무한서고

사이클로이드의 면적구하기(면적분)

말머리-

사이클로이드를 아주 뽕을 뽑아 먹어보자구요!

1탄 사이클로이드 선적분

에 이어 2탄 사이클로이드의 면적을 구해봅시다.

수식세우기-

직사각형의 면적은 어떻게 구하죠? 그렇죠 가로 곱하기 세로입니다.

곡선의 면적은요? 애매하죠?

여기서 정말 미세하게 나눠서 직사각형의 면적을 구한다음에 다 합치면? 곡선의 아래 면적이 되겠죠?

자, 가봅시다



각 위치에서 높이는 고정인데, 그 밑변만 아주아주 작게 잘라서 직사각형 구하고 다 합치면 되겠죠? 식으로 써 봅시다



직사각형 구하고

$ y dx $



다 합칩니다

$ \int y dx $



이렇게 쓸 수 있겠네요?



1탄에서 사이클로이드 매개변수로 어떻게 표현한다고 했죠?



$ x = r(t-sin t) $
$ y = r(1-cos t) $



저번처럼 미분하면~



$ dx = r(1-cos t) dt $

$ dy = rsin t dt $



그대로 대입해서 매개변수로 나타내 봅시다.



$ \int_{0}^{2\pi} y * dx $

$ \int_{0}^{2\pi} r(1-cos t) * r(1-cos t) dt $
$ r^2 \int_{0}^{2\pi} (1-cos t)^2 dt $

$ r^2 \int_{0}^{2\pi} (1-2cos t+cos^2 t) dt $
$ r^2 \int_{0}^{2\pi} (1-2cos t+\frac{cos 2t+1}{2}) dt $
$ r^2 \int_{0}^{2\pi} (\frac{3}{2}-2cos t+\frac{cos 2t}{2}) dt $

$ r^2 \frac{3}{2}t]_{0}^{2\pi} \because cos\ t, cos\ 2t $함수는 0에서 $ 2\pi $까지 적분하면 $ \pm 0 $

$ 3 \pi r^2 $

결론-

즉, 사이클로이드의 넓이는 원 넓이의 세배!

직선 두개로 뢸로 삼각형(Reuleaux triangle) 4등분 하기[그러나 이제 적분이 없는]

[나야 기하학]

말머리-

어제 뢸로 삼각형을 해체했다는 기쁨도 잠시... 어제 포스팅 쓰면서 적분 변환하느라 아주 길고 긴 latex을 작성했던 것이 떠올랐다.

근데 적분 말고, 전에 원을 나눌때도 기하학으로 하면 더 편했던 것 처럼 기하학으로는 안될까..?

싶었는데... 고민해보니 되긴하네!? 해서 시작한 포스팅이네요

하다보니 항이 많고, 원 변수를 모두 포함해서 계산하자면 아주 복잡해지는데 이를 적당히 간단한 변수로 치환치환 해가며 정리하면 금새 수식이 정리되는게, 정말 복잡한 적분 없이 바로 결과식에 도달하는게 재미지네요!

수식세우기-

1] 도형 나누기

이전 포스팅인 >>적분으로 뢸로삼각형 4등분하기<<를 기본으로 보시면 좋습니다.

기본 뼈대는 같습니다. 뢸로삼각형 넓이의 $ \frac{1}{4} $을 구하는 거지요.

그러나 기하학을 곁들여서 생각해보면 이번에는 뢸로삼각형을 아래와 같이 나눠볼 수 있을 것 같네요!

예 색칠을 좀 해봤습니다!

저 자주색 영역이(빗금까지 포함해서) 부채꼴입니다. 뢸로 삼각형의 정의가 한 꼭지점을 원점으로하여 다른 두 꼭지점을 연결하는 원의 일부분을 그리는 것이었으니 당연히 한 꼭지점을 원점으로하는 자주색 영역은 부채꼴이 됩니다.

다만 여기서는 임의의 각 $ \theta $만큼의 부채꼴인거죠.

자 그러면 이제 뢸로삼각형의 영역의 $ \frac{1}{4} $의 넓이를 저 도형들로 살펴보죠!

먼저 자주색 부채꼴 넓이에서 빨간색 삼각형 넓이를 빼고 파란색 삼각형 넓이를 더하고 주황색 활꼴의 절반 넓이를 더하면 뢸로 삼각형의 1/4이 되겠네요!

똑같이 뢸로삼각형의 내부 정삼각형의 밑변을 y=0에 두고, 그 높이를 a라고 칭하겠습니다.

그리고 a높이에서 x위치는 이전 포스팅과 동일하게 원의 방정식으로 놓겠습니다.

그러면,

$ 자주-빨강+파랑+주황 = \frac{1}{4} 뢸로삼각형 전체 넓이 $

으로 볼 수 있고, 이거를 좀 더 있어보이게 표현해보면 아래와 같습니다.

$ A_{Sector}-A_{SectorTriangle}+A_{UpperTriangle}+\frac{1}{2}A_{Segment} = \frac{1}{4}A_{ReuleauxTriangle} $

자, 이제 각각의 넓이를 구하러 출동해보시죠

2] 각각의 넓이 구하기

차례대로 하나씩 넓이를 구해보죠

일단 자주색 부채꼴입니다.

임의의 각 $ \theta $로 계산하면 부채꼴의 넓이는

$ A_{Sector} = \frac{1}{2}d^2\theta $

이렇게 되겠죠?

다음은 빨간 삼각형입니다.

삼각형의 넓이는 밑변*높이*절반 입니다. 여기서 밑변은 폭의 절반이지만, 높이는 일반각 $ \theta $로 정의되기때문에 밑변에 $ tan\theta $를 곱한 것으로 알 수 있죠. 따라서

$ A_{SectorTriangle} = \frac{1}{2}*\frac{1}{2}d*\frac{1}{2}dtan\theta $

이 됩니다.

파란 삼각형을 보죠

빨간 삼각형과 비슷하게 밑변*높이*절반을 가져가려하나, 밑변에 해당하는 길이가 변수 a에 의해서 계속 변화합니다. 따라서 밑변은 변수 a에 의해 길이가 결정되는데, 이 법칙을 나타낸게 원의 방정식을 정리한 함수죠. 자세한 내용은 이전 포스팅에 있으니 여기서는 빠르게 수식을 세워보도록 하겠습니다.

그리고 이 파란 삼각형에서도 높이는 밑변에 tan값을 곱한 값이 되는데, 여기서 일반각은 평행한 두 직선 사이 엇각의 관계가 되므로(정확히는 내엇각(alternate interior angle)) 똑같이 $ \theta $가 됩니다.

수식으로 세워보면

$ A_{UpperTriangle} = \frac{1}{2}*(\sqrt{d^2-a^2}-\frac{d}{2})*(\sqrt{d^2-a^2}-\frac{d}{2})tan\theta $

이 됩니다.

대망의 활꼴의 절반인 주황색이 나왔습니다. 

전체 활꼴의 넓이는 아래와 같고

$ A_{Segment} = \frac{1}{2}d^2\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}d^2 $

이것의 절반이 주황색의 넓이죠?

전체 수식에서 나중에 1/2을 해줄테니 수식은 여기까지 세우는 걸로 하죠

마지막 뢸로 삼각형의 넓이 입니다.

$ A_{ReuleauxTriangle} = \frac{3}{2}d^2\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}d^2 $

부채꼴넓이*3-정삼각형넓이*2 해주면 나옵니다.

이제 각각의 넓이를 다 구했으니 다 합칠까요?

아뇨... 각각만 봐도 너무 복잡한데 지금 다 합쳐버리면 길이가 너무 길어져요...

그러니 동일하게 각각 다 수식을 정리해서 마지막에 합쳐보죠!

3] 수식 정리하기

$ \frac{a}{d} = s $ 로 놓겠습니다. 그럼 $ a = ds $도 성립하겠죠?

그리고 sin함수의 정의는 임의의 각 $ \theta $에 대해 그 직각삼각형의 $ \frac{높이}{빗변} $로 정의됩니다. 따라서
$ sin\theta = \frac{a}{d} $ 가 되겠네요. 그리고 $ \frac{a}{d} = s $니까, 삼단논법으로 $ sin\theta = s $입니다.

sin을 정의했으니 다른 삼각함수들도 정의해보죠. 삼각함수들은 하나가 정해지면 다른것들로도 다 변환이 된답니다.
$ cos\theta = \sqrt{1-sin^2\theta} = \sqrt{1-s^2} $
$ tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta} = \frac{s}{\sqrt{1-s^2}} $

자, 이제 간단하게 할 준비는 다 끝났습니다. 수식정리하러가죠

부채꼴은 다음과 같이 정리될겁니다. $ sin\theta=s $면 $ \theta=arcsin\ s $겠죠?

$ A_{Sector} = \frac{1}{2}d^2\theta $
$ A_{Sector} = \frac{1}{2}d^2arcsin\ s $

빨간삼각형은

$ A_{SectorTriangle} = \frac{1}{2}*\frac{1}{2}d*\frac{1}{2}dtan\theta $
$ A_{SectorTriangle} = \frac{d^2s}{8\sqrt{1-s^2}} $

파란삼각형은

$ A_{UpperTriangle} = \frac{1}{2}*(\sqrt{d^2-a^2}-\frac{d}{2})*(\sqrt{d^2-a^2}-\frac{d}{2})tan\theta $
$ A_{UpperTriangle} = \frac{d^2}{2}(\sqrt{1-s^2}-\frac{1}{2})^2\frac{s}{\sqrt{1-s^2}} $

요렇게 정리가 되겠네요!

활꼴과 뢸로 삼각형도 각각 절반, 사등분 해준 결과를 먼저 써서 정리하죠

$ \frac{1}{2}A_{Segment} = \frac{d^2}{4}(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}) $
$ \frac{1}{4}A_{ReuleauxTriangle} = \frac{d^2}{8}(\pi-\sqrt{3}) $

이 두개는 상수항이므로 먼저 계산을 통해 정리해보도록 하겠습니다.

$ A_{Sector}-A_{SectorTriangle}+A_{UpperTriangle}+\frac{1}{2}A_{Segment} = \frac{1}{4}A_{ReuleauxTriangle} $

이게 전체식이구요, 상수항을 이항해서

$ A_{Sector}-A_{SectorTriangle}+A_{UpperTriangle} = \frac{1}{4}A_{ReuleauxTriangle}-\frac{1}{2}A_{Segment} $

요렇게 놓은뒤에 위에서 정리한 식을 넣고 다시 정리하면

$ A_{Sector}-A_{SectorTriangle}+A_{UpperTriangle} = \frac{d^2\pi}{24} $

요렇게 상수항이 깔끔해집니다.

이제 나머지 식들을 대입해보죠

$ \frac{1}{2}d^2arcsin\ s-\frac{d^2s}{8\sqrt{1-s^2}}+\frac{d^2}{2}(\sqrt{1-s^2}-\frac{1}{2})^2\frac{s}{\sqrt{1-s^2}} = \frac{d^2\pi}{24} $

길어졌죠? 일단 공통되는 변수를 양변 나눠줘서 일단 최대한 간단하게 해봅시다.

