직선 두개로 뢸로 삼각형(Reuleaux triangle) 4등분 하기[그러나 이제 적분이 없는]

직선 두개로 뢸로 삼각형(Reuleaux triangle) 4등분 하기[그러나 이제 적분이 없는]

[나야 기하학]

말머리-

어제 뢸로 삼각형을 해체했다는 기쁨도 잠시... 어제 포스팅 쓰면서 적분 변환하느라 아주 길고 긴 latex을 작성했던 것이 떠올랐다.

근데 적분 말고, 전에 원을 나눌때도 기하학으로 하면 더 편했던 것 처럼 기하학으로는 안될까..?

싶었는데... 고민해보니 되긴하네!? 해서 시작한 포스팅이네요

하다보니 항이 많고, 원 변수를 모두 포함해서 계산하자면 아주 복잡해지는데 이를 적당히 간단한 변수로 치환치환 해가며 정리하면 금새 수식이 정리되는게, 정말 복잡한 적분 없이 바로 결과식에 도달하는게 재미지네요!

 

수식세우기-

1] 도형 나누기

이전 포스팅인 >>적분으로 뢸로삼각형 4등분하기<<를 기본으로 보시면 좋습니다.

기본 뼈대는 같습니다. 뢸로삼각형 넓이의 $ \frac{1}{4} $을 구하는 거지요.

그러나 기하학을 곁들여서 생각해보면 이번에는 뢸로삼각형을 아래와 같이 나눠볼 수 있을 것 같네요!

예 색칠을 좀 해봤습니다!

저 자주색 영역이(빗금까지 포함해서) 부채꼴입니다. 뢸로 삼각형의 정의가 한 꼭지점을 원점으로하여 다른 두 꼭지점을 연결하는 원의 일부분을 그리는 것이었으니 당연히 한 꼭지점을 원점으로하는 자주색 영역은 부채꼴이 됩니다.

다만 여기서는 임의의 각 $ \theta $만큼의 부채꼴인거죠.

자 그러면 이제 뢸로삼각형의 영역의 $ \frac{1}{4} $의 넓이를 저 도형들로 살펴보죠!

먼저 자주색 부채꼴 넓이에서 빨간색 삼각형 넓이를 빼고 파란색 삼각형 넓이를 더하고 주황색 활꼴의 절반 넓이를 더하면 뢸로 삼각형의 1/4이 되겠네요!

 

똑같이 뢸로삼각형의 내부 정삼각형의 밑변을 y=0에 두고, 그 높이를 a라고 칭하겠습니다.

그리고 a높이에서 x위치는 이전 포스팅과 동일하게 원의 방정식으로 놓겠습니다.

그러면,

$ 자주-빨강+파랑+주황 = \frac{1}{4} 뢸로삼각형 전체 넓이 $

으로 볼 수 있고, 이거를 좀 더 있어보이게 표현해보면 아래와 같습니다.

$ A_{Sector}-A_{SectorTriangle}+A_{UpperTriangle}+\frac{1}{2}A_{Segment} = \frac{1}{4}A_{ReuleauxTriangle} $

자, 이제 각각의 넓이를 구하러 출동해보시죠

 

2] 각각의 넓이 구하기

차례대로 하나씩 넓이를 구해보죠

일단 자주색 부채꼴입니다.

임의의 각 $ \theta $로 계산하면 부채꼴의 넓이는

$ A_{Sector} = \frac{1}{2}d^2\theta $

이렇게 되겠죠?

다음은 빨간 삼각형입니다.

삼각형의 넓이는 밑변*높이*절반 입니다. 여기서 밑변은 폭의 절반이지만, 높이는 일반각 $ \theta $로 정의되기때문에 밑변에 $ tan\theta $를 곱한 것으로 알 수 있죠. 따라서

$ A_{SectorTriangle} = \frac{1}{2}*\frac{1}{2}d*\frac{1}{2}dtan\theta $

이 됩니다.

파란 삼각형을 보죠

빨간 삼각형과 비슷하게 밑변*높이*절반을 가져가려하나, 밑변에 해당하는 길이가 변수 a에 의해서 계속 변화합니다. 따라서 밑변은 변수 a에 의해 길이가 결정되는데, 이 법칙을 나타낸게 원의 방정식을 정리한 함수죠. 자세한 내용은 이전 포스팅에 있으니 여기서는 빠르게 수식을 세워보도록 하겠습니다.

그리고 이 파란 삼각형에서도 높이는 밑변에 tan값을 곱한 값이 되는데, 여기서 일반각은 평행한 두 직선 사이 엇각의 관계가 되므로(정확히는 내엇각(alternate interior angle)) 똑같이 $ \theta $가 됩니다.

수식으로 세워보면

$ A_{UpperTriangle} = \frac{1}{2}*(\sqrt{d^2-a^2}-\frac{d}{2})*(\sqrt{d^2-a^2}-\frac{d}{2})tan\theta $

이 됩니다.

대망의 활꼴의 절반인 주황색이 나왔습니다. 

전체 활꼴의 넓이는 아래와 같고

$ A_{Segment} = \frac{1}{2}d^2\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}d^2 $

이것의 절반이 주황색의 넓이죠?

전체 수식에서 나중에 1/2을 해줄테니 수식은 여기까지 세우는 걸로 하죠

마지막 뢸로 삼각형의 넓이 입니다.

$ A_{ReuleauxTriangle} = \frac{3}{2}d^2\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}d^2 $

부채꼴넓이*3-정삼각형넓이*2 해주면 나옵니다.

이제 각각의 넓이를 다 구했으니 다 합칠까요?

아뇨... 각각만 봐도 너무 복잡한데 지금 다 합쳐버리면 길이가 너무 길어져요...

