무한서고

자연수를 무한히 더한(1+2+3+4+…) 값은 사실 -1/12이었다!?

0. 서론: 상식을 파괴하는 등식

네? 이게 뭔소리나고요? 뭔 공교육 박살나는 소리냐고요??

아마 지금 모니터 앞에서 이런 생각을 하고 계실 겁니다. 하지만 일단 저를 믿고 따라와 보세요. 오늘은 서론 없이, 상식을 파괴하는 여정을 곧바로 시작하겠습니다.

1. 증명

1)

일단 무한 급수 하나를 가정하죠.

\begin{align}
S_1 = & \ 1-1+1-1+1- \cdots
\end{align}

이렇게 무한히 나열되는 무한 급수가 있습니다.

일단 양변에 1을 빼보겠습니다.

\begin{align}
-1 + S_1 = & -1 + (1-1+1-1+1- \cdots)
\end{align}

그리고 양변에 똑같이 -를 붙여주겠습니다(부호변경)

\begin{align}
1 - S_1 = & \ 1 - (1-1+1-1+1- \cdots)
\end{align}

오른쪽 괄호를 풀어주면

\begin{align}
1 - S_1 = & \ 1 - 1+1-1+1-1+ \cdots
\end{align}

어? 우항이 그냥 $ S_1 $ 자기 자신이네요?

다시 쓰면

\begin{align}
1 - S_1 =& \ S_1 \\
2S_1 =& \ 1 \\
S_1 =& \ \frac{1}{2} \\
\end{align}

따라서 $ S_1 $의 값은 $ \frac{1}{2} $입니다.

2)

이번에는 또 재밌는 무한급수를 한번 만들어 볼까요?

아까는 1번($S_1$)을 썼으니까 이번에는 2번을 붙여줘보죠.

\begin{align}
S_2 = & \ 1 - 2+3-4+5-6+ \cdots
\end{align}

이런 무한급수가 있습니다.

그냥 심심하니까 이 무한급수를 한번 자기 자신으로 더해볼까요?

아 물론 그냥 더하면 재미 없으니까, 하나씩 항을 밀어서 더해볼께요!

\begin{align}
S_2 = & \ 1 - 2+3-4+5-6+ \cdots \\
\underline{\ + \ S_2 =} & \underline{\qquad 1 - 2+3-4+5- \cdots} \\
2S_2 = & \ 1 -1+1-1+1-1+ \cdots
\end{align}

오, 우항이 바로 $ S_1 $이군요!

정리하면,

\begin{align}
2S_2 = & \ S_1 = \frac{1}{2} \\
\implies S_2 = & \ \frac{1}{4}
\end{align}

$ S_2 $의 값은 $ \frac{1}{4} $입니다.

[항을 하나 밀면 뒤에 항이 하나 남지 않냐고 날카롭게 질문한 당신! 박수! 그러나 무한의 세계에선 끝에 남는 항이 없답니다~
무한이 더 궁금하시다면 "어서오세요! 힐베르트 호텔에! ~무한의 세계로 떠나는 여행~" 포스팅을 읽어보시면 재밌으실 것 같습니다!]

3)

자 이제,

\begin{align}
S = & \ 1 + 2+3+4+5+6+ \cdots
\end{align}

자연수의 합, 자연수의 무한급수를 보겠습니다.

그냥은 어떻게 할 도리가 없으니까, 아까 $ S_2 $를 빼 볼까요?

\begin{align}
S \ \ = & \ 1 + 2+3+4+5+6+ \cdots \\
\underline{-\ S_2 = } & \underline{ \ 1 -2+3-4+5-6+ \cdots} \\
S - S_2 = & \ 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + \cdots
\end{align}

두 급수를 빼주는거니까, 부호가 같은 애들은 0이되고, 다른 애들은 더해서 두배가 되는 거죠!

이 수열을 다시 정리하면,

\begin{align}
S - S_2 = & \ 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + \cdots \\
= & \ 4 + 8 + 12 + \cdots \\
= & \ 4(1 + 2 + 3 + \cdots) \\
\end{align}

오 우항에서 다시 $ S $가 등장했군요!

\begin{align}
S - S_2 = & \ 4S \\
3S = & -S_2 \\
3S = & -\frac{1}{4}\\
S = & -\frac{1}{12}\\
\end{align}

오, 다시 정리하면

\begin{align}
1+2+3+4+5+6+\cdots = & -\frac{1}{12} \qquad \blacksquare
\end{align}

헐... 이게 증명이 되어버리네요!?!?

그럼 진짜 그동안 공교육에서 잘못 가르치고 있던거란 말입니까!?!?

2. 비밀: 왜 이 증명은 '꼼수'일까?

방금 본 증명은 그럴듯해 보이지만, 사실 수학적으로는 허점이 많습니다.

가장 큰 문제는 '발산하는 무한급수'를 수렴하는 급수처럼 마음대로 다루었다는 점입니다.

무한급수가 특정 값으로 수렴하지 않을 때는 항의 순서를 바꾸거나(항 밀기), 괄호를 치거나, 다른 급수와 더하고 빼는 연산을 함부로 할 수 없습니다.

[별개로 아까 무한이라서 항밀기는 되어요~ 라고 한건, 수렴하는 급수에 대해서는 성립한답니다! 실로 재밌는 무한의 세계]

즉, 위의 증명은 엄밀한 수학이라기보다는 "만약 저 발산하는 급수에 어떤 값을 억지로 부여한다면, 그 값은 -1/12가 되어야 논리적으로 아귀가 맞을 것이다"라는 것을 보여주는 일종의 발견적(heuristic) 방법에 가깝습니다.

그리고 중요한 사실, 제목에도 적어놨지만 이건 '꼼수'지 '궤변'이 아닙니다.

네? 지금 스스로 '그러나 트릭장난이었다~'라고 시인한거 아니냐구요? 트릭 장난은 맞는데요... 근데 답은 맞아요...

일종의 게임 '버그'를 활용한 '치트플레이'에 가까운 부분이죠.("어찌됐든 최종보스(=정답)를 만난다"는 점에서는 차이가 없습니다.)

"아니! 자연수를 다 더한 급수는 '무한대!!!!'지!!!! 어떻게 $ -\frac{1}{12} $가 맞다고 우길 수 있는거냐!!!"

라고 하신다면... 약간 보는 관점이 다르달까... 여기서 나오는게 바로 [양자역학]이거든요...

그럼 일단 한발 양보하셔서

'그래 1+2+3+...이 $ -\frac{1}{12} $일 수도 있다고 가정하면, 너가 스스로 치트플레이를 시인했는데 어떻게 엄밀하게 알려줄 수 있는데?'

부터 시작해볼까요?

3. 진짜 수학의 등장: 리만 제타 함수와 해석적 연속(Analytic Continuation)

그렇다면 왜 수학자들은 이 결과를 '맞다'고 이야기할까요? 그 답은 리만 제타 함수($ \zeta(s) $)에 있습니다.

리만 제타 함수는 아래와 같이 정의됩니다.

\begin{align}
\zeta(s) = & \ \sum \limits _{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots
\end{align}

여기서 $ s $는 복소수까지 들어갈 수 있구요, 일반적으로 복소수의 실수부가 1보다 큰 값에 대해서만 수렴합니다.( $ \mathfrak{R}(s) > 1 $ )

고등 수학까지 공부하셨던 분들이면 $ \frac{1}{n} $ 급수는 수렴하지 않고, $ \frac{1}{n^2} $은 수렴하던 걸 기억하실겁니다.

참고로 $ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} $이죠.

그리고 우리가 찾는 $ 1+2+3+ \cdots $는 이 함수에 $s = −1$을 넣은 값, 즉 $ \zeta(-1) $과 형태가 같습니다.

하지만 $s = −1$은 함수가 정의된 영역( $ \mathfrak{R}(s) > 1 $ ) 밖에 있습니다. 여기서 수학자들은 '해석적 연속(Analytic Continuation)'이라는 강력한 도구를 사용합니다.

쉽게 비유하자면, 특정 구간에서만 그려진 함수 그래프가 있을 때, 이 그래프의 곡률이나 패턴을 유지하면서 정의되지 않은 영역까지 그래프를 자연스럽게 연장하는 것과 같습니다. 마치 함수의 '거울'을 만들어 반대편을 비춰보는 것과 비슷하죠.

정확히는 리만의 함수 방정식이라는 도구를 사용합니다만, 궁금하신 분은 더보기 클릭!

이 '해석적 연속'이라는 방법으로 리만 제타 함수를 $s = −1$이 포함된 영역까지 확장하면, 놀랍게도 그 지점의 함수 값이 정확히 $ -\frac{1}{12}$가 됩니다.

\begin{align}
\zeta(-1) = & -\frac{1}{12}
\end{align}

즉, 꼼수 증명으로 얻은 값이 더 고차원적인 수학 체계 안에서 올바르다는 것이 증명된 셈입니다.

4. 현실 세계와의 연결고리: 카시미르 효과(Casimir effect)

"그래 봤자 수학자들의 머릿속에서만 존재하는 것 아닌가?"라고 생각할 수 있습니다.

하지만 이 기묘한 합은 놀랍게도 현실 세계에서 그 증거를 드러냅니다.(아까 말했던 그 '양자역학' 이야기 입니다)

바로 카시미르 효과(Casimir effect)라는 건데요.

완벽한 진공 상태에 아주 매끄러운 금속판 두 개를 아주 가깝게 붙여 놓으면, 아주 신기하게도 이 두 금속판이 서로를 잡아당깁니다...!

진공속에서! 아무것도 없는데! 왜!?!?

과학자들 대혼란. 이었죠.

일상적으로 '진공'이라하면 '아무것도 없는 거', '텅 빈 공간'이라고 생각하지만 양자역학에 따르면 진공은 수많은 가상 입자들이 나타났다가 사라지는 에너지의 바다입니다. 이 에너지는 온갖 종류의 파동(전자기파)으로 들끓고 있죠.

여기서 바로 파동의 차이가 발생하게 되는데요

• 금속판 바깥: 공간이 무한하므로 모든 종류의 파동이 존재할 수 있습니다.
• 금속판 사이: 공간이 매우 좁기 때문에, 기타 줄이 특정 음만 내는 것처럼 딱 맞아떨어지는 파동만 존재할 수 있습니다. 즉, 존재 가능한 파동의 종류가 바깥보다 적습니다.

그리고 여기서 바깥의 파동 에너지가 더 크고 안쪽의 에너지가 더 작기 때문에, 바깥에서 안쪽으로 미는 아주 미세한 힘(압력)이 생깁니다.

그리고 이에따라 두 금속판은 저절로 서로에게 끌어당겨집니다!

이제 원인은 밝혀졌습니다. 그 힘을 계산하고 측정하는 것만 남았죠!

계산: 이 힘은 (바깥의 모든 파동 에너지 합) - (안쪽의 모든 파동 에너지 합)으로 계산됩니다. 그런데 이 '모든 파동 에너지의 합'이라는 것이 바로 무한급수의 형태로 나타납니다.

그리고 이 무한대의 계산을 '조절(regularization)'하는 과정에서 물리학자들은 경악스러운 수식과 마주칩니다. 바로 그 힘의 크기가 1 + 2 + 3 + 4 + ... 와 직접적으로 연관된다는 것입니다.

여기서 물리학자들이 만약 "에이, 이건 그냥 무한대잖아. 계산 못 해!"라고 포기했다면 아무 결과도 얻지 못했을 겁니다. 대신 그들은 수학자들이 알려준 '대표값'인 -1/12을 그 자리에 넣었습니다.

그렇게 계산을 마쳤더니, 두 금속판을 미는 힘의 크기가 정확하게 예측되었습니다.

측정: 1997년, 과학자들은 정밀한 실험을 통해 이 힘을 실제로 측정하는 데 성공했고, 그 값은 -1/12을 넣어 계산한 이론과 거의 완벽하게 일치했습니다.

이는 마치 허수(i)가 처음엔 상상 속의 수였지만, 지금은 전기공학 등 현실의 문제를 푸는 데 없어서는 안 될 도구가 된 것과 같습니다.

5. 또 다른 천재의 길: 라마누잔 합

사실 이 결과는 리만보다 앞서, 인도의 천재 수학자 라마누잔이 독자적으로 발견했습니다.

그는 서양 수학계와 교류가 거의 없던 상태에서 자신만의 독창적인 방식(오일러-매클로린 급수 활용)으로 발산급수에 값을 할당하는 '라마누잔 합'을 고안했고 자연수의 무한 급수=−1/12라는 결과를 얻었습니다.

이후 리만 제타 함수가 더 포괄적이고 엄밀한 수학적 토대를 제공했지만, 이 놀라운 통찰력 덕분에 이 결과는 종종 '라마누잔 합'이라고 불리기도 합니다.

6. 결론

\begin{align}
1+2+3+4+5+6+\cdots = & -\frac{1}{12}
\end{align}

이 식은 '사과를 세는' 덧셈의 세계에서는 거짓이지만, '양자 세계의 파동 에너지를 재는' 확장된 수학의 세계에서는 참입니다. 그리고 그 참은 실제 물리 현상으로 증명됩니다.

위에서도 얼핏 언급되었지만, '허수'는 곱해서 -1이 되는 수입니다. 이 '허수'또한 현실에서는 존재할 수가 없죠.

사과 i개, 이런게 성립하나요?

그러나 일단 받아들이는 순간 그 활용도는 무궁무진해집니다. 수학적인 부분(관련 포스팅: 사원수(Quaternion)란? ~허수에서 출발하는 차원확장~)에서 뿐만 아니라, 현재 전기-교류, 더 넘어서 스마트폰의 전파를 설명하는데 아주 필수적이죠.

