2m+1}{k}$인 $ \cot^2 x $에 대한 m차 다항식이 됩니다. 그리고 우리가 잘 아는 부분이죠? 근과 계수의 관계(Viete's rule)를 쓰면, 모든 근의 합을 계산할 수 있다는 사실!

그럼 근과 계수의 관계를 쓰기 위해 좌항을 0으로 만들어 방정식을 세워보죠. $ \sin \theta = 0 $인 $ \theta = r\pi $이므로,

\begin{align}
(2m+1)x = r\pi \implies x = \frac{r\pi}{2m+1}
\end{align}

즉, x에 이 값을 넣어주면 좌항은 0이 되어버립니다. (단, r=0인 경우는 cot(0)이 정의되지 않으므로 r=1부터 시작합니다.)

이제 $y = \cot^2 x$라고 생각하고 근과 계수의 관계를 적용합시다. $m$차 방정식 $a_m y^m + a_{m-1} y^{m-1} + \cdots = 0$에서 모든 근의 합은 $-\frac{a_{m-1}}{a_m}$ 입니다.

우리 식의 계수는 $ a_m = \binom{2m+1}{1} $ 이고 $ a_{m-1} = -\binom{2m+1}{3} $ 이므로,

\begin{align}
\text{모든 근의 합} = -\frac{-\binom{2m+1}{3}}{\binom{2m+1}{1}} = \frac{\binom{2m+1}{3}}{\binom{2m+1}{1}} = \frac{\frac{(2m+1)(2m)(2m-1)}{3\cdot 2\cdot 1}}{2m+1} = \frac{m(2m-1)}{3}
\end{align}

이 방정식의 근들은 $x = \frac{r\pi}{2m+1}$일 때의 $\cot^2 x$ 값들이므로, 그 근들의 합은 좌변을 0으로 만드는 모든 경우(r=1부터 m까지)를 다 표현해주어야 합니다. 결론적으로,

\begin{align}
\sum_{r=1}^{m} \cot^2\left(\frac{r\pi}{2m+1}\right) = \frac{m(2m-1)}{3}
\end{align}

이렇게 쓸 수 있습니다. 이제 샌드위치를 만들 모든 재료 준비가 끝났습니다.

3. 샌드위치 조립하고 꾹 누르기!

이제 모든 것을 합쳐봅시다.

1) 1단계의 '마법 부등식'에 $x = \frac{r\pi}{2m+1}$ (단, $r=1, 2, \dots, m$) 값들을 대입하고 $m$개만큼 모두 더해줍니다.

\begin{align}
\sum_{r=1}^{m} \cot^2\left(\frac{r\pi}{2m+1}\right) < \sum_{r=1}^{m} \frac{1}{\left(\frac{r\pi}{2m+1}\right)^2} < \sum_{r=1}^{m} \csc^2\left(\frac{r\pi}{2m+1}\right)
\end{align}

2) 가운데 항을 우리가 원하는 $\sum \frac{1}{r^2}$ 모양이 나오도록 정리하고, 양쪽 항에는 2단계에서 구한 값과 삼각함수 공식($\csc^2x = \cot^2x + 1$)을 이용해 값을 채워 넣습니다.(+1이 +m이 되는건 m번 더하는 시그마 기호 때문이죠~)

\begin{align}
\frac{m(2m-1)}{3} < \frac{(2m+1)^2}{\pi^2} \sum_{r=1}^{m} \frac{1}{r^2} < \frac{m(2m-1)}{3} + m
\end{align}

3) 마지막으로, 가운데에 우리가 구하려는 합만 남도록 부등식 전체를 $\frac{\pi^2}{(2m+1)^2}$로 곱해줍니다.

\begin{align}
\frac{\pi^2}{3}\frac{2m^2-m}{4m^2+4m+1} < \sum_{r=1}^{m} \frac{1}{r^2} < \frac{\pi^2}{3}\frac{2m^2+2m}{4m^2+4m+1}
\end{align}

4) 이제 샌드위치를 꾹 눌러봅시다! 즉, $m$을 무한대($m \to \infty$)로 보냅니다.

• 맨 왼쪽(아래쪽 빵)의 극한값: $\frac{\pi^2}{3} \cdot \frac{2}{4} = \frac{\pi^2}{6}$
• 맨 오른쪽(위쪽 빵)의 극한값: $\frac{\pi^2}{3} \cdot \frac{2}{4} = \frac{\pi^2}{6}$

양쪽의 극한값이 모두 $\frac{\pi^2}{6}$으로 수렴합니다!

따라서 샌드위치 정리에 의해, 그 사이에 끼어있던 값의 극한 역시 $\frac{\pi^2}{6}$이 될 수밖에 없습니다.

\begin{align}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
\end{align}

4. 결론: 가장 '초등적인' 증명

이 증명 과정을 보고 "이게 어떻게 가장 쉬운 방법이냐!"라고 생각하실 수도 있습니다. 맞습니다. 각 단계는 결코 간단하지 않으며 매우 기발한 아이디어를 필요로 합니다.

하지만 수학자들이 이 증명을 '초등적(elementary)'이라고 부르는 이유는, 복소해석학이나 푸리에 분석 같은 더 고등수학 분야의 강력한 이론을 빌려오지 않고, 고등학교 과정에서 배운 개념(삼각함수, 다항식, 극한, 샌드위치 정리)만을 차곡차곡 쌓아 올려 만든 증명이기 때문입니다.

마치 두 친구가 양쪽에서 당신의 손을 잡고 한 점으로 다가올 때, 당신 역시 그 점으로 갈 수밖에 없는 것처럼, 이 증명은 우리가 구하려는 값을 양쪽에서 논리적으로 꽉 조여서 답을 찾아내는 아름다움을 보여줍니다.

자연수를 무한히 더한(1+2+3+4+…) 값은 사실 -1/12이었다!?

0. 서론: 상식을 파괴하는 등식

네? 이게 뭔소리나고요? 뭔 공교육 박살나는 소리냐고요??

아마 지금 모니터 앞에서 이런 생각을 하고 계실 겁니다. 하지만 일단 저를 믿고 따라와 보세요. 오늘은 서론 없이, 상식을 파괴하는 여정을 곧바로 시작하겠습니다.

1. 증명

1)

일단 무한 급수 하나를 가정하죠.

\begin{align}
S_1 = & \ 1-1+1-1+1- \cdots
\end{align}

이렇게 무한히 나열되는 무한 급수가 있습니다.

일단 양변에 1을 빼보겠습니다.

\begin{align}
-1 + S_1 = & -1 + (1-1+1-1+1- \cdots)
\end{align}

그리고 양변에 똑같이 -를 붙여주겠습니다(부호변경)

\begin{align}
1 - S_1 = & \ 1 - (1-1+1-1+1- \cdots)
\end{align}

오른쪽 괄호를 풀어주면

\begin{align}
1 - S_1 = & \ 1 - 1+1-1+1-1+ \cdots
\end{align}

어? 우항이 그냥 $ S_1 $ 자기 자신이네요?

다시 쓰면

\begin{align}
1 - S_1 =& \ S_1 \\
2S_1 =& \ 1 \\
S_1 =& \ \frac{1}{2} \\
\end{align}

따라서 $ S_1 $의 값은 $ \frac{1}{2} $입니다.

2)

이번에는 또 재밌는 무한급수를 한번 만들어 볼까요?

아까는 1번($S_1$)을 썼으니까 이번에는 2번을 붙여줘보죠.

\begin{align}
S_2 = & \ 1 - 2+3-4+5-6+ \cdots
\end{align}

이런 무한급수가 있습니다.

그냥 심심하니까 이 무한급수를 한번 자기 자신으로 더해볼까요?

아 물론 그냥 더하면 재미 없으니까, 하나씩 항을 밀어서 더해볼께요!

\begin{align}
S_2 = & \ 1 - 2+3-4+5-6+ \cdots \\
\underline{\ + \ S_2 =} & \underline{\qquad 1 - 2+3-4+5- \cdots} \\
2S_2 = & \ 1 -1+1-1+1-1+ \cdots
\end{align}

오, 우항이 바로 $ S_1 $이군요!

정리하면,

\begin{align}
2S_2 = & \ S_1 = \frac{1}{2} \\
\implies S_2 = & \ \frac{1}{4}
\end{align}

$ S_2 $의 값은 $ \frac{1}{4} $입니다.

[항을 하나 밀면 뒤에 항이 하나 남지 않냐고 날카롭게 질문한 당신! 박수! 그러나 무한의 세계에선 끝에 남는 항이 없답니다~
무한이 더 궁금하시다면 "어서오세요! 힐베르트 호텔에! ~무한의 세계로 떠나는 여행~" 포스팅을 읽어보시면 재밌으실 것 같습니다!]

3)

자 이제,

\begin{align}
S = & \ 1 + 2+3+4+5+6+ \cdots
\end{align}

자연수의 합, 자연수의 무한급수를 보겠습니다.

그냥은 어떻게 할 도리가 없으니까, 아까 $ S_2 $를 빼 볼까요?

\begin{align}
S \ \ = & \ 1 + 2+3+4+5+6+ \cdots \\
\underline{-\ S_2 = } & \underline{ \ 1 -2+3-4+5-6+ \cdots} \\
S - S_2 = & \ 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + \cdots
\end{align}

두 급수를 빼주는거니까, 부호가 같은 애들은 0이되고, 다른 애들은 더해서 두배가 되는 거죠!

이 수열을 다시 정리하면,

\begin{align}
S - S_2 = & \ 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + \cdots \\
= & \ 4 + 8 + 12 + \cdots \\
= & \ 4(1 + 2 + 3 + \cdots) \\
\end{align}

오 우항에서 다시 $ S $가 등장했군요!

\begin{align}
S - S_2 = & \ 4S \\
3S = & -S_2 \\
3S = & -\frac{1}{4}\\
S = & -\frac{1}{12}\\
\end{align}

오, 다시 정리하면

\begin{align}
1+2+3+4+5+6+\cdots = & -\frac{1}{12} \qquad \blacksquare
\end{align}

헐... 이게 증명이 되어버리네요!?!?

