무한서고

삼각함수의 3배각 공식(삼중각 공식) 증명(feat 오일러&드무아브르 공식)

0. 서론

오늘은 삼각함수의 3배각 공식(Triple Angle Formula)을 증명해보겠습니다.

일단, 덧셈 공식을 아신다는 가정 하에 덧셈 공식으로 유도해보고 그 다음 오일러 공식과 드무아브르 공식을 이용해서 유도해보도록 하겠습니다.

1. 덧셈 공식을 활용하여 유도해보기

sin함수의 덧셈 공식과 배각 공식은 다음과 같습니다.

$ \sin (a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \ \rightarrow \sin 2t = 2\sin t \cos t $

cos함수의 덧셈 공식과 배각 공식은 다음과 같습니다.

$ \cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \ \rightarrow \cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t $

1-1. $ \sin 3t $

일단 삼각함수 중 sin부터 유도해보죠.

$ \sin 3t = \sin (2t + t) $

$ = \sin 2t \cos t + \cos 2t \sin t $

$ = 2\sin t \cos t \cos t + (\cos^2 t - \sin^2 t) \sin t $

$ = 2\sin t \cos^2 t + \sin t \cos^2 t - \sin^3 t = 3\sin t \cos^2 t - \sin^3 t $

여기서 삼각함수 항등식 $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \Leftrightarrow \cos^2 t = 1- \sin^2 t $를 적용하면

$ = 3\sin t (1-\sin^2 t) - \sin^3 t $

$ = 3\sin t - 4 \sin^3 t $

따라서

$ \sin 3t = 3\sin t - 4 \sin^3 t \quad \blacksquare$

1-2. $ \cos 3t $

다음으로 cos을 유도해 보겠습니다.

$ \cos 3t = \cos (2t + t) $

$ = \cos 2t \cos t - \sin 2t \sin t $

$ = (\cos^2 t - sin^2 t) \cos t - 2\sin t \cos t \sin t $

$ = \cos^3 t - \sin^2 t \cos t - 2\sin^2 t \cos t = \cos^3 t - 3\sin^2 t \cos t $

여기서 삼각함수 항등식 $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \Leftrightarrow \sin^2 t = 1- \cos^2 t $를 적용하면

$ = \cos^3 t - 3(1-\cos^2 t)\cos t $

$ = 4\cos^3 t - 3\cos t $

따라서

$ \cos 3t = 4 \cos^3 t - 3\cos t \quad \blacksquare$

2. 오일러 공식과 드무아브르 공식으로 유도하기

간단하게 오일러 공식은 $ e^{it} = \cos t + i \sin t $

드무아브르 공식은 $ (\cos t + i \sin t)^n = \cos (nt) + i \sin (nt) $입니다.

이번에는 오일러 공식이 굉장히 중요하게 작용하니, 잘 모르시는 분들께서는 >>오일러 공식<< 포스팅을 먼저 읽고 오시길 추천드립니다.

일단 드무아브르 공식이 왜 성립하는지 살펴본 뒤에 이를 이용하여 3배각을 증명해보죠!

2-1. 드무아브르 공식의 증명

오일러 공식은 $ e^{it} = \cos t + i \sin t $라고 했습니다.

여기서 $ e^{it} $를 n제곱 해볼까요?

$ \left( e^{it} \right)^n $

이렇게 수식으로 나타낼 수 있고, 지수 법칙에 따라 이는 아래와도 같이 나타낼 수 있을 겁니다.

$ e^{int} = e^{i(nt)} $ [결합법칙에 따라 int와 i(nt)는 같죠!]

즉, $ \left( e^{it} \right)^n = e^{i(nt)} $겠네요.

그렇다면 여기서 오일러 공식을 바로 대입해볼까요?

좌항은:

$ e^{it} = \cos t + i \sin t $이므로,

$ \left( \cos t + i \sin t \right)^n $

이렇게 정리 될 것이고

우항은:

오일러 공식 $ e^{iA} = \cos A + i \sin A $에서 $ A = nt $로 치환하면,

$ e^{int} = \cos nt + i \sin nt $

로 정리될 겁니다.

따라서

$ \left( \cos t + i \sin t \right)^n = \cos nt + i \sin nt \quad \blacksquare $

임이 증명되었습니다.

2-2. 드무아브르 공식을 활용한 3배각 증명

2-2-1. $ \sin 3t $

$ \sin 3t $을 찾으려면 아까 증명한 공식에서 n이 3인 형태를 구해보면 될 것 같습니다.

$ \left( \cos t + i \sin t \right)^3 = \cos 3t + i \sin 3t $ 이니까요.

그럼 좌항을 한번 전개해보죠.

$ \left( \cos t + i \sin t \right)^3 = \cos^3 t + 3\cos^2 t \cdot i \sin t - 3\cos t \cdot \sin^2 t - i \sin^3 t $

식 정리하면,

$ \cos^3 t - 3\cos t \cdot \sin^2 t + i (3\cos^2 t \sin t - \sin^3 t) $

이렇게 정리가 되겠습니다.

다시 살펴보면

$ \cos 3t + i \sin 3t = \left( \cos t + i \sin t \right)^3 $

$ \cos 3t + i \underline{\sin 3t} = \cos^3 t - 3\cos t \sin^2 t + i \underline{(3\cos^2 t \sin t - \sin^3 t)} $

이렇게 정리가 된 식인데요, 여기서 저희는 $ \sin 3t $만 궁금하기때문에, 허수가 곱해진 허수부만 보면 될 것 같습니다.

$ 3\cos^2 t \sin t - \sin^3 t $

여기서 $ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t$이므로 대입하면

$ 3(1 - \sin^2 t) \sin t - \sin^3 t $

$ 3\sin t - 4\sin^3 t $

오, 따라서 $ \sin 3t = 3\sin t - 4\sin^3 t \quad \blacksquare $

위에서 공식으로 증명한 것과 완전히 같은 값이 나왔습니다!

2-2-2. $ \cos 3t $

여기서는 $ \cos 3t $라고 아예 새로 시작할 필요가 없는게, 이미

$ \underline{\cos 3t} + i \sin 3t = \underline{\cos^3 t - 3\cos t \sin^2 t} + i (3\cos^2 t \sin t - \sin^3 t) $

이 식에서 $ \cos 3t $를 바로 찾을 수 있습니다.

네, 바로 아까와 다르게 실수부만 보면 되기 때문이죠!

따라서

$ \cos 3t = \cos^3 t - 3\cos t \sin^2 t $

$ = \cos^3 t - 3\cos t (1-\cos^2 t) $

$ \cos 3t = 4\cos^3 t - 3\cos t \quad \blacksquare $

바로 유도가 되죠!?

3. 마무리

오늘은 sin과 cos의 3배각 공식(삼중각 공식)에 대해 알아보았습니다.

배각공식만 알아도 금방 유도할 수 있지만, 오일러 공식과 드무아브르 공식으로 자연히 유도되는 부분이 경이롭지 않나요?

아, 근데 왜 tan는 없냐고요?

아쉽게도 tangent 함수는 정의 자체가 sin과 cos의 분수형태거든요.. $ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} $

그래서 바로 계산할 수 있는 방법은 없습니다.

tan의 덧셈 공식(배각 공식)자체도 sin과 cos의 덧셈 공식을 분수로 나열한 뒤에 정리해서 만드는 형태이고, 3배각도 배각 공식을 다시 정리해서 유도하는 형식이기 때문에 오늘의 포스팅에서는 살짝 생략을 하였답니다.

그래도 궁금하시다면..! 한번 직접 유도해보시는 건 어떨까요!?

정담은 살짝 알려드리도록 하겠습니다!

tan의 덧셈 공식

$ \tan (a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a \tan b} $

세상에서 가장 아름다운 수식(박사가 사랑한 수식, 오일러 항등식)

0. 서론

세상에서 가장 아름다운 수식 혹은 박사가 사랑한 수식을 아시나요?

바로 오일러 항등식(Euler's identity)

$ e^{\pi i}+1 = 0 $인데요(관련글 복소수 평면에서의 오일러 공식(Euler's formula))

왜 가장 아름다운 수식이라고 했을까요?

오늘은 이 이유를 알아보도록 하겠습니다.

1. 오일러의 공식에서 오일러 항등식으로 변형

오일러의 공식은 $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $입니다.

그리고 여기서 x에 $ \pi $를 대입하면, $ e^{\pi i} = -1 $를 얻을 수 있습니다.

그리고 -1을 이항하면(혹은 1을 양변에 더해주면) $ e^{\pi i} +1 = 0 $이라는 오일러 항등식이 만들어집니다.

참고로 항등식(identity)이라는 말은 '기호의 조작 없이 항상 참인 형태의 수식'을 의미합니다.

여기서 $ e^{\pi i} = -1 $은 왜 따로 안부르고, $ e^{\pi i} +1 = 0 $만 오일러 항등식이라고 부를까요?

두 가지 가능성 있는 이야기를 해보겠습니다.

1-1. 대입 결과 vs 자명한 등식

$ e^{\pi i} = -1 $는 사실 오일러 공식 $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $에서 $ \pi $를 대입해준 결과에 불과합니다.

즉, 오일러 공식의 한가지 대입 결과(=특수 케이스)라고 볼 수 있는 형태이지요.

그러나, $ e^{\pi i} +1 = 0 $는 오일러 공식에 값을 대입한 결과를 "자명한 등식" 형태로 재정리한 것이라고 볼 수 있습니다.

따라서 이렇게 재정리된 식을 따로 '오일러 항등식'이라고 명명해 준 것이죠.

1-2. '0(無)'과 관계짓기

$ e^{\pi i} = -1 $ 자체로도 충분히 아름답습니다.

그러나 수학자들은 '+1=0' 형태로 이항하여 '0(無)'과의 관계를 만드는 것을 선호합니다. 이는 모든 중요한 요소들이 더해져 완벽한 '없음'의 상태, 즉 균형을 이룬다는 철학적 의미를 더하기 때문입니다.

실제로도 어떤 방정식을 푼다고 하면 '=0'으로 놓고 푸는 것이 일반적이고, 이런 것들이 '자명한 등식'이라는 느낌에 암암리에 영향을 미치지 않았을까 싶습니다.

2. 5개의 가장 기초적이고 중요한 수를 모두 포함

이 하나의 수식에 아래의 상수가 모두 들어 있습니다:

• $ e $ : 자연로그의 밑, 미적분과 자연성장의 핵심
• $ i $ : 허수 단위, 복소수 체계의 근간
• $ \pi $ : 원주율, 기하학과 주기성의 상징
• $ 1 $ : 곱셈 항등원, 수의 단위
• $ 0 $ : 덧셈 항등원, 무의 개념

이 5개는 각각 다른 수학적 영역을 대표합니다. 그들이 하나의 방정식에 조화롭게 등장하는 것은 극히 드문 일입니다.

3. 최소한의 수식으로 최대한의 의미 전달

이 수식은 다음의 특성을 모두 만족합니다:

• 등식(=)
• 지수함수
• 복소수
• 원주율
• 음수
• 항등식 형태

즉, 구조적으로 단순하면서도 의미적으로는 극단적으로 복잡하고 깊이 있는 내용을 담고 있습니다.

4. 해석학, 대수학, 복소수, 삼각함수, 위상수학까지 아우름

이 수식의 기원은 복소수 평면에서의 오일러 공식:

$ e^{ix} = \cos x + i\sin x $

입니다.(관련글 복소수 평면에서의 오일러 공식(Euler's formula))

여기서 $ \pi $ 를 대입하면 자연스럽게 오일러 항등식이 됩니다. 즉,

$ e^{i\pi} = -1 \Rightarrow e^{i\pi} + 1 = 0 $

이것은 복소수의 극형태 표현, 삼각함수와의 연계, 그리고 지수함수의 본질까지 포괄합니다.

5. 수학자들이 ‘신의 언어’라고 불렀을 정도로 완벽한 조화

리처드 파인만(Richard Feynman)은 이 수식을 "수학에서 가장 놀라운 공식"이라 칭했습니다.("Feynman once described Euler's identity as 'our jewel' in mathematics") 또 다른 수학자들은 이 수식을 "수학이 예술과 과학의 경계에서 빛나는 순간"이라고 평합니다.

6. 실제 응용성과 철학적 깊이 모두 갖춤

이 수식은 단지 아름답기만 한 것이 아니라, 파동 이론, 양자역학, 신호처리, 회전군 이론, 푸리에 해석 등에서도 핵심 역할을 합니다.

철학적으로도, “무(0)”와 “존재(1)”, “무한한 성장($e$)”, “회전과 순환($\pi$)”, “상상($i$)”이 함께 관계를 맺고 있다는 해석도 존재합니다.

