푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 적분(Fourier Integral)

푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 적분(Fourier Integral)

 

0) 서론

이로써 푸리에 급수를 통해서 '임의의 함수'를 근사하던 것(푸리에 급수)에서 부터 출발해서,

오히려 반대로 그 '임의의 함수'를 주파수별로 '분해' 할 수 있고, 이를 바탕으로 임의의 함수를 주파수 별로 분석 할 수 있다는 것을 알았습니다.(푸리에 해석(분해))

그리고 조금만 더 생각해보면, 이 주파수별로 분해된 정보들(진폭, 위상)로 거꾸로 '임의의 함수'를 다시 '합성' 할 수 있다는 걸 아실 수 있겠죠?(푸리에 해석(합성) 혹은 푸리에 역해석)

자, 여기까지가 저번 포스팅에서 다루었던 내용입니다.

 

 

1) 푸리에 급수의 한계

여기서 푸리에 급수는 '임의의 함수'를 근사하는 도구라고 했습니다.

그리고 특히 그 '임의의 함수'가 '주기가 2L인 함수'일 경우 이 푸리에 급수는 더욱더 강력해지죠.

주기성을 가지는 삼각함수로 근사하는 방식이니 '초기함수'가 애초에 주기성을 가지면 더할 나위 없이 좋겠죠?

따라서 주기가 2L인 함수를 [-L, L] 구간에서 분석할 경우, 푸리에 급수로 유의미한 푸리에 계수들을 얻어낼 수 있었습니다.

 

그리고 마찬가지로 0~L구간에서 비주기 함수더라도 -L~L구간으로 확장시키면 주기함수가 되니까 이또한 유의미한 푸리에 계수를 뽑아낼 수 있...을 거라 생각했는데.. 비주기 함수를 강제로 주기함수로 만들어버리면

• 1) 내가 정한 L값에 따라 주파수 성분이 멋대로 바뀌고(기본주파수는 L과 관련이있죠?)
• 2) 억지로 자른 경계면(대표적으로 x=0)의 불연속 문제(Gibbs phenomenon:불연속점이 있는 함수를 푸리에 급수로 근사할 때, 불연속점 주변에서 오버슈팅(overshooting)이 발생하는 현상) 때문에 있지도 않던 '유령' 주파수들이 잔뜩 튀어나옵니다
• 3) 더불어 단 한번만 있는 신호였는데도 2L주기를 가지고 무한히 반복하는 신호처럼 호도하기까지하죠.

 

결국 이렇게 '억지로'만들어낸 비주기 함수의 푸리에 급수는 0~L구간에서의 그래프 '근사'에는 성공하지만, 반대로 유의미한 '계수 추출' 즉 '분석'에는 완전히 실패하게 됩니다.

주파수로 분해해볼 수 있는 과실을 맛봤던 사람들이, 과연 포기했을까요? 아니면 어떻게 해서든 이 비주기함수도 주파수 분석이 가능한 방법을 만들어냈을까요?

 

정답은 뭐 당연히 후자겠죠.

왜냐하면 현실 세계의 수많은 중요한 신호들—한 번의 충격, 짧은 음성, 순간적인 금융 데이터—가 모두 비주기 함수였기 때문입니다.

 

그리고 이것이 바로 푸리에 적분(Fourier Integral)의 탄생설화입니다.

 

2) 푸리에 적분이란?

그럼 푸리에 적분은 이걸 어떻게 해결했을까요?

 

지금 제시된 세가지 문제 모두 인위적인 경계면 -L, L로 한정하는게 문제였습니다.

 

그렇다면 문제는 매우 간단해집니다.

그냥 이 주기를 없애버리면 됩니다.

어떻게요? 주기를 무한대로 보내버리면 이 비주기함수는 -무한대~무한대 전체 구간을 하나의 거대한 '주기'로 간주하는 것입니다!

 

그리고 이 '주기를 무한대로 보낸다'는 단순하지만 대담한 아이디어 하나가, 푸리에 해석의 세계를 완전히 바꾸어 놓습니다. 띄엄띄엄 떨어져 있던 주파수들은 촘촘한 연속체로 변하고, 덧셈 기호(∑)는 적분 기호(∫)에게 자리를 내주게 되죠.