$ \frac{d^2}{2} $로 양변 나누면(=$ \frac{2}{d^2} $로 양변 곱하면)

$ arcsin\ s-\frac{s}{4\sqrt{1-s^2}}+(\sqrt{1-s^2}-\frac{1}{2})^2\frac{s}{\sqrt{1-s^2}} = \frac{\pi}{12} $

훨씬 간단해졌죠?

그래도 루트가 있으니까 뭔가 보기 불편합니다. 더 줄여보죠. $ u = \sqrt{1-s^2} $ 이렇게 루트를 치환해보겠습니다.

$ arcsin\ s-\frac{s}{4u}+(u-\frac{1}{2})^2\frac{s}{u} = \frac{\pi}{12} $

보기 훨씬 편하죠?

이제 세번째 항의 제곱을 풀어봅시다. 아주 수식이 간단하니 그 옆에 있는 곱셈으로 연결된 부분까지 같이 곱해주죠. 이렇게 간단하게 놓은 상황에서 풀면 간단하지만, 처음부터 풀어버리려면 아주 복잡했겠죠?

$ arcsin\ s-\frac{s}{4u}+(su-s+\frac{s}{4u}) = \frac{\pi}{12} $

보면 $ \frac{s}{4u} $가 덧셈 뺄셈으로 있네요? 소거해주면

$ arcsin\ s+su-s = \frac{\pi}{12} $

와우 엄청 간단한 식이 나왔네요

이제 줄이고 줄인 식이니까, 다시 치환한 변수들을 원래 변수들로 돌려주죠.

일단 u를 다시 s로,

$ arcsin\ s+s\sqrt{1-s^2}-s = \frac{\pi}{12} $

그리고 s를 다시 a와 d로 바꿔줍니다.

$ arcsin \frac{a}{d}+\frac{a}{d}\sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}-\frac{a}{d} = \frac{\pi}{12} $

그러면!!

바로 적분으로 풀었던 식과 완전 동일한 식이 짜잔 하고 나타난답니다.

결론-

조금 번거롭지만 복잡한 적분 없이도 풀 수 있었던 것이었습니다!

직선 두개로 뢸로 삼각형(Reuleaux triangle) 4등분 하기

[바라크루드(Baraclude) 4등분(4분할)하기]

말머리-

여러분은 뢸로 삼각형(Reuleaux triangle)이라는 걸 아시나요?

요렇게 생긴 삼각형이랍니다.
정삼각형의 각 꼭지점에서 그 변을 반지름으로하는 호를 그렸을 때 만들어지는 도형이죠!
그리고 이 도형의 특징은! 바로 등폭도형(curve of constant width)이라는거죠!
그 뜻은 이 도형의 어느 양 끝을 기준으로 삼아도 폭이 일정하다는 말입니다.(그도그럴게 정삼각형의 한 변을 기준으로 각각 호를 그렸으니 너무나도 당연한 결과죠!)
그리고 여기서 폭은 정삼각형의 한 변의 길이가 됩니다.
그러나 오늘은 이 뢸로 삼각형을 소개하는 것 뿐만이 아니라, 이 뢸로삼각형을 같은 넓이로 4등분해 볼건데요!
왜 요런짓을 하는지는 나중에 마무리부분에서 보기로 하고 일단 4등분 고고싱 해보죠
고고싱~
 

수식세우기-

1] 전체 넓이 구하기

일단 4등분을 하려면 과거 >>직선 두개로 원 삼등분하기<<처럼 전체 넓이를 기준으로 계산을 하는 것이 편합니다.
따라서 이 뢸로 삼각형의 전체 넓이 S를 구해보겠습니다.
언뜻 '아니 곡선으로 이루어진 도형의 넓이를 어떻게 구해?' 싶지만, 의외로 부채꼴의 조합이므로 계산이 어렵지 않아요!
[전체넓이 = 한 부채꼴의 넓이*3 - 삼각형의 넓이*2] 로 구할 수 있답니다!
여기서 부채꼴의 반지름 r은 등폭도형이므로 폭 d와 같습니다.(폭 d는 정삼각형 한 변의 길이와도 같죠)
또한 부채꼴의 각도는 60도이므로(정삼각형의 한 각과 같습니다) 라디안으로 쓰면 $ \frac{\pi}{3} $죠
한 부채꼴의 넓이: $ \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}d^2\frac{\pi}{3} $
정삼각형의 넓이: $ \frac{\sqrt{3}}{4}d^2 $
그렇다면 부채꼴 넓이 *3-정삼각형 넓이는
$ S = \frac{1}{2}d^2\frac{\pi}{3}*3 - \frac{\sqrt{3}}{4}d^2*2 $
$ S = \frac{1}{2}d^2(\pi - \sqrt{3}) $
자, 그러면 이 전체넓이의 $ \frac{1}{4} $을 부분넓이 구하는 식에서 찾으면 되겠죠?
$ \frac{S}{4} = \frac{1}{8}d^2(\pi - \sqrt{3}) $
 

2] 부분넓이 구하기

자, 이제 '어느 높이에서 이 뢸로 삼각형의 넓이는 이만큼입니다~'하고 알려주는 부분넓이 공식이 필요한데... 아무래도 호(arc)이다 보니 계산이 녹록치 않아보이죠?
일단 계산이 쉽게 좌표 세팅부터 해주겠습니다.

자, 먼저 정삼각형의 밑변을 x축에 접하게두고, y축의 중심에 놓습니다.
이렇게두면 정삼각형은 y축으로 이등분이 되는 꼴이 되겠죠, 그리고 좌우 대칭일 겁니다
이걸로 일단 4등분을 할 때 세로로 2등분은 해결이 되었습니다. 무조건 세로로 2등분하면 넓이는 절반이 되겠죠
그렇다면 가로로 2등분 점을 찾아야 한다는 결과에 도달합니다.
그러면 세로로 2등분, 가로로 어느정도 높이에서 2등분하면 전체 넓이의 $ \frac{1}{4} $이 되는 넓이가 나올겁니다. 이 높이를 찾으면 되겠네요.
폭이 d라고 했으니, 오른쪽 빨간색 호의 중심은 왼쪽아래 빨간점이 되겠고 좌표는 ($-\frac{d}{2}$, 0)
그러면 이 부채꼴의 원래 원의 방정식은
$ (x + \frac{d}{2})^2+y^2=d^2 $이 될겁니다.
그럼 이 식을 정리해서, x좌표에 대한 식으로 변형한 다음 0부터 어떤 지점 a까지 적분하면 이 뢸로삼각형의 부채꼴의 일부의 넓이를 구할 수 있겠네요! 이 넓이를 T라고 해보죠(a부터 $ \frac{\sqrt{3}}{2}d $까지 구할 수도 있으나, 밑끝이나 위끝에 0이 들어가야 적분식이 깔끔해지는 경향이 있어 그냥 0부터 적분하겠습니다.)
자, 근데 하나 문제가 있죠. 이거는 0부터 적분해가는 식인데, 저희가 놓은 좌표대로면 아래쪽 활꼴(주황색)의 넓이가 반영이 안됩니다.
근데, 뭐 이 활꼴의 넓이는 너무 쉬우니까 바로 계산해보죠
활꼴의 넓이 = 부채꼴의 넓이-삼각형의 넓이
$ A_{sector} = \frac{1}{2}d^2\frac{\pi}{3} $
$ A_{triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4}d^2 $
$ A_{segment} = \frac{1}{2}d^2\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{4}d^2 $
$ A_{segment} = \frac{1}{2}d^2(\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}) $
근데 여기서 절반의 넓이만 포함되어야하므로
$ \frac{1}{2}A_{segment} = \frac{1}{4}d^2(\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}) $
그러면
$ \frac{1}{4}S = \frac{1}{2}A_{segment} + T$(0부터 a까지 부채꼴의 일부의 넓이 적분)
이면 높이 a를 구할 수 있겠군요!
영역으로 보자면, 오른쪽 위에 해당하는 1사분면만 적분이 되어야 하구요
일단 찾은 원의 방정식을 정리해봅시다.
$ (x + \frac{d}{2})^2+y^2=d^2 $
$ (x + \frac{d}{2})^2=d^2-y^2 $
$ x + \frac{d}{2}=\pm \sqrt{d^2-y^2} $
$ x=\sqrt{d^2-y^2} - \frac{d}{2} $
로 정리가 되었습니다.
여기서 마지막줄로 정리할 때 제곱근의 양수만 취한 것은 오른쪽 영역만 표현하는 함수를 얻기 위함이며, y값이 음수와 양수를 모두 포함하더라도 적분 자체에서 0부터 a까지 적분할 예정이므로 y값의 영역이 정해지기에 문제가 없습니다!
그러면 적분을 해봅시다
$ T = \int_{0}^{a} (\sqrt{d^2-y^2} - \frac{d}{2}) dy $
$ T = \int_{0}^{a} \sqrt{d^2-y^2} dy - \int_0^a \frac{d}{2} dy $
$ T = \int_{0}^{a} \sqrt{d^2-y^2} dy - [\frac{d}{2}y]^a_0 $
$ T = \int_{0}^{a} \sqrt{d^2-y^2} dy - \frac{d}{2}a $
자, 적분의 뒤쪽영역은 아주 쉽게 적분이 되었으나, 앞쪽은 쉽지 않아보이네요?
원을 적분할 때 가장 많이 쓰이는 트릭이 치환 적분에서 y를 r * sin t로 놓는 것입니다. 똑같이 적용해보죠
$ y = d*sin\theta $
$ dy = d*cos\theta d\theta $
$ T_1 = \int_{0}^{a} \sqrt{d^2-(d*sin\theta)^2} * d*cos\theta d\theta $
$ T_1 = \int_{0}^{a} d*\sqrt{1-(sin\theta)^2} * d*cos\theta d\theta $
$ T_1 = \int_{0}^{a} d^2*\sqrt{1-(sin\theta)^2} * cos\theta d\theta $
$ 1-sin^2\theta $는 항등식에 따라 $ cos^2\theta $와 같으니
$ T_1 = \int_{0}^{a} d^2*\sqrt{(cos\theta)^2} * cos\theta d\theta $
$ T_1 = \int_{0}^{a} d^2*cos\theta * cos\theta d\theta $
$ T_1 = \int_{0}^{a} d^2*cos^2\theta d\theta $
여기서 삼각함수의 제곱은 적분불가하므로 더 쉬운 형태로 바꿔주겠습니다.
cos 2배각을 이용하면
$ cos^2\theta = \frac{1+cos2\theta}{2} $ 이므로
$ T_1 = \int_{0}^{a} d^2*\frac{1+cos2\theta}{2} d\theta $
$ T_1 = \frac{d^2}{2}\int_{0}^{a} (1+cos2\theta) d\theta $
자, 여기서 변수치환 했으니 당연히 아래끝 위끝도 변경해줘야합니다.
여기서 y가 0일땐, $ \theta $도 0이므로 아래끝은 동일하게 0이고,
위끝이 a인 경우엔,
$ a = d*sin\theta $
$ \frac{a}{d} = sin\theta $
$ arcsin \frac{a}{d} = \theta $
로 정리되므로, 위끝 아래끝 바꿔서 최종식을 써보면
$ T_1 = \frac{d^2}{2}\int_{0}^{arcsin \frac{a}{d}} (1+cos2\theta) d\theta $가 되겠네요
$ T_1 = \frac{d^2}{2}(\int_{0}^{arcsin \frac{a}{d}} 1 d\theta + \int_{0}^{arcsin \frac{a}{d}} cos2\theta) d\theta $
$ T_1 = \frac{d^2}{2} ([\theta]^{arcsin \frac{a}{d}}_{0}+ \int_{0}^{arcsin \frac{a}{d}} cos2\theta) d\theta $
$ T_1 = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + \int_{0}^{arcsin \frac{a}{d}} cos2\theta) d\theta $
$ T_1 = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + [\frac{1}{2}sin2\theta]^{arcsin \frac{a}{d}}_{0}) $
여기서 sin 2t는 2sin t cos t와 같으므로
$ T_1 = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + [sin\theta cos\theta]^{arcsin \frac{a}{d}}_{0}) $
$ T_1 = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + sin(arcsin \frac{a}{d}) * cos(arcsin \frac{a}{d})) $
여기서 arcsin은 sin의 역함수이므로 $ f(f^{-1}(x)) = x $를 이용하여 $ sin(arcsin \frac{a}{d}) = \frac{a}{d} $
cos(arcsin)의 경우
$ \theta = arcsin \frac{a}{d} $
$ sin \theta = \frac{a}{d} $
$ sin^2\theta + cos^2\theta = 1 $
$ cos\theta = \sqrt{1-sin^2\theta} $
$ cos\theta = \sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2} $ 로 정리되므로
$ T_1 = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + \frac{a}{d} \sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}) $
이 되며
결국 총 식은
$ T = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + \frac{a}{d} \sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}) - \frac{d}{2}a $
자, 이제 다 왔습니다.
$ \frac{1}{4}S = \frac{1}{2}A_{segment} + T $
$ \frac{1}{8}d^2(\pi - \sqrt{3}) = \frac{1}{4}d^2(\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + \frac{a}{d} \sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}) - \frac{d}{2}a $
식이 복잡하니 정리해보죠.
일단 $ \frac{2}{d^2} $으로 양변 곱해줍니다.
$ \frac{1}{4}(\pi - \sqrt{3}) = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}) + (arcsin \frac{a}{d} + \frac{a}{d} \sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}) - \frac{a}{d} $
풀어서 상수항 정리하면,
$ \frac{\pi}{12} = arcsin(\frac{a}{d})+\frac{a}{d}\sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}-\frac{a}{d} $
이 식에서 a를 찾아주면 영점에서 얼만큼 위로 올라가서 가로선을 그어야 4등분이 되는지가 나오며, 이를 $ \frac{\sqrt{3}}{2}d-a $를 하면 삼각형의 위쪽 꼭지점(주황색)으로부터의 거리를 구할 수 있습니다.
참고로 이 방정식은 초월방정식이라 사람이 일반해를 구할수는 없고, 계산기의 도움을 빌려야합니다.
이번에는 wolframalpha도 두손두발 들고 뻗어버렸기에, chatgpt를 이용하여 계산하면
gpt의 불확실한 결과(매번 결과가 달라지는)로 인해 다시 수식정리해서 wolframalpha로 계산하면
$ a = 0.268309283804244d $
로 결과가 나오고, $ \frac{\sqrt{3}}{2}d-a $이 식에 넣어 계산하면
0.597716119980195d
라는 결과가 나오게 됩니다.
 