7. 결론: 왜 아름다운가?

서로 다른 영역의 근본적인 수학 개념들이 극도로 단순한 형태로 만났기 때문입니다.

마치 우주와 시간, 존재와 무, 실재와 상상이 단 하나의 언어로 압축된 듯한 느낌을 주기 때문에, 이 수식을 보고 많은 수학자들이 "숭고함" 혹은 "경외심"을 느끼기 때문이죠..!

혹시 "아니 이 식이 왜 아름다운거야?" 싶으셨던 분들! 이 포스팅으로 이해하는데 도움이 되셨길 바랍니다!

복소수 평면에서의 오일러 공식(Euler's formula)

0. 서론

오일러의 공식은 다음과 같습니다.  
$ e^{ix} = \cos x + i \sin x $

언뜻 보면 "지수함수가 삼각함수랑 등호로 연결된다고...? 이게 왜 성립하는 식이야?"하며 의아함이 들 수 있지만, 사실 이 공식은 복소평면 위에서의 특별한 움직임을 표현하면서 지수함수와 삼각함수 사이의 연결고리를 제공한답니다!

이 공식을 정확히 이해하면, 나중에 ‘세상에서 가장 아름다운 수식’이라 불리는
$ e^{\pi i} + 1 = 0 $
도 자연스럽게 받아들일 수 있게 됩니다.
(물론, 그 외에도 푸리에 해석, 양자역학, 신호처리 등 수많은 분야에 등장합니다.)

오늘은 이 공식이 어떻게 유도되는지 살펴보겠습니다.

1. 복소평면

복소평면이라하면 말이 거창해보이지만, 사실 실수를 나타내는 수직선(numer line)에 직각으로 허수를 나타내는 축을 도입하여 하나의 평면으로 나타낸 것입니다. 그리고 이것을 통해 복소수(1+i)를 수직좌표평면처럼 나타낼 수 있게 됩니다.

2. 오일러의 공식 유도하기

2-1. 미분으로 이해하기

사실 어떻게보면 이 방식이 제일 쉽고 빠르게 이해할 수 있는 방식입니다.

미분이라고 어려울 것 없습니다.

1. 위치를 미분하면 속도가 됩니다.
2. 특정 거리 $ e^{ax} $에서의 속도는 $ a \cdot e^{ax} $입니다.
   • $ e^x $는 미분해도 그대로 $e^x$인 재밌는 함수입니다.
   • 여기서 $ e^{ax} $를 미분하면 '미분규칙'에 의해 $ a \cdot e^{ax} $가 됩니다.

이 두가지만 알면 됩니다.

2-1-1. a=1일 때,

특정 거리 $ e^x $에서의 속도는 $ e^x $입니다. 즉, x가 증가한다면 증가하는 방향으로 위치와 같은 속도를 가지고 움직인다는 거죠.

2-1-2. a=2일 때,

특정 거리 $ e^{2x} $에서의 속도는 $ 2e^{2x} $입니다. 즉, x가 증가한다면 증가하는 방향으로 위치의 두배 속도를 가지고 움직인다는 거죠.

2-1-3. a=$-\frac{1}{2}$일 때,

특정 거리 $ e^{-\frac{1}{2}x} $에서의 속도는 $ -\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x} $입니다. 즉, x가 증가한다면 증가하는 방향의 반대로 위치의 절반 속도를 가지고 움직인다는 거죠.

2-1-4. a=i 일 때,

이제 복소평면이 등장합니다.

이전까지는 수직선(number line) 상에서 양의 방향과 음의 방향의 선형적 움직임이었다면 이제, 허수축으로도 움직입니다.

특정 거리 $ e^{ix} $에서의 속도는 $ ie^{ix} $입니다.

즉, x가 증가한다면 현재 위치에서 수직인 방향(허수 i가 곱해졌으므로)으로 위치와 같은 속도를 가지고 움직인다는 거죠.

그렇다면 복소평면에서 $ e^{ix} $가 나타내는 점의 자취는 원이 될 것입니다.(매 순간 수직방향으로 힘이 가해지면 원운동이 되죠?)

따라서 x는 호도법으로 정의된 각과 같은 값을 가집니다.

2-1-5. $e^{ix}$와 $ \cos x $, $ \sin x $ 연결시키기

이 원 위의 한 점은, 위에서 알아봤다시피 $ e^{ix} $로 나타낼 수 있습니다.

여기서 좌표평면에서 단위원을 각 $ \theta $로 나타내던 것 기억나시나요?

원의 방정식 $ x^2+y^2 = 1 $에서
임의의 점 $ (x, \ y) $를 각 $ \theta $로 표기하면
$ x = \cos \theta $
$ y = \sin \theta $
로 표기가 됐었죠?(그래서 자연스럽게 삼각함수 항등식 $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $이 유도되는거구요)

마찬가지로 $ e^{ix} $도 다시 나타내면 $ \cos x + i\sin x $가 될 것입니다.

다만, Cartesian 평면에서는 x값과 y값이 따로 제시가 되었지만 복소평면에서는 실수+허수i로 표현을 하기 때문에

허수축의 값인 $ \sin x $에 $ i $를 곱해서 실수축의 값인 $ \cos x$와 더한 값인 $\cos x + i \sin x $가 $e^{ix}$와 같은 값을 나타내게 됩니다.

따라서 $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $입니다.

2-2. 3차원으로 이해하기

위에서는 복소평면 위에서의 원운동으로 수식을 설명하였습니다.

그러나 이 복소평면 외에 '시간(t)'축을 하나 더 설정하여 3차원으로 보면 과연 어떻게 나타날까요?

이 복소수 운동이 나선형으로 전개되며 실수부와 허수부가 시간에 따라 각각 사인과 코사인 파형으로 나타나는 구조를 가집니다.

이런 시각화 방식은 단순한 함수 표현을 넘어서, 푸리에 해석의 기하적 기초를 제공하는 중요한 직관적 도식입니다.

2-3. 테일러 급수로 유도하기[심화: 수학적으로 엄밀하게 증명하기]

이 파트 시작 전 warning:

이 부분은 미적분 및 기본적 급수 지식이 필요하니, 가볍게 읽고 싶은 분들은 건너뛰고 '3. 결론'으로 가셔도 좋습니다!

테일러 급수(Taylor series)는 어떤 함수(특히 초월함수)가 특정 점 a에서 충분히 매끄럽게(무한 미분 가능하게) 정의되어 있을 때, 그 함수를 해당 점 근방에서 다항함수의 무한합(멱급수)으로 근사하는 수학적 도구입니다.

$ f(x) = \sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n $

임의의 a점에서 함수 f를 다항함수로 근사시킬 때, 원래 함수 f의 n계 도함수(n번 미분)를 n 팩토리얼로 나눈 멱급수의 형태이죠.

여기서 $ f^{(n)} $은 미분 횟수를 나타내는 표현입니다.

보통은 초월함수를 계산 가능하게 근사할 때 많이 쓰입니다.

그리고 여기서 a가 0인, 즉 원점에서 근사하는 것을 특별히 매클로린 급수(Maclaurin series)라고 합니다.

$ f(x) = \sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n $

테일러 급수에 비해 계산이 훨씬 쉬워지죠.

이제 각 식을 매클로린 급수로 나타내면 다음과 같습니다.

$ e^x $는 미분해도 $ e^x $라는 걸 위에서도 알아봤으니, $ e^x $의 매클로린급수는 다음과 같아집니다.

$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $

$ \cos x $는 1번 미분하면 $ -\sin x $, 2번 미분하면 $ -\cos x $, 3번 미분하면 $ \sin x $, 4번미분하면 다시 $ \cos x $가 되는 주기함수입니다.

여기서 매클로린 급수로 표현했을때, 상수항을 포함하여 본다면, 매 짝수번째 항이 $ \sin x $의 값을 가지고, 결과적으로 짝수번째 항은 전부 사라져버립니다.(다시말해 분모가 짝수 팩토리얼인 항만 남습니다.)

$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots $

$ \sin x $는 1번 미분하면 $ \cos x $, 2번 미분하면 $ -\sin x $, 3번 미분하면 $ -\cos x $, 4번미분하면 다시 $ \sin x $가 되는 주기함수입니다.

여기서 매클로린 급수로 표현했을때, 상수항을 포함하여 본다면, 매 홀수번째 항이 $ \sin x $의 값을 가지고, 결과적으로 홀수번째 항은 전부 사라져버립니다.(다시말해 분모가 홀수 팩토리얼인 항만 남습니다.)

$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots $

여기서 $x$에 $it$를 대입하면

$ e^{it} = 1 + it - \frac{t^2}{2!} - \frac{i \cdot t^3}{3!} + \cdots $

이므로, 정리하면

$ e^{it} = (1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \cdots) + i(t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \cdots) $

이와같이 정리할 수 있습니다.

다시 여기서, 위에서 살펴보았던, cos과 sin의 매클로린 급수는

$ \cos t = 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \frac{t^6}{6!} + \cdots $

$ \sin t = t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \frac{t^7}{7!} + \cdots $

이므로, 최종적으로 정리하면

$ e^{it} = \cos t + i \sin t $

이렇게 정리됨을 알 수 있습니다.

실제 각 함수의 매클로린 급수를 하나씩 늘려가며(원래 그래프에 근사시켜가며) 이미지로 한번 볼까요?

• 검은선은 원래 함수, 파란선은 매클로린 급수(특정 차수의 근사 함수)입니다.
• sin t가 그려지는 평면은 세로 허수축과 가로 t축
• cos t가 그려지는 평면은 가로 실수축과 세로 t축
• $ e^{it} $가 그려지는 평면은 세로 허수축과 가로 실수축(복소평면)입니다.

위의 그래프는 각 아래의 수식을 시각화 한 것입니다.

각 $\sin t$, $\cos t$, 그리고 $e^{it}$를 맥클로린 급수로 차수별로 근사해보면, 20차 항만으로도 실제 함수와 거의 일치함을 확인할 수 있습니다.

특히 $\cos t$는 복소평면에서 실수축(x축)의 좌표로 작용하므로, 시각적 직관을 높이기 위해 x축과 y축을 바꿔 표현했습니다.

그림을 보면,

• $\sin t$는 짝수 차 항의 계수가 0이기 때문에 해당 차수에서는 그래프에 변화가 없고,
• $\cos t$는 홀수 차 항이 0이므로 홀수 차수에서도 마찬가지입니다.

또한 두 함수 모두 최고차 항의 부호가 교대로 바뀌기 때문에, 차수가 한 항씩 증가하면서 곡선의 기울기나 방향이 우상향 ↔ 우하향으로 번갈아 나타납니다.

이러한 곡선의 굽음 방향 변화는 복소평면 위 $e^{it} = \cos t + i\sin t$의 궤적에도 그대로 반영되며,  
실수부($\cos t$), 허수부($\sin t$)의 방향성이 차수에 따라 교대로 뒤집히는 과정을 통해 점점 단위원에 수렴하는 원형 궤적을 시각적으로 관찰할 수 있습니다.

3. 결론

오일러의 공식 $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $이 증명되었습니다.

더불어 오일러 항등식에 사용되는 '$ x = \pi $일때 $ e^{\pi i} = -1 $'도 자명하게 나오죠?
(삼각함수 계산을 해도 나오고, 좌표상에서도 시작 1에서 180도(=$\pi$) 돌아가면 -1이니까요!)

사원수(Quaternion)란? ~허수에서 출발하는 차원확장~

0. 개요

사원수(Quaternion)라는 개념에 대해서 알고 계신가요?

처음 들어보시는 분들도 많으실 거라 생각하는데요, 이 수는 4개의 요소로 '공간'을 나타내는 한가지 방법이랍니다.(그래서 4개의=사, 요소=원, 해서 사원수죠!)

'공간을 나타내는 방법'하면 대표적으로 떠오르는게 '벡터'가 있으실텐데, 이것도 사원수에서 출발한 개념인 걸 알고계실까요!?

그렇다면 이 사원수는 어떻게 발견되게 되었을까요!?

그리고 어떻게 쓰는 걸까요!?

지금부터 따라오시죠! 팔로팔로미~

1. 허수 발견의 역사

그 전에, 일단 사원수는 '허수(imaginary number)'를 사용합니다.

간단하게 "현실 세계에서는 있을 수 없는 수!"라고 해서 '비다/없다/헛되다/가짜'를 뜻하는 '허(虛)'를 붙인거죠.

영어로도 '가상으로만 있는 수'라는 뜻에서 'imaginary number'라고 부릅니다.

