빨간 삼각형과 비슷하게 밑변*높이*절반을 가져가려하나, 밑변에 해당하는 길이가 변수 a에 의해서 계속 변화합니다. 따라서 밑변은 변수 a에 의해 길이가 결정되는데, 이 법칙을 나타낸게 원의 방정식을 정리한 함수죠. 자세한 내용은 이전 포스팅에 있으니 여기서는 빠르게 수식을 세워보도록 하겠습니다.
그리고 이 파란 삼각형에서도 높이는 밑변에 tan값을 곱한 값이 되는데, 여기서 일반각은 평행한 두 직선 사이 엇각의 관계가 되므로(정확히는 내엇각(alternate interior angle)) 똑같이 $ \theta $가 됩니다.
$ \frac{a}{d} = s $ 로 놓겠습니다. 그럼 $ a = ds $도 성립하겠죠?
그리고 sin함수의 정의는 임의의 각 $ \theta $에 대해 그 직각삼각형의 $ \frac{높이}{빗변} $로 정의됩니다. 따라서 $ sin\theta = \frac{a}{d} $ 가 되겠네요. 그리고 $ \frac{a}{d} = s $니까, 삼단논법으로 $ sin\theta = s $입니다.
sin을 정의했으니 다른 삼각함수들도 정의해보죠. 삼각함수들은 하나가 정해지면 다른것들로도 다 변환이 된답니다. $ cos\theta = \sqrt{1-sin^2\theta} = \sqrt{1-s^2} $ $ tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta} = \frac{s}{\sqrt{1-s^2}} $
자, 이제 간단하게 할 준비는 다 끝났습니다. 수식정리하러가죠
부채꼴은 다음과 같이 정리될겁니다. $ sin\theta=s $면 $ \theta=arcsin\ s $겠죠?
요렇게 생긴 삼각형이랍니다. 정삼각형의 각 꼭지점에서 그 변을 반지름으로하는 호를 그렸을 때 만들어지는 도형이죠! 그리고 이 도형의 특징은! 바로 등폭도형(curve of constant width)이라는거죠! 그 뜻은 이 도형의 어느 양 끝을 기준으로 삼아도 폭이 일정하다는 말입니다.(그도그럴게 정삼각형의 한 변을 기준으로 각각 호를 그렸으니 너무나도 당연한 결과죠!) 그리고 여기서 폭은 정삼각형의 한 변의 길이가 됩니다. 그러나 오늘은 이 뢸로 삼각형을 소개하는 것 뿐만이 아니라, 이 뢸로삼각형을 같은 넓이로 4등분해 볼건데요! 왜 요런짓을 하는지는 나중에 마무리부분에서 보기로 하고 일단 4등분 고고싱 해보죠 고고싱~
수식세우기-
1] 전체 넓이 구하기
일단 4등분을 하려면 과거 >>직선 두개로 원 삼등분하기<<처럼 전체 넓이를 기준으로 계산을 하는 것이 편합니다. 따라서 이 뢸로 삼각형의 전체 넓이 S를 구해보겠습니다. 언뜻 '아니 곡선으로 이루어진 도형의 넓이를 어떻게 구해?' 싶지만, 의외로 부채꼴의 조합이므로 계산이 어렵지 않아요! [전체넓이 = 한 부채꼴의 넓이*3 - 삼각형의 넓이*2] 로 구할 수 있답니다! 여기서 부채꼴의 반지름 r은 등폭도형이므로 폭 d와 같습니다.(폭 d는 정삼각형 한 변의 길이와도 같죠) 또한 부채꼴의 각도는 60도이므로(정삼각형의 한 각과 같습니다) 라디안으로 쓰면 $ \frac{\pi}{3} $죠 한 부채꼴의 넓이: $ \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}d^2\frac{\pi}{3} $ 정삼각형의 넓이: $ \frac{\sqrt{3}}{4}d^2 $ 그렇다면 부채꼴 넓이 *3-정삼각형 넓이는 $ S = \frac{1}{2}d^2\frac{\pi}{3}*3 - \frac{\sqrt{3}}{4}d^2*2 $ $ S = \frac{1}{2}d^2(\pi - \sqrt{3}) $ 자, 그러면 이 전체넓이의 $ \frac{1}{4} $을 부분넓이 구하는 식에서 찾으면 되겠죠? $ \frac{S}{4} = \frac{1}{8}d^2(\pi - \sqrt{3}) $
2] 부분넓이 구하기
자, 이제 '어느 높이에서 이 뢸로 삼각형의 넓이는 이만큼입니다~'하고 알려주는 부분넓이 공식이 필요한데... 아무래도 호(arc)이다 보니 계산이 녹록치 않아보이죠? 일단 계산이 쉽게 좌표 세팅부터 해주겠습니다.
자, 먼저 정삼각형의 밑변을 x축에 접하게두고, y축의 중심에 놓습니다. 이렇게두면 정삼각형은 y축으로 이등분이 되는 꼴이 되겠죠, 그리고 좌우 대칭일 겁니다 이걸로 일단 4등분을 할 때 세로로 2등분은 해결이 되었습니다. 무조건 세로로 2등분하면 넓이는 절반이 되겠죠 그렇다면 가로로 2등분 점을 찾아야 한다는 결과에 도달합니다. 그러면 세로로 2등분, 가로로 어느정도 높이에서 2등분하면 전체 넓이의 $ \frac{1}{4} $이 되는 넓이가 나올겁니다. 이 높이를 찾으면 되겠네요. 폭이 d라고 했으니, 오른쪽 빨간색 호의 중심은 왼쪽아래 빨간점이 되겠고 좌표는 ($-\frac{d}{2}$, 0) 그러면 이 부채꼴의 원래 원의 방정식은 $ (x + \frac{d}{2})^2+y^2=d^2 $이 될겁니다. 그럼 이 식을 정리해서, x좌표에 대한 식으로 변형한 다음 0부터 어떤 지점 a까지 적분하면 이 뢸로삼각형의 부채꼴의 일부의 넓이를 구할 수 있겠네요! 이 넓이를 T라고 해보죠(a부터 $ \frac{\sqrt{3}}{2}d $까지 구할 수도 있으나, 밑끝이나 위끝에 0이 들어가야 적분식이 깔끔해지는 경향이 있어 그냥 0부터 적분하겠습니다.) 자, 근데 하나 문제가 있죠. 이거는 0부터 적분해가는 식인데, 저희가 놓은 좌표대로면 아래쪽 활꼴(주황색)의 넓이가 반영이 안됩니다. 근데, 뭐 이 활꼴의 넓이는 너무 쉬우니까 바로 계산해보죠 활꼴의 넓이 = 부채꼴의 넓이-삼각형의 넓이 $ A_{sector} = \frac{1}{2}d^2\frac{\pi}{3} $ $ A_{triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4}d^2 $ $ A_{segment} = \frac{1}{2}d^2\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{4}d^2 $ $ A_{segment} = \frac{1}{2}d^2(\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}) $ 근데 여기서 절반의 넓이만 포함되어야하므로 $ \frac{1}{2}A_{segment} = \frac{1}{4}d^2(\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}) $ 그러면 $ \frac{1}{4}S = \frac{1}{2}A_{segment} + T$(0부터 a까지 부채꼴의 일부의 넓이 적분) 이면 높이 a를 구할 수 있겠군요! 영역으로 보자면, 오른쪽 위에 해당하는 1사분면만 적분이 되어야 하구요 일단 찾은 원의 방정식을 정리해봅시다. $ (x + \frac{d}{2})^2+y^2=d^2 $ $ (x + \frac{d}{2})^2=d^2-y^2 $ $ x + \frac{d}{2}=\pm \sqrt{d^2-y^2} $ $ x=\sqrt{d^2-y^2} - \frac{d}{2} $ 로 정리가 되었습니다. 여기서 마지막줄로 정리할 때 제곱근의 양수만 취한 것은 오른쪽 영역만 표현하는 함수를 얻기 위함이며, y값이 음수와 양수를 모두 포함하더라도 적분 자체에서 0부터 a까지 적분할 예정이므로 y값의 영역이 정해지기에 문제가 없습니다! 