끝까지 오시면서도, 위의 허수 예시를 들으시면서도 와닿지 않을 걸 압니다. 애초에 거의 새로운 개념인 허수와는 다르게 우리가 거의 '산수'의 시작과 함께 한 '자연수'와 '덧셈'에서 파생되는 아주 충격적인 결과니까요.

그럼 이렇게 생각해보는 건 어떨까요?

아주 작은 양자 세계로 가면, 세상은 사과 같은 알갱이가 아니라 끝없이 출렁이는 '파동'으로 가득 차 있습니다.

여기서의 질문은 '몇 개냐?'가 아니라 '이 무한한 출렁임 전체가 가지는 대표적인 힘(에너지)이 얼마냐?'는 거죠.

이 질문에 답하려면 사과를 세던 자(ruler)가 아니라, 파동 에너지를 재는 특수한 측정 장비가 필요하겠죠?

바로 그 장비의 이름이 '제타 함수'인 거구요.

그리고 이 특수 장비로 1+2+3...처럼 무한히 뻗어나가는 에너지의 총량을 측정했더니, 그 계기판에 $-\frac{1}{12}이라는 값이 딱 찍힌 겁니다.

어떻게 조금은 와 닿으셨나요? 안 와 닿으셨나요?

괜찮습니다. 뭐 양자역학이란게 그런거니까요

정말, 기존의 상식을 파괴하는 기묘한 세상에서 고생하셨습니다.

아, 재밌는거 하나 알려드릴까요?

$ \zeta(0) $도 값이 있는 걸 알고계셨나요?

그냥 풀어쓰면 $ 1 + 1 + 1 + \cdots $라서 무한대로 발산이지만, 과연 제타함수에서는 어떻게 값이 나올까요!?

참고로 위에서 '더보기'를 누르셨던 용감하신 분도 이 해석적 확장 만으로는 구하실 수 없을 겁니다.(애초에 $ \zeta(1) $은 절대로 정의되지 않거든요)

직접 구해보시는 것도 즐거울 겁니다!

감마함수(Gamma function)란 무엇인가? ~ 오일러, 또 당신이에요? ~

0. 서론

이 블로그의 이전 포스팅들에서 아주 심심치 않게 등장하던 특수함수(special function)가 있습니다.

• 감마함수로 팩토리얼 증명
• 대학교 2학년의 꿈(x^x 적분)

바로 감마함수(gamma function)인데요.

사실 그동안 감마함수가 무엇인지 정확히 모르고 일단 하나의 도구로 썼었는데, 오늘은 이게 무엇인지 낱낱이 밝혀보도록 하겠습니다.

1. 감마함수의 정의

$ \Gamma(n+1) = n! = \int_0^\infty t^{n}e^{-t} dt $

로 정의되는 감마함수는 한마디로 말해서 팩토리얼 함수입니다.(정확히는 '정수에서의 팩토리얼과 일치하며, 이를 실수와 복소수 영역까지 확장한 특수함수 즉, 팩토리얼을 일반화한 함수'라는게 맞겠지요)

그런데 이미 팩토리얼을 정의하는 다른 방법들($ \Pi $라던가 !라던가..)이 있는데도, 왜 이런 특수함수가 필요하냐 하면..

!로 정의되는 팩토리얼 연산은 정수에서만 정의가 되어있고, $ \Pi $로 쓰는 형태는 조작이 쉽지 않아서 랍니다.

더 자세한 내용을 따라가 볼까요?

2. 팩토리얼 확장의 시작: 오일러의 탐구

1729년, 수학계의 오랜 질문 중 하나는 정수 n에 대해서만 정의되던 팩토리얼(n!)을 어떻게 실수와 복소수 영역까지 연속적(analytic)으로 확장할 수 있을까 하는 문제였습니다. 다니엘 베르누이(Daniel Bernoulli), 크리스티안 골드바흐와(Christian Goldbach) 같은 당대의 수학자들이 이 주제를 놓고 활발히 서신을 주고받았죠.

이 문제에 뛰어든 레온하르트 오일러는 먼저 팩토리얼을 다른 방식으로 표현하는 것에서 출발했습니다. 그는 1729년 골드바흐에게 보낸 편지에서 다음과 같은 무한 곱 형태를 제안하며 팩토리얼을 일반화할 실마리를 찾았습니다.

$ n! = \lim \limits _{m \rightarrow \infty} \frac{(m+1)^n m!}{(n+1)(n+2) \cdots (n+m)} $

하지만 무한 곱은 다루기 까다로웠고, 오일러는 더 우아하고 실용적인 형태를 찾고자 했습니다.

여기서 그는 새로운 함수 $ f(x) $가 만족해야 할 세 가지 핵심 조건을 설정했습니다.

1. 초기값과 재귀성질: f(1)=1, f(x+1)=xf(x)
2. 정수 팩토리얼 값과 일치: f(n) = n!
3. 해석적 성질: 함수가 연속적이고 미분 가능하며, 적분 등으로 표현 가능해야 한다.

그리고 이제 이 함수를 찾기 위한 여정을 떠납니다.

3. 영감의 원천: 오일러의 제1종 적분(베타 함수)

오일러는 이 문제를 고민하기 전, 훗날 베타 함수(Beta function)라 불리는 '오일러의 제1종 적분(Euler's integral of the first kind)'을 연구한 경험이 있었습니다.

베타 함수는 이항 계수를 실수 범위로 일반화한 것으로, 다음과 같이 정의됩니다.

$ B (x, y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt $

그리고 이 함수를 부분적분하면

$ B(x, y) = \frac{y-1}{x} B(x+1, y-1) $라는 재귀 관계가 나타납니다.

위에서 정한 조건 중 가장 핵심인 '재귀성질'을 찾아낸 것입니다.


또한 이 구조는 오일러에게 결정적인 영감을 주었습니다.

1. 두 함수의 곱을 적분하는 과정(특히 부분적분)이 재귀적인 성질을 만들어낼 수 있다.
2. 재귀 관계를 단순하게 만들기 위해 변수는 한가지로 통일
3. 한 함수는 미분/적분해도 형태가 유지되는 지수 함수($ e^t $) 꼴을 가져야 한다.
4. 다른 함수는 재귀적 성질을 반영해야하므로 미적분시 차수가 변하는 $ t^n $ 꼴을 가져야 한다.

4. 감마 함수의 탄생: 오일러의 제2종 적분(Euler's integral of the second kind)

이러한 통찰을 바탕으로 오일러는 1730년 1월 8일, 마침내 팩토리얼을 일반화하는(즉, 위의 세가지 조건을 모두 만족하는) 아름다운 적분 형식을 찾아냈습니다.

이는 '오일러의 제2종 적분(Euler's integral of the second kind)'이라 불리며, 훗날 감마 함수라고 불리게 됩니다.
(이 결과는 나중에 논문(De progressionibus transcendentibus, E19 등)에 정리되어 발표됩니다.)

$ n! = \int_0^\infty t^{n}e^{-t} dt $

여기서 몇 가지 요소는 오일러의 영감과 함께 치밀한 수학적 계산의 결과입니다.

1) 왜 $ e^t $가 아닌 $ e^{−t} $인가?

이는 '균형' 때문입니다.

부분적분
$ \int u dv = uv - \int v du $
을 하면 원시함수의 곱이 나오게 되는데 이 항을 경계항(Boundary term)이라고 합니다.
적분구간의 아래끝과 위끝의 값으로 최종 적분값이 결정되기 때문이죠.

그리고 여기서 재귀 관계가 깔끔하게 나오려면 경계항(boundary term)이 0이 되어 사라져야 합니다.

$t^n$은 $ t \rightarrow \infty $ 일 때 발산하므로, 이 값을 0으로 수렴시키기 위해 더 강력하게 감소하는 함수인 $ e^{−t} $가 곱해져야만 했습니다.

2) 왜 적분 구간이 0부터 $ \infty $인가?

만약 임의의 유한구간 T를 상한으로 놓고 유한한 구간에서 적분하면 경계항이 0이 되지 않아 재귀 관계가 복잡해집니다.
따라서 적분 구간을 0부터 $ \infty $까지로 설정함으로써, 경계항은 구간의 양 끝점(t=0, t→∞)에서 모두 0이 되어 깔끔하게 사라지고 원하는 재귀 관계만 남게 됩니다.

5. 감마함수: 이름의 유래와 정의

시간이 흘러 1809년, 프랑스 수학자 아드리앵마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre)가 이 함수에 감마 함수(Gamma function)라는 이름을 붙이고 대문자 감마(Γ) 기호를 도입했습니다.

그런데 왜 하필 '감마'를 도입했을까요?
여러가지 설이 있습니다만.. 안타깝게도 정확하게 명시된 내용은 없답니다.
그래도 흥미돋는 썰들을 살펴보자면

• 당시 특수 함수에 그리스 문자를 붙이는 유행이 있었다
• 이 오일러의 제2종 적분이 팩토리얼을 일반화(Generalization)시켰다는 뜻에서 G의 Gamma를 선택했다.
• 대문자 감마(Γ) 기호가 '계단'이나 '각(angle)'의 형태를 띠고 있어, 팩토리얼의 이산적인(discrete) 성질과 연속적인 확장을 연결하는 시각적 상징으로 선택했을 수도 있다

정도가 가장 대표적이라고 볼 수 있겠습니다.

또한 르장드르는 감마 함수를 다음과 같이 정의했는데, 이로 인해 한 가지 독특한 관습이 생겼습니다.

$ \Gamma(n) = \int_0^\infty e^{-x}x^{n-1} = (n-1)! $

왜 $\Gamma(n)$이 $n!$이 아닌 $(n-1)!$이 되도록 정의했는지에 대한 명확한 이유는 없습니다.
그냥 르장드르가 제일 처음에 이렇게 정의를 해서 썼고, 이 최초 정의가 그대로 학계의 관습으로 굳어져 내려온다고 알려져 있습니다.

그러나 이렇게 내린 정의 덕분에 베타 함수와의 관계식($ B(x, y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$) 등 다른 여러 공식이 더 깔끔한 형태로 표현되니, '그냥'이라기 보다는 꽤나 많은 고민 끝에 내린 결론 같죠?

참고로, 베타함수라는 이름은 1839년 자크 비네(Jacques P. M. Binet)가 명명합니다.
명명의 이유는 정확히 알려져 있지 않지만, 감마함수가 제2종 적분이니 제1종 적분은 베타함수라고 그리스알파벳 순서에 따라 명명하지 않았나 추측합니다.

6. 마무리

수학사에서 뭔가 괴짜같다(=대단하다) 싶은 결과는 오일러, 가우스, 라그랑주 세 명 중 한 명을 찍으면 대충 맞습니다.
오일러는
오일러 방정식을 통해 복소평면에서 지수함수와 삼각함수와의 관계를 정립한 것처럼
오일러의 적분을 통해 이산적인 연산을 연속적인 연산으로 확장해냅니다.(이항 계수가 그러하며, 팩토리얼이 그러하죠)

Golden: Huntr/x(헌트릭스) 말고 Ratio(비)

0. 서론

아 예 요새 케이팝 데몬 헌터스가 아주 핫합니다.

거기서 나오는 OST들도 이제 공중파에서도 쓰일만큼 엄청 유명해졌구요~

저는 그 중에서도 Golden이라는 노래를 제일 좋아합니다.

그래서 오늘 주제도 바로 Golden ratio, 즉 황금비를 가져와 봤는데요!

일단 황금비가 무엇인지 간단하게 알아보고, 어디어디서 찾을 수 있는지 살펴봅시다!

1. 황금비란?

선분을 두 부분으로 나눌 때 “전체:긴쪽 = 긴쪽:짧은쪽”이 되도록 나누는 비가 바로 황금비 입니다.

사람이 가장 아름답다고 생각하는 비율이기도 하죠.

황금비는 실제로 $ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.618 \cdots $의 값을 가진답니다.

2. 황금비가 숨어있는 곳

고대 그리스의 파르테논 신전을 정면에서 봤을 때, 가로 길이와 높이가 황금비로 구성되어있었다고하며 그외 다양한 건축/미술 영역에서 활용되고 있죠.

또한, 이것을 각의 비율로 보게된다면, 전체 360도를 황금비로 나눈 값은 약 222.5도입니다. 그리고 여기서 그 나머지각(360-222.5)인 137.5도를 '황금각(golden angle)'이라고 하며, 자연계에서 식물의 잎이 순차적으로 나는 각도로도 알려져있죠.

그리고 수열에서도 찾아볼 수 있는데요, 바로 피보나치 수열의 비율의 극한이 황금비로 수렴한답니다!

더욱 자세한건 이전 포스팅 >>피보나치 수열의 일반항과 비율의 극한(황금비)<<에 더욱 잘 정리되어 있답니다!

3. 더욱 재밌는 사실

정오각형을 그려볼까요?

여기서 대각선을 전부 그려봅시다

자, 오각형의 한 내각은 몇 도였죠? $ \frac{180(n-2)}{n} $이니까 108도네요!

빨간 삼각형을 보면, 최 상단은 내각을 3등분하니까, 108/3 해서 36도임을 알 수 있습니다.

그럼, 여기서 하늘색 선과, 노란색선의 비율을 한번 알아 볼까요?

아주 흥미롭게도 이전 포스팅 >>삼각함수의 일반각(18도, 36도) 구하기<<을 보시다보면 cos 36도가 바로 황금비의 절반이라는 사실을 눈치채셨나요!?

일단 노란색 선을 1이라고 가정하고, 파란색 선의 길이를 구하려면 가장 쉬운 방법은 코사인 제2법칙 일 겁니다.(현재 cos 36도의 값을 알고 있기 때문이죠)

파란색 선을 알고 싶은 길이이므로 x로 놓습니다. 그리고 파란색과 빨간색 선은 이등변 삼각형의 양 변이므로 길이가 같습니다.

