삼각함수의 3배각 공식 증명(feat 오일러&드무아브르 공식)

삼각함수의 3배각 공식(삼중각 공식) 증명(feat 오일러&드무아브르 공식)

 

0. 서론

오늘은 삼각함수의 3배각 공식(Triple Angle Formula)을 증명해보겠습니다.

일단, 덧셈 공식을 아신다는 가정 하에 덧셈 공식으로 유도해보고 그 다음 오일러 공식과 드무아브르 공식을 이용해서 유도해보도록 하겠습니다.

 

 

1. 덧셈 공식을 활용하여 유도해보기

sin함수의 덧셈 공식과 배각 공식은 다음과 같습니다.

$ \sin (a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \ \rightarrow \sin 2t = 2\sin t \cos t $

cos함수의 덧셈 공식과 배각 공식은 다음과 같습니다.

$ \cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \ \rightarrow \cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t $

 

 

1-1. $ \sin 3t $

일단 삼각함수 중 sin부터 유도해보죠.

$ \sin 3t = \sin (2t + t) $

$ = \sin 2t \cos t + \cos 2t \sin t $

$ = 2\sin t \cos t \cos t + (\cos^2 t - \sin^2 t) \sin t $

$ = 2\sin t \cos^2 t + \sin t \cos^2 t - \sin^3 t = 3\sin t \cos^2 t - \sin^3 t $

여기서 삼각함수 항등식 $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \Leftrightarrow \cos^2 t = 1- \sin^2 t $를 적용하면

$ = 3\sin t (1-\sin^2 t) - \sin^3 t $

$ = 3\sin t - 4 \sin^3 t $

따라서

$ \sin 3t = 3\sin t - 4 \sin^3 t \quad \blacksquare$

 

 

1-2. $ \cos 3t $

다음으로 cos을 유도해 보겠습니다.

$ \cos 3t = \cos (2t + t) $

$ = \cos 2t \cos t - \sin 2t \sin t $

$ = (\cos^2 t - sin^2 t) \cos t - 2\sin t \cos t \sin t $

$ = \cos^3 t - \sin^2 t \cos t - 2\sin^2 t \cos t = \cos^3 t - 3\sin^2 t \cos t $

여기서 삼각함수 항등식 $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \Leftrightarrow \sin^2 t = 1- \cos^2 t $를 적용하면

$ = \cos^3 t - 3(1-\cos^2 t)\cos t $

$ = 4\cos^3 t - 3\cos t $

따라서

$ \cos 3t = 4 \cos^3 t - 3\cos t \quad \blacksquare$

 

 

 

2. 오일러 공식과 드무아브르 공식으로 유도하기

간단하게 오일러 공식은 $ e^{it} = \cos t + i \sin t $

드무아브르 공식은 $ (\cos t + i \sin t)^n = \cos (nt) + i \sin (nt) $입니다.

이번에는 오일러 공식이 굉장히 중요하게 작용하니, 잘 모르시는 분들께서는 >>오일러 공식<< 포스팅을 먼저 읽고 오시길 추천드립니다.

일단 드무아브르 공식이 왜 성립하는지 살펴본 뒤에 이를 이용하여 3배각을 증명해보죠!

 

 

2-1. 드무아브르 공식의 증명

오일러 공식은 $ e^{it} = \cos t + i \sin t $라고 했습니다.

여기서 $ e^{it} $를 n제곱 해볼까요?

$ \left( e^{it} \right)^n $

이렇게 수식으로 나타낼 수 있고, 지수 법칙에 따라 이는 아래와도 같이 나타낼 수 있을 겁니다.

$ e^{int} = e^{i(nt)} $ [결합법칙에 따라 int와 i(nt)는 같죠!]

즉, $ \left( e^{it} \right)^n = e^{i(nt)} $겠네요.

그렇다면 여기서 오일러 공식을 바로 대입해볼까요?

