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리만 가설(Riemann Hypothesis) 쉽게 이해하기2: 진짜 쉽게 이해하기

0) 서론

저번 시간에는 오일러 제타 함수와 오일러의 곱 공식 그리고 소수와의 접점을 살펴보았습니다.

이번에는 본격적으로 리만의 사고 과정으로 뛰어들어 볼까요?

1) 재앙의 소수

리만 이전의 수학계에서 소수(Prime Numbers)는 기존의 해석학적 방법론으로 접근하기 어려운 재앙과도 같은 대상이었습니다.

미분? 적분? 소수 앞에서는 아무 소용이 없었습니다.

미분과 적분을 포함한 해석학은 '연속성'을 전제로 하지만, 소수는 불연속적인 자연수 안에서도 '곱셈적 성질'을 띠는 이산적인 대상이었기 때문입니다.

이러한 난제 속에서 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)가 중요한 통찰을 제시합니다.

1792년경, 당시 15세였던 가우스는 소수표를 귀납적으로 분석하여 소수의 분포에 통계적인 경향성이 있음을 발견했습니다.

그는 $x$보다 작은 소수의 개수를 나타내는 함수 $\pi(x)$가 $x$가 증가함에 따라 로그 함수 $\frac{x}{\ln x}$에 점근적으로 수렴한다고 추측했습니다.

이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

$$\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}$$

가우스는 이후 이를 보정하여 로그 적분 함수($\text{Li}(x)$)가 더 정확한 근사값임을 제시하였으나, 이는 어디까지나 경험적 데이터에 기반한 '추측'이었을 뿐, 수학적으로 엄밀하게 증명된 '정리(Theorem)'는 아니었습니다.

그리고 여기서 이 가설을 수학적으로 증명하기 위해 해석학적 도구를 본격적으로 도입한 인물이 바로 가우스의 제자, 베른하르트 리만입니다.

2) 오일러 곱 공식을 보고 '가능!'을 외친 리만

당시 리만이 주목한 것은 선배 수학자 오일러가 남긴 오일러 곱 공식이었습니다. 이것은 소수 연구에 있어서 유일한 예외이자, 희망이었습니다.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \left( \frac{1}{1 - p^{-s}} \right)$$

리만은 이 식의 좌변과 우변이 가지는 본질적인 차이에 주목했습니다.

• 좌변(무한급수): 자연수의 덧셈으로 이루어진, 미분과 적분이 가능한 '해석학(질서)의 세계'
• 우변(무한곱): 소수의 곱셈으로만 이루어진, 불규칙하고 다루기 힘든 '정수론(혼돈)의 세계'

리만이 천재라고 불리는 이유는, 이 등식을 단순한 계산 결과로 보지 않고 서로 다른 두 세계를 잇는 통로로 인식했기 때문입니다. 그의 통찰을 글로 옮기면 다음과 같았을 것입니다.

"이것은 그냥 신기한 등식이 아니다. 수학 전체를 통틀어 질서의 세계와 혼돈의 세계를 연결하는 유일한 다리(bridge)다. 소수의 비밀을 파헤치려면, 우리는 반드시 이 다리를 건너야만 한다. 다른 길은 존재하지 않는다. 나라면 할수있다 나라면! 가능!!!!"

리만에게 제타 함수는 단순한 호기심의 대상이 아니었습니다. 소수라는 견고한 성을 무너뜨리기 위해 반드시 넘어야 할, 유일하고도 필연적인 공성 무기였던 셈입니다.

3) 리만, 오일러 제타 함수를 갈고 닦는다!

이 식의 본질을 깨달은 리만.

결국 우변의 '소수의 비밀'을 완벽히 파헤치기 위해선 좌변을 '완벽하게 분석'해야 함을 알게됩니다.

그리고 '완벽하게 분석'한다는 말인즉슨 현재 s>1인 상황에서만 정의된 오일러 제타함수가 아닌, s가 '모든 수'를 다 아우를 수 있는 '복소수'영역으로 확장되어야 한다는 말인 것이죠.

그리고 사실상 s>1인 영역은 그저 '실수'에서 '복소수'로 확장만 시켜주면 되니 매우 쉬웠습니다.

그러나 여기서 문제는 '복소수 전체 영역'으로 확장해야 한다는 점에 있었습니다.

현재 오일러 제타 함수에서는 s가 1보다 작거나 같은 경우 '무조건 발산'하여 아예 그쪽은 쳐다도 보지 않고 있었습니다.

그러나 리만은 이것을 넘어 '복소수 전체'로 확장해야 하는 필요성이 있었죠.

결국 리만은 s>1에서만 정의되는 오일러 제타 함수를 해석적 연속(혹은 해석적 확장, Analytic continuation)이라는 방법을 통해 s=1을 제외한(s=1에서는 발산) 복소수 전체로 확장시키고 리만 제타 함수라고 이름을 붙입니다.

해석적 연속(Analytic continuation)이란 "함수를 연속이면서 미분가능하게 확장시키는 것"으로 수학자들이 자주사용하는 테크닉입니다.(자연수에서만 정의된 팩토리얼도 감마함수라는 형태로 확장이 가능하죠.)

그리고 이 방법을 사용하면 유일한 형태의 확장된 함수를 얻을 수 있습니다.

일단, 해석적 연속의 기본 예시와 함께 리만이 어떻게 해석적 연속을 사용해서 오일러 제타 함수를 리만 제타 함수로 확장시켰는지 살펴보겠습니다.

1. 해석적 확장의 기본 예시 (등비급수)

가장 직관적인 예시는 무한 등비급수입니다. 하나의 함수가 정의된 영역에 따라 어떻게 확장되는지 보여줍니다.

$$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1-x}$$

• 좌변 (급수 형태): 오직 $|x| < 1$ (단위 원 내부)인 범위에서만 수렴하고 정의됩니다.
• 우변 (분수 함수 형태): $x = 1$을 제외한 모든 복소 평면($\mathbb{C} \setminus \{1\}$)에서 정의됩니다.(여기서 역슬래시 표현은 '집합에서 제외한다'는 표현입니다)
• 의미: $\frac{1}{1-x}$는 좁은 영역($|x|<1$)에서 정의된 급수를 더 넓은 영역으로 해석적으로 확장(Analytic Continuation)한 결과입니다.

바로 이것이 해석적 연속이죠.

리만도 똑같은 짓을 했습니다. $s>1$에서만 놀던 오일러의 식을 복소수 전체로 확장했더니, 전혀 새로운 모습의 식이 튀어나온 겁니다. 마치 $1+x+x^2...$가 $\frac{1}{1-x}$로 변신한 것처럼요.

그 결과물이 바로 아래의 무시무시해 보이는 함수 방정식입니다. (식은 복잡해 보이지만, 그냥 '확장된 버전'이라고 생각하고 넘어가세요!)

2. 리만 제타 함수의 함수 방정식 (Functional Equation)

리만은 해석적 확장을 통해 제타 함수를 $s=1$을 제외한 전 복소 평면으로 확장시켰고, 다음의 함수 방정식을 유도해냈습니다.

이 식은 $\zeta(s)$와 $\zeta(1-s)$ 사이의 관계를 보여줍니다.

$$\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)$$

• 구성 요소:

• $2^s, \pi^{s-1}$: 지수 및 파이 항
• $\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)$: 삼각함수 항 (이 항 때문에 음의 짝수에서 자명한 근이 발생함)
• $\Gamma(1-s)$: 감마 함수 (팩토리얼의 일반화)
• $\zeta(1-s)$: 대칭되는 위치의 제타 함수 값

• 대칭성 (Symmetry):

• 이 방정식에 의해 제타 함수는 $s$와 $1-s$가 서로 연결됩니다. 이는 복소 평면 상에서 실수부 $Re(s) = \frac{1}{2}$인 직선(Critical Line)을 축으로 하여 대칭적인 구조를 가짐을 의미합니다.

4) 리만가설 용어 해설

자, 여기까지 약간 조금 깊게 살펴본 것 같으면, 다시 이제 '쉽게 알아보기' 수준으로 다시 올라오도록 하죠.

사실상 원래 이 포스팅의 집필의도가 '엄밀한 수학적 탐구' 보다는 먼저 '리만 가설이 뭔데?'를 쉽게 설명하기 위한 글이었으니까요!

따라서 더 깊게 들어가지는 않고, 이제 여기서 나오는 용어들만 해설하고 마무리 짓도록 하죠.

앞서 보여드린 그 복잡한 식에 $\sin$ 항($\sin(\frac{\pi s}{2})$)이 있었던 거 기억하시나요?

이 $\sin$ 항의 $s$에 음의 짝수($-2, -4, -6, \dots$)를 넣으면, 사인 함수 특성상 무조건 0이 되어버립니다.

곱셈식에서는 어느 한 놈만 0이 되어도 전체 결과가 0이 되죠? ($A \times B \times 0 = 0$ 이니까요!)

즉, 이 근들은 별다른 노력 없이도 식의 구조만 보면 "어? 여기 0 되네?" 하고 바로 찾아낼 수 있습니다.

수학자들은 이렇게 너무 뻔하고 싱겁게 구해지는 근들을 자명한 근(Trivial Zeros)이라고 부릅니다. "야, 이건 볼 것도 없어. 패스해." 하고 치워버리는 거죠.

그렇다면 비자명한 근(Non-trivial Zeros)이란?

바로 저 뻔한 곳(음의 짝수)이 아닌데도 불구하고, 기묘하게 함수값을 0으로 만드는 근들을 말합니다.

리만은 이 근들이야말로 소수의 비밀 정보를 담고 있는 진짜 보물이라고 생각했습니다.

그리고 바로 여기서 우리가 포스팅을 처음 시작하면서 쓴

"리만 제타 함수 $\zeta(s)$의 모든 비자명근(non-trivial zeros)은 실수부가 $\frac{1}{2}$인 직선 위에 있다."

이 말을 이해할 수 있게 됩니다!

즉, "소수의 비밀은 아무 데나 흩어져 있는, 무작위적인 게 아니라, 정확히 $\frac{1}{2}$ 라인에 일렬로 정렬해 있는 규칙이 있다"는 뜻이 됩니다!

5) 그래서 왜 리만가설이요?

재밌는 포인트는... 실제로 리만은 이 비자명근을 네 개까지만 구했습니다.

그리고 "내가 네 개 정도 구해봤는데, 다 실수부가 1/2이던데? 그러니까 앞으로 나오는 모든 근도 다 실수부가 1/2일껄?"하고 넘어갔다는 부분이죠.

이 쿨한(?) 추측이 바로 수학 역사상 가장 거대한 난제, "리만 가설"의 시작이었습니다.

현재 우리는 슈퍼컴퓨터를 돌려서 10조(10 trillion) 개가 넘는 비자명근을 찾아냈습니다.

결과는 어땠을까요? 놀랍게도 10조 개 모두 정확히 $\frac{1}{2}$ 직선 위에 있었습니다. 단 하나의 예외도 없이 말이죠.

또한, 앞서 살펴본 함수 방정식을 통해 근들이 대칭적($\frac{1}{2}$을 기준으로 좌우 대칭)이라는 사실도 이미 증명되었습니다.

"그럼 끝난 거 아니야?"라고 하실 수 있으시겠지만, 아닙니다.

수학에서는 10조 개가 맞아도, 무한대까지 가는 길 어딘가에 숨어 있는 단 하나의 반례(예외)만 있어도 가설은 즉시 거짓이 되어 폐기처분됩니다.

리만 가설은 아직 그 '단 하나'의 예외가 없다는 것을 수학적으로 완벽히 증명하지 못했기에, 여전히 '가설(Hypothesis)'이라는 꼬리표를 달고 있는 것입니다.

그리고 현대 정수론과 암호학의 수많은 정리들이 "리만 가설이 참이라면..."이라는 전제하에 지어져 있습니다.

만약 이 가설이 거짓으로 판명 난다면? 수학계는 그야말로 대혼란(Crisis)에 빠지게 될 겁니다. 수많은 논문이 휴지 조각이 될 테니까요.

6) 소수랑은 무슨 상관?

자, 이제 '리만 가설' 자체는 알아보았는데, '도대체 이 리만 제타함수의 비자명한 근이 소수랑 무슨 연관인데?'에 관해서 궁금하지 않으세요?

앞서 가우스가 소수의 분포를 예측하며 로그 적분 함수($\text{Li}(x)$)를 제안했다고 했었죠?

가우스의 예측은 전체적인 경향성(Trend)을 아주 잘 맞춥니다.

하지만 실제 소수는 이 매끄러운 함수를 따라 얌전하게 움직이지 않습니다.

함수는 '연속적'이지만, 소수는 '이산적'인 존재니까요.

바로 이 지점에서 리만 제타 함수가 등장합니다.

리만은 제타 함수의 비자명한 근($\frac{1}{2}+14.13i \dots$)들이 단순한 숫자가 아니라, 가우스의 예측값과 실제 소수 사이의 간극을 메워주는 '오차 보정항(Correction Term)' 역할을 한다는 것을 밝혀냈습니다.

이것을 우리가 아는 푸리에 변환의 관점에서 보면 소름 돋는 일이 벌어집니다.

제타 함수의 근들을 파동(Wave)으로 바꿔서(푸리에 역변환) 하나씩 더해나가면(중첩시키면), 처음에는 밋밋했던 곡선이 점점 구불구불해지더니...

파동을 10개, 100개, 1000개 더해갈수록 그 구불거림이 점점 날카로워집니다.

그러다 마침내, 정확히 소수가 존재하는 위치($2, 3, 5, 7 \dots$)에서만 그래프가 직각으로 꺾이며 '계단' 모양을 만들어냅니다.(누적 그래프처럼 말이죠!)

-더 나아가기

리만의 명시적 공식(Riemann's Explicit Formula)이라는 것이 있습니다.

7) 마무리

자, 이렇게 리만가설을 쉽게 이해해 보았습니다.

이 포스팅은 "리만 가설이 뭔데?"에 초점을 맞춘 것이라 은근히 매우 간단하게 서술되었지만, 실제로 이 가설은 '소수의 근본'을 찾는 과정이라 파려고 들면 진짜 복잡하게 팔 수 있는 부분입니다.

나중에 조금 더 여력이 되면, 조금 더 파보도록 하겠습니다.

리만 가설(Riemann Hypothesis) 쉽게 이해하기1: 오일러 또또 당신이에요?

0) 서론

오늘은 리만가설을 한번 살펴보고자 합니다.

"리만 가설이 뭐지?"라고 한다면 무조건 나와야 하는 친구가 '소수'입니다. 1과 자기 자신으로만 나눠떨어지는 수죠.

근데 이 소수의 분포는 언뜻보기에 매우 불규칙하게 등장합니다.

그러나 인간은 '패턴화'를 좋아하는 동물.

이 불규칙을 규칙적으로 만들어 줄 수 있는 '법칙'이 없을까 엄청 고민하게 되는데요

바로 이 지점에서 탄생한 것이 바로 "리만 가설"입니다.

리만 가설을 한 마디로 써 보자면 다음과 같습니다.

"리만 제타 함수 $\zeta(s)$의 모든 비자명근(non-trivial zeros)은 실수부가 $\frac{1}{2}$인 직선 위에 있다."