그럼 진짜 그동안 공교육에서 잘못 가르치고 있던거란 말입니까!?!?

2. 비밀: 왜 이 증명은 '꼼수'일까?

방금 본 증명은 그럴듯해 보이지만, 사실 수학적으로는 허점이 많습니다.

가장 큰 문제는 '발산하는 무한급수'를 수렴하는 급수처럼 마음대로 다루었다는 점입니다.

무한급수가 특정 값으로 수렴하지 않을 때는 항의 순서를 바꾸거나(항 밀기), 괄호를 치거나, 다른 급수와 더하고 빼는 연산을 함부로 할 수 없습니다.

[별개로 아까 무한이라서 항밀기는 되어요~ 라고 한건, 수렴하는 급수에 대해서는 성립한답니다! 실로 재밌는 무한의 세계]

즉, 위의 증명은 엄밀한 수학이라기보다는 "만약 저 발산하는 급수에 어떤 값을 억지로 부여한다면, 그 값은 -1/12가 되어야 논리적으로 아귀가 맞을 것이다"라는 것을 보여주는 일종의 발견적(heuristic) 방법에 가깝습니다.

그리고 중요한 사실, 제목에도 적어놨지만 이건 '꼼수'지 '궤변'이 아닙니다.

네? 지금 스스로 '그러나 트릭장난이었다~'라고 시인한거 아니냐구요? 트릭 장난은 맞는데요... 근데 답은 맞아요...

일종의 게임 '버그'를 활용한 '치트플레이'에 가까운 부분이죠.("어찌됐든 최종보스(=정답)를 만난다"는 점에서는 차이가 없습니다.)

"아니! 자연수를 다 더한 급수는 '무한대!!!!'지!!!! 어떻게 $ -\frac{1}{12} $가 맞다고 우길 수 있는거냐!!!"

라고 하신다면... 약간 보는 관점이 다르달까... 여기서 나오는게 바로 [양자역학]이거든요...

그럼 일단 한발 양보하셔서

'그래 1+2+3+...이 $ -\frac{1}{12} $일 수도 있다고 가정하면, 너가 스스로 치트플레이를 시인했는데 어떻게 엄밀하게 알려줄 수 있는데?'

부터 시작해볼까요?

3. 진짜 수학의 등장: 리만 제타 함수와 해석적 연속(Analytic Continuation)

그렇다면 왜 수학자들은 이 결과를 '맞다'고 이야기할까요? 그 답은 리만 제타 함수($ \zeta(s) $)에 있습니다.

리만 제타 함수는 아래와 같이 정의됩니다.

\begin{align}
\zeta(s) = & \ \sum \limits _{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots
\end{align}

여기서 $ s $는 복소수까지 들어갈 수 있구요, 일반적으로 복소수의 실수부가 1보다 큰 값에 대해서만 수렴합니다.( $ \mathfrak{R}(s) > 1 $ )

고등 수학까지 공부하셨던 분들이면 $ \frac{1}{n} $ 급수는 수렴하지 않고, $ \frac{1}{n^2} $은 수렴하던 걸 기억하실겁니다.

참고로 $ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} $이죠.

그리고 우리가 찾는 $ 1+2+3+ \cdots $는 이 함수에 $s = −1$을 넣은 값, 즉 $ \zeta(-1) $과 형태가 같습니다.

하지만 $s = −1$은 함수가 정의된 영역( $ \mathfrak{R}(s) > 1 $ ) 밖에 있습니다. 여기서 수학자들은 '해석적 연속(Analytic Continuation)'이라는 강력한 도구를 사용합니다.

쉽게 비유하자면, 특정 구간에서만 그려진 함수 그래프가 있을 때, 이 그래프의 곡률이나 패턴을 유지하면서 정의되지 않은 영역까지 그래프를 자연스럽게 연장하는 것과 같습니다. 마치 함수의 '거울'을 만들어 반대편을 비춰보는 것과 비슷하죠.

정확히는 리만의 함수 방정식이라는 도구를 사용합니다만, 궁금하신 분은 더보기 클릭!

이 '해석적 연속'이라는 방법으로 리만 제타 함수를 $s = −1$이 포함된 영역까지 확장하면, 놀랍게도 그 지점의 함수 값이 정확히 $ -\frac{1}{12}$가 됩니다.

$ \zeta(-1) = -\frac{1}{12} $

즉, 꼼수 증명으로 얻은 값이 더 고차원적인 수학 체계 안에서 올바르다는 것이 증명된 셈입니다.

4. 현실 세계와의 연결고리: 카시미르 효과(Casimir effect)

"그래 봤자 수학자들의 머릿속에서만 존재하는 것 아닌가?"라고 생각할 수 있습니다.

하지만 이 기묘한 합은 놀랍게도 현실 세계에서 그 증거를 드러냅니다.(아까 말했던 그 '양자역학' 이야기 입니다)

바로 카시미르 효과(Casimir effect)라는 건데요.

완벽한 진공 상태에 아주 매끄러운 금속판 두 개를 아주 가깝게 붙여 놓으면, 아주 신기하게도 이 두 금속판이 서로를 잡아당깁니다...!

진공속에서! 아무것도 없는데! 왜!?!?

과학자들 대혼란. 이었죠.

일상적으로 '진공'이라하면 '아무것도 없는 거', '텅 빈 공간'이라고 생각하지만 양자역학에 따르면 진공은 수많은 가상 입자들이 나타났다가 사라지는 에너지의 바다입니다. 이 에너지는 온갖 종류의 파동(전자기파)으로 들끓고 있죠.

여기서 바로 파동의 차이가 발생하게 되는데요

• 금속판 바깥: 공간이 무한하므로 모든 종류의 파동이 존재할 수 있습니다.
• 금속판 사이: 공간이 매우 좁기 때문에, 기타 줄이 특정 음만 내는 것처럼 딱 맞아떨어지는 파동만 존재할 수 있습니다. 즉, 존재 가능한 파동의 종류가 바깥보다 적습니다.

그리고 여기서 바깥의 파동 에너지가 더 크고 안쪽의 에너지가 더 작기 때문에, 바깥에서 안쪽으로 미는 아주 미세한 힘(압력)이 생깁니다.

그리고 이에따라 두 금속판은 저절로 서로에게 끌어당겨집니다!

이제 원인은 밝혀졌습니다. 그 힘을 계산하고 측정하는 것만 남았죠!

계산: 이 힘은 (바깥의 모든 파동 에너지 합) - (안쪽의 모든 파동 에너지 합)으로 계산됩니다. 그런데 이 '모든 파동 에너지의 합'이라는 것이 바로 무한급수의 형태로 나타납니다.

그리고 이 무한대의 계산을 '조절(regularization)'하는 과정에서 물리학자들은 경악스러운 수식과 마주칩니다. 바로 그 힘의 크기가 1 + 2 + 3 + 4 + ... 와 직접적으로 연관된다는 것입니다.

여기서 물리학자들이 만약 "에이, 이건 그냥 무한대잖아. 계산 못 해!"라고 포기했다면 아무 결과도 얻지 못했을 겁니다. 대신 그들은 수학자들이 알려준 '대표값'인 -1/12을 그 자리에 넣었습니다.

그렇게 계산을 마쳤더니, 두 금속판을 미는 힘의 크기가 정확하게 예측되었습니다.

측정: 1997년, 과학자들은 정밀한 실험을 통해 이 힘을 실제로 측정하는 데 성공했고, 그 값은 -1/12을 넣어 계산한 이론과 거의 완벽하게 일치했습니다.

이는 마치 허수(i)가 처음엔 상상 속의 수였지만, 지금은 전기공학 등 현실의 문제를 푸는 데 없어서는 안 될 도구가 된 것과 같습니다.

5. 또 다른 천재의 길: 라마누잔 합

사실 이 결과는 리만보다 앞서, 인도의 천재 수학자 라마누잔이 독자적으로 발견했습니다.

그는 서양 수학계와 교류가 거의 없던 상태에서 자신만의 독창적인 방식(오일러-매클로린 급수 활용)으로 발산급수에 값을 할당하는 '라마누잔 합'을 고안했고 자연수의 무한 급수=−1/12라는 결과를 얻었습니다.

이후 리만 제타 함수가 더 포괄적이고 엄밀한 수학적 토대를 제공했지만, 이 놀라운 통찰력 덕분에 이 결과는 종종 '라마누잔 합'이라고 불리기도 합니다.

6. 결론

\begin{align}
1+2+3+4+5+6+\cdots = & -\frac{1}{12}
\end{align}

이 식은 '사과를 세는' 덧셈의 세계에서는 거짓이지만, '양자 세계의 파동 에너지를 재는' 확장된 수학의 세계에서는 참입니다. 그리고 그 참은 실제 물리 현상으로 증명됩니다.

위에서도 얼핏 언급되었지만, '허수'는 곱해서 -1이 되는 수입니다. 이 '허수'또한 현실에서는 존재할 수가 없죠.

사과 i개, 이런게 성립하나요?

그러나 일단 받아들이는 순간 그 활용도는 무궁무진해집니다. 수학적인 부분(관련 포스팅: 사원수(Quaternion)란? ~허수에서 출발하는 차원확장~)에서 뿐만 아니라, 현재 전기-교류, 더 넘어서 스마트폰의 전파를 설명하는데 아주 필수적이죠.

끝까지 오시면서도, 위의 허수 예시를 들으시면서도 와닿지 않을 걸 압니다. 애초에 거의 새로운 개념인 허수와는 다르게 우리가 거의 '산수'의 시작과 함께 한 '자연수'와 '덧셈'에서 파생되는 아주 충격적인 결과니까요.

그럼 이렇게 생각해보는 건 어떨까요?

