연산의 정의부터 군, 환, 체까지 – 닫힘성에서 시작하는 대수 구조의 세계

연산의 정의부터 군, 환, 체까지 – 닫힘성에서 시작하는 대수 구조의 세계

 

0. 들어가며

우리는 고등학교 수학 시간에 처음으로 연산이라는 개념을 접합니다.

특히 "자연수끼리 더하면 자연수다" 또는 "자연수끼리 나누면 자연수가 아니다"라는 식으로 연산에서 '닫혀 있다', '열려 있다'는 개념을 처음 접했던 기억이 있을 것입니다.(고등학교 수학시간에 너무 뜬금없이 나왔던 그거 말입니다..)

이렇게 연산의 성질을 분석하는 과정은 고등학교, 대학교를 지나면서 더 정교해지고 추상화됩니다.

결국 하나의 연산 혹은 여러 연산이 어떤 성질을 만족하는지를 기준으로, 군(group), 환(ring), 체(field) 같은 수학적 구조로 발전하게 됩니다.

 

 

1. 연산이란?

연산(operation)이란, 어떤 집합에 정의된 규칙으로서, 집합의 원소들을 입력받아 결과를 내는 함수입니다.

• 단항 연산: 원소 1개 → 예: 음수, 제곱근
• 이항 연산: 원소 2개 → 예: 덧셈, 곱셈

가장 흔한 이항 연산의 예는 다음과 같습니다:

• 정수의 덧셈: ∀a,b∈ℤ, a + b ∈ ℤ → 닫혀 있음 (여기서 ∀는 '모든' 이라는 뜻이고, ∈는 속한다는 뜻입니다)
• 자연수의 뺄셈: 3 - 5 = -2 ∉ ℕ → 닫혀 있지 않음

 

 

2. 연산의 성질

이항 연산에 대해 주요하게 다루는 성질은 다음과 같습니다:

• 닫힘성: 결과가 다시 같은 집합에 속함
• 결합법칙: (a * b) * c = a * (b * c)
• 항등원: a * e = a = e * a
• 역원: a * a⁻¹ = e
• 교환법칙: a * b = b * a

 

 

3. 주요 대수적 구조 비교표

구조	결합법칙	항등원	역원	가환성	분배법칙	설명 / 예시
마그마 (Magma)	❌	❌	❌	❌	❌	임의의 이항연산만 있는 집합 예: (S, *)
반군 (Semigroup)	✅	❌	❌	❌	❌	결합법칙 만족 예: (ℕ, +)
모노이드 (Monoid)	✅	✅	❌	❌	❌	항등원 존재 예: (ℕ, +, 0)
군 (Group)	✅	✅	✅	❌	❌	모든 원소가 역원 가짐 예: (ℤ, +)
아벨군 (Abelian Group)	✅	✅	✅	✅	❌	가환군 예: (ℝ, +)
준군 (Quasigroup)	❌	❌	✅	❌	❌	항등원 없이도 양쪽 해 존재 예: 라틴방진 구조
루프 (Loop)	❌	✅	✅	❌	❌	항등원 + 준군 예: 옥타니온
환 (Ring)	✅	✅ (덧셈) ❌ (곱셈)	✅ (덧셈) ❌ (곱셈)	✅ (덧셈) ❌ (곱셈)	✅	두 연산 +, × 보유 덧셈은 아벨군 곱셈은 결합 + 분배 법칙 만족 곱셈 항등원은 필수가 아님(전통적) 곱셈 항등원 없는 환을 rng로 정의(현대적) 예: (ℤ, +, ×), (2ℤ, +, ×)
가환환 (Commutative   Ring)	✅	✅ (덧셈) ❌ (곱셈)	✅ (덧셈) ❌ (곱셈)	✅	✅	환 + 곱셈 가환성 곱셈 항등원은 선택적 예: (ℝ[x], +, ×)
단환 (Ring with Unity)	✅	✅	✅ (덧셈) ❌ (곱셈)	✅ (덧셈) ❌ (곱셈)	✅	일반적인 환에 곱셈 항등원(1) 포함 예: (ℤ, +, ×), (ℚ[x], +, ×)
정역 (Integral Domain)	✅	✅	✅ (덧셈) ❌ (곱셈)	✅	✅	가환 단환 + 제로인멸성 예: (ℤ, +, ×)
디비전링 (Division Ring)	✅	✅	✅ (덧셈) ✅ (곱셈: 0 제외)	✅ (덧셈) ❌ (곱셈)	✅	모든 0이 아닌 원소가 곱셈 역원을 가짐 곱셈은 가환이 아님 예: 쿼터니언 ℍ
체 (Field)	✅	✅	✅ (덧셈) ✅ (곱셈: 0제외)	✅	✅	정역 + 곱셈역원 존재 예: (ℚ, +, ×), (ℝ, +, ×), (𝔽ₚ)

※ 참고: 모든 곱셈 결과가 0이 되는 '제로환(zero ring)'이라는 극단적인 구조도 있으나, 보통은 정역이나 체와 같은 구조에 포함되지 않으므로 이 글에서는 생략합니다.

 

4. 예시로 보는 구조들

• ℕ (자연수): 덧셈에 대해 닫혀 있음 → 반군
• ℤ (정수): 덧셈에 대해 아벨군, 곱셈은 결합법칙만 → 환
• ℚ (유리수): 덧셈과 곱셈 모두 아벨군 (0 제외) → 체
• n × n 정방행렬: 덧셈에 대해 아벨군, 곱셈에 대해 모노이드 → 환(종합적으로)

 

 

5. 마무리

하나의 연산으로부터 시작해 여러 가지 성질을 차례로 추가하면, 대수학의 주요한 구조들이 자연스럽게 나타납니다.

마그마 → 반군 → 모노이드 → 군 → 아벨군 → 환 → 정역 → 체 순으로 점점 더 많은 조건이 요구됩니다.

 

이러한 분류는 단순히 집합과 연산의 조합이 아니라, 구조 전체가 어떤 논리적 규칙을 따르는지를 보여주는 강력한 언어입니다.

우리가 흔히 다루는 숫자나 행렬도 사실 이 구조의 일부이며, 연산의 정의와 성질을 이해함으로써 훨씬 깊이 있는 수학 공부가 가능해집니다.

 

 

6. 참고 수식

• 연산의 닫힘성: ∀a, b ∈ S, a * b ∈ S  
• 결합법