푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 변환(Fourier Transform)

푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 변환(Fourier Transform)

 

0) 서론

아 드디어 기나긴 여정을 지나 푸리에 변환(Fourier Transform)이란 곳에 도달했습니다!

저번 포스팅의 마무리에서 언급한 것처럼 더이상 수식적 변화를 다루지는 않을 겁니다.(아주 약간의 사소한 변화는 있습니다)

즉, 푸리에 변환이라는건 푸리에 적분을 바탕에 깔고, 급수->해석 으로 패러다임 전환을 했던 것과 같은 느낌을 가지는 그런 것입니다.

 

 

1) 푸리에 변환

그럼 도대체 푸리에 변환이란 무엇일까요?

 

엄밀히 따지자면 푸리에 적분과 수식 자체는 같습니다.(애초에 푸리에 변환은 '개념'입니다. 수식을 가지는 '도구'는 푸리에 적분입니다)

그런데 뭐가 다르냐구요? 보는 대상이 다릅니다.

 

푸리에 적분까지는 그 태생인 푸리에 급수의 영향(원 함수를 근사하기)을 벗어나지 못했습니다.

따라서 푸리에 적분도 보면 맨 앞에 원래 함수 'f(x) ='이 항상 붙습니다.

 

그러나 우리는 이제 여기서 계수들을 따로 떼서 독립적인 주파수함수로 보는겁니다.

따라서 '푸리에 변환'이라고 하면 '메인 포인트'가 '원래함수 f(x)'를 '주파수 영역으로 보기'가 되는거고, 반대로 푸리에 역변환을 해야 f(x)를 근사하기 즉, 푸리에 적분이 되는 겁니다.

 

즉, 이전까지 급수, 적분은 '원 함수에 근사를 시켰더니 그 계수가 주파수의 정보를 주더라' 라는 개념이었으면,

푸리에 변환은 목적 자체가 '주파수의 정보를 얻기위해 원함수를 조작하자'로 패러다임을 변환시킨거죠.

 

한 문장으로 정리됩니다.

 

개념적인 내용이라 여러번 반복해서 다시 정리하자면

• 푸리에 적분 (역변환): f(x)라는 함수는 보통 시간(t) 또는 공간(x) 영역의 함수입니다. 푸리에 적분은 주파수 영역의 정보를 이용해 시간/공간 영역의 원래 함수 f(x)를 '재구성'하는 데 초점을 맞춥니다.
  f(x) = ∫ [주파수 정보] dω
  
  
• 푸리에 변환: 반면 푸리에 변환은 시간/공간 영역의 함수 f(x)를 **'분해'**해서 그 안에 어떤 주파수(ω) 성분이 얼마나 들어있는지, 즉 주파수 영역의 함수 F(ω)를 얻어내는 데 집중합니다.
  F(ω) = ∫ f(x) [변환식] dx

사실, 급수나 적분과는 다르게 약간 추상적인 내용이므로 비유를 하나 들어보겠습니다.

 

푸리에 변환을 이해하는 가장 좋은 비유는 빛을 분해하는 프리즘입니다.

• 원래 함수 f(t): 여러 색이 합쳐진 백색광입니다. 겉으로 봐서는 어떤 색이 얼마나 섞여 있는지 알 수 없습니다. (시간 영역)
• 푸리에 변환 $\mathcal{F}(f(t))$: 프리즘의 역할을 합니다. 백색광을 통과시켜 색깔별로 쫙 펼쳐줍니다.
• 변환된 함수 F(ω): 프리즘을 통과해 나온 무지개(스펙트럼)입니다. 빨간색은 얼마나, 파란색은 얼마나 강하게 포함되어 있는지 명확하게 보입니다. (주파수 영역)
• 푸리에 역변환 $\mathcal{F}^{-1}(F(\omega))$: 프리즘을 거꾸로 통과시키는 것과 같습니다. 펼쳐진 무지개를 다시 모아 원래의 백색광으로 만듭니다.

 

이처럼 푸리에 변환은 그냥 보기에는 복잡한 하나의 신호(백색광)를 그 본질적인 재료(각 색깔의 빛)들로 분해해서 분석하는 강력한 도구인 셈입니다.

그리고 진짜 재밌는 부분은 이렇게 관점을 바꿈으로써, 단순한 계수를 만들어내는 함수가 아닌 시공간에 대한 원함수 f(x)를 다른 영역의 함수 F(ω)랑 1:1로 대응을 시킬 수 있었다는 겁니다.(그 전까지는 그냥 계수를 만들어내는 함수 그 이상도 이하도 아니었기 때문에 이런 생각을 못했던거죠. 푸리에 급수에서 해석으로의 관점변화와 유사합니다)

즉, 말 그대로 시공간에 대한 함수 f(x)를 주파수 스펙트럼에 대한 함수 F(ω)로 '변환'하는 거죠.(그리고 이 '변환'이라는건 하나의 '규칙' 또는 '연산자'로 본다는 의미입니다.)

 

 

2) 수학적으로 무슨 차이가 있는가?