아주 작은 양자 세계로 가면, 세상은 사과 같은 알갱이가 아니라 끝없이 출렁이는 '파동'으로 가득 차 있습니다.

여기서의 질문은 '몇 개냐?'가 아니라 '이 무한한 출렁임 전체가 가지는 대표적인 힘(에너지)이 얼마냐?'는 거죠.

이 질문에 답하려면 사과를 세던 자(ruler)가 아니라, 파동 에너지를 재는 특수한 측정 장비가 필요하겠죠?

바로 그 장비의 이름이 '제타 함수'인 거구요.

그리고 이 특수 장비로 1+2+3...처럼 무한히 뻗어나가는 에너지의 총량을 측정했더니, 그 계기판에 $-\frac{1}{12}이라는 값이 딱 찍힌 겁니다.

어떻게 조금은 와 닿으셨나요? 안 와 닿으셨나요?

괜찮습니다. 뭐 양자역학이란게 그런거니까요

정말, 기존의 상식을 파괴하는 기묘한 세상에서 고생하셨습니다.

아, 재밌는거 하나 알려드릴까요?

$ \zeta(0) $도 값이 있는 걸 알고계셨나요?

그냥 풀어쓰면 $ 1 + 1 + 1 + \cdots $라서 무한대로 발산이지만, 과연 제타함수에서는 어떻게 값이 나올까요!?

참고로 위에서 '더보기'를 누르셨던 용감하신 분도 이 해석적 확장 만으로는 구하실 수 없을 겁니다.(애초에 $ \zeta(1) $은 절대로 정의되지 않거든요)

직접 구해보시는 것도 즐거울 겁니다!

감마함수(Gamma function)란 무엇인가? ~ 오일러, 또 당신이에요? ~

0. 서론

이 블로그의 이전 포스팅들에서 아주 심심치 않게 등장하던 특수함수(special function)가 있습니다.

• 감마함수로 팩토리얼 증명
• 대학교 2학년의 꿈(x^x 적분)

바로 감마함수(gamma function)인데요.

사실 그동안 감마함수가 무엇인지 정확히 모르고 일단 하나의 도구로 썼었는데, 오늘은 이게 무엇인지 낱낱이 밝혀보도록 하겠습니다.

1. 감마함수의 정의

$ \Gamma(n+1) = n! = \int_0^\infty t^{n}e^{-t} dt $

로 정의되는 감마함수는 한마디로 말해서 팩토리얼 함수입니다.(정확히는 '정수에서의 팩토리얼과 일치하며, 이를 실수와 복소수 영역까지 확장한 특수함수 즉, 팩토리얼을 일반화한 함수'라는게 맞겠지요)

그런데 이미 팩토리얼을 정의하는 다른 방법들($ \Pi $라던가 !라던가..)이 있는데도, 왜 이런 특수함수가 필요하냐 하면..

!로 정의되는 팩토리얼 연산은 정수에서만 정의가 되어있고, $ \Pi $로 쓰는 형태는 조작이 쉽지 않아서 랍니다.

더 자세한 내용을 따라가 볼까요?

2. 팩토리얼 확장의 시작: 오일러의 탐구

1729년, 수학계의 오랜 질문 중 하나는 정수 n에 대해서만 정의되던 팩토리얼(n!)을 어떻게 실수와 복소수 영역까지 연속적(analytic)으로 확장할 수 있을까 하는 문제였습니다. 다니엘 베르누이(Daniel Bernoulli), 크리스티안 골드바흐와(Christian Goldbach) 같은 당대의 수학자들이 이 주제를 놓고 활발히 서신을 주고받았죠.

이 문제에 뛰어든 레온하르트 오일러는 먼저 팩토리얼을 다른 방식으로 표현하는 것에서 출발했습니다. 그는 1729년 골드바흐에게 보낸 편지에서 다음과 같은 무한 곱 형태를 제안하며 팩토리얼을 일반화할 실마리를 찾았습니다.

$ n! = \lim \limits _{m \rightarrow \infty} \frac{(m+1)^n m!}{(n+1)(n+2) \cdots (n+m)} $

하지만 무한 곱은 다루기 까다로웠고, 오일러는 더 우아하고 실용적인 형태를 찾고자 했습니다.

여기서 그는 새로운 함수 $ f(x) $가 만족해야 할 세 가지 핵심 조건을 설정했습니다.

1. 초기값과 재귀성질: f(1)=1, f(x+1)=xf(x)
2. 정수 팩토리얼 값과 일치: f(n) = n!
3. 해석적 성질: 함수가 연속적이고 미분 가능하며, 적분 등으로 표현 가능해야 한다.

그리고 이제 이 함수를 찾기 위한 여정을 떠납니다.

3. 영감의 원천: 오일러의 제1종 적분(베타 함수)

오일러는 이 문제를 고민하기 전, 훗날 베타 함수(Beta function)라 불리는 '오일러의 제1종 적분(Euler's integral of the first kind)'을 연구한 경험이 있었습니다.

베타 함수는 이항 계수를 실수 범위로 일반화한 것으로, 다음과 같이 정의됩니다.

$ B (x, y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt $

그리고 이 함수를 부분적분하면

$ B(x, y) = \frac{y-1}{x} B(x+1, y-1) $라는 재귀 관계가 나타납니다.

위에서 정한 조건 중 가장 핵심인 '재귀성질'을 찾아낸 것입니다.


또한 이 구조는 오일러에게 결정적인 영감을 주었습니다.

1. 두 함수의 곱을 적분하는 과정(특히 부분적분)이 재귀적인 성질을 만들어낼 수 있다.
2. 재귀 관계를 단순하게 만들기 위해 변수는 한가지로 통일
3. 한 함수는 미분/적분해도 형태가 유지되는 지수 함수($ e^t $) 꼴을 가져야 한다.
4. 다른 함수는 재귀적 성질을 반영해야하므로 미적분시 차수가 변하는 $ t^n $ 꼴을 가져야 한다.

4. 감마 함수의 탄생: 오일러의 제2종 적분(Euler's integral of the second kind)

이러한 통찰을 바탕으로 오일러는 1730년 1월 8일, 마침내 팩토리얼을 일반화하는(즉, 위의 세가지 조건을 모두 만족하는) 아름다운 적분 형식을 찾아냈습니다.

이는 '오일러의 제2종 적분(Euler's integral of the second kind)'이라 불리며, 훗날 감마 함수라고 불리게 됩니다.
(이 결과는 나중에 논문(De progressionibus transcendentibus, E19 등)에 정리되어 발표됩니다.)

$ n! = \int_0^\infty t^{n}e^{-t} dt $

여기서 몇 가지 요소는 오일러의 영감과 함께 치밀한 수학적 계산의 결과입니다.

1) 왜 $ e^t $가 아닌 $ e^{−t} $인가?

이는 '균형' 때문입니다.

부분적분
$ \int u dv = uv - \int v du $
을 하면 원시함수의 곱이 나오게 되는데 이 항을 경계항(Boundary term)이라고 합니다.
적분구간의 아래끝과 위끝의 값으로 최종 적분값이 결정되기 때문이죠.

그리고 여기서 재귀 관계가 깔끔하게 나오려면 경계항(boundary term)이 0이 되어 사라져야 합니다.

$t^n$은 $ t \rightarrow \infty $ 일 때 발산하므로, 이 값을 0으로 수렴시키기 위해 더 강력하게 감소하는 함수인 $ e^{−t} $가 곱해져야만 했습니다.

2) 왜 적분 구간이 0부터 $ \infty $인가?

만약 임의의 유한구간 T를 상한으로 놓고 유한한 구간에서 적분하면 경계항이 0이 되지 않아 재귀 관계가 복잡해집니다.
따라서 적분 구간을 0부터 $ \infty $까지로 설정함으로써, 경계항은 구간의 양 끝점(t=0, t→∞)에서 모두 0이 되어 깔끔하게 사라지고 원하는 재귀 관계만 남게 됩니다.

5. 감마함수: 이름의 유래와 정의

시간이 흘러 1809년, 프랑스 수학자 아드리앵마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre)가 이 함수에 감마 함수(Gamma function)라는 이름을 붙이고 대문자 감마(Γ) 기호를 도입했습니다.

그런데 왜 하필 '감마'를 도입했을까요?
여러가지 설이 있습니다만.. 안타깝게도 정확하게 명시된 내용은 없답니다.
그래도 흥미돋는 썰들을 살펴보자면

• 당시 특수 함수에 그리스 문자를 붙이는 유행이 있었다
• 이 오일러의 제2종 적분이 팩토리얼을 일반화(Generalization)시켰다는 뜻에서 G의 Gamma를 선택했다.
• 대문자 감마(Γ) 기호가 '계단'이나 '각(angle)'의 형태를 띠고 있어, 팩토리얼의 이산적인(discrete) 성질과 연속적인 확장을 연결하는 시각적 상징으로 선택했을 수도 있다

정도가 가장 대표적이라고 볼 수 있겠습니다.

또한 르장드르는 감마 함수를 다음과 같이 정의했는데, 이로 인해 한 가지 독특한 관습이 생겼습니다.

$ \Gamma(n) = \int_0^\infty e^{-x}x^{n-1} = (n-1)! $

왜 $\Gamma(n)$이 $n!$이 아닌 $(n-1)!$이 되도록 정의했는지에 대한 명확한 이유는 없습니다.
그냥 르장드르가 제일 처음에 이렇게 정의를 해서 썼고, 이 최초 정의가 그대로 학계의 관습으로 굳어져 내려온다고 알려져 있습니다.

그러나 이렇게 내린 정의 덕분에 베타 함수와의 관계식($ B(x, y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$) 등 다른 여러 공식이 더 깔끔한 형태로 표현되니, '그냥'이라기 보다는 꽤나 많은 고민 끝에 내린 결론 같죠?