뭔가 되게 어렵죠...? 그래서 이것을 좀 더 쉽게 풀어 써보면 그냥 '소수들이 얼마나 규칙적으로 분포하는가'입니다.(진짜로요!)

첫 시작부터 결론까지 다 내버리고 뭐하는거냐구요?

사실상, 이게 뭔지는 알아야 이후에 하는 모든 설명들이 재미있어지거든요!

근데 리만 가설을 들어가기 전 무조건 거쳐가야하는 사람이 있습니다.

바로바로 그 유명한 또또 오일러씨죠

1) 오일러 제타 함수(Euler Zeta Function)

오일러가 처음 명성을 떨치게 된 문제는 바로 "바젤 문제"라고 불리는 문제였습니다.

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} $$

바로 이것인데요, 비록 오일러가 증명한 방법은 아니지만 이 식의 증명 과정이 궁금하시다면 위의 바젤 문제 링크를 클릭해서 한번 살펴보시는 것도 좋습니다.

근데 진짜 학자들은 뭘 하나 발견해도 거기서 만족을 하지 못하는 것 같습니다.

오일러는 바로 이것을 증명해 내고는,

"잠깐.. 지수가 2인 상황으로 볼 수 있지 않나? 그럼 지수를 $s$라고 놓고, 이 $s$가 1보다 큰 실수일 때는 어떻게 움직이지?"

(참고로 $s$가 1이면 이 급수는 발산합니다)

를 궁금해 하죠

수식으로 다시 써보자면,

$$ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \qquad (s>1) $$

이렇게 정리할 수 있습니다.

오일러는 순수하게 $s$가 커지면 이 급수가 어떤식으로 움직이는지(어떤 값들을 가지는지)가 궁금했던거죠.

그리고 이 급수를 함수로 정의하고는 "오일러 제타 함수"라고 이름을 붙여줍니다.

2) 오일러는 아직도 만족 못 함: 오일러의 곱 공식(Euler Product Formula)

근데 이렇게 만들어 놓기만 했다면 천하의 오일러가 아니겠죠?

이 식을 이리저리 변형해보기 시작합니다.

그 중 소수를 판별하는 방법 중에 '에라토스테네스의 체'라는 방법이 있습니다.

간단하게 설명하자면, 1 이상의 자연수에서 자기 자신을 남겨두고 자신으로 나눠 떨어지는 모든 수를 제거하는 방법입니다.

1. 2를 처음 만나면 2를 남기고 나머지 2의 배수를 모두 지웁니다.
2. 이후 3을 처음 만났으므로 3을 남기고 나머지 3의 배수를 모두 지웁니다.
3. 그 다음에 만나는 4는 앞서 2의 배수를 모두 지울 때 지워졌으므로 넘어갑니다.
4. 이후 5는 처음 만났으므로 5를 남기고 나머지 5의 배수를 모두 지웁니다.
5. ...

이렇게 하면, 소수의 정의(1과 자기 자신만으로 나눠 떨어지는 수)를 만족하는 수 만을 '체'처럼 거를 수 있다는 개념입니다!

물론 이걸 알고리즘으로 만들면 속도는 무진장 느려서(게다가 무한대로 지울 수도 없는 노릇이고..) 알고리즘적으로는 쓰지는 않지만, 그래도 굉장히 중요한 개념이죠!

갑자기 이걸 왜 설명했냐구요?

우리 대단하신 오일러 선생님께서 이 오일러 제타 함수에 이 개념을 가지고 변형을 하셨거든요...

자, 그럼 이 변형을 따라가 볼까요?

[Step 1] 양변에 $\frac{1}{2^s}$를 곱합니다.

$$\frac{1}{2^s}\zeta(s) = \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \frac{1}{8^s} + \cdots$$

이렇게 곱하면 밑이 '짝수'인 친구들만 식에 나타나겠죠?

[Step 2] 원래 식에서 위 식을 뺍니다.

$$\left(1 - \frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \cdots$$

이렇게 빼버리면 밑이 '짝수' 즉, 2의 배수인 모든 항이 깔끔하게 싹 다 사라져 버린답니다.

[Step 3] 남은 식에 다음 소수인 $\frac{1}{3^s}$를 곱하여 다시 뺍니다.

$$\left(1 - \frac{1}{3^s}\right)\left(1 - \frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1 + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \cdots$$

자, 이제 대충 감이 오시나요? 이런식으로 '에라토스테네스의 체'처럼 '밑'이 배수인 항들을 싹싹 소거시켜 나가는 겁니다.

[Step 4] 이 과정을 모든 소수 $p$에 대해 반복하면 우변에는 1만 남게 됩니다.

$$\cdots \left(1 - \frac{1}{p^s}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{3^s}\right)\left(1 - \frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1$$

[Step 5] 이를 정리하면 오일러의 곱 공식이 탄생합니다.

\begin{align}
\prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)\zeta(s) &= 1 \\
\prod_{p} \left(\frac{p^s-1}{p^s}\right)\zeta(s) &= 1 \\
\zeta(s) &= \prod_{p} \left(\frac{p^s}{p^s-1}\right) \\
\zeta(s) &= \prod_{p} \left(\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}\right) \\
\zeta(s) &= \prod_{p} \left( \frac{1}{1 - p^{-s}} \right)
\end{align}

여기서 $\prod$기호는 $\sum$과 완전히 같습니다. $\sum$이 '모두 더하라~'였으면, $\prod$는 '모두 곱하라~'죠.

자, 이렇게 길다면 길고 짧다면 짧은 과정을 거쳐서 곱 공식을 만들었는데... 오일러 선생님은 아직도 목이 마르신가봅니다.

이걸 한번 더 정리하는데, 따라가 볼까요?

3) 여기서 갑자기 등비급수가 나타났다

오일러 곱 공식의 우변(소수 부분)에 있는 각 항은 $\frac{1}{1 - p^{-s}}$ 형태입니다.

이 식은 수학에서 무한 등비급수의 합 공식 $S = \frac{a}{1-r}$의 구조와 정확히 일치합니다.

• 첫째 항($a$) = 1
• 공비($r$) = $p^{-s}$ ($=\frac{1}{p^s}$)

따라서, 이 분수 식을 다시 급수(더하기) 형태로 풀어서 쓰면 다음과 같이 전개됩니다.

$$\frac{1}{1 - p^{-s}} = 1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \frac{1}{p^{3s}} + \cdots$$

이 식의 의미는 "특정 소수 $p$를 0번, 1번, 2번... $k$번 사용하는 모든 경우를 더해 놓은 것"입니다.

여기서 이제 $\prod\limits_p$를 합쳐서 풀어봅시다. 이 기호는 인덱스 $p$ ($p=2, 3, 5, \dots$)에 대해서 모두 곱하라~ 라는 뜻이니까

$$\prod_{p} \left( \frac{1}{1 - p^{-s}} \right) = \underbrace{\left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{2^{2s}} + \cdots \right)}_{p=2} \times \underbrace{\left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{3^{2s}} + \cdots \right)}_{p=3} \times \underbrace{\left(1 + \frac{1}{5^s} + \cdots \right)}_{p=5} \times \cdots$$

이 무한한 괄호들을 전개(분배법칙 적용)한다는 것은, 각 괄호에서 항을 하나씩 골라 모두 곱한 뒤, 그 결과들을 다 더하는 것과 같습니다.

즉, 다시말해 오일러 제타함수의 정의로 돌아온겁니다.

$$\left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{2^{2s}} + \cdots \right) \times \left(1 + \frac{1}{3^s} + \cdots \right) \times \left(1 + \frac{1}{5^s} + \cdots \right) \times \cdots = \zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots$$

결국 좌항의 분모(모든 소수의 곱의 조합)는 결국 우항에서 나타내듯이 모든 자연수 분모를 나타낼 수 있음을 시각적으로 확인할 수 있습니다.

그래도 이해가 잘 안가신다구요? 조금 더 자세히 설명해 볼까요?

4) 산술의 기본 정리(The Fundamental Theorem of Arithmetic)

"갑자기 설명하다 말고 산술의 기본 정리요?"라고 하실 수 있습니다만, 위에서 말했듯이 조금 더 자세히, 그리고 엄밀하게 설명하기 위해서 꼭 필요한 개념입니다.

근데, 사실 그렇게 어려운 내용은 아니에요.

딱 한 줄

"1보다 큰 모든 자연수는 소수들의 곱으로 표현할 수 있으며, 그 표현 방법은 오직 하나뿐이다."
(곱하는 순서는 무시)

로 정의되는 정리입니다.

"너무나도 당연한 걸 있어보이게 풀어놓은게 정리"라는 우스개 소리도 있는 만큼, 사실 소인수분해를 해봤던 분들이라면 너무나도 당연하게 들릴 소리입니다.

그럼 위에서 설명한거랑 어떤 연관성이 있길래 이걸 따로 설명한 걸까요? 뭐 물론 '소수'라는 연관성이 있으니까 그랬겠지만서도요?

$$\prod_{p} \left( \frac{1}{1 - p^{-s}} \right) = \underbrace{\left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{2^{2s}} + \cdots \right)}_{p=2} \times \underbrace{\left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{3^{2s}} + \cdots \right)}_{p=3} \times \underbrace{\left(1 + \frac{1}{5^s} + \cdots \right)}_{p=5} \times \cdots$$

자 그럼 다시 원래의 흐름으로 돌아와서, 시각적으로만 보여드렸던 부분에 대해서 이해를 돕기 위해 $s=1$이라고 가정하고, 소수가 2와 3만 있는 경우부터 보겠습니다.

$$\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots \right) \times \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots \right)$$

분배법칙에 따라 앞 괄호의 항과 뒤 괄호의 항을 하나씩 짝지어 곱합니다.

• $1 \times 1 = \frac{1}{1}$$\frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$
• $1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$\frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{4}$
• $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{6}$
• $\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{2^2 \times 3} = \frac{1}{12}$
• $\dots$

이렇게 곱해서 나온 결과들의 분모를 보면 $1, 2, 3, 4, 6, 12, \dots$ 가 됩니다. 이는 소인수가 2와 3뿐인 숫자들입니다.

이제 이 논리를 모든 소수($2, 3, 5, 7, \dots$)가 있는 무한한 괄호로 확장합니다. 각 괄호에서 하나의 항을 선택해 곱하면 다음과 같은 형태의 항이 하나 만들어집니다.

$$\frac{1}{2^{a s}} \times \frac{1}{3^{b s}} \times \frac{1}{5^{c s}} \times \cdots = \frac{1}{(2^a \times 3^b \times 5^c \times \cdots)^s}$$
($a, b, c \dots$는 각 소수를 몇 번 곱했는지를 나타내는 0 이상의 정수)

여기서 분모인 $n = 2^a \times 3^b \times 5^c \times \cdots$ 를 봅시다.

산술의 기본 정리에 따르면:

• 유일성: 모든 자연수 $n$은 소인수분해의 결과가 유일합니다. 즉, $a, b, c \dots$의 조합이 결정되면 자연수 $n$도 딱 하나 결정됩니다.
• 존재성: 모든 자연수는 소수들의 곱으로 표현 가능합니다.

따라서, 각 소수의 거듭제곱(괄호 안의 항들)을 조합하는 모든 경우의 수를 계산하면, 자연수 $1$부터 무한대까지의 모든 수 $n$이 빠짐없이, 그리고 중복 없이 한 번씩 분모에 등장하게 됩니다.

이 과정을 수식으로 요약하면 아래와 같습니다. 분모를 기준으로 소수들의 거듭제곱의 합을 모두 곱한 것은, 결과적으로 모든 자연수의 합과 같습니다.

$$\prod_{p} \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{p^{ks}} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$$

5) 마무리

이야, 리만 가설을 시작하기도 전에 오일러 씨의 발견만으로도 벌써 한바닥 포스팅이 되어버렸네요!

왜 이렇게 오일러 씨의 업적을 길게 늘어놨냐면... 이게 진짜 불규칙 속의 규칙을 찾기위한 거의 유일한 키이기 때문이죠!

덧셈으로 이루어진, 해석학으로 다룰 수 있는 '질서의 세계'를 나타내는 한쪽 변과 소수와 곱셈으로 이루어진 '혼돈의 세계'를 나타내는 한쪽 변을 등호로 연결한 유일무이한 식이니까요!

다음 번엔 바로 진짜 리만의 사고로 뛰어들어 봅시다!

ζ(0)의 값은?

0. 서론: 또 다른 미스터리 ζ(0)의 값은?

자, 이전 글 마지막에 제가 뜬금없는 질문을 하나 던졌습니다.

아, 그래서 추천은 이전 글을 한번 읽고 오시는걸 추천드립니다.(자연수를 무한히 더한(1+2+3+4+…) 값은 사실 -1/12이었다!?)

ζ(0)의 값은 무엇일까요? 제타 함수의 정의에 0을 그대로 넣어보면...

\begin{align}
\zeta(0) = & \ \frac{1}{1^0} + \frac{1}{2^0} + \frac{1}{3^0} + \frac{1}{4^0} + \cdots \\
= & \ 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots
\end{align}

당연히 무한대로 발산합니다.

이전처럼 리만의 '거울 공식'을 쓰면 되지 않냐고요?

거울 공식은 ζ(s)와 ζ(1-s)를 연결해줍니다. ζ(0)을 구하려면 s=0을 넣어야 하고, 그러면 ζ(1-0) = ζ(1)의 값을 알아야 합니다. 하지만 ζ(1) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... 은 그 유명한 조화급수!

무한대로 발산하며, 함수가 정의되지 않는 유일한 특이점(Pole)입니다. 즉, 거울의 한쪽이 깨져버려서 반대편을 비출 수가 없는 상황인 거죠.

그럼 어떻게 구할까요? 여기서 제타 함수의 숨겨진 조력자, 에타 함수(Eta Function)가 등장합니다.

1. 구원투수의 등장: 에타 함수(η)

에타 함수는 제타 함수와 거의 똑같이 생겼는데, 부호가 플러스와 마이너스를 번갈아 가며 나타나는 점만 다릅니다.

\begin{align}
\eta(s) = & \ \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \cdots\\
\end{align}

자, 그럼 이 에타 함수에 s=0을 넣어볼까요?

\begin{align}
\eta(0) = & \ \frac{1}{1^0} - \frac{1}{2^0} + \frac{1}{3^0} - \frac{1}{4^0} + \cdots \\
= & \ 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots
\end{align}

어디서 많이 보지 않았나요?

네, 바로 모든 '꼼수'를 시작하게 했던 바로 그 무한급수 $S_1 $입니다! 그리고 우리는 $S_1$의 값이 1/2이라는 것을 이미 알고 있습니다.