따라서 식을 써보면

\begin{align}

1^2 = & x^2+x^2-2 \cdot x \cdot x \cdot \cos 36^\circ\\

1 = & 2x^2-2x^2 \cos 36^\circ \\

1 = & 2x^2 (1 - \cos 36^\circ) \\

1 = & 2x^2 \left(1 - \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right) \quad \leftarrow \cos 36^\circ = \frac{1+\sqrt{5}}{4} \\

1 = & 2x^2 \frac{3-\sqrt{5}}{4} \\

1 = & x^2 \frac{3-\sqrt{5}}{2} \\

\frac{2}{3-\sqrt{5}} = & x^2 \\

x^2 = & \frac{2}{3-\sqrt{5}} \\

x^2 = & \frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5} \\

x^2 = & \frac{6+2\sqrt{5}}{4} \\

x = & \sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{4}}

\end{align}

이렇게 x값을 구할 수 있습니다.

그런데 이중근호가 보이니 너무 좀 그렇죠? 이중근호를 제거해줍시다.

이중근호 공식 $ \sqrt{a+b \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} $에 따라 x를 정리해주면

\begin{align}

x = & \sqrt{\frac{1+5+2\sqrt{5}}{4}} \\

x = & \frac{\sqrt{1+5+2\sqrt{5}}}{\sqrt{4}} \\

x = & \frac{\sqrt{1} + \sqrt{5}}{2} \\

x = & \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

\end{align}

따라서 변의 길이를 1이라고 가정하면, 대각선의 길이가 $ \frac{1+\sqrt{5}}{2} $가 됨을 알 수 있습니다!

또한 더욱 재밌는 사실은 이 오각형 내부의 삼각형들은 전부 이등변 삼각형이므로, 두변과 밑변의 비가 모두 황금비를 가지게 된답니다!

훨씬 간단하게도 알아볼 수 있습니다.

정오각형의 한 변(빨간선)을 1로 놓는다면 하늘색선(x)과 자주색선(y)의 합은 정오각형의 한 변과 같을 겁니다(이등변 삼각형의 성질)

다시쓰면 $ x + y = 1 $이군요.

아까 황금비의 정의는 "황금비 = 전체:긴쪽 = 긴쪽:짧은쪽"이었으므로

$ 1 : x = x : y $

다시쓰면

$ \frac{1}{x} = \frac{x}{y}$

정리하면

$ y = x^2 $

아까 y는 1 - x 였으므로

$ 1-x = x^2 $

양변 $ x^2 $으로 나누어 정리하면

$ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} = 1 $

$ \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x} + 1 $

여기서 $ \frac{1}{x}$를 t로 치치환하면

$ t^2 = t + 1 $

$ t^2 - t - 1 = 0 $

근의 공식으로 정리하면

$ t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} $

현재 우리는 '비율'을 보고 있으므로 음수는 제외하면

$ t = \frac{1}{x} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $

로 정리가 되고, 바로 이것이 황금비 임을 알 수 있죠!

또한, 황금비의 제곱은 황금비 +1이라는 사실도 더불어 알 수 있습니다.

프톨레마이오스 정리(Ptolemy's theorem)으로 보면

원에 내접하는 사각형($ \square ABCD $)은 항상 식 $ \overline{AC} \cdot \overline{BD} = \overline{AB} \cdot \overline{CD} + \overline{AD} \cdot \overline{BC} $을 만족합니다.

따라서 오각형(ABCDE)에서 사다리꼴($ \square ABDE $)을 보면

$ \overline{AD} \cdot \overline{BE} = \overline{AB} \cdot \overline{DE} + \overline{AE} \cdot \overline{BD} $

이고, 여기서 변의 길이를 s, 대각선의 길이를 d라고하면

$ d^2 = s^2 + s \cdot d $

가 되겠죠?

양변을 $ s^2 $으로 나누고, 아까처럼 "황금비 = 전체:긴쪽 = 긴쪽:짧은쪽"으로 봐서 긴쪽을 d, 짧은쪽을 s로하여 $ \frac{d}{s} $를 황금비($ \phi $)로보면

위와 같은 $ \phi^2 = \phi +1 $꼴이 나오면서 황금비가 증명된답니다.

괜히 르네상스시절에 다빈치가 오각형과 그 오망성에 심취했던게 아니죠!

4. 마무리

사실 황금비의 전반적 개괄을 작성하는 듯 했으나, cos 36도가 황금비의 절반이라는 점에서 시작된 포스팅이었습니다.

뭔가 고급? 공식들이 이리저리 엮이는게 너무 흥미롭지 않나요!?

제곱근의 값은 어떻게 구할까?[개평법, 바빌로니아법, 뉴턴-랩슨법]

0. 서론

제곱근도 숫자인가요?

네, 숫자이죠!

그렇다면 분수를 소수점으로 나타낼 수 있듯이, 제곱근(=무리수)도 소수점으로 표현할 수 있겠죠?

참고로 무리수는 순환하지 않는 무한소수로 알려져있습니다.

자, 그럼 우리가 흔히 알고 있는,

• $ \sqrt{2} = 1.414 \cdots $
• $ \sqrt{3} = 1.732 \cdots $
• $ \sqrt{5} = 2.236 \cdots $

이런 값들은 어떻게 구하는 걸까요?

자, 오늘은 이 제곱근의 값을 직접 구하는 방법을 알아보겠습니다!

1. 제곱 범위로 찾기

제일 쉬운 방법이죠. 가령 $ \sqrt{2} $ 는 제곱하면 2이고, 이 수는 1보다는 크고 4보다는 작으니 다시 제곱근을 취하면 1보다는 크고 2보다는 작은 수 일 겁니다.

$ 1 < \sqrt{2} < 2 $

소수점 이하로 확장해볼까요?

1.1의 제곱은 1.21, 1.5의 제곱은 2.25이므로

$ 1.21 < 2 < 2.25 \rightarrow 1.1 < \sqrt{2} < 1.5 $

따라서 $ \sqrt{2} $는 1.1과 1.5 사이의 수가 되겠네요.. 이런 방식으로 점점 범위를 좁혀나가는 겁니다.

그러면 소수점 이하 자리수를 늘릴수록 더 정확한 근사값을 얻을 수 있겠죠?

장점은 정말 매우매우매우 직관적입니다. 교과서에서도 무리수의 값을 찾는 방법으로 바로 소개가 되죠.

더불어 제곱근의 확장이 용이합니다. 즉, 세제곱, 네제곱... 거듭해서 제곱을 해도 그에 해당하는 거듭제곱 값을 범위로 설정하면 되기 때문이죠.

그러나 단점은.. try&error방식으로 진행되다보니

• 범위를 적극적으로 좁히면 error 즉 제곱근 값의 범위를 넘어갈 수 있는 가능성이 높아지고
• 범위를 소극적으로 좁히면 try 즉 제곱근의 정확한 값으로의 수렴이 느려집니다.

2. 개평방법(開平方法) 혹은 개평법(開平法)

딱 봐도 한자가 출동한 게 보이시죠?

동아시아의 전통 학문인 산학(算學)에서 발전한 방법입니다.

동아시아에서는 어떤 수의 제곱을 '평방(平方)'이라고 하였고, 이 제곱을 풀어낸다(=제곱근)는 뜻에서 '열 개'자를 써서 개평방(開平方) 혹은 줄여서 개평(開平)이라고 불렀습니다.

그 유명한 중국의 산학책 '구장산술'에 실렸던 방법입니다.

방법은 간단합니다. 나눗셈과 비슷해요. 다만 근호 왼쪽의 수가 계속 변화하는 나눗셈이지요.

\begin{align}
& ㅤㅤ\! \textcolor{red}{1}.\,\textcolor{blue}{4} \ \textcolor{orange}{1} \ \textcolor{green}{4} \ \cdots 
\\
\textcolor{red}{1} ㅤㅤ & \ \, \sqrt{2ㅤㅤㅤㅤ\ }
\\
\underline{+\textcolor{red}{1} ㅤㅤ\! } & \underline{\ -\textcolor{red}{1}ㅤㅤㅤㅤ\ } ㅤ(1 = 1 \times 1)
\\
2 \textcolor{blue}{4} ㅤ\ & ㅤㅤ\! 1 \, 00
\\
\underline{+ \ \ \ \textcolor{blue}{4} \, ㅤ} & \underline{ㅤ\  -\textcolor{blue}{96}ㅤㅤ\ \ \ }ㅤ(96=24\times4) \\ 28 \textcolor{orange}{1} \ \ & ㅤㅤㅤ4 \, 00
\\
\underline{+ \ ㅤ\ \textcolor{orange}{1} \ \, } & \underline{ㅤ　\! -\textcolor{orange}{2\, 81}ㅤ\ \ }ㅤ(281=281\times1)
\\ 　282 \textcolor{green}{4} & ㅤㅤㅤ\,119 \, 00
\\
\underline{+ㅤㅤ\textcolor{green}{4}\!} & \underline{ㅤ　-\textcolor{green}{112 \, 96}\ } \,ㅤ(11296=2824\times4)
\\
2828 &ㅤㅤㅤㅤ\  6\,04
\\
& ㅤ\ \ \, \vdots
\end{align}

1) 자, 여기서 보면 나눗셈처럼 시작을 합니다.

2를 제곱하여 나눌 수 있는 가장 큰 수를 선택을 합니다. 여기서는 $ \textcolor{red}{1} $이네요.

그럼 이 $ \textcolor{red}{1} $을 제곱근호 왼쪽과 위에 하나씩 써 줍니다.

자, 여기서부터 근호기준 왼쪽연산과 오른쪽 연산이 분리됩니다.

오른쪽 연산은 완전한 나누기 연산입니다. 다만 자릿수를 내릴 때 나눗셈은 0 하나만 내리지만, 개평방에서는 00으로 0을 두개 내리지요.

왼쪽 연산은 이전에 선택한 수를 더해서 내리고 새로운 자리를 추가하는 연산입니다.

2)

오른쪽 연산: 나눗셈처럼 근호 왼쪽에 있는 수를 근호 위쪽에 있는 수와 곱하여 그 곱한 값을 근호 내에 있는 값과 빼주고, 나머지를 내립니다.(나머지: 2 - 1 = 1)

왼쪽 연산: 현재 선택한 수(1)를 더해주고, 그 수를 아래로 내려줍니다.(1 + 1 = 2 $)

3)

오른쪽 연산: 나머지에 00을 내립니다.(100)

왼쪽 연산: 내린 수의 끝자리에 수를 하나 더 추가합니다.(십의자리 2, 일의자리 ?)

4)

오른쪽 연산: 왼쪽에서 이 2? 와 ?를 곱해서 현재 "나머지+00"인 수보다 크지 않은 수를 찾습니다.
여기서는 24*4 = 96이므로 4가 우리가 찾던 ?입니다. 100에서 96을 뺀 4를 아래로 내려줍시다.
근호 위에도 써줍시다. 원래 근호 안에 있던 수의 자릿수보다 더 나누게 되니 소수점도 추가해줍시다.

왼쪽 연산: 위에서와 마찬가지로 24와 4를 더하고 아래로 내려줍니다.

5) 이후 계속 반복계산합니다.

글로보면 어렵지만, 이미지로 보면 정말 쉽습니다.

장점은

1. 처음 방법을 터득할때까지가 어색할 뿐이지 한번 터득하고 나면 계속 완전 같은 방식으로 연산을 반복하므로 직관적이고 쉽습니다.
2. 개평방법으로 구한 각 자릿수는 절대 변동의 여지없이 정확한 숫자를 나타냅니다.(이후 다른 방법들을 이용하여 제곱근을 구하게되면 소수점 자리들이 출렁출렁하면서 바뀝니다)
3. 나눗셈과 같이 한자리 한자리 구해나가는 것이므로, 완전제곱수의 경우 유한한 단계에서 명확하게 끝이 납니다.

단점은

1. 계산이 갈수록 엄청 번거로워지고(자릿수가 하나씩 늘어나는 곱셈 및 뺄셈 연산)
2. 이에따라 자릿수를 하나하나 늘려가는데 시간이 갈수록 오래 걸린다는 점이 있습니다.

3. 바빌로니아식 제곱근 근사법(Babylonian method)

3-1. 유래

제곱근을 계산하는 다른 방법으로는 바빌로니아 방법 혹은 바빌로니아 알고리즘이라는 방법이 있습니다.

왜 바빌로니아식 제곱근 근사법이냐 하면...

고대 바빌로니아(기원전 1800년경)의 점토판 유물에서 발견된 수학 문서에 제곱근 근사값을 계산하는 방식이 등장합니다.

• Plimpton 322 (기원전 1800년경 수메르/바빌로니아 지역의 점토판): 고대 바빌로니아 수학자들이 작성한 것으로 보이는 피타고라스 삼수표(Table of Pythagorean triples)로 해석되는 표(직각삼각형 계산과 연루)가 작성된 점토판. 정확한 용도에 대해서는 논란이 있으나, 제곱근 근사와 관련된 고대의 계산 문화와 맥락이 담겨있다고 볼 수 있다.
• YBC 7289 점토판: $ \sqrt{2} \approx 1.414213 $의 고정밀 근사값이 기록되어 있음 (실제값과 소수점 여섯째 자리까지 일치)

그래서 현대의 수학자들이 이 방법을 '바빌로니아식'이라고 명명하였습니다.

이후 고대 그리스 수학자 헤론(Heron of Alexandria)이 동일한 공식을 사용했어서 '헤론의 방법'이라고도 부르나, 보통은 바빌로니아 기록이 더 이르기 때문에 '바빌로니아식 제곱근 근사법'이라고 부릅니다.