그리고 수학적으로는 $ \sqrt{-1} $을 뜻하죠. 현실세계에서는 무언가를 제곱하면 '무조건' 양수가 나와서, 그 역연산인 제곱근을 사용할 때는 그 대상이 무조건 양수여야만 하는데, 현실에서 절대로 나올 수 없는 '제곱해서 음수가 나오는 수'를 정의한 거니까요.

가만히 생각해보면, 현재 우리들도 이해하기 어려운 '헛 것'을 과거 사람들은 쉽게 받아들일 수 있었을까요? 심지어 처음 보는 개념인데요!

그래서 이 허수를 발견하고 받아들이는데는 참 많은 시간이 필요했답니다.

간단하게 정리해보자면,

• 카르다노(Gerolamo Cardano, 1545)는 3차방정식의 근의 공식을 발견했는데요, 이 삼차방정식의 근을 푸는 공식에서 실수해가 존재함에도 불구하고 중간 계산 과정에 $ \sqrt{-121} $과 같은 형태가 스쳐지나가고는 했죠. 일단 최종 계산상 사라지니까 그냥 기계적으로 풀기는 할 수 있었지만, 당시에 이 "음수 제곱근"은 의미 불명 상태로 남아있었습니다.
  => 허수의 발견
• 라파엘 봄벨리(Rafael Bombelli, 1572)는 이 '기계적'이고 '규칙적'인 계산을 아예 연산 규칙으로 정립하여서 복소수 연산의 실제적 출발점을 세웠다고 볼 수 있습니다.
  => 복소수 연산 정립
• 오일러(Euler)와 드무아브르(de Moivre)는 18세기에,
  (오일러 공식) $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $
  (드무아브르 공식) $ (\cos x + i \sin x)^n = \cos nx + i \sin nx $
  등의 공식을 통해 복소수를 해석학적으로 확장하였습니다.
  => 복소수가 단순 기이한 수가 아니라, 삼각함수, 지수함수와 연결된 분석 도구로 자리잡기 시작
• 가우스(Carl Friedrich Gauss, 1799)는 복소수를 수로서 명확히 인정하고, 복소평면 상에서의 시각적 표현을 개념화하였습니다. 여기서 복소평면이란, 말만 좀 거창할 뿐이지 원래 실수를 표현하던 수평선에 수직으로 허수축을 하나 더 붙여 좌표평면처럼 만든 것입니다.
  => 이후 복소수는 “실수와는 다른 차원의 수”가 아닌, "실수의 확장된 체계"로 인정되기 시작합니다.

2. 복소평면으로 확장

그리고 여기서 평면상에서의 시작적 표현 하면 빠질 수 없는 분이 바로 르네 데카르트(René Descartes)죠.

데카르트는 1637년 2차원 평면좌표계(수직좌표계)를 처음으로 수학적으로 체계화했는데요, 그 발견 일화가 좀 재밌습니다.

데카르트는 누워있기를 매우 좋아했다고 합니다. 그러다 어느날 파리가 천장 아래서 날아다니는 모습을 유심히 보다가 좌표계를 떠올렸다고 합니다. 파리가 점, 천장이 평면이고 파리의 위치를 기술하려면 수직좌표계를 쓰면 파리의 위치를 명확하게 기술할 수 있기때문이죠!

어찌되었든, 이렇게 평면좌표계가 만들어지고나서 당연히 '공간'을 나타내고 싶어했습니다만...

다들 그냥 '축하나 더해서 공간으로 확장하면 되지'하는 수준이고, 이 공간상에서의 회전과 같은 명확한 연산법이 발견되지 않고있었습니다.

3. 공간으로의 확장

그리고 여기서 오늘의 주제를 만든 윌리엄 로완 해밀턴(Sir William Rowan Hamilton, 1843) 경이 등장합니다.(영국에서 작위를 받아 Sir가 붙고 한국어로 '경'이 붙죠)

데카르트의 평면좌표계처럼 1차원이었던 실수체계에서 가우스가 허수축을 도입해서 복소수가 2차원이 되며 평면을 표현할 수 있게 되고, 또한 여기에서 허수의 곱셈이 바로 좌표의 회전을 나타내게 되니(실수 1에서 $i$를 곱하면 바로 허수축으로 90도 회전이 일어나고, 여기서 다시 i를 곱하면, $ i^2 $이니 -1이 되며 원래 1에서 180도 회전, 다시 $i$를 곱하면 $-i$가되며 270도 회전, 다시 $i$를 곱하면 360도 회전이 되죠?) 해밀턴 경은 "오? 이거 잘하면 3차원에서 회전 연산을 내가 만들 수 있겠는걸!?"하면서 연구에 착수합니다.(평행이동은 각 요소별 덧셈/뺄셈이고 증감은 곱셈/나눗셈이니(=간단하니) 회전연산이 엄청 중요한 걸 알 수 있습니다.)

그러나... 다른 사람들의 생각처럼 '그냥 2차원에다가 축하나 더 넣으면 3차원 아냐?'하는 식으로 복소평면에 허수축을 하나 더 도입하여 3차원을 만든 초기 (가칭)'삼원수'는 실패로 끝납니다.

왤까요?

회전을 보자면, 2차원 평면에서는 평면 위에서 회전하는 딱 한가지 회전 방식 밖에 없습니다.[좀 더 있어보이게 말하자면, 평면을 정의하는 법선벡터를 기준으로 회전하는 방법밖에 없죠]

그러나 3차원이 되면, 회전하는 방향이 세가지가 됩니다.(Roll/Pitch/Yaw라고도 하고, 쉽게 x축 기준 회전/y축 기준 회전/z축 기준 회전 이라고도 하죠)

결국 축 하나 추가됐을 뿐이지만, 회전하는 방향은 세가지가 되어버리는거죠..

이걸 수학적 살펴보자면
$ a+bi+cj $형태로 3차원 표현을 시도하면 $ i^2 = j^2 = -1 $이 될겁니다.(다시 말해, i축으로 회전가능하고 j축으로 회전 가능하다는 말입니다.)
그렇다면 복소평면에서처럼 $i$를 곱할수록 $i$축 방향으로 90도가 돌아가고, $j$를 곱할수록 $j$축 방향으로 90도가 돌아가는건 정의가 되는데...

$ij$의 곱 정의에서 문제가 발생합니다.

$i$의 제곱이 $i$축으로 회전, $j$의 제곱이 $j$축으로 회전을 정의한다면, 같은 논리로 $ij$는 $i$축으로 회전 후 $j$축으로 회전을 뜻하겠죠?

근데 $i, \ j$모두 허수니까 곱하면 $-1$이겠네요?

엥.. 근데... 이렇게 정의가 되어 버리면, $ i $축 위에 있는 점이 $ j $축으로 가는게 아니라 다시 실수축(-1)으로 와버리네요!?

심지어 공간이니까 i->j로 움직일 수도 있지만, j->i로 움직일 수도 있는거 아닌가요?

그러나 현재 상황에서는 $ji$도 -1로 정의가 되면서, 아까와 똑같은 값으로 실수축으로 가버리는 문제가 발생합니다.

와... 문제가 아주 심각합니다.

그렇게 처음 생각이었던, 삼원수가 실패로 돌아가고... 그러던 어느 1843년 10월 16일...

집에서 시름시름 앓던 해밀턴 경..(그랬는지는 모르겠지만)

아내가 보다 못해 나가서 산책이나 하자고 꼬드기고(팩트는 알 수 없다는 거임..)

해밀턴은 부인과 함께 더블린의 왕립 운하를 따라 터덜터덜 걷(고는 있었으나 머릿속으로는 계속해서 삼원수의 곱셈에 대해 생각하고 있)던 중 뭔가 삐로링! 하면서 번뜩 아이디어가 떠오릅니다!

이 모든 문제는..! 바로..! 허수축을 하나 더 추가하면 해결이 된다는 사실을..!!

그리고 허수축을 하나 더 추가하면 i->j랑 j->i도 표현할 수 있다는 것을..!(단순히 부호바꿔주면 되겠죠?)

정말 엄청난 영감은 끊임없이 고민하던 중 한순간에 오는 것!

그래서 해밀턴은 이 아이디어를 놓치지 않기 위해 '기록'을 하기로하고 종이를 찾았으나... 종이가 없었다..!

해밀턴의 선택은..!?

바로 근처에 있던 브로엄 교(Brougham bridge)의 난간에 칼로 새겨 놓았다고 합니다.

집에 들고가지 못하니 의미 없는거 아닌가.. 싶기도 하지만, '절대 까먹고 싶지 않다'는 바람이면 이해할 수 있을 것 같습니다.

그래서 뭐라고 새겨 놓았냐면..

$ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 $

인데.. 암호같지만, 여기까지 따라오셨으면 다 아시죠?

일단 i랑 j는 위에서 살펴봤고, 여기서 k라고 하는 허수를 하나 더 추가했다는 말이고,

두번째로 $ ijk=-1 $ 이게 진짜입니다. 바로 여기에서 회전법칙을 깔끔하게 정리해버립니다.

잘 보세요. 허수 세개를 곱했는데 -1입니다. 이상하지않아요? 허수의 정의 상 제곱해야 -1인데 말이죠?

자, 바로 여기서 아까 설명했던 문제 중 i->j, j->i를 해결해버린겁니다.

즉, 이 모든 수식을 정리해보면 $ ij = k, \ jk = i, \ ki=j, \ ji=-k, \ kj = -i, \ ik=-j $로 정리되면서 ijk=-1이 바로 풀리죠?

그래서 3차원을 나타내기 위해 허수축 하나만 추가하면 안됐던거고, 두 개를 추가해서 허수축 하나당 회전 방향 하나 씩을 할당해야 했던 거랍니다.

[여담이지만, 여기서 해밀턴은 처음에는 복소평면에서처럼 각 허수를 한번씩 곱해주면 '그 허수 방향'으로 회전하는 것을 생각했을 겁니다. 그러나 논지가 진행되면서 '그 허수 방향'으로 회전하는게 아니라 '그 허수를 축'으로 회전한다는 걸 발견했을 겁니다. 물론 공리가 틀리진 않았기에, 회전하긴 합니다만 생각한 것과 다른 방향, 다른 각도로 회전하면서 알게되지 않았을까요?]

4. 사원수의 이해

이렇게 해서 공간 상에서 실수축을 아예 빼버리고, 허수축으로만 구성을 함으로써 해밀턴의 사원수는 성공적인 첫 발을 떼게 됩니다.

그럼 실수축은 아예 역할이  없어진거냐? 하면

아니죠! 애초에, 처음 시작부터 실수축은 '기준점'의 역할을 했었습니다(복소평면에서 부터 삼원수 확장 까지도)

'이 점부터 돌려!' 같은 느낌이었던거죠

이거는 공간으로 확장되면서도 마찬가지의 역할을 가집니다.

공간상에서 딱 찍혀있는 애는 실수가 없어도 되지만, 얘를 공간상에서 '회전'시키려는 순간 말이 달라지게 됩니다.

단순 허수값만 가진애랑 곱해버리면, 얘는 회전을 하긴 합니다.
근데, 사원수에서 실수란건 '질량'이나 '관성'같은 존재인거라 얘가 없으면 그냥 '다 회전해!'하는 식이고 얘가 크면클수록 '아 너 허수만큼 회전을 하긴 하되, 나 좀 무거운 애야~' 해버리는거죠.
그래서 허수가 지정한 만큼 회전을 못해버리는 사태가 발생합니다.

그리고 더 재밌는건 실수 이기때문에 음수도 가능하다는 부분입니다.
그러나 앞서 얘시로 든 '질량'에 대해 '음수 질량'이라는게 조금 걸린다면, 개념을 조금 더 확장해서 '회전 강도 조절 다이얼'이라고 생각해 봅시다.

• 0이면 딱 정한 기본회전(순수 허수 곱=180도 회전)을 보여줍니다.
• 근데 다이얼을 +로 돌리면, 회전에 '제동'을 가하는 개념이 되어, 다이얼을 많이 돌릴수록 그 억제력이 강해져서 점점 0도로 수렴해버리죠.
• 그럼 반대로 -로 돌리면? 반대로 회전에 '부스트'를 거는 개념이 되어, 정해진 180도를 넘어서 '과회전'하는 겁니다. 다이얼을 많이 돌릴수록 360도 가까이까지 돌아가겠죠?

[45도는? 더 들어가지 맙시다... 머리아파요.. 그래도 궁금하면 대략 무게가 12인데 얘를 5만큼의 힘으로 돌리면 45도가 돌아갑니다..]

중간결론: 사원수는 두가지로 나뉜다!