따라서 우리는 첫 번째 단서를 얻었습니다: $\eta(0)=\frac{1}{2} $

2. 제타와 에타의 비밀 관계

1단계: 제타 함수를 홀수 항과 짝수 항으로 분리하기

먼저, 제타 함수 ζ(s)를 펼쳐 쓴 뒤, 홀수 항들의 합과 짝수 항들의 합으로 나눕니다.

\begin{align}
\zeta(s) = & \ \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \dots \\
= & \ \left(\frac{1}{1^s} + \frac{1}{3^s} + \dots\right) + \left(\frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \dots\right)
\end{align}

2단계: 짝수 항의 합을 제타 함수로 표현하기

짝수 항들의 합에서 공통 인수인 $\frac{1}{2^s}$를 묶어내면, 괄호 안이 다시 제타 함수가 됩니다.

\begin{align}
& \ \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \dots \\
= & \ \frac{1}{2^s} \left(\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \dots\right) \\
= & \ \frac{1}{2^s}\zeta(s)
\end{align}

3단계: 에타 함수에 위 결과 대입하기

에타 함수 η(s)는 (홀수 항의 합) - (짝수 항의 합) 입니다.

\begin{align}
\eta(s) = & \ \left(\frac{1}{1^s} + \frac{1}{3^s} + \dots\right) - \left(\frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \dots\right)
\end{align}

여기서 1단계 식 ζ(s) = (홀수 항의 합) + (짝수 항의 합)을 변형하면, (홀수 항의 합) = ζ(s) - (짝수 항의 합)이 됩니다.

(짝수 항의 합)에 2단계 결과를 넣어 정리하면, (홀수 항의 합) = ζ(s) - $\frac{1}{2^s}\zeta(s)$ 입니다.

이제 이 결과들을 에타 함수 식에 모두 대입합니다.

4단계: 최종 정리

\begin{align}
\eta(s) = & \ \left(\zeta(s) - \frac{1}{2^s}\zeta(s)\right) - \frac{1}{2^s}\zeta(s) \\
= & \ \zeta(s) - \frac{2}{2^s}\zeta(s) \\
= & \ \left(1 - \frac{2}{2^s}\right)\zeta(s) \\
= & \ \left(1 - 2^{1-s}\right)\zeta(s)
\end{align}

이렇게 수학자들은 제타 함수와 에타 함수 사이에 아주 깔끔한 관계식이 있다는 것을 발견했습니다.

\begin{align}
\eta(s) = (1 - 2^{1-s})\zeta(s)
\end{align}

이 둘을 연결하는 비밀의 다리인 셈이죠. 이제 모든 준비가 끝났습니다.

3. 마지막 퍼즐 맞추기

위 관계식에 우리가 아는 모든 것을 대입해 봅시다. s=0을 넣는 겁니다.

\begin{align}
\eta(0) = & \ (1 - 2^{1-0})\zeta(0)
\end{align}

η(0)은 1/2이라는 것을 알고 있으니 대입하면,

\begin{align}
\frac{1}{2} = & \ (1 - 2^{1})\zeta(0) \\
\frac{1}{2} = & \ (1 - 2)\zeta(0) \\
\frac{1}{2} = & \ (-1)\zeta(0)
\end{align}

따라서, 양변에 -1을 곱해주면 최종 결론에 도달합니다.

\begin{align}
\zeta(0) = -\frac{1}{2} \qquad \blacksquare
\end{align}

놀랍게도 1+1+1+...의 대표값은 -1/2이었습니다!

마치 잘 짜인 추리소설처럼, 가장 처음 등장했던 단서(1-1+1-...=1/2)가 마지막 미스터리를 푸는 결정적인 열쇠가 되었네요.

이 기묘하고 아름다운 수학의 세계, 정말 신기하지 않나요?

π가 없는 식에서 π를 만든다고? 샌드위치 정리로 증명하는 1+1/4+1/9+... = π²/6

0. 서론: 대학 수학 없이 증명하기

제곱수의 역수를 모두 더하면 원주율의 제곱을 6으로 나눈 값이 된다는 기묘한 등식, $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

바젤 문제라고도 알려져 있는 이 문제!

아마 이 증명을 찾아보면 대부분 푸리에 급수, 테일러 급수 등 복잡한 대학 수학을 이용해 설명할 겁니다. 하지만 이 문제가 처음 풀렸을 때는 그런 도구들이 없었다면 믿으시겠어요? 오늘은 고등학교 과정에서 배우는 삼각함수와 샌드위치 정리(조임 정리)만을 이용해 이 문제를 증명해 보겠습니다. 수학자들이 말하는 가장 '초등적(elementary)'인 증명법, 함께 따라가 보시죠!

1. 핵심 재료: 마법의 부등식

모든 증명은 마법 같은 부등식 하나에서 시작합니다. 바로 이것이죠.

\begin{align}
\cot^2(x) < \frac{1}{x^2} < \csc^2(x)
\end{align}

이 부등식은 삼각함수 극한에서 배우는 $\sin(x) < x < \tan(x)$로부터 유도할 수 있습니다.
(단위원을 그려놓고 본다면 한방에 이해됩죠! 작은 삼각형의 넓이<부채꼴의 넓이<큰삼각형의 넓이 에서 유도됩니다.)

자세한 과정은 생략하지만, 이 부등식이 바로 오늘의 주인공인 '샌드위치'의 양쪽 빵 역할을 합니다.

가운데 우리가 구하고 싶은 값($\sum \frac{1}{n^2}$)의 재료가 되는 $\frac{1}{x^2}$이 끼어있는 것을 확인하세요!

2. '빵'의 값 계산하기: 드무아브르의 마법

접근 전략은 다음과 같습니다.

핵심 부등식 만들기 > 값을 아는 유한 급수 만들기 > 극한 취하기(무한 급수로 만들기)

1단계는 위에서 마쳤으니, 이제 2단계인 '값을 아는 유한 급수 만들기', 즉 빵을 구하러 가봅시다.

1) cot²x의 합 구하기

자~ 양쪽 빵을 구해야하는데, 사실 양쪽 빵이 다르죠?
근데 재밌는 사실은 양쪽 빵은 서로 항등식에 의해서 연결되어 있답니다.
$ \csc^2 x = \cot^2 x + 1 $인데요, 이건 $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $이라는 정말 유명한 삼각 항등식에서 모든 항을 $ \sin^2 x $로 나누면 바로 나오죠?

그렇다면, 우리는 둘 중 하나만 구하면 됩니다. 그러면 뭐가 더 쉬울까요?
기본적으로 '삼각함수의 지수'를 다룰 때 사용되는 대표적인 방정식이 '드무아브르 방정식'이고 이걸 이용했을 때, cos과 sin의 조합으로 수가 전개된다는 걸 보면 사실 cot가 조작하기 더 쉬운 함수란 걸 알 수 있죠! $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ 이고 $ \csc x = \frac{1}{\sin x} $이므로, cos과 sin항이 곱셈으로 붙어 나올 때, 두 항이 모두 연관되어있는 cot가 조작하기 더 편하기 때문입니다.

그래서 우리는 바로 cot를 구하고, 이걸로 csc를 구해보도록 하겠습니다!

2) cot²x의 유한 급수 만들기

우리가 원하는 건
1) $ \cot^2 x $가 임의의 유한한 항 $ m $에서 급수 형태로 나타날 것
2) 그 급수의 모든 항을 더한 값을 구할 것

자, 일단 '뭔가 유한항 내에서 더해지는 형태'를 만들 수 있는 방법이 무엇일까요?
항 두 개를 이용한 거듭제곱을 전개하면 바로 두 항의 덧셈이 펼쳐지지 않을까요? 이걸 삼각함수로 구현하는 공식이 바로 드무아브르 공식입니다.(드무아브르 공식이 궁금하시다면? 삼각함수의 3배각 공식(삼중각 공식) 증명(feat 오일러&드무아브르 공식))

그럼 지수항은 어떻게 정의해야 할까요? 현재 우리는 단순 $ \cot x $가 아니라 $ \cot^2 x $를 구하기 때문에, 곱셈공식에서 곱해지는 지수는 임의의 m항에 대해 2m이 되어야 할 것입니다. 또한 cot를 조작하기 쉽도록 홀수 지수가 유리합니다. 이 조건들을 고려하면 지수는 '2m+1'이 가장 적절해 보입니다. 뭐, 일단 아무 생각 없이 고른 것도 아니니 한번 적용해보고 틀리면 수정해보죠. 인생은 트라이 앤 에러입니다.

자, 드무아브르 공식을 전개해볼까요?

\begin{align}
(\cos x + i \sin x)^{2m+1} = \cos((2m+1)x)+i\sin((2m+1)x)
\end{align}

이항정리로 전개하면 다음과 같습니다.

\begin{align}
(\cos x + i \sin x)^{2m+1} = \sum_{k=0}^{2m+1} \binom{2m+1}{k} i^k \cos^{2m+1-k} x \sin^k x
\end{align}

현재 $ \cot^2 x$를 찾는데 실수부의 cos 지수는 홀수라 조금 힘드니, 허수부를 가지고 조작을 해야겠네요. 허수부만 모아보면 (양변의 허수 단위 i는 제거했습니다):

\begin{align}
\sin((2m+1)x) = \binom{2m+1}{1}\cos^{2m}x\sin x - \binom{2m+1}{3}\cos^{2m-2}x\sin^3 x + \cdots
\end{align}

이제 좀 실마리가 잡힌 것 같습니다. 양변을 $ \sin^{2m+1} x $로 나누면,

\begin{align}
\frac{\sin((2m+1)x)}{\sin^{2m+1} x} = \binom{2m+1}{1}\cot^{2m} x - \binom{2m+1}{3}\cot^{2m-2} x + \cdots
\end{align}

이야 이걸로 $ \cot^2 x$에 대해 m이 한 항씩 줄어드는 '유한 급수'식을 만들어 냈네요! 후.. 길었습니다.

3) 유한 급수의 합 구하기

그런데 여기서 또 하나의 문제... "다 더한 값을 구할 것"

우와... 진짜 산 넘어 산이네요.. 근데.. 잘 보세요!

\begin{align}
\frac{\sin((2m+1)x)}{\sin^{2m+1} x} = \binom{2m+1}{1}(\cot^{2} x)^m - \binom{2m+1}{3}(\cot^{2} x)^{m-1} + \cdots
\end{align}

요렇게 보는 관점만 조금 바꿔주면 우항은 계수가 $\binom{2m+1}{k}$인 $ \cot^2 x $에 대한 m차 다항식이 됩니다. 그리고 우리가 잘 아는 부분이죠? 근과 계수의 관계(Viete's rule)를 쓰면, 모든 근의 합을 계산할 수 있다는 사실!

그럼 근과 계수의 관계를 쓰기 위해 좌항을 0으로 만들어 방정식을 세워보죠. $ \sin \theta = 0 $인 $ \theta = r\pi $이므로,

\begin{align}
(2m+1)x = r\pi \implies x = \frac{r\pi}{2m+1}
\end{align}

즉, x에 이 값을 넣어주면 좌항은 0이 되어버립니다. (단, r=0인 경우는 cot(0)이 정의되지 않으므로 r=1부터 시작합니다.)

이제 $y = \cot^2 x$라고 생각하고 근과 계수의 관계를 적용합시다. $m$차 방정식 $a_m y^m + a_{m-1} y^{m-1} + \cdots = 0$에서 모든 근의 합은 $-\frac{a_{m-1}}{a_m}$ 입니다.

우리 식의 계수는 $ a_m = \binom{2m+1}{1} $ 이고 $ a_{m-1} = -\binom{2m+1}{3} $ 이므로,

\begin{align}
\text{모든 근의 합} = -\frac{-\binom{2m+1}{3}}{\binom{2m+1}{1}} = \frac{\binom{2m+1}{3}}{\binom{2m+1}{1}} = \frac{\frac{(2m+1)(2m)(2m-1)}{3\cdot 2\cdot 1}}{2m+1} = \frac{m(2m-1)}{3}
\end{align}

이 방정식의 근들은 $x = \frac{r\pi}{2m+1}$일 때의 $\cot^2 x$ 값들이므로, 그 근들의 합은 좌변을 0으로 만드는 모든 경우(r=1부터 m까지)를 다 표현해주어야 합니다. 결론적으로,

\begin{align}
\sum_{r=1}^{m} \cot^2\left(\frac{r\pi}{2m+1}\right) = \frac{m(2m-1)}{3}
\end{align}

이렇게 쓸 수 있습니다. 이제 샌드위치를 만들 모든 재료 준비가 끝났습니다.

3. 샌드위치 조립하고 꾹 누르기!

이제 모든 것을 합쳐봅시다.

1) 1단계의 '마법 부등식'에 $x = \frac{r\pi}{2m+1}$ (단, $r=1, 2, \dots, m$) 값들을 대입하고 $m$개만큼 모두 더해줍니다.

\begin{align}
\sum_{r=1}^{m} \cot^2\left(\frac{r\pi}{2m+1}\right) < \sum_{r=1}^{m} \frac{1}{\left(\frac{r\pi}{2m+1}\right)^2} < \sum_{r=1}^{m} \csc^2\left(\frac{r\pi}{2m+1}\right)
\end{align}

2) 가운데 항을 우리가 원하는 $\sum \frac{1}{r^2}$ 모양이 나오도록 정리하고, 양쪽 항에는 2단계에서 구한 값과 삼각함수 공식($\csc^2x = \cot^2x + 1$)을 이용해 값을 채워 넣습니다.(+1이 +m이 되는건 m번 더하는 시그마 기호 때문이죠~)

\begin{align}
\frac{m(2m-1)}{3} < \frac{(2m+1)^2}{\pi^2} \sum_{r=1}^{m} \frac{1}{r^2} < \frac{m(2m-1)}{3} + m
\end{align}

3) 마지막으로, 가운데에 우리가 구하려는 합만 남도록 부등식 전체를 $\frac{\pi^2}{(2m+1)^2}$로 곱해줍니다.

\begin{align}
\frac{\pi^2}{3}\frac{2m^2-m}{4m^2+4m+1} < \sum_{r=1}^{m} \frac{1}{r^2} < \frac{\pi^2}{3}\frac{2m^2+2m}{4m^2+4m+1}
\end{align}

4) 이제 샌드위치를 꾹 눌러봅시다! 즉, $m$을 무한대($m \to \infty$)로 보냅니다.

• 맨 왼쪽(아래쪽 빵)의 극한값: $\frac{\pi^2}{3} \cdot \frac{2}{4} = \frac{\pi^2}{6}$
• 맨 오른쪽(위쪽 빵)의 극한값: $\frac{\pi^2}{3} \cdot \frac{2}{4} = \frac{\pi^2}{6}$

양쪽의 극한값이 모두 $\frac{\pi^2}{6}$으로 수렴합니다!

따라서 샌드위치 정리에 의해, 그 사이에 끼어있던 값의 극한 역시 $\frac{\pi^2}{6}$이 될 수밖에 없습니다.

\begin{align}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
\end{align}

4. 결론: 가장 '초등적인' 증명

이 증명 과정을 보고 "이게 어떻게 가장 쉬운 방법이냐!"라고 생각하실 수도 있습니다. 맞습니다. 각 단계는 결코 간단하지 않으며 매우 기발한 아이디어를 필요로 합니다.

하지만 수학자들이 이 증명을 '초등적(elementary)'이라고 부르는 이유는, 복소해석학이나 푸리에 분석 같은 더 고등수학 분야의 강력한 이론을 빌려오지 않고, 고등학교 과정에서 배운 개념(삼각함수, 다항식, 극한, 샌드위치 정리)만을 차곡차곡 쌓아 올려 만든 증명이기 때문입니다.