그러면 적분을 해봅시다 $ T = \int_{0}^{a} (\sqrt{d^2-y^2} - \frac{d}{2}) dy $ $ T = \int_{0}^{a} \sqrt{d^2-y^2} dy - \int_0^a \frac{d}{2} dy $ $ T = \int_{0}^{a} \sqrt{d^2-y^2} dy - [\frac{d}{2}y]^a_0 $ $ T = \int_{0}^{a} \sqrt{d^2-y^2} dy - \frac{d}{2}a $ 자, 적분의 뒤쪽영역은 아주 쉽게 적분이 되었으나, 앞쪽은 쉽지 않아보이네요? 원을 적분할 때 가장 많이 쓰이는 트릭이 치환 적분에서 y를 r * sin t로 놓는 것입니다. 똑같이 적용해보죠 $ y = d*sin\theta $ $ dy = d*cos\theta d\theta $ $ T_1 = \int_{0}^{a} \sqrt{d^2-(d*sin\theta)^2} * d*cos\theta d\theta $ $ T_1 = \int_{0}^{a} d*\sqrt{1-(sin\theta)^2} * d*cos\theta d\theta $ $ T_1 = \int_{0}^{a} d^2*\sqrt{1-(sin\theta)^2} * cos\theta d\theta $ $ 1-sin^2\theta $는 항등식에 따라 $ cos^2\theta $와 같으니 $ T_1 = \int_{0}^{a} d^2*\sqrt{(cos\theta)^2} * cos\theta d\theta $ $ T_1 = \int_{0}^{a} d^2*cos\theta * cos\theta d\theta $ $ T_1 = \int_{0}^{a} d^2*cos^2\theta d\theta $ 여기서 삼각함수의 제곱은 적분불가하므로 더 쉬운 형태로 바꿔주겠습니다. cos 2배각을 이용하면 $ cos^2\theta = \frac{1+cos2\theta}{2} $ 이므로 $ T_1 = \int_{0}^{a} d^2*\frac{1+cos2\theta}{2} d\theta $ $ T_1 = \frac{d^2}{2}\int_{0}^{a} (1+cos2\theta) d\theta $ 자, 여기서 변수치환 했으니 당연히 아래끝 위끝도 변경해줘야합니다. 여기서 y가 0일땐, $ \theta $도 0이므로 아래끝은 동일하게 0이고, 위끝이 a인 경우엔, $ a = d*sin\theta $ $ \frac{a}{d} = sin\theta $ $ arcsin \frac{a}{d} = \theta $ 로 정리되므로, 위끝 아래끝 바꿔서 최종식을 써보면 $ T_1 = \frac{d^2}{2}\int_{0}^{arcsin \frac{a}{d}} (1+cos2\theta) d\theta $가 되겠네요 $ T_1 = \frac{d^2}{2}(\int_{0}^{arcsin \frac{a}{d}} 1 d\theta + \int_{0}^{arcsin \frac{a}{d}} cos2\theta) d\theta $ $ T_1 = \frac{d^2}{2} ([\theta]^{arcsin \frac{a}{d}}_{0}+ \int_{0}^{arcsin \frac{a}{d}} cos2\theta) d\theta $ $ T_1 = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + \int_{0}^{arcsin \frac{a}{d}} cos2\theta) d\theta $ $ T_1 = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + [\frac{1}{2}sin2\theta]^{arcsin \frac{a}{d}}_{0}) $ 여기서 sin 2t는 2sin t cos t와 같으므로 $ T_1 = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + [sin\theta cos\theta]^{arcsin \frac{a}{d}}_{0}) $ $ T_1 = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + sin(arcsin \frac{a}{d}) * cos(arcsin \frac{a}{d})) $ 여기서 arcsin은 sin의 역함수이므로 $ f(f^{-1}(x)) = x $를 이용하여 $ sin(arcsin \frac{a}{d}) = \frac{a}{d} $ cos(arcsin)의 경우 $ \theta = arcsin \frac{a}{d} $ $ sin \theta = \frac{a}{d} $ $ sin^2\theta + cos^2\theta = 1 $ $ cos\theta = \sqrt{1-sin^2\theta} $ $ cos\theta = \sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2} $ 로 정리되므로 $ T_1 = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + \frac{a}{d} \sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}) $ 이 되며 결국 총 식은 $ T = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + \frac{a}{d} \sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}) - \frac{d}{2}a $ 자, 이제 다 왔습니다. $ \frac{1}{4}S = \frac{1}{2}A_{segment} + T $ $ \frac{1}{8}d^2(\pi - \sqrt{3}) = \frac{1}{4}d^2(\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + \frac{a}{d} \sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}) - \frac{d}{2}a $ 식이 복잡하니 정리해보죠. 일단 $ \frac{2}{d^2} $으로 양변 곱해줍니다. $ \frac{1}{4}(\pi - \sqrt{3}) = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}) + (arcsin \frac{a}{d} + \frac{a}{d} \sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}) - \frac{a}{d} $ 풀어서 상수항 정리하면, $ \frac{\pi}{12} = arcsin(\frac{a}{d})+\frac{a}{d}\sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}-\frac{a}{d} $ 이 식에서 a를 찾아주면 영점에서 얼만큼 위로 올라가서 가로선을 그어야 4등분이 되는지가 나오며, 이를 $ \frac{\sqrt{3}}{2}d-a $를 하면 삼각형의 위쪽 꼭지점(주황색)으로부터의 거리를 구할 수 있습니다. 참고로 이 방정식은 초월방정식이라 사람이 일반해를 구할수는 없고, 계산기의 도움을 빌려야합니다. 이번에는 wolframalpha도 두손두발 들고 뻗어버렸기에, chatgpt를 이용하여 계산하면 gpt의 불확실한 결과(매번 결과가 달라지는)로 인해 다시 수식정리해서 wolframalpha로 계산하면 $ a = 0.268309283804244d $ 로 결과가 나오고, $ \frac{\sqrt{3}}{2}d-a $이 식에 넣어 계산하면 0.597716119980195d 라는 결과가 나오게 됩니다.
