신입생의 꿈과 대학교 2학년의 꿈(Freshman's dream & Sophomore's dream)

신입생의 꿈과 대학교 2학년의 꿈(Freshman's dream & Sophomore's dream)

 

 

0. 서론

과거 작성하였던 0에서 1사이의 x^x(x의 x승) 적분 값 계산(integral from 0 to 1 x to the power x dx) 포스팅이 있습니다.

고등학생 때 미적분을 공부하다 궁금했었는데, 결국 그 당시에 해결하지는 못하고 나중에 대학교를 졸업하고 나서야 우연히 해결방법을 접하고 신기한 마음에 포스팅을 올렸었죠.

그러나 그때까지도 이게 정확히 뭔지 몰랐다가, 요근래 정확한 명칭을 알게되었습니다.

바로 "대학교 2학년생의 꿈(Sophomore's dream)"이라는 이름이더군요.

수학자들이 붙인 이름입니다.

이걸 보면 모든 학문이 한번에 짠하고 완성되는 경우는 없는 것 같습니다.

뭔가 하나씩 하나씩 시간이 지나며 완성되는 느낌이랄까요?

 

그런데 왜 하필 "대학교 2학년생의 꿈(Sophomore's dream)"일까요?

"대학교 1학년생의 꿈(신입생의 꿈, Freshman's dream)"도 있을까요?

혹시 다른 "꿈" 시리즈들도 있을까요?

 

이 포스팅의 시작은 바로 여기서 부터입니다.

 

 

1. 신입생의 꿈 혹은 대학교 1학년생의 꿈(Freshman's dream)

1-1. 정의

대학교 1학년생의 꿈은 다음과 같습니다.

$ (x+y)^p = x^p + y^p $

 

1-2. 유래

사실 곱셈공식을 처음 배울 때 처음 실수하는 구간이죠.

$ 3(x+y) = 3x+3y $와 같이 분배법칙에 익숙했던 우리 모두가 한번쯤은 거쳐가지 않았을까요

그리고 한편으론 '이렇게 쉬웠으면 얼마나 좋아~'싶은 바람이기도 하죠.(왜 '바람'이냐면, 아시잖아요? 일반적인 상황에서 p가 1인 경우를 제외하고는 이항계수와 각 항의 곱의 조합으로 인하여 저렇게 심플하게 나올 수가 없답니다)

그래서 어떻게 보자면, 수학자들이 "초심자들의 실수를 장난스럽게 놀리기 위해 + 초심자들의 바람"을 담아서 이것을 신입생의 꿈(Freshman's dream)이라고 부르기 시작했습니다.

"전 세계적으로 곱셈공식은 대학교 입학 전에 배우는데 왜 '신입생'이냐"고 하신다면, 사실 처음 붙인 사람의 의도를 알지 못하는 한 정확하게 알 수는 없지만 유추해보자면

1. 대학교육의 '초심자'의 의미
2. 제대로 학문하는 사람(교수)이 처음 보는 학생
3. 이전까지는 '기본'적인 것들을 배웠다면 정말 대학교에서 본격적인 '수학'이라는 학문에 처음 들어온 뉴비

뭐 이정도의 느낌으로 신입생의 꿈 혹은 대학교1학년생의 꿈이라고 불렀겠죠?

대략 용어가 처음 등장한건 1940년대, 본격적으로 교재에까지 올라온 건 1974년이라고하니, 그렇게 엄청 오래된 용어는 아닙니다.

 

1-3. 그냥 헛소리일 뿐인가?

그러나 일반적으로는 성립하지 않는 저 식도 특수한 환경에서는 성립하게 됩니다.

아주 간단하게 설명해서, 특정 수가 p가 되면 0이 되는 공간에서 p가 소수일 때 저 등식은 성립합니다.

가령 p가 2가 되면 0이 되는 공간이 있다고 해봅시다.

0은 0이고, 1은 1이고, 2는 0입니다.

여기서 $ (x + y)^2 $은 $ x^2 + 2xy + y^2 $으로 전개되지만, 공간 정의에서 2는 0이 되므로 결국 $ x^2 + 0 + y^2 = x^2 + y^2 $이 됩니다.