그러니 동일하게 각각 다 수식을 정리해서 마지막에 합쳐보죠!

 

3] 수식 정리하기

$ \frac{a}{d} = s $ 로 놓겠습니다. 그럼 $ a = ds $도 성립하겠죠?

그리고 sin함수의 정의는 임의의 각 $ \theta $에 대해 그 직각삼각형의 $ \frac{높이}{빗변} $로 정의됩니다. 따라서
$ sin\theta = \frac{a}{d} $ 가 되겠네요. 그리고 $ \frac{a}{d} = s $니까, 삼단논법으로 $ sin\theta = s $입니다.

sin을 정의했으니 다른 삼각함수들도 정의해보죠. 삼각함수들은 하나가 정해지면 다른것들로도 다 변환이 된답니다.
$ cos\theta = \sqrt{1-sin^2\theta} = \sqrt{1-s^2} $
$ tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta} = \frac{s}{\sqrt{1-s^2}} $

자, 이제 간단하게 할 준비는 다 끝났습니다. 수식정리하러가죠

부채꼴은 다음과 같이 정리될겁니다. $ sin\theta=s $면 $ \theta=arcsin\ s $겠죠?

$ A_{Sector} = \frac{1}{2}d^2\theta $
$ A_{Sector} = \frac{1}{2}d^2arcsin\ s $

빨간삼각형은

$ A_{SectorTriangle} = \frac{1}{2}*\frac{1}{2}d*\frac{1}{2}dtan\theta $
$ A_{SectorTriangle} = \frac{d^2s}{8\sqrt{1-s^2}} $

파란삼각형은

$ A_{UpperTriangle} = \frac{1}{2}*(\sqrt{d^2-a^2}-\frac{d}{2})*(\sqrt{d^2-a^2}-\frac{d}{2})tan\theta $
$ A_{UpperTriangle} = \frac{d^2}{2}(\sqrt{1-s^2}-\frac{1}{2})^2\frac{s}{\sqrt{1-s^2}} $

요렇게 정리가 되겠네요!

활꼴과 뢸로 삼각형도 각각 절반, 사등분 해준 결과를 먼저 써서 정리하죠

$ \frac{1}{2}A_{Segment} = \frac{d^2}{4}(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}) $
$ \frac{1}{4}A_{ReuleauxTriangle} = \frac{d^2}{8}(\pi-\sqrt{3}) $

이 두개는 상수항이므로 먼저 계산을 통해 정리해보도록 하겠습니다.

$ A_{Sector}-A_{SectorTriangle}+A_{UpperTriangle}+\frac{1}{2}A_{Segment} = \frac{1}{4}A_{ReuleauxTriangle} $

이게 전체식이구요, 상수항을 이항해서

$ A_{Sector}-A_{SectorTriangle}+A_{UpperTriangle} = \frac{1}{4}A_{ReuleauxTriangle}-\frac{1}{2}A_{Segment} $

요렇게 놓은뒤에 위에서 정리한 식을 넣고 다시 정리하면

$ A_{Sector}-A_{SectorTriangle}+A_{UpperTriangle} = \frac{d^2\pi}{24} $

요렇게 상수항이 깔끔해집니다.

이제 나머지 식들을 대입해보죠

$ \frac{1}{2}d^2arcsin\ s-\frac{d^2s}{8\sqrt{1-s^2}}+\frac{d^2}{2}(\sqrt{1-s^2}-\frac{1}{2})^2\frac{s}{\sqrt{1-s^2}} = \frac{d^2\pi}{24} $

길어졌죠? 일단 공통되는 변수를 양변 나눠줘서 일단 최대한 간단하게 해봅시다.

$ \frac{d^2}{2} $로 양변 나누면(=$ \frac{2}{d^2} $로 양변 곱하면)

$ arcsin\ s-\frac{s}{4\sqrt{1-s^2}}+(\sqrt{1-s^2}-\frac{1}{2})^2\frac{s}{\sqrt{1-s^2}} = \frac{\pi}{12} $

훨씬 간단해졌죠?

그래도 루트가 있으니까 뭔가 보기 불편합니다. 더 줄여보죠. $ u = \sqrt{1-s^2} $ 이렇게 루트를 치환해보겠습니다.

$ arcsin\ s-\frac{s}{4u}+(u-\frac{1}{2})^2\frac{s}{u} = \frac{\pi}{12} $

보기 훨씬 편하죠?

이제 세번째 항의 제곱을 풀어봅시다. 아주 수식이 간단하니 그 옆에 있는 곱셈으로 연결된 부분까지 같이 곱해주죠. 이렇게 간단하게 놓은 상황에서 풀면 간단하지만, 처음부터 풀어버리려면 아주 복잡했겠죠?

$ arcsin\ s-\frac{s}{4u}+(su-s+\frac{s}{4u}) = \frac{\pi}{12} $

보면 $ \frac{s}{4u} $가 덧셈 뺄셈으로 있네요? 소거해주면

$ arcsin\ s+su-s = \frac{\pi}{12} $

와우 엄청 간단한 식이 나왔네요

이제 줄이고 줄인 식이니까, 다시 치환한 변수들을 원래 변수들로 돌려주죠.

일단 u를 다시 s로,

$ arcsin\ s+s\sqrt{1-s^2}-s = \frac{\pi}{12} $

그리고 s를 다시 a와 d로 바꿔줍니다.

$ arcsin \frac{a}{d}+\frac{a}{d}\sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}-\frac{a}{d} = \frac{\pi}{12} $

그러면!!

바로 적분으로 풀었던 식과 완전 동일한 식이 짜잔 하고 나타난답니다.

 

결론-

조금 번거롭지만 복잡한 적분 없이도 풀 수 있었던 것이었습니다!