3] 수식적 결론

결국 폭의 0.5977위치에서(삼각형의 꼭지점에서부터 0.5977d 위치에서) 가로로 한번, 이후 세로로 중앙을 한번 자르면 정확하게 이 뢸로삼각형을 4등분 할 수 있습니다.(전체 폭의 60%쯤 되는 위치네요. 위와같은 형태에선 정확한 절반보다 조금 아래라고 생각하시면 될 것 같습니다.)
 

마무리-

이 뢸로삼각형은 의외로 활용도가 꽤 있습니다. 벽을 네모나게 뚫는 드릴도 이 뢸로삼각형을 응용하고 있으며, 무엇보다 폭이 어디에서재도 같다는 성질은 아주 요긴하게 쓰일 수 있습니다.
가령 약을 만들때도, 이 뢸로 삼각형의 모양대로 타정하면 약이 어떤 슬라이드를 지나갈때 막힘없이 원과 비슷하게 흘러갈 수 있겠죠
그래서 실제로 시판되는 약중에서도 이 뢸로삼각형의 모양인 약들이 꽤 있습니다.
그중에 대표적인게 바라크루드(Baraclude)인데요, 실제로 약의 정보를 보면 가로 세로 높이가 같은 뢸로삼각형임을 알 수 있습니다.
0.5mg 제형의 경우 8.4mm의 폭을 가지는데, 이걸 계산한 결과에 대입하면
삼각형의 한 꼭지점에서부터 5mm떨어진 지점에서 가로로한번 세로로한번 자르면 된다는 결론이 나오죠.

[수학/패러독스] 아리스토텔레스의 바퀴 역설(Aristotle's wheel paradox)

말머리-

안녕하세요 여러분!

오랜만에 글감을 들고 찾아왔습니다.

오늘 소개드릴 내용은 바로 '바퀴 역설' 혹은 'Wheel paradox'라는 건데요

도대체 뭐가 '역설'일까요?

소개시켜드리겠습니다!

위 이미지가 보이시나요?

이미지에는 큰 바퀴(파란색)과 그 안에 고정된 작은 바퀴(빨간색)이 있습니다.

이 두 바퀴는 따로 떼서 굴려보면 딱 그 바퀴의 원주(원 둘레)만큼 굴러가며 딱 한바퀴를 돌 겁니다.

그! 런! 데!

이 두 바퀴를 정 가운데 딱 붙여서 굴리는 순! 간!

큰 바퀴가 한바퀴 굴러갈 때, 그 거리만큼 작은 바퀴도 딱 한바퀴 도는 일이 발생하는 것이죠!

두 바퀴가 동시에 굴러갈 때, 큰 바퀴가 굴러간 거리 만큼 작은 바퀴도 같은 거리를 이동하는 겁니다!

아니 어떻게 이런일이!?

분명 떼어 놓으면 한바퀴 도는 거리가 다른데, 붙이면 같아진다!?

그래서 이것이 바로 역설(paradox), 패러독스입니다.

참고로 기원전 학자인 아리스토텔레스(Aristotle)의 이름이 붙은 만큼 엄청 오래된 역설이라는 거죠!

[더불어 제논의 역설도 고대 그리스에서 나온 걸 보면 역시 철학의 시대가 아니었나 싶네요]

그럼 도대체 이런 문제가 발생하는 이유는 뭘까요? 원인부터 살펴봅시다.

원인-

자, 이 문제를 해결하려면 원인을 일단 잘 살펴봐야겠죠?

1) 사이클로이드로 생각해보기

자 일단 사이클로이드가 궁금하시다면 >>여기<<에서 관련 내용을 한번 살펴보시기 바랍니다.

간단하게 말해 원에서 점 하나 찍고 그 원의 궤적을 보는게 사이클로이드입니다.

그렇다면 큰원에 점을 찍고, 작은 원에 점을 찍고 그 궤적을 본다면?

요런 자취가 나올겁니다. 자취는 점선으로 나타나있어요.

잘 보면 파란 자취와 빨간 자취가 다르죠?

그러니까 뭔가 운동이 다를 거라는 걸 암시하죠

보면 파란색 점선이 위아래로 더 많이 움직이고, 빨간색 점선은 위아래로 덜 움직이는데, 결국 총 이동한 거리는 같다고 한다면 당연히 빨간색이 좀 더 '효율적'으로 움직인 거니 수평방향으로 더 많이 움직였다는 사실을 도출해 낼 수 있습니다.

그러나 뭔가 조금 찝찝하죠?

2) 다각형으로 생각해보기

원은 다른말로 '무한각형'이라고도 합니다.

실제로 삼각형>사각형>오각형>... 이런식으로 각형을 늘려나가다보면 점점 원에 가까워지는 모습을 볼 수 있는데요

그렇다면 원에서의 문제이니까 각형을 줄여봅시다!

무한에서 줄이고 줄여서~~~ 사각형으로 가보죠!

자, 이런 네모바퀴가 굴러가는걸로 생각해봅시다.

이 네모바퀴는 총 네번을 굴러 가면 한바퀴를 돌 겁니다.

근데, 자세히보면, 큰 네모는 딱 붙어서 도는데, 작은 네모는 공간이 떨어져있네요?

요 초록 선 만큼요

아... 이제 감이 올 것 같습니다.

이 안에 있는 바퀴는 공간을 점프해서 이동하는 거였군요!?

그래서 큰 바퀴가 딱 한바퀴 도는동안 같은 거리를 이동할 수 있었던 거네요!

여기서 오각형>육각형 등 각수를 계속 늘려가면 이 초록선은 점점 짧아지겠지만, 더욱 많아지겠고, 사라지지는 않겠군요!

그렇다면 원은!? 아주 미세하게 이 초록선들이 거의 점으로 분포되어 보이지 않는 걸겁니다!

아하! 해결했습니다! 너무 미세해서 보이지 않지만 있다!

그럼 원은 '점프'라기보다는 아주아주 미세하게 '미끄러진다'라고도 볼 수 있겠네요?

(그러나 실제는 너무너무 작아서 얘가 점프를 하는지 미끄러지는지는 알기 어렵겠죠?)

자, 그럼 왠지 이 길이를 구하고 싶어지지 않나요?

수식으로 한번 풀어보죠!

이 애매한 거리를 수식으로 풀어보기!-

자자, 이제 수식으로 풀어보려고 하니까 일단 한가지 생각해보죠

어떤 n각형이 한 변에서 다른 변으로 돌때 돌아가는 각도는 그 n각형의 외각과 같습니다.

가령 삼각형은 120도를 돌아가 다음 변으로 돌아가겠고, 위에서 봤듯이 사각형은 90도를 돌면 다음 변으로 돌아갑니다.

마찬가지로 오각형은 72도를 돌면 다음 변으로 돌아가겠네요!

어.. 각형이 작아질수록 다음 변까지 돌아가는 각도가 작군요!

이를 수식으로 써보면 $ \theta = \frac{360}{n} $일겁니다.

좀 더 보기 편하게 60분법 각도를 호도법(radian)으로 바꿔주면, $ \theta = \frac{2 \pi}{n} $이 되겠네요.

자 그럼 도형에 열심히 보조선을 그어봅시다!