3-2. 의미

위에서 봤던 개평법과는 다르게, 바빌로니아식 제곱근 근사법은 "반복 근사법"입니다.

즉, 계속해서 같은 공식에 이전에 나왔던 값을 '반복 대입'하며 근사값을 찾아가는 방법이죠.(점화식과 같습니다)

"반복 근사하면 오래걸리지 않아?"라고 하실지 모르겠습니다만, 일단 수렴속도가 어마어마하게 빨라서 해당 제곱근 수 근처의 수를 고르면 다섯번 이내로 최소 소수점이하 두세자리까지는 완벽하게 알 수 있습니다.(첫 값을 잘 고르면 네 번 만에 여덟자리까지 수렴하기도 합니다)

3-3. 수식

$ x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{S}{x_n}\right) $

수식은 이와같이 생겼습니다. 즉, $ x_n $을 넣고 계산을 하면 $ x_{n+1} $값이 나오고, 이 값을 다시 넣어서 계산하면서 반복해서 근사해나가는 방식이죠.

이때 $ x_0 > 0 $에서 시작하면 이 수열의 극한값이 $ \sqrt{S} $라는 것이 바빌로니아식 제곱근 근사법입니다.

왜 $ x_0 > 0 $이 조건이 필요하냐면... 0이면 아예 계산이 안되고, 음수면 $ -\sqrt{S} $로 수렴해서 그렇습니다.

3-4. 수렴하는 이유

직관적으로 보면

어떤 수 $ x $가 $ \sqrt{S} $​보다 작으면 $ \frac{S}{x} $​는 커지고, 반대로 $ x $가 크면 $ \frac{S}{x} $는 작아집니다.
그러므로 둘의 평균을 취하면 더 정확한 근사치에 다가갈 수 있죠!

수학적으로 보면

[수식의 나열입니다. 아래 더보기를 눌러보시고, 어려우시면 건너뛰시죠!]

3-5. 뉴턴-랩슨법(Newton-Raphson Method)의 특수한 형태

사실상 현재 어떤 함수에 대해 어떤 지점에서의 근삿값을 알고 싶다고 하면, 가장 빠르고 효율적인 알고리즘이 바로 뉴턴-랩슨법입니다.

그리고 사실 이 바빌로니아식 제곱근 풀이법은 뉴턴-랩슨법의 아주 특수한 형태라고 볼 수 있습니다.

뉴턴 랩슨법은 다음과 같습니다.

$ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $

우리는 어떤 수 x가 $ \sqrt{S} $와 같기를 바랍니다.

$ x = \sqrt{S} $

양변 제곱하면

$ x^2 = S $

이항하면

$ x^2 - S = 0 $

딱 이 값을 원하는 거죠. 그리고 이거는 함수로 표현하자면 f(x) = 0인 값을 찾고 싶은거고, 그러면 이제 함수 f(x)는 다음과 같이 정의 됩니다.

$ f(x) = x^2 - S $

여기서 0인 값을 찾는거죠.

그럼 이걸 뉴턴-랩슨법에 대입하면

$ x_{n+1} = x_n - \frac{(x_n)^2-S}{2x_n} $이 되고

정리하면

$ x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{S}{x_n}\right) $

가 되면서, 바빌로니아식 제곱근 근사법이 짜잔 하고 나타납니다!

4. 마무리

어떠셨나요..!

조금은 어렵지만, 조금은 재밌는, 무리수로의 한 발짝이었습니다!

삼각함수의 일반각(18도, 36도) 구하기

0. 서론

삼각함수를 처음 배울 때 특수각에 대한 값은 다 암기를 합니다. 특수각은 0도, 30도, 45도, 60도, 90도의 다섯가지죠!

그리고 '일반각은 어려워서 못구한다~ 계산기 써야해~'라고 배우죠!

그런데 갑자기 18도, 36도는 어떻게 구하냐구요?

에이 구할 수 있으니까 글을 썼겠죠..!?

그렇다면 이 신기한 각도를 구하는 여정을 떠나봅시다.

1. sin과 cos값의 신비

학창시절에 뭐 90도, 180도, 등등 더하면 부호가 바뀌고 함수가 바뀌고~ 하는 것들을 배우셨을 겁니다.

그때당시엔 그냥 무작정 외웠지만...

sin과 cos함수 사이에는 아주 깊은 연이 있답니다..!

수식으로 바로 써보자면, $ \sin t = \cos (\frac{\pi}{2}-t) $

즉, 합이 90도($ \frac{\pi}{2} $)가 되는 두 각도의 사인 값과 코사인 값은 서로 같답니다!

(직각 삼각형을 그려보면 아주 명확히 나오죠!)

2. 18도를 구해보자

자 그럼 여기서 18도는 어떻게 구할까요?

잘 보면, 18도를 5배하면 90도가 되는 것을 알 수 있죠!

그렇다면 18도를 그냥 A라고 쓰면, $ 5A = \frac{\pi}{2} $겠네요!

그리고 아까 sin과 cos의 관계에서 sin의 각과 cos의 각의 합이 90도이면 서로 같다고 했으니..

$ \sin 2A = \cos 3A $가 되겠군요?(2A+3A=5A=90도)

배각공식과 3배각 공식을 쓰면

$ 2\sin A \cos A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A $

여기서 삼각함수 항등식 $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $을 적용하면,

$ 2\sin A \cos A = 4\cos A (1-\sin^2 A) - 3 \cos A $

이 식에서 $ \cos A $는 0이 아니므로, 좌우변 모두 나눠주면

$ 2\sin A = 4(1-\sin^2 A) - 3 = 1 - 4\sin^2 A$

다시 수식 정리해주면

$ 4 \sin^2 A + 2 \sin A -1 = 0 $으로 정리가 되겠군요.

$ \sin A $를 t로 치환하고 근의 공식을 적용하면,

$ 4 t^2 + 2t -1 =0 $

$ t = \frac{-1 + \sqrt{1+4}}{4} \lor \frac{-1 - \sqrt{1+4}}{4} $

이렇게 나오겠죠? 그러나 여기서 $ \sin A $는 무조건 양수 값만 가질 것이므로

$ \sin A = \frac{-1 + \sqrt{1+4}}{4} $

즉, $ \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4} $입니다.

오, $ \sin 18^\circ $는 쉽게 구했군요! 그렇다면 cos도 같은 방법으로 구하면.... 아 쉽지 않아요...

sin의 경우와 다르게 수식이 쉽게 정리되지 않습니다.

그렇다면 cos은 구하지 못하는 걸까요?

아니죠!

우리에게는 삼각항등식이 있잖아요!

$ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $

$ \sin^2 18^\circ + \cos^2 18^\circ = 1 $

$ \cos^2 18^\circ = 1 - \sin^2 18^\circ $

$ \cos^2 18^\circ = 1 - \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)^2 $

따라서

$ \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} $

3. 36도를 구해보자

$ \cos 36^\circ $는 어떻게 구할까요?

$ \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 1 - \sin^2 A - \sin^2 A = 1- 2\sin^2 A $

이므로, 아까 구한 $ \sin 18^\circ $를 이용하면

$ \cos 36^\circ = 1 - 2 \sin^2 18^\circ $

$ \cos 36^\circ = 1- 2 \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)^2 $

따라서

$ \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4} $

여기서 삼각항등식을 이용하면 쉽게 $ \sin 36^\circ $도 구할 수 있습니다.

$ \sin^2 36^\circ = 1 - \left( \frac{\sqrt{5}+1}{4} \right)^2 $

$ \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} $

4. 마무리

이렇게 일반각 18도와 36도의 값을 알아 보았습니다.

더해서 90도가 되는 각은 sin과 cos이 같다고 했으니, 위의 각만 알고있어도 72도, 54도의 값은 알고있는거나 마찬가지 입니다.

이번 포스팅에서 tan는 언급이 없었는데, 사실 tan는 sin과 cos의 조합으로 이루어진 함수이므로 sin, cos값만 알고있으면 tan값은 알고있는거나 마찬가지이므로 따로 언급을 하지 않았습니다.

삼각함수의 3배각 공식(삼중각 공식) 증명(feat 오일러&드무아브르 공식)

0. 서론

오늘은 삼각함수의 3배각 공식(Triple Angle Formula)을 증명해보겠습니다.

일단, 덧셈 공식을 아신다는 가정 하에 덧셈 공식으로 유도해보고 그 다음 오일러 공식과 드무아브르 공식을 이용해서 유도해보도록 하겠습니다.

1. 덧셈 공식을 활용하여 유도해보기

sin함수의 덧셈 공식과 배각 공식은 다음과 같습니다.

$ \sin (a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \ \rightarrow \sin 2t = 2\sin t \cos t $

cos함수의 덧셈 공식과 배각 공식은 다음과 같습니다.

$ \cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \ \rightarrow \cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t $

1-1. $ \sin 3t $

일단 삼각함수 중 sin부터 유도해보죠.

$ \sin 3t = \sin (2t + t) $

$ = \sin 2t \cos t + \cos 2t \sin t $

$ = 2\sin t \cos t \cos t + (\cos^2 t - \sin^2 t) \sin t $

$ = 2\sin t \cos^2 t + \sin t \cos^2 t - \sin^3 t = 3\sin t \cos^2 t - \sin^3 t $

여기서 삼각함수 항등식 $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \Leftrightarrow \cos^2 t = 1- \sin^2 t $를 적용하면

$ = 3\sin t (1-\sin^2 t) - \sin^3 t $

$ = 3\sin t - 4 \sin^3 t $

따라서

$ \sin 3t = 3\sin t - 4 \sin^3 t \quad \blacksquare$

1-2. $ \cos 3t $

다음으로 cos을 유도해 보겠습니다.

$ \cos 3t = \cos (2t + t) $

$ = \cos 2t \cos t - \sin 2t \sin t $

$ = (\cos^2 t - sin^2 t) \cos t - 2\sin t \cos t \sin t $

$ = \cos^3 t - \sin^2 t \cos t - 2\sin^2 t \cos t = \cos^3 t - 3\sin^2 t \cos t $

여기서 삼각함수 항등식 $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \Leftrightarrow \sin^2 t = 1- \cos^2 t $를 적용하면

$ = \cos^3 t - 3(1-\cos^2 t)\cos t $

$ = 4\cos^3 t - 3\cos t $

따라서

$ \cos 3t = 4 \cos^3 t - 3\cos t \quad \blacksquare$

2. 오일러 공식과 드무아브르 공식으로 유도하기

간단하게 오일러 공식은 $ e^{it} = \cos t + i \sin t $

드무아브르 공식은 $ (\cos t + i \sin t)^n = \cos (nt) + i \sin (nt) $입니다.

이번에는 오일러 공식이 굉장히 중요하게 작용하니, 잘 모르시는 분들께서는 >>오일러 공식<< 포스팅을 먼저 읽고 오시길 추천드립니다.

일단 드무아브르 공식이 왜 성립하는지 살펴본 뒤에 이를 이용하여 3배각을 증명해보죠!

2-1. 드무아브르 공식의 증명

오일러 공식은 $ e^{it} = \cos t + i \sin t $라고 했습니다.

여기서 $ e^{it} $를 n제곱 해볼까요?

$ \left( e^{it} \right)^n $

이렇게 수식으로 나타낼 수 있고, 지수 법칙에 따라 이는 아래와도 같이 나타낼 수 있을 겁니다.

$ e^{int} = e^{i(nt)} $ [결합법칙에 따라 int와 i(nt)는 같죠!]

즉, $ \left( e^{it} \right)^n = e^{i(nt)} $겠네요.

그렇다면 여기서 오일러 공식을 바로 대입해볼까요?

좌항은:

$ e^{it} = \cos t + i \sin t $이므로,

$ \left( \cos t + i \sin t \right)^n $

이렇게 정리 될 것이고

우항은:

오일러 공식 $ e^{iA} = \cos A + i \sin A $에서 $ A = nt $로 치환하면,

$ e^{int} = \cos nt + i \sin nt $

로 정리될 겁니다.

따라서

$ \left( \cos t + i \sin t \right)^n = \cos nt + i \sin nt \quad \blacksquare $

임이 증명되었습니다.

2-2. 드무아브르 공식을 활용한 3배각 증명

2-2-1. $ \sin 3t $

$ \sin 3t $을 찾으려면 아까 증명한 공식에서 n이 3인 형태를 구해보면 될 것 같습니다.

$ \left( \cos t + i \sin t \right)^3 = \cos 3t + i \sin 3t $ 이니까요.

그럼 좌항을 한번 전개해보죠.

$ \left( \cos t + i \sin t \right)^3 = \cos^3 t + 3\cos^2 t \cdot i \sin t - 3\cos t \cdot \sin^2 t - i \sin^3 t $

식 정리하면,

$ \cos^3 t - 3\cos t \cdot \sin^2 t + i (3\cos^2 t \sin t - \sin^3 t) $

이렇게 정리가 되겠습니다.

다시 살펴보면

$ \cos 3t + i \sin 3t = \left( \cos t + i \sin t \right)^3 $

$ \cos 3t + i \underline{\sin 3t} = \cos^3 t - 3\cos t \sin^2 t + i \underline{(3\cos^2 t \sin t - \sin^3 t)} $

이렇게 정리가 된 식인데요, 여기서 저희는 $ \sin 3t $만 궁금하기때문에, 허수가 곱해진 허수부만 보면 될 것 같습니다.

$ 3\cos^2 t \sin t - \sin^3 t $

여기서 $ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t$이므로 대입하면

$ 3(1 - \sin^2 t) \sin t - \sin^3 t $

$ 3\sin t - 4\sin^3 t $

오, 따라서 $ \sin 3t = 3\sin t - 4\sin^3 t \quad \blacksquare $

위에서 공식으로 증명한 것과 완전히 같은 값이 나왔습니다!