참고로, 베타함수라는 이름은 1839년 자크 비네(Jacques P. M. Binet)가 명명합니다.
명명의 이유는 정확히 알려져 있지 않지만, 감마함수가 제2종 적분이니 제1종 적분은 베타함수라고 그리스알파벳 순서에 따라 명명하지 않았나 추측합니다.

6. 마무리

수학사에서 뭔가 괴짜같다(=대단하다) 싶은 결과는 오일러, 가우스, 라그랑주 세 명 중 한 명을 찍으면 대충 맞습니다.
오일러는
오일러 방정식을 통해 복소평면에서 지수함수와 삼각함수와의 관계를 정립한 것처럼
오일러의 적분을 통해 이산적인 연산을 연속적인 연산으로 확장해냅니다.(이항 계수가 그러하며, 팩토리얼이 그러하죠)

Golden: Huntr/x(헌트릭스) 말고 Ratio(비)

0. 서론

아 예 요새 케이팝 데몬 헌터스가 아주 핫합니다.

거기서 나오는 OST들도 이제 공중파에서도 쓰일만큼 엄청 유명해졌구요~

저는 그 중에서도 Golden이라는 노래를 제일 좋아합니다.

그래서 오늘 주제도 바로 Golden ratio, 즉 황금비를 가져와 봤는데요!

일단 황금비가 무엇인지 간단하게 알아보고, 어디어디서 찾을 수 있는지 살펴봅시다!

1. 황금비란?

선분을 두 부분으로 나눌 때 “전체:긴쪽 = 긴쪽:짧은쪽”이 되도록 나누는 비가 바로 황금비 입니다.

사람이 가장 아름답다고 생각하는 비율이기도 하죠.

황금비는 실제로 $ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.618 \cdots $의 값을 가진답니다.

2. 황금비가 숨어있는 곳

고대 그리스의 파르테논 신전을 정면에서 봤을 때, 가로 길이와 높이가 황금비로 구성되어있었다고하며 그외 다양한 건축/미술 영역에서 활용되고 있죠.

또한, 이것을 각의 비율로 보게된다면, 전체 360도를 황금비로 나눈 값은 약 222.5도입니다. 그리고 여기서 그 나머지각(360-222.5)인 137.5도를 '황금각(golden angle)'이라고 하며, 자연계에서 식물의 잎이 순차적으로 나는 각도로도 알려져있죠.

그리고 수열에서도 찾아볼 수 있는데요, 바로 피보나치 수열의 비율의 극한이 황금비로 수렴한답니다!

더욱 자세한건 이전 포스팅 >>피보나치 수열의 일반항과 비율의 극한(황금비)<<에 더욱 잘 정리되어 있답니다!

3. 더욱 재밌는 사실

정오각형을 그려볼까요?

여기서 대각선을 전부 그려봅시다

자, 오각형의 한 내각은 몇 도였죠? $ \frac{180(n-2)}{n} $이니까 108도네요!

빨간 삼각형을 보면, 최 상단은 내각을 3등분하니까, 108/3 해서 36도임을 알 수 있습니다.

그럼, 여기서 하늘색 선과, 노란색선의 비율을 한번 알아 볼까요?

아주 흥미롭게도 이전 포스팅 >>삼각함수의 일반각(18도, 36도) 구하기<<을 보시다보면 cos 36도가 바로 황금비의 절반이라는 사실을 눈치채셨나요!?

일단 노란색 선을 1이라고 가정하고, 파란색 선의 길이를 구하려면 가장 쉬운 방법은 코사인 제2법칙 일 겁니다.(현재 cos 36도의 값을 알고 있기 때문이죠)

파란색 선을 알고 싶은 길이이므로 x로 놓습니다. 그리고 파란색과 빨간색 선은 이등변 삼각형의 양 변이므로 길이가 같습니다.

따라서 식을 써보면

\begin{align}

1^2 = & x^2+x^2-2 \cdot x \cdot x \cdot \cos 36^\circ\\

1 = & 2x^2-2x^2 \cos 36^\circ \\

1 = & 2x^2 (1 - \cos 36^\circ) \\

1 = & 2x^2 \left(1 - \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right) \quad \leftarrow \cos 36^\circ = \frac{1+\sqrt{5}}{4} \\

1 = & 2x^2 \frac{3-\sqrt{5}}{4} \\

1 = & x^2 \frac{3-\sqrt{5}}{2} \\

\frac{2}{3-\sqrt{5}} = & x^2 \\

x^2 = & \frac{2}{3-\sqrt{5}} \\

x^2 = & \frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5} \\

x^2 = & \frac{6+2\sqrt{5}}{4} \\

x = & \sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{4}}

\end{align}

이렇게 x값을 구할 수 있습니다.

그런데 이중근호가 보이니 너무 좀 그렇죠? 이중근호를 제거해줍시다.

이중근호 공식 $ \sqrt{a+b \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} $에 따라 x를 정리해주면

\begin{align}

x = & \sqrt{\frac{1+5+2\sqrt{5}}{4}} \\

x = & \frac{\sqrt{1+5+2\sqrt{5}}}{\sqrt{4}} \\

x = & \frac{\sqrt{1} + \sqrt{5}}{2} \\

x = & \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

\end{align}

따라서 변의 길이를 1이라고 가정하면, 대각선의 길이가 $ \frac{1+\sqrt{5}}{2} $가 됨을 알 수 있습니다!

또한 더욱 재밌는 사실은 이 오각형 내부의 삼각형들은 전부 이등변 삼각형이므로, 두변과 밑변의 비가 모두 황금비를 가지게 된답니다!

훨씬 간단하게도 알아볼 수 있습니다.

정오각형의 한 변(빨간선)을 1로 놓는다면 하늘색선(x)과 자주색선(y)의 합은 정오각형의 한 변과 같을 겁니다(이등변 삼각형의 성질)

다시쓰면 $ x + y = 1 $이군요.

아까 황금비의 정의는 "황금비 = 전체:긴쪽 = 긴쪽:짧은쪽"이었으므로

$ 1 : x = x : y $

다시쓰면

$ \frac{1}{x} = \frac{x}{y}$

정리하면

$ y = x^2 $

아까 y는 1 - x 였으므로

$ 1-x = x^2 $

양변 $ x^2 $으로 나누어 정리하면

$ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} = 1 $

$ \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x} + 1 $

여기서 $ \frac{1}{x}$를 t로 치치환하면

$ t^2 = t + 1 $

$ t^2 - t - 1 = 0 $

근의 공식으로 정리하면

$ t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} $

현재 우리는 '비율'을 보고 있으므로 음수는 제외하면

$ t = \frac{1}{x} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $

로 정리가 되고, 바로 이것이 황금비 임을 알 수 있죠!

또한, 황금비의 제곱은 황금비 +1이라는 사실도 더불어 알 수 있습니다.

프톨레마이오스 정리(Ptolemy's theorem)으로 보면

원에 내접하는 사각형($ \square ABCD $)은 항상 식 $ \overline{AC} \cdot \overline{BD} = \overline{AB} \cdot \overline{CD} + \overline{AD} \cdot \overline{BC} $을 만족합니다.

따라서 오각형(ABCDE)에서 사다리꼴($ \square ABDE $)을 보면

$ \overline{AD} \cdot \overline{BE} = \overline{AB} \cdot \overline{DE} + \overline{AE} \cdot \overline{BD} $

이고, 여기서 변의 길이를 s, 대각선의 길이를 d라고하면

$ d^2 = s^2 + s \cdot d $

가 되겠죠?

양변을 $ s^2 $으로 나누고, 아까처럼 "황금비 = 전체:긴쪽 = 긴쪽:짧은쪽"으로 봐서 긴쪽을 d, 짧은쪽을 s로하여 $ \frac{d}{s} $를 황금비($ \phi $)로보면

위와 같은 $ \phi^2 = \phi +1 $꼴이 나오면서 황금비가 증명된답니다.

괜히 르네상스시절에 다빈치가 오각형과 그 오망성에 심취했던게 아니죠!

4. 마무리

사실 황금비의 전반적 개괄을 작성하는 듯 했으나, cos 36도가 황금비의 절반이라는 점에서 시작된 포스팅이었습니다.

뭔가 고급? 공식들이 이리저리 엮이는게 너무 흥미롭지 않나요!?

제곱근의 값은 어떻게 구할까?[개평법, 바빌로니아법, 뉴턴-랩슨법]

0. 서론

제곱근도 숫자인가요?

네, 숫자이죠!

그렇다면 분수를 소수점으로 나타낼 수 있듯이, 제곱근(=무리수)도 소수점으로 표현할 수 있겠죠?

참고로 무리수는 순환하지 않는 무한소수로 알려져있습니다.

자, 그럼 우리가 흔히 알고 있는,

• $ \sqrt{2} = 1.414 \cdots $
• $ \sqrt{3} = 1.732 \cdots $
• $ \sqrt{5} = 2.236 \cdots $

이런 값들은 어떻게 구하는 걸까요?

자, 오늘은 이 제곱근의 값을 직접 구하는 방법을 알아보겠습니다!

1. 제곱 범위로 찾기

제일 쉬운 방법이죠. 가령 $ \sqrt{2} $ 는 제곱하면 2이고, 이 수는 1보다는 크고 4보다는 작으니 다시 제곱근을 취하면 1보다는 크고 2보다는 작은 수 일 겁니다.

$ 1 < \sqrt{2} < 2 $

소수점 이하로 확장해볼까요?

1.1의 제곱은 1.21, 1.5의 제곱은 2.25이므로

$ 1.21 < 2 < 2.25 \rightarrow 1.1 < \sqrt{2} < 1.5 $

따라서 $ \sqrt{2} $는 1.1과 1.5 사이의 수가 되겠네요.. 이런 방식으로 점점 범위를 좁혀나가는 겁니다.

그러면 소수점 이하 자리수를 늘릴수록 더 정확한 근사값을 얻을 수 있겠죠?

장점은 정말 매우매우매우 직관적입니다. 교과서에서도 무리수의 값을 찾는 방법으로 바로 소개가 되죠.