3] 수식적 결론
결국 폭의 0.5977위치에서(삼각형의 꼭지점에서부터 0.5977d 위치에서) 가로로 한번, 이후 세로로 중앙을 한번 자르면 정확하게 이 뢸로삼각형을 4등분 할 수 있습니다.(전체 폭의 60%쯤 되는 위치네요. 위와같은 형태에선 정확한 절반보다 조금 아래라고 생각하시면 될 것 같습니다.)
마무리-
이 뢸로삼각형은 의외로 활용도가 꽤 있습니다. 벽을 네모나게 뚫는 드릴도 이 뢸로삼각형을 응용하고 있으며, 무엇보다 폭이 어디에서재도 같다는 성질은 아주 요긴하게 쓰일 수 있습니다. 가령 약을 만들때도, 이 뢸로 삼각형의 모양대로 타정하면 약이 어떤 슬라이드를 지나갈때 막힘없이 원과 비슷하게 흘러갈 수 있겠죠 그래서 실제로 시판되는 약중에서도 이 뢸로삼각형의 모양인 약들이 꽤 있습니다. 그중에 대표적인게 바라크루드(Baraclude)인데요, 실제로 약의 정보를 보면 가로 세로 높이가 같은 뢸로삼각형임을 알 수 있습니다. 0.5mg 제형의 경우 8.4mm의 폭을 가지는데, 이걸 계산한 결과에 대입하면 삼각형의 한 꼭지점에서부터 5mm떨어진 지점에서 가로로한번 세로로한번 자르면 된다는 결론이 나오죠.
자, 이제 선의 길이를 구할 수있는 '도구'는 찾아내고 정의를 마쳤는데... 정작 이 사이클로이드의 한 점을 어떻게 x와 y로 표현할 수 있을 것인가!?
가장 쉬운 방법은 원이 어떤 각도 t만큼 돌아갔을 때 그 각도에 대해서 x와 y가 정의가 되므로 이를 이용하여 매개변수로 나타낼 수 있겠다!
출처: 나무위키
자, 가장 쉬운 y부터 보자, y는 원이 t만큼 돌아갔을 때(위 그림에서 $ \theta $), 반지름 r에 대해서 $ r - r cos t $만큼 움직인 것을 알 수 있겠는가?(위 그림에서 원이 $ \theta $만큼 돌아갔을 때 $ \overline{CI} - \overline{CK} $가 y의 위치임을 알 수 있다. 이를 $ \overline{CI} = r,\ \overline{CK} = r cos \theta $로 치환하면 바로 식이 나온다)
그럼 x는? 원이 t만큼 돌아갔을 때 원의 중심이 x축으로 이동한 거리는, 그 호의 길이와 같다. 왜냐고? 바닥에 원 둘레를 딱 붙이고 돌아갔을테니까!(위 그림에서 $ \overline{OI} = \overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{\rm PI} $)
그러면 원의 중심은 $ r t $(위 그림에서 $ \overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{\rm PI} = \overline{OI} $)만큼 움직였을 테고, 여기서 x는 $ r sin t $(위 그림에서 $ \overline{PK} $)만큼 원의 중심보다 뒤에 있을 테니 $ r t - r sin t $가 되겠다.
다시 쓰면
$ x = r t - r sin t = r(t-sin t) $ $ y = r - r cos t = r(1-cos t) $
자, 이렇게 x와 y좌표를 나타낼 수 있는 관계식도 찾았다! 그렇다면 이제 바로 선적분 들어가보자
2-3. 매개변수로 표현된 선적분 풀기!
$ dx = r(1-cos t) dt \Leftrightarrow \frac{dx}{dt} = r(1-cos t) $ $ dy = r sin t dt \Leftrightarrow \frac{dy}{dt} = r sin t $
전 포스팅에서 왜 특성방정식으로 풀 수 있지?하면서 파보다가, 어느 Quora글에서 "멱급수로 풀다보면 자연스럽게 나와~"라는 걸 보고 멱급수로 풀어보았네요. 얼추 비슷한 형태가 나오기는 하지만 엄밀하게 멱급수에서 도출 가능한 생성함수는 특성방정식으로 유도하는 것과는 -부호의 차이가 있습니다. 이를 감안하면 사실상 멱급수에서 도출하는 생성함수가 1.번으로 풀때 사용되는 근과 계수의 관계에서의 변환($ a_{n+2} = x^2 $)에서도 사용되고, 2.번으로 풀때 놓게 되는 $ a_{n} = x^n $과도 연관이 생기니 어떻게보자면 근원을 잘 판 것 같습니다.
2. 어떻게 풀건데?
2-1. 일단 멱급수가 뭔데?
멱급수는 영어로 Power series, 혹은 한자로 冪級數라고 쓰입니다.
네이버 지식백과의 설명을 보자면
일반적으로 $ \sum a_ń(x-a)^ń $인 꼴로 나타낼 수 있는 급수를 말한다. 정급수(整級數)라고도 한다. $ a_0, a_1, …, a_ń $이 상수, $ x $가 변수인 다항식 $ a_0+a_1 x+a_2 x^2+…+ a_ń x^ń $을 무한히 연장한 식
$ a_0+a_1 x+a_2 x^2+…+a_ń x^ń+… $
을 말한다. (후략) [네이버 지식백과] 멱급수 [power series, 冪級數] (두산백과 두피디아, 두산백과)
라네요. 결국 특정 상수와 변수를 무한히 더한 급수를 말합니다.
그리고 이 멱급수는 등비급수의 성질을 띄기 때문에 공비라고 볼 수 있는 x의 값에 따라 수렴/발산이 정해지게 되는데, 이번에 저희는 이 멱급수의 특성을 가지고 상수항을 만들어내는 생성함수를 찾아낼 것이기 때문에 사실상 변수의 상태가 크게 중요하지 않게됩니다. 그래서 저희는 여기서 Formal power series(굳이 한국어로 번역하자면 형식적 멱급수?)를 사용할 것입니다. Formal의 뜻은 말그대로 '형식적'이라는 말로 공비 x의 범위를 따지지 않을 것이야요~ 하는 말입니다.