2-2-2. $ \cos 3t $

여기서는 $ \cos 3t $라고 아예 새로 시작할 필요가 없는게, 이미

$ \underline{\cos 3t} + i \sin 3t = \underline{\cos^3 t - 3\cos t \sin^2 t} + i (3\cos^2 t \sin t - \sin^3 t) $

이 식에서 $ \cos 3t $를 바로 찾을 수 있습니다.

네, 바로 아까와 다르게 실수부만 보면 되기 때문이죠!

따라서

$ \cos 3t = \cos^3 t - 3\cos t \sin^2 t $

$ = \cos^3 t - 3\cos t (1-\cos^2 t) $

$ \cos 3t = 4\cos^3 t - 3\cos t \quad \blacksquare $

바로 유도가 되죠!?

3. 마무리

오늘은 sin과 cos의 3배각 공식(삼중각 공식)에 대해 알아보았습니다.

배각공식만 알아도 금방 유도할 수 있지만, 오일러 공식과 드무아브르 공식으로 자연히 유도되는 부분이 경이롭지 않나요?

아, 근데 왜 tan는 없냐고요?

아쉽게도 tangent 함수는 정의 자체가 sin과 cos의 분수형태거든요.. $ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} $

그래서 바로 계산할 수 있는 방법은 없습니다.

tan의 덧셈 공식(배각 공식)자체도 sin과 cos의 덧셈 공식을 분수로 나열한 뒤에 정리해서 만드는 형태이고, 3배각도 배각 공식을 다시 정리해서 유도하는 형식이기 때문에 오늘의 포스팅에서는 살짝 생략을 하였답니다.

그래도 궁금하시다면..! 한번 직접 유도해보시는 건 어떨까요!?

정담은 살짝 알려드리도록 하겠습니다!

tan의 덧셈 공식

$ \tan (a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a \tan b} $

세상에서 가장 아름다운 수식(박사가 사랑한 수식, 오일러 항등식)

0. 서론

세상에서 가장 아름다운 수식 혹은 박사가 사랑한 수식을 아시나요?

바로 오일러 항등식(Euler's identity)

$ e^{\pi i}+1 = 0 $인데요(관련글 복소수 평면에서의 오일러 공식(Euler's formula))

왜 가장 아름다운 수식이라고 했을까요?

오늘은 이 이유를 알아보도록 하겠습니다.

1. 오일러의 공식에서 오일러 항등식으로 변형

오일러의 공식은 $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $입니다.

그리고 여기서 x에 $ \pi $를 대입하면, $ e^{\pi i} = -1 $를 얻을 수 있습니다.

그리고 -1을 이항하면(혹은 1을 양변에 더해주면) $ e^{\pi i} +1 = 0 $이라는 오일러 항등식이 만들어집니다.

참고로 항등식(identity)이라는 말은 '기호의 조작 없이 항상 참인 형태의 수식'을 의미합니다.

여기서 $ e^{\pi i} = -1 $은 왜 따로 안부르고, $ e^{\pi i} +1 = 0 $만 오일러 항등식이라고 부를까요?

두 가지 가능성 있는 이야기를 해보겠습니다.

1-1. 대입 결과 vs 자명한 등식

$ e^{\pi i} = -1 $는 사실 오일러 공식 $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $에서 $ \pi $를 대입해준 결과에 불과합니다.

즉, 오일러 공식의 한가지 대입 결과(=특수 케이스)라고 볼 수 있는 형태이지요.

그러나, $ e^{\pi i} +1 = 0 $는 오일러 공식에 값을 대입한 결과를 "자명한 등식" 형태로 재정리한 것이라고 볼 수 있습니다.

따라서 이렇게 재정리된 식을 따로 '오일러 항등식'이라고 명명해 준 것이죠.

1-2. '0(無)'과 관계짓기

$ e^{\pi i} = -1 $ 자체로도 충분히 아름답습니다.

그러나 수학자들은 '+1=0' 형태로 이항하여 '0(無)'과의 관계를 만드는 것을 선호합니다. 이는 모든 중요한 요소들이 더해져 완벽한 '없음'의 상태, 즉 균형을 이룬다는 철학적 의미를 더하기 때문입니다.

실제로도 어떤 방정식을 푼다고 하면 '=0'으로 놓고 푸는 것이 일반적이고, 이런 것들이 '자명한 등식'이라는 느낌에 암암리에 영향을 미치지 않았을까 싶습니다.

2. 5개의 가장 기초적이고 중요한 수를 모두 포함

이 하나의 수식에 아래의 상수가 모두 들어 있습니다:

• $ e $ : 자연로그의 밑, 미적분과 자연성장의 핵심
• $ i $ : 허수 단위, 복소수 체계의 근간
• $ \pi $ : 원주율, 기하학과 주기성의 상징
• $ 1 $ : 곱셈 항등원, 수의 단위
• $ 0 $ : 덧셈 항등원, 무의 개념

이 5개는 각각 다른 수학적 영역을 대표합니다. 그들이 하나의 방정식에 조화롭게 등장하는 것은 극히 드문 일입니다.

3. 최소한의 수식으로 최대한의 의미 전달

이 수식은 다음의 특성을 모두 만족합니다:

• 등식(=)
• 지수함수
• 복소수
• 원주율
• 음수
• 항등식 형태

즉, 구조적으로 단순하면서도 의미적으로는 극단적으로 복잡하고 깊이 있는 내용을 담고 있습니다.

4. 해석학, 대수학, 복소수, 삼각함수, 위상수학까지 아우름

이 수식의 기원은 복소수 평면에서의 오일러 공식:

$ e^{ix} = \cos x + i\sin x $

입니다.(관련글 복소수 평면에서의 오일러 공식(Euler's formula))

여기서 $ \pi $ 를 대입하면 자연스럽게 오일러 항등식이 됩니다. 즉,

$ e^{i\pi} = -1 \Rightarrow e^{i\pi} + 1 = 0 $

이것은 복소수의 극형태 표현, 삼각함수와의 연계, 그리고 지수함수의 본질까지 포괄합니다.

5. 수학자들이 ‘신의 언어’라고 불렀을 정도로 완벽한 조화

리처드 파인만(Richard Feynman)은 이 수식을 "수학에서 가장 놀라운 공식"이라 칭했습니다.("Feynman once described Euler's identity as 'our jewel' in mathematics") 또 다른 수학자들은 이 수식을 "수학이 예술과 과학의 경계에서 빛나는 순간"이라고 평합니다.

6. 실제 응용성과 철학적 깊이 모두 갖춤

이 수식은 단지 아름답기만 한 것이 아니라, 파동 이론, 양자역학, 신호처리, 회전군 이론, 푸리에 해석 등에서도 핵심 역할을 합니다.

철학적으로도, “무(0)”와 “존재(1)”, “무한한 성장($e$)”, “회전과 순환($\pi$)”, “상상($i$)”이 함께 관계를 맺고 있다는 해석도 존재합니다.

7. 결론: 왜 아름다운가?

서로 다른 영역의 근본적인 수학 개념들이 극도로 단순한 형태로 만났기 때문입니다.

마치 우주와 시간, 존재와 무, 실재와 상상이 단 하나의 언어로 압축된 듯한 느낌을 주기 때문에, 이 수식을 보고 많은 수학자들이 "숭고함" 혹은 "경외심"을 느끼기 때문이죠..!

혹시 "아니 이 식이 왜 아름다운거야?" 싶으셨던 분들! 이 포스팅으로 이해하는데 도움이 되셨길 바랍니다!

복소수 평면에서의 오일러 공식(Euler's formula)

0. 서론

오일러의 공식은 다음과 같습니다.  
$ e^{ix} = \cos x + i \sin x $

언뜻 보면 "지수함수가 삼각함수랑 등호로 연결된다고...? 이게 왜 성립하는 식이야?"하며 의아함이 들 수 있지만, 사실 이 공식은 복소평면 위에서의 특별한 움직임을 표현하면서 지수함수와 삼각함수 사이의 연결고리를 제공한답니다!

이 공식을 정확히 이해하면, 나중에 ‘세상에서 가장 아름다운 수식’이라 불리는
$ e^{\pi i} + 1 = 0 $
도 자연스럽게 받아들일 수 있게 됩니다.
(물론, 그 외에도 푸리에 해석, 양자역학, 신호처리 등 수많은 분야에 등장합니다.)

오늘은 이 공식이 어떻게 유도되는지 살펴보겠습니다.

1. 복소평면

복소평면이라하면 말이 거창해보이지만, 사실 실수를 나타내는 수직선(number line)에 직각으로 허수를 나타내는 축을 도입하여 하나의 평면으로 나타낸 것입니다. 그리고 이것을 통해 복소수(1+i)를 수직좌표평면처럼 나타낼 수 있게 됩니다.

2. 오일러의 공식 유도하기

2-1. 미분으로 이해하기

사실 어떻게보면 이 방식이 제일 쉽고 빠르게 이해할 수 있는 방식입니다.

미분이라고 어려울 것 없습니다.

1. 위치를 미분하면 속도가 됩니다.
2. 특정 거리 $ e^{ax} $에서의 속도는 $ a \cdot e^{ax} $입니다.
   • $ e^x $는 미분해도 그대로 $e^x$인 재밌는 함수입니다.
   • 여기서 $ e^{ax} $를 미분하면 '미분규칙'에 의해 $ a \cdot e^{ax} $가 됩니다.

이 두가지만 알면 됩니다.

2-1-1. a=1일 때,

특정 거리 $ e^x $에서의 속도는 $ e^x $입니다. 즉, x가 증가한다면 증가하는 방향으로 위치와 같은 속도를 가지고 움직인다는 거죠.

2-1-2. a=2일 때,

특정 거리 $ e^{2x} $에서의 속도는 $ 2e^{2x} $입니다. 즉, x가 증가한다면 증가하는 방향으로 위치의 두배 속도를 가지고 움직인다는 거죠.

2-1-3. a=$-\frac{1}{2}$일 때,

특정 거리 $ e^{-\frac{1}{2}x} $에서의 속도는 $ -\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x} $입니다. 즉, x가 증가한다면 증가하는 방향의 반대로 위치의 절반 속도를 가지고 움직인다는 거죠.

2-1-4. a=i 일 때,

이제 복소평면이 등장합니다.

이전까지는 수직선(number line) 상에서 양의 방향과 음의 방향의 선형적 움직임이었다면 이제, 허수축으로도 움직입니다.

특정 거리 $ e^{ix} $에서의 속도는 $ ie^{ix} $입니다.

즉, x가 증가한다면 현재 위치에서 수직인 방향(허수 i가 곱해졌으므로)으로 위치와 같은 속도를 가지고 움직인다는 거죠.

그렇다면 복소평면에서 $ e^{ix} $가 나타내는 점의 자취는 원이 될 것입니다.(매 순간 수직방향으로 힘이 가해지면 원운동이 되죠?)

따라서 x는 호도법으로 정의된 각과 같은 값을 가집니다.

2-1-5. $e^{ix}$와 $ \cos x $, $ \sin x $ 연결시키기

이 원 위의 한 점은, 위에서 알아봤다시피 $ e^{ix} $로 나타낼 수 있습니다.

여기서 좌표평면에서 단위원을 각 $ \theta $로 나타내던 것 기억나시나요?

원의 방정식 $ x^2+y^2 = 1 $에서
임의의 점 $ (x, \ y) $를 각 $ \theta $로 표기하면
$ x = \cos \theta $
$ y = \sin \theta $
로 표기가 됐었죠?(그래서 자연스럽게 삼각함수 항등식 $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $이 유도되는거구요)

마찬가지로 $ e^{ix} $도 다시 나타내면 $ \cos x + i\sin x $가 될 것입니다.

다만, Cartesian 평면에서는 x값과 y값이 따로 제시가 되었지만 복소평면에서는 실수+허수i로 표현을 하기 때문에

허수축의 값인 $ \sin x $에 $ i $를 곱해서 실수축의 값인 $ \cos x$와 더한 값인 $\cos x + i \sin x $가 $e^{ix}$와 같은 값을 나타내게 됩니다.

따라서 $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $입니다.

2-2. 3차원으로 이해하기

위에서는 복소평면 위에서의 원운동으로 수식을 설명하였습니다.

그러나 이 복소평면 외에 '시간(t)'축을 하나 더 설정하여 3차원으로 보면 과연 어떻게 나타날까요?

이 복소수 운동이 나선형으로 전개되며 실수부와 허수부가 시간에 따라 각각 사인과 코사인 파형으로 나타나는 구조를 가집니다.

이런 시각화 방식은 단순한 함수 표현을 넘어서, 푸리에 해석의 기하적 기초를 제공하는 중요한 직관적 도식입니다.

2-3. 테일러 급수로 유도하기[심화: 수학적으로 엄밀하게 증명하기]

이 파트 시작 전 warning:

이 부분은 미적분 및 기본적 급수 지식이 필요하니, 가볍게 읽고 싶은 분들은 건너뛰고 '3. 결론'으로 가셔도 좋습니다!

테일러 급수(Taylor series)는 어떤 함수(특히 초월함수)가 특정 점 a에서 충분히 매끄럽게(무한 미분 가능하게) 정의되어 있을 때, 그 함수를 해당 점 근방에서 다항함수의 무한합(멱급수)으로 근사하는 수학적 도구입니다.

$ f(x) = \sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n $

임의의 a점에서 함수 f를 다항함수로 근사시킬 때, 원래 함수 f의 n계 도함수(n번 미분)를 n 팩토리얼로 나눈 멱급수의 형태이죠.