더불어 제곱근의 확장이 용이합니다. 즉, 세제곱, 네제곱... 거듭해서 제곱을 해도 그에 해당하는 거듭제곱 값을 범위로 설정하면 되기 때문이죠.

그러나 단점은.. try&error방식으로 진행되다보니

• 범위를 적극적으로 좁히면 error 즉 제곱근 값의 범위를 넘어갈 수 있는 가능성이 높아지고
• 범위를 소극적으로 좁히면 try 즉 제곱근의 정확한 값으로의 수렴이 느려집니다.

2. 개평방법(開平方法) 혹은 개평법(開平法)

딱 봐도 한자가 출동한 게 보이시죠?

동아시아의 전통 학문인 산학(算學)에서 발전한 방법입니다.

동아시아에서는 어떤 수의 제곱을 '평방(平方)'이라고 하였고, 이 제곱을 풀어낸다(=제곱근)는 뜻에서 '열 개'자를 써서 개평방(開平方) 혹은 줄여서 개평(開平)이라고 불렀습니다.

그 유명한 중국의 산학책 '구장산술'에 실렸던 방법입니다.

방법은 간단합니다. 나눗셈과 비슷해요. 다만 근호 왼쪽의 수가 계속 변화하는 나눗셈이지요.

\begin{align}
& ㅤㅤ\! \textcolor{red}{1}.\,\textcolor{blue}{4} \ \textcolor{orange}{1} \ \textcolor{green}{4} \ \cdots 
\\
\textcolor{red}{1} ㅤㅤ & \ \, \sqrt{2ㅤㅤㅤㅤ\ }
\\
\underline{+\textcolor{red}{1} ㅤㅤ\! } & \underline{\ -\textcolor{red}{1}ㅤㅤㅤㅤ\ } ㅤ(1 = 1 \times 1)
\\
2 \textcolor{blue}{4} ㅤ\ & ㅤㅤ\! 1 \, 00
\\
\underline{+ \ \ \ \textcolor{blue}{4} \, ㅤ} & \underline{ㅤ\  -\textcolor{blue}{96}ㅤㅤ\ \ \ }ㅤ(96=24\times4) \\ 28 \textcolor{orange}{1} \ \ & ㅤㅤㅤ4 \, 00
\\
\underline{+ \ ㅤ\ \textcolor{orange}{1} \ \, } & \underline{ㅤ　\! -\textcolor{orange}{2\, 81}ㅤ\ \ }ㅤ(281=281\times1)
\\ 　282 \textcolor{green}{4} & ㅤㅤㅤ\,119 \, 00
\\
\underline{+ㅤㅤ\textcolor{green}{4}\!} & \underline{ㅤ　-\textcolor{green}{112 \, 96}\ } \,ㅤ(11296=2824\times4)
\\
2828 &ㅤㅤㅤㅤ\  6\,04
\\
& ㅤ\ \ \, \vdots
\end{align}

1) 자, 여기서 보면 나눗셈처럼 시작을 합니다.

2를 제곱하여 나눌 수 있는 가장 큰 수를 선택을 합니다. 여기서는 $ \textcolor{red}{1} $이네요.

그럼 이 $ \textcolor{red}{1} $을 제곱근호 왼쪽과 위에 하나씩 써 줍니다.

자, 여기서부터 근호기준 왼쪽연산과 오른쪽 연산이 분리됩니다.

오른쪽 연산은 완전한 나누기 연산입니다. 다만 자릿수를 내릴 때 나눗셈은 0 하나만 내리지만, 개평방에서는 00으로 0을 두개 내리지요.

왼쪽 연산은 이전에 선택한 수를 더해서 내리고 새로운 자리를 추가하는 연산입니다.

2)

오른쪽 연산: 나눗셈처럼 근호 왼쪽에 있는 수를 근호 위쪽에 있는 수와 곱하여 그 곱한 값을 근호 내에 있는 값과 빼주고, 나머지를 내립니다.(나머지: 2 - 1 = 1)

왼쪽 연산: 현재 선택한 수(1)를 더해주고, 그 수를 아래로 내려줍니다.(1 + 1 = 2 $)

3)

오른쪽 연산: 나머지에 00을 내립니다.(100)

왼쪽 연산: 내린 수의 끝자리에 수를 하나 더 추가합니다.(십의자리 2, 일의자리 ?)

4)

오른쪽 연산: 왼쪽에서 이 2? 와 ?를 곱해서 현재 "나머지+00"인 수보다 크지 않은 수를 찾습니다.
여기서는 24*4 = 96이므로 4가 우리가 찾던 ?입니다. 100에서 96을 뺀 4를 아래로 내려줍시다.
근호 위에도 써줍시다. 원래 근호 안에 있던 수의 자릿수보다 더 나누게 되니 소수점도 추가해줍시다.

왼쪽 연산: 위에서와 마찬가지로 24와 4를 더하고 아래로 내려줍니다.

5) 이후 계속 반복계산합니다.

글로보면 어렵지만, 이미지로 보면 정말 쉽습니다.

장점은

1. 처음 방법을 터득할때까지가 어색할 뿐이지 한번 터득하고 나면 계속 완전 같은 방식으로 연산을 반복하므로 직관적이고 쉽습니다.
2. 개평방법으로 구한 각 자릿수는 절대 변동의 여지없이 정확한 숫자를 나타냅니다.(이후 다른 방법들을 이용하여 제곱근을 구하게되면 소수점 자리들이 출렁출렁하면서 바뀝니다)
3. 나눗셈과 같이 한자리 한자리 구해나가는 것이므로, 완전제곱수의 경우 유한한 단계에서 명확하게 끝이 납니다.

단점은

1. 계산이 갈수록 엄청 번거로워지고(자릿수가 하나씩 늘어나는 곱셈 및 뺄셈 연산)
2. 이에따라 자릿수를 하나하나 늘려가는데 시간이 갈수록 오래 걸린다는 점이 있습니다.

3. 바빌로니아식 제곱근 근사법(Babylonian method)

3-1. 유래

제곱근을 계산하는 다른 방법으로는 바빌로니아 방법 혹은 바빌로니아 알고리즘이라는 방법이 있습니다.

왜 바빌로니아식 제곱근 근사법이냐 하면...

고대 바빌로니아(기원전 1800년경)의 점토판 유물에서 발견된 수학 문서에 제곱근 근사값을 계산하는 방식이 등장합니다.

• Plimpton 322 (기원전 1800년경 수메르/바빌로니아 지역의 점토판): 고대 바빌로니아 수학자들이 작성한 것으로 보이는 피타고라스 삼수표(Table of Pythagorean triples)로 해석되는 표(직각삼각형 계산과 연루)가 작성된 점토판. 정확한 용도에 대해서는 논란이 있으나, 제곱근 근사와 관련된 고대의 계산 문화와 맥락이 담겨있다고 볼 수 있다.
• YBC 7289 점토판: $ \sqrt{2} \approx 1.414213 $의 고정밀 근사값이 기록되어 있음 (실제값과 소수점 여섯째 자리까지 일치)

그래서 현대의 수학자들이 이 방법을 '바빌로니아식'이라고 명명하였습니다.

이후 고대 그리스 수학자 헤론(Heron of Alexandria)이 동일한 공식을 사용했어서 '헤론의 방법'이라고도 부르나, 보통은 바빌로니아 기록이 더 이르기 때문에 '바빌로니아식 제곱근 근사법'이라고 부릅니다.

3-2. 의미

위에서 봤던 개평법과는 다르게, 바빌로니아식 제곱근 근사법은 "반복 근사법"입니다.

즉, 계속해서 같은 공식에 이전에 나왔던 값을 '반복 대입'하며 근사값을 찾아가는 방법이죠.(점화식과 같습니다)

"반복 근사하면 오래걸리지 않아?"라고 하실지 모르겠습니다만, 일단 수렴속도가 어마어마하게 빨라서 해당 제곱근 수 근처의 수를 고르면 다섯번 이내로 최소 소수점이하 두세자리까지는 완벽하게 알 수 있습니다.(첫 값을 잘 고르면 네 번 만에 여덟자리까지 수렴하기도 합니다)

3-3. 수식

$ x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{S}{x_n}\right) $

수식은 이와같이 생겼습니다. 즉, $ x_n $을 넣고 계산을 하면 $ x_{n+1} $값이 나오고, 이 값을 다시 넣어서 계산하면서 반복해서 근사해나가는 방식이죠.

이때 $ x_0 > 0 $에서 시작하면 이 수열의 극한값이 $ \sqrt{S} $라는 것이 바빌로니아식 제곱근 근사법입니다.

왜 $ x_0 > 0 $이 조건이 필요하냐면... 0이면 아예 계산이 안되고, 음수면 $ -\sqrt{S} $로 수렴해서 그렇습니다.

3-4. 수렴하는 이유

직관적으로 보면

어떤 수 $ x $가 $ \sqrt{S} $​보다 작으면 $ \frac{S}{x} $​는 커지고, 반대로 $ x $가 크면 $ \frac{S}{x} $는 작아집니다.
그러므로 둘의 평균을 취하면 더 정확한 근사치에 다가갈 수 있죠!

수학적으로 보면

[수식의 나열입니다. 아래 더보기를 눌러보시고, 어려우시면 건너뛰시죠!]

3-5. 뉴턴-랩슨법(Newton-Raphson Method)의 특수한 형태

사실상 현재 어떤 함수에 대해 어떤 지점에서의 근삿값을 알고 싶다고 하면, 가장 빠르고 효율적인 알고리즘이 바로 뉴턴-랩슨법입니다.

그리고 사실 이 바빌로니아식 제곱근 풀이법은 뉴턴-랩슨법의 아주 특수한 형태라고 볼 수 있습니다.

뉴턴 랩슨법은 다음과 같습니다.

$ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $

우리는 어떤 수 x가 $ \sqrt{S} $와 같기를 바랍니다.