2-2. 시작은 어떻게 할건데?
자, 일단 처음 식을 놓는 것 부터가 아주 중요할 것 같네요. 천릿길도 한걸음부터!
일단 생성함수를 정의해보죠. 아까 보았던 멱급수를 그대로 대입해 줄 겁니다.
생성함수라고 해서 별거 없습니다. 그냥 '어떤 수를 생성하는 규칙을 가진 함수'라고 보면 됩니다.
Generating function(생성함수)의 이름을 따서 $ g(x) $라고 정의해봅시다!
참고로 여기서는 수열의 첫 항이 1이 아니라 0이므로 일반항에서 지수항이 n이 아니라 n+1인 점을 주목해주세요
진짜 맞는지 직접 값을 대입해봅시다.
$ F_{-1} = \frac{1}{\sqrt5} \left(( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} )^{0}-( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} )^{0}\right) = 0 $ (실제 피보나치 수열에는 없는 부분이지만 1, 1, 2, 3, 5... 식으로 앞의 두 수를 더해서 다음 수가 나오는 것으로 생각해보면 초항 앞은 0임을 생각해 볼 수 있습니다.)
사실 작성하던 중에는 크게 못느꼈는데, 다른 사람에게 설명을 하던 중 특성방정식을 잠깐 빌려와서 근과 계수와의 관계로 풀어내는 과정에서 '왜 $ a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} \Leftrightarrow x^2 = x + 1 $ 인가?'에 대해서 너무나도 당연하게 받아들였다는 것을 깨닫고 추가로 더 공부해본 결과 이를 '특성방정식'이라고 한다는 것을 알게되고, 이에 포스팅을 작성한다.
점화식에서의 특성방정식(characteristic equation)
점화식을 풀 때 우리는 특성방정식(characteristic equation)을 이용해서 해결을 하게 된다. (과거 고등학교 수학에서 나왔던 점화식의 해결법(계차의 등비수열로 해결)도 어떻게보면 특성방정식의 활용이다.)
그런데 '왜 특성방정식을 사용해서 점화식을 푸는가?'에 대해서 궁금하진 않은가? 그냥 된다니까 하기에는 조금 껄쩍지근하다.
한줄로 정의해보자면 '점화식 자체로는 뭔가를 찾기 힘드니까 본질이 같은 다른 것으로 바꾸어서 해를 찾자'이다.
여기서 좀 더 자세히 따져보자면 '본질이 같은'은 '같은 선형성을 가지는'이란 의미이고 '다른 것'은 '기저(basis)'를 뜻한다. (갑자기 대수학에서 벡터공간에서 쓰는 '기저'라는 단어가? 싶기도 하겠지만, 사실 모든 '함수'는 벡터공간 안에서 구현이 가능하다는 점을 보면 이해할 수 있을 것이다.)
진짜 결국 그냥 '쉽게 구할 수 있는 걸로 변형하자!'이거다..
보통은 점화식 뿐만 아니라 미분방정식, 선형대수에 모두 사용가능하기 때문에 '특성방정식'이라고 검색하면 사실 점화식보다는 미분방정식이나 선형대수 관련한 벡터공간 관련 내용 더 나아가 고유값/고유벡터 등이 나오게 된다.(사실 고유값분해를 대충이라도 이해할 수 있다면 특성방정식이 뭐하는 놈인지는 쉽게 이해가 간다)
그러나 일단은 이렇게 복잡한 내용 이전에 여기서는 아주 간단하게 점화식에 대해서만 설명해보기로 한다.
이제부터 이해해야 하는 키워드는
1. 점화식의 구분 *선형성 *선형의 또다른 의미 2. 특성방정식이란 이다.
차례대로 알아보자
1. 선형성(linearity)이란 무엇인가?
선형성을 만족시키기 위해서는 두 가지 조건인 가산성(Additivity)와 동차(제차)성(Homogeneity)을 만족해야한다.
-가산성(Additivity)은 f(a)+f(b)=f(a+b)를 만족하는 함수를 말한다. 다른말로는 중첩의 원리(principle of superposition)라고도 한다.
-동차(제차)성(Homogeneity)이란 f(ax)=af(x)를 만족하는 함수를 동차성이 있다고 한다.(일부 서적의 번역으로는 제차성이라고한다) 쉽게말해 입력이 조정된 비율만큼 동일하게 결과도 조정된 값이 나온다는 것이다. 선형성과 마찬가지로 상수항이 없는 함수에 대하여 성립하며, 상수항(혹은 이에 준하는 상수를 출력하는 함수)이 있는 경우 동차성에 위배된다.
간단하게 선형성과 동차성에 대해 쉽게 알 수 있는 예제가 있다.
y=ax+b는 선형인가?
가산성을 먼저 살펴보자 f(x1)+f(x2)=f(x1+x2)이면 가산성이 있는 함수이다. a(x1+x2)+2b $ \neq $ a(x1+x2)+b 가산성에 위배된다.
근데 신기한건 엄밀한 선형이 아닌데도 '선형'이라는 단어를 붙이는 경우가 있다는 것이다. 아니 또 이것은 무엇인가? 선형이 아닌데 선형이라고?
아까 선형성의 정의에서 '가산성'을 보았다. 여기서 파생되어서 덧셈으로 연결되는 함수들을 보고 '함수들이 선형 결합을 한다'라고 말한다.
그리고 이게 줄어들어서 '선형'이 된 것이다.
그래서 다항함수는? 선형 함수이다. 만약 상수항이 없다면 엄밀한 '선형'함수이고, 상수항이 있다면 선형(결합을 한)함수이다.
따라서 특정 계수의 곱을 통한 덧셈으로 정의되는 일반적인 점화식의 경우 선형이다.
그러면 이렇게 선형이라는 말을 막쓰면, '엄밀한 선형'인지 '일반적 선형'인지는 또 어떻게 알 것인가?
그래서 선형이란 말 뒤에 '동차' 혹은 '비동차'라는 말을 써준다.
이렇게 되면 '선형 동차 점화식' 혹은 '선형 비동차 점화식'이라는 말이 생겨날 수 있는데, 결국 이 단어로 구분이 완벽하게 되는 것이다.
선형 동차 점화식: 모든 항이 선형 결합을 한 상태이며, 상수항(혹은 그에 준하는 상수를 출력하는 함수)이 없는 점화식 선형 비동차 점화식: 모든 항이 선형 결합을 한 상태이며, 상수항(혹은 그에 준하는 상수를 출력하는 함수)이 있는 점화식
자 이제 점화식의 종류에 대해서 알아보았다. 사실 '비'자가 붙으면 뭐든 어려워진다. 선형함수보다 비선형함수가 어렵고, 동차보다는 비동차가 어렵다. 현재 이 포스팅은 '쉽게!' 알아보려는게 목적이므로 앞으로는 '선형 동차'에 대해서만 써보려고한다. 이제 '특성방정식'이란게 뭔지 알아보러가자.