1. $ v $ 공간상에 찍힌 점($ ai+bj+ck $) [a.k.a 실수 없는 애=회전 당할 사원수]
2. $ q $ 어떻게 회전하세요($ d+ei+fj+gk $) [a.k.a 다이얼 달린 애=회전 시킬 사원수]

5. 사원수의 계산

지금까지 공간상에 찍힌 점($ ai+bj+ck $) [a.k.a 실수 없는 애=회전 당할 사원수]

어떻게 회전하세요($ d+ei+fj+gk $) [a.k.a 다이얼 달린 애=회전 시킬 사원수]

를 살펴보았습니다.그리고 이 두개를 곱하면 '공간상에 찍힌 점'이 돌아! 갈거라고 생각했지만... 사실은

'회전 시킬 사원수'만 곱한다고 돌아가지 않습니다...

'엥? 아까 돌아간다며! 사기꾼아!'

라고 하신다면 좀만 기다려보세요. 왜그런지 설명들어갑니다!

자, 잘 보셔요.

원래 점이 있었습니다.

우리는 얘를 그냥 공간상에 '점!'이라고 볼수도 있지만, 'i로 얼마만큼, j로 얼마만큼, k로 얼마만큼에 있는 점!'이라고도 볼 수 있습니다.

자 여기다가 그냥 '회전 시킬 사원수'만 곱해버리면 무슨일이 발생하냐면.. 차원이 확장됩니다!

'어머 이게 무슨 차원폭발하는 소리양?' 하시겠지만..

실제로 점은 3차원 공간에 있는데, 회전시킬애는 '무게'(혹은 '정도')까지 더해줘서 4차원입니다.

그리고 이 두개를 그냥 곱하면 정상적으로 3차원에 있던 애가 4차원의 이상한 애가 되어버려요... 호앵...

그럼 어떻게 다시 현실로 돌려놓냐면... 다시 '차원축소' 시켜주면 됩니다!

아 뭐 PCA나 이런 거창한 차원축소 아니구요...

그냥 곱했던 애로 다시 나눠버리면 얘가 다시 정신을 차립니다.

4차원에서 헤롱거리던애가 다시 3차원 복귀하는거죠.

그리고 차원 확장되면서 반쯤 돌아버린애가 다시 원래 차원으로 돌아오면서 반쯤 더 돌아서 말그대로 '훼까닥' 돌아버리는 겁니다!

다시 말해서 얘가 이상한 약 먹고 정신 나가서 어디 갔다가 다시 약먹고 정신차리니까 '오엥? 내가 여기왜있슴?'하는 상태란 것!

근데1: 곱했던거 다시 나누면 그냥 또이또이 쌤쌤 그게그거 아님? 이라고 하는 당신. 짝짝짝.

아님1: 교환법칙(캬 이것도 있어보이는 말)이 성립하면 당연한 소린데, 안타깝게도 이 사원수는 교환법칙이 성립 안해요. 아까 보셨잖아요? ij랑 ji는 달라서 순서대로 연산하면 결과가 그게 그거가 아니게 되는거에요.

근데2: 그래 뭐 그건 이해했다치는데, 그래도 개념상 곱했던거 다시 나누면 역연산이니까 다시 원점으로 돌아와야 하는거 아님!?

아님2: 아, '아님1'을 제대로 이해못한거에오... 일단 또이또이가 아니구요! 그리고 조금 어렵지만 부가설명해보자면, 사실 '나눈다'고 했지만, 얘는 복소수랍니다. 복소수 나눗셈은 켤레복소수라는걸로 분모 싸그리 정리해버리고 분자 바꿔서 곱하면 그게 나눗셈이에요. 감 오시나요? '그냥 나눈게 아니라', '다른 무언가를 곱해줌'이라는 개념인거죠. 그래서 이렇게 곱해주면, 실수항은 사라지는데 원래 의미(회전)은 남아있게 되는거죠!

자, 이제 예시를 한번 풀어볼까요?

공간 위에 i+j라고 하는 점을 i축을 기준으로 90도(1+i죠?) 돌려봅시다.

그러면, $ (1+i)(i+j)(1+i)^{-1} $일 것이고

$ = (i+j+i \cdot i+i \cdot j)(1+i)^{-1} $ (곱하는 순서 바뀌면 안돼요!)

$ = (i+j-1+k)\frac{1}{1+i} $

$ = (i+j-1+k)\frac{1-i}{(1+i)(1-i)} \ = \ \frac{(i+j-1+k)(1-i)}{2} $

$ = \frac{(i+j-1+k)-(ii+ji-i+ki)}{2} \ = \ \frac{(i+j-1+k)-(-1-k-i+j)}{2} \ = \ \frac{2i+2k}{2} $

$ = i+k $

네, 실제로 i+j점을 i축을 중심으로 90도 돌리면 i+k가 되겠죠?

중간결론: 사원수 공간에서 점을 회전시키고 싶으면 회전 시킬 사원수를 곱하고 다시 나눠줘야한다!

$ v' = q v q^{-1} $

6. 사원수의 정규화

여기서 좀 더 어렵게 가보겠습니다!

사실 우리는 대게 가볍게 그냥 '회전 시킬 사원수 곱하고 나눠뿌자'하지만, 사실 회전사원수는 딱 그 최소 단위로 만들어주어야 좋습니다.

네? 뭔말이냐구요? 보세요. 3.

3은 최소 단위가 뭘까요? 라고 하면 대답할 수 있는 분?

어렵게 생각해서 다 대답 못하는시는 겁니다.

1이에요. 1+1+1? =3이죠.

그래서 우리는 아주 재밌게 최소단위*몇배 로 모든 개념을 쓸 수 있습니다! 3도 3*1이죠!

그럼 다시 생각해봐서. 3을 최소단위로 만들어주려면? 3으로 나누면 될겁니다!

똑같습니다. 이 사원수도 '크기'라는게 있습니다.( $ |\ a+bi+cj+dk\ | = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$ ) 뭐 그냥 막 쓰면 '3'같은 애죠.

근데, 얘를 최소단위로 만들어줘야 사실 '회전'에서 의미있는 뜻을 알 수 있어요!

그래서 그냥 '회전시킬 사원수'를 '크기'로 나눠주면 '최소단위'가 됩니다.

이거를 '정규화'라고 해요.

근데, 일반 계산에선 의미 없어요.. 왜냐면 곱하고 나눠주니까요... 또륵..

'아까는 곱하고 나누는거 쌤쌤 아니라며!'라고 하신다면, 얘는 교환법칙이 성립해요...(허수가 들어가는 연산이 비가환이고, 대수적으로 곱해지는 수들은 가환이에요..) 그래서 의미가 없어요...

그래서 연산에서는 의미가 없는데, 그 '회전'자체를 분석하고 싶으면 해줘야합니다...

중간결론: 회전시킬 사원수를 정규화하면 그 의미를 알 수 있다.

$ |q| = \frac{q}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}} $

7. 사원수의 회전 정도

아까 사원수를 정규화하면 그 의미를 알 수 있다고 했는데, 그건 뭔 뜻이냐하면...

아까 해밀턴 이전에 오일러나 드무아브르가 삼각함수와 허수를 엮었던거 기억나시나요?

비슷하게 사원수도 삼각함수랑 엮이는데, 허수부를 하나의 벡터로 본다면

$ |q| = \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) + \overrightarrow{u} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) $

이런 관계식이 성립합니다.

따라서 정규화된 사원수를 분석하면 어디로 어느정도 각도를 돌리는 친구인지 알 수 있게 되죠.

그리고 더 나아가서 아까 곱하고 나누는 연산에서 두번 회전을 적용해주는게 여기서도 보입니다. 즉 돌릴 각 $ \theta $를 반으로 나누어서 가지기 때문이죠.

한가지 더, 아까 '다이얼'이라고 표기했던게 cos부분인데, 실제로 cos값이 커질수록 그에 해당하는 각 $ \theta $는 작아지는 걸 아실 수 있겠죠?

8. 사원수 그 이후

사원수는 이후 선형대수학에 큰 영향을 미쳤는데요

벡터 라는 말도 사실 해밀턴이 처음 만든 말로, 실수부를 제외한 허수부 즉 공간상에서 표현되는 부분을 벡터부(vector part)라고 명칭했고실수부는 스칼라부라고 했습니다.(그래서 공간벡터를 i, j, k라고 명명하는게 여기서 출발한 겁니다.)

그리고 사원수는 계산하면 스칼라부와 벡터부로 연산이 진행되는데, 후대에 이를 가리켜 스칼라부로 곱해지는 부분을 내적(inner product)라고 칭하고(Peano, 1898) 벡터부로 곱해지는 부분을 외적(outer product)라고 명명(Grassman, 19C 중반)하게 됩니다.

9. 마무리

사원수는 거의 처음, 공간에 대한 직접적인 연산을 가능하게 만든 체계입니다.

그러나 계산이 너무 복잡하고, 허수를 사용하는데다, 교환법칙도 성립하지 않는 등의 문제를 안고 있었습니다.

그리고 이것을 개선하기위해 등장한 것이 선형대수학, 벡터 미적분학 등이죠.

그래서 요새는 참 선형대수학이 엄청나게 발전하여(특히나 AI관련으로 더욱 가속화 되었죠) 사원수가 잊혀진 것 같으나, 그럼에도 불구하고 로봇공학과 같은 특수한 영역에서는 아직도 사용되고 있답니다.

특히나 오일러 각을 이용하여 공간을 표현할 때 생기는 짐벌락(Gimbal lock)이 없다는 장점도 있죠.

어서오세요! 힐베르트 호텔에! ~무한의 세계로 떠나는 여행~

자연수가 클까? 유리수가 클까?

0. 무한 호텔에 오신 것을 환영합니다!

안녕하세요! 어서오세요! 여기는 힐베르트 그랜드 호텔(Hilbert Grand Hotel)입니다!

이 호텔은 정말 말그대로 '그랜드(Grand)'해서 방이 정말 많아요!
진짜 말그대로 방이 무한히 많답니다.

게다가 엄청난 성업중!
오늘도 평화로운 힐베르트 호텔호텔호텔. 모든 방에 손님이 꽉 차 있습니다. 빈방이 하나도 없죠. 🏨

그런데 새로운 손님 한 명이 찾아옵니다.
"형님들 안녕하십니까?"
어라? 방이 꽉차있는데 어쩌죠? 입장 거절 확정인가요?

그런데 말입니다. 지배인 형님 등장하셨죠. 끝났습니다.
당황하지 않고 입을 여시죠.
"1번 방 손님은 2번 방으로, 2번 방 손님은 3번 방으로..."
마법처럼 모든 손님에게 자신의 방 번호에 +1을 더한 방으로 강제 이주 들어갑니다.
이제 1번방 비었죠? 새 손님 입장 확정입니다.
끝났습니다. 입장하시죠.

이처럼 '꽉 찼지만' 항상 공간을 더 만들 수 있는 것이 바로 무한의 신비입니다. 여기서 한 가지 궁금증이 생깁니다.

"아니, 한 명이 더 와도, 심지어 무한 명이 더 와도 수용이 가능한 이 무한에도 '크기'라는 게 있을까? 무한끼리 크기를 비교할 수 있다는 게 말이 될까?"

놀랍게도, 대답은 "네, 가능합니다." 입니다.

모든 무한이 다 같은 레벨의 무한은 아니라는 사실. 믿겨지시나요?

"무한대는 다 똑같은 거 아니야?" 라고 생각했다면 큰 오산! 오늘은 무한의 세계로 떠나 어떤 무한이 더 '큰지' 비교해보는 신기한 여행을 시작하겠습니다. 

미리 힌트를 좀 드리자면, 수학자 게오르그 칸토어가 발견한 '일대일 대응'이라는 마법 같은 방법만 알면 누구나 이 무한의 크기를 이해할 수 있답니다.

1. 자연수가 더 클까요, 짝수가 더 클까요?

자, 일단 자연수가 더 큰지, 짝수가 더 큰지 생각해 볼까요?

자연수는 짝수와 홀수로 이루어져 있고, 따라서 일견 짝수가 자연수보다 크기가 더 작을 것 같습니다.

"당연히 자연수가 더 많지! 짝수는 자연수에 포함되잖아?" 라고 자연스럽게 말하게 될 것입니다.

직관적으로는 그렇게 생각하기 쉽습니다.

하지만 무한의 세계에서는 우리의 직관이 항상 통하지는 않습니다.

두 집합의 크기를 비교하는 방법은 바로 일대일로 짝을 지어보는 것입니다.

하나도 남거나 모자라지 않게 짝을 지을 수 있다면 두 집합의 크기는 같다고 봅니다.