마치 두 친구가 양쪽에서 당신의 손을 잡고 한 점으로 다가갈 때, 당신 역시 그 점으로 갈 수밖에 없는 것처럼, 이 증명은 우리가 구하려는 값을 양쪽에서 논리적으로 꽉 조여서 답을 찾아내는 아름다움을 보여줍니다.

자연수를 무한히 더한(1+2+3+4+…) 값은 사실 -1/12이었다!?

0. 서론: 상식을 파괴하는 등식

네? 이게 뭔소리나고요? 뭔 공교육 박살나는 소리냐고요??

아마 지금 모니터 앞에서 이런 생각을 하고 계실 겁니다. 하지만 일단 저를 믿고 따라와 보세요. 오늘은 서론 없이, 상식을 파괴하는 여정을 곧바로 시작하겠습니다.

1. 증명

1)

일단 무한 급수 하나를 가정하죠.

\begin{align}
S_1 = & \ 1-1+1-1+1- \cdots
\end{align}

이렇게 무한히 나열되는 무한 급수가 있습니다.

일단 양변에 1을 빼보겠습니다.

\begin{align}
-1 + S_1 = & -1 + (1-1+1-1+1- \cdots)
\end{align}

그리고 양변에 똑같이 -를 붙여주겠습니다(부호변경)

\begin{align}
1 - S_1 = & \ 1 - (1-1+1-1+1- \cdots)
\end{align}

오른쪽 괄호를 풀어주면

\begin{align}
1 - S_1 = & \ 1 - 1+1-1+1-1+ \cdots
\end{align}

어? 우항이 그냥 $ S_1 $ 자기 자신이네요?

다시 쓰면

\begin{align}
1 - S_1 =& \ S_1 \\
2S_1 =& \ 1 \\
S_1 =& \ \frac{1}{2} \\
\end{align}

따라서 $ S_1 $의 값은 $ \frac{1}{2} $입니다.

2)

이번에는 또 재밌는 무한급수를 한번 만들어 볼까요?

아까는 1번($S_1$)을 썼으니까 이번에는 2번을 붙여줘보죠.

\begin{align}
S_2 = & \ 1 - 2+3-4+5-6+ \cdots
\end{align}

이런 무한급수가 있습니다.

그냥 심심하니까 이 무한급수를 한번 자기 자신으로 더해볼까요?

아 물론 그냥 더하면 재미 없으니까, 하나씩 항을 밀어서 더해볼께요!

\begin{align}
S_2 = & \ 1 - 2+3-4+5-6+ \cdots \\
\underline{\ + \ S_2 =} & \underline{\qquad 1 - 2+3-4+5- \cdots} \\
2S_2 = & \ 1 -1+1-1+1-1+ \cdots
\end{align}

오, 우항이 바로 $ S_1 $이군요!

정리하면,

\begin{align}
2S_2 = & \ S_1 = \frac{1}{2} \\
\implies S_2 = & \ \frac{1}{4}
\end{align}

$ S_2 $의 값은 $ \frac{1}{4} $입니다.

[항을 하나 밀면 뒤에 항이 하나 남지 않냐고 날카롭게 질문한 당신! 박수! 그러나 무한의 세계에선 끝에 남는 항이 없답니다~
무한이 더 궁금하시다면 "어서오세요! 힐베르트 호텔에! ~무한의 세계로 떠나는 여행~" 포스팅을 읽어보시면 재밌으실 것 같습니다!]

3)

자 이제,

\begin{align}
S = & \ 1 + 2+3+4+5+6+ \cdots
\end{align}

자연수의 합, 자연수의 무한급수를 보겠습니다.

그냥은 어떻게 할 도리가 없으니까, 아까 $ S_2 $를 빼 볼까요?

\begin{align}
S \ \ = & \ 1 + 2+3+4+5+6+ \cdots \\
\underline{-\ S_2 = } & \underline{ \ 1 -2+3-4+5-6+ \cdots} \\
S - S_2 = & \ 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + \cdots
\end{align}

두 급수를 빼주는거니까, 부호가 같은 애들은 0이되고, 다른 애들은 더해서 두배가 되는 거죠!

이 수열을 다시 정리하면,

\begin{align}
S - S_2 = & \ 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + \cdots \\
= & \ 4 + 8 + 12 + \cdots \\
= & \ 4(1 + 2 + 3 + \cdots) \\
\end{align}

오 우항에서 다시 $ S $가 등장했군요!

\begin{align}
S - S_2 = & \ 4S \\
3S = & -S_2 \\
3S = & -\frac{1}{4}\\
S = & -\frac{1}{12}\\
\end{align}

오, 다시 정리하면

\begin{align}
1+2+3+4+5+6+\cdots = & -\frac{1}{12} \qquad \blacksquare
\end{align}

헐... 이게 증명이 되어버리네요!?!?

그럼 진짜 그동안 공교육에서 잘못 가르치고 있던거란 말입니까!?!?

2. 비밀: 왜 이 증명은 '꼼수'일까?

방금 본 증명은 그럴듯해 보이지만, 사실 수학적으로는 허점이 많습니다.

가장 큰 문제는 '발산하는 무한급수'를 수렴하는 급수처럼 마음대로 다루었다는 점입니다.

무한급수가 특정 값으로 수렴하지 않을 때는 항의 순서를 바꾸거나(항 밀기), 괄호를 치거나, 다른 급수와 더하고 빼는 연산을 함부로 할 수 없습니다.

[별개로 아까 무한이라서 항밀기는 되어요~ 라고 한건, 무한 급수에 대해서 성립한답니다! 실로 재밌는 무한의 세계]

즉, 위의 증명은 엄밀한 수학이라기보다는 "만약 저 발산하는 급수에 어떤 값을 억지로 부여한다면, 그 값은 -1/12가 되어야 논리적으로 아귀가 맞을 것이다"라는 것을 보여주는 일종의 발견적(heuristic) 방법에 가깝습니다.

그리고 중요한 사실, 제목에도 적어놨지만 이건 '꼼수'지 '궤변'이 아닙니다.

네? 지금 스스로 '그러나 트릭장난이었다~'라고 시인한거 아니냐구요? 트릭 장난은 맞는데요... 근데 답은 맞아요...

일종의 게임 '버그'를 활용한 '치트플레이'에 가까운 부분이죠.("어찌됐든 최종보스(=정답)를 만난다"는 점에서는 차이가 없습니다.)

"아니! 자연수를 다 더한 급수는 '무한대!!!!'지!!!! 어떻게 $ -\frac{1}{12} $가 맞다고 우길 수 있는거냐!!!"

라고 하신다면... 약간 보는 관점이 다르달까... 여기서 나오는게 바로 [양자역학]이거든요...

그럼 일단 한발 양보하셔서

'그래 1+2+3+...이 $ -\frac{1}{12} $일 수도 있다고 가정하면, 너가 스스로 치트플레이를 시인했는데 어떻게 엄밀하게 알려줄 수 있는데?'

부터 시작해볼까요?

3. 진짜 수학의 등장: 리만 제타 함수와 해석적 연속(Analytic Continuation)

그렇다면 왜 수학자들은 이 결과를 '맞다'고 이야기할까요? 그 답은 리만 제타 함수($ \zeta(s) $)에 있습니다.

리만 제타 함수는 아래와 같이 정의됩니다.

\begin{align}
\zeta(s) = & \ \sum \limits _{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots
\end{align}

여기서 $ s $는 복소수까지 들어갈 수 있구요, 일반적으로 복소수의 실수부가 1보다 큰 값에 대해서만 수렴합니다.( $ \mathfrak{R}(s) > 1 $ )

고등 수학까지 공부하셨던 분들이면 $ \frac{1}{n} $ 급수는 수렴하지 않고, $ \frac{1}{n^2} $은 수렴하던 걸 기억하실겁니다.

참고로 $ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} $이죠.

그리고 우리가 찾는 $ 1+2+3+ \cdots $는 이 함수에 $s = −1$을 넣은 값, 즉 $ \zeta(-1) $과 형태가 같습니다.

하지만 $s = −1$은 함수가 정의된 영역( $ \mathfrak{R}(s) > 1 $ ) 밖에 있습니다. 여기서 수학자들은 '해석적 연속(Analytic Continuation)'이라는 강력한 도구를 사용합니다.

쉽게 비유하자면, 특정 구간에서만 그려진 함수 그래프가 있을 때, 이 그래프의 곡률이나 패턴을 유지하면서 정의되지 않은 영역까지 그래프를 자연스럽게 연장하는 것과 같습니다. 마치 함수의 '거울'을 만들어 반대편을 비춰보는 것과 비슷하죠.

정확히는 리만의 함수 방정식이라는 도구를 사용합니다만, 궁금하신 분은 더보기 클릭!

이 '해석적 연속'이라는 방법으로 리만 제타 함수를 $s = −1$이 포함된 영역까지 확장하면, 놀랍게도 그 지점의 함수 값이 정확히 $ -\frac{1}{12}$가 됩니다.

$ \zeta(-1) = -\frac{1}{12} $

즉, 꼼수 증명으로 얻은 값이 더 고차원적인 수학 체계 안에서 올바르다는 것이 증명된 셈입니다.

4. 현실 세계와의 연결고리: 카시미르 효과(Casimir effect)

"그래 봤자 수학자들의 머릿속에서만 존재하는 것 아닌가?"라고 생각할 수 있습니다.

하지만 이 기묘한 합은 놀랍게도 현실 세계에서 그 증거를 드러냅니다.(아까 말했던 그 '양자역학' 이야기 입니다)

바로 카시미르 효과(Casimir effect)라는 건데요.

완벽한 진공 상태에 아주 매끄러운 금속판 두 개를 아주 가깝게 붙여 놓으면, 아주 신기하게도 이 두 금속판이 서로를 잡아당깁니다...!

진공속에서! 아무것도 없는데! 왜!?!?

과학자들 대혼란. 이었죠.

일상적으로 '진공'이라하면 '아무것도 없는 거', '텅 빈 공간'이라고 생각하지만 양자역학에 따르면 진공은 수많은 가상 입자들이 나타났다가 사라지는 에너지의 바다입니다. 이 에너지는 온갖 종류의 파동(전자기파)으로 들끓고 있죠.

여기서 바로 파동의 차이가 발생하게 되는데요

• 금속판 바깥: 공간이 무한하므로 모든 종류의 파동이 존재할 수 있습니다.
• 금속판 사이: 공간이 매우 좁기 때문에, 기타 줄이 특정 음만 내는 것처럼 딱 맞아떨어지는 파동만 존재할 수 있습니다. 즉, 존재 가능한 파동의 종류가 바깥보다 적습니다.

그리고 여기서 바깥의 파동 에너지가 더 크고 안쪽의 에너지가 더 작기 때문에, 바깥에서 안쪽으로 미는 아주 미세한 힘(압력)이 생깁니다.

그리고 이에따라 두 금속판은 저절로 서로에게 끌어당겨집니다!

이제 원인은 밝혀졌습니다. 그 힘을 계산하고 측정하는 것만 남았죠!

계산: 이 힘은 (바깥의 모든 파동 에너지 합) - (안쪽의 모든 파동 에너지 합)으로 계산됩니다. 그런데 이 '모든 파동 에너지의 합'이라는 것이 바로 무한급수의 형태로 나타납니다.

그리고 이 무한대의 계산을 '조절(regularization)'하는 과정에서 물리학자들은 경악스러운 수식과 마주칩니다. 바로 그 힘의 크기가 1 + 2 + 3 + 4 + ... 와 직접적으로 연관된다는 것입니다.

여기서 물리학자들이 만약 "에이, 이건 그냥 무한대잖아. 계산 못 해!"라고 포기했다면 아무 결과도 얻지 못했을 겁니다. 대신 그들은 수학자들이 알려준 '대표값'인 -1/12을 그 자리에 넣었습니다.

그렇게 계산을 마쳤더니, 두 금속판을 미는 힘의 크기가 정확하게 예측되었습니다.

측정: 1997년, 과학자들은 정밀한 실험을 통해 이 힘을 실제로 측정하는 데 성공했고, 그 값은 -1/12을 넣어 계산한 이론과 거의 완벽하게 일치했습니다.

이는 마치 허수(i)가 처음엔 상상 속의 수였지만, 지금은 전기공학 등 현실의 문제를 푸는 데 없어서는 안 될 도구가 된 것과 같습니다.

5. 또 다른 천재의 길: 라마누잔 합

사실 이 결과는 리만보다 앞서, 인도의 천재 수학자 라마누잔이 독자적으로 발견했습니다.

그는 서양 수학계와 교류가 거의 없던 상태에서 자신만의 독창적인 방식(오일러-매클로린 급수 활용)으로 발산급수에 값을 할당하는 '라마누잔 합'을 고안했고 자연수의 무한 급수=−1/12라는 결과를 얻었습니다.

이후 리만 제타 함수가 더 포괄적이고 엄밀한 수학적 토대를 제공했지만, 이 놀라운 통찰력 덕분에 이 결과는 종종 '라마누잔 합'이라고 불리기도 합니다.

6. 결론

\begin{align}
1+2+3+4+5+6+\cdots = & -\frac{1}{12}
\end{align}

이 식은 '사과를 세는' 덧셈의 세계에서는 거짓이지만, '양자 세계의 파동 에너지를 재는' 확장된 수학의 세계에서는 참입니다. 그리고 그 참은 실제 물리 현상으로 증명됩니다.

위에서도 얼핏 언급되었지만, '허수'는 곱해서 -1이 되는 수입니다. 이 '허수'또한 현실에서는 존재할 수가 없죠.

사과 i개, 이런게 성립하나요?

그러나 일단 받아들이는 순간 그 활용도는 무궁무진해집니다. 수학적인 부분(관련 포스팅: 사원수(Quaternion)란? ~허수에서 출발하는 차원확장~)에서 뿐만 아니라, 현재 전기-교류, 더 넘어서 스마트폰의 전파를 설명하는데 아주 필수적이죠.

끝까지 오시면서도, 위의 허수 예시를 들으시면서도 와닿지 않을 걸 압니다. 애초에 거의 새로운 개념인 허수와는 다르게 우리가 거의 '산수'의 시작과 함께 한 '자연수'와 '덧셈'에서 파생되는 아주 충격적인 결과니까요.

그럼 이렇게 생각해보는 건 어떨까요?

아주 작은 양자 세계로 가면, 세상은 사과 같은 알갱이가 아니라 끝없이 출렁이는 '파동'으로 가득 차 있습니다.

여기서의 질문은 '몇 개냐?'가 아니라 '이 무한한 출렁임 전체가 가지는 대표적인 힘(에너지)이 얼마냐?'는 거죠.

이 질문에 답하려면 사과를 세던 자(ruler)가 아니라, 파동 에너지를 재는 특수한 측정 장비가 필요하겠죠?

바로 그 장비의 이름이 '제타 함수'인 거구요.

그리고 이 특수 장비로 1+2+3...처럼 무한히 뻗어나가는 에너지의 총량을 측정했더니, 그 계기판에 $-\frac{1}{12}이라는 값이 딱 찍힌 겁니다.