2. 특성방정식이란?
선형 동차 점화식은 결국 선형성을 띈다. 그리고 이것은 점화식의 어떠한 해 a, b에 대하여 이 둘에 특정 계수를 곱한 선형결합역시도 점화식을 만족시킨다는 것이다. 결국 어떠한 해를 찾고 이 해에 곱해지는 계수를 찾으면 점화식을 풀어낼 수 있다(일반항을 구할 수 있다)는 것이다.
그럼 일단 이 '어떠한 해'를 찾아야하는데, 이게 그냥 점화식만 뚫어져라 쳐다보면 툭 답이 나오는 것도 아니고.. 참 힘들다. 그래서 이 어떠한 해를 찾기위해 우리는 주어진 점화식을 변형할 것이다. 어떻게? '같지만 다르게!' 같은 선형결합을 가지지만, 이 점화식을 다른 각도로 볼 수 있는 새로운 '틀'(=기저)을 찾아서 바꿔주면 될 것이다. 결국 이 '틀'은 진짜 오만가지 것이 다 되지만, 제일 간단하며 우리가 무언가를 찾아내기 쉬운 틀은 $ x^n $일 것이다. x를 찾아내면 점화식의 어떠한 해를 찾아낸 것이며, 이 어떠한 해에 특정 계수를 곱한 선형결합이 점화식을 만족시킬 것이기 때문이다. 그리고 새로운 틀을 $ x^n $으로 정의했으니, 이 틀을 이용해 만든 변화시킨 점화식에서는(해가 두개라고 가정하면) $ k_1 * x_{1}^n + k_2 * x_{2}^n $이 일반적인 해를 나타낸다고 볼 수 있겠다. 그렇다면 결국 $ a_n $이라는 수열을 새로운 틀 $ x^n $으로 놓게 된 것이다.
좀 더 이해를 쉽게하기위해서 하나의 예시를 가지고 논지를 진행시켜보자
$ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} $
라는 점화식이 있다고하자(상수항이 없는 이유는? 우리는 현재 선형 동차 점화식에 대해서 보고있다.) 이 점화식에서는 차수(order)가 2이다. 갑자기 뜬금없이 차수? 선형 동차 점화식이 몇개의 항으로 연결되었는가를 나타내는 것으로, 선형적인 다항함수의 차수와 그 의미가 같다.
이를 새로운 틀 $ x^n $으로 치환하면 $ x^n = x^{n-1} + x^{n-2} $ 차수로 n을 제한하면(n의 최대값은 차수가 된다) $ x^2 = x + 1 $ 이 된다. (위에서도 논의했듯이 항이 두개로 연결된 점화식은 두개의 해를 가지며, 두개의 해를 가지기 위해서는 다항함수의 차수=수열의 항수 이다)
자, 여기까지의 논지가 바로 이전 포스팅(피보나치 수열의 일반항 구하기)에서 근과 계수와의 관계를 사용하기 위해 살짝 빌려왔던 개념되겠다. 모르고 그냥 받아들여도 크게 문제없지만 알면 더 신기한 그런거다.
각설하고, 더 논지를 진행시켜보자.
$ x^2 - x -1 = 0 $의 형태로 바꾸어 방정식을 만들어주고
여기서 해를 구하면 $ x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \mathrm{ or } \frac{1-\sqrt{5}}{2} $ 이 나오며
이 두개의 해의 특정 상수배씩의 선형결합이 이 점화식의 일반항이 된다. (더 나아가서, 같은 말로 '특정한 벡터'를 고유값(eigen value, 아이젠 밸류)과 고유벡터(eigen vector, 아이젠 벡터)로 분해하였을 때, 두개의 고유벡터에 특정 상수배(고유값)씩의 선형결합이 '특정한 벡터'가 된다는 것과 동일하다.)
$ a_n = k_1 * x_{1}^n + k_2 * x_{2}^n $
이때 특정 상수배($ k_1, k_2 $)를 구하는 방법은, 초기 조건을 가지고 구하면 된다.
전 포스팅에서는 특성방정식을 그대로 이용하지 않고, 특성방정식의 아주 일부분만 잠깐 빌려다가 쓰고(특성 방정식에서 '틀'을 바꿔 수열을 잠깐 다항함수의 방정식 형태로 바꾼 뒤 근과 계수와의 공식으로 수열의 계수를 바꾼 정도) 계차의 공비를 구하는 식으로 점화식을 풀어내었다.
솔직히 전 포스팅에서는 이정도로 자세하게 특성방정식의 개념과 그 활용을 사용하지 않았기에 '일단 받아들여보세요~'하고 진행하였지만(사실 그 부분만 참고 넘어가면 이후에 유도하는데는 전혀 문제가 없다) 이후 좀 더 자세한 설명이 필요해보이기에 추가 포스팅한다.
저번시간까지 아두이노를 컴퓨터와 연결하고, 예제 프로젝트를 실행해보고(블링크(Blink)), 외부라이브러리까지 추가해보았는데요!
오늘은 대망의 아두이노 외에 다른 '부품'(혹은 '소자' 라고도 하죠?)을 써보는 프로젝트를 해보도록 하겠습니다! 와~
대망의 첫 부품은 아주아주 간단한 3색 LED입니다!
그냥 LED도 아니고, 왜 3색이냐구요..?
어차피 그냥 LED와 3색 LED가 큰 차이가 없기 때문입니다. 그냥 R/G/B, 레드/그린/블루 LED 3개를 쓰나, 3색 LED 하나를 쓰나!
그럼 이제 아주 간단한 3색 LED를 만들어 보기 위해 차근차근 알아가 보도록 하겠습니다!
항상 이제부터는 아두이노와 물리적인 부품들을 연결할 것이기 때문에, 부품의 스펙을 알아보고 아두이노와 어떻게 연결(배선)할지를 알아본 뒤, 코딩을 통하여 프로젝트를 완성할 것입니다.
그럼 일단 3색 LED 부품의 스펙을 먼저 알아보고 가겠습니다!
1. 3색 LED 스펙-
제가 사용하는 3색 LED 부품은 HW-479이지만, 다른 부품을 사용해도 상관이 없는게, 이 3색 LED는 무조건 4개의 핀으로 이루어져 있으며, 하나는 -로 표기되어있는 GND, 나머지 세 핀이 각 각 R, G, B를 입력받는 핀입니다.
각각, 앞면과 뒷면 이미지인데요! 각 핀이 어떤건지 너무 잘 나와있죠? 여기서 우리는 -에 아두이노 GND를, RGB에 각각 해당하는 핀을 연결할 겁니다!