즉, 일대일대응을 시켜서 대응이 된다면 두 집합의 크기가 같은것이죠!


자, 자연수와 짝수를 한번 짝지어 볼까요?

자연수 1 에는 짝수 2를

자연수 2 에는 짝수 4를

자연수 3 에는 짝수 6을

...

자연수 n 에는 짝수 2n을

어떤가요? 모든 자연수는 자신만의 짝꿍 짝수를 가질 수 있고, 어떤 짝수도 짝꿍이 없는 경우가 없습니다.

이렇게 빈틈없이 일대일로 대응시킬 수 있으므로, 놀랍게도 자연수의 개수와 짝수의 개수는 같습니다.

결론: 자연수와 짝수의 '무한'은 같은 크기다!

2. 정수가 더 클까요, 자연수가 더 클까요?

이번엔 0과 음수까지 포함하는 정수와 자연수를 비교해 봅시다.

정수는 자연수(양의 정수)와 0, 그리고 음의 정수까지 있으니 당연히 더 많아 보이죠?

하지만 이번에도 일대일 대응의 마법을 사용해 보겠습니다.


이렇게 짝을 지어보면 어떨까요?

자연수 1 에는 정수 0을

자연수 2 에는 정수 -1을

자연수 3 에는 정수 1을

자연수 4 에는 정수 -2를

자연수 5 에는 정수 2를

...

즉, 홀수 자연수 n에 대해서는 (n-1)/2를 대응하고, 짝수 자연수 n에 대해서는 -n/2를 대응하면 나오는 규칙이죠!

이런 규칙으로 자연수를 양의 정수와 음의 정수에 번갈아 가며 대응시키면, 모든 정수는 자신만의 자연수 짝을 찾을 수 있습니다.(1:1 대응 성립) 따라서 정수와 자연수도 같은 크기의 무한입니다.

결론: 정수와 자연수의 '무한'도 같은 크기다!

3. 유리수가 더 클까요, 자연수가 더 클까요?

그럼 이제 집합의 크기를 좀 더 키워봅시다.
수의 체계에서 정수보다 큰 집합은? 네 유리수죠!
그럼 유리수는 자연수보다 커질까요? 아니면 지금처럼 같은 크기일까요?

유리수는 이제 분수가 들어가기 시작하면서 간단한 수식계산 같은 조작으로는 이제 조금 버겁기 시작합니다.

그러나 세상에는 똑똑한 사람이 참 많은 것 같습니다.

이 분수를 전부 기약분수(p/q)로 만든 뒤, 분자(p)의 값을 x값에, 분모(q)의 값을 y값에 대응시킵니다.

기약분수의 꼴이므로 본모도 정수(0이 아닌), 분자도 정수임을 이용한 것이죠.

이렇게 좌표위에 하나씩 찍어주면... 정수 격자점 위에 점이 하나씩 찍힐 것입니다.

다음 그림처럼 말이죠.

기약분수니까, 점 (p, q)에서 p, q가 공약수를 가지는 격자점은 공백이 됩니다.

또한, (0, q)는 q가 1일 때만 기약분수로 간주하기 때문에, q가 다른 값은 모두 공백이 됩니다.


자, 이렇게 그리고보니까 이 파란색으로 x표 쳐진 격자점 하나하나를 '셀 수 있게' 되었네요?

일단 0을 첫번째로 세고, (1,1)을 두번째로 세고, (-1,1)을 세번째로 세고, (2, 1)을 네번째로 세고.....

결국 자연수와 1:1 대응을 시킬 수 있습니다.

결론: 유리수와 자연수의 '무한'도 같은 크기다!


여기서 중간 정리 하자면, 무한의 크기는 자연수=정수=유리수 입니다.

4. 실수가 더 클까요, 자연수가 더 클까요?

이제 정말 흥미로운 질문입니다. 유리수와 무리수를 모두 포함하는 '빽빽한' 수의 집합인 실수와 자연수를 비교해 보겠습니다. 지금까지의 결과처럼 이번에도 두 집합의 크기가 같을까요?

결론부터 말하자면, 실수가 자연수보다 훨씬 더 큰 무한입니다.

어떻게 이럴수가 있죠!?

수학자 칸토어는 '대각선 논법'이라는 기발한 방법으로 이를 증명했습니다.

간단히 설명하자면, 모든 실수를 목록으로 만들어 자연수와 일대일로 짝을 지었다고 '가정'해 봅시다.

그리고 그 목록에 존재하지 않는 새로운 실수를 하나 만들어내는 것입니다.(그러면 가정이 무너지겠죠!?)


자세히 살펴볼까요?

1. 일단, 지금까지 모든 집합은 자연수와 크기가 같았으니 일단 실수도 자연수와 크기가 같다고 가정합니다.
2. 그렇다면 모든 실수는 자연수와 1:1 대응일 것입니다.(크기가 같다 = 1:1 대응이다)
3. 이는 (0, 1)사이에서도 무조건 성립해야겠죠?(모든 수를 셀 수 있으니까 0에서 1사이에 모든 수도 셀 수 있어야 할 것입니다)
   그렇다면 그 리스트는 다음과 같겠죠?
   $ \begin{vmatrix}
   1: && 0.\textcolor{blue}{a_{11}}a_{12}a_{13} \dots \\
   2: && 0.a_{21}\textcolor{blue}{a_{22}}a_{23} \dots \\
   3: && 0.a_{31}a_{32}\textcolor{blue}{a_{33}} \dots \\
   \vdots && \vdots
   \end{vmatrix} $
4. 이제 우리는 여기서 '네가 세지 못한 수가 존재한다!'는 것을 보여줄 것입니다. 그리고 이걸 보여주는 순간 원래 가정이 무너지면서 '셀 수 없음'이 반대로 증명되는거죠.(이걸 귀류법이라고 한답니다)
5. 일단 '이 안에 있는 수와 다르다(=리스트에 없는 수다)'는 것을 보여주기위해 각 순서의 소수점 이하 자리를 취하겠습니다.
   뭔 말인고 하니, 이제 우리는 새로운 수를 이렇게 만들 겁니다(이렇게 대각선으로 수를 모아서 만든다고 '대각선 논증'입니다.)
   $ 0.\textcolor{blue}{a_{11}a_{22}a_{33}} \dots $
   그리고 이 수를 변형하겠습니다.
   
   10진수체계로 보면, $ a $가 1이면 2로 바꾸고, 1이 아니면 1로 바꿉니다.
   2진수체계라면, $ a $를 그냥 바로 보수취해줍니다. 1은 0으로, 0은 1로.
   요지는 원래숫자를 다른 숫자로 바꿔주는 겁니다.

자, 이제 모든게 다 끝났습니다.

만약 이 수($0.a_1a_2a_3\dots$)들의 집합이 셀 수 있다면, 변형한 이 수도 그동안 셌던 수 안에 있어야 합니다.
그러나 이 변형한 수가 그동안 셌던 수 안에 없다면..? 이 수는 셀 수 있다는 가정이 무너져 버리면서 '셀 수 없다'가 되어버립니다.

결과를 까 볼까요?

결과적으로 만들어진 이 수는 지금까지 셌던 모든 수와 n번째 자리가 달라서 그 어느 수와도 같아질 수가 없습니다. 즉, 목록에 존재하지 않는 새로운 실수가 하나 만들어 진거죠!

이 방법으로 목록에 있는 어떤 실수와도 다른 새로운 실수를 끝없이 만들어 낼 수 있음을 보였습니다. 이는 애초에 실수 전체를 자연수와 일대일로 짝짓는 것이 불가능하다는 것을 의미합니다.

결론: 모든 실수를 셀 수 있다고 가정하여 하나의 수 목록을 만들었다고 가정하면, 대각선 논법을 통해 만들어진 새로운 수는 우리가 가정한 목록에 존재하지 않는 수 이므로, 가정이 거짓으로 증명된다.(귀류법) 따라서 실수는 셀 수 없으며, 자연수보다 '한 단계 더 높은' 크기의 무한이다!

5. 가산무한, 알레프 제로($ \aleph_0 $)

수학자들은 자연수처럼 하나하나 셀 수 있는 무한을 '가산무한(countable infinity)'이라고 부릅니다. 그리고 이 가산무한의 크기를 나타내는 기호로 히브리 문자 첫 글자인 '알레프(ℵ)'에 0을 붙여 알레프 제로($ \aleph_0 $)라고 이름 붙였습니다.

지금까지 살펴본 것처럼, 자연수, 짝수, 정수, 그리고 심지어 분수로 표현 가능한 유리수까지 모두 알레프 제로($ \aleph_0 $)라는 같은 크기의 무한에 속합니다.

6. 그렇다면 실수는?

자연수와 짝을 지을 수 없었던 실수의 무한은 알레프 제로($ \aleph_0 $)보다 더 큰 무한입니다.
이를 '비가산무한(uncountable infinity)'이라고 부르며, 그 크기는 $ 2^{\aleph_0} $입니다.

더 자세히 알고 싶으시다면... 아래 더 보기를 눌러주세요. 그러나 그냥 '실수는 자연수보다 큰 무한집한이네~'하고 넘어가셔도 무방합니다.

이는 $ \aleph_0 $보다 명백히 더 큰 '비가산 무한'입니다. 이 크기가 $ \aleph_0 $ 바로 다음 크기의 무한인 $ \aleph_1 $과 같은지는 연속체 가설에 따라 달라지기에(연속체 가설은 ZFC 공리계에서는 독립적이다. 즉, ZFC로부터 참도, 거짓도 증명할 수 없다.) 아직 해결되지 않은 문제입니다.
이 크기는 또한 연속체의 농도($\mathfrak{c}$)와 같은 다른 기호로도 표현합니다.

7. 결론

놀랍게도 무한에도 서로 다른 등급이 존재한다는 사실!

무한이라고 다 같은 무한이 아닙니다.
어떤 무한은 셀 수 있고,
어떤 무한은 셀 수조차 없습니다.

칸토어는 바로 이걸 처음으로 엄밀하게 증명해낸 수학자입니다.

그의 손끝에서 ‘무한의 계층 구조’가 드러난 거죠.

동전을 굴리면 더 많이 굴러간다? – 동전 역설(Coin Paradox)

0. 들어가며

두 개의 똑같은 동전이 있습니다. 하나는 바닥에 가만히 두고, 다른 하나를 그 동전 주위에 미끄러짐 없이 착 붙여서 한 바퀴 굴려보세요. 자, 굴러간 동전은 스스로 몇 바퀴를 돌았을까요? 🤔

대부분의 사람들은 "당연히 한 바퀴지!"라고 대답할 겁니다. 굴러간 거리가 고정된 동전의 둘레와 같으니까요. 하지만 정답은 놀랍게도 두 바퀴입니다.

이해가 안 가시나요? 직접 동전을 놓고 해보면 정말 두 바퀴를 도는 것을 보고 머리가 띵해지는 경험을 할 수 있습니다.

"동전을 굴렸을 때, 실제로는 반대편 동전이 더 많이 굴러간다?"

이 직관에 반하는 현상은 바로 Coin Paradox, Coin Rotation Paradox 또는 Rolling Coin Paradox. 즉, 동전 역설이라고 합니다.
수학적으로는 간단한 곡선의 길이 계산일 뿐이지만, 물리적 직관과의 차이 때문에 많은 사람들을 혼란에 빠뜨립니다.

실제로 1982년 미국 SAT math에서 이것을 이용한 문제가 출제되었습니다.

SAT는 매년 약 200만명이 치르는 미국판 수능이라고 볼 수 있는데요.(뭐 수능과 다른점은 sat는 1년에 여러번 봅니다)

1982년도 전체 16회 SAT시험 중 30만명이 본 5월 시험에서 출제가 되었었죠.

맞춘 사람은 단 3명이었다고 하는데요, 그 이유는 '보기가 없었기 때문'입니다.(즉, 이 3명만 College Board에 이의제기를 신청했고, College Board는 문제를 무효화하고 결국 전체 재채점했다고 하네요..)

결국 문제를 냈던 사람조차도 틀렸다는건데.. 일단 문제를 한번 보시죠.

문제는 다음과 같습니다: 원 A는 원 B 반지름의 1/3이다. 원 A가 원 B를 따라 한 바퀴를 돌아 원점으로 왔을 때 원 A는 몇바퀴 돌았는가?

출제자를 포함하여 모든 사람들은 그냥 '원 B의 반지름보다 원 A가 1/3배 작으니까, 세번 돌았겠지?'하고 (B)를 골랐으나...

오늘은 이 신기한 역설을 직접 계산과 함께 낱낱이 파헤쳐 보겠습니다.