$ x = \sqrt{S} $

양변 제곱하면

$ x^2 = S $

이항하면

$ x^2 - S = 0 $

딱 이 값을 원하는 거죠. 그리고 이거는 함수로 표현하자면 f(x) = 0인 값을 찾고 싶은거고, 그러면 이제 함수 f(x)는 다음과 같이 정의 됩니다.

$ f(x) = x^2 - S $

여기서 0인 값을 찾는거죠.

그럼 이걸 뉴턴-랩슨법에 대입하면

$ x_{n+1} = x_n - \frac{(x_n)^2-S}{2x_n} $이 되고

정리하면

$ x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{S}{x_n}\right) $

가 되면서, 바빌로니아식 제곱근 근사법이 짜잔 하고 나타납니다!

4. 마무리

어떠셨나요..!

조금은 어렵지만, 조금은 재밌는, 무리수로의 한 발짝이었습니다!

삼각함수의 일반각(18도, 36도) 구하기

0. 서론

삼각함수를 처음 배울 때 특수각에 대한 값은 다 암기를 합니다. 특수각은 0도, 30도, 45도, 60도, 90도의 다섯가지죠!

그리고 '일반각은 어려워서 못구한다~ 계산기 써야해~'라고 배우죠!

그런데 갑자기 18도, 36도는 어떻게 구하냐구요?

에이 구할 수 있으니까 글을 썼겠죠..!?

그렇다면 이 신기한 각도를 구하는 여정을 떠나봅시다.

1. sin과 cos값의 신비

학창시절에 뭐 90도, 180도, 등등 더하면 부호가 바뀌고 함수가 바뀌고~ 하는 것들을 배우셨을 겁니다.

그때당시엔 그냥 무작정 외웠지만...

sin과 cos함수 사이에는 아주 깊은 연이 있답니다..!

수식으로 바로 써보자면, $ \sin t = \cos (\frac{\pi}{2}-t) $

즉, 합이 90도($ \frac{\pi}{2} $)가 되는 두 각도의 사인 값과 코사인 값은 서로 같답니다!

(직각 삼각형을 그려보면 아주 명확히 나오죠!)

2. 18도를 구해보자

자 그럼 여기서 18도는 어떻게 구할까요?

잘 보면, 18도를 5배하면 90도가 되는 것을 알 수 있죠!

그렇다면 18도를 그냥 A라고 쓰면, $ 5A = \frac{\pi}{2} $겠네요!

그리고 아까 sin과 cos의 관계에서 sin의 각과 cos의 각의 합이 90도이면 서로 같다고 했으니..

$ \sin 2A = \cos 3A $가 되겠군요?(2A+3A=5A=90도)

배각공식과 3배각 공식을 쓰면

$ 2\sin A \cos A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A $

여기서 삼각함수 항등식 $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $을 적용하면,

$ 2\sin A \cos A = 4\cos A (1-\sin^2 A) - 3 \cos A $

이 식에서 $ \cos A $는 0이 아니므로, 좌우변 모두 나눠주면

$ 2\sin A = 4(1-\sin^2 A) - 3 = 1 - 4\sin^2 A$

다시 수식 정리해주면

$ 4 \sin^2 A + 2 \sin A -1 = 0 $으로 정리가 되겠군요.

$ \sin A $를 t로 치환하고 근의 공식을 적용하면,

$ 4 t^2 + 2t -1 =0 $

$ t = \frac{-1 + \sqrt{1+4}}{4} \lor \frac{-1 - \sqrt{1+4}}{4} $

이렇게 나오겠죠? 그러나 여기서 $ \sin A $는 무조건 양수 값만 가질 것이므로

$ \sin A = \frac{-1 + \sqrt{1+4}}{4} $

즉, $ \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4} $입니다.

오, $ \sin 18^\circ $는 쉽게 구했군요! 그렇다면 cos도 같은 방법으로 구하면.... 아 쉽지 않아요...

sin의 경우와 다르게 수식이 쉽게 정리되지 않습니다.

그렇다면 cos은 구하지 못하는 걸까요?

아니죠!

우리에게는 삼각항등식이 있잖아요!

$ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $

$ \sin^2 18^\circ + \cos^2 18^\circ = 1 $

$ \cos^2 18^\circ = 1 - \sin^2 18^\circ $

$ \cos^2 18^\circ = 1 - \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)^2 $

따라서

$ \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} $

3. 36도를 구해보자

$ \cos 36^\circ $는 어떻게 구할까요?

$ \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 1 - \sin^2 A - \sin^2 A = 1- 2\sin^2 A $

이므로, 아까 구한 $ \sin 18^\circ $를 이용하면

$ \cos 36^\circ = 1 - 2 \sin^2 18^\circ $

$ \cos 36^\circ = 1- 2 \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)^2 $

따라서

$ \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4} $

여기서 삼각항등식을 이용하면 쉽게 $ \sin 36^\circ $도 구할 수 있습니다.

$ \sin^2 36^\circ = 1 - \left( \frac{\sqrt{5}+1}{4} \right)^2 $

$ \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} $

4. 마무리

이렇게 일반각 18도와 36도의 값을 알아 보았습니다.

더해서 90도가 되는 각은 sin과 cos이 같다고 했으니, 위의 각만 알고있어도 72도, 54도의 값은 알고있는거나 마찬가지 입니다.

이번 포스팅에서 tan는 언급이 없었는데, 사실 tan는 sin과 cos의 조합으로 이루어진 함수이므로 sin, cos값만 알고있으면 tan값은 알고있는거나 마찬가지이므로 따로 언급을 하지 않았습니다.

삼각함수의 3배각 공식(삼중각 공식) 증명(feat 오일러&드무아브르 공식)

0. 서론

오늘은 삼각함수의 3배각 공식(Triple Angle Formula)을 증명해보겠습니다.

일단, 덧셈 공식을 아신다는 가정 하에 덧셈 공식으로 유도해보고 그 다음 오일러 공식과 드무아브르 공식을 이용해서 유도해보도록 하겠습니다.

1. 덧셈 공식을 활용하여 유도해보기

sin함수의 덧셈 공식과 배각 공식은 다음과 같습니다.

$ \sin (a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \ \rightarrow \sin 2t = 2\sin t \cos t $

cos함수의 덧셈 공식과 배각 공식은 다음과 같습니다.

$ \cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \ \rightarrow \cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t $

1-1. $ \sin 3t $

일단 삼각함수 중 sin부터 유도해보죠.

$ \sin 3t = \sin (2t + t) $

$ = \sin 2t \cos t + \cos 2t \sin t $

$ = 2\sin t \cos t \cos t + (\cos^2 t - \sin^2 t) \sin t $

$ = 2\sin t \cos^2 t + \sin t \cos^2 t - \sin^3 t = 3\sin t \cos^2 t - \sin^3 t $

여기서 삼각함수 항등식 $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \Leftrightarrow \cos^2 t = 1- \sin^2 t $를 적용하면

$ = 3\sin t (1-\sin^2 t) - \sin^3 t $

$ = 3\sin t - 4 \sin^3 t $

따라서

$ \sin 3t = 3\sin t - 4 \sin^3 t \quad \blacksquare$

1-2. $ \cos 3t $

다음으로 cos을 유도해 보겠습니다.

$ \cos 3t = \cos (2t + t) $

$ = \cos 2t \cos t - \sin 2t \sin t $

$ = (\cos^2 t - sin^2 t) \cos t - 2\sin t \cos t \sin t $

$ = \cos^3 t - \sin^2 t \cos t - 2\sin^2 t \cos t = \cos^3 t - 3\sin^2 t \cos t $

여기서 삼각함수 항등식 $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \Leftrightarrow \sin^2 t = 1- \cos^2 t $를 적용하면

$ = \cos^3 t - 3(1-\cos^2 t)\cos t $

$ = 4\cos^3 t - 3\cos t $

따라서

$ \cos 3t = 4 \cos^3 t - 3\cos t \quad \blacksquare$

2. 오일러 공식과 드무아브르 공식으로 유도하기

간단하게 오일러 공식은 $ e^{it} = \cos t + i \sin t $

드무아브르 공식은 $ (\cos t + i \sin t)^n = \cos (nt) + i \sin (nt) $입니다.

이번에는 오일러 공식이 굉장히 중요하게 작용하니, 잘 모르시는 분들께서는 >>오일러 공식<< 포스팅을 먼저 읽고 오시길 추천드립니다.

일단 드무아브르 공식이 왜 성립하는지 살펴본 뒤에 이를 이용하여 3배각을 증명해보죠!

2-1. 드무아브르 공식의 증명

오일러 공식은 $ e^{it} = \cos t + i \sin t $라고 했습니다.

여기서 $ e^{it} $를 n제곱 해볼까요?

$ \left( e^{it} \right)^n $

이렇게 수식으로 나타낼 수 있고, 지수 법칙에 따라 이는 아래와도 같이 나타낼 수 있을 겁니다.

$ e^{int} = e^{i(nt)} $ [결합법칙에 따라 int와 i(nt)는 같죠!]

즉, $ \left( e^{it} \right)^n = e^{i(nt)} $겠네요.

그렇다면 여기서 오일러 공식을 바로 대입해볼까요?

좌항은:

$ e^{it} = \cos t + i \sin t $이므로,

$ \left( \cos t + i \sin t \right)^n $

이렇게 정리 될 것이고

우항은:

오일러 공식 $ e^{iA} = \cos A + i \sin A $에서 $ A = nt $로 치환하면,

$ e^{int} = \cos nt + i \sin nt $

로 정리될 겁니다.

따라서

$ \left( \cos t + i \sin t \right)^n = \cos nt + i \sin nt \quad \blacksquare $

임이 증명되었습니다.

2-2. 드무아브르 공식을 활용한 3배각 증명

2-2-1. $ \sin 3t $

$ \sin 3t $을 찾으려면 아까 증명한 공식에서 n이 3인 형태를 구해보면 될 것 같습니다.