수학적 계산(적분 공식)은 본질적으로 동일합니다. 하지만 이 개념적 전환이 다음과 같은 거대한 차이를 만들어냅니다.

• 쌍대성(Duality)의 발견: '시간 영역'과 '주파수 영역'이라는 두 개의 독립적인 세계가 있으며, 푸리에 변환과 역변환을 통해 서로를 오갈 수 있다는 '쌍대성' 개념이 확립되었습니다. 이는 한쪽 세계에서 풀기 어려운 문제를 다른 쪽 세계에서 쉽게 풀 수 있는 길을 열었습니다.(컨볼루션(Convolution) 정리가 대표적입니다. 시간영역에서의 두 함수의 복잡한 컨볼루션 연산은 주파수영역으로 푸리에 변환 한 두 함수를 단순히 곱해서 역변환한 결과와 같다는 정리입니다.)
• 연산자(Operator)로서의 변환: '변환'이라는 이름을 붙임으로써, 이 과정은 단순한 공식이 아니라 함수에 작용하는 하나의 수학적 연산자로 취급되기 시작했습니다. 이 연산자는 선형성(Linearity) 같은 중요한 성질을 가지며, 이를 통해 시스템 분석, 미분방정식 풀이 등 훨씬 복잡하고 추상적인 문제에 체계적으로 적용할 수 있게 되었습니다.
• 분석의 대상화: 스펙트럼 자체를 주인공으로 만들면서, "이 신호는 저주파 성분이 강하다", "이 시스템은 특정 주파수를 차단한다"와 같이 주파수 관점에서 세상을 분석하고 해석하는 것이 자연스러워졌습니다.

 

결론적으로, 사인/코사인 관점에서의 발전은 수학 공식의 변화가 아닌, 공식을 해석하는 패러다임의 전환입니다. 함수를 재구성하는 '도구'였던 계수 함수를, 함수를 분석하는 '결과물'이자 독립적인 '스펙트럼 함수'로 바라보기 시작한 것이 바로 푸리에 적분에서 푸리에 변환으로의 핵심적인 지적 도약입니다.

 

 

3) 수식적으로는 어떻게 정의 되는데?

푸리에 적분과는 수식적으로 같다고 하였으나, 아주 약간 다른 부분이 있습니다.

 

푸리에 적분에서는

\begin{align}

f(x) &= \int_{0}^{\infty} [A(\omega)\cos(\omega x) + B(\omega)\sin(\omega x)] d\omega \\

A(\omega) &= \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega t) dt \\

B(\omega) &= \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(\omega t) dt

\end{align}

 

이와같이, 계수 함수 안에 $ \frac{1}{\pi} $을 포함하였으나, 푸리에 변환에서는 '심플 이즈 베스트'원칙에 따라 이 상수부분이 없는 걸 채택합니다. 즉,

\begin{align}

F_c(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega t) dt \\

F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(\omega t) dt

\end{align}

 

이렇게 정의합니다. 여기서 Fc와 Fs는 cos에 대한 푸리에 변환, sin에 대한 푸리에 변환을 의미합니다.

 

따라서 푸리에 역변환은

\begin{align}

f(t) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} [F_c(\omega)\cos(\omega t) + F_s(\omega)\sin(\omega t)] d\omega

\end{align}

이렇게 쓰여지겠죠?

 

여기서도 관점이동이 보이시나요? 단순 푸리에 적분일때는 어떻게든 $ \frac{1}{\pi} $를 안쪽으로 넣어서 전체 식 자체가 '이쁘게 보이게'만들고, 푸리에 변환일때는 각각의 주파수 함수에 집중해서 거기서 $ \frac{1}{\pi} $를 빼는걸요!

4) 용어정리

자, 이제 우리는 '푸리에 ~~~'이라고 하는 모든 용어를 알게 되었습니다.

자세히 풀어써보자면 포스팅 순서대로, 푸리에 급수(Fourier Series), 푸리에 해석(Fourier Analysis), 푸리에 적분(Fourier Integral), 푸리에 변환(Fourier Transform)의 네 가지 용어죠.

자 여기서 개념적 이해를 돕기 위해 제가 약간 순서를 섞어 놓았는데요
(말그대로 '약간!'입니다. 혹시 깨달으셨나요? 포스팅이 개념-수학-개념-수학-... 처럼 단짠단짠, 밀당으로 구성되었다는 사실!)

여기에서 각 용어의 범위를 정확히 알려드리도록 하겠습니다.

 

1] 푸리에 해석(Fourier Analysis)

사실상 푸리에 해석이라는 것이 제일 최상위 개념입니다.

신호/함수를 주파수 성분으로 분해하여 분석하는 모든 이론과 학문 분야 자체를 의미합니다.

실제 포스팅에서도 개념상 큰 패러다임 전환이 있었던 파트였죠.

그리고 이 '최상위 개념'이란걸 표현하기 위해 사실상 푸리에 급수 바로 뒤에 배치해서 "푸리에 급수만으로도 '푸리에 해석'이란게 가능해요(=더 상위 개념으론 당연히 가능하겠죠?)"라는 걸 보여드리려고 했는데, 잘 전달되었는가 모르겠습니다!

