원넓이의 부정적분 구하기 - 2) 부정적분으로 구해보기

원넓이의 부정적분 구하기 - 2) 부정적분으로 구해보기

intetral root(1-x^2) dx

 

굉장히 오랜만에 다시 써보는 포스팅이네요.

저번 시간에 원 내부의 사다리꼴과 같은 도형의 넓이를 구하는 방법을 가장 기본적인 공식(부채꼴 공식+삼각형 공식)을 가지고 구해보았습니다.

원 내부의 하얀부분은 "활꼴의 절반"이라고 쉽게 설명이 가능한데, 그 반대편에 대한 용어는 따로 존재하지 않네요..

이번 시간에는 이것을 부정적분으로 x값을 가지고 바로 구하는 방법을 알아볼까 합니다.

저번에 각도 $\theta$를 부채꼴 부분으로 잡았는데, 이번에도 한번 이렇게 잡아서 수식을 전개해보려고 합니다.

부채꼴 부분이 $\theta$입니다.

일단 이렇게 특수한 상황에 가기 전에, 일반적으로 원의 넓이를 적분으로 어떻게 구하는지 다시 한번 살펴보도록하겠습니다.

 

자, 일단 원의 방정식은 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$입니다. 저희는 $r$이 1인 단위원을 사용하기 때문에 식은 더욱 간단하게 $x^{2}+y^{2}=1$이 되겠네요.

이를 좀 더 보기 편하게 y에 대한 값으로 나타내면(x의 값에 따라 y값을 결정하는 방식) $y=\pm \sqrt{1-x^{2}}$으로 정리할 수 있습니다.

이 때 부호에 따라 양의 부호는 y축을 기준으로 0보다 위에 그려지는 반원을, 음의 부호는 아래쪽에 그려지는 반원을 의미합니다.

현재 저희는 위에 그려지는 반원 중에서도 1사분면 위의 사반원에 대해 구하려고 하고 있으므로, 이에 대한 적분 수식은 $\int \sqrt{1-x^2} \, dx$라고 볼 수 있습니다.

 

여기서 루트가 들어간 적분은 그냥 풀기에 너무 힘들기 때문에 x를 치환시켜 줄 것입니다.

예전에 고등학교 때 적분을 공부하면서 도대체 왜 치환하는지 의문을 가졌었는데, 실상은 치환해서 더 쉬운 형태로 만들어서 적분을 쉽게 만들기 위해서 하는 작업입니다 치환적분은!

 

루트를 없애줄 수 있으면서 적분 형태를 간단하게 해줄 수 있는 것이 무엇이 있나 한번 살펴보다보니, 언뜻 지나가는 공식이 있습니다.

$ sin^{2} \theta + cos^{2} \theta = 1 $이라는 공식이지요.(이 공식은 그냥 암기할 게 아니라, 너무 당연한 것을 표현한 것입니다. 아까 단위원의 방정식은 $x^{2}+y^{2}=1$이라고 했습니다. 이것은 원 위에서 무조건 성립하는 값입니다. 여기서 매개변수 표현법을 사용하면 $y=sin \theta, x=cos \theta$라고 했습니다. 즉, 단위원의 방정식에 매개변수 표현법을 사용하여 표현 방법만 x, y 변수가 아닌 $\theta$변수 로 바꿔준 것이 됩니다.)

이항해보면

$cos^{2} \theta =1-sin^{2} \theta$

제곱을 제거하면

$cos \theta = \sqrt{1-sin^{2} \theta}$

어디선가 많이 본 보양이지요?

즉, $x$를 $sin \theta$로 치환하면 자연스럽게 루트가 들어간 식이 정리되면서 적분이 가능한 형태로 바뀔 것 같습니다!

일단, $x$를 치환하면 $dx$도 같이 치환해 줘야 하므로 미분을 때려 봅시다.

$x=sin \theta$

$dx=cos \theta d\theta$

그럼 이렇게 준비된 x를 가지고 치환적분을 해보겠습니다.

$ \int \sqrt{1-x^{2}} dx $

$ \int \sqrt{1-sin^{2} \theta} cos \theta d\theta]_{x=sin \theta, dx=cos \theta d\theta} $

$ \int cos \theta \cdot cos \theta d\theta $

$ \int cos^{2} \theta \, d\theta $

여기서 다시 난관에 봉착합니다. $ cos^{2} \theta $를 적분하려면 많은 애로사항이 꽃핍니다.

일단 제곱을 떨어내야하는데, 어떻게 떨어내야할지 생각해봤더니... 배각공식을 역이용해서 떨어보겠습니다.

$ cos 2\theta \, = \, cos^{2} \theta - sin^{2} \theta $

참고로 배각공식은 삼각함수의 덧셈공식에서 온겁니다

$ cos (\alpha+\beta) = cos \alpha \cdot cos \beta - sin \alpha \cdot sin \beta $

자, 일단 $ cos^{2} \theta $를 $ cos 2\theta $로 바꿀 수 있는 실마리를 잡았는데, 뒤에 $ sin^{2} \theta $는 어떻게 없앨 수 있을까요?

여기서 삼각함수 무적의 공식 $ sin^{2} \theta + cos^{2} \theta = 1 $이 등장합니다.

$ sin^{2} \theta = 1 - cos^{2} \theta $로 만들고, 원 식에 대입하면

$ cos 2\theta = cos^{2} \theta - (1 - cos^{2} \theta) $

$ cos 2\theta = 2cos^{2} \theta - 1 $

우리는 $ cos^{2} \theta $를 바꿔야 하니 $ cos^{2} \theta $로 정리해보죠

$ cos^{2} \theta = \frac{cos 2\theta +1}{2} $

그럼 바로 대입하면

$ \int cos^{2} \theta \, d\theta $

$ \int \frac{cos 2\theta +1}{2} \, d\theta $

$ \frac{1}{2} (\int (cos 2\theta + 1) \, d\theta) $

$ \frac{1}{2} (\frac{1}{2}sin 2\theta + \theta) $ +C 생략

자, 드디어 적분을 완료해서 적분기호가 사라졌습니다.

그러나 $ sin 2\theta $는 뭔가 보기에 깔끔하지 않죠.. 똑같이 삼각함수 배각공식을 이용하여 단일 $ \theta $항으로 만들어줍시다.

$ sin 2\theta = 2 \cdot sin \theta \cdot cos\theta $

물론 이 배각공식도 덧셈공식에서 왔습니다.

$ sin (\alpha+\beta) = sin \alpha \cdot cos \beta + cos \alpha \cdot sin \beta $

따라서 원 식에 배각공식을 이용하여 풀어주면

$ \frac{1}{2} (\frac{1}{2}(2 \cdot sin \theta \cdot cos\theta) + \theta) $

$ \frac{1}{2} (sin \theta \cdot cos\theta + \theta) $

$ \frac{1}{2}sin \theta \cdot cos\theta + \frac{1}{2}\theta $

여기서

$ x = sin \theta $

$ \theta = arcsin x $

$ y = \sqrt{1-x^{2}} = cos \theta $

이므로, $ \theta $에 대한 식이 아닌, 원 x에 대한 식으로 바꿔주면

$ \frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{1-x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot arcsin \, x $

이 나오고, 이는 이 전 포스팅의 결과 식과 완전히 같은 모양이 됩니다.