$ \left( \cos t + i \sin t \right)^3 = \cos 3t + i \sin 3t $ 이니까요.

그럼 좌항을 한번 전개해보죠.

$ \left( \cos t + i \sin t \right)^3 = \cos^3 t + 3\cos^2 t \cdot i \sin t - 3\cos t \cdot \sin^2 t - i \sin^3 t $

식 정리하면,

$ \cos^3 t - 3\cos t \cdot \sin^2 t + i (3\cos^2 t \sin t - \sin^3 t) $

이렇게 정리가 되겠습니다.

다시 살펴보면

$ \cos 3t + i \sin 3t = \left( \cos t + i \sin t \right)^3 $

$ \cos 3t + i \underline{\sin 3t} = \cos^3 t - 3\cos t \sin^2 t + i \underline{(3\cos^2 t \sin t - \sin^3 t)} $

이렇게 정리가 된 식인데요, 여기서 저희는 $ \sin 3t $만 궁금하기때문에, 허수가 곱해진 허수부만 보면 될 것 같습니다.

$ 3\cos^2 t \sin t - \sin^3 t $

여기서 $ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t$이므로 대입하면

$ 3(1 - \sin^2 t) \sin t - \sin^3 t $

$ 3\sin t - 4\sin^3 t $

오, 따라서 $ \sin 3t = 3\sin t - 4\sin^3 t \quad \blacksquare $

위에서 공식으로 증명한 것과 완전히 같은 값이 나왔습니다!

2-2-2. $ \cos 3t $

여기서는 $ \cos 3t $라고 아예 새로 시작할 필요가 없는게, 이미

$ \underline{\cos 3t} + i \sin 3t = \underline{\cos^3 t - 3\cos t \sin^2 t} + i (3\cos^2 t \sin t - \sin^3 t) $

이 식에서 $ \cos 3t $를 바로 찾을 수 있습니다.

네, 바로 아까와 다르게 실수부만 보면 되기 때문이죠!

따라서

$ \cos 3t = \cos^3 t - 3\cos t \sin^2 t $

$ = \cos^3 t - 3\cos t (1-\cos^2 t) $

$ \cos 3t = 4\cos^3 t - 3\cos t \quad \blacksquare $

바로 유도가 되죠!?

3. 마무리

오늘은 sin과 cos의 3배각 공식(삼중각 공식)에 대해 알아보았습니다.

배각공식만 알아도 금방 유도할 수 있지만, 오일러 공식과 드무아브르 공식으로 자연히 유도되는 부분이 경이롭지 않나요?

아, 근데 왜 tan는 없냐고요?

아쉽게도 tangent 함수는 정의 자체가 sin과 cos의 분수형태거든요.. $ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} $

그래서 바로 계산할 수 있는 방법은 없습니다.

tan의 덧셈 공식(배각 공식)자체도 sin과 cos의 덧셈 공식을 분수로 나열한 뒤에 정리해서 만드는 형태이고, 3배각도 배각 공식을 다시 정리해서 유도하는 형식이기 때문에 오늘의 포스팅에서는 살짝 생략을 하였답니다.

그래도 궁금하시다면..! 한번 직접 유도해보시는 건 어떨까요!?

정담은 살짝 알려드리도록 하겠습니다!

tan의 덧셈 공식

$ \tan (a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a \tan b} $

세상에서 가장 아름다운 수식(박사가 사랑한 수식, 오일러 항등식)

0. 서론

세상에서 가장 아름다운 수식 혹은 박사가 사랑한 수식을 아시나요?

바로 오일러 항등식(Euler's identity)

$ e^{\pi i}+1 = 0 $인데요(관련글 복소수 평면에서의 오일러 공식(Euler's formula))

왜 가장 아름다운 수식이라고 했을까요?

오늘은 이 이유를 알아보도록 하겠습니다.

1. 오일러의 공식에서 오일러 항등식으로 변형

오일러의 공식은 $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $입니다.

그리고 여기서 x에 $ \pi $를 대입하면, $ e^{\pi i} = -1 $를 얻을 수 있습니다.

그리고 -1을 이항하면(혹은 1을 양변에 더해주면) $ e^{\pi i} +1 = 0 $이라는 오일러 항등식이 만들어집니다.

참고로 항등식(identity)이라는 말은 '기호의 조작 없이 항상 참인 형태의 수식'을 의미합니다.

여기서 $ e^{\pi i} = -1 $은 왜 따로 안부르고, $ e^{\pi i} +1 = 0 $만 오일러 항등식이라고 부를까요?

두 가지 가능성 있는 이야기를 해보겠습니다.

1-1. 대입 결과 vs 자명한 등식

$ e^{\pi i} = -1 $는 사실 오일러 공식 $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $에서 $ \pi $를 대입해준 결과에 불과합니다.

즉, 오일러 공식의 한가지 대입 결과(=특수 케이스)라고 볼 수 있는 형태이지요.

그러나, $ e^{\pi i} +1 = 0 $는 오일러 공식에 값을 대입한 결과를 "자명한 등식" 형태로 재정리한 것이라고 볼 수 있습니다.

따라서 이렇게 재정리된 식을 따로 '오일러 항등식'이라고 명명해 준 것이죠.

1-2. '0(無)'과 관계짓기

$ e^{\pi i} = -1 $ 자체로도 충분히 아름답습니다.

그러나 수학자들은 '+1=0' 형태로 이항하여 '0(無)'과의 관계를 만드는 것을 선호합니다. 이는 모든 중요한 요소들이 더해져 완벽한 '없음'의 상태, 즉 균형을 이룬다는 철학적 의미를 더하기 때문입니다.

실제로도 어떤 방정식을 푼다고 하면 '=0'으로 놓고 푸는 것이 일반적이고, 이런 것들이 '자명한 등식'이라는 느낌에 암암리에 영향을 미치지 않았을까 싶습니다.

2. 5개의 가장 기초적이고 중요한 수를 모두 포함

이 하나의 수식에 아래의 상수가 모두 들어 있습니다:

• $ e $ : 자연로그의 밑, 미적분과 자연성장의 핵심
• $ i $ : 허수 단위, 복소수 체계의 근간
• $ \pi $ : 원주율, 기하학과 주기성의 상징
• $ 1 $ : 곱셈 항등원, 수의 단위
• $ 0 $ : 덧셈 항등원, 무의 개념

이 5개는 각각 다른 수학적 영역을 대표합니다. 그들이 하나의 방정식에 조화롭게 등장하는 것은 극히 드문 일입니다.

3. 최소한의 수식으로 최대한의 의미 전달

이 수식은 다음의 특성을 모두 만족합니다:

• 등식(=)
• 지수함수
• 복소수
• 원주율
• 음수
• 항등식 형태

즉, 구조적으로 단순하면서도 의미적으로는 극단적으로 복잡하고 깊이 있는 내용을 담고 있습니다.

4. 해석학, 대수학, 복소수, 삼각함수, 위상수학까지 아우름

이 수식의 기원은 복소수 평면에서의 오일러 공식:

$ e^{ix} = \cos x + i\sin x $

입니다.(관련글 복소수 평면에서의 오일러 공식(Euler's formula))

여기서 $ \pi $ 를 대입하면 자연스럽게 오일러 항등식이 됩니다. 즉,

$ e^{i\pi} = -1 \Rightarrow e^{i\pi} + 1 = 0 $

이것은 복소수의 극형태 표현, 삼각함수와의 연계, 그리고 지수함수의 본질까지 포괄합니다.

5. 수학자들이 ‘신의 언어’라고 불렀을 정도로 완벽한 조화

리처드 파인만(Richard Feynman)은 이 수식을 "수학에서 가장 놀라운 공식"이라 칭했습니다.("Feynman once described Euler's identity as 'our jewel' in mathematics") 또 다른 수학자들은 이 수식을 "수학이 예술과 과학의 경계에서 빛나는 순간"이라고 평합니다.

6. 실제 응용성과 철학적 깊이 모두 갖춤

이 수식은 단지 아름답기만 한 것이 아니라, 파동 이론, 양자역학, 신호처리, 회전군 이론, 푸리에 해석 등에서도 핵심 역할을 합니다.

철학적으로도, “무(0)”와 “존재(1)”, “무한한 성장($e$)”, “회전과 순환($\pi$)”, “상상($i$)”이 함께 관계를 맺고 있다는 해석도 존재합니다.

7. 결론: 왜 아름다운가?

서로 다른 영역의 근본적인 수학 개념들이 극도로 단순한 형태로 만났기 때문입니다.

마치 우주와 시간, 존재와 무, 실재와 상상이 단 하나의 언어로 압축된 듯한 느낌을 주기 때문에, 이 수식을 보고 많은 수학자들이 "숭고함" 혹은 "경외심"을 느끼기 때문이죠..!

혹시 "아니 이 식이 왜 아름다운거야?" 싶으셨던 분들! 이 포스팅으로 이해하는데 도움이 되셨길 바랍니다!

복소수 평면에서의 오일러 공식(Euler's formula)

0. 서론

오일러의 공식은 다음과 같습니다.  
$ e^{ix} = \cos x + i \sin x $

언뜻 보면 "지수함수가 삼각함수랑 등호로 연결된다고...? 이게 왜 성립하는 식이야?"하며 의아함이 들 수 있지만, 사실 이 공식은 복소평면 위에서의 특별한 움직임을 표현하면서 지수함수와 삼각함수 사이의 연결고리를 제공한답니다!

이 공식을 정확히 이해하면, 나중에 ‘세상에서 가장 아름다운 수식’이라 불리는
$ e^{\pi i} + 1 = 0 $
도 자연스럽게 받아들일 수 있게 됩니다.
(물론, 그 외에도 푸리에 해석, 양자역학, 신호처리 등 수많은 분야에 등장합니다.)

오늘은 이 공식이 어떻게 유도되는지 살펴보겠습니다.

