Golden: Huntr/x(헌트릭스) 말고 Ratio(비)

Golden: Huntr/x(헌트릭스) 말고 Ratio(비)

 

0. 서론

아 예 요새 케이팝 데몬 헌터스가 아주 핫합니다.

거기서 나오는 OST들도 이제 공중파에서도 쓰일만큼 엄청 유명해졌구요~

저는 그 중에서도 Golden이라는 노래를 제일 좋아합니다.

그래서 오늘 주제도 바로 Golden ratio, 즉 황금비를 가져와 봤는데요!

일단 황금비가 무엇인지 간단하게 알아보고, 어디어디서 찾을 수 있는지 살펴봅시다!

 

 

1. 황금비란?

선분을 두 부분으로 나눌 때 “전체:긴쪽 = 긴쪽:짧은쪽”이 되도록 나누는 비가 바로 황금비 입니다.

사람이 가장 아름답다고 생각하는 비율이기도 하죠.

황금비는 실제로 $ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.618 \cdots $의 값을 가진답니다.

 

 

 

2. 황금비가 숨어있는 곳

고대 그리스의 파르테논 신전을 정면에서 봤을 때, 가로 길이와 높이가 황금비로 구성되어있었다고하며 그외 다양한 건축/미술 영역에서 활용되고 있죠.

또한, 이것을 각의 비율로 보게된다면, 전체 360도를 황금비로 나눈 값은 약 222.5도입니다. 그리고 여기서 그 나머지각(360-222.5)인 137.5도를 '황금각(golden angle)'이라고 하며, 자연계에서 식물의 잎이 순차적으로 나는 각도로도 알려져있죠.

그리고 수열에서도 찾아볼 수 있는데요, 바로 피보나치 수열의 비율의 극한이 황금비로 수렴한답니다!

더욱 자세한건 이전 포스팅 >>피보나치 수열의 일반항과 비율의 극한(황금비)<<에 더욱 잘 정리되어 있답니다!

 

 

3. 더욱 재밌는 사실

정오각형을 그려볼까요?

여기서 대각선을 전부 그려봅시다

자, 오각형의 한 내각은 몇 도였죠? $ \frac{180(n-2)}{n} $이니까 108도네요!

빨간 삼각형을 보면, 최 상단은 내각을 3등분하니까, 108/3 해서 36도임을 알 수 있습니다.

그럼, 여기서 하늘색 선과, 노란색선의 비율을 한번 알아 볼까요?

 

아주 흥미롭게도 이전 포스팅 >>삼각함수의 일반각(18도, 36도) 구하기<<을 보시다보면 cos 36도가 바로 황금비의 절반이라는 사실을 눈치채셨나요!?

 

일단 노란색 선을 1이라고 가정하고, 파란색 선의 길이를 구하려면 가장 쉬운 방법은 코사인 제2법칙 일 겁니다.(현재 cos 36도의 값을 알고 있기 때문이죠)

파란색 선을 알고 싶은 길이이므로 x로 놓습니다. 그리고 파란색과 빨간색 선은 이등변 삼각형의 양 변이므로 길이가 같습니다.

 

따라서 식을 써보면

\begin{align}

1^2 = & x^2+x^2-2 \cdot x \cdot x \cdot \cos 36^\circ\\

1 = & 2x^2-2x^2 \cos 36^\circ \\

1 = & 2x^2 (1 - \cos 36^\circ) \\

1 = & 2x^2 \left(1 - \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right) \quad \leftarrow \cos 36^\circ = \frac{1+\sqrt{5}}{4} \\

1 = & 2x^2 \frac{3-\sqrt{5}}{4} \\

1 = & x^2 \frac{3-\sqrt{5}}{2} \\

\frac{2}{3-\sqrt{5}} = & x^2 \\

x^2 = & \frac{2}{3-\sqrt{5}} \\

x^2 = & \frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5} \\

x^2 = & \frac{6+2\sqrt{5}}{4} \\

x = & \sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{4}}

\end{align}

이렇게 x값을 구할 수 있습니다.