어떻게 조금은 와 닿으셨나요? 안 와 닿으셨나요?

괜찮습니다. 뭐 양자역학이란게 그런거니까요

정말, 기존의 상식을 파괴하는 기묘한 세상에서 고생하셨습니다.

아, 재밌는거 하나 알려드릴까요?

$ \zeta(0) $도 값이 있는 걸 알고계셨나요?

그냥 풀어쓰면 $ 1 + 1 + 1 + \cdots $라서 무한대로 발산이지만, 과연 제타함수에서는 어떻게 값이 나올까요!?

참고로 위에서 '더보기'를 누르셨던 용감하신 분도 이 해석적 확장 만으로는 구하실 수 없을 겁니다.(애초에 $ \zeta(1) $은 절대로 정의되지 않거든요)

직접 구해보시는 것도 즐거울 겁니다!

감마함수(Gamma function)란 무엇인가? ~ 오일러, 또 당신이에요? ~

0. 서론

이 블로그의 이전 포스팅들에서 아주 심심치 않게 등장하던 특수함수(special function)가 있습니다.

• 감마함수로 팩토리얼 증명
• 대학교 2학년의 꿈(x^x 적분)

바로 감마함수(gamma function)인데요.

사실 그동안 감마함수가 무엇인지 정확히 모르고 일단 하나의 도구로 썼었는데, 오늘은 이게 무엇인지 낱낱이 밝혀보도록 하겠습니다.

1. 감마함수의 정의

$ \Gamma(n+1) = n! = \int_0^\infty t^{n}e^{-t} dt $

로 정의되는 감마함수는 한마디로 말해서 팩토리얼 함수입니다.(정확히는 '정수에서의 팩토리얼과 일치하며, 이를 실수와 복소수 영역까지 확장한 특수함수 즉, 팩토리얼을 일반화한 함수'라는게 맞겠지요)

그런데 이미 팩토리얼을 정의하는 다른 방법들($ \Pi $라던가 !라던가..)이 있는데도, 왜 이런 특수함수가 필요하냐 하면..

!로 정의되는 팩토리얼 연산은 정수에서만 정의가 되어있고, $ \Pi $로 쓰는 형태는 조작이 쉽지 않아서 랍니다.

더 자세한 내용을 따라가 볼까요?

2. 팩토리얼 확장의 시작: 오일러의 탐구

1729년, 수학계의 오랜 질문 중 하나는 정수 n에 대해서만 정의되던 팩토리얼(n!)을 어떻게 실수와 복소수 영역까지 연속적(analytic)으로 확장할 수 있을까 하는 문제였습니다. 다니엘 베르누이(Daniel Bernoulli), 크리스티안 골드바흐와(Christian Goldbach) 같은 당대의 수학자들이 이 주제를 놓고 활발히 서신을 주고받았죠.

이 문제에 뛰어든 레온하르트 오일러는 먼저 팩토리얼을 다른 방식으로 표현하는 것에서 출발했습니다. 그는 1729년 골드바흐에게 보낸 편지에서 다음과 같은 무한 곱 형태를 제안하며 팩토리얼을 일반화할 실마리를 찾았습니다.

$ n! = \lim \limits _{m \rightarrow \infty} \frac{(m+1)^n m!}{(n+1)(n+2) \cdots (n+m)} $

하지만 무한 곱은 다루기 까다로웠고, 오일러는 더 우아하고 실용적인 형태를 찾고자 했습니다.

여기서 그는 새로운 함수 $ f(x) $가 만족해야 할 세 가지 핵심 조건을 설정했습니다.

1. 초기값과 재귀성질: f(1)=1, f(x+1)=xf(x)
2. 정수 팩토리얼 값과 일치: f(n) = n!
3. 해석적 성질: 함수가 연속적이고 미분 가능하며, 적분 등으로 표현 가능해야 한다.

그리고 이제 이 함수를 찾기 위한 여정을 떠납니다.

3. 영감의 원천: 오일러의 제1종 적분(베타 함수)

오일러는 이 문제를 고민하기 전, 훗날 베타 함수(Beta function)라 불리는 '오일러의 제1종 적분(Euler's integral of the first kind)'을 연구한 경험이 있었습니다.

베타 함수는 이항 계수를 실수 범위로 일반화한 것으로, 다음과 같이 정의됩니다.

$ B (x, y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt $

그리고 이 함수를 부분적분하면

$ B(x, y) = \frac{y-1}{x} B(x+1, y-1) $라는 재귀 관계가 나타납니다.

위에서 정한 조건 중 가장 핵심인 '재귀성질'을 찾아낸 것입니다.


또한 이 구조는 오일러에게 결정적인 영감을 주었습니다.

1. 두 함수의 곱을 적분하는 과정(특히 부분적분)이 재귀적인 성질을 만들어낼 수 있다.
2. 재귀 관계를 단순하게 만들기 위해 변수는 한가지로 통일
3. 한 함수는 미분/적분해도 형태가 유지되는 지수 함수($ e^t $) 꼴을 가져야 한다.
4. 다른 함수는 재귀적 성질을 반영해야하므로 미적분시 차수가 변하는 $ t^n $ 꼴을 가져야 한다.

4. 감마 함수의 탄생: 오일러의 제2종 적분(Euler's integral of the second kind)

이러한 통찰을 바탕으로 오일러는 1730년 1월 8일, 마침내 팩토리얼을 일반화하는(즉, 위의 세가지 조건을 모두 만족하는) 아름다운 적분 형식을 찾아냈습니다.

이는 '오일러의 제2종 적분(Euler's integral of the second kind)'이라 불리며, 훗날 감마 함수라고 불리게 됩니다.
(이 결과는 나중에 논문(De progressionibus transcendentibus, E19 등)에 정리되어 발표됩니다.)

$ n! = \int_0^\infty t^{n}e^{-t} dt $

여기서 몇 가지 요소는 오일러의 영감과 함께 치밀한 수학적 계산의 결과입니다.

1) 왜 $ e^t $가 아닌 $ e^{−t} $인가?

이는 '균형' 때문입니다.

부분적분
$ \int u dv = uv - \int v du $
을 하면 원시함수의 곱이 나오게 되는데 이 항을 경계항(Boundary term)이라고 합니다.
적분구간의 아래끝과 위끝의 값으로 최종 적분값이 결정되기 때문이죠.

그리고 여기서 재귀 관계가 깔끔하게 나오려면 경계항(boundary term)이 0이 되어 사라져야 합니다.

$t^n$은 $ t \rightarrow \infty $ 일 때 발산하므로, 이 값을 0으로 수렴시키기 위해 더 강력하게 감소하는 함수인 $ e^{−t} $가 곱해져야만 했습니다.

2) 왜 적분 구간이 0부터 $ \infty $인가?

만약 임의의 유한구간 T를 상한으로 놓고 유한한 구간에서 적분하면 경계항이 0이 되지 않아 재귀 관계가 복잡해집니다.
따라서 적분 구간을 0부터 $ \infty $까지로 설정함으로써, 경계항은 구간의 양 끝점(t=0, t→∞)에서 모두 0이 되어 깔끔하게 사라지고 원하는 재귀 관계만 남게 됩니다.

5. 감마함수: 이름의 유래와 정의

시간이 흘러 1809년, 프랑스 수학자 아드리앵마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre)가 이 함수에 감마 함수(Gamma function)라는 이름을 붙이고 대문자 감마(Γ) 기호를 도입했습니다.

그런데 왜 하필 '감마'를 도입했을까요?
여러가지 설이 있습니다만.. 안타깝게도 정확하게 명시된 내용은 없답니다.
그래도 흥미돋는 썰들을 살펴보자면

• 당시 특수 함수에 그리스 문자를 붙이는 유행이 있었다
• 이 오일러의 제2종 적분이 팩토리얼을 일반화(Generalization)시켰다는 뜻에서 G의 Gamma를 선택했다.
• 대문자 감마(Γ) 기호가 '계단'이나 '각(angle)'의 형태를 띠고 있어, 팩토리얼의 이산적인(discrete) 성질과 연속적인 확장을 연결하는 시각적 상징으로 선택했을 수도 있다

정도가 가장 대표적이라고 볼 수 있겠습니다.

또한 르장드르는 감마 함수를 다음과 같이 정의했는데, 이로 인해 한 가지 독특한 관습이 생겼습니다.

$ \Gamma(n) = \int_0^\infty e^{-x}x^{n-1} = (n-1)! $

왜 $\Gamma(n)$이 $n!$이 아닌 $(n-1)!$이 되도록 정의했는지에 대한 명확한 이유는 없습니다.
그냥 르장드르가 제일 처음에 이렇게 정의를 해서 썼고, 이 최초 정의가 그대로 학계의 관습으로 굳어져 내려온다고 알려져 있습니다.

그러나 이렇게 내린 정의 덕분에 베타 함수와의 관계식($ B(x, y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$) 등 다른 여러 공식이 더 깔끔한 형태로 표현되니, '그냥'이라기 보다는 꽤나 많은 고민 끝에 내린 결론 같죠?

참고로, 베타함수라는 이름은 1839년 자크 비네(Jacques P. M. Binet)가 명명합니다.
명명의 이유는 정확히 알려져 있지 않지만, 감마함수가 제2종 적분이니 제1종 적분은 베타함수라고 그리스알파벳 순서에 따라 명명하지 않았나 추측합니다.

6. 마무리

수학사에서 뭔가 괴짜같다(=대단하다) 싶은 결과는 오일러, 가우스, 라그랑주 세 명 중 한 명을 찍으면 대충 맞습니다.
오일러는
오일러 방정식을 통해 복소평면에서 지수함수와 삼각함수와의 관계를 정립한 것처럼
오일러의 적분을 통해 이산적인 연산을 연속적인 연산으로 확장해냅니다.(이항 계수가 그러하며, 팩토리얼이 그러하죠)

신입생의 꿈과 대학교 2학년의 꿈(Freshman's dream & Sophomore's dream)

0. 서론

과거 작성하였던 0에서 1사이의 x^x(x의 x승) 적분 값 계산(integral from 0 to 1 x to the power x dx) 포스팅이 있습니다.

고등학생 때 미적분을 공부하다 궁금했었는데, 결국 그 당시에 해결하지는 못하고 나중에 대학교를 졸업하고 나서야 우연히 해결방법을 접하고 신기한 마음에 포스팅을 올렸었죠.

그러나 그때까지도 이게 정확히 뭔지 몰랐다가, 요근래 정확한 명칭을 알게되었습니다.

바로 "대학교 2학년생의 꿈(Sophomore's dream)"이라는 이름이더군요.

수학자들이 붙인 이름입니다.

이걸 보면 모든 학문이 한번에 짠하고 완성되는 경우는 없는 것 같습니다.

뭔가 하나씩 하나씩 시간이 지나며 완성되는 느낌이랄까요?

그런데 왜 하필 "대학교 2학년생의 꿈(Sophomore's dream)"일까요?

"대학교 1학년생의 꿈(신입생의 꿈, Freshman's dream)"도 있을까요?

혹시 다른 "꿈" 시리즈들도 있을까요?

이 포스팅의 시작은 바로 여기서 부터입니다.

1. 신입생의 꿈 혹은 대학교 1학년생의 꿈(Freshman's dream)

1-1. 정의

대학교 1학년생의 꿈은 다음과 같습니다.

$ (x+y)^p = x^p + y^p $

1-2. 유래

사실 곱셈공식을 처음 배울 때 처음 실수하는 구간이죠.

$ 3(x+y) = 3x+3y $와 같이 분배법칙에 익숙했던 우리 모두가 한번쯤은 거쳐가지 않았을까요

그리고 한편으론 '이렇게 쉬웠으면 얼마나 좋아~'싶은 바람이기도 하죠.(왜 '바람'이냐면, 아시잖아요? 일반적인 상황에서 p가 1인 경우를 제외하고는 이항계수와 각 항의 곱의 조합으로 인하여 저렇게 심플하게 나올 수가 없답니다)

그래서 어떻게 보자면, 수학자들이 "초심자들의 실수를 장난스럽게 놀리기 위해 + 초심자들의 바람"을 담아서 이것을 신입생의 꿈(Freshman's dream)이라고 부르기 시작했습니다.

"전 세계적으로 곱셈공식은 대학교 입학 전에 배우는데 왜 '신입생'이냐"고 하신다면, 사실 처음 붙인 사람의 의도를 알지 못하는 한 정확하게 알 수는 없지만 유추해보자면

1. 대학교육의 '초심자'의 의미
2. 제대로 학문하는 사람(교수)이 처음 보는 학생
3. 이전까지는 '기본'적인 것들을 배웠다면 정말 대학교에서 본격적인 '수학'이라는 학문에 처음 들어온 뉴비

뭐 이정도의 느낌으로 신입생의 꿈 혹은 대학교1학년생의 꿈이라고 불렀겠죠?

대략 용어가 처음 등장한건 1940년대, 본격적으로 교재에까지 올라온 건 1974년이라고하니, 그렇게 엄청 오래된 용어는 아닙니다.

1-3. 그냥 헛소리일 뿐인가?

그러나 일반적으로는 성립하지 않는 저 식도 특수한 환경에서는 성립하게 됩니다.

아주 간단하게 설명해서, 특정 수가 p가 되면 0이 되는 공간에서 p가 소수일 때 저 등식은 성립합니다.

가령 p가 2가 되면 0이 되는 공간이 있다고 해봅시다.

0은 0이고, 1은 1이고, 2는 0입니다.

여기서 $ (x + y)^2 $은 $ x^2 + 2xy + y^2 $으로 전개되지만, 공간 정의에서 2는 0이 되므로 결국 $ x^2 + 0 + y^2 = x^2 + y^2 $이 됩니다.

따라서 신입생의 꿈이 성립하는거죠.

여기서부터는 좀더 나아가는 부분입니다. 가볍게 읽고 싶으시다면 건너 뛰셔도 좋습니다. 읽다가 복잡하시면 그냥 넘어가셔도 좋습니다.

2. 대학교 2학년생의 꿈(Shopomore's dream)

자, 그럼 대학교 2학년생의 꿈은 뭘까요?

2-1. 정의

$ \int^1_0 x^{-x} dx = \sum \limits _{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} $

$ \int^1_0 x^x dx = \sum \limits _{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^n} = - \sum \limits _{n=1}^\infty (-n)^{-n} $

위의 두 식을 대학교 2학년의 꿈이라고 합니다.

그리고 위키피디아 등 여러 문헌에서 두 식을 1697년 요한 베르누이(Johann Bernoulli)가 발견했다고 저술하고 있습니다.

여담으로 요한 베르누이는, 우리에게 익숙한 '베르누이의 정리'를 발표한 다니엘 베르누이의 아버지 입니다.

2-2. 유래

그럼 진짜로 요한 베르누이는 이 두 식을 발표했을까요?

현재 문헌상에서 찾을 수 있는 것은 1742년에 총 4권으로 출간된 "Opera omnia"입니다.

Jean(Johann) Bernoulli가 그동안 저술한 것을 모아서 출간한 전집이죠.

그리고 여기서 Vol 3, pp 376-383에 "대학교 2학년의 꿈" 식의 증명이 등장합니다.