 

좌항은:

$ e^{it} = \cos t + i \sin t $이므로,

$ \left( \cos t + i \sin t \right)^n $

이렇게 정리 될 것이고

 

우항은:

오일러 공식 $ e^{iA} = \cos A + i \sin A $에서 $ A = nt $로 치환하면,

$ e^{int} = \cos nt + i \sin nt $

로 정리될 겁니다.

 

따라서

$ \left( \cos t + i \sin t \right)^n = \cos nt + i \sin nt \quad \blacksquare $

임이 증명되었습니다.

 

 

2-2. 드무아브르 공식을 활용한 3배각 증명

2-2-1. $ \sin 3t $

$ \sin 3t $을 찾으려면 아까 증명한 공식에서 n이 3인 형태를 구해보면 될 것 같습니다.

$ \left( \cos t + i \sin t \right)^3 = \cos 3t + i \sin 3t $ 이니까요.

 

그럼 좌항을 한번 전개해보죠.

$ \left( \cos t + i \sin t \right)^3 = \cos^3 t + 3\cos^2 t \cdot i \sin t - 3\cos t \cdot \sin^2 t - i \sin^3 t $

식 정리하면,

$ \cos^3 t - 3\cos t \cdot \sin^2 t + i (3\cos^2 t \sin t - \sin^3 t) $

이렇게 정리가 되겠습니다.

 

다시 살펴보면

$ \cos 3t + i \sin 3t = \left( \cos t + i \sin t \right)^3 $

$ \cos 3t + i \underline{\sin 3t} = \cos^3 t - 3\cos t \sin^2 t + i \underline{(3\cos^2 t \sin t - \sin^3 t)} $

이렇게 정리가 된 식인데요, 여기서 저희는 $ \sin 3t $만 궁금하기때문에, 허수가 곱해진 허수부만 보면 될 것 같습니다.

 

$ 3\cos^2 t \sin t - \sin^3 t $

여기서 $ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t$이므로 대입하면

$ 3(1 - \sin^2 t) \sin t - \sin^3 t $

$ 3\sin t - 4\sin^3 t $

 

오, 따라서 $ \sin 3t = 3\sin t - 4\sin^3 t \quad \blacksquare $

위에서 공식으로 증명한 것과 완전히 같은 값이 나왔습니다!

 

 

2-2-2. $ \cos 3t $

여기서는 $ \cos 3t $라고 아예 새로 시작할 필요가 없는게, 이미

$ \underline{\cos 3t} + i \sin 3t = \underline{\cos^3 t - 3\cos t \sin^2 t} + i (3\cos^2 t \sin t - \sin^3 t) $

이 식에서 $ \cos 3t $를 바로 찾을 수 있습니다.

네, 바로 아까와 다르게 실수부만 보면 되기 때문이죠!

 

따라서

$ \cos 3t = \cos^3 t - 3\cos t \sin^2 t $

$ = \cos^3 t - 3\cos t (1-\cos^2 t) $

$ \cos 3t = 4\cos^3 t - 3\cos t \quad \blacksquare $

바로 유도가 되죠!?

 

 

3. 마무리

오늘은 sin과 cos의 3배각 공식(삼중각 공식)에 대해 알아보았습니다.

배각공식만 알아도 금방 유도할 수 있지만, 오일러 공식과 드무아브르 공식으로 자연히 유도되는 부분이 경이롭지 않나요?

아, 근데 왜 tan는 없냐고요?

아쉽게도 tangent 함수는 정의 자체가 sin과 cos의 분수형태거든요.. $ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} $

그래서 바로 계산할 수 있는 방법은 없습니다.

tan의 덧셈 공식(배각 공식)자체도 sin과 cos의 덧셈 공식을 분수로 나열한 뒤에 정리해서 만드는 형태이고, 3배각도 배각 공식을 다시 정리해서 유도하는 형식이기 때문에 오늘의 포스팅에서는 살짝 생략을 하였답니다.

그래도 궁금하시다면..! 한번 직접 유도해보시는 건 어떨까요!?

정담은 살짝 알려드리도록 하겠습니다!

 

tan의 덧셈 공식

$ \tan (a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a \tan b} $