그리고 오늘은 대망의 첫 부품을 가지고 진행하는 프로젝트인 만큼, 아두이노와 부품의 연결에 제일 중요한 두가지를 알아보려고 합니다.
바로 케이블(선)과 브레드보드(빵판) 입니다.
1. 케이블
케이블은 말 그대로 부품과 아두이노를 연결는 선 입니다.!
아두이노는 좋은 점이 '점퍼 케이블'이라고하는, 케이블 양 끝에 점퍼가 있는 케이블로 쉽게 연결을 할 수 있다는 점입니다.
따로 납땜을 하지 않아도 된다는 것이지요.
케이블에는 두가지 종류가 있습니다.
F-M(암-수) 케이블, 그리고 M-M(수-수) 케이블입니다.
F-M 케이블M-M 케이블
2. 브레드보드(빵판)
브레드보드의 경우 크기는 매우 다양할 수 있습니다. 보통이 30 홀(hole)짜리 브레드보드를 쓰게되구요, 그거보다 작은 브레드보드도 있고, 저처럼 60 홀 짜리도 있고, 이보다 더 큰 것도 있습니다. 여기는 구멍이 나있어서 부품을 막 꽂을 수 있도록 되어있는데 여기서도 규칙이 있습니다.
자 위의 그림처럼, ABCDE끼리는 세로로 서로 연결되어있습니다.(가로로는 서로 끊어져 있습니다)[빨간선]
FGHIJ끼리도 세로로 연결되어있습니다.(가로로는 서로 끊어져 있습니다)[빨간선]
ABCDE와 FGHIJ는 끊어져있습니다.
제일 위에는 전원 선입니다. GND(-)[파란색] 라인과 전원(+)[빨간색] 라인이죠.
전원 선의 경우 가로로 쭉 이어져 있습니다. 당연히 +와 -간은 서로 끊어져 있구요.[주황선]
60홀의 경우 30홀을 기준으로 좌우가 끊어져있습니다.
지금은 개념이 어렵더라도 한번 읽고 머리에 기억해두면 이후에 소자를 연결하거나 할때 '왜 이렇게 꽂는지'에 대해서 이해하기 쉬워지니 그냥 가볍게 읽고 넘어가 봅시다! 간단하게 말하자면 저런 규칙이 있어서 브레드 보드를 쓸 수 있습니다.
참고로 브레드보드의 어원은 말 그대로 초기 비전문가들이 빵(브레드) 자르는 판(보드)에다가 회로를 구성했기에 브레드보드로 이름 붙었다네요! 빵판이라고도하죠!
* 그리고 여기서 아두이노와 부품을 연결하는 방식 두가지!
하나는 F-M케이블(암-수케이블)로 아두이노와 직접 연결!
또하나는 M-M케이블(수-수케이블)로 빵판(브레드보드)를 이용하여 연결!
이렇게 두가지 방법이 있습니다.
현재 3색 LED에는 내부적으로 내장 저항이 있어서 아두이노와 직접 F-M케이블로 연결해도 되지만, 보통 소자들은 내부적으로 저항이 없기 때문에, 브레드보드(빵판)에 부품을 꽂고, 저항을 꽂고, 거기에 M-M케이블로 연결하는 것이 보통입니다.
그렇기에 오늘은 브레드보드를 이용하여 아두이노와 소자를 케이블로 연결해보겠습니다.
2. 아두이노와 연결(배선)
배선 첫 시간이니 배선에 대해서 말씀드리자면, 가능한한 색을 다르게 써서 보기 편하게, 헛갈리지 않게 하는것이 중요합니다!
우선 전원 선(+선)은 빨간색, 접지 선(-선, GND선)은 까만색이 기본이고, 그 외에는 구분이 잘 가고 직관적인 색이면 됩니다!
오늘 저희는 전원 선이 따로 없기 때문에 RGB에 각각 빨간색, 초록색, 파란색 선을 쓸 것이고 GND에 검은색 선을 쓸 것입니다.
3색 LED이기 때문에 각 R, G, B에 입력신호를 줄 pin이 하나씩 있어야 겠죠? 그러니 일단 선 세개를 쓸 것이구요, 입력할때 전기를 넣어 줬으면 이 전기가 빠져나갈 곳이 있어야 하니 GND pin도 하나 있어야 하겠습니다. 결국 3색 LED는 선 4개로 아두이노와 연결하여 쓸 수 있습니다.
한번 부품도로 그려보면
이와 같이 되겠습니다. 별건 아니고요, 이 그림에서는 3색 LED 핀 순서가 R - B G 이기때문에 이런 식의 배선이 되었습니다만, 실제 부품에서는 부품 핀 순서가 - R G B 순서이므로 이렇게 꽂아주시면 됩니다.
아두이노에 연결할때는 아두이노 우노 기준으로 9번핀에 R, 10번핀에 B, 11번핀에 G를 할당해 주었고, GND(-)는 아두이노 GND핀에 바로 연결하였습니다.
실제로 부품을 꽂아봅시다!
'기기나 기판에 장치나 부품 따위를 실제로 사용할 수 있도록 설치'하는 것을 '실장하다'라고 하는데요, 실제로 부품을 실장해보면 위의 이미지와 같을 것입니다.
R, G, B, - 3색 LED 핀에 각각 9, 10, 11, GND를 연결해 주었습니다. 이로써 아두이노와 부품간 배선이 끝났습니다!
3. 코딩
저는 개인적으로 이 영역을 가장 좋아합니다. 이미 연결된 상태에서 코딩으로 이 부품을 자유자재로 다룰 수 있기 때문이죠!
자 일단 기본적인 세팅을 해 봅시다!
이전까지 저희가 열심히 설치했던 아두이노 IDE를 켜주세요!
처음 켜면
이렇게 setup 구간(함수)와 loop 구간(함수)로 구성되어 있는 것을 볼 수 있습니다.
아두이노의 가장 핵심적인 부분인데요, 아두이노는 처음 프로그램이 실행되면서 setup 함수에 있는 내용을 한번 쭉 실행한 뒤에 그뒤로는 loop 함수만 반복적으로 실행합니다. 즉, setup에는 말 그대로 이 프로그램에 대한 초기 셋팅들을 해주고 loop에서 아두이노가 계속적으로 처리할 내용을 적어주는거죠!
결국 아두이노는 setup -> loop -> loop -> loop ... 이렇게 실행하게 됩니다.
그럼 먼저 setup 영역부터 코딩해볼까요?
일단 아두이노는 각 핀에 대해서 정의를 내려줘야합니다.
'이 핀은 내가 전원을 내보낼 핀이야', '이 핀은 내가 전원을 읽을 핀이야' 이런식으로요!
이 정의를 해주는 함수는 pinMode()입니다. 이 함수는 값이 두개가 필요합니다. 핀 넘버와 핀 모드죠.
