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사이클로이드의 면적구하기(면적분)

말머리-


사이클로이드를 아주 뽕을 뽑아 먹어보자구요!

1탄 사이클로이드 선적분

에 이어 2탄 사이클로이드의 면적을 구해봅시다.


수식세우기-


직사각형의 면적은 어떻게 구하죠? 그렇죠 가로 곱하기 세로입니다.

곡선의 면적은요? 애매하죠?

여기서 정말 미세하게 나눠서 직사각형의 면적을 구한다음에 다 합치면? 곡선의 아래 면적이 되겠죠?

자, 가봅시다



각 위치에서 높이는 고정인데, 그 밑변만 아주아주 작게 잘라서 직사각형 구하고 다 합치면 되겠죠? 식으로 써 봅시다



직사각형 구하고

ydx



다 합칩니다

ydx



이렇게 쓸 수 있겠네요?



1탄에서 사이클로이드 매개변수로 어떻게 표현한다고 했죠?



x=r(tsint)
y=r(1cost)



저번처럼 미분하면~



dx=r(1cost)dt

dy=rsintdt



그대로 대입해서 매개변수로 나타내 봅시다.



2π0ydx

2π0r(1cost)r(1cost)dt
r22π0(1cost)2dt

r22π0(12cost+cos2t)dt
r22π0(12cost+cos2t+12)dt
r22π0(322cost+cos2t2)dt

r232t]2π0함수는 0에서 2\pi 까지 적분하면 \pm 0

3 \pi r^2


결론-


즉, 사이클로이드의 넓이는 원 넓이의 세배!

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