따라서 신입생의 꿈이 성립하는거죠.

 

여기서부터는 좀더 나아가는 부분입니다. 가볍게 읽고 싶으시다면 건너 뛰셔도 좋습니다. 읽다가 복잡하시면 그냥 넘어가셔도 좋습니다.

수학적으로 엄밀하려면 물론 여러 조건들이 붙어야 합니다.

수학적으로 엄밀한 신입생의 꿈 정의는 "단위원이 있는 가환환 공간에서 표수 p에 대해 p가 소수일 때 신입생의 꿈 식은 성립한다"입니다.

1-3-1) 단위원이 있는 가환환(Commutative ring with unity)

일단 공간은 단위원이 있는 가환환(Commutative ring with unity)이어야 합니다.

이야 첫 단어부터 엄청 어렵죠?

단위원이란 unit element로, 동그라미 원이 아니라 항등원 같은 '원소'를 나타내는 말입니다. 뜻도 항등원이랑 비슷한데, 보통 곱셈의 항등원을 단위원이라고 표현하는 경우가 많습니다.

가환환이란 쉽게 생각해서 가환 즉 '교환이 가능한 고리'라는 건데요.

환 즉 '고리'란건 뭐 영역을 잡다보니 나온말로, 나중가면 '체(영역)'이란 것도 나옵니다.

크게 그냥 '영역을 나타내는 말이구나~'하고 생각하면 되지만, 왜 하필 'ring'이라고 붙였을까 생각해보면

"덧셈과 곱셈을 통해 만들어지는 여러 연산 결과들이 '서로 연결되어 닫힌 구조(closed structure)'를 만든다는 점에서, 마치 연산 결과들이 하나의 고리를 이루듯이 연결되어 있다"는 비유적 표현이지 않을까 싶긴하네요.

그리고 여기서 나오는 '여러 연산'을 또 정의하는 부분이 "덧셈으로는 군을 이루고, 곱셈으로는 결합법칙이 만족되며, 분배법칙도 있는 연산 구조"입니다.

뺄셈, 나눗셈이 덧셈과 곱셈의 역연산이라는걸 생각하면 일단, 덧셈과 곱셈만으로 환을 정의하는 건 알겠습니다.

그리고 곱셈에 대해서 이 '환(ring)'은 이렇게 요구하죠 '너는 그냥 결합법칙, 분배법칙만 만족하면 돼'라고요.

근데, 여기서 덧셈에 대해서는 '군을 이룬다'는게 뭔 말일까요?

군은 group으로 환이 성립하기 위한 군은 '가환군'이라고 합니다.

즉, '환'은 다음과 같이 요구합니다.

'덧셈은 가환군을 만족시킬 것, 곱셈은 결합법칙, 분배법칙을 만족할 것'

그럼 또 가환군은 뭔가요?

가환군은 네가지 조건을 만족하는 것입니다.

1. 결합법칙 성립
2. 항등원 존재
3. 역원 존재  [여기까지가 '군'의 조건입니다]
4. 교환법칙 성립 [이것까지 만족하면 '가환군' 입니다]

그리고 덧셈에 대해서는 가환군을 만족해야 한다고 했으므로

1. 결합법칙 성립: $ (a + b) + c = a + (b + c) $
2. 항등원 존재: $ a + 0 = a $
3. 역원 존재: $ a + (-a) = 0 $
4. 교환법칙 성립: $ a + b = b + a $

요 네가지가 성립하면 덧셈에 대해서 가환군이 만족됩니다.

자, 여기까지가 '환(ring)'이 되기 위한 조건이었습니다.

엄청 복잡하죠?

그러면 가환환이란 무엇이냐?

결국 위에서 정의한 '환'에 '가환' 즉 교환법칙까지 성립하게하면 '가환환'이 됩니다.

아까 환은 덧셈은 가환군을 만족해야하고, 곱셈은 단순히 결합법칙, 분배법칙만 만족하면 된다. 고 했으니

가환환은 덧셈은 가환군을 만족해야하고, 곱셈은 단순히 결합법칙, 분배법칙, 교환법칙까지 만족하면 된다. 입니다.