1. 상황 설정 – 두 동전의 만남

실험 설정:

반지름이 같은 두 개의 동전 A, B가 있다고 합시다.
동전 A는 정지해 있고, 동전 B는 동전 A의 외곽에 맞닿은 채로 한 바퀴를 굴러갑니다.
마찰이 충분해 미끄러짐 없이 굴러간다고 가정합니다.

질문:
동전 B가 한 바퀴 굴러가면, 몇 도 회전했을까요?

2. 직관의 오류 – "한 바퀴니까 360도?" ❌

많은 사람들은 이렇게 생각합니다:

"동전 B가 동전 A의 바깥둘레를 따라 한 바퀴 돌았으니, 360도 회전했겠지!"

하지만 실제 실험을 해보면, 동전 B는 720도, 즉 두 바퀴를 돌게 됩니다.

이것이 바로 Coin Paradox입니다.

3. 왜 2바퀴가 되는가? – 시각적 직관

다음과 같은 비유를 생각해보면 이해가 쉽습니다:

동전 B가 단순히 바닥을 따라 굴러간다면 1바퀴 회전합니다.
그러나 원형 경로를 따라 회전하면 자신의 회전 중심 또한 회전하게 되므로 추가적인 회전이 더해집니다.

좀 더 자세히 말해서
1. 동전 자체의 중심을 기준으로 한 '자전(Rotation)'
이것은 우리가 직관적으로 생각하는 회전입니다. 굴러가는 동전은 고정된 동전의 둘레(2
pir)만큼의 거리를 이동합니다. 굴러가는 동전의 둘레도 똑같이 2
pir이므로, 이 거리만큼 굴러가면서 스스로의 중심에 대해 정확히 한 바퀴를 돕니다. 여기까지는 모두가 동의하는 부분입니다.

2. 고정된 동전의 중심을 기준으로 한 '공전(Revolution)'
이것이 바로 우리가 놓치기 쉬운 '숨겨진 한 바퀴'입니다. 굴러가는 동전의 '중심점' 자체도 고정된 동전의 중심점을 기준으로 원을 그리며 움직입니다. 즉, 동전이 스스로 도는 것과 별개로, 동전 자체가 거대한 원궤도를 따라 공전하는 셈이죠.

이해가 어렵다면, 동전을 전혀 굴리지 않고 그냥 옆면이 미끄러지게만 하면서 한 바퀴 돌려보세요. 연필을 잡고 옆면이 항상 같은 방향을 보게 하면서 캔 주위를 한 바퀴 돌리는 것과 같습니다. 출발점으로 돌아왔을 때, 동전은 어느새 한 바퀴를 돌아 처음과 같은 방향을 보고 있을 겁니다. 이 움직임이 바로 공전으로 인한 한 바퀴입니다.

이 현상은 지구가 자전과 공전을 동시에 하는 구조와도 유사합니다.
지구는 1년 동안 태양을 한 바퀴 공전하면서,
자신은 365.25회 자전합니다.

결론: 자전 + 공전 = 두 바퀴
결국, 우리가 관찰하는 동전의 총회전수는 이 두 가지 움직임의 합입니다.

총회전수 = 자전(1바퀴) + 공전(1바퀴) = 2바퀴

즉, 굴러가면서 스스로 한 바퀴를 돌고(자전), 그와 동시에 다른 동전 주위를 돌면서 위치가 변해 저절로 한 바퀴가 추가된(공전) 것입니다.

다시 말해, 동전 B가 굴러가는 거리는 동전 A의 원주 만큼입니다. 따라서 동전 A를 펴서 직선으로 만들면 동전 B는 딱 한바퀴만 회전 할 것이나, 동전 A가 원이니까 동전 B가 A를 따라 한번 더 도는 효과가 생기는 것이죠!(결론적으로는 한바퀴 더 도는것이나, 매 순간 이 '공전하는 양'만큼이 동전 B의 회전에 추가되기 때문에, 실제 회전하는 모습은 더 신기한 상황이죠!)

그리고 SAT문제도 따라서 3바퀴가 아닌, 4바퀴가 됩니다.

이렇게 보면 이해가 쉬우시겠죠?

4. 수학으로 증명하기: 왜 '플러스 1'이 생길까?

직관적인 설명을 넘어, 수학을 통해 이 현상을 명확히 증명해 보겠습니다. 두 가지 접근법이 있습니다.

접근법 1: 자전 + 공전 모델

3번에서 설명한 개념을 수식으로 옮겨보겠습니다.

1] 반지름이 같은 경우

원주 길이 계산:
동전 A의 반지름: $ r $

따라서 원주: $ 2 \pi r $

동전 B는 동전 A의 원주를 따라 굴러가야 하므로, 굴러간 거리도 $ 2 \pi r $ 입니다.

그런데 이때 중요한 점은, 이 굴러간 거리만큼 접선 방향으로 회전하게 되는 것 외에, 곡선을 따라가면서 생기는 추가 회전 효과도 있다는 점입니다.

진짜 회전 각도는?
동전 B가 굴러간 선형 거리는 
$ 2 \pi r $

동전 B 하나의 자체 원주 길이도 
$ 2 \pi r $

그렇다면 미끄러짐 없이 굴렀을 경우, 동전 B는 총 몇 바퀴 돌았을까요?

$ \frac{굴러간 거리}{자기 원주} = \frac{2 \pi r}{2 \pi r} = 1바퀴 $

이게 끝이 아닙니다.
동전 B는 곡선을 따라 회전하면서 자기 자신의 위치도 회전하기 때문에, 추가적으로 1바퀴 더 회전하게 됩니다.

총 회전 각도:
총 회전 = 1(접선 방향 굴림(자전량))+1(곡선 회전(공전량)) = 2바퀴 = 720°

2] 반지름이 다른 경우

동전 B가 동전 A보다 더 작거나 클 경우에도, 유사한 계산이 가능합니다.

예를 들어, 동전 A의 반지름이 $ r_a $, 동전 B의 반지름이 $ r_b $라면,

굴러간 거리: $ 2 \pi r_a $ (고정된 동전의 원주)
​
자기 원주: $ 2 \pi r_b $ (굴러가는 동전의 원주)
​

회전 수 $ \frac{2\pi r_a}{2\pi r_b} +1 = \frac{r_a}{r_b} +1 $

즉, 동전 B는 $ \frac{r_a}{r_b}(자전량) +1(공전량) $ 바퀴 회전합니다.

접근법 2: '중심의 이동 경로'로 한 번에 증명하기 (가장 확실한 방법)

여기까지 따라오셨어도 "움직이는 동전 B는 결국 $ 2 \pi r_b $ 만큼 움직이는데! 이러면 한바퀴지!"라고 하실 수 있습니다.
그렇다면 '동전 B의 중심'이 이동하는 거리를 따져보는 것도 의미가 있겠습니다.
결국 동전 B의 중심이 이동하는 거리를 동전 B의 원주로 나눈 것이 엄밀한 의미에서의 '동전 B의 회전수'일테니까요!
동전 B의 중심이 이동한 거리는 동전 A의 중심에서 동전 B의 중심까지가 반지름인 원의 둘레의 길이와 같습니다.
즉, 동전 A의 반지름을 $ r_a $, 동전 B의 반지름을 $ r_b $라고한다면

1. 고정된 동전 A의 중심에서 굴러가는 동전 B의 중심까지의 거리는 항상 $ r_a+r_b $ 입니다.
2. 동전 B의 중심은 이 거리(ra​+rb​)를 반지름으로 하는 거대한 원을 그리며 한 바퀴 돕니다.
3. 따라서 동전 B의 중심이 움직인 총거리는 이 거대한 원의 둘레인 $ 2 \pi (r_a+r_b) $ 입니다.

동전 B의 총회전수는 '중심이 이동한 거리'를 '자기 자신의 둘레'로 나눈 값이므로,
$ \frac{2 \pi (r_a+r_b)}{2 \pi r_b} $
이걸 다시 계산하면
$ \frac{r_a}{r_b} +1 $
이 되고, 이것은 바로 지금까지 우리가 고찰해왔던 결과와 일치합니다.

이처럼, '중심의 경로'라는 하나의 기준으로 계산하니 '공전'에 해당하는 +1이 수식에서 저절로 나타납니다. 이로써 논쟁은 완벽하게 마무리됩니다.

5. 결론 – 회전의 패러독스

Coin Paradox는 단순한 거리 계산이 아니라, 곡선 경로에서의 회전 중심 변화까지 고려해야 이해할 수 있는 현상입니다.

이는 물리학, 미분기하학, 동역학 시스템 등 여러 분야에서 응용되며, 직관과 실제 결과가 충돌할 때 수학이 왜 중요한지를 잘 보여주는 사례입니다.

이 간단한 역설은 우리에게 고정관념을 깨고, 현상을 여러 관점에서 분석하는 것의 중요성을 알려줍니다. 단순한 머리싸움 퀴즈를 넘어, 물리학의 자전과 공전, 기준 좌표계의 개념을 직관적으로 이해할 수 있는 훌륭한 예시랍니다.

사이클로이드(Cycloid) 회전체의 표면적(겉넓이) 구하기(회전체적분, 겉넓이적분)

사이클로이드(Cycloid) 시리즈 목차

• 사이클로이드(Cycloid)의 길이 구하기 (선적분)
• 사이클로이드의 면적 구하기 (면적분)
• 사이클로이드(Cycloid)의 부피 구하기 (회전체적분, 부피적분)
• 사이클로이드(Cycloid) 회전체의 표면적(겉넓이) 구하기 (회전체적분, 겉넓이적분)

0. 서론

자 오늘은 대망의 마지막시간!

사이클로이드의 선 길이, 넓이, 회전체 부피까지 알아봤으면 그다음은 무엇? 바로바로 표면적이다~

그럼 바로 알아보도록하죠~

1. 어떻게 구할건데?

표면적은 원기둥의 옆 넓이에서 힌트를 얻어보면 되는데, 원기둥의 옆 넓이는 원기둥의 원주길이($ 2 \pi r $)에다가 높이를 곱한 것이잖아요?

그러면 이걸 그래프로 가져와보면~

저번에 구하면서 생각해 봤듯이 이 회전체는 아주 얇은 원판으로 이루어져 있을테니 이 원판의 옆넓이를 구해보면 되겠슴다.

원판의 옆 넓이는 위에서 봤듯이 원주길이에 높이를 곱한것인데, 적분을 하려면 여기서 일반적인 높이 대신 미소높이(아주아주 작은 높이)를 곱해주면 되겠죠?

자 회전체에서 원판의 반지름은 바로 $ y $죠, 그리고 높이는? 전에 선 길이를 적분할때처럼 아주 미소한 변화량만큼의 곡선길이 일겁니다.($ \sqrt{dx^2 + dy^2} $)

그리고 이거를 매개변수 $ t $에 대해서 0부터 $ 2 \pi $까지 싹 모으면 짜잔, 옆넓이 즉 표면적이 나오겠군요!

2. 구해보자

즉, $ r = y, \ y = r(1 - \cos t), \ dh = \sqrt{dx^2 + dy^2}  $ 여기서 dh는 미소 높이를 의미합니다.

식으로 써보면

$ S = \int_0^{2\pi} 2\pi y \ dh $

$ S = 2 \pi \int_0^{2 \pi} y * \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} \ dt $

$ S = 2 \pi r \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt $

이렇게 매개변수 식이 최종적으로 정리가 되겠습니다.

여기서, $ \frac{dx}{dt}=r(1 - \cos t,) \ \frac{dy}{dt} = r\sin t $ 니까

$ S = 2 \pi r \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * r\sqrt{(1 - \cos t)^2 + (\sin t)^2} dt $

$ S = 2 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{(1 - \cos t)^2 + (\sin t)^2} dt $

$ (1 - \cos t)^2 $ 풀어주고,

$ S = 2 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{1 - 2\cos t + (\cos t)^2 + (\sin t)^2} dt $

$ (\cos t)^2 + (\sin t)^2 = 1 $이니까

$ S = 2 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{1 - 2\cos t + 1} dt $

$ S = 2 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{2 - 2\cos t} dt $

$ S = 2 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{2(1 - \cos t)} dt $

$ S = 2 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{2(2\sin^2 \frac{t}{2})} dt \quad \leftarrow \cos (\frac{t}{2}+\frac{t}{2}) = \cos^2 \frac{t}{2} + \sin^2 \frac{t}{2} = 1 - 2\sin^2 \frac{t}{2} = 2\cos^2 \frac{t}{2} -1 $

$ S = 4 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{\sin^2 \frac{t}{2}} dt $

원래 $ \sqrt{A^2} = |A| $지만, 적분 구간 $ t \in [0, 2\pi] $에서 $ \frac{t}{2} $의 범위는 $ [0, \pi] $가 되고, 이 범위에서 $ \sin \frac{t}{2} \ge 0$ 이므로 절댓값 없이 정리가 가능합니다.