 

2] 푸리에 급수(Fourier Series)

우리가 제일 처음 살펴보았듯이, 말 그대로 '푸리에 ~~~'라는 푸리에 오디세이(대장정)를 시작하는 사실상 제일 첫걸음입니다.

시작은 주기함수로 임의의 함수를 근사하려는 목적이었지만, 그 이면엔 '주파수 차원'을 엿볼 수 있는 강력한 개념을 숨기고 있었습니다.

'구간'이 정해져있어 주기함수를 다루는 방법론이 되며, '급수'라는 말에 걸맞게 이산(Discrete) 신호를 출력하게 됩니다.(이산 스펙트럼)

역사적으로 '급수'라는 말 자체가 '방법(도구)'과 '결과(개념)'를 모두 포함하고 있어(테일러 급수, 매클로린 급수 등 전부 '무한합의 방법'과 그 결과로 나타나는 '결과'를 한번에 통칭하죠) 푸리에 급수라는 말은 '근사하는 방법(도구)'과 '주파수 영역으로 분해(개념)'라는 두 가지 개념을 모두 포함하고 있습니다.

 

3] 푸리에 적분(Fourier Integral)

바로 이전 포스팅에서 살펴보았듯이, 푸리에 급수의 한계(주기)를 돌파하기위해 '비주기'으로 개념을 확장한 하나의 수학적 '도구'입니다.

푸리에 급수로 근사하기 어려운 비주기 함수를 근사하려는 목적이었죠.

이 푸리에 적분을 수행하면, 비주기 함수에 대한 '완벽한 수학적 참값'을 얻어낼 수 있으며, 연속 스펙트럼을 출력합니다.

 

4] 푸리에 변환(Fourier Transform)

사실 이 용어가 하나 추가되면서 엄청난 혼란을 주게 됩니다.

그리고 그 혼란의 근원은 푸리에 급수에서는 합쳐져있던 도구와 개념이 분리되어 표현된 용어이기 때문이죠.

주기함수에 대한 이산적인 결과를 도출하는 도구와 개념이 푸리에 급수라는 용어에 한꺼번에 포함되어 있었다면,

비주기함수에 대한 연속적인 결과를 도출하는 도구는 '푸리에 적분'으로 개념은 '푸리에 변환'으로 분리되어 표현되어 있습니다.

(정확히는 두 용어에서 수학식 자체는 공유를 하지만, '근사'에 목적을 둔 '푸리에 적분'식 자체는 '푸리에 역변환'이죠)

 

그럼 왜 하필 '푸리에 변환'이라고 개념을 따로 정의를 했을까요?(이번 포스팅의 주제로 열심히 설명하였으나 다시 한 번 정리해봅시다!)

일단 이 '푸리에 변환'이라고 하는 개념을 밑에서 받쳐주는 도구인 '푸리에 적분'을 사용해 보니, 단순히 계산 툴을 넘어 시간 영역의 함수 $f(t)$를 주파수 영역의 함수 $F(\omega)$와 대응(mapping)시키고, 이에 따라 하나의 연산(operation)을 만들어 낼 수 있다는 '가능성'이 발견되었습니다.

그리고 이 '가능성'을 더욱 심화 발전시켜, 이 $t \leftrightarrow \omega$ 영역을 오가는 관계 전체와 그 관계에서 파생되는 모든 중요 성질(예: 선형성, 시간 이동, 주파수 이동, 그리고 가장 중요한 컨볼루션 정리(Convolution Theorem) 등)을 모두 포함하는 더 크고 확장된 개념을 정립하게 되었죠.

그리고 이 '더 큰 개념'에 '푸리에 변환(Fourier Transform)'이라는 이름을 붙여준 겁니다.

말 그대로 "'시간'과 '주파수' 각 영역을 '변환'시킨다"는 개념을 명확히 표현한 것입니다.

 

 

5) 마무리

이로써 '푸리에 ~~~'에 해당하는 모든 용어를 전부 다루어, 길고 긴 푸리에 오디세이(대장정)를 일단락 하는 포스팅이었습니다.

사실상 여기까지 따라오셨으면, 개념상 '푸리에 ~~~'의 모든 개념을 알게되신 겁니다!

 

다만, sin, cos의 삼각함수가 나오면 항상 따라나오는 그 분(오일러)의 발견에 따라 수식을 어떻게 다르게 나타낼 수 있는지 그 방법을 알아보고, 마지막 푸리에 변환에서 '쌍대성'과 관련해서 더욱 발전한 개념 바로 이 두 가지만 더 살펴보면 이 길고 긴 푸리에 오디세이가 끝나게 됩니다.

 

기착지와 같은 포스팅이라 지금까지의 대단원을 정리해보고, 앞으로 남은 부분을 살펴보았습니다.

 

다음 포스팅부터는 진짜 수식의 향연입니다.. 마음 단단히 먹고 다시 끝을 향해 달려가봅시다!