(원문은 구글 아카이브(https://archive.org/details/johannisbernoul00berngoog/page/n406/mode/1up)에서 확인하실 수 있습니다. 세상좋아졌어요.. 1742년 출간된 책을 인터넷으로 볼 수 있다니...)

1697년 악타 에루디토룸(Acta Eruditorum) 3월호에 실린 논문의 내용을 다시 정리하여 소개하고 있죠.

이 논문에서 요한 베르누이는 "지수함수 계산법의 원리(Principia calculi exponentialium)는 내가 처음 고안해낸 것으로, 이후 1697년 3월호 "Acta Eruditorum"에 발표했다"라고 밝히고 있습니다.

그리고 내용을 좀 더 살펴보면, 사실은 본인은 이 증명을 이미 예전에 발견하였으나 따로 알리지는 않고있었지만 라이프니츠 등 다른 수학자들이 요청하여 공개한다고 밝히고 있습니다.

그리고 뒤이어 나오는 증명은 $ \int_0^1 x^x dx $를 급수로 풀어내는 증명입니다.

우리는 이전 포스팅(https://omnil.tistory.com/173)에서 감마함수를 이용하여 식변형 만을 가지고 이를 풀었었는데요,

실제로 요한 베르누이는 이 적분을

1. 로그변환($ x^x = e^{x \cdot \ln x} $)
2. 매클로린 급수 전개
3. 항별 부분적분
4. x = 1 대입

의 방법으로 구하고 있습니다.(이후에는 일반항 $ x^n(\ln x)^m $에 대한 일반화된 적분 규칙을 정립하고, 논문을 마무리짓습니다.)

더불어, 이 식은 매우 빠르게 수렴하기 때문에 앞 몇 항만 계산해도 소수점 아래 10자리까지 계산할 수 있다고 밝혔습니다.

즉, 요한 베르누이의 논문에서는

$ \int^1_0 x^x dx = \sum \limits _{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^n} = - \sum \limits _{n=1}^\infty (-n)^{-n} $

이 식만 등장한다고 볼 수 있죠.

2-3. 검증

그렇다면, $ \int^1_0 x^{-x} dx = \sum \limits _{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} $ 이 식은 어디서 나온걸까요? 후대에 다른 수학자가 임의로 넣은 걸까요?

사실 베르누이의 방식을 따르던, 저희가 구했던 방식을 따르던 첫 함수를 $ x^{-x} $로 놓고 풀면, 아주 간단하게 식이 유도됩니다.

따라서 베르누이가 발견했다고도 볼 수 있죠(베르누이가 이 함수를 적분할 수 있는 방법을 찾은거나 마찬가지니까요)

더불어 오히려 처음 구한 $ x^x $보다 그 식이 너무나도 깔끔하고 딱 보기에 좌항과 우항이 적분이냐 급수냐의 차이만 있을 뿐 식이 똑같기 때문에 놀라움을 자아낼 수 있죠.

$ \int^1_0 \frac{1}{x^{x}} dx = \sum \limits _{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} $

그리고 이것을 바탕으로 대학교 2학년의 꿈(Sophormore's dream)이라는 언어유희가 탄생합니다.

첫 언급은 Borwein의 저술에 2004년에 등장하는 것으로 알려져 있습니다.

2-4. 신입생의 꿈 vs 대학교 2학년의 꿈

신입생의 꿈이라는 말은 위에서 '직관적으로 될 것 같지만 되지 않는 등식'을 일종의 '장난+그들의 염원'을 담아서 장난식으로 붙였다고 했습니다.

여기서 대학교 2학년의 꿈이라는 말은 반대로 '직관적으로 이게 돼!?' 싶은 등식이 '실제로 성립하는' 놀라움을 담아 붙인 셈입니다.

3. 다른 꿈 시리즈?

인터넷을 돌아다니다보면 '초등학생의 꿈'이니 뭐니 여러 '꿈'시리즈가 보이는 듯도 싶은데, 세계적으로 통용되는 보편적인 개념이나 용어는 아니고, 오히려 "'신입생의 꿈'처럼 어찌보면 '억지'인 상황을 제시하고, 어떤 특수한 상황에서는 성립한다는 것을 제시하는" 스타일입니다.

대표적으로 '초등학생의 꿈'은 과학잡지 등에서 기고로 실렸던 흔적을 찾을 수 있습니다.(뭐 사실 문제는 만들기 나름이지요. 신입생의 꿈 스타일이면 다 '~~꿈'이라고 할 수 있지 않을까요)

억지인 상황:

분수의 덧셈에서 통분을 하지않고, 분모끼리 분자끼리 더하는 상황(현실적으로는 성립하지 않지만, 직관적으로 '이렇게 해도 되지 않나!?'싶은 오류 상황)

특수한 해:

어떠한 집합 $ F_n $를 정의합시다.

이 집합은 0과 1사이의 기약분수의 모임입니다.

그리고 여기서 분모가 n 이하인 것들을 크기 순서대로 배열하기로 합시다.

수식으로 표현해보자면,

$ F_n = \left\{ \frac{a}{b} \,\middle|\, 0 \leq \frac{a}{b} \leq 1,\ \gcd(a,b) = 1,\ b \leq n \right\} $

이 됩니다. 여기서 gcd는 최대공약수(Greatest Common Divisor)로, 최대공약수가 1이라는 말은 두 수가 서로소(coprime)이라는 뜻이고 분수로 확장되면 기약분수를 나타내는 말이 되겠죠?

참고로 이 집합의 이름은 Farey set이라고 부른답니다.

예시로 볼까요?

• $ F_1 = \left\{ \frac{0}{1}, \frac{1}{1} \right\} $
• $ F_2 = \left\{\frac{0}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{1} \right\} $
• $ F_3 = \left\{\frac{0}{1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{1} \right\} $

그리고 이 집합의 연속된 세 수를 고르면, 첫항과 세번째항의 '초등학생의 꿈' 연산의 결과가 두번째 항이 되는 것을 알 수 있습니다.

4. 결론

역사적 시간으로 다시 정리해보자면,

1. 베르누이가 1697년에 $ \int^1_0 x^x dx = \sum \limits _{n=1}^\infty (-1)^{n+1}n^{-n} = - \sum \limits _{n=1}^\infty (-n)^{-n} $을 발견
2. 1940~70년대 신입생의 꿈이라는 말이 만들어짐(초심자의 실수+그들의 바람 을 표현한 용어(직관적으로 될 것 같은데 안된다))
3. 2004년 Borwein등의 저술에서 베르누이가 발견한 내용에 대학교 2학년생의 꿈이라는 용어를 붙임(신입생의 꿈과는 반대로 '직관적으로 맞는거 같은데... 맞는다!' 느낌)[여기서 원래 베르누이의 발견은 $ \int_0^1 x^x dx $이었지만, 약간 바꾸어서 더 아름다운 형태인 $ \int_0^1 x^{-x} dx $를 대표적인 식으로 표현(사실상 약간의 식변형이라 베르누이 논문에 직접 언급되지는 않지만 베르누이가 발견했다고해도 틀린말은 아님)]
4. 이후에 다른 '꿈'들이 있었지만, 세계적으로 통용되는 것들은 아님

이렇게 되겠네요

5. 마무리

어떻게 오늘 포스팅도 즐거우셨나요? 우리모두 꿈을 꿔보도록 합시다~

정규분포의 확률밀도함수(Probability Density Function, PDF) 증명

0. 서론

확률밀도함수(PDF), 그 중에서도 정규분포함수가 왜 너무나도 당연하게 유도되는지를 증명해보려고 합니다.

신기하게도 하나하나 따라가다보면, 우리가 아는 그 유명한 종 모양 그래프가 나온답니다.

1. 정규분포의 함수 모양은 어떻게 생겼나?

아시는 분들은 대충 종 모양이라고 알고 계시겠고, 더욱 자세히 아시는 분들은 적어도 이 함수가 e의 지수함수꼴이라는 것은 알고계실겁니다.

그러나 그게 왜 그렇게 나오는지는 모르시는 경우가 많을 것이라 생각됩니다. 그럼 정말 '무지'에서 시작해서 이 그래프를 찾아가보도록 하겠습니다.

2. 조건들을 확인하자

우리가 아는 정규분포의 pdf의 조건들은 다음과 같습니다.

1. $ \int_{-\infty}^\infty f(x) dx = 1 $ : 함수의 전체 넓이는 1(=전체 확률은 1)
2. $ \int_{-\infty}^\infty x \cdot f(x) dx = \mu $ : 확률변수 x의 기댓값은 평균($ \mu $)
3. $ \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 \cdot f(x) dx = \sigma^2 $ : 확률변수 x의 분산은 표준편차($ \sigma $)의 제곱
4. $ \mu $를 기준으로 좌우 대칭
5. 최대한 자연적인 분포(분포가 치우침이 없고 편향되지 않음)

이 조건들을 가지고 바로 함수의 모양을 찾아볼까요?

3. 최대한 자연적이다?

최대한 자연스러운 분포란 무엇일까요?

예를 들어, 동전을 던진다고 가정해봅시다.

가장 자연스러운 상황은 앞면이 나올 확률이 0.5, 뒷면도 0.5인 경우입니다.
왜냐하면 결과를 전혀 예측할 수 없기 때문이죠. (어느 쪽이 나올지 도무지 알 수 없음)

반면, 만약 앞면이 나올 확률이 0.99, 뒷면은 0.01이라면 어떨까요?
이건 거의 항상 앞면이 나오는 인위적인 상황으로, 결과를 예측하기 매우 쉽습니다.
더 이상 ‘무작위’라기보다는 ‘조작된’ 느낌이 들죠.

이처럼 우리가 말하는 ‘자연스러운 분포’란
결과를 예측하기 가장 어려운 상태,
즉 불확실성이 최대인 상태라고 할 수 있습니다.

그런데 생각해봅시다.

앞면이 나왔을 때 더 놀라운 경우는 어느 쪽일까요?

• 확률이 0.5인 공정한 동전?
• 아니면 0.99로 앞면이 나오는 조작된 동전?

당연히 전자입니다.

공정한 동전에서는 앞면과 뒷면이 동일한 가능성을 가지기 때문에,
결과가 나왔을 때 우리는 순간적으로 “아! 앞면이 나왔네!” 하고 반응하게 되죠.
반대로 조작된 동전에서는 앞면이 나와도 별로 새로울 것이 없습니다.
애초에 그럴 거라 거의 확신하고 있었으니까요.

이런 “놀라움의 크기”를 다른 말로 표현하면,
우리가 그 순간 “새롭게 알게 된 정보의 양”,
즉 정보량이라고 할 수 있습니다.

정리해보면 이렇게 연결됩니다:

불확실성이 크다 = 예측이 어렵다 = 놀라움이 크다 = 정보량이 크다

그리고 정보이론에서는 이것을 '엔트로피(entropy)'라고 부릅니다. 정보량이 크면 엔트로피가 큽니다.

[엔트로피의 원래 의미에서도 무질서도가 증가하는게 엔트로피가 크다고 하잖아요? 무질서할수록 우리가 알아야할 정보량은 커집니다.]

자, 그럼 정리되었습니다. 정규분포의 pdf는 엔트로피가 최대가 되어야 합니다.

4. 엔트로피는 어떻게 정의되는가

엔트로피는 샤논 엔트로피 공식(Shannon entropy formula)으로 구할 수 있습니다.

정보이론에서 샤논이라는 분이 엔트로피(불확실성)을 정량적으로 측정하기 위해 제안한 공식이죠.

수식을 보면

$ H(X) = - \sum p_i \log_b p_i $

이와 같습니다.

여기서 b가 2이면 bit로 나오고, e이면 nat, 10이면 hartley라고 하는데, 10은 거의 안쓰니까 크게 신경 안쓰셔도 됩니다.

p는 확률이죠.

이 수식은 정보이론에서 파생되었기 때문에 bit로 계산되는 이산적 공식이지만, 이 개념을 이용해서 연속적으로도 활용할 수 있습니다.

또한 보통 연속적으로 사용할때는 b가 e인 nat(natural unit of information) 단위로 쓰이지만, 이 단위가 크게 중요한 부분은 아닙니다.

중요한건 이 공식으로 연속함수의 불확실성을 나타낼 것이라는 점입니다.

$ H[f] = - \int f(x) \ln f(x) dx $

이제 이 공식에서 f(x)가 가장 불확실함을 나타내는 함수를 찾으면 됩니다. 그렇다면 H[f] 즉, 함수 f의 엔트로피가 최대가 되면 되겠죠?

5. 값이 최대가 아니라, 함수가 최대라구요?

여기서 값이 최대인 것을 찾는 방법이 미분법이라고 한다면, 함수가 최대인 것을 찾는 방법은 변분법이라고 불립니다.

그러면 바로 H[f]를 바로 변분법을 쓰면 될까요?

아니겠죠..? 위에서 조건들이 엄청 많았는데 그것들을 무시하고 찾으면 안되는 거잖아요?

그렇다면 위의 조건들을 어떻게 반영할 것이냐.. 하면 여기서 라그랑주 승수법이라는것이 나옵니다.

어떤 함수에 대해서 각 조건들에 라그랑주 승수를 곱해서 원 함수에서 더하거나 빼서 그 함수를 조건짓는 겁니다.

그렇게 해서 중간에 나오는 식을 '라그랑지안'이라고 부릅니다.

그렇다면 H[f]에서 각 조건들을 빼주면 되겠죠?

$ \mathcal{L} = - \int f(x) \ln f(x) dx - \lambda_0 ( \int f(x) dx -1 ) - \lambda_1 ( \int x \cdot f(x) dx - \mu ) - \lambda_2 ( \int (x-\mu)^2 \cdot f(x) dx - \sigma^2 ) $

이렇게 정리될겁니다.

그리고 여기에서 변분법을 적용하여(함수로 미분하는 겁니다) 이 값이 0인 점을 찾으면 미분처럼 극값을 주는 함수를 찾을 수 있습니다.

$ \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta f(x)} = - (1 + \ln f(x)) - \lambda_0 - \lambda_1 \cdot x - \lambda_2 \cdot (x-\mu)^2 = 0 $

으로 나올테고, 이를 정리하면

$ \ln f(x) = -1 - \lambda_0 - \lambda_1 \cdot x - \lambda_2 \cdot (x-\mu)^2 $

이 되고, 이를 다시 f(x)로 표현하면

$ f(x) = e^{-1 - \lambda_0 - \lambda_1 \cdot x - \lambda_2 \cdot (x-\mu)^2} $

$ f(x) = Ae^{- \lambda_1 \cdot x - \lambda_2 \cdot (x-\mu)^2} $

이렇게 정리할 수 있습니다.

그리고 여기서 '함수는 평균을 기준으로 좌우 대칭이다'라는 조건에 의해 $ \lambda_1 $은 0이 되어야만 합니다. x가 살아있으면 이 함수는 좌우 대칭이 깨지기 때문이죠. 따라서 다시 써보면

$ f(x) = Ae^{- \lambda_2 \cdot (x-\mu)^2} $

이렇게 정리가 됩니다.

그리고 이것을 통해서 정말 신기하게도, 이 함수의 '개형'을 알게 되었습니다.