이렇게 해서 가환환까지는 정의가 끝났는데, 그럼 다시 처음으로 돌아가서 왜 "'단위원'이 있는"이라는 조건이 붙었을까요?

잘 보시면 가환환의 정의에서 곱셈은 '항등원'과 '역원'조건이 없습니다.

왜 없는고 하면, 이것까지 만족시키기가 굉장히 까다롭거든요(그래서 이것까지 만족하는 영역을 '체(field)'라고 따로 부릅니다)

그러나 여기서, 우리는 곱셈의 항등원(=단위원)은 필요하기 때문에(나중에 표수의 정의에서 쓰입니다), '가환환'조건에 따로 '단위원'을 추가시킨겁니다.

우와 여기까지가 공간정의 였습니다.

왜 이런 공간정의가 필요하냐면, 곱셈공식이 위와같은 연산규칙들을 따라야 우리가 원하는 모양대로 정리가 되기 때문에 그렇습니다.

1-3-2) 표수 p(Characteristic p)

표수(characteristic)라는건 쉽게말해 mod(나머지) 연산을 하는 제수(divisor)입니다.

이것도 엄밀하게는 "환 또는 체의 항등원 1을 반복 덧셈했을 때 0이 되는 최소 자연수"라는 정의를 가지고 있으나, 현재 우리가 논의하고 있는 유한환에 대해서는 쉽게 위와같은 정의로 이해해도 됩니다.(결국 유한환에서는 같은 얘기거든요..)

예시로 보는게 더 쉽습니다 이건

p=2,

• 1 = 1 $ \Leftrightarrow $ 1 mod 2 = 1
• 1+1=0 $ \Leftrightarrow $ 2 mod 2 = 0

p=3

• 1 = 1 $ \Leftrightarrow $ 1 mod 3 = 1
• 1+1=2 $ \Leftrightarrow $ 2 mod 3 = 2
• 1+1+1=0 $ \Leftrightarrow $ 3 mod 3 = 0

바로 이해되시죠? 이름만 어렵습니다.

 

1-3-3) p가 소수일때

그럼 왜 p가 소수일때만 이 식은 성립하는 걸까요?

이항정리를 보면, 그 답이 나옵니다.

이항계수는 아래와 같이 정의됩니다.

$ \binom{p}{k} = \ _{p}C_k = \frac{p!}{k!(p-k)!} $

여기서, 우리는 $ x^p, \ y^p $의 계수인 1, 즉 $ k $가 0이나, $ p $가 아닌 항들에 대해서 볼 것이므로 $ 0 < k < p $조건이 붙겠죠.

그리고 이 수식을 다시 써보면

$ \frac{p \cdot (p-1) \cdots (p-k)!}{k!(p-k)!} = \frac{_{p}P_k}{k!} $로 정리할 수 있겠죠?

여기서, $ p $가 소수이면, 분모의 어떤 수와도 약분되지 않으므로 $ p $가 분자에 존재하게 됩니다.

반대로 $ p $가 합성수이면, 분모의 어떤 수와도 약분되므로, $ p $가 분자에 존재하지 않게됩니다.

따라서, $ p $가 소수라면, 계수는 무조건 $ p $의 배수를 계수로 가지게 됩니다.

그리고 표수가 $ p $였기 때문에, 이 항들은 모두 0이 되버리게 되죠.

 

이로써, 위의 엄밀한 정의를 따른다면 무조건 신입생의 꿈(Freshman's dream)은 성립합니다.

 

 

2. 대학교 2학년생의 꿈(Shopomore's dream)

자, 그럼 대학교 2학년생의 꿈은 뭘까요?

2-1. 정의

$ \int^1_0 x^{-x} dx = \sum \limits _{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} $

$ \int^1_0 x^x dx = \sum \limits _{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^n} = - \sum \limits _{n=1}^\infty (-n)^{-n} $

위의 두 식을 대학교 2학년의 꿈이라고 합니다.

그리고 위키피디아 등 여러 문헌에서 두 식을 1697년 요한 베르누이(Johann Bernoulli)가 발견했다고 저술하고 있습니다.