 

그런데 이중근호가 보이니 너무 좀 그렇죠? 이중근호를 제거해줍시다.

이중근호 공식 $ \sqrt{a+b \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} $에 따라 x를 정리해주면

\begin{align}

x = & \sqrt{\frac{1+5+2\sqrt{5}}{4}} \\

x = & \frac{\sqrt{1+5+2\sqrt{5}}}{\sqrt{4}} \\

x = & \frac{\sqrt{1} + \sqrt{5}}{2} \\

x = & \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

\end{align}

따라서 변의 길이를 1이라고 가정하면, 대각선의 길이가 $ \frac{1+\sqrt{5}}{2} $가 됨을 알 수 있습니다!

 

또한 더욱 재밌는 사실은 이 오각형 내부의 삼각형들은 전부 이등변 삼각형이므로, 두변과 밑변의 비가 모두 황금비를 가지게 된답니다!

 

훨씬 간단하게도 알아볼 수 있습니다.

정오각형의 한 변(빨간선)을 1로 놓는다면 하늘색선(x)과 자주색선(y)의 합은 정오각형의 한 변과 같을 겁니다(이등변 삼각형의 성질)

다시쓰면 $ x + y = 1 $이군요.

아까 황금비의 정의는 "황금비 = 전체:긴쪽 = 긴쪽:짧은쪽"이었으므로

$ 1 : x = x : y $

다시쓰면

$ \frac{1}{x} = \frac{x}{y}$

정리하면

$ y = x^2 $

아까 y는 1 - x 였으므로

$ 1-x = x^2 $

양변 $ x^2 $으로 나누어 정리하면

$ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} = 1 $

$ \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x} + 1 $

여기서 $ \frac{1}{x}$를 t로 치치환하면

$ t^2 = t + 1 $

$ t^2 - t - 1 = 0 $

근의 공식으로 정리하면

$ t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} $

현재 우리는 '비율'을 보고 있으므로 음수는 제외하면

$ t = \frac{1}{x} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $

로 정리가 되고, 바로 이것이 황금비 임을 알 수 있죠!

 

또한, 황금비의 제곱은 황금비 +1이라는 사실도 더불어 알 수 있습니다.

 

프톨레마이오스 정리(Ptolemy's theorem)으로 보면

원에 내접하는 사각형($ \square ABCD $)은 항상 식 $ \overline{AC} \cdot \overline{BD} = \overline{AB} \cdot \overline{CD} + \overline{AD} \cdot \overline{BC} $을 만족합니다.

따라서 오각형(ABCDE)에서 사다리꼴($ \square ABDE $)을 보면

$ \overline{AD} \cdot \overline{BE} = \overline{AB} \cdot \overline{DE} + \overline{AE} \cdot \overline{BD} $

이고, 여기서 변의 길이를 s, 대각선의 길이를 d라고하면

$ d^2 = s^2 + s \cdot d $

가 되겠죠?

양변을 $ s^2 $으로 나누고, 아까처럼 "황금비 = 전체:긴쪽 = 긴쪽:짧은쪽"으로 봐서 긴쪽을 d, 짧은쪽을 s로하여 $ \frac{d}{s} $를 황금비($ \phi $)로보면

위와 같은 $ \phi^2 = \phi +1 $꼴이 나오면서 황금비가 증명된답니다.

 

괜히 르네상스시절에 다빈치가 오각형과 그 오망성에 심취했던게 아니죠!

 

 

4. 마무리

사실 황금비의 전반적 개괄을 작성하는 듯 했으나, cos 36도가 황금비의 절반이라는 점에서 시작된 포스팅이었습니다.

뭔가 고급? 공식들이 이리저리 엮이는게 너무 흥미롭지 않나요!?