$ S = 4 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sin \frac{t}{2} dt $

아까와 마찬가지로 $ \cos t = 1 - 2\sin^2 \frac{t}{2} $로 바꿔주면,

$ S = 4 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} 2 \sin^2 \frac{t}{2} * \sin \frac{t}{2} dt $

$ S = 8 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} \sin^2 \frac{t}{2} * \sin \frac{t}{2} dt $

$ S = 8 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} \sin^3 \frac{t}{2} dt $

이렇게 간단하게 정리가 됩니다.

그런데, 저번에도 말씀드렸다시피 삼각함수의 세제곱은 바로 적분으로 풀 수가 없으니 찢어줍시다.

$ S = 8 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} \sin^2 \frac{t}{2} * \sin \frac{t}{2} dt $

삼각함수 항등식에서 $ (\cos t)^2 + (\sin t)^2 = 1 $이니까 $ (\cos \frac{t}{2})^2 + (\sin \frac{t}{2})^2 = 1 $이겠죠?

$ S = 8 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos^2 \frac{t}{2}) * \sin \frac{t}{2} dt \quad \leftarrow \cos \frac{t}{2} = u, -\frac{1}{2} \sin \frac{t}{2} dt = du \Leftrightarrow \sin \frac{t}{2} dt = -2du $

그리고나서 치환해줍니다.

$ S = 8 \pi r^2 \int (1 - u^2) * (-2) du $

이제 엄청 쉽게 풀릴 일만 남은 것 같죠?

아, 저번처럼 치환했다가 다시 돌아올거라 아래끝 위끝은 치환값으로 계산 안합니다.

치환 하고 적분한 다음 다시 원래대로 안돌리고 그 상태에서 값을 구하기위해 하는게 사실상 아래끝 위끝 값을 치환값으로 바꿔주는건데, 저희는 그냥 적분 후 다시 삼각함수로 돌리겠습니다.(즉, 아래끝 위끝 치환값은 계산 안하고 진행)

$ S = -16 \pi r^2 \int (1 - u^2) du $

$ S = -16 \pi r^2 (\int 1 du - \int u^2 du) $

$ S = -16 \pi r^2 (u - \frac{1}{3}u^3) $

$ S = -16 \pi r^2 (\cos \frac{t}{2}]_0^{2 \pi} - \frac{1}{3}(\cos \frac{t}{2})^3]_0^{2 \pi}) \quad \leftarrow \cos \frac{t}{2} = u $

보시다시피, 치환값을 다시 원래대로 돌립니다. 적분구간은 그대로겠죠?

$ S = -16 \pi r^2 ((-1 - 1) - \frac{1}{3}(-1 - 1)) $

$ S = -16 \pi r^2 (-2 + \frac{2}{3}) $

$ S = -16 \pi r^2 (-\frac{6}{3} + \frac{2}{3}) $

$ S = -16 \pi r^2 * -\frac{4}{3} $

$ S = \frac{64}{3} \pi r^2 $

3. 결론

따라서, 사이클로이드의 회전체의 표면적(겉넓이)는 $ \frac{64}{3} \pi r^2 $ 이라는 것이 밝혀졌습니다!

사이클로이드(Cycloid)의 부피 구하기(회전체적분, 부피적분)

사이클로이드(Cycloid) 시리즈 목차

• 사이클로이드(Cycloid)의 길이 구하기 (선적분)
• 사이클로이드의 면적 구하기 (면적분)
• 사이클로이드(Cycloid)의 부피 구하기 (회전체적분, 부피적분)
• 사이클로이드(Cycloid) 회전체의 표면적(겉넓이) 구하기 (회전체적분, 겉넓이적분)

0. 서론

우리는 앞서 사이클로이드의 호의 길이(사이클로이드(Cycloid)의 길이 구하기(선적분))와 면적(사이클로이드의 면적구하기(면적분))을 구해보았습니다.

이번엔 세번째 시간으로 사이클로이드의 부피에 대해서 알아봅시다!

1. 부피?

사이클로이드는 2차원 평면에 있는데 왠 부피?라고 하신다면, 적분에는 항상 따라붙는 세가지가 선적분! 면적분! 회천체적분! 입니다.

즉, 2차원 평면에 있는 '면'을 x축 주위로 회전시키면 3차원 입체가 만들어지고, 그 부피를 적분으로 구할 수 있는거죠!

그리고 지금 우리는 이 사이클로이드를 x축을 기준으로 한바퀴 돌려서 소위 '럭비공'과 같은 모양으로 만들 예정입니다.

요렇게 생긴 곡선을

x축 기준으로 요렇게 회전시키는거죠.

대략 3D로 보면 이런 느낌이겠죠?

2. 회전체의 부피 공식 설정

자, 일단 '회전'하면 그 단면은 항상 '원'이 되겠죠?

그럼 적분의 모토와도 같이, 면을 쫘좌좌좍 모아가면 부피가 되겠네요!(뭐, 엄밀히는 면*미소높이 하여 아주 작은 원통들을 모아가는 거겠지만요..)

일단 원의 넓이는 $ \pi r^2 $으로 정의됩니다. 여기서 $ r $은 반지름이죠.

우리는 현재, x축을 기준으로 한바퀴 돌려서 만들었으니, 반지름은 바로 이 곡선의 높이가 될 겁니다.

이전 포스팅에서 확인하실 수 있듯이 현재 이 곡선의 높이 y는 $ y = r(1-\cos t)$ 이렇게 정의 되어 있으므로,

회전체의 단면의 원의 넓이는 $ \pi r^2 = \pi (r(1-\cos t))^2$이 되겠네요.

그리고 여기서 아주 작은 미소부피(dV)를 구하기위해 원 넓이에다가 아주 미소한 높이를 곱해줘야 하겠습니다.

현재 회전체의 부피를 x축을 따라가며 구하고 있으므로 이 원통(원기둥)의 높이는 바로 $ dx $가 되겠네요.

즉, $ dV = \pi (r(1-\cos t))^2 dx $ 되겠습니다.

그리고 이 미소부피들을 싹 다 적분하면, 회전체의 부피가 나오겠죠?

즉, $ \int dV = \int \pi (r(1-\cos t))^2 dx $입니다.

그러나 여기서 본식은 매개변수 표현인데 바로 $ dx $를 써서 계산이 불가능 하기때문에, 과거 포스팅에서 정리했던 내용들을 다시 상기해보면, $ dx = r(1-\cos t)dt $입니다.

적분을 위한 준비는 끝났습니다. 다시한번 정리해보죠.

적분의 아래끝은 0 위끝은 $ 2 \pi $, $ y = r(1-\cos t)$, $ dx = r(1-\cos t)dt $

이제 이걸 이용해서 수식으로 정리해주면,

$ V = \int_0^{2 \pi} dV = \pi \int_0^{2 \pi} (r(1-\cos t))^2 r(1-\cos t) dt $

이렇게 정리가 되겠습니다.

수식은 다 세워졌네요. 이제 정리하며 풀기만하면 끝입니다.

3. 적분 계산

$ \pi \int_0^{2 \pi} (r(1-\cos t))^2 r(1-\cos t) dt $

이 수식을 다시 깔끔하게 정리하면

$ \pi r^3 \int_0^{2 \pi} (1-\cos t)^3 dt $

요렇게 세제곱 형식으로 묶을 수 있을겁니다.

그리고 세제곱을 다시 풀어주면

$ \pi r^3 \int_0^{2 \pi} (1-3\cos t+3\cos^2 t-\cos^3 t) dt $

이렇게 풀 수 있고,

삼각항수 항등식에서 $ \cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2} $ 이므로

$ \pi r^3 \int_0^{2 \pi} (1-3\cos t+\frac{3}{2}(\cos 2t+1)-\cos^3 t) dt $

$ \pi r^3 \int_0^{2 \pi} (\frac{5}{2}-3\cos t+\frac{3}{2}\cos 2t-\cos^3 t) dt $

이렇게 정리가 되겠군요.

이제 적분은 선형결합에 대해 분배될 수 있으므로,

$ \pi r^3 \left( \int_0^{2 \pi} \frac{5}{2} \ dt-3\int_0^{2 \pi} \cos t \ dt+\frac{3}{2}\int_0^{2 \pi}\cos 2t \ dt-\int_0^{2 \pi} \cos^3 t \ dt \right) $

여기서, $ \cos^3 t $는 직접적으로 적분할 수가 없으니, 찢어줍시다.

$ \pi r^3 \left( \frac{5}{2} \int_0^{2 \pi} dt-3\int_0^{2 \pi} \cos t \ dt+\frac{3}{2}\int_0^{2 \pi}\cos 2t \ dt-\int_0^{2 \pi} \cos^2 t \cdot \cos t \ dt \right) $

이러면 약간의 빛이 보입니다. 삼각항수 항등식 $ \cos^2 t + \sin^2 t = 1 \Leftrightarrow \cos^2 t = 1-\sin^2 t $을 쓰면

$ \pi r^3 \left( \frac{5}{2} \int_0^{2 \pi} dt-3\int_0^{2 \pi} \cos t \ dt+\frac{3}{2}\int_0^{2 \pi}\cos 2t \ dt-\int_0^{2 \pi} (1-\sin^2 t) \cdot \cos t \ dt \right) $

그리고 $ \sin t $를 $ u $로 치환하면, 사실 치환한 아래끝 위끝이 모두 값이 0이 되면서 적분결과가 0이 되어버리지만 조금 더 수학적 재미를 위해 끝을 임의로 놓고 계산진행해보겠습니다.(구조를 보기 위해 양 끝에 임의기호 @, * 사용)

$ \pi r^3 \left( \frac{5}{2} \int_0^{2 \pi} dt-3\int_0^{2 \pi} \cos t \ dt+\frac{3}{2}\int_0^{2 \pi}\cos 2t \ dt-\int_{@}^{*} (1-u^2) du \right) \leftarrow u = \sin t,\ du = \cos t dt $

$ \pi r^3 \left( \frac{5}{2} \int_0^{2 \pi} dt-3\int_0^{2 \pi} \cos t \ dt+\frac{3}{2}\int_0^{2 \pi}\cos 2t \ dt-(\int_{@}^{*} du - \int_{@}^{*} u^2 du) \right) $

$ \pi r^3 \left( \frac{5}{2} \int_0^{2 \pi} dt-3\int_0^{2 \pi} \cos t \ dt+\frac{3}{2}\int_0^{2 \pi}\cos 2t \ dt-(u\vert_{@}^{*} - \frac{1}{3} u^3\vert_{@}^{*}) \right) $

$ \pi r^3 \left( \frac{5}{2} \int_0^{2 \pi} dt-3\int_0^{2 \pi} \cos t \ dt+\frac{3}{2}\int_0^{2 \pi}\cos 2t \ dt- \left( \sin t \vert_0^{2\pi} - \frac{1}{3} \sin^3 t \vert_0^{2\pi} \right) \right) \leftarrow u = \sin t $ (+치환에서 다시 돌아왔으니 적분구간 다시 전과 같은 구간으로 살려주기)

여기서 바로 $ \sin t $에 값 대입하면 0 나오지만, 그냥 수식 그대로 끌고가 볼께요. 이제 다 적분해줍니다.

$ \pi r^3 \left( \frac{5}{2} t \vert_0^{2 \pi} -3 \sin t \vert_0^{2 \pi}+\frac{3}{4}\sin 2t\vert_0^{2 \pi} \ dt- \sin t \vert_0^{2\pi} + \frac{1}{3} \sin^3 t \vert_0^{2\pi} \right) $

적분 풀면

$ \pi r^3 \left( \frac{5}{2} \cdot 2\pi-0+0-0+0 \right) $

즉, 살아 남은 항은 첫번째 항 뿐이므로

$ 5 \pi^2 r^3 $

이 됩니다.

사실 모든게 0으로 정리되는 걸 보여드리고 싶어 이렇게 진행했는데, 사실... 0에서 $ 2\pi $까지 $ \cos $함수의 홀수승 적분은 전부 0이라서

$ \pi r^3 \left( \int_0^{2 \pi} \frac{5}{2} \ dt-3\int_0^{2 \pi} \cos t \ dt+\frac{3}{2}\int_0^{2 \pi}\cos 2t \ dt-\int_0^{2 \pi} \cos^3 t \ dt \right) $

이렇게 정리된 순간 $ \cos $적분은 전부 사라지니 사실상 이 단계에서 계산이 끝난거나 다름없긴 합니다...

