사이클로이드의 면적구하기(면적분)
말머리-
사이클로이드를 아주 뽕을 뽑아 먹어보자구요!
1탄 사이클로이드 선적분
에 이어 2탄 사이클로이드의 면적을 구해봅시다.
수식세우기-
직사각형의 면적은 어떻게 구하죠? 그렇죠 가로 곱하기 세로입니다.
곡선의 면적은요? 애매하죠?
여기서 정말 미세하게 나눠서 직사각형의 면적을 구한다음에 다 합치면? 곡선의 아래 면적이 되겠죠?
자, 가봅시다
각 위치에서 높이는 고정인데, 그 밑변만 아주아주 작게 잘라서 직사각형 구하고 다 합치면 되겠죠? 식으로 써 봅시다
직사각형 구하고
ydx
다 합칩니다
∫ydx
이렇게 쓸 수 있겠네요?
1탄에서 사이클로이드 매개변수로 어떻게 표현한다고 했죠?
x=r(t−sint)
y=r(1−cost)
저번처럼 미분하면~
dx=r(1−cost)dt
dy=rsintdt
그대로 대입해서 매개변수로 나타내 봅시다.
∫2π0y∗dx
∫2π0r(1−cost)∗r(1−cost)dt
r2∫2π0(1−cost)2dt
r2∫2π0(1−2cost+cos2t)dt
r2∫2π0(1−2cost+cos2t+12)dt
r2∫2π0(32−2cost+cos2t2)dt
r232t]2π0∵함수는 0에서 2\pi 까지 적분하면 \pm 0
3 \pi r^2
결론-
즉, 사이클로이드의 넓이는 원 넓이의 세배!
'Study > Mathematics' 카테고리의 다른 글
피보나치 수열을 선형대수로 풀어보자 (0) | 2025.03.30 |
---|---|
선형대수[Linear Algebra]: 행렬곱셈(Matrix multiplication)의 개념 정리 (0) | 2025.03.28 |
직선 두개로 뢸로 삼각형(Reuleaux triangle) 4등분 하기[그러나 이제 적분이 없는] (0) | 2024.11.14 |
직선 두개로 뢸로 삼각형(Reuleaux triangle) 4등분 하기 (0) | 2024.11.12 |
[수학/패러독스] 아리스토텔레스의 바퀴 역설(Aristotle's wheel paradox) (0) | 2024.10.07 |