자, 여기 보라색선은 큰 바퀴의 반지름(이 될 예정인)입니다. (이를 a라고 하죠)

빨간색 바퀴의 안에 그려진 빨간색 선 또한 작은 바퀴의 반지름일 것입니다. (이를 b라고 해보겠습니다)

그리고 주황색 선은 큰 바퀴의 반지름-작은 바퀴의 반지름이죠 ( a-b 겠네요)

왜 저 주황색 선을 만들었냐면~ 초록색 선의 길이를 알고 싶기 때문이죠!

그리고 n각형의 바퀴는 한 변만큼 돌아갈 때 $ \theta $만큼의 각도로 돌아간다고 이미 정의를 했고, 주황색 선도 마찬가지로 $ \theta $만큼 돌겠죠

자, 각도와 변이 나오면 뭘 할 수 있다? 바로 삼각함수로 다른 변을 구할 수 있다!

일단 $ \theta $와 주황색 선 만으로는 바로 초록색 선의 길이를 구할 수 없으니 뭐든지 반을 똥강내봅시다.

일단 초록색 선의 반을 구하고 싶다면, 주황색 선 * $ \theta $의 절반을 하면 될 겁니다 수식으로 써보죠

근데 자꾸 무슨색 선~하니까 좀 헛갈리네요! 다시정의하죠

초록샌 선은 결국 우리가 구하고 싶은 선이니까 x라고 합시다

주황색 선은 a-b

돌아가는 각도 = 주황색 선의 각도 = $ \theta $

자, 전체 x길의 반은 (a-b)에다가 $ \theta $ 절반의 sin값을 곱해주면 나오게 되겠네요

$ \frac{x}{2} = (a-b)sin (\frac{\theta}{2}) $

자, 근데 저희는 $ \theta $를 아까 $ \frac{2 \pi}{n} $이라고 했으니

$ \frac{x}{2} = (a-b) * sin (\frac{2\pi}{2n}) $

$ \frac{x}{2} = (a-b) * sin (\frac{\pi}{n}) $

자, 왼쪽에 자꾸 2로 나누어져 있으니까 이제 양변에 2를 곱해서 전체 x길이에 대한 수식으로 바꿔보죠

$ x = 2(a-b) * sin (\frac{\pi}{n}) $

아, 근데 우리는 초록선 '단 하나'만 구했네요? 초록선은 바퀴가 n번 돌아 한바퀴 돌때까지 n개가 생기니까...

수식 복잡하게 하지말고 다시 정리하죠 $ n*x = L $이라고 새로 정의해봅시다. 초록선 n개가 모인걸 대문자 L로 놓을께요

$ L = 2*(a-b)*sin(\frac{\pi}{n})*n $

자 이제 어떤 n각형에 대해서 작은 바퀴가 점프하는 거리를 구하는 식이 완성되었습니다.

근데 아까 원은 무슨각형이다? 무한각형!

그럼 n이? 무한대!

근데 여기서 그냥 무한대 사용하면 수식이 '아니 뭐가 뭐지?'싶어지니 정리를 조금 해봅시다!

정말 재밌는 수식이 있는데요

$ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{sin x}{x} $

는 뭐게요?

답은 1이랍니다! 그러므로!

$ L = 2*(a-b)*sin(\frac{\pi}{n})*n \Leftrightarrow L = 2*(a-b)*sin(\frac{\pi}{n})*n*\frac{\pi}{n}*\frac{1}{\frac{\pi}{n}} $

$ L = 2*(a-b)*\frac{sin(\frac{\pi}{n})}{\frac{\pi}{n}}*n*\frac{\pi}{n} $

$ L = 2*(a-b)*\frac{sin(\frac{\pi}{n})}{\frac{\pi}{n}}*\pi $

자, 항등식을 이용한 식변형을 했구요

이제 $ \lim\limits{x \to \infty} \frac{sin x}{x} $ 요 꼴이 나왔으니 바로 극한을 걸어봅시다.

$ L = \lim\limits{x \to \infty} 2*(a-b)*\frac{sin(\frac{\pi}{n})}{\frac{\pi}{n}}*\pi $

$ L = 2*(a-b)*\pi $

$ L = 2\pi(a-b) $

원에서 가칭 '점프하는 구간'의 길이를 구했습니다!

그리고 정말 신기하게도 큰 원의 원주길이($ 2\pi a $)에서 작은 원의 원주길이($ 2\pi b $)를 뺀만큼이 점프하는 구간이라는 답이 나왔네요!

결론-

결국, 안쪽의 원은 아주 조금씩 모종의 방법으로 이동하며 큰 원이 움직이는 만큼을 따라가고 있었던 것이었습니다 여러분!!

사이클로이드 길이 구하기(선적분)

1. 사이클로이드?

사이클로이드라는 곡선을 아는가?

원에서 한 점을 찍고, 원이 한바퀴 구르는 동안 그 점의 궤적을 따라서 그리면 아주 독특한 곡선이 하나 만들어지는데 이를 사이클로이드라고 한다.

https://www.desmos.com/calculator/v3ouxovbkf?lang=ko

위 사이트에 접속하여 왼쪽 위의 a 부분을 잡고 슬라이드 해보면 원이 굴러가면서 만드는 자취란 것을 알 수 있다.

참고로 위 그래프에서 cycloid는 파란선이다.

사이클로이드는 최속강하이론(다른말로 공이 가장 빨리 내려오는 곡선)에 활용 되기도 하는데, 이 특이하고 신기한 성질은 다음에 알아보도록하고..

2. 사이클로이드 곡선 길이 구하기!

이 독특한 곡선의 길이를 구할 수 없을까?

원은 $ 2 \pi r $이지 않은가?

한번 구해보자!

2-1. 선적분

길이를 구하는 적분을 '선적분'이라고도 하는데, 원리는 간단하다.

아주 미소한 양의 증분 x와 y을 피타고라스 정리 써서 직선 거리를 구해내고, 이를 쭉~ 끝까지 적분해내는것이다.

그럼 결국 미소하게 변하는 x와 y를 따라서 어떤 아주아주아주 미세한 직선이 만들어질테고, 이 아주 미소한 직선을 다시 모았으니 곡선의 길이가 되겠다.

그러면 이 아주 미소한 x와 y는 어떻게 구하냐면.. 특정 식을 x에 대해서 미분하고 y에 대해서 미분하면 아주 미소한 x의 증분과 y의 증분이 나올 것이고, 이를 피타고라스 정리로 모으면 아주 미소한 직선이 하나 구해질 것이다. 식으로 쓰면

$ \sqrt{(dx)^2+(dy)^2} $

그리고 이것을 모으면 되는데,

$ \int \sqrt{(dx)^2+(dy)^2} $

아뿔싸! 적분은 '아주 미소한 어떤 것'을 '모은다'로 정의 되기 때문에, $ \int $과 'd어쩌구'가 세트로 나와야한다.

따라서, 우리는 가장 간단하게 'x에 대해서 모을거야' 라고 정의를 해주기 위해 dx를 원 식에서 뽑아내면

$ \int \sqrt{\left(\frac{dx}{dx}\right)^2+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx $

$ \int \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx $

짜잔, 적분식 완성이다.

심지어 이 식이 매개변수로 나타나는 식이라면, 매개변수를 통한 미분으로도 정의할 수 있다.

여기서는 '미소한 x와 미소한 y를 미소한 매개변수로 나타냈을 때, 얘를 모을께!'니까

$ \int \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt $

로 정의할 수 있겠다.

2-2. 매개변수 표현법

자, 이제 선의 길이를 구할 수있는 '도구'는 찾아내고 정의를 마쳤는데... 정작 이 사이클로이드의 한 점을 어떻게 x와 y로 표현할 수 있을 것인가!?

가장 쉬운 방법은 원이 어떤 각도 t만큼 돌아갔을 때 그 각도에 대해서 x와 y가 정의가 되므로 이를 이용하여 매개변수로 나타낼 수 있겠다!

자, 가장 쉬운 y부터 보자, y는 원이 t만큼 돌아갔을 때(위 그림에서 $ \theta $), 반지름 r에 대해서 $ r - r cos t $만큼 움직인 것을 알 수 있겠는가?(위 그림에서 원이 $ \theta $만큼 돌아갔을 때 $ \overline{CI} -  \overline{CK} $가 y의 위치임을 알 수 있다. 이를 $ \overline{CI} = r,\ \overline{CK} = r cos \theta $로 치환하면 바로 식이 나온다)

그럼 x는? 원이 t만큼 돌아갔을 때 원의 중심이 x축으로 이동한 거리는, 그 호의 길이와 같다. 왜냐고? 바닥에 원 둘레를 딱 붙이고 돌아갔을테니까!(위 그림에서 $ \overline{OI} = \overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{\rm PI} $)

그러면 원의 중심은 $ r t $(위 그림에서 $ \overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{\rm PI} = \overline{OI} $)만큼 움직였을 테고, 여기서 x는 $ r sin t $(위 그림에서 $ \overline{PK} $)만큼 원의 중심보다 뒤에 있을 테니 $ r t - r sin t $가 되겠다.


다시 쓰면

$ x = r t - r sin t = r(t-sin t) $
$ y = r - r cos t = r(1-cos t) $

자, 이렇게 x와 y좌표를 나타낼 수 있는 관계식도 찾았다! 그렇다면 이제 바로 선적분 들어가보자

2-3. 매개변수로 표현된 선적분 풀기!

$ dx = r(1-cos t) dt \Leftrightarrow \frac{dx}{dt} = r(1-cos t) $
$ dy = r sin t dt \Leftrightarrow \frac{dy}{dt} = r sin t $

$ \int \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2} dt $
$ \int \sqrt{(r(1-cos t))^2+(r sin t)^2} dt $

근데 t가 0에서부터 $ 2 \pi $ 즉, 한바퀴 굴러갈때 거리를 잴거니까 적분의 위끝, 아래끝은 각각 0과 $ 2\pi $다.

$ \int_{0}^{2\pi} \sqrt{r^2((1-cos t)^2+(sin t)^2)} dt $
$ \int_{0}^{2\pi} r \sqrt{((1-cos t)^2+(sin t)^2)} dt $
$ r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{((1-cos t)^2+(sin t)^2)} dt $

$ r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1-2cos t+(cos t)^2+(sin t)^2} dt $

$ r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1-2cos t+1} dt \leftarrow cos^2 x + sin^2 x = 1 $
$ r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2-2cos t} dt $
$ r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2(1-cos t)} dt $

$ r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2(1-(1-2(sin \frac{t}{2})^2)} dt \leftarrow cos(\frac{t}{2}+\frac{t}{2}) = cos^2 \frac{t}{2} - sin^2 \frac{t}{2} = 1 - 2sin^2 \frac{t}{2} $

$ r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2(2(sin \frac{t}{2})^2)} dt $

$ r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{4(sin \frac{t}{2})^2} dt $

$ r \int_{0}^{2\pi} 2\sqrt{(sin \frac{t}{2})^2} dt $
$ 2r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(sin \frac{t}{2})^2} dt $
$ 2r \int_{0}^{2\pi} sin \frac{t}{2} dt $

$ 2r \left(-2 cos \frac{t}{2}\right]_{0}^{2\pi} $
$ 2r (-2 (-1 - 1)) $
$ 8r $

3. 결론

즉, 사이클로이드의 길이는 반지름의 8배, 지름의 4배 되겠다!