4. 결론

사이클로이드 회전체의 부피 $ V $ 는 $ 5 \pi^2 r^3 $입니다.

연산의 정의부터 군, 환, 체까지 – 닫힘성에서 시작하는 대수 구조의 세계

0. 들어가며

우리는 고등학교 수학 시간에 처음으로 연산이라는 개념을 접합니다.

특히 "자연수끼리 더하면 자연수다" 또는 "자연수끼리 나누면 자연수가 아니다"라는 식으로 연산에서 '닫혀 있다', '열려 있다'는 개념을 처음 접했던 기억이 있을 것입니다.(고등학교 수학시간에 너무 뜬금없이 나왔던 그거 말입니다..)

이렇게 연산의 성질을 분석하는 과정은 고등학교, 대학교를 지나면서 더 정교해지고 추상화됩니다.

결국 하나의 연산 혹은 여러 연산이 어떤 성질을 만족하는지를 기준으로, 군(group), 환(ring), 체(field) 같은 수학적 구조로 발전하게 됩니다.

1. 연산이란?

연산(operation)이란, 어떤 집합에 정의된 규칙으로서, 집합의 원소들을 입력받아 결과를 내는 함수입니다.

• 단항 연산: 원소 1개 → 예: 음수, 제곱근
• 이항 연산: 원소 2개 → 예: 덧셈, 곱셈

가장 흔한 이항 연산의 예는 다음과 같습니다:

• 정수의 덧셈: ∀a,b∈ℤ, a + b ∈ ℤ → 닫혀 있음 (여기서 ∀는 '모든' 이라는 뜻이고, ∈는 속한다는 뜻입니다)
• 자연수의 뺄셈: 3 - 5 = -2 ∉ ℕ → 닫혀 있지 않음

2. 연산의 성질

이항 연산에 대해 주요하게 다루는 성질은 다음과 같습니다:

• 닫힘성: 결과가 다시 같은 집합에 속함
• 결합법칙: (a * b) * c = a * (b * c)
• 항등원: a * e = a = e * a
• 역원: a * a⁻¹ = e
• 교환법칙: a * b = b * a

3. 주요 대수적 구조 비교표

※ 참고: 모든 곱셈 결과가 0이 되는 '제로환(zero ring)'이라는 극단적인 구조도 있으나, 보통은 정역이나 체와 같은 구조에 포함되지 않으므로 이 글에서는 생략합니다.

4. 예시로 보는 구조들

• ℕ (자연수): 덧셈에 대해 닫혀 있음 → 반군
• ℤ (정수): 덧셈에 대해 아벨군, 곱셈은 결합법칙만 → 환
• ℚ (유리수): 덧셈과 곱셈 모두 아벨군 (0 제외) → 체
• n × n 정방행렬: 덧셈에 대해 아벨군, 곱셈에 대해 모노이드 → 환(종합적으로)

5. 마무리

하나의 연산으로부터 시작해 여러 가지 성질을 차례로 추가하면, 대수학의 주요한 구조들이 자연스럽게 나타납니다.

마그마 → 반군 → 모노이드 → 군 → 아벨군 → 환 → 정역 → 체 순으로 점점 더 많은 조건이 요구됩니다.

이러한 분류는 단순히 집합과 연산의 조합이 아니라, 구조 전체가 어떤 논리적 규칙을 따르는지를 보여주는 강력한 언어입니다.

우리가 흔히 다루는 숫자나 행렬도 사실 이 구조의 일부이며, 연산의 정의와 성질을 이해함으로써 훨씬 깊이 있는 수학 공부가 가능해집니다.

6. 참고 수식

• 연산의 닫힘성: ∀a, b ∈ S, a * b ∈ S  
• 결합법칙: (a * b) * c = a * (b * c)  
• 항등원: ∃e ∈ S, ∀a ∈ S, e * a = a * e = a  (∃표시는 ~가 존재할때 라는 뜻입니다)
• 역원: ∀a ∈ S, ∃a⁻¹ ∈ S, a * a⁻¹ = e  
• 교환법칙: ∀a, b ∈ S, a * b = b * a

모츠킨 수열(Motzkin sequence)

0. 서론

카탈란 수열과 비슷하지만 또 재밌는 수열이 한가지 있습니다. 바로 모츠킨 수열(Motzkin numbers)인데요

오늘은 이 모츠킨 수열을 한번 살펴보도록 하겠습니다.

카탈란 수열에 +a한 수열이므로, 사실 카탈란 수열(https://omnil.tistory.com/221)시리즈를 전부 읽고 오시는 걸 추천드립니다.

1. 모츠킨 수열이란?

조합론에서 등장하는 아름다운 수열 중 하나가 모츠킨 수열(Motzkin numbers)입니다. 이 수열은 특정한 경로를 세는 문제나 괄호 구조, 평면 그래프의 엣지 수와도 관련이 있어, 카탈란 수열과 함께 종종 등장합니다.

카탈란 수열과 마찬가지로 테오도르 모츠킨(Theodore Motzkin)이 1948년 체계화해 발표한 것을 계기로 명명된 수열입니다.

2. 정의

모츠킨 수열 $M_n$은

1) 제일 간단하게 카탈란 수열(https://omnil.tistory.com/221)의 Dyck path에서 우상향(↗), 우하향(↘) 외에 평행이동(→)이 추가된 수열입니다.

2) 다음 조건을 만족하는 경로의 수로 정의됩니다:

시작점 $(0,0)$에서 시작하여 $(n,0)$에서 끝나는 경로 중,

1. 한 번에 $(1,1)$ (↗), $(1,0)$ (→), $(1,-1)$ (↘) 이동 가능하고
2. 절대 음의 높이(음수 y좌표)를 가지지 않는 경로의 개수.

즉, 위로 올라가거나 수평으로 가거나 내려가되, 절대로 수평선((0,0)~(n,0)) 아래로 내려가지 않는 경로의 개수를 셉니다.

3. 예시

$ M_0 = 1, \ M_1 = 1, \ M_2 = 2, \ M_3 = 4, \ M_4 = 9, \ M_5 = 21, \ M_6 = 51, \ \cdots $

카탈란 수보다 증가속도가 느리다고 생각할수도 있지만, 사실은 경우의 수가 한가지 더 늘어나서 더 빠르게 증가합니다.

그러나 항 수로 보면 느리게 증가하게 보이는 이유는, 카탈란 수와는 다르게 조건이 홀수개 이므로 수열 자체가 $ n \rightarrow 2n $으로 정의되던 카탈란 수열과 다르게 $ n \rightarrow n $으로 정의되기 때문입니다.

실제로 짝수항만 놓고보면 카탈란 수열보다 더 빠르게 증가함을 알 수 있습니다.

4. 점화식

모츠킨 수열을 다음과 같은 점화식을 만족합니다.

$ M_0 = 1, \ M_1 = 1, \ M_n = M_{n-1} + \sum \limits _{k=0} ^{n-2} M_kM_{n-2-k} \quad \operatorname{for} \ n \ge 2$

1) 첫 시작이 수평(→)이라면, 단순히 경로가 하나 줄어든 것이므로 $ M_{n-1} $ 값을 가집니다.

2) 첫 시작이 수평(→)이 아니라면, 무조건 우상향(↗)으로 시작해야하며, 이것은 카탈란 수의 점화식과 동일한 모양을 갖습니다.

단, 카탈란 수열은 무조건 총 경로가 짝수개여야만 하므로 점화식에서 -1만 빼 주어도 1쌍(시작:우상향, 끝:우하향)이 빠지는 결과가 나오지만, 모츠킨 수열은 총 경로가 홀수개여도 되므로, 점화식에서 -2(시작:우상향, 끝:우하향)를 빼주어야 합니다.

5. 생성함수

점화식을 알고있으니, 생성함수도 구할 수 있습니다.

카탈란 수열과 비슷하게 생성함수를 구해보면

$ M(x) = \sum \limits _{n=0} ^\infty M_n x^n = \frac{1-x-\sqrt{1-2x-3x^2}}{2x^2} $

으로 구해집니다만.. 카탈란 수보다 근호 안쪽이 한 차수 늘어난 걸 보면, 생성함수로 일반항 찾기는 아주 쉽지 않아보입니다.

일단 생성함수도 구할 수 있다 정도로만 생각하시고 넘어가시죠

사실 모츠킨수열은 조합론적 수열이다보니 경우의 수로 일반항 구하는게 더 쉽습니다.(카탈란 수열에서도 경우의 수로 구하는게 훨씬 쉬웠죠?)

6. 일반항

모츠킨 수열의 일반항은

$ M_n = \sum \limits_{k=0}^{[n/2]} \ _{n}\operatorname{C}_{2k} \ C_k$

여기서 왼쪽 C는 조합이고, 오른쪽 C는 카탈란 수 인데, 헛갈리니까 binomial 표현으로 바꿔주면

$ M_n = \sum \limits_{k=0}^{[n/2]} \binom{n}{2k} \ C_k$

이 됩니다.

여기서  
- $ \binom{n}{2k} $는 전체 n칸 중에 길이 2k짜리 구간을 선택하는 방법의 수를 나타내며,  
- $ C_k $는 카탈란 수로, 길이 2k인 Dyck path의 개수를 의미합니다.



이 식을 조합적으로 해석하면 다음과 같습니다.

1. 전체 경로의 길이는 n입니다.  
   우리는 이 길이를 Dyck path 구간(길이 2씩 짝을 이루는 구간)과 수평선(→)으로 나눠 생각합니다.

2. 짝수 영역 선택하기:  
   Dyck path는 길이가 항상 짝수여야 하므로, 2k ≤ n인 k에 대해서만 고려할 수 있습니다.  
   즉, 가능한 k의 범위는 0 ≤ k ≤ [n/2]입니다.(여기서 대괄호는 '가우스 기호'혹은 '가우스 함수'라고 불리며, '기호 안의 값을 넘지 않는 최대 정수'를 의미합니다. 내림(floor)과 동일합니다. 즉, [2.5] = 2입니다.)[여기서 이 기호는 짝수 2k가 전체 길이 n을 넘지 않게 제한하는 역할을 합니다.]

3. $ \binom{n}{2k} $는 길이 n 중에서 길이 2k짜리 블록이 들어가는 위치를 고르는 방법입니다.

4. $ C_k $는 선택된 2k칸에 대해 Dyck path를 구성하는 방법의 수입니다.

5. 남은 n - 2k칸은 모두 수평선(→)으로 채우면 됩니다.

즉,  
- 각 k마다  
  $ \binom{n}{2k} $: Dyck path가 들어갈 위치 조합 ×  
  $ C_k $: 그 위치에 Dyck path를 실제로 배치하는 방법  
을 곱해서 전체 경로의 수를 계산하는 것입니다.

예를 들어 n = 3이라면,  
가능한 k는 0 또는 1입니다.

- k = 0: 전부 수평선(→) → 1가지  
- k = 1:  
  $ \binom{3}{2} $ = 3 (길이 2짜리 블록 하나를 어디 넣을지 선택) ×  
  C₁ = 1  
  → 총 3가지

따라서,

$ M_3 = \binom{3}{0}·C_0 + \binom{3}{2}·C_1 = 1·1 + 3·1 = 4 $

다시 정리해보자면

$ M_n = \sum \limits_{k=0}^{[n/2]} \binom{n}{2k} \ C_k$

- k는 Dyck path로 채울 수 있는 짝수 영역의 개수  
- binom(n, 2k)는 그 위치를 고르는 조합  
- $ C_k $는 그 영역에 실제 Dyck path를 채우는 방법의 수

라는 조합적 해석을 갖습니다.

여기서 카탈란 수열 $ C_k $는 $ \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} $이므로 전체 풀어쓰면

$ M_n = \sum \limits_{k=0}^{[n/2]} \binom{n}{2k} \cdot \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$

결국, 카탈란 수열을 나눠서 얘들이 어디에 쏙쏙 배치될지만 결정하는게 모츠킨 수열이네요~

7. 결론

모츠킨 수열의 점화식: $ M_0 = 1, \ M_1 = 1, \ M_n = M_{n-1} + \sum \limits _{k=0} ^{n-2} M_kM_{n-2-k} \quad \operatorname{for} \ n \ge 2$

모츠킨 수열의 일반항: $ M_n = \sum \limits_{k=0}^{[n/2]} \binom{n}{2k} \cdot \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$

카탈란 수열을 심도있게 공부해봤다면, 너무나도 쉽게 카탈란 수가 들어갈 공간만 계산해주면 바로 모츠킨 수열의 일반항이 나온다는 사실을 알 수가 있답니다~