 

즉, 말 그대로 이산적인 푸리에 급수(∑)에서 무한의 개념을 가진 연속적인 푸리에 적분(∫)으로 변화가 일어난 겁니다.

 

그럼 지금까지 기본적으로 왜 푸리에 급수에서 푸리에 적분으로 개념이 확장되게 되었는지 알아보았으면, 실제로 수식으로 이것을 따라가 볼까요?

 

 

3) 수식으로 살펴보기

푸리에 급수는 다음과 같이 완성했습니다.

\begin{align}

f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos (\frac{n \pi}{L}x) \ + \ b_n \sin (\frac{n \pi}{L}x) ) \\

a_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\cos\left(\frac{n\pi}{L}x\right) dx \quad (n=0, 1, 2, ...) \\

b_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right) dx \quad (n=1, 2, 3, ...)

\end{align}

 

이제 이 푸리에 급수를 적분으로 바꿔보죠! 차근차근 따라오시면 됩니다!

 

1단계: 계수를 급수 식에 대입

위 계수 공식을 원래의 급수 식에 대입합니다. (적분 변수는 원 푸리에식의 x와의 혼동을 피하기 위해 t로 사용합니다.)

$ f(x) = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)dt + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left[ \left(\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) \cos(\frac{n\pi}{L}t) dt\right)\cos(\frac{n\pi}{L}x) + \left(\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) \sin(\frac{n\pi}{L}t) dt\right)\sin(\frac{n\pi}{L}x) \right] $

 

적분을 밖으로 빼내어 정리하면 다음과 같아집니다.

$ f(x) = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)dt + \frac{1}{L} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \int_{-L}^{L} f(t) \left[ \cos(\frac{n\pi}{L}t)\cos(\frac{n\pi}{L}x) + \sin(\frac{n\pi}{L}t)\sin(\frac{n\pi}{L}x) \right] dt $

 

삼각함수의 덧셈정리 cos(A−B)=cosAcosB+sinAsinB를 이용해 괄호 안의 식을 간단히 만듭니다.

$ f(x) = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)dt + \frac{1}{L} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \int_{-L}^{L} f(t) \cos\left(\frac{n\pi}{L}(t-x)\right) dt $

 

 

2단계: 주파수 변수 도입 및 극한 적용

이제 주기를 무한대로 보내는 과정(L→∞)을 적용합니다.

 

각주파수 $\omega_n = \frac{n\pi}{L}$와 주파수 간격 $\Delta\omega = \frac{\pi}{L}$를 정의합니다.

이로부터 $\frac{1}{L} = \frac{\Delta\omega}{\pi}$를 얻습니다.

이 관계를 위 식에 대입합니다.

$ f(x) = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)dt + \frac{1}{\pi} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left[ \int_{-L}^{L} f(t) \cos(\omega_n(t-x)) dt \right] \Delta\omega $

 

이제 극한 L→∞를 취합니다.

• 첫 번째 항: 함수 $f(x)$가 절대적분 가능하다면($\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt < \infty$), L→∞일 때 함수의 평균값인 첫 번째 항은 0으로 수렴합니다.
• 두 번째 항: 합(summation)은 리만 합의 정의에 따라 적분(integral)으로 바뀝니다.
  - $\sum\limits_{n=1}^\infty \rightarrow \int_0^\infty $ [n은 '순서'이고 적분구간은 $\omega$의 '값'이므로 n=1 → 적분구간 0으로 바뀝니다]
  - $\Delta \omega \rightarrow d \omega $
  - $ \omega_n \rightarrow \omega $
  - 적분 구간 [−L, L] → [−∞, ∞]

 

따라서 식은 다음과 같이 변환됩니다.