여담으로 요한 베르누이는, 우리에게 익숙한 '베르누이의 정리'를 발표한 다니엘 베르누이의 아버지 입니다.

 

2-2. 유래

그럼 진짜로 요한 베르누이는 이 두 식을 발표했을까요?

현재 문헌상에서 찾을 수 있는 것은 1742년에 총 4권으로 출간된 "Opera omnia"입니다.

Jean(Johann) Bernoulli가 그동안 저술한 것을 모아서 출간한 전집이죠.

그리고 여기서 Vol 3, pp 376-383에 "대학교 2학년의 꿈" 식의 증명이 등장합니다.

(원문은 구글 아카이브(https://archive.org/details/johannisbernoul00berngoog/page/n406/mode/1up)에서 확인하실 수 있습니다. 세상좋아졌어요.. 1742년 출간된 책을 인터넷으로 볼 수 있다니...)

1697년 악타 에루디토룸(Acta Eruditorum) 3월호에 실린 논문의 내용을 다시 정리하여 소개하고 있죠.

이 논문에서 요한 베르누이는 "지수함수 계산법의 원리(Principia calculi exponentialium)는 내가 처음 고안해낸 것으로, 이후 1697년 3월호 "Acta Eruditorum"에 발표했다"라고 밝히고 있습니다.

그리고 내용을 좀 더 살펴보면, 사실은 본인은 이 증명을 이미 예전에 발견하였으나 따로 알리지는 않고있었지만 라이프니츠 등 다른 수학자들이 요청하여 공개한다고 밝히고 있습니다.

그리고 뒤이어 나오는 증명은 $ \int_0^1 x^x dx $를 급수로 풀어내는 증명입니다.

 

우리는 이전 포스팅(https://omnil.tistory.com/173)에서 감마함수를 이용하여 식변형 만을 가지고 이를 풀었었는데요,

실제로 요한 베르누이는 이 적분을

1. 로그변환($ x^x = e^{x \cdot \ln x} $)
2. 매클로린 급수 전개
3. 항별 부분적분
4. x = 1 대입

의 방법으로 구하고 있습니다.(이후에는 일반항 $ x^n(\ln x)^m $에 대한 일반화된 적분 규칙을 정립하고, 논문을 마무리짓습니다.)

더불어, 이 식은 매우 빠르게 수렴하기 때문에 앞 몇 항만 계산해도 소수점 아래 10자리까지 계산할 수 있다고 밝혔습니다.

즉, 요한 베르누이의 논문에서는

$ \int^1_0 x^x dx = \sum \limits _{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^n} = - \sum \limits _{n=1}^\infty (-n)^{-n} $

이 식만 등장한다고 볼 수 있죠.

 

2-3. 검증

그렇다면, $ \int^1_0 x^{-x} dx = \sum \limits _{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} $ 이 식은 어디서 나온걸까요? 후대에 다른 수학자가 임의로 넣은 걸까요?

사실 베르누이의 방식을 따르던, 저희가 구했던 방식을 따르던 첫 함수를 $ x^{-x} $로 놓고 풀면, 아주 간단하게 식이 유도됩니다.

따라서 베르누이가 발견했다고도 볼 수 있죠(베르누이가 이 함수를 적분할 수 있는 방법을 찾은거나 마찬가지니까요)

더불어 오히려 처음 구한 $ x^x $보다 그 식이 너무나도 깔끔하고 딱 보기에 좌항과 우항이 적분이냐 급수냐의 차이만 있을 뿐 식이 똑같기 때문에 놀라움을 자아낼 수 있죠.

$ \int^1_0 \frac{1}{x^{x}} dx = \sum \limits _{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} $

그리고 이것을 바탕으로 대학교 2학년의 꿈(Sophormore's dream)이라는 언어유희가 탄생합니다.

첫 언급은 Borwein의 저술에 2004년에 등장하는 것으로 알려져 있습니다.