여기서 $ f^{(n)} $은 미분 횟수를 나타내는 표현입니다.

보통은 초월함수를 계산 가능하게 근사할 때 많이 쓰입니다.

그리고 여기서 a가 0인, 즉 원점에서 근사하는 것을 특별히 매클로린 급수(Maclaurin series)라고 합니다.

$ f(x) = \sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n $

테일러 급수에 비해 계산이 훨씬 쉬워지죠.

이제 각 식을 매클로린 급수로 나타내면 다음과 같습니다.

$ e^x $는 미분해도 $ e^x $라는 걸 위에서도 알아봤으니, $ e^x $의 매클로린급수는 다음과 같아집니다.

$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $

$ \cos x $는 1번 미분하면 $ -\sin x $, 2번 미분하면 $ -\cos x $, 3번 미분하면 $ \sin x $, 4번미분하면 다시 $ \cos x $가 되는 주기함수입니다.

여기서 매클로린 급수로 표현했을때, 상수항을 포함하여 본다면, 매 짝수번째 항이 $ \sin x $의 값을 가지고, 결과적으로 짝수번째 항은 전부 사라져버립니다.(다시말해 분모가 짝수 팩토리얼인 항만 남습니다.)

$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots $

$ \sin x $는 1번 미분하면 $ \cos x $, 2번 미분하면 $ -\sin x $, 3번 미분하면 $ -\cos x $, 4번미분하면 다시 $ \sin x $가 되는 주기함수입니다.

여기서 매클로린 급수로 표현했을때, 상수항을 포함하여 본다면, 매 홀수번째 항이 $ \sin x $의 값을 가지고, 결과적으로 홀수번째 항은 전부 사라져버립니다.(다시말해 분모가 홀수 팩토리얼인 항만 남습니다.)

$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots $

여기서 $x$에 $it$를 대입하면

$ e^{it} = 1 + it - \frac{t^2}{2!} - \frac{i \cdot t^3}{3!} + \cdots $

이므로, 정리하면

$ e^{it} = (1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \cdots) + i(t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \cdots) $

이와같이 정리할 수 있습니다.

다시 여기서, 위에서 살펴보았던, cos과 sin의 매클로린 급수는

$ \cos t = 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \frac{t^6}{6!} + \cdots $

$ \sin t = t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \frac{t^7}{7!} + \cdots $

이므로, 최종적으로 정리하면

$ e^{it} = \cos t + i \sin t $

이렇게 정리됨을 알 수 있습니다.

실제 각 함수의 매클로린 급수를 하나씩 늘려가며(원래 그래프에 근사시켜가며) 이미지로 한번 볼까요?

• 검은선은 원래 함수, 파란선은 매클로린 급수(특정 차수의 근사 함수)입니다.
• sin t가 그려지는 평면은 세로 허수축과 가로 t축
• cos t가 그려지는 평면은 가로 실수축과 세로 t축
• $ e^{it} $가 그려지는 평면은 세로 허수축과 가로 실수축(복소평면)입니다.

위의 그래프는 각 아래의 수식을 시각화 한 것입니다.

각 $\sin t$, $\cos t$, 그리고 $e^{it}$를 맥클로린 급수로 차수별로 근사해보면, 20차 항만으로도 실제 함수와 거의 일치함을 확인할 수 있습니다.

특히 $\cos t$는 복소평면에서 실수축(x축)의 좌표로 작용하므로, 시각적 직관을 높이기 위해 x축과 y축을 바꿔 표현했습니다.

그림을 보면,

• $\sin t$는 짝수 차 항의 계수가 0이기 때문에 해당 차수에서는 그래프에 변화가 없고,
• $\cos t$는 홀수 차 항이 0이므로 홀수 차수에서도 마찬가지입니다.

또한 두 함수 모두 최고차 항의 부호가 교대로 바뀌기 때문에, 차수가 한 항씩 증가하면서 곡선의 기울기나 방향이 우상향 ↔ 우하향으로 번갈아 나타납니다.

이러한 곡선의 굽음 방향 변화는 복소평면 위 $e^{it} = \cos t + i\sin t$의 궤적에도 그대로 반영되며,  
실수부($\cos t$), 허수부($\sin t$)의 방향성이 차수에 따라 교대로 뒤집히는 과정을 통해 점점 단위원에 수렴하는 원형 궤적을 시각적으로 관찰할 수 있습니다.

3. 결론

오일러의 공식 $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $이 증명되었습니다.

더불어 오일러 항등식에 사용되는 '$ x = \pi $일때 $ e^{\pi i} = -1 $'도 자명하게 나오죠?
(삼각함수 계산($ e^{\pi i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + i \cdot 0 $)을 해도 나오고, 좌표상에서도 시작 1에서 180도(=$\pi$) 돌아가면 -1이니까요!)

사원수(Quaternion)란? ~허수에서 출발하는 차원확장~

0. 개요

사원수(Quaternion)라는 개념에 대해서 알고 계신가요?

처음 들어보시는 분들도 많으실 거라 생각하는데요, 이 수는 4개의 요소로 '공간'을 나타내는 한가지 방법이랍니다.(그래서 4개의=사, 요소=원, 해서 사원수죠!)

'공간을 나타내는 방법'하면 대표적으로 떠오르는게 '벡터'가 있으실텐데, 이것도 사원수에서 출발한 개념인 걸 알고계실까요!?

그렇다면 이 사원수는 어떻게 발견되게 되었을까요!?

그리고 어떻게 쓰는 걸까요!?

지금부터 따라오시죠! 팔로팔로미~

1. 허수 발견의 역사

그 전에, 일단 사원수는 '허수(imaginary number)'를 사용합니다.

간단하게 "현실 세계에서는 있을 수 없는 수!"라고 해서 '비다/없다/헛되다/가짜'를 뜻하는 '허(虛)'를 붙인거죠.

영어로도 '가상으로만 있는 수'라는 뜻에서 'imaginary number'라고 부릅니다.

그리고 수학적으로는 $ \sqrt{-1} $을 뜻하죠. 현실세계에서는 무언가를 제곱하면 '무조건' 양수가 나와서, 그 역연산인 제곱근을 사용할 때는 그 대상이 무조건 양수여야만 하는데, 현실에서 절대로 나올 수 없는 '제곱해서 음수가 나오는 수'를 정의한 거니까요.

가만히 생각해보면, 현재 우리들도 이해하기 어려운 '헛 것'을 과거 사람들은 쉽게 받아들일 수 있었을까요? 심지어 처음 보는 개념인데요!

그래서 이 허수를 발견하고 받아들이는데는 참 많은 시간이 필요했답니다.

간단하게 정리해보자면,

• 카르다노(Gerolamo Cardano, 1545)는 3차방정식의 근의 공식을 발견했는데요, 이 삼차방정식의 근을 푸는 공식에서 실수해가 존재함에도 불구하고 중간 계산 과정에 $ \sqrt{-121} $과 같은 형태가 스쳐지나가고는 했죠. 일단 최종 계산상 사라지니까 그냥 기계적으로 풀기는 할 수 있었지만, 당시에 이 "음수 제곱근"은 의미 불명 상태로 남아있었습니다.
  => 허수의 발견
• 라파엘 봄벨리(Rafael Bombelli, 1572)는 이 '기계적'이고 '규칙적'인 계산을 아예 연산 규칙으로 정립하여서 복소수 연산의 실제적 출발점을 세웠다고 볼 수 있습니다.
  => 복소수 연산 정립
• 오일러(Euler)와 드무아브르(de Moivre)는 18세기에,
  (오일러 공식) $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $
  (드무아브르 공식) $ (\cos x + i \sin x)^n = \cos nx + i \sin nx $
  등의 공식을 통해 복소수를 해석학적으로 확장하였습니다.
  => 복소수가 단순 기이한 수가 아니라, 삼각함수, 지수함수와 연결된 분석 도구로 자리잡기 시작
• 가우스(Carl Friedrich Gauss, 1799)는 복소수를 수로서 명확히 인정하고, 복소평면 상에서의 시각적 표현을 개념화하였습니다. 여기서 복소평면이란, 말만 좀 거창할 뿐이지 원래 실수를 표현하던 수평선에 수직으로 허수축을 하나 더 붙여 좌표평면처럼 만든 것입니다.
  => 이후 복소수는 “실수와는 다른 차원의 수”가 아닌, "실수의 확장된 체계"로 인정되기 시작합니다.

2. 복소평면으로 확장

그리고 여기서 평면상에서의 시작적 표현 하면 빠질 수 없는 분이 바로 르네 데카르트(René Descartes)죠.

데카르트는 1637년 2차원 평면좌표계(수직좌표계)를 처음으로 수학적으로 체계화했는데요, 그 발견 일화가 좀 재밌습니다.

데카르트는 누워있기를 매우 좋아했다고 합니다. 그러다 어느날 파리가 천장 아래서 날아다니는 모습을 유심히 보다가 좌표계를 떠올렸다고 합니다. 파리가 점, 천장이 평면이고 파리의 위치를 기술하려면 수직좌표계를 쓰면 파리의 위치를 명확하게 기술할 수 있기때문이죠!

어찌되었든, 이렇게 평면좌표계가 만들어지고나서 당연히 '공간'을 나타내고 싶어했습니다만...

다들 그냥 '축하나 더해서 공간으로 확장하면 되지'하는 수준이고, 이 공간상에서의 회전과 같은 명확한 연산법이 발견되지 않고있었습니다.

3. 공간으로의 확장

그리고 여기서 오늘의 주제를 만든 윌리엄 로완 해밀턴(Sir William Rowan Hamilton, 1843) 경이 등장합니다.(영국에서 작위를 받아 Sir가 붙고 한국어로 '경'이 붙죠)

데카르트의 평면좌표계처럼 1차원이었던 실수체계에서 가우스가 허수축을 도입해서 복소수가 2차원이 되며 평면을 표현할 수 있게 되고, 또한 여기에서 허수의 곱셈이 바로 좌표의 회전을 나타내게 되니(실수 1에서 $i$를 곱하면 바로 허수축으로 90도 회전이 일어나고, 여기서 다시 i를 곱하면, $ i^2 $이니 -1이 되며 원래 1에서 180도 회전, 다시 $i$를 곱하면 $-i$가되며 270도 회전, 다시 $i$를 곱하면 360도 회전이 되죠?) 해밀턴 경은 "오? 이거 잘하면 3차원에서 회전 연산을 내가 만들 수 있겠는걸!?"하면서 연구에 착수합니다.(평행이동은 각 요소별 덧셈/뺄셈이고 증감은 곱셈/나눗셈이니(=간단하니) 회전연산이 엄청 중요한 걸 알 수 있습니다.)

그러나... 다른 사람들의 생각처럼 '그냥 2차원에다가 축하나 더 넣으면 3차원 아냐?'하는 식으로 복소평면에 허수축을 하나 더 도입하여 3차원을 만든 초기 (가칭)'삼원수'는 실패로 끝납니다.

왤까요?

회전을 보자면, 2차원 평면에서는 평면 위에서 회전하는 딱 한가지 회전 방식 밖에 없습니다.[좀 더 있어보이게 말하자면, 평면을 정의하는 법선벡터를 기준으로 회전하는 방법밖에 없죠]

그러나 3차원이 되면, 회전하는 방향이 세가지가 됩니다.(Roll/Pitch/Yaw라고도 하고, 쉽게 x축 기준 회전/y축 기준 회전/z축 기준 회전 이라고도 하죠)

결국 축 하나 추가됐을 뿐이지만, 회전하는 방향은 세가지가 되어버리는거죠..

이걸 수학적 살펴보자면
$ a+bi+cj $형태로 3차원 표현을 시도하면 $ i^2 = j^2 = -1 $이 될겁니다.(다시 말해, i축으로 회전가능하고 j축으로 회전 가능하다는 말입니다.)
그렇다면 복소평면에서처럼 $i$를 곱할수록 $i$축 방향으로 90도가 돌아가고, $j$를 곱할수록 $j$축 방향으로 90도가 돌아가는건 정의가 되는데...

$ij$의 곱 정의에서 문제가 발생합니다.

$i$의 제곱이 $i$축으로 회전, $j$의 제곱이 $j$축으로 회전을 정의한다면, 같은 논리로 $ij$는 $i$축으로 회전 후 $j$축으로 회전을 뜻하겠죠?

근데 $i, \ j$모두 허수니까 곱하면 $-1$이겠네요?

엥.. 근데... 이렇게 정의가 되어 버리면, $ i $축 위에 있는 점이 $ j $축으로 가는게 아니라 다시 실수축(-1)으로 와버리네요!?

심지어 공간이니까 i->j로 움직일 수도 있지만, j->i로 움직일 수도 있는거 아닌가요?

그러나 현재 상황에서는 $ji$도 -1로 정의가 되면서, 아까와 똑같은 값으로 실수축으로 가버리는 문제가 발생합니다.

와... 문제가 아주 심각합니다.

그렇게 처음 생각이었던, 삼원수가 실패로 돌아가고... 그러던 어느 1843년 10월 16일...

집에서 시름시름 앓던 해밀턴 경..(그랬는지는 모르겠지만)

아내가 보다 못해 나가서 산책이나 하자고 꼬드기고(팩트는 알 수 없다는 거임..)

해밀턴은 부인과 함께 더블린의 왕립 운하를 따라 터덜터덜 걷(고는 있었으나 머릿속으로는 계속해서 삼원수의 곱셈에 대해 생각하고 있)던 중 뭔가 삐로링! 하면서 번뜩 아이디어가 떠오릅니다!

이 모든 문제는..! 바로..! 허수축을 하나 더 추가하면 해결이 된다는 사실을..!!