멱급수 전개(Power series expansion)으로 피보나치 수열 풀기

결국 피보나치 수열 풀다가 멱급수까지 왔네요...

1. 계차의 등비수열로 풀기

2. 특성방정식으로 풀기

1. 멱급수로 피보나치 수열 풀기?

전 포스팅에서 왜 특성방정식으로 풀 수 있지?하면서 파보다가, 어느 Quora글에서 "멱급수로 풀다보면 자연스럽게 나와~"라는 걸 보고 멱급수로 풀어보았네요. 얼추 비슷한 형태가 나오기는 하지만 엄밀하게 멱급수에서 도출 가능한 생성함수는 특성방정식으로 유도하는 것과는 -부호의 차이가 있습니다. 이를 감안하면 사실상 멱급수에서 도출하는 생성함수가 1.번으로 풀때 사용되는 근과 계수의 관계에서의 변환($ a_{n+2} = x^2 $)에서도 사용되고, 2.번으로 풀때 놓게 되는 $ a_{n} = x^n $과도 연관이 생기니 어떻게보자면 근원을 잘 판 것 같습니다.

2. 어떻게 풀건데?

2-1. 일단 멱급수가 뭔데?

멱급수는 영어로 Power series, 혹은 한자로 冪級數라고 쓰입니다.

네이버 지식백과의 설명을 보자면

일반적으로 $ \sum a_ń(x-a)^ń $인 꼴로 나타낼 수 있는 급수를 말한다. 정급수(整級數)라고도 한다. $ a_0, a_1, …, a_ń $이 상수, $ x $가 변수인 다항식 $ a_0+a_1 x+a_2 x^2+…+ a_ń x^ń $을 무한히 연장한 식

      $ a_0+a_1 x+a_2 x^2+…+a_ń x^ń+… $

을 말한다. (후략)
[네이버 지식백과] 멱급수 [power series, 冪級數] (두산백과 두피디아, 두산백과)

라네요. 결국 특정 상수와 변수를 무한히 더한 급수를 말합니다.

그리고 이 멱급수는 등비급수의 성질을 띄기 때문에 공비라고 볼 수 있는 x의 값에 따라 수렴/발산이 정해지게 되는데, 이번에 저희는 이 멱급수의 특성을 가지고 상수항을 만들어내는 생성함수를 찾아낼 것이기 때문에 사실상 변수의 상태가 크게 중요하지 않게됩니다. 그래서 저희는 여기서 Formal power series(굳이 한국어로 번역하자면 형식적 멱급수?)를 사용할 것입니다. Formal의 뜻은 말그대로 '형식적'이라는 말로 공비 x의 범위를 따지지 않을 것이야요~ 하는 말입니다.

2-2. 시작은 어떻게 할건데?

자, 일단 처음 식을 놓는 것 부터가 아주 중요할 것 같네요. 천릿길도 한걸음부터!

일단 생성함수를 정의해보죠. 아까 보았던 멱급수를 그대로 대입해 줄 겁니다.

생성함수라고 해서 별거 없습니다. 그냥 '어떤 수를 생성하는 규칙을 가진 함수'라고 보면 됩니다.

Generating function(생성함수)의 이름을 따서 $ g(x) $라고 정의해봅시다!

그리고 피보나치 수열을 멱급수의 상수로 놓아봅시다.(피보나치 수열=$ F_n $, $ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} $)

$ g(x) = \sum\limits_0^\infty F_n x^n $

$ g(x) = F_0 x^0 + F_1 x^1 + F_2 x^2 + F_3 x^3 + ... $

이런 식이 나올겁니다. 시작이 반입니다. 이미 반 했습니다!

여기서 $ x^0 = 1,\ x^1 = x $이고, 피보나치 수열의 특성상 $ F_0 = 1,\ F_1 = 1 $이므로 식을 다시 정리해보면,

$ g(x) = 1 + x + \sum\limits_2^\infty F_n x^n $
$ g(x) = 1 + x + \sum\limits_2^\infty (F_{n-1} + F_{n-2}) x^n\ \ \because F_n = F_{n-1}+F_{n-2} $
$ g(x) = 1 + x + \sum\limits_2^\infty F_{n-1} x^n + \sum\limits_2^\infty F_{n-2} x^n $
$ g(x) = 1 + x + x\sum\limits_2^\infty F_{n-1} x^{n-1} + x^2\sum\limits_2^\infty F_{n-2} x^{n-2} $
$ g(x) = 1 + x + x\sum\limits_1^\infty F_{n} x^{n} + x^2\sum\limits_0^\infty F_{n} x^{n} $

로 정리됩니다. 여기서 $ \sum\limits_0^\infty F_{n} x^{n} $은 정의에 따라 $ g(x) $와 같고,

피보나치 수열의 정의를 따라 $ F_0 x^0 = 1 $ 이므로

$ \sum\limits_0^\infty F_n x^n = \sum\limits_1^\infty F_n x^n +1  $
$ \sum\limits_0^\infty F_n x^n -1 = \sum\limits_1^\infty F_n x^n $
$ g(x)-1 = \sum\limits_1^\infty F_n x^n $

입니다. 따라서 식을 $ g(x) $로 정리하면,

$ g(x) = 1 + x + x\sum\limits_1^\infty F_{n} x^{n} + x^2\sum\limits_0^\infty F_{n} x^{n} $
$ g(x) = 1 + x + x(g(x)-1) + x^2g(x) $
$ g(x) = 1 + x + xg(x)-x + x^2g(x) $
$ g(x) = 1 + xg(x)+ x^2g(x) $
$ g(x) - xg(x) - x^2g(x) = 1 $
$ (1 - x - x^2)g(x) = 1 $
$ g(x) = \frac{1}{1-x-x^2} $

이로써 생성함수식이 나왔습니다. 미지의 x값이 들어가면 어떤 숫자를 내보내 주는 함수입니다. 근데 여기서 어떤 x값이 들어가야 어떤수가 생성이 되는지 알 수 없기 때문에 바로 x의 값을 알아내러 출동하죠!

2-3. x 값 찾으러 출발!

2차 식이니까 x의 값도 2개가 나올 것입니다.

다만, 여기서 재밌는 점은 생성함수의 꼴이 2차 다항함수의 꼴이라는 점 입니다.

결국 분수의 꼴로 나타내어졌지만, 2차 다항함수의 선형결합으로 이루어진 것이 피보나치 수열의 생성함수이고 이를 토대로 특성방정식을 사용할 수 있는게 아닌가 생각이 듭니다.

여튼 각설하고, 다시 x의 해를 구하러 가봅시다!

2차 다항식의 분수꼴은 뭔가 해를 구하기 껄쩍지근하니, 부분분수로 쪼개봅시다.

부분분수로 쪼개려면 분모가 곱셈으로 연결되어있어야하는데, 까짓것 이차 다항식이니까 임의의 해를 놓고 인수분해해버리죠 뭐

$ g(x) = \frac{1}{1-x-x^2} $

$ g(x) = -\left(\frac{1}{x^2+x-1}\right) $

여기서 임의의 해를 $ r_1, r_2 $라 하겠습니다.

그리고 이 식에 근과 계수와의 공식(Vieta's formulas)을 적용하면 $ r_1 r_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1 $이 되고, 여기서 $ r_1 $과 $ r_2 $의 관계식이 도출됩니다. $ r_1=-\frac{1}{r_2} $

자, 그러면 분모를 인수분해하시오

$ g(x) = -\left(\frac{1}{(x-r_1)(x-r_2)}\right) $

부분분수로 짜갤때는 일정한 계수가 짜개진 분수 앞에 하나씩 붙습니다. 이 계수를 $ A, B $라고 하죠.

흔히 아는 부분분수 공식 $ \frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right) $과 완전히 같은 공식이에요. 앞에 붙는 $ \frac{1}{B-A} $를 계수처럼 놓았을 뿐입니다.

$ g(x) = -\left(\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}\right) $
$ -\left(\frac{1}{(x-r_1)(x-r_2)}\right) = -\left(\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}\right) $
$ \frac{1}{(x-r_1)(x-r_2)} = \frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2} $
$ 1 = A(x-r_2)+B(x-r_1) $

이 때, $ x = r_1 $이면,

$ 1 = A(r_1-r_2)+B(r_1-r_1)  \Leftrightarrow A = \frac{1}{r_1-r_2} $

또한, $ x = r_2 $이면,

$ 1 = A(r_2-r_2)+B(r_2-r_1)  \Leftrightarrow B = \frac{1}{r_2-r_1} $

즉 $ A = -B $임을 알 수 있습니다.

그리고 실제 x를 풀어보자면 이 두 근을 각각 $r_1,\ r_2$로 놓았기 때문에

$ x^2 + x - 1 \Rightarrow a=1,\ b=1,\ c=-1 $

근의 공식에서

$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $
$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4}}{2} \Leftarrow a=1,\ b=1,\ c=-1 $
$ x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\ or\ \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} $
$ r_1 = -\frac{1 - \sqrt{5}}{2},\ r_2= - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $

이며, $ A $ 값도 직접 찾아보자면,

$ A = \frac{1}{r_1-r_2} = \frac{1}{-\frac{1 - \sqrt{5}}{2} - (-\frac{1 + \sqrt{5}}{2})} = \frac{1}{\sqrt5} $

입니다.

본격적으로 수식을 정리하기 전, 미지수와 그 관계들을 모두 찾아보았는데요, 다시한번 정리해보겠습니다.

$ x = r_1\ or\ r_2 $

$ r_1 r_2 = -1 \Leftrightarrow r_1 = -\frac{1}{r_2} \Leftrightarrow r_2 = -\frac{1}{r_2} $

$ A = \frac{1}{r_1-r_2} $

$ A = -B $

$ r_1 = -\frac{1 - \sqrt{5}}{2},\ r_2= - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $

$ A = \frac{1}{\sqrt5} $

자, 본격적으로 식을 풀어봅시다!

2-4. 본격적으로 멱급수 해체!

다시 정리했던 식으로 돌아가 봅시다.