그러면 이제 $ \lambda_2 $와 A만 알면 완벽한 정규분포식을 알 수 있겠군요!?

6. $ \lambda_2 $와 A 찾으러 떠나세~

여기서 다시한번 정리해보죠. 정규분포함수의 pdf는 $ f(x) = Ae^{- \lambda_2 \cdot (x-\mu)^2} $입니다.

그렇다면,

조건1:

조건 $ \int_{-\infty}^\infty f(x) dx = 1 $에서, f(x)를 대입하면

$ \int_{-\infty}^\infty Ae^{- \lambda_2 \cdot (x-\mu)^2} dx =1  $

이렇게 정리가되고, 이것을 풀면 $ \lambda_2 $와 A를 구할 수 있겠네요.

일단, A는 상수계수이므로 적분기호 밖으로 뺄 수 있을테니, $ \lambda_2 $부터 구해보도록하죠.

$ A \int_{-\infty}^\infty e^{- \lambda_2 \cdot (x-\mu)^2} dx = 1 $

그러나 여기서 안타까운 상황에 직면합니다.

$ e^{x^2} $꼴의 적분은 자명한 원시함수가 없음이 밝혀져있죠.(리우빌의 정리(Liouville’s theorem on integration in finite terms)에 의해 증명됩니다.)

그러면 풀지 못하냐.. 하면 우리 엄청나신 가우스님께서 이걸 약간의 트릭으로 아주 멋지게 풀어내십니다.

일단 $ x-\mu $를 $ u $로 치환해줍니다.

$ \int _{-\infty}^\infty e^{-\lambda_2 u^2} du $

여기서 해를 $ I $라고 하면 식은 다시

$ I = \int _{-\infty}^\infty e^{-\lambda_2 u^2} du $

이렇게 쓸 수 있습니다.

그리고 여기서 양변을 제곱해줍니다.

적분 변수를 구분해주기위해 다른 문자인 x, y를 씁니다. 여기서 x는 위에서의 x와 상관이 없습니다.(잠깐 쓰고 사라질 친구들이라 그냥 x쓰겠습니다)

$ I^2 = \left( \int _{-\infty}^\infty e^{-\lambda_2 x^2} dx \right)\left( \int _{-\infty}^\infty e^{-\lambda_2 y^2} dy \right) $

적분을 합치고, 수식을 정리하면

$ I^2 = \iint _{\mathbb{R^2}} e^{-\lambda_2 (x^2+y^2)} dx dy $

여기서 $ \mathbb{R^2} $는 '실수*실수 모든 영역에서'라는 뜻으로 $ \int _{-\infty}^\infty\int _{-\infty}^\infty = \iint_{\mathbb{R^2}} $입니다.

여기서 $ x^2+y^2 = r^2 $이라는, 원의 방정식이자 극좌표 표기 형식으로 바꿔보면,

$ dx dy $의 경우 미소 면적을 뜻하는 것인데, 극좌표 형식에서는 미소한 $ \theta $에 대해 부채꼴의 호의 길이인 $ rd\theta $와 $ dr$의 곱으로 표현할 수 있으므로 둘이 치환되며,

구간의 경우 $ r $이 0부터 무한대까지, 그리고 $ \theta $가 0에서 $2\pi$까지면 실수영역에서 $ \mathbb{R^2} $를 커버하므로 이와같이 치환하면 수식은

$ I^2 = \int_{0}^{2\pi}\int _{0}^\infty e^{-\lambda_2 r^2} rdrd\theta $

이와같이 바뀝니다.

여기서 안쪽 적분인

$\int _{0}^\infty e^{-\lambda_2 r^2} rdr$

부터 적분하면, $ \lambda_2 r^2 = v $,  $ 2\lambda_2 rdr = dv \Leftrightarrow rdr = \frac{dv}{2\lambda_2} $로 치환하면

$\frac{1}{2\lambda_2}\int_0^\infty e^{-v} dv $

이렇게 변형이 되고, $ \int_0^\infty e^{-v} dv = 1 $이므로

안쪽적분은 $\frac{1}{2\lambda_2}$가 나옵니다.

이제 바깥쪽 적분으로 들어가면

$ \frac{1}{2\lambda_2} \int_0^{2\pi}d\theta $이므로

$ I^2 = \frac{2\pi}{2\lambda_2} $

$ I = \sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2}} $

가 됩니다.

$ A \int_{-\infty}^\infty e^{- \lambda_2 \cdot (x-\mu)^2} dx = 1 $

여기에서 적분부분이 $ I $이므로, $ A\sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2}} = 1 $

$ A = \sqrt{\frac{\lambda_2}{\pi}} $

조건2:

여기서 저희는 분산조건도 만족시켜야 합니다.

$ \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 \cdot f(x) dx = \sigma^2 $

f(x)에 $ Ae^{- \lambda_2 \cdot (x-\mu)^2} $대입하고, 마찬가지로 $ x-\mu $를 $u$로 치환하면

$ \int_{-\infty}^\infty u^2 \cdot Ae^{- \lambda_2 \cdot u^2} du = \sigma^2 $

여기서 A를 적분 밖으로 빼면

$ A \int_{-\infty}^\infty u^2 \cdot e^{- \lambda_2 \cdot u^2} du = \sigma^2 $

요런식이 나오는데, 여기서 부분적분해야하나?라는 생각이 들수도 있지만, 아주 멋있는 해법이 있습니다.

아까

$ I = \int _{-\infty}^\infty e^{-\lambda_2 u^2} du = \sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2}} $

였죠?

이걸 바로 $ \lambda_2 $로 미분해줍니다.

$ \frac{dI}{d\lambda_2} = \frac{d}{d\lambda_2}\int _{-\infty}^\infty e^{-\lambda_2 u^2} du = \int _{-\infty}^\infty \frac{d}{d\lambda_2}e^{-\lambda_2 u^2} du = \int_{-\infty}^\infty (-u^2) \cdot e^{- \lambda_2 \cdot u^2} du $

따라서

$ \int_{-\infty}^\infty u^2 \cdot e^{- \lambda_2 \cdot u^2} du = -\frac{d}{d\lambda_2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2}} $

$ = -\sqrt{\pi} \frac{d}{d\lambda_2} \lambda_2^{-\frac{1}{2}} $

$ = -\sqrt{\pi} (-\frac{1}{2}) \lambda_2^{-\frac{3}{2}} $

$ = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2^3}} $

$ = \frac{1}{2\lambda_2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2}} $

다시정리하면,

$ A \frac{1}{2\lambda_2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2}} = \sigma^2 $

위에서 $ A = \sqrt{\frac{\lambda_2}{\pi}} $이었으므로

$ \sqrt{\frac{\lambda_2}{\pi}} \frac{1}{2\lambda_2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2}} = \sigma^2 $

$ \frac{1}{2\lambda_2} = \sigma^2 $

$ \lambda_2 = \frac{1}{2\sigma^2} $

이렇게 $ \lambda_2 $가 구해지고, A는

$ A = \sqrt{\frac{\lambda_2}{\pi}} $

이므로 여기에 대입하면

$ A = \sqrt{\frac{1}{2\pi\sigma^2}} $

$ = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} $

7. 결론

따라서 유도된 정규분포 pdf는

$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{- \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $

이와 같습니다.

완전 무에서부터 조건들만 가지고 정규분포 pdf가 증명되는게 너무 신기하지 않나요?

점화식에서의 특성방정식(characteristic equation)

포스팅 개요

과거 피보나치 수열의 일반항 구하는 포스팅(>>피보나치 수열의 일반항과 비율의 극한(황금비)<<)을 작성하였다.

사실 작성하던 중에는 크게 못느꼈는데, 다른 사람에게 설명을 하던 중 특성방정식을 잠깐 빌려와서 근과 계수와의 관계로 풀어내는 과정에서 '왜 $ a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} \Leftrightarrow x^2 = x + 1 $ 인가?'에 대해서 너무나도 당연하게 받아들였다는 것을 깨닫고 추가로 더 공부해본 결과 이를 '특성방정식'이라고 한다는 것을 알게되고, 이에 포스팅을 작성한다.

점화식에서의 특성방정식(characteristic equation)

점화식을 풀 때 우리는 특성방정식(characteristic equation)을 이용해서 해결을 하게 된다.
(과거 고등학교 수학에서 나왔던 점화식의 해결법(계차의 등비수열로 해결)도 어떻게보면 특성방정식의 활용이다.)

그런데 '왜 특성방정식을 사용해서 점화식을 푸는가?'에 대해서 궁금하진 않은가? 그냥 된다니까 하기에는 조금 껄쩍지근하다.

한줄로 정의해보자면
'점화식 자체로는 뭔가를 찾기 힘드니까 본질이 같은 다른 것으로 바꾸어서 해를 찾자'이다.

여기서 좀 더 자세히 따져보자면
'본질이 같은'은 '같은 선형성을 가지는'이란 의미이고
'다른 것'은 '기저(basis)'를 뜻한다.
(갑자기 대수학에서 벡터공간에서 쓰는 '기저'라는 단어가? 싶기도 하겠지만, 사실 모든 '함수'는 벡터공간 안에서 구현이 가능하다는 점을 보면 이해할 수 있을 것이다.)

진짜 결국 그냥 '쉽게 구할 수 있는 걸로 변형하자!'이거다..

보통은 점화식 뿐만 아니라 미분방정식, 선형대수에 모두 사용가능하기 때문에 '특성방정식'이라고 검색하면 사실 점화식보다는 미분방정식이나 선형대수 관련한 벡터공간 관련 내용 더 나아가 고유값/고유벡터 등이 나오게 된다.(사실 고유값분해를 대충이라도 이해할 수 있다면 특성방정식이 뭐하는 놈인지는 쉽게 이해가 간다)

그러나 일단은 이렇게 복잡한 내용 이전에 여기서는 아주 간단하게 점화식에 대해서만 설명해보기로 한다.

이제부터 이해해야 하는 키워드는

1. 점화식의 구분
 *선형성
 *선형의 또다른 의미
2. 특성방정식이란
이다.

차례대로 알아보자

1. 선형성(linearity)이란 무엇인가?

선형성을 만족시키기 위해서는 두 가지 조건인 가산성(Additivity)와 동차(제차)성(Homogeneity)을 만족해야한다.

-가산성(Additivity)은 f(a)+f(b)=f(a+b)를 만족하는 함수를 말한다.
다른말로는 중첩의 원리(principle of superposition)라고도 한다.

-동차(제차)성(Homogeneity)이란 f(ax)=af(x)를 만족하는 함수를 동차성이 있다고 한다.(일부 서적의 번역으로는 제차성이라고한다)
쉽게말해 입력이 조정된 비율만큼 동일하게 결과도 조정된 값이 나온다는 것이다.
선형성과 마찬가지로 상수항이 없는 함수에 대하여 성립하며, 상수항(혹은 이에 준하는 상수를 출력하는 함수)이 있는 경우 동차성에 위배된다.

간단하게 선형성과 동차성에 대해 쉽게 알 수 있는 예제가 있다.

y=ax+b는 선형인가?

가산성을 먼저 살펴보자
f(x1)+f(x2)=f(x1+x2)이면 가산성이 있는 함수이다.
a(x1+x2)+2b $ \neq $ a(x1+x2)+b
가산성에 위배된다.

동차성은 어떤지 보자
f(k x1) = kf(x1)
akx1+b $ \neq $ k(ax1+b)
동차성에 위배된다.

결국 y=ax+b는 선형이 아니다.


근데 신기한건 엄밀한 선형이 아닌데도 '선형'이라는 단어를 붙이는 경우가 있다는 것이다.
아니 또 이것은 무엇인가?
선형이 아닌데 선형이라고?

아까 선형성의 정의에서 '가산성'을 보았다. 여기서 파생되어서 덧셈으로 연결되는 함수들을 보고 '함수들이 선형 결합을 한다'라고 말한다.

그리고 이게 줄어들어서 '선형'이 된 것이다.

그래서 다항함수는? 선형 함수이다. 만약 상수항이 없다면 엄밀한 '선형'함수이고, 상수항이 있다면 선형(결합을 한)함수이다.

따라서 특정 계수의 곱을 통한 덧셈으로 정의되는 일반적인 점화식의 경우 선형이다.

그러면 이렇게 선형이라는 말을 막쓰면, '엄밀한 선형'인지 '일반적 선형'인지는 또 어떻게 알 것인가?

그래서 선형이란 말 뒤에 '동차' 혹은 '비동차'라는 말을 써준다.

이렇게 되면 '선형 동차 점화식' 혹은 '선형 비동차 점화식'이라는 말이 생겨날 수 있는데, 결국 이 단어로 구분이 완벽하게 되는 것이다.

선형 동차 점화식: 모든 항이 선형 결합을 한 상태이며, 상수항(혹은 그에 준하는 상수를 출력하는 함수)이 없는 점화식
선형 비동차 점화식: 모든 항이 선형 결합을 한 상태이며, 상수항(혹은 그에 준하는 상수를 출력하는 함수)이 있는 점화식

자 이제 점화식의 종류에 대해서 알아보았다.
사실 '비'자가 붙으면 뭐든 어려워진다. 선형함수보다 비선형함수가 어렵고, 동차보다는 비동차가 어렵다.
현재 이 포스팅은 '쉽게!' 알아보려는게 목적이므로 앞으로는 '선형 동차'에 대해서만 써보려고한다.
이제 '특성방정식'이란게 뭔지 알아보러가자.

2. 특성방정식이란?

선형 동차 점화식은 결국 선형성을 띈다.
그리고 이것은 점화식의 어떠한 해 a, b에 대하여 이 둘에 특정 계수를 곱한 선형결합역시도 점화식을 만족시킨다는 것이다.
결국 어떠한 해를 찾고 이 해에 곱해지는 계수를 찾으면 점화식을 풀어낼 수 있다(일반항을 구할 수 있다)는 것이다.

그럼 일단 이 '어떠한 해'를 찾아야하는데, 이게 그냥 점화식만 뚫어져라 쳐다보면 툭 답이 나오는 것도 아니고.. 참 힘들다.
그래서 이 어떠한 해를 찾기위해 우리는 주어진 점화식을 변형할 것이다.
어떻게?
'같지만 다르게!'
같은 선형결합을 가지지만, 이 점화식을 다른 각도로 볼 수 있는 새로운 '틀'(=기저)을 찾아서 바꿔주면 될 것이다.
결국 이 '틀'은 진짜 오만가지 것이 다 되지만, 제일 간단하며 우리가 무언가를 찾아내기 쉬운 틀은 $ x^n $일 것이다.
(결국 점화식이란건 하나 전의 자신, 그리고 두개 전의 자신을 선형결합한 것이므로, 이 '하나 전, 두개전'에 해당하는 '이동'을 해도 자기자신 그대로인 함수면 점화식을 잘 나타낼 수 있지 않을까? 바로 그런 함수가 바로 $x^n$인 것이다.)
x를 찾아내면 점화식의 어떠한 해를 찾아낸 것이며, 이 어떠한 해에 특정 계수를 곱한 선형결합이 점화식을 만족시킬 것이기 때문이다.
그리고 새로운 틀을 $ x^n $으로 정의했으니, 이 틀을 이용해 만든 변화시킨 점화식에서는(해가 두개라고 가정하면) $ k_1 * x_{1}^n + k_2 * x_{2}^n $이 일반적인 해를 나타낸다고 볼 수 있겠다.
그렇다면 결국 $ a_n $이라는 수열을 새로운 틀 $ x^n $으로 놓게 된 것이다.