핀 넘버는 말그대로 저희가 사용할 pin입니다. 아두이노에 숫자로 써져있는거죠. 오늘 저희가 사용할 핀은 9, 10, 11번 핀입니다.
핀 모드는 내가 출력할거면 OUTPUT, 내가 읽을거면 INPUT을 쓰면 됩니다.
자, 이제 바로 코딩해보도록하겠습니다. 전원선과 GND선은 따로 핀모드 설정이 필요없기 때문에 RGB에 대응하는 9,10,11번 핀만 핀모드를 설정하겠습니다.
가끔씩 우리는 아두이노에서 병렬처리(한번에 두 가지 이상의 작업을 동시에 수행하는 것)가 필요할 때가 있습니다. 아두이노의 loop는 사실상 ms단위로 작동하기 때문에 구문을 나열해도 거의 동시에 처리되는 것처럼 보이긴 합니다. 그렇기에 평상시에는 크게 병렬처리에 대해서 생각할 필요가 없는데요. 그러나 LED핀을 깜빡이는데 가장 간편하게 사용하는 delay()함수가 들어가게 되면, 여기서부터 골치가 아파집니다. 왜냐하면 delay()함수를 사용하게 되면 아두이노가 프로그램을 일시 중지되기 때문이죠. 따라서 delay()함수가 작동하게 되면 지정한 시간만큼 프로그램이 일시 중지되고, 그 사이에는 다른 구문을 작동할 수가 없습니다. 예를들어 delay()함수 작동 중 버튼 눌림 체크가 불가능 하다거나, 다른 명령어 작동이 불가능하죠.
오늘 올릴 포스팅은 delay()함수를 사용하지 않고 LED를 깜박이는 방법에 대해 작성할 겁니다.
간단하게 개요부터 말씀드리자면, 1) delay()를 사용하지 않고 2) LED를 켜고(끄고) 시간(ms 단위)을 기록하고(millis() 함수) 3) 이 시간이 원하는 시간이 지났는지 확인하고 4) 시간이 지났으면 LED를 끕(켭)니다.
이렇게되면, delay()로 아두이노를 일시중지 시키지 않고 loop()함수가 살아서 계속 반복적인 작업이 이루어지므로 LED가 깜빡거리는 동안 다른 작업이 가능해집니다.
쉬운 예시로 전자레인지에 피자데우기를 들 수 있습니다. 자, 전자레인지에 피자를 넣고 전자레인지를 작동시킵니다. 여기서 1) delay()함수로 10초간 기다리라고 하는 말의 의미는 전자레인지 앞에서 10초가 다 지나가기를 가만히 기다리라는 의미입니다. 결국 그동안에 다른 일은 못하죠! 2) 그러나 우리가 만약에 두가지 일을 하고 싶다면 어떻게 하나요? 전자레인지에는 시간 카운터가 달려있기에 전자레인지를 돌리고 짧은시간 다른 용무를 보고와서 전자레인지 시계를 확인하고, 10초가 지났는지 확인하고, 만약 10초가 지났으면 꺼내서 먹으면 됩니다!
1. 배선
우리는 아주 간단하게 실험해 볼 것이므로 내장된 Blink예제를 사용해보도록하죠!(즉, 따로 배선이 필요 없습니다) Blink예제는 >>링크<< 포스팅에서 다루었습니다. 링크의 포스팅을 따라 블링크 예제를 불러와봅시다!
2. 코딩
블링크 예제의 코드는 아래와 같습니다.(상단의 주석부분은 제거하였습니다.)
// 보드의 파워나 리셋 버튼을 눌렀을 때 이 setup 함수는 한번만 작동합니다.
void setup() {
// digital pin인 LED_BUILTIN을 output으로 초기화 합니다.
pinMode(LED_BUILTIN, OUTPUT);
}
// 이 loop 함수는 계속 계속 영원히 반복하여 작동합니다.
void loop() {
digitalWrite(LED_BUILTIN, HIGH); // LED 켜기 (HIGH는 전압 레벨)
delay(1000); // 1초간 기다리기
digitalWrite(LED_BUILTIN, LOW); // 전압을 LOW로 설정하여 LED 끄기
delay(1000); // 1초간 기다리기
}
자, 여기서 delay(1000) 즉, 1초간 아무것도 안하고 아두이노한테 기다리라고 하는 부분을 바꿔봅시다!
위의 예시에서 전자레인지의 시간만 중간중간 확인 가능하다면, 굳이 전자레인지 앞에서 지켜보고 있을 필요가 없다고했죠? 그러니 시간을 확인할 수 있는 함수를 알아봅시다!
millis()라고 하는 함수는 아두이노가 실행된 시점부터 내부적으로 카운팅하고 있는 밀리초의 시간을 반환하는 함수입니다. 즉, 이 millis()를 쓰면 중간중간 시간확인이 가능하다는 말이죠!
프로그램의 골자를 생각해봅시다. 1) 전자레인지를 돌리고 시간을 본다 => LED를 켜고 millis()로 시간을 확인한다(변수에 저장한다) 2) 시간을 확인한다 => 현재 시간이 처음 LED를 켠 시간에 비해 얼마나 지났는지 확인한다(현재시간 - LED 켠 시간) 3) 정해진 시간이 지났으면 피자를 꺼내먹는다 => [(현재시간 - LED 켠 시간) > 정해진 시간]이면 LED를 끈다
자, 모든 조건을 만족하게 프로그래밍을 이렇게 하면... 작동하지 않습니다! 왤까요? loop함수는 아두이노가 작동하는한 끊임없이 반복된다고 했습니다. 그런데 이 loop함수 내부에서 시작한 시간을 변수에 저장시키면, 매 loop함수가 작동할 때마다 변수에 새로운 값이 저장되기에 정확히 시작한 시간을 알 수 없죠! 그러면 대안은? 가장간단한건 loop함수 밖에서 시작시간을 설정해주거나, loop내에서도 일정한 조건일 때만 변수에 값을 넣어주는 겁니다. 게다가 loop함수 내부에서 digitalWrite(LED_BUILTIN, HIGH) 구문이 있기때문에 사실 LED_BUILTIN은 계속 켜져있을 겁니다. 일단은 가장 간단하게 갑시다! loop함수 밖에서 시작시간과 LED 켜기를 설정해줍시다.
unsigned long startMillis = millis(); // 전역변수는 함수 밖에 있어야 합니다.
void setup() {
// digital pin인 LED_BUILTIN을 output으로 초기화 합니다.
pinMode(LED_BUILTIN, OUTPUT);
// 1)
digitalWrite(LED_BUILTIN, HIGH);
}
// 이 loop 함수는 계속 계속 영원히 반복하여 작동합니다.
void loop() {
if(millis()-startMillis >= 1000){
startMillis = millis();
digitalWrite(LED_BUILTIN, LOW);
}
}
자, 이러면 작동합니다! 그러나 딱 한번만 작동합니다! 왤까요? 말그대로 1] 시작하면서 LED켜고 시간측정해! 2] 타이머가 1초가 지나가면 꺼! 끝이기 때문이죠. 1초가 지나면 꺼진상태가 그대로 유지됩니다. 그러면 어떻게 이 친구를 깜빡거리게(토글) 할 수 있을까요? 가장 간단한건 '1초일땐 꺼, 2초일땐 켜, 3초일땐 꺼...'지만, 이러면 모든 시간을 다 기록해줘야하죠..? 조금 더 머리를 써 봅시다. 지금 현재 LED 상태를 기억했다가 1초가 됐을 때 현재 LED상태를 보고 반대상태로 만들어주면 매 초마다 코딩을 하지 않아도 되지 않을까요!? 바로 실험해봅시다!