1. 복소평면

복소평면이라하면 말이 거창해보이지만, 사실 실수를 나타내는 수직선(number line)에 직각으로 허수를 나타내는 축을 도입하여 하나의 평면으로 나타낸 것입니다. 그리고 이것을 통해 복소수(1+i)를 수직좌표평면처럼 나타낼 수 있게 됩니다.

2. 오일러의 공식 유도하기

2-1. 미분으로 이해하기

사실 어떻게보면 이 방식이 제일 쉽고 빠르게 이해할 수 있는 방식입니다.

미분이라고 어려울 것 없습니다.

1. 위치를 미분하면 속도가 됩니다.
2. 특정 거리 $ e^{ax} $에서의 속도는 $ a \cdot e^{ax} $입니다.
   • $ e^x $는 미분해도 그대로 $e^x$인 재밌는 함수입니다.
   • 여기서 $ e^{ax} $를 미분하면 '미분규칙'에 의해 $ a \cdot e^{ax} $가 됩니다.

이 두가지만 알면 됩니다.

2-1-1. a=1일 때,

특정 거리 $ e^x $에서의 속도는 $ e^x $입니다. 즉, x가 증가한다면 증가하는 방향으로 위치와 같은 속도를 가지고 움직인다는 거죠.

2-1-2. a=2일 때,

특정 거리 $ e^{2x} $에서의 속도는 $ 2e^{2x} $입니다. 즉, x가 증가한다면 증가하는 방향으로 위치의 두배 속도를 가지고 움직인다는 거죠.

2-1-3. a=$-\frac{1}{2}$일 때,

특정 거리 $ e^{-\frac{1}{2}x} $에서의 속도는 $ -\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x} $입니다. 즉, x가 증가한다면 증가하는 방향의 반대로 위치의 절반 속도를 가지고 움직인다는 거죠.

2-1-4. a=i 일 때,

이제 복소평면이 등장합니다.

이전까지는 수직선(number line) 상에서 양의 방향과 음의 방향의 선형적 움직임이었다면 이제, 허수축으로도 움직입니다.

특정 거리 $ e^{ix} $에서의 속도는 $ ie^{ix} $입니다.

즉, x가 증가한다면 현재 위치에서 수직인 방향(허수 i가 곱해졌으므로)으로 위치와 같은 속도를 가지고 움직인다는 거죠.

그렇다면 복소평면에서 $ e^{ix} $가 나타내는 점의 자취는 원이 될 것입니다.(매 순간 수직방향으로 힘이 가해지면 원운동이 되죠?)

따라서 x는 호도법으로 정의된 각과 같은 값을 가집니다.

2-1-5. $e^{ix}$와 $ \cos x $, $ \sin x $ 연결시키기

이 원 위의 한 점은, 위에서 알아봤다시피 $ e^{ix} $로 나타낼 수 있습니다.

여기서 좌표평면에서 단위원을 각 $ \theta $로 나타내던 것 기억나시나요?

원의 방정식 $ x^2+y^2 = 1 $에서
임의의 점 $ (x, \ y) $를 각 $ \theta $로 표기하면
$ x = \cos \theta $
$ y = \sin \theta $
로 표기가 됐었죠?(그래서 자연스럽게 삼각함수 항등식 $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $이 유도되는거구요)

마찬가지로 $ e^{ix} $도 다시 나타내면 $ \cos x + i\sin x $가 될 것입니다.

다만, Cartesian 평면에서는 x값과 y값이 따로 제시가 되었지만 복소평면에서는 실수+허수i로 표현을 하기 때문에

허수축의 값인 $ \sin x $에 $ i $를 곱해서 실수축의 값인 $ \cos x$와 더한 값인 $\cos x + i \sin x $가 $e^{ix}$와 같은 값을 나타내게 됩니다.

따라서 $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $입니다.

2-2. 3차원으로 이해하기

위에서는 복소평면 위에서의 원운동으로 수식을 설명하였습니다.

그러나 이 복소평면 외에 '시간(t)'축을 하나 더 설정하여 3차원으로 보면 과연 어떻게 나타날까요?

이 복소수 운동이 나선형으로 전개되며 실수부와 허수부가 시간에 따라 각각 사인과 코사인 파형으로 나타나는 구조를 가집니다.

이런 시각화 방식은 단순한 함수 표현을 넘어서, 푸리에 해석의 기하적 기초를 제공하는 중요한 직관적 도식입니다.

2-3. 테일러 급수로 유도하기[심화: 수학적으로 엄밀하게 증명하기]

이 파트 시작 전 warning:

이 부분은 미적분 및 기본적 급수 지식이 필요하니, 가볍게 읽고 싶은 분들은 건너뛰고 '3. 결론'으로 가셔도 좋습니다!

테일러 급수(Taylor series)는 어떤 함수(특히 초월함수)가 특정 점 a에서 충분히 매끄럽게(무한 미분 가능하게) 정의되어 있을 때, 그 함수를 해당 점 근방에서 다항함수의 무한합(멱급수)으로 근사하는 수학적 도구입니다.

$ f(x) = \sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n $

임의의 a점에서 함수 f를 다항함수로 근사시킬 때, 원래 함수 f의 n계 도함수(n번 미분)를 n 팩토리얼로 나눈 멱급수의 형태이죠.

여기서 $ f^{(n)} $은 미분 횟수를 나타내는 표현입니다.

보통은 초월함수를 계산 가능하게 근사할 때 많이 쓰입니다.

그리고 여기서 a가 0인, 즉 원점에서 근사하는 것을 특별히 매클로린 급수(Maclaurin series)라고 합니다.

$ f(x) = \sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n $

테일러 급수에 비해 계산이 훨씬 쉬워지죠.

이제 각 식을 매클로린 급수로 나타내면 다음과 같습니다.

$ e^x $는 미분해도 $ e^x $라는 걸 위에서도 알아봤으니, $ e^x $의 매클로린급수는 다음과 같아집니다.

$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $

$ \cos x $는 1번 미분하면 $ -\sin x $, 2번 미분하면 $ -\cos x $, 3번 미분하면 $ \sin x $, 4번미분하면 다시 $ \cos x $가 되는 주기함수입니다.

여기서 매클로린 급수로 표현했을때, 상수항을 포함하여 본다면, 매 짝수번째 항이 $ \sin x $의 값을 가지고, 결과적으로 짝수번째 항은 전부 사라져버립니다.(다시말해 분모가 짝수 팩토리얼인 항만 남습니다.)

$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots $

$ \sin x $는 1번 미분하면 $ \cos x $, 2번 미분하면 $ -\sin x $, 3번 미분하면 $ -\cos x $, 4번미분하면 다시 $ \sin x $가 되는 주기함수입니다.

여기서 매클로린 급수로 표현했을때, 상수항을 포함하여 본다면, 매 홀수번째 항이 $ \sin x $의 값을 가지고, 결과적으로 홀수번째 항은 전부 사라져버립니다.(다시말해 분모가 홀수 팩토리얼인 항만 남습니다.)

$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots $

여기서 $x$에 $it$를 대입하면

$ e^{it} = 1 + it - \frac{t^2}{2!} - \frac{i \cdot t^3}{3!} + \cdots $

이므로, 정리하면

$ e^{it} = (1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \cdots) + i(t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \cdots) $

이와같이 정리할 수 있습니다.

다시 여기서, 위에서 살펴보았던, cos과 sin의 매클로린 급수는

$ \cos t = 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \frac{t^6}{6!} + \cdots $

$ \sin t = t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \frac{t^7}{7!} + \cdots $

이므로, 최종적으로 정리하면

$ e^{it} = \cos t + i \sin t $

이렇게 정리됨을 알 수 있습니다.

실제 각 함수의 매클로린 급수를 하나씩 늘려가며(원래 그래프에 근사시켜가며) 이미지로 한번 볼까요?

• 검은선은 원래 함수, 파란선은 매클로린 급수(특정 차수의 근사 함수)입니다.
• sin t가 그려지는 평면은 세로 허수축과 가로 t축
• cos t가 그려지는 평면은 가로 실수축과 세로 t축
• $ e^{it} $가 그려지는 평면은 세로 허수축과 가로 실수축(복소평면)입니다.

위의 그래프는 각 아래의 수식을 시각화 한 것입니다.

각 $\sin t$, $\cos t$, 그리고 $e^{it}$를 맥클로린 급수로 차수별로 근사해보면, 20차 항만으로도 실제 함수와 거의 일치함을 확인할 수 있습니다.

특히 $\cos t$는 복소평면에서 실수축(x축)의 좌표로 작용하므로, 시각적 직관을 높이기 위해 x축과 y축을 바꿔 표현했습니다.

그림을 보면,

• $\sin t$는 짝수 차 항의 계수가 0이기 때문에 해당 차수에서는 그래프에 변화가 없고,
• $\cos t$는 홀수 차 항이 0이므로 홀수 차수에서도 마찬가지입니다.

또한 두 함수 모두 최고차 항의 부호가 교대로 바뀌기 때문에, 차수가 한 항씩 증가하면서 곡선의 기울기나 방향이 우상향 ↔ 우하향으로 번갈아 나타납니다.

이러한 곡선의 굽음 방향 변화는 복소평면 위 $e^{it} = \cos t + i\sin t$의 궤적에도 그대로 반영되며,  
실수부($\cos t$), 허수부($\sin t$)의 방향성이 차수에 따라 교대로 뒤집히는 과정을 통해 점점 단위원에 수렴하는 원형 궤적을 시각적으로 관찰할 수 있습니다.

3. 결론

오일러의 공식 $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $이 증명되었습니다.

더불어 오일러 항등식에 사용되는 '$ x = \pi $일때 $ e^{\pi i} = -1 $'도 자명하게 나오죠?
(삼각함수 계산($ e^{\pi i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + i \cdot 0 $)을 해도 나오고, 좌표상에서도 시작 1에서 180도(=$\pi$) 돌아가면 -1이니까요!)