좀 더 이해를 쉽게하기위해서 하나의 예시를 가지고 논지를 진행시켜보자

$ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} $

라는 점화식이 있다고하자(상수항이 없는 이유는? 우리는 현재 선형 동차 점화식에 대해서 보고있다.)
이 점화식에서는 차수(order)가 2이다.
갑자기 뜬금없이 차수? 선형 동차 점화식이 몇개의 항으로 연결되었는가를 나타내는 것으로, 선형적인 다항함수의 차수와 그 의미가 같다.

이를 새로운 틀 $ x^n $으로 치환하면
$ x^n = x^{n-1} + x^{n-2} $
차수로 n을 제한하면(n의 최대값은 차수가 된다)
$ x^2 = x + 1 $ 이 된다.
(위에서도 논의했듯이 항이 두개로 연결된 점화식은 두개의 해를 가지며, 두개의 해를 가지기 위해서는 다항함수의 차수=수열의 항수 이다)

자, 여기까지의 논지가 바로 이전 포스팅(피보나치 수열의 일반항 구하기)에서 근과 계수와의 관계를 사용하기 위해 살짝 빌려왔던 개념되겠다. 모르고 그냥 받아들여도 크게 문제없지만 알면 더 신기한 그런거다.

각설하고, 더 논지를 진행시켜보자.

$ x^2 - x -1 = 0 $의 형태로 바꾸어 방정식을 만들어주고

여기서 해를 구하면
$ x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \mathrm{ or } \frac{1-\sqrt{5}}{2} $
이 나오며

이 두개의 해의 특정 상수배씩의 선형결합이 이 점화식의 일반항이 된다. (더 나아가서, 같은 말로 '특정한 벡터'를 고유값(eigen value, 아이젠 밸류)과 고유벡터(eigen vector, 아이젠 벡터)로 분해하였을 때, 두개의 고유벡터에 특정 상수배(고유값)씩의 선형결합이 '특정한 벡터'가 된다는 것과 동일하다.)

$ a_n = k_1 * x_{1}^n + k_2 * x_{2}^n $

이때 특정 상수배($ k_1,  k_2 $)를 구하는 방법은, 초기 조건을 가지고 구하면 된다.

결국 $ a_0 = 0 $, $ a_1 = 1 $ 을 이용하면

$ a_0 = 0 = k_1 + k_2 $
$ a_1 = 1 = k_1 * (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^1 + k_2 * (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^1 $

$ k_1 = \frac{1}{\sqrt{5}} $, $k_2 = -\frac{1}{\sqrt{5}} $

따라서 이 점화식의 일반항은

$ a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} * (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - \frac{1}{\sqrt{5}} * (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n $

어디서 많이 본 일반항 아닌가?

맞다. 피보나치 수열의 일반항이다.

전 포스팅에서는 특성방정식을 그대로 이용하지 않고, 특성방정식의 아주 일부분만 잠깐 빌려다가 쓰고(특성 방정식에서 '틀'을 바꿔 수열을 잠깐 다항함수의 방정식 형태로 바꾼 뒤 근과 계수와의 공식으로 수열의 계수를 바꾼 정도) 계차의 공비를 구하는 식으로 점화식을 풀어내었다.

솔직히 전 포스팅에서는 이정도로 자세하게 특성방정식의 개념과 그 활용을 사용하지 않았기에 '일단 받아들여보세요~'하고 진행하였지만(사실 그 부분만 참고 넘어가면 이후에 유도하는데는 전혀 문제가 없다) 이후 좀 더 자세한 설명이 필요해보이기에 추가 포스팅한다.

[Arduino/아두이노] 3색 LED 켜기!

안녕하세요! 여러분!

오랜만에 다시 아두이노 포스팅으로 돌아왔습니다!

저번시간까지 아두이노를 컴퓨터와 연결하고, 예제 프로젝트를 실행해보고(블링크(Blink)), 외부라이브러리까지 추가해보았는데요!

오늘은 대망의 아두이노 외에 다른 '부품'(혹은 '소자' 라고도 하죠?)을 써보는 프로젝트를 해보도록 하겠습니다! 와~

대망의 첫 부품은 아주아주 간단한 3색 LED입니다!

그냥 LED도 아니고, 왜 3색이냐구요..?

어차피 그냥 LED와 3색 LED가 큰 차이가 없기 때문입니다. 그냥 R/G/B, 레드/그린/블루 LED 3개를 쓰나, 3색 LED 하나를 쓰나!

그럼 이제 아주 간단한 3색 LED를 만들어 보기 위해 차근차근 알아가 보도록 하겠습니다!

항상 이제부터는 아두이노와 물리적인 부품들을 연결할 것이기 때문에, 부품의 스펙을 알아보고 아두이노와 어떻게 연결(배선)할지를 알아본 뒤, 코딩을 통하여 프로젝트를 완성할 것입니다.

그럼 일단 3색 LED 부품의 스펙을 먼저 알아보고 가겠습니다!

1. 3색 LED 스펙-

제가 사용하는 3색 LED 부품은 HW-479이지만, 다른 부품을 사용해도 상관이 없는게, 이 3색 LED는 무조건 4개의 핀으로 이루어져 있으며, 하나는 -로 표기되어있는 GND, 나머지 세 핀이 각 각 R, G, B를 입력받는 핀입니다.

각각, 앞면과 뒷면 이미지인데요! 각 핀이 어떤건지 너무 잘 나와있죠? 여기서 우리는 -에 아두이노 GND를, RGB에 각각 해당하는 핀을 연결할 겁니다!

그리고 오늘은 대망의 첫 부품을 가지고 진행하는 프로젝트인 만큼, 아두이노와 부품의 연결에 제일 중요한 두가지를 알아보려고 합니다.

바로 케이블(선)과 브레드보드(빵판) 입니다.

1. 케이블

케이블은 말 그대로 부품과 아두이노를 연결는 선 입니다.!

아두이노는 좋은 점이 '점퍼 케이블'이라고하는, 케이블 양 끝에 점퍼가 있는 케이블로 쉽게 연결을 할 수 있다는 점입니다.

따로 납땜을 하지 않아도 된다는 것이지요.

케이블에는 두가지 종류가 있습니다.

F-M(암-수) 케이블, 그리고 M-M(수-수) 케이블입니다.

2. 브레드보드(빵판)

브레드보드의 경우 크기는 매우 다양할 수 있습니다. 보통이 30 홀(hole)짜리 브레드보드를 쓰게되구요, 그거보다 작은 브레드보드도 있고, 저처럼 60 홀 짜리도 있고, 이보다 더 큰 것도 있습니다. 여기는 구멍이 나있어서 부품을 막 꽂을 수 있도록 되어있는데 여기서도 규칙이 있습니다.

자 위의 그림처럼, ABCDE끼리는 세로로 서로 연결되어있습니다.(가로로는 서로 끊어져 있습니다)[빨간선]

FGHIJ끼리도 세로로 연결되어있습니다.(가로로는 서로 끊어져 있습니다)[빨간선]

ABCDE와 FGHIJ는 끊어져있습니다.

제일 위에는 전원 선입니다. GND(-)[파란색] 라인과 전원(+)[빨간색] 라인이죠.

전원 선의 경우 가로로 쭉 이어져 있습니다. 당연히 +와 -간은 서로 끊어져 있구요.[주황선]

60홀의 경우 30홀을 기준으로 좌우가 끊어져있습니다.

지금은 개념이 어렵더라도 한번 읽고 머리에 기억해두면 이후에 소자를 연결하거나 할때 '왜 이렇게 꽂는지'에 대해서 이해하기 쉬워지니 그냥 가볍게 읽고 넘어가 봅시다! 간단하게 말하자면 저런 규칙이 있어서 브레드 보드를 쓸 수 있습니다.

참고로 브레드보드의 어원은 말 그대로 초기 비전문가들이 빵(브레드) 자르는 판(보드)에다가 회로를 구성했기에 브레드보드로 이름 붙었다네요! 빵판이라고도하죠!

* 그리고 여기서 아두이노와 부품을 연결하는 방식 두가지!

하나는 F-M케이블(암-수케이블)로 아두이노와 직접 연결!

또하나는 M-M케이블(수-수케이블)로 빵판(브레드보드)를 이용하여 연결!

이렇게 두가지 방법이 있습니다.

현재 3색 LED에는 내부적으로 내장 저항이 있어서 아두이노와 직접 F-M케이블로 연결해도 되지만, 보통 소자들은 내부적으로 저항이 없기 때문에, 브레드보드(빵판)에 부품을 꽂고, 저항을 꽂고, 거기에 M-M케이블로 연결하는 것이 보통입니다.

그렇기에 오늘은 브레드보드를 이용하여 아두이노와 소자를 케이블로 연결해보겠습니다.

2. 아두이노와 연결(배선)

배선 첫 시간이니 배선에 대해서 말씀드리자면, 가능한한 색을 다르게 써서 보기 편하게, 헛갈리지 않게 하는것이 중요합니다!

우선 전원 선(+선)은 빨간색, 접지 선(-선, GND선)은 까만색이 기본이고, 그 외에는 구분이 잘 가고 직관적인 색이면 됩니다!

오늘 저희는 전원 선이 따로 없기 때문에 RGB에 각각 빨간색, 초록색, 파란색 선을 쓸 것이고 GND에 검은색 선을 쓸 것입니다.

3색 LED이기 때문에 각 R, G, B에 입력신호를 줄 pin이 하나씩 있어야 겠죠? 그러니 일단 선 세개를 쓸 것이구요, 입력할때 전기를 넣어 줬으면 이 전기가 빠져나갈 곳이 있어야 하니 GND pin도 하나 있어야 하겠습니다. 결국 3색 LED는 선 4개로 아두이노와 연결하여 쓸 수 있습니다.

한번 부품도로 그려보면

이와 같이 되겠습니다. 별건 아니고요, 이 그림에서는 3색 LED 핀 순서가 R - B G 이기때문에 이런 식의 배선이 되었습니다만, 실제 부품에서는 부품 핀 순서가 - R G B 순서이므로 이렇게 꽂아주시면 됩니다.

아두이노에 연결할때는 아두이노 우노 기준으로 9번핀에 R, 10번핀에 B, 11번핀에 G를 할당해 주었고, GND(-)는 아두이노 GND핀에 바로 연결하였습니다.

실제로 부품을 꽂아봅시다!

'기기나 기판에 장치나 부품 따위를 실제로 사용할 수 있도록 설치'하는 것을 '실장하다'라고 하는데요, 실제로 부품을 실장해보면 위의 이미지와 같을 것입니다.

R, G, B, - 3색 LED 핀에 각각 9, 10, 11, GND를 연결해 주었습니다. 이로써 아두이노와 부품간 배선이 끝났습니다!

3. 코딩

저는 개인적으로 이 영역을 가장 좋아합니다. 이미 연결된 상태에서 코딩으로 이 부품을 자유자재로 다룰 수 있기 때문이죠!

자 일단 기본적인 세팅을 해 봅시다!

이전까지 저희가 열심히 설치했던 아두이노 IDE를 켜주세요!

처음 켜면

이렇게 setup 구간(함수)와 loop 구간(함수)로 구성되어 있는 것을 볼 수 있습니다.

아두이노의 가장 핵심적인 부분인데요, 아두이노는 처음 프로그램이 실행되면서 setup 함수에 있는 내용을 한번 쭉 실행한 뒤에 그뒤로는 loop 함수만 반복적으로 실행합니다. 즉, setup에는 말 그대로 이 프로그램에 대한 초기 셋팅들을 해주고 loop에서 아두이노가 계속적으로 처리할 내용을 적어주는거죠!

결국 아두이노는 setup -> loop -> loop -> loop ... 이렇게 실행하게 됩니다.

그럼 먼저 setup 영역부터 코딩해볼까요?

일단 아두이노는 각 핀에 대해서 정의를 내려줘야합니다.

'이 핀은 내가 전원을 내보낼 핀이야', '이 핀은 내가 전원을 읽을 핀이야' 이런식으로요!

이 정의를 해주는 함수는 pinMode()입니다. 이 함수는 값이 두개가 필요합니다. 핀 넘버와 핀 모드죠.

핀 넘버는 말그대로 저희가 사용할 pin입니다. 아두이노에 숫자로 써져있는거죠. 오늘 저희가 사용할 핀은 9, 10, 11번 핀입니다.

핀 모드는 내가 출력할거면 OUTPUT, 내가 읽을거면 INPUT을 쓰면 됩니다.

자, 이제 바로 코딩해보도록하겠습니다. 전원선과 GND선은 따로 핀모드 설정이 필요없기 때문에 RGB에 대응하는 9,10,11번 핀만 핀모드를 설정하겠습니다.

void setup(){
  pinMode(9, OUTPUT);
  pinMode(10, OUTPUT);
  pinMode(11, OUTPUT);
}

자, 그럼 이제 loop함수로 가볼까요!

가장간단하게 1초동안 빨간 불을 켜고, 바로 다음 1초동안 초록 불을 켜고, 바로 다음 1초동안 파란불을 켜보도록하겠습니다.

void loop(){
  digitalWrite(11, LOW);
  digitalWrite(9, HIGH);
  delay(1000);
  digitalWrite(9, LOW);
  digitalWrite(10, HIGH);
  delay(1000);
  digitalWrite(10, LOW);
  digitalWrite(11, HIGH);
  delay(1000);
}

여기서 digitalWrite는 0, 1 즉 켜고 끄는 걸로 해당 핀에 신호를 주겠다는 명령어이구요, delay는 ms단위로 쉬겠다는 의미입니다!

결국 완성된 코드는 다음과 같습니다!

void setup(){
  pinMode(9, OUTPUT);
  pinMode(10, OUTPUT);
  pinMode(11, OUTPUT);
}

void loop(){
  digitalWrite(11, LOW);
  digitalWrite(9, HIGH);
  delay(1000);
  digitalWrite(9, LOW);
  digitalWrite(10, HIGH);
  delay(1000);
  digitalWrite(10, LOW);
  digitalWrite(11, HIGH);
  delay(1000);
}

4. 결과

자, 그럼 배선과 코딩한 것을 바탕으로 결과를 한번 볼까요!?

자, 잘 돌아가는 것을 확인했습니다!

지금 현 상황에서 배선도 완료되어있고, 작동도 제대로 되고 있는 것을 확인했으니, 이제 코딩으로 다양한 활용이 가능해집니다!

더욱 자세한건 다음번에 알아보아요!

아참, 우리가 지금 한 것은 켜고 끄기만 하는 digitalWrite였는데요, 여기서 analogWrite는 0~255사이의 값을 PWM 방식으로 차등적으로 적용할 수 있습니다. 즉, '강도 조절'이 가능해진다는 말인데요!

이를 바탕으로 각 불이 점점 밝게 들어왔다가 꺼지는 것도 가능하답니다!

힌트는 여기까지! 다음번에 또 보아요~