$ g(x) = -\left(\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}\right) $
$ g(x) = -\frac{A}{x-r_1}-\frac{B}{x-r_2} $
$ g(x) = \frac{A}{r_1-x}+\frac{B}{r_2-x} $
$ g(x) = \frac{1}{r_1}\frac{A}{1-\frac{x}{r_1}}+\frac{1}{r_2}\frac{B}{1-\frac{x}{r_2}} $
$ g(x) = \frac{A}{r_1}\frac{1}{1-\frac{x}{r_1}}+\frac{B}{r_2}\frac{1}{1-\frac{x}{r_2}} $
$ g(x) = \frac{A}{r_1}\frac{1}{1+r_2 x}+\frac{B}{r_2}\frac{1}{1+r_1 x} \Leftarrow r_1 = -\frac{1}{r_2},\ r_2 = -\frac{1}{r_2}$

여기서 무한 등비 급수 공식인 $ \sum\limits_0^\infty ar^n = \frac{a}{1-r} $을 적용하면,
$ g(x) = \frac{A}{r_1}\sum\limits_0^\infty(-r_2 x)^n+\frac{B}{r_2}\sum\limits_0^\infty(-r_1 x)^n$
$ g(x) = \frac{A}{r_1}\sum\limits_0^\infty(-r_2 )^n x^n+\frac{B}{r_2}\sum\limits_0^\infty(-r_1 )^n x^n$
$ g(x) = \sum\limits_0^\infty \left(\frac{A}{r_1}(-r_2 )^n+\frac{B}{r_2}(-r_1 )^n\right)x^n$
$ g(x) = \sum\limits_0^\infty \left(A(-r_2)^{n+1}+B(-r_1)^{n+1}\right)x^n \Leftarrow r_1 = -\frac{1}{r_2},\ r_2 = -\frac{1}{r_2} $
$ \sum\limits_0^\infty F_n x^n = \sum\limits_0^\infty \left(A(-r_2)^{n+1}+B(-r_1)^{n+1}\right)x^n $

여기서 양변 무한등비급수를 제거해주면

$ F_n = A(-r_2)^{n+1}+B(-r_1)^{n+1} $

피보나치 수열의 항만 나오게 되었습니다. 그리고 결국 이 식이 피보나치 상수를 만들어내는 생성함수인 격인데요, 결국 특정 상수를 만들어내는 생성함수 = 일반항이겠죠?

본격적으로 수를 대입하기전에 이 식을 좀 더 간단히 만들어보겠습니다.

$ F_n = A(-r_2)^{n+1}-A(-r_1)^{n+1} \because B = -A $
$ F_n = A\left((-r_2)^{n+1}-(-r_1)^{n+1}\right) $

3. 답은?

이제 대망의 실제 값 대입만 남았습니다.

원 식은,

$ F_n = A\left((-r_2)^{n+1}-(-r_1)^{n+1}\right) $

실제 값은,

$ r_1 = -\frac{1 - \sqrt{5}}{2},\ r_2= - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $

$ A = \frac{1}{\sqrt5} $

이었죠? 대입해줍시다.

$ F_n = \frac{1}{\sqrt5} \left(( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} )^{n+1}-( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} )^{n+1}\right) $

짜잔, 피보나치 수열의 일반항이 풀렸습니다.

참고로 여기서는 수열의 첫 항이 1이 아니라 0이므로 일반항에서 지수항이 n이 아니라 n+1인 점을 주목해주세요

진짜 맞는지 직접 값을 대입해봅시다.

$ F_{-1} = \frac{1}{\sqrt5} \left(( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} )^{0}-( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} )^{0}\right) = 0 $ (실제 피보나치 수열에는 없는 부분이지만 1, 1, 2, 3, 5... 식으로 앞의 두 수를 더해서 다음 수가 나오는 것으로 생각해보면 초항 앞은 0임을 생각해 볼 수 있습니다.)

$ F_0 = \frac{1}{\sqrt5} \left(( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} )^{1}-( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} )^{1}\right) = 1 $

$ F_1 = \frac{1}{\sqrt5} \left(( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} )^{2}-( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} )^{2}\right) = \frac{1}{\sqrt5} \left(\frac{1+2\sqrt5+5-(1-2\sqrt5+5)}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt5} \left( \frac{1+2\sqrt5+5-1+2\sqrt5-5}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt5} \left( \frac{4\sqrt5}{4} \right) =  1 $

네 첫 두항은 1, 1 이고, $ F_2 $부터는 3차식이기때문에 계산이 까다롭지만, wolfram alpha를 돌려보면 제대로 2, 3, 5... 나오는 것을 확인할 수 있습니다.

제대로 구했네요!

실제로 이전 포스팅인 점화식에서의 특성방정식에서 도출한 결과와 같습니다!(참고로 특성방정식에서 도출한 초항은 n이 1입니다.)

점화식에서의 특성방정식(characteristic equation)

포스팅 개요

과거 피보나치 수열의 일반항 구하는 포스팅(>>피보나치 수열의 일반항과 비율의 극한(황금비)<<)을 작성하였다.

사실 작성하던 중에는 크게 못느꼈는데, 다른 사람에게 설명을 하던 중 특성방정식을 잠깐 빌려와서 근과 계수와의 관계로 풀어내는 과정에서 '왜 $ a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} \Leftrightarrow x^2 = x + 1 $ 인가?'에 대해서 너무나도 당연하게 받아들였다는 것을 깨닫고 추가로 더 공부해본 결과 이를 '특성방정식'이라고 한다는 것을 알게되고, 이에 포스팅을 작성한다.

점화식에서의 특성방정식(characteristic equation)

점화식을 풀 때 우리는 특성방정식(characteristic equation)을 이용해서 해결을 하게 된다.
(과거 고등학교 수학에서 나왔던 점화식의 해결법(계차의 등비수열로 해결)도 어떻게보면 특성방정식의 활용이다.)

그런데 '왜 특성방정식을 사용해서 점화식을 푸는가?'에 대해서 궁금하진 않은가? 그냥 된다니까 하기에는 조금 껄쩍지근하다.

한줄로 정의해보자면
'점화식 자체로는 뭔가를 찾기 힘드니까 본질이 같은 다른 것으로 바꾸어서 해를 찾자'이다.

여기서 좀 더 자세히 따져보자면
'본질이 같은'은 '같은 선형성을 가지는'이란 의미이고
'다른 것'은 '기저(basis)'를 뜻한다.
(갑자기 대수학에서 벡터공간에서 쓰는 '기저'라는 단어가? 싶기도 하겠지만, 사실 모든 '함수'는 벡터공간 안에서 구현이 가능하다는 점을 보면 이해할 수 있을 것이다.)

진짜 결국 그냥 '쉽게 구할 수 있는 걸로 변형하자!'이거다..

보통은 점화식 뿐만 아니라 미분방정식, 선형대수에 모두 사용가능하기 때문에 '특성방정식'이라고 검색하면 사실 점화식보다는 미분방정식이나 선형대수 관련한 벡터공간 관련 내용 더 나아가 고유값/고유벡터 등이 나오게 된다.(사실 고유값분해를 대충이라도 이해할 수 있다면 특성방정식이 뭐하는 놈인지는 쉽게 이해가 간다)

그러나 일단은 이렇게 복잡한 내용 이전에 여기서는 아주 간단하게 점화식에 대해서만 설명해보기로 한다.

이제부터 이해해야 하는 키워드는

1. 점화식의 구분
 *선형성
 *선형의 또다른 의미
2. 특성방정식이란
이다.

차례대로 알아보자

1. 선형성(linearity)이란 무엇인가?

선형성을 만족시키기 위해서는 두 가지 조건인 가산성(Additivity)와 동차(제차)성(Homogeneity)을 만족해야한다.

-가산성(Additivity)은 f(a)+f(b)=f(a+b)를 만족하는 함수를 말한다.
다른말로는 중첩의 원리(principle of superposition)라고도 한다.

-동차(제차)성(Homogeneity)이란 f(ax)=af(x)를 만족하는 함수를 동차성이 있다고 한다.(일부 서적의 번역으로는 제차성이라고한다)
쉽게말해 입력이 조정된 비율만큼 동일하게 결과도 조정된 값이 나온다는 것이다.
선형성과 마찬가지로 상수항이 없는 함수에 대하여 성립하며, 상수항(혹은 이에 준하는 상수를 출력하는 함수)이 있는 경우 동차성에 위배된다.

간단하게 선형성과 동차성에 대해 쉽게 알 수 있는 예제가 있다.

y=ax+b는 선형인가?

가산성을 먼저 살펴보자
f(x1)+f(x2)=f(x1+x2)이면 가산성이 있는 함수이다.
a(x1+x2)+2b $ \neq $ a(x1+x2)+b
가산성에 위배된다.

동차성은 어떤지 보자
f(k x1) = kf(x1)
akx1+b $ \neq $ k(ax1+b)
동차성에 위배된다.

결국 y=ax+b는 선형이 아니다.


근데 신기한건 엄밀한 선형이 아닌데도 '선형'이라는 단어를 붙이는 경우가 있다는 것이다.
아니 또 이것은 무엇인가?
선형이 아닌데 선형이라고?

아까 선형성의 정의에서 '가산성'을 보았다. 여기서 파생되어서 덧셈으로 연결되는 함수들을 보고 '함수들이 선형 결합을 한다'라고 말한다.

그리고 이게 줄어들어서 '선형'이 된 것이다.

그래서 다항함수는? 선형 함수이다. 만약 상수항이 없다면 엄밀한 '선형'함수이고, 상수항이 있다면 선형(결합을 한)함수이다.

따라서 특정 계수의 곱을 통한 덧셈으로 정의되는 일반적인 점화식의 경우 선형이다.

그러면 이렇게 선형이라는 말을 막쓰면, '엄밀한 선형'인지 '일반적 선형'인지는 또 어떻게 알 것인가?

그래서 선형이란 말 뒤에 '동차' 혹은 '비동차'라는 말을 써준다.

이렇게 되면 '선형 동차 점화식' 혹은 '선형 비동차 점화식'이라는 말이 생겨날 수 있는데, 결국 이 단어로 구분이 완벽하게 되는 것이다.

선형 동차 점화식: 모든 항이 선형 결합을 한 상태이며, 상수항(혹은 그에 준하는 상수를 출력하는 함수)이 없는 점화식
선형 비동차 점화식: 모든 항이 선형 결합을 한 상태이며, 상수항(혹은 그에 준하는 상수를 출력하는 함수)이 있는 점화식

자 이제 점화식의 종류에 대해서 알아보았다.
사실 '비'자가 붙으면 뭐든 어려워진다. 선형함수보다 비선형함수가 어렵고, 동차보다는 비동차가 어렵다.
현재 이 포스팅은 '쉽게!' 알아보려는게 목적이므로 앞으로는 '선형 동차'에 대해서만 써보려고한다.
이제 '특성방정식'이란게 뭔지 알아보러가자.

2. 특성방정식이란?

선형 동차 점화식은 결국 선형성을 띈다.
그리고 이것은 점화식의 어떠한 해 a, b에 대하여 이 둘에 특정 계수를 곱한 선형결합역시도 점화식을 만족시킨다는 것이다.
결국 어떠한 해를 찾고 이 해에 곱해지는 계수를 찾으면 점화식을 풀어낼 수 있다(일반항을 구할 수 있다)는 것이다.

