사이클로이드의 면적구하기(면적분)

사이클로이드의 면적구하기(면적분)

말머리-

사이클로이드를 아주 뽕을 뽑아 먹어보자구요!

1탄 사이클로이드 선적분

에 이어 2탄 사이클로이드의 면적을 구해봅시다.

수식세우기-

직사각형의 면적은 어떻게 구하죠? 그렇죠 가로 곱하기 세로입니다.

곡선의 면적은요? 애매하죠?

여기서 정말 미세하게 나눠서 직사각형의 면적을 구한다음에 다 합치면? 곡선의 아래 면적이 되겠죠?

자, 가봅시다



각 위치에서 높이는 고정인데, 그 밑변만 아주아주 작게 잘라서 직사각형 구하고 다 합치면 되겠죠? 식으로 써 봅시다



직사각형 구하고

$ y dx $



다 합칩니다

$ \int y dx $



이렇게 쓸 수 있겠네요?



1탄에서 사이클로이드 매개변수로 어떻게 표현한다고 했죠?



$ x = r(t-sin t) $
$ y = r(1-cos t) $



저번처럼 미분하면~



$ dx = r(1-cos t) dt $

$ dy = rsin t dt $



그대로 대입해서 매개변수로 나타내 봅시다.



$ \int_{0}^{2\pi} y * dx $

$ \int_{0}^{2\pi} r(1-cos t) * r(1-cos t) dt $
$ r^2 \int_{0}^{2\pi} (1-cos t)^2 dt $

$ r^2 \int_{0}^{2\pi} (1-2cos t+cos^2 t) dt $
$ r^2 \int_{0}^{2\pi} (1-2cos t+\frac{cos 2t+1}{2}) dt $
$ r^2 \int_{0}^{2\pi} (\frac{3}{2}-2cos t+\frac{cos 2t}{2}) dt $

$ r^2 \frac{3}{2}t]_{0}^{2\pi} \because cos\ t, cos\ 2t $함수는 0에서 $ 2\pi $까지 적분하면 $ \pm 0 $

$ 3 \pi r^2 $

결론-

즉, 사이클로이드의 넓이는 원 넓이의 세배!