// 전역변수는 함수 밖에 있어야 합니다.
bool ledState; // led상태를 알 수 있는 변수를 하나 만듭니다. bool은 int와 다르게 참/거짓의 딱 두가지 값만 가질 수 있습니다. 우리는 결국 led가 켜졌냐/꺼졌냐 만 사용할 것이므로 bool을 사용합니다.
unsigned long startMillis = millis(); // 그리고 led 상태를 기록한 시간을 기록합시다.
void setup() {
// digital pin인 LED_BUILTIN을 output으로 초기화 합니다.
pinMode(LED_BUILTIN, OUTPUT);
// 1)
ledState = HIGH; // 그리고 바로 led를 켜지 말고, '상태'를 입력해주죠. 현재 led는 '켜짐상태'입니다.
}
// 이 loop 함수는 계속 계속 영원히 반복하여 작동합니다.
void loop() {
if(millis()-startMillis >= 1000){ // led상태를 기록한 시간(startMillis)와 현재 시간(millis())를 비교해서 1초(1000ms)가 지났는지 판단합니다. 지났으면 if문 안으로! 만약 1초가 지나지 않았으면 이 if문은 통과합니다!
if(ledState == HIGH){ // 현재 led상태를 확인합니다. 현재 led가 '켜짐상태'이면 '꺼짐상태'로, '꺼짐상태'이면 '켜짐상태'로 바꿔줄 겁니다.
ledState = LOW; // 현재 led 상태가 '켜짐상태'였기에 '꺼짐상태'로 바꿔줍니다.
}
else{ // 아니면! 즉, 현재 led상태가 '꺼짐상태' 면
ledState = HIGH; // 현재 led 상태를 '켜짐상태'로 바꿔줍니다.
}
startMillis = millis(); // 그리고 상태를 바꿔줬으니 바로 상태를 기록한 시간을 다시 기록합니다.
}
digitalWrite(LED_BUILTIN, ledState); // 마지막으로 '상태'를 LED에 진짜로 반영해줍니다!
}
자, 이 구문은 제대로 잘 작동합니다! 1초마다 LED_BUILTIN이 켜졌다 꺼졌다 하는군요! 전체적으로 작동로직을 한번 살펴볼까요? 처음 시작하면 setup함수 내부에서 LED를 '켜짐상태'로 설정하고, 그 시간을 기록합니다. 그리고 loop함수로 넘어오죠. loop함수에서는 시작한시간과 현재시간을 비교하는데, 시작하고 1초도 지나지 않았습니다. 따라서 첫 if문은 바로 통과! 그 이후 loop함수 마지막에 digitalWrite로 LED_BUILTIN에 실제적으로 '상태'를 반영해줍니다. 결국 LED는 켜지고, 1초뒤에 첫번째 if문 안으로 들어갑니다. 첫번째 if문 안에서 현재 led상태가 HIGH이므로 두번째 if문으로 들어가 ledState를 LOW로 바꿔주고, 상태를 바꾼 시간을 다시 기록하고 if문을 빠져나와 digitalWrite로 LED_BUILTIN에 실제적으로 '상태'를 반영해줍니다. 그리고 이 반복이죠!
3. 더 나아가기
사실 위의 프로그램(스케치)은 loop함수 작동시마다 계속 digitalWrite를 부릅니다. 즉, 1초마다 한번씩만 바꿔주면 되는걸, 1초가 되기 전에 계속 '켜 켜 켜 켜 켜 켜 켜 켜'하고 반복신호를 주는거죠.(그리고 사실 이게 병렬처리가 되는 이유기도 합니다. 시간 체크하는 동안 계속해서 신호를 주는거죠.) 1초마다 신호를 주고, 더 짧은 코드를 공개합니다. 이번엔 주석을 지울테니 보고 더 생각해보세요!
매개변수로 지정된 시간(밀리초(millisecond, ms)) 동안 프로그램을 일시 중지합니다. (1초(s)는 1000밀리초(ms)입니다.)
문법(syntax):
delay(ms)
매개변수(parameters):
ms: 일시 중지할 시간(밀리초)입니다. 허용되는 데이터 유형: unsigned long(부호없는 정수).
리턴값(returns):
없음
예제 코드:
이 코드는 출력 핀을 토글하기 전에 프로그램을 1초 동안 일시 정지합니다.
int ledPin = 13; // 디지털 핀 13에 연결된 LED
void setup() {
pinMode(ledPin, OUTPUT); // 디지털 핀을 출력으로 설정합니다.
}
void loop() {
digitalWrite(ledPin, HIGH); // LED를 켭니다.
delay(1000); // 1초간 기다립니다.
digitalWrite(ledPin, LOW); // LED를 끕니다.
delay(1000); // 1초간 기다립니다.
}
참고:
delay() 함수로 깜박이는 LED를 쉽게 만들 수 있고 많은 스케치에서 스위치 디바운싱과 같은 작업에 짧은 지연을 사용하지만, 스케치에서 delay()을 사용하면 상당한 단점이 있습니다. delay 함수 작동 중에는 센서 판독, 수학적 계산 또는 핀 조작을 계속할 수 없으므로 사실상 대부분의 다른 활동이 중단됩니다. 타이밍 제어에 대한 다른 접근 방식은 충분한 시간이 경과할 때까지 millis() 함수를 폴링하여 반복하는 >>delay함수 없이 LED 깜빡이기<<를 참조하십시오. 일반적으로 Arduino 스케치가 매우 간단하지 않는 한 10밀리초 이상의 이벤트 타이밍에 delay()함수를 사용하지 않습니다.
그러나 delay() 함수가 인터럽트를 비활성화하지 않기 때문에 delay() 함수가 Atmega 칩을 제어하는 동안에도 특정 작업이 계속 진행됩니다. RX 핀에 나타나는 직렬 통신이 기록되고, PWM(아날로그 쓰기) 값과 핀 상태가 유지되며, 인터럽트가 정상적으로 작동합니다.