그럼 일단 이 '어떠한 해'를 찾아야하는데, 이게 그냥 점화식만 뚫어져라 쳐다보면 툭 답이 나오는 것도 아니고.. 참 힘들다.
그래서 이 어떠한 해를 찾기위해 우리는 주어진 점화식을 변형할 것이다.
어떻게?
'같지만 다르게!'
같은 선형결합을 가지지만, 이 점화식을 다른 각도로 볼 수 있는 새로운 '틀'(=기저)을 찾아서 바꿔주면 될 것이다.
결국 이 '틀'은 진짜 오만가지 것이 다 되지만, 제일 간단하며 우리가 무언가를 찾아내기 쉬운 틀은 $ x^n $일 것이다.
x를 찾아내면 점화식의 어떠한 해를 찾아낸 것이며, 이 어떠한 해에 특정 계수를 곱한 선형결합이 점화식을 만족시킬 것이기 때문이다.
그리고 새로운 틀을 $ x^n $으로 정의했으니, 이 틀을 이용해 만든 변화시킨 점화식에서는(해가 두개라고 가정하면) $ k_1 * x_{1}^n + k_2 * x_{2}^n $이 일반적인 해를 나타낸다고 볼 수 있겠다.
그렇다면 결국 $ a_n $이라는 수열을 새로운 틀 $ x^n $으로 놓게 된 것이다.

좀 더 이해를 쉽게하기위해서 하나의 예시를 가지고 논지를 진행시켜보자

$ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} $

라는 점화식이 있다고하자(상수항이 없는 이유는? 우리는 현재 선형 동차 점화식에 대해서 보고있다.)
이 점화식에서는 차수(order)가 2이다.
갑자기 뜬금없이 차수? 선형 동차 점화식이 몇개의 항으로 연결되었는가를 나타내는 것으로, 선형적인 다항함수의 차수와 그 의미가 같다.

이를 새로운 틀 $ x^n $으로 치환하면
$ x^n = x^{n-1} + x^{n-2} $
차수로 n을 제한하면(n의 최대값은 차수가 된다)
$ x^2 = x + 1 $ 이 된다.
(위에서도 논의했듯이 항이 두개로 연결된 점화식은 두개의 해를 가지며, 두개의 해를 가지기 위해서는 다항함수의 차수=수열의 항수 이다)

자, 여기까지의 논지가 바로 이전 포스팅(피보나치 수열의 일반항 구하기)에서 근과 계수와의 관계를 사용하기 위해 살짝 빌려왔던 개념되겠다. 모르고 그냥 받아들여도 크게 문제없지만 알면 더 신기한 그런거다.

각설하고, 더 논지를 진행시켜보자.

$ x^2 - x -1 = 0 $의 형태로 바꾸어 방정식을 만들어주고

여기서 해를 구하면
$ x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \mathrm{ or } \frac{1-\sqrt{5}}{2} $
이 나오며

이 두개의 해의 특정 상수배씩의 선형결합이 이 점화식의 일반항이 된다. (더 나아가서, 같은 말로 '특정한 벡터'를 고유값(eigen value, 아이젠 밸류)과 고유벡터(eigen vector, 아이젠 벡터)로 분해하였을 때, 두개의 고유벡터에 특정 상수배(고유값)씩의 선형결합이 '특정한 벡터'가 된다는 것과 동일하다.)

$ a_n = k_1 * x_{1}^n + k_2 * x_{2}^n $

이때 특정 상수배($ k_1,  k_2 $)를 구하는 방법은, 초기 조건을 가지고 구하면 된다.

결국 $ a_0 = 0 $, $ a_1 = 1 $ 을 이용하면

$ a_0 = 0 = k_1 + k_2 $
$ a_1 = 1 = k_1 * (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^1 + k_2 * (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^1 $

$ k_1 = \frac{1}{\sqrt{5}} $, $k_2 = -\frac{1}{\sqrt{5}} $

따라서 이 점화식의 일반항은

$ a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} * (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - \frac{1}{\sqrt{5}} * (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n $

어디서 많이 본 일반항 아닌가?

맞다. 피보나치 수열의 일반항이다.

전 포스팅에서는 특성방정식을 그대로 이용하지 않고, 특성방정식의 아주 일부분만 잠깐 빌려다가 쓰고(특성 방정식에서 '틀'을 바꿔 수열을 잠깐 다항함수의 방정식 형태로 바꾼 뒤 근과 계수와의 공식으로 수열의 계수를 바꾼 정도) 계차의 공비를 구하는 식으로 점화식을 풀어내었다.

솔직히 전 포스팅에서는 이정도로 자세하게 특성방정식의 개념과 그 활용을 사용하지 않았기에 '일단 받아들여보세요~'하고 진행하였지만(사실 그 부분만 참고 넘어가면 이후에 유도하는데는 전혀 문제가 없다) 이후 좀 더 자세한 설명이 필요해보이기에 추가 포스팅한다.

직선 두개로 원을 삼등분하기

원을 삼등분하는 방법은 정말 여러가지가 있다.

일본에서는 챌린지까지 열릴정도라고하니 열기가 대단함을 알 수 있다.

그 중에는 실용적인 것도 있지만, 오로지 수학적 아름다움만을 위해 있는 것들도 있고... 하지만, 이번에 소개하려는 방식은 그 챌린지에 없지만, 실용적으로 쓸 수 있는 직선 두개로 원을 삼등분 하는 방식이다.

물론 수치가 완전히 딱 떨어지게는 나오지 않기 때문에 실전에서 사용하려면 어느정도 비슷한 근사치로 봐야하지만, 그래도 빠르게 직선만으로 3등분을 내기에는 적합하지 않나 싶다.

그래서 우리의 목표는

위와같이 원을 세로로 한번, 가로로 한번 잘라 면적이 동일하게 나오게 하는 것이다. 면적이 동일하면 3등분!

그렇지만, 따져보면 왼쪽의 두 부분은 위아래 대칭으로 한쪽 넓이만 계산하면 자동으로 반대편 넓이가 나오므로, 여기서 가장 중요한 포인트는 첫번째 세로로 자를 때 주황부분과 초록부분이 넓이가 같아지는지가 제일중요하게 된다.

그러면 어느 x점에서 잘라야 하는지가 중요해지고, 이것만 계산할 수 있으면 원을 직선 두개로 삼등분 할 수 있게 된다.

자, 그러면 두 넓이가 같다는 식을 세워보자

음영처리된 부분의 넓이를 구하는게 키포인트인데, 일단 간단하게 음영처리된 부분의 넓이를 $ a $라고 하고 넓이구하는 식을 만들어 봅시다. 원은 단위원으로 반지름은 1입니다.

(노란부분) $ \frac{\pi}{4} + a = 2(\frac{\pi}{4} - a) $ (초록부분)

근데 식을 써보니 식이 a에 대해서 정리될 것 같습니다.

$ \frac{\pi}{4} + a = 2(\frac{\pi}{4} - a) $

$ 3a = \frac{\pi}{4} $

$ a = \frac{\pi}{12} $

즉, 전체 넓이를 구하는 식에서 음영처리된 넓이가 $ \frac{\pi}{12} $면 된다는 식으로 식이 더 간단해 졌군요.

그럼 이제 우리는 음영처리된 넓이만 구하면 되겠습니다.

1) 각도와 삼각함수로 구하기

이전 포스팅(링크)에서 구했던 방식인데, 여기서 x값으로 다시 나타내지 않고, 각도값 그대로 사용하여 푸는 방식입니다.

원과 각도가 주어졌고, 위와 같은 모양의 넓이면, 호의 넓이+삼각형 넓이 해서 구할수 있으며, 이 식은

$ \frac{1}{2} \theta $ (호의 넓이) + $ \frac{1}{2} sin\theta \cdot cos\theta $ (삼각형의 넓이) [r=1 생략]

그러면 우리가 구하고자 했던 $ \frac{\pi}{12} $로 방정식을 놓으면

$ \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{2} sin\theta \cdot cos\theta = \frac{\pi}{12} $

정리하면

$ \theta + sin\theta \cdot cos\theta = \frac{\pi}{6} $

가 됩니다. 전에도 말씀드렸다시피 삼각함수의 일반각 계산은 사람이 할 수 없으므로 울프람 알파(https://www.wolframalpha.com/)를 돌려줍니다.

[위 식을 그대로 긁어서 붙이면 울프람에서 인식을 못합니다. θ + sin θ ⋅ cos θ = π/6 이거를 붙여 넣어주세요]

그러면 결과가

$ \theta = 0.268133... $

으로 나옵니다.

그러나 이거는 각도 값일 뿐, 우리가 원하는 것은 x좌표이므로, 위의 그림에서 놓은 $ \theta $ 방향을 보면, $ sin \theta $가 x좌표임을 알 수 있습니다.

다시 $ sin \theta $에 0.268133값을 넣어서 울프람 알파를 돌리면

$ sin 0.268133 = 0.264932... = x $

이와 같은 값을 얻고, 이는 바로 x좌표입니다.

2) 부정적분으로 구하기

이전 포스팅(링크)에서 주야장천 구했던 식을 가지고 푸는 방법입니다.

물론 계산은 울프람 알파가 해줄겁니다.

먼저 방정식을 세웁니다.

$ \frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{1-x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot arcsin \, x = \frac{\pi}{12} $

정리하여

$ x \cdot \sqrt{1-x^{2}} + arcsin \, x = \frac{\pi}{6} $

으로 만들고 울프람을 돌리겠습니다. 마찬가지로 위 식을 그대로 붙이면 울프람에서 인식 못하니 x ⋅ √ (1 − x^2) + arcsin x = π/6로 붙여넣어 주세요.

그러면 이번에는 한번에 x 값을 알려줍니다. 결과는 1)번과 같습니다.

결론

위의 계산으로 단위원의 원점에서 약 0.265만큼 떨어진 위치에서 세로로 한번, 나머지 부분에 가로로 한번 잘라주면 3등분이 된다는 사실을 알았네요!

좀 더 실용적으로 말해보자면 어떤 크기의 원이든, 원점에서 약 1/4 지점보다 조금 더 나가서 T자로 자르면 3분할이 된다고 볼 수 있겠습니다!

원넓이의 부정적분 구하기 - 2) 부정적분으로 구해보기

intetral root(1-x^2) dx

굉장히 오랜만에 다시 써보는 포스팅이네요.

저번 시간에 원 내부의 사다리꼴과 같은 도형의 넓이를 구하는 방법을 가장 기본적인 공식(부채꼴 공식+삼각형 공식)을 가지고 구해보았습니다.

이번 시간에는 이것을 부정적분으로 x값을 가지고 바로 구하는 방법을 알아볼까 합니다.

저번에 각도 $\theta$를 부채꼴 부분으로 잡았는데, 이번에도 한번 이렇게 잡아서 수식을 전개해보려고 합니다.

일단 이렇게 특수한 상황에 가기 전에, 일반적으로 원의 넓이를 적분으로 어떻게 구하는지 다시 한번 살펴보도록하겠습니다.

자, 일단 원의 방정식은 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$입니다. 저희는 $r$이 1인 단위원을 사용하기 때문에 식은 더욱 간단하게 $x^{2}+y^{2}=1$이 되겠네요.