$ f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega(t-x)) dt \right] d\omega $

 

3단계: 푸리에 적분 공식 유도

위 식은 푸리에 적분의 한 형태입니다. 여기서 다시 삼각함수 덧셈정리 $\cos(\omega(t-x)) = \cos(\omega t)\cos(\omega x) + \sin(\omega t)\sin(\omega x)$를 사용하여 식을 전개하면 최종적인 푸리에 적분 공식을 얻을 수 있습니다.

 

3-1단계: 삼각함수 덧셈정리 적용

가장 안쪽에 있는 cos 항을 분리하는 것이 목표입니다. 이를 위해 삼각함수의 덧셈정리 공식을 사용합니다.

사용할 공식: cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB
(여기서 A = ωt, B = ωx로 치환합니다.)

 

이 공식을 cos(ω(t-x))에 적용하면 다음과 같이 전개됩니다.

$ \cos(\omega(t-x)) = \cos(\omega t)\cos(\omega x) + \sin(\omega t)\sin(\omega x) $

 

이 전개된 식을 원래의 적분 식에 다시 대입합니다.

$ f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \left( \cos(\omega t)\cos(\omega x) + \sin(\omega t)\sin(\omega x) \right) dt \right] d\omega $

3-2단계: 안쪽 적분 분리 및 변수 분리

이제 대괄호 [...] 안의 적분을 두 부분으로 나눕니다. 적분 변수는 t이므로, t와 무관한 항들은 적분 기호 밖으로 빼낼 수 있습니다.

 

1. 먼저 f(t)를 괄호 안으로 분배합니다.
   
   $ \int_{-\infty}^{\infty} \left( f(t)\cos(\omega t)\cos(\omega x) + f(t)\sin(\omega t)\sin(\omega x) \right) dt $
   
   
   
2. 적분의 성질에 따라 두 개의 적분으로 분리합니다.
   
   $ \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\cos(\omega t)\cos(\omega x) dt + \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\sin(\omega t)\sin(\omega x) dt $
   
   
   
3. 각 적분에서 t에 무관한 항(cos(ωx)와 sin(ωx))을 적분 기호 밖으로 꺼냅니다.
   
   $ \cos(\omega x) \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\cos(\omega t) dt + \sin(\omega x) \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\sin(\omega t) dt $

 

 

3-3단계: 최종 공식 정리 및 A(ω), B(ω) 정의

위에서 정리한 식을 다시 원래의 전체 식에 대입합니다.

$ f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \left[ \cos(\omega x) \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\cos(\omega t) dt + \sin(\omega x) \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\sin(\omega t) dt \right] d\omega $

 

너무 식이 길어지니 푸리에 급수처럼 cos과 sin에 대한 계수 형태로 다시 정리해보면,

\begin{align}

f(x) &= \int_{0}^{\infty} [A(\omega)\cos(\omega x) + B(\omega)\sin(\omega x)] d\omega \\

A(\omega) &= \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega t) dt \\

B(\omega) &= \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(\omega t) dt

\end{align}

 

이것이 삼각함수 형태의 푸리에 급수에서 직접 유도된 푸리에 적분(Fourier Integral)입니다.

이산적인 합 ∑이 연속적인 적분 ∫으로, 이산적인 계수 $ a_n,\ b_n $이 연속적인 함수 $A(\omega), B(\omega)$로 바뀐 것을 확인할 수 있습니다.

 

4) 마무리

네, 이렇게 '푸리에 급수'에서 '푸리에 적분'으로 확장되는 과정을 살펴보았습니다.

 

다시 정리해보자면,

푸리에 급수를 여러 난관을 헤쳐가며 만들었지만,
그 이후에 '구간설정의 문제'로 발생하는 여러 문제들을 해결하기위해,
이산적인 급수를 연속적인 적분으로 확장하였다

로 정리해 볼 수 있겠습니다.

 

다음 포스팅 주제는 바로 대망의 '푸리에 변환(Fourier Transform)'!

그러나 사실 거창한건 아니고 '푸리에 해석(Fourier Analysis)'처럼 약간의 개념적 변화를 다루게 됩니다.(즉 수식은 딱 여기 쓴 것 까지!)

 

어찌됐든 다음편도 재밌을 예정이니 기대해주세요!