그리고 허수축을 하나 더 추가하면 i->j랑 j->i도 표현할 수 있다는 것을..!(단순히 부호바꿔주면 되겠죠?)

정말 엄청난 영감은 끊임없이 고민하던 중 한순간에 오는 것!

그래서 해밀턴은 이 아이디어를 놓치지 않기 위해 '기록'을 하기로하고 종이를 찾았으나... 종이가 없었다..!

해밀턴의 선택은..!?

바로 근처에 있던 브로엄 교(Brougham bridge)의 난간에 칼로 새겨 놓았다고 합니다.

집에 들고가지 못하니 의미 없는거 아닌가.. 싶기도 하지만, '절대 까먹고 싶지 않다'는 바람이면 이해할 수 있을 것 같습니다.

그래서 뭐라고 새겨 놓았냐면..

$ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 $

인데.. 암호같지만, 여기까지 따라오셨으면 다 아시죠?

일단 i랑 j는 위에서 살펴봤고, 여기서 k라고 하는 허수를 하나 더 추가했다는 말이고,

두번째로 $ ijk=-1 $ 이게 진짜입니다. 바로 여기에서 회전법칙을 깔끔하게 정리해버립니다.

잘 보세요. 허수 세개를 곱했는데 -1입니다. 이상하지않아요? 허수의 정의 상 제곱해야 -1인데 말이죠?

자, 바로 여기서 아까 설명했던 문제 중 i->j, j->i를 해결해버린겁니다.

즉, 이 모든 수식을 정리해보면 $ ij = k, \ jk = i, \ ki=j, \ ji=-k, \ kj = -i, \ ik=-j $로 정리되면서 ijk=-1이 바로 풀리죠?

그래서 3차원을 나타내기 위해 허수축 하나만 추가하면 안됐던거고, 두 개를 추가해서 허수축 하나당 회전 방향 하나 씩을 할당해야 했던 거랍니다.

[여담이지만, 여기서 해밀턴은 처음에는 복소평면에서처럼 각 허수를 한번씩 곱해주면 '그 허수 방향'으로 회전하는 것을 생각했을 겁니다. 그러나 논지가 진행되면서 '그 허수 방향'으로 회전하는게 아니라 '그 허수를 축'으로 회전한다는 걸 발견했을 겁니다. 물론 공리가 틀리진 않았기에, 회전하긴 합니다만 생각한 것과 다른 방향, 다른 각도로 회전하면서 알게되지 않았을까요?]

4. 사원수의 이해

이렇게 해서 공간 상에서 실수축을 아예 빼버리고, 허수축으로만 구성을 함으로써 해밀턴의 사원수는 성공적인 첫 발을 떼게 됩니다.

그럼 실수축은 아예 역할이  없어진거냐? 하면

아니죠! 애초에, 처음 시작부터 실수축은 '기준점'의 역할을 했었습니다(복소평면에서 부터 삼원수 확장 까지도)

'이 점부터 돌려!' 같은 느낌이었던거죠

이거는 공간으로 확장되면서도 마찬가지의 역할을 가집니다.

공간상에서 딱 찍혀있는 애는 실수가 없어도 되지만, 얘를 공간상에서 '회전'시키려는 순간 말이 달라지게 됩니다.

단순 허수값만 가진애랑 곱해버리면, 얘는 회전을 하긴 합니다.
근데, 사원수에서 실수란건 '질량'이나 '관성'같은 존재인거라 얘가 없으면 그냥 '다 회전해!'하는 식이고 얘가 크면클수록 '아 너 허수만큼 회전을 하긴 하되, 나 좀 무거운 애야~' 해버리는거죠.
그래서 허수가 지정한 만큼 회전을 못해버리는 사태가 발생합니다.

그리고 더 재밌는건 실수 이기때문에 음수도 가능하다는 부분입니다.
그러나 앞서 얘시로 든 '질량'에 대해 '음수 질량'이라는게 조금 걸린다면, 개념을 조금 더 확장해서 '회전 강도 조절 다이얼'이라고 생각해 봅시다.

• 0이면 딱 정한 기본회전(순수 허수 곱=180도 회전)을 보여줍니다.
• 근데 다이얼을 +로 돌리면, 회전에 '제동'을 가하는 개념이 되어, 다이얼을 많이 돌릴수록 그 억제력이 강해져서 점점 0도로 수렴해버리죠.
• 그럼 반대로 -로 돌리면? 반대로 회전에 '부스트'를 거는 개념이 되어, 정해진 180도를 넘어서 '과회전'하는 겁니다. 다이얼을 많이 돌릴수록 360도 가까이까지 돌아가겠죠?

[45도는? 더 들어가지 맙시다... 머리아파요.. 그래도 궁금하면 대략 무게가 12인데 얘를 5만큼의 힘으로 돌리면 45도가 돌아갑니다..]

중간결론: 사원수는 두가지로 나뉜다!

1. $ v $ 공간상에 찍힌 점($ ai+bj+ck $) [a.k.a 실수 없는 애=회전 당할 사원수]
2. $ q $ 어떻게 회전하세요($ d+ei+fj+gk $) [a.k.a 다이얼 달린 애=회전 시킬 사원수]

5. 사원수의 계산

지금까지 공간상에 찍힌 점($ ai+bj+ck $) [a.k.a 실수 없는 애=회전 당할 사원수]

어떻게 회전하세요($ d+ei+fj+gk $) [a.k.a 다이얼 달린 애=회전 시킬 사원수]

를 살펴보았습니다.그리고 이 두개를 곱하면 '공간상에 찍힌 점'이 돌아! 갈거라고 생각했지만... 사실은

'회전 시킬 사원수'만 곱한다고 돌아가지 않습니다...

'엥? 아까 돌아간다며! 사기꾼아!'

라고 하신다면 좀만 기다려보세요. 왜그런지 설명들어갑니다!

자, 잘 보셔요.

원래 점이 있었습니다.

우리는 얘를 그냥 공간상에 '점!'이라고 볼수도 있지만, 'i로 얼마만큼, j로 얼마만큼, k로 얼마만큼에 있는 점!'이라고도 볼 수 있습니다.

자 여기다가 그냥 '회전 시킬 사원수'만 곱해버리면 무슨일이 발생하냐면.. 차원이 확장됩니다!

'어머 이게 무슨 차원폭발하는 소리양?' 하시겠지만..

실제로 점은 3차원 공간에 있는데, 회전시킬애는 '무게'(혹은 '정도')까지 더해줘서 4차원입니다.

그리고 이 두개를 그냥 곱하면 정상적으로 3차원에 있던 애가 4차원의 이상한 애가 되어버려요... 호앵...

그럼 어떻게 다시 현실로 돌려놓냐면... 다시 '차원축소' 시켜주면 됩니다!

아 뭐 PCA나 이런 거창한 차원축소 아니구요...

그냥 곱했던 애로 다시 나눠버리면 얘가 다시 정신을 차립니다.

4차원에서 헤롱거리던애가 다시 3차원 복귀하는거죠.

그리고 차원 확장되면서 반쯤 돌아버린애가 다시 원래 차원으로 돌아오면서 반쯤 더 돌아서 말그대로 '훼까닥' 돌아버리는 겁니다!

다시 말해서 얘가 이상한 약 먹고 정신 나가서 어디 갔다가 다시 약먹고 정신차리니까 '오엥? 내가 여기왜있슴?'하는 상태란 것!

근데1: 곱했던거 다시 나누면 그냥 또이또이 쌤쌤 그게그거 아님? 이라고 하는 당신. 짝짝짝.

아님1: 교환법칙(캬 이것도 있어보이는 말)이 성립하면 당연한 소린데, 안타깝게도 이 사원수는 교환법칙이 성립 안해요. 아까 보셨잖아요? ij랑 ji는 달라서 순서대로 연산하면 결과가 그게 그거가 아니게 되는거에요.

근데2: 그래 뭐 그건 이해했다치는데, 그래도 개념상 곱했던거 다시 나누면 역연산이니까 다시 원점으로 돌아와야 하는거 아님!?

아님2: 아, '아님1'을 제대로 이해못한거에오... 일단 또이또이가 아니구요! 그리고 조금 어렵지만 부가설명해보자면, 사실 '나눈다'고 했지만, 얘는 복소수랍니다. 복소수 나눗셈은 켤레복소수라는걸로 분모 싸그리 정리해버리고 분자 바꿔서 곱하면 그게 나눗셈이에요. 감 오시나요? '그냥 나눈게 아니라', '다른 무언가를 곱해줌'이라는 개념인거죠. 그래서 이렇게 곱해주면, 실수항은 사라지는데 원래 의미(회전)은 남아있게 되는거죠!

자, 이제 예시를 한번 풀어볼까요?

공간 위에 i+j라고 하는 점을 i축을 기준으로 90도(1+i죠?) 돌려봅시다.

그러면, $ (1+i)(i+j)(1+i)^{-1} $일 것이고

$ = (i+j+i \cdot i+i \cdot j)(1+i)^{-1} $ (곱하는 순서 바뀌면 안돼요!)

$ = (i+j-1+k)\frac{1}{1+i} $

$ = (i+j-1+k)\frac{1-i}{(1+i)(1-i)} \ = \ \frac{(i+j-1+k)(1-i)}{2} $

$ = \frac{(i+j-1+k)-(ii+ji-i+ki)}{2} \ = \ \frac{(i+j-1+k)-(-1-k-i+j)}{2} \ = \ \frac{2i+2k}{2} $

$ = i+k $

네, 실제로 i+j점을 i축을 중심으로 90도 돌리면 i+k가 되겠죠?

중간결론: 사원수 공간에서 점을 회전시키고 싶으면 회전 시킬 사원수를 곱하고 다시 나눠줘야한다!

$ v' = q v q^{-1} $

6. 사원수의 정규화

여기서 좀 더 어렵게 가보겠습니다!

사실 우리는 대게 가볍게 그냥 '회전 시킬 사원수 곱하고 나눠뿌자'하지만, 사실 회전사원수는 딱 그 최소 단위로 만들어주어야 좋습니다.

네? 뭔말이냐구요? 보세요. 3.

3은 최소 단위가 뭘까요? 라고 하면 대답할 수 있는 분?

어렵게 생각해서 다 대답 못하는시는 겁니다.

1이에요. 1+1+1? =3이죠.

그래서 우리는 아주 재밌게 최소단위*몇배 로 모든 개념을 쓸 수 있습니다! 3도 3*1이죠!

그럼 다시 생각해봐서. 3을 최소단위로 만들어주려면? 3으로 나누면 될겁니다!

똑같습니다. 이 사원수도 '크기'라는게 있습니다.( $ |\ a+bi+cj+dk\ | = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$ ) 뭐 그냥 막 쓰면 '3'같은 애죠.

근데, 얘를 최소단위로 만들어줘야 사실 '회전'에서 의미있는 뜻을 알 수 있어요!

그래서 그냥 '회전시킬 사원수'를 '크기'로 나눠주면 '최소단위'가 됩니다.

이거를 '정규화'라고 해요.

근데, 일반 계산에선 의미 없어요.. 왜냐면 곱하고 나눠주니까요... 또륵..

'아까는 곱하고 나누는거 쌤쌤 아니라며!'라고 하신다면, 얘는 교환법칙이 성립해요...(허수가 들어가는 연산이 비가환이고, 대수적으로 곱해지는 수들은 가환이에요..) 그래서 의미가 없어요...

그래서 연산에서는 의미가 없는데, 그 '회전'자체를 분석하고 싶으면 해줘야합니다...

중간결론: 회전시킬 사원수를 정규화하면 그 의미를 알 수 있다.

$ |q| = \frac{q}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}} $

7. 사원수의 회전 정도

아까 사원수를 정규화하면 그 의미를 알 수 있다고 했는데, 그건 뭔 뜻이냐하면...

아까 해밀턴 이전에 오일러나 드무아브르가 삼각함수와 허수를 엮었던거 기억나시나요?

비슷하게 사원수도 삼각함수랑 엮이는데, 허수부를 하나의 벡터로 본다면

$ |q| = \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) + \overrightarrow{u} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) $

이런 관계식이 성립합니다.

따라서 정규화된 사원수를 분석하면 어디로 어느정도 각도를 돌리는 친구인지 알 수 있게 되죠.

그리고 더 나아가서 아까 곱하고 나누는 연산에서 두번 회전을 적용해주는게 여기서도 보입니다. 즉 돌릴 각 $ \theta $를 반으로 나누어서 가지기 때문이죠.

한가지 더, 아까 '다이얼'이라고 표기했던게 cos부분인데, 실제로 cos값이 커질수록 그에 해당하는 각 $ \theta $는 작아지는 걸 아실 수 있겠죠?

8. 사원수 그 이후

사원수는 이후 선형대수학에 큰 영향을 미쳤는데요

벡터 라는 말도 사실 해밀턴이 처음 만든 말로, 실수부를 제외한 허수부 즉 공간상에서 표현되는 부분을 벡터부(vector part)라고 명칭했고실수부는 스칼라부라고 했습니다.(그래서 공간벡터를 i, j, k라고 명명하는게 여기서 출발한 겁니다.)

그리고 사원수는 계산하면 스칼라부와 벡터부로 연산이 진행되는데, 후대에 이를 가리켜 스칼라부로 곱해지는 부분을 내적(inner product)라고 칭하고(Peano, 1898) 벡터부로 곱해지는 부분을 외적(outer product)라고 명명(Grassman, 19C 중반)하게 됩니다.

9. 마무리

사원수는 거의 처음, 공간에 대한 직접적인 연산을 가능하게 만든 체계입니다.

그러나 계산이 너무 복잡하고, 허수를 사용하는데다, 교환법칙도 성립하지 않는 등의 문제를 안고 있었습니다.