이를 좀 더 보기 편하게 y에 대한 값으로 나타내면(x의 값에 따라 y값을 결정하는 방식) $y=\pm \sqrt{1-x^{2}}$으로 정리할 수 있습니다.

이 때 부호에 따라 양의 부호는 y축을 기준으로 0보다 위에 그려지는 반원을, 음의 부호는 아래쪽에 그려지는 반원을 의미합니다.

현재 저희는 위에 그려지는 반원 중에서도 1사분면 위의 사반원에 대해 구하려고 하고 있으므로, 이에 대한 적분 수식은 $\int \sqrt{1-x^2} \, dx$라고 볼 수 있습니다.

여기서 루트가 들어간 적분은 그냥 풀기에 너무 힘들기 때문에 x를 치환시켜 줄 것입니다.

예전에 고등학교 때 적분을 공부하면서 도대체 왜 치환하는지 의문을 가졌었는데, 실상은 치환해서 더 쉬운 형태로 만들어서 적분을 쉽게 만들기 위해서 하는 작업입니다 치환적분은!

루트를 없애줄 수 있으면서 적분 형태를 간단하게 해줄 수 있는 것이 무엇이 있나 한번 살펴보다보니, 언뜻 지나가는 공식이 있습니다.

$ sin^{2} \theta + cos^{2} \theta = 1 $이라는 공식이지요.(이 공식은 그냥 암기할 게 아니라, 너무 당연한 것을 표현한 것입니다. 아까 단위원의 방정식은 $x^{2}+y^{2}=1$이라고 했습니다. 이것은 원 위에서 무조건 성립하는 값입니다. 여기서 매개변수 표현법을 사용하면 $y=sin \theta, x=cos \theta$라고 했습니다. 즉, 단위원의 방정식에 매개변수 표현법을 사용하여 표현 방법만 x, y 변수가 아닌 $\theta$변수 로 바꿔준 것이 됩니다.)

이항해보면

$cos^{2} \theta =1-sin^{2} \theta$

제곱을 제거하면

$cos \theta = \sqrt{1-sin^{2} \theta}$

어디선가 많이 본 보양이지요?

즉, $x$를 $sin \theta$로 치환하면 자연스럽게 루트가 들어간 식이 정리되면서 적분이 가능한 형태로 바뀔 것 같습니다!

일단, $x$를 치환하면 $dx$도 같이 치환해 줘야 하므로 미분을 때려 봅시다.

$x=sin \theta$

$dx=cos \theta d\theta$

그럼 이렇게 준비된 x를 가지고 치환적분을 해보겠습니다.

$ \int \sqrt{1-x^{2}} dx $

$ \int \sqrt{1-sin^{2} \theta} cos \theta d\theta]_{x=sin \theta, dx=cos \theta d\theta} $

$ \int cos \theta \cdot cos \theta d\theta $

$ \int cos^{2} \theta \, d\theta $

여기서 다시 난관에 봉착합니다. $ cos^{2} \theta $를 적분하려면 많은 애로사항이 꽃핍니다.

일단 제곱을 떨어내야하는데, 어떻게 떨어내야할지 생각해봤더니... 배각공식을 역이용해서 떨어보겠습니다.

$ cos 2\theta \, = \, cos^{2} \theta - sin^{2} \theta $

참고로 배각공식은 삼각함수의 덧셈공식에서 온겁니다

$ cos (\alpha+\beta) = cos \alpha \cdot cos \beta - sin \alpha \cdot sin \beta $

자, 일단 $ cos^{2} \theta $를 $ cos 2\theta $로 바꿀 수 있는 실마리를 잡았는데, 뒤에 $ sin^{2} \theta $는 어떻게 없앨 수 있을까요?

여기서 삼각함수 무적의 공식 $ sin^{2} \theta + cos^{2} \theta = 1 $이 등장합니다.

$ sin^{2} \theta = 1 - cos^{2} \theta $로 만들고, 원 식에 대입하면

$ cos 2\theta = cos^{2} \theta - (1 - cos^{2} \theta) $

$ cos 2\theta = 2cos^{2} \theta - 1 $

우리는 $ cos^{2} \theta $를 바꿔야 하니 $ cos^{2} \theta $로 정리해보죠

$ cos^{2} \theta = \frac{cos 2\theta +1}{2} $

그럼 바로 대입하면

$ \int cos^{2} \theta \, d\theta $

$ \int \frac{cos 2\theta +1}{2} \, d\theta $

$ \frac{1}{2} (\int (cos 2\theta + 1) \, d\theta) $

$ \frac{1}{2} (\frac{1}{2}sin 2\theta + \theta) $ +C 생략

자, 드디어 적분을 완료해서 적분기호가 사라졌습니다.

그러나 $ sin 2\theta $는 뭔가 보기에 깔끔하지 않죠.. 똑같이 삼각함수 배각공식을 이용하여 단일 $ \theta $항으로 만들어줍시다.

$ sin 2\theta = 2 \cdot sin \theta \cdot cos\theta $

물론 이 배각공식도 덧셈공식에서 왔습니다.

$ sin (\alpha+\beta) = sin \alpha \cdot cos \beta + cos \alpha \cdot sin \beta $

따라서 원 식에 배각공식을 이용하여 풀어주면

$ \frac{1}{2} (\frac{1}{2}(2 \cdot sin \theta \cdot cos\theta) + \theta) $

$ \frac{1}{2} (sin \theta \cdot cos\theta + \theta) $

$ \frac{1}{2}sin \theta \cdot cos\theta + \frac{1}{2}\theta $

여기서

$ x = sin \theta $

$ \theta = arcsin x $

$ y = \sqrt{1-x^{2}} = cos \theta $

이므로, $ \theta $에 대한 식이 아닌, 원 x에 대한 식으로 바꿔주면

$ \frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{1-x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot arcsin \, x $

이 나오고, 이는 이 전 포스팅의 결과 식과 완전히 같은 모양이 됩니다.

원넓이의 부정적분 구하기원넓이의 부정적분 구하기 - 1) 일반공식으로 구해보기

원넓이를 처음 배우는 것은 초등학교 때, $\pi$를 3.14 근사값으로 배우면서 공식 암기와 함께 시작한다.

이후 중학교 과정에서 수의 확장과 함께 무리수로 $\pi$를 배워 무리수가 들어간 공식으로 배우고, 고등학교에 이르러서는 적분을 통해 원의 넓이를 새삼스레 다시 구해본다.

결국 우리의 수학 교과과정은 원에 대해서 배우는 것이다 라고 말해도 과언이 아닐 정도이다.

여기서 고등학교에서 정적분으로 원의 넓이를 구할 때 기계적으로 치환, 공식대입, 정적분을 통해서 '아 그냥 그렇게 되는구나'라고 알고 넘어가는 사람들이 대다수 일 터.

이번에 뭔가 궁금증이 생겨서 다시 풀어보니, 예전엔 그냥 단순히 치환하고 공식을 대입해서 풀었던 여기에는 참 많은 이유들이 있다는 것을 알게되었다.

그리하여 부정적분을 통해서 왜 이렇게 치환하고 그것으로 어떻게 넓이를 구하는지 알아보고자 한다.

물론 원은 사분원 넓이의 네배이니까 적분으로 원넓이 공식을 유도할 때 처럼, 반지름이 1인 단위원을 기준으로 하여 사분원의 넓이를 구하는 식으로 진행한다.

1] 일반식으로 원 넓이 구하기

부정적분으로 넘어가기 전에, 우리가 아는 일반 공식으로 $x$축에 대한 원의 넓이를 구할 수 있다.

딱 위의 그림에서와 같이 한번에 구하려면 왠지 적분을 써야 할 것 같지만,

위 그림과 같이 부채꼴과 삼각형으로 나눠서 구한다면 쉽게 원의 부분 넓이를 구할 수 있다.

부채꼴의 넓이는 호도법으로 전체 각도($2\pi$(360도))에 대한 원 넓이 $\pi r^2$을 전체 각도에 대한 부분각도의 비 만큼 곱해주면( $\frac{\theta}{2\pi}$ ) 부채꼴의 넓이($\frac{\theta}{2\pi}*\pi r^2 = \frac{1}{2} r^2\theta$)가 나온다.

물론 여기서는 r(반지름)을 1로 놨으니 r 변수는 사라질 것이다.

부채꼴의 각도를 기준으로 놨으니, 이제 삼각형도 계산할 수 있다. 삼각형의 넓이는 가로*세로/2이다.

xy좌표축의 x와 y의 값을 $\theta$로 표현하면 단위원의 매개변수 표현법에 의거 $y=sin\theta, x=cos\theta$로 표현할 수 있다. 다만 여기서는 부채꼴의 각도를 기준으로 표현을 했으니 우리가 쓰는 좌표축의 $y$값이 $cos\theta$가 될것이며 $x$값은 $sin\theta$가 될 것이다. 뭔가 두 길이가 달라진 것 같지만, 사실상 직사각형에서의 삼각형이니 두개는 대칭이다.(엄밀히 매개변수 표현법으로 $y=sin\theta, x=cos\theta$이니, 위의 예에서 $y=sin(90-\theta), x=cos(90-\theta)$가 되고 각각, $y=sin(90-\theta)=cos\theta$, $x=cos(90-\theta)=sin\theta$의 관계가 성립한다.)

수식으로 표현하면 $\frac{1}{2}sin\theta cos\theta$가 삼각형의 넓이가 될 것이다.

그리하여 두 식을 더한 $\frac{1}{2} \theta + \frac{1}{2}sin\theta cos\theta$ 값이 저 사다리꼴과 같은 도형의 부분 넓이가 된다는 것을 알았다.

여기까지 우리는 각도를 알면 그 각도에 해당하는 원의 사다리꼴과 같은 도형의 부분넓이를 구할 수 있게 되었으나, 반드시 각도를 알아야 한다는 단점이 있다.

여기서 x축 값 만으로 이 넓이를 구하려면, arcsin값만 알면 된다. 위의 그래프에서 x값과 같은 값을 나타내는 것은 $\theta$ 각도를 가지고 구한 $sin$값과 같다는 것을 알 수 있다. 그렇다면, 반대로 x값을 sin함수의 역함수인 arcsin에 넣어주면, 그 값에 해당하는 각도가 구해질 것이고, 그 각도값으로 부채꼴의 넓이 공식에 적용하면 부채꼴의 넓이를 알 수 있으므로 arcsin만 써주면 해결이다.

그렇다면 삼각형 부분은 어떻게 해결할 것인가?

사실 이 삼각형 부분은 x축 값이 밑변, 원의 방정식에서 x값을 대입한 값이 y값이다. 즉, y값은 $y = \sqrt{1-x^2}$이다.

이렇게 되면, 우리는 일반식으로 원에서의 사다리꼴과 같은 형태의 넓이를 x값에 따라 얻을 수 있는 일반식을 만들 수 있다.

$\frac{1}{2} arcsin\, x + \frac{1}{2}\cdot x \cdot \sqrt{1-x^2}$

다음 포스팅에서는 이를 부정적분으로 구해보는 시간을 가져볼 예정이다.