 

2-4. 신입생의 꿈 vs 대학교 2학년의 꿈

신입생의 꿈이라는 말은 위에서 '직관적으로 될 것 같지만 되지 않는 등식'을 일종의 '장난+그들의 염원'을 담아서 장난식으로 붙였다고 했습니다.

여기서 대학교 2학년의 꿈이라는 말은 반대로 '직관적으로 이게 돼!?' 싶은 등식이 '실제로 성립하는' 놀라움을 담아 붙인 셈입니다.

 

 

3. 다른 꿈 시리즈?

인터넷을 돌아다니다보면 '초등학생의 꿈'이니 뭐니 여러 '꿈'시리즈가 보이는 듯도 싶은데, 세계적으로 통용되는 보편적인 개념이나 용어는 아니고, 오히려 "'신입생의 꿈'처럼 어찌보면 '억지'인 상황을 제시하고, 어떤 특수한 상황에서는 성립한다는 것을 제시하는" 스타일입니다.

대표적으로 '초등학생의 꿈'은 과학잡지 등에서 기고로 실렸던 흔적을 찾을 수 있습니다.(뭐 사실 문제는 만들기 나름이지요. 신입생의 꿈 스타일이면 다 '~~꿈'이라고 할 수 있지 않을까요)

 

억지인 상황:

분수의 덧셈에서 통분을 하지않고, 분모끼리 분자끼리 더하는 상황(현실적으로는 성립하지 않지만, 직관적으로 '이렇게 해도 되지 않나!?'싶은 오류 상황)

 

특수한 해:

어떠한 집합 $ F_n $를 정의합시다.

이 집합은 0과 1사이의 기약분수의 모임입니다.

그리고 여기서 분모가 n 이하인 것들을 크기 순서대로 배열하기로 합시다.

수식으로 표현해보자면,

$ F_n = \left\{ \frac{a}{b} \,\middle|\, 0 \leq \frac{a}{b} \leq 1,\ \gcd(a,b) = 1,\ b \leq n \right\} $

이 됩니다. 여기서 gcd는 최대공약수(Greatest Common Divisor)로, 최대공약수가 1이라는 말은 두 수가 서로소(coprime)이라는 뜻이고 분수로 확장되면 기약분수를 나타내는 말이 되겠죠?

참고로 이 집합의 이름은 Farey set이라고 부른답니다.

예시로 볼까요?

• $ F_1 = \left\{ \frac{0}{1}, \frac{1}{1} \right\} $
• $ F_2 = \left\{\frac{0}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{1} \right\} $
• $ F_3 = \left\{\frac{0}{1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{1} \right\} $

그리고 이 집합의 연속된 세 수를 고르면, 첫항과 세번째항의 '초등학생의 꿈' 연산의 결과가 두번째 항이 되는 것을 알 수 있습니다.

 

 

4. 결론

역사적 시간으로 다시 정리해보자면,

1. 베르누이가 1697년에 $ \int^1_0 x^x dx = \sum \limits _{n=1}^\infty (-1)^{n+1}n^{-n} = - \sum \limits _{n=1}^\infty (-n)^{-n} $을 발견
2. 1940~70년대 신입생의 꿈이라는 말이 만들어짐(초심자의 실수+그들의 바람 을 표현한 용어(직관적으로 될 것 같은데 안된다))
3. 2004년 Borwein등의 저술에서 베르누이가 발견한 내용에 대학교 2학년생의 꿈이라는 용어를 붙임(신입생의 꿈과는 반대로 '직관적으로 맞는거 같은데... 맞는다!' 느낌)[여기서 원래 베르누이의 발견은 $ \int_0^1 x^x dx $이었지만, 약간 바꾸어서 더 아름다운 형태인 $ \int_0^1 x^{-x} dx $를 대표적인 식으로 표현(사실상 약간의 식변형이라 베르누이 논문에 직접 언급되지는 않지만 베르누이가 발견했다고해도 틀린말은 아님)]
4. 이후에 다른 '꿈'들이 있었지만, 세계적으로 통용되는 것들은 아님

이렇게 되겠네요

 

 

5. 마무리

어떻게 오늘 포스팅도 즐거우셨나요? 우리모두 꿈을 꿔보도록 합시다~