그리고 이것을 개선하기위해 등장한 것이 선형대수학, 벡터 미적분학 등이죠.

그래서 요새는 참 선형대수학이 엄청나게 발전하여(특히나 AI관련으로 더욱 가속화 되었죠) 사원수가 잊혀진 것 같으나, 그럼에도 불구하고 로봇공학과 같은 특수한 영역에서는 아직도 사용되고 있답니다.

특히나 오일러 각을 이용하여 공간을 표현할 때 생기는 짐벌락(Gimbal lock)이 없다는 장점도 있죠.

어서오세요! 힐베르트 호텔에! ~무한의 세계로 떠나는 여행~

자연수가 클까? 유리수가 클까?

0. 무한 호텔에 오신 것을 환영합니다!

안녕하세요! 어서오세요! 여기는 힐베르트 그랜드 호텔(Hilbert Grand Hotel)입니다!

이 호텔은 정말 말그대로 '그랜드(Grand)'해서 방이 정말 많아요!
진짜 말그대로 방이 무한히 많답니다.

게다가 엄청난 성업중!
오늘도 평화로운 힐베르트 호텔호텔호텔. 모든 방에 손님이 꽉 차 있습니다. 빈방이 하나도 없죠. 🏨

그런데 새로운 손님 한 명이 찾아옵니다.
"형님들 안녕하십니까?"
어라? 방이 꽉차있는데 어쩌죠? 입장 거절 확정인가요?

그런데 말입니다. 지배인 형님 등장하셨죠. 끝났습니다.
당황하지 않고 입을 여시죠.
"1번 방 손님은 2번 방으로, 2번 방 손님은 3번 방으로..."
마법처럼 모든 손님에게 자신의 방 번호에 +1을 더한 방으로 강제 이주 들어갑니다.
이제 1번방 비었죠? 새 손님 입장 확정입니다.
끝났습니다. 입장하시죠.

이처럼 '꽉 찼지만' 항상 공간을 더 만들 수 있는 것이 바로 무한의 신비입니다. 여기서 한 가지 궁금증이 생깁니다.

"아니, 한 명이 더 와도, 심지어 무한 명이 더 와도 수용이 가능한 이 무한에도 '크기'라는 게 있을까? 무한끼리 크기를 비교할 수 있다는 게 말이 될까?"

놀랍게도, 대답은 "네, 가능합니다." 입니다.

모든 무한이 다 같은 레벨의 무한은 아니라는 사실. 믿겨지시나요?

"무한대는 다 똑같은 거 아니야?" 라고 생각했다면 큰 오산! 오늘은 무한의 세계로 떠나 어떤 무한이 더 '큰지' 비교해보는 신기한 여행을 시작하겠습니다. 

미리 힌트를 좀 드리자면, 수학자 게오르그 칸토어가 발견한 '일대일 대응'이라는 마법 같은 방법만 알면 누구나 이 무한의 크기를 이해할 수 있답니다.

1. 자연수가 더 클까요, 짝수가 더 클까요?

자, 일단 자연수가 더 큰지, 짝수가 더 큰지 생각해 볼까요?

자연수는 짝수와 홀수로 이루어져 있고, 따라서 일견 짝수가 자연수보다 크기가 더 작을 것 같습니다.

"당연히 자연수가 더 많지! 짝수는 자연수에 포함되잖아?" 라고 자연스럽게 말하게 될 것입니다.

직관적으로는 그렇게 생각하기 쉽습니다.

하지만 무한의 세계에서는 우리의 직관이 항상 통하지는 않습니다.

두 집합의 크기를 비교하는 방법은 바로 일대일로 짝을 지어보는 것입니다.

하나도 남거나 모자라지 않게 짝을 지을 수 있다면 두 집합의 크기는 같다고 봅니다.

즉, 일대일대응을 시켜서 대응이 된다면 두 집합의 크기가 같은것이죠!


자, 자연수와 짝수를 한번 짝지어 볼까요?

자연수 1 에는 짝수 2를

자연수 2 에는 짝수 4를

자연수 3 에는 짝수 6을

...

자연수 n 에는 짝수 2n을

어떤가요? 모든 자연수는 자신만의 짝꿍 짝수를 가질 수 있고, 어떤 짝수도 짝꿍이 없는 경우가 없습니다.

이렇게 빈틈없이 일대일로 대응시킬 수 있으므로, 놀랍게도 자연수의 개수와 짝수의 개수는 같습니다.

결론: 자연수와 짝수의 '무한'은 같은 크기다!

2. 정수가 더 클까요, 자연수가 더 클까요?

이번엔 0과 음수까지 포함하는 정수와 자연수를 비교해 봅시다.

정수는 자연수(양의 정수)와 0, 그리고 음의 정수까지 있으니 당연히 더 많아 보이죠?

하지만 이번에도 일대일 대응의 마법을 사용해 보겠습니다.


이렇게 짝을 지어보면 어떨까요?

자연수 1 에는 정수 0을

자연수 2 에는 정수 -1을

자연수 3 에는 정수 1을

자연수 4 에는 정수 -2를

자연수 5 에는 정수 2를

...

즉, 홀수 자연수 n에 대해서는 (n-1)/2를 대응하고, 짝수 자연수 n에 대해서는 -n/2를 대응하면 나오는 규칙이죠!

이런 규칙으로 자연수를 양의 정수와 음의 정수에 번갈아 가며 대응시키면, 모든 정수는 자신만의 자연수 짝을 찾을 수 있습니다.(1:1 대응 성립) 따라서 정수와 자연수도 같은 크기의 무한입니다.

결론: 정수와 자연수의 '무한'도 같은 크기다!

3. 유리수가 더 클까요, 자연수가 더 클까요?

그럼 이제 집합의 크기를 좀 더 키워봅시다.
수의 체계에서 정수보다 큰 집합은? 네 유리수죠!
그럼 유리수는 자연수보다 커질까요? 아니면 지금처럼 같은 크기일까요?

유리수는 이제 분수가 들어가기 시작하면서 간단한 수식계산 같은 조작으로는 이제 조금 버겁기 시작합니다.

그러나 세상에는 똑똑한 사람이 참 많은 것 같습니다.

이 분수를 전부 기약분수(p/q)로 만든 뒤, 분자(p)의 값을 x값에, 분모(q)의 값을 y값에 대응시킵니다.

기약분수의 꼴이므로 본모도 정수(0이 아닌), 분자도 정수임을 이용한 것이죠.

이렇게 좌표위에 하나씩 찍어주면... 정수 격자점 위에 점이 하나씩 찍힐 것입니다.

다음 그림처럼 말이죠.

기약분수니까, 점 (p, q)에서 p, q가 공약수를 가지는 격자점은 공백이 됩니다.

또한, (0, q)는 q가 1일 때만 기약분수로 간주하기 때문에, q가 다른 값은 모두 공백이 됩니다.


자, 이렇게 그리고보니까 이 파란색으로 x표 쳐진 격자점 하나하나를 '셀 수 있게' 되었네요?

일단 0을 첫번째로 세고, (1,1)을 두번째로 세고, (-1,1)을 세번째로 세고, (2, 1)을 네번째로 세고.....

결국 자연수와 1:1 대응을 시킬 수 있습니다.

결론: 유리수와 자연수의 '무한'도 같은 크기다!


여기서 중간 정리 하자면, 무한의 크기는 자연수=정수=유리수 입니다.

4. 실수가 더 클까요, 자연수가 더 클까요?

이제 정말 흥미로운 질문입니다. 유리수와 무리수를 모두 포함하는 '빽빽한' 수의 집합인 실수와 자연수를 비교해 보겠습니다. 지금까지의 결과처럼 이번에도 두 집합의 크기가 같을까요?

결론부터 말하자면, 실수가 자연수보다 훨씬 더 큰 무한입니다.

어떻게 이럴수가 있죠!?

수학자 칸토어는 '대각선 논법'이라는 기발한 방법으로 이를 증명했습니다.

간단히 설명하자면, 모든 실수를 목록으로 만들어 자연수와 일대일로 짝을 지었다고 '가정'해 봅시다.

그리고 그 목록에 존재하지 않는 새로운 실수를 하나 만들어내는 것입니다.(그러면 가정이 무너지겠죠!?)


자세히 살펴볼까요?

1. 일단, 지금까지 모든 집합은 자연수와 크기가 같았으니 일단 실수도 자연수와 크기가 같다고 가정합니다.
2. 그렇다면 모든 실수는 자연수와 1:1 대응일 것입니다.(크기가 같다 = 1:1 대응이다)
3. 이는 (0, 1)사이에서도 무조건 성립해야겠죠?(모든 수를 셀 수 있으니까 0에서 1사이에 모든 수도 셀 수 있어야 할 것입니다)
   그렇다면 그 리스트는 다음과 같겠죠?
   $ \begin{vmatrix}
   1: && 0.\textcolor{blue}{a_{11}}a_{12}a_{13} \dots \\
   2: && 0.a_{21}\textcolor{blue}{a_{22}}a_{23} \dots \\
   3: && 0.a_{31}a_{32}\textcolor{blue}{a_{33}} \dots \\
   \vdots && \vdots
   \end{vmatrix} $
4. 이제 우리는 여기서 '네가 세지 못한 수가 존재한다!'는 것을 보여줄 것입니다. 그리고 이걸 보여주는 순간 원래 가정이 무너지면서 '셀 수 없음'이 반대로 증명되는거죠.(이걸 귀류법이라고 한답니다)
5. 일단 '이 안에 있는 수와 다르다(=리스트에 없는 수다)'는 것을 보여주기위해 각 순서의 소수점 이하 자리를 취하겠습니다.
   뭔 말인고 하니, 이제 우리는 새로운 수를 이렇게 만들 겁니다(이렇게 대각선으로 수를 모아서 만든다고 '대각선 논증'입니다.)
   $ 0.\textcolor{blue}{a_{11}a_{22}a_{33}} \dots $
   그리고 이 수를 변형하겠습니다.
   
   10진수체계로 보면, $ a $가 1이면 2로 바꾸고, 1이 아니면 1로 바꿉니다.
   2진수체계라면, $ a $를 그냥 바로 보수취해줍니다. 1은 0으로, 0은 1로.
   요지는 원래숫자를 다른 숫자로 바꿔주는 겁니다.

자, 이제 모든게 다 끝났습니다.

만약 이 수($0.a_1a_2a_3\dots$)들의 집합이 셀 수 있다면, 변형한 이 수도 그동안 셌던 수 안에 있어야 합니다.
그러나 이 변형한 수가 그동안 셌던 수 안에 없다면..? 이 수는 셀 수 있다는 가정이 무너져 버리면서 '셀 수 없다'가 되어버립니다.

결과를 까 볼까요?

결과적으로 만들어진 이 수는 지금까지 셌던 모든 수와 n번째 자리가 달라서 그 어느 수와도 같아질 수가 없습니다. 즉, 목록에 존재하지 않는 새로운 실수가 하나 만들어 진거죠!

이 방법으로 목록에 있는 어떤 실수와도 다른 새로운 실수를 끝없이 만들어 낼 수 있음을 보였습니다. 이는 애초에 실수 전체를 자연수와 일대일로 짝짓는 것이 불가능하다는 것을 의미합니다.

결론: 모든 실수를 셀 수 있다고 가정하여 하나의 수 목록을 만들었다고 가정하면, 대각선 논법을 통해 만들어진 새로운 수는 우리가 가정한 목록에 존재하지 않는 수 이므로, 가정이 거짓으로 증명된다.(귀류법) 따라서 실수는 셀 수 없으며, 자연수보다 '한 단계 더 높은' 크기의 무한이다!

5. 가산무한, 알레프 제로($ \aleph_0 $)

수학자들은 자연수처럼 하나하나 셀 수 있는 무한을 '가산무한(countable infinity)'이라고 부릅니다. 그리고 이 가산무한의 크기를 나타내는 기호로 히브리 문자 첫 글자인 '알레프(ℵ)'에 0을 붙여 알레프 제로($ \aleph_0 $)라고 이름 붙였습니다.

지금까지 살펴본 것처럼, 자연수, 짝수, 정수, 그리고 심지어 분수로 표현 가능한 유리수까지 모두 알레프 제로($ \aleph_0 $)라는 같은 크기의 무한에 속합니다.

6. 그렇다면 실수는?

자연수와 짝을 지을 수 없었던 실수의 무한은 알레프 제로($ \aleph_0 $)보다 더 큰 무한입니다.
이를 '비가산무한(uncountable infinity)'이라고 부르며, 그 크기는 $ 2^{\aleph_0} $입니다.

더 자세히 알고 싶으시다면... 아래 더 보기를 눌러주세요. 그러나 그냥 '실수는 자연수보다 큰 무한집한이네~'하고 넘어가셔도 무방합니다.

이는 $ \aleph_0 $보다 명백히 더 큰 '비가산 무한'입니다. 이 크기가 $ \aleph_0 $ 바로 다음 크기의 무한인 $ \aleph_1 $과 같은지는 연속체 가설에 따라 달라지기에(연속체 가설은 ZFC 공리계에서는 독립적이다. 즉, ZFC로부터 참도, 거짓도 증명할 수 없다.) 아직 해결되지 않은 문제입니다.
이 크기는 또한 연속체의 농도($\mathfrak{c}$)와 같은 다른 기호로도 표현합니다.

7. 결론

놀랍게도 무한에도 서로 다른 등급이 존재한다는 사실!

무한이라고 다 같은 무한이 아닙니다.
어떤 무한은 셀 수 있고,
어떤 무한은 셀 수조차 없습니다.

칸토어는 바로 이걸 처음으로 엄밀하게 증명해낸 수학자입니다.

그의 손끝에서 ‘무한의 계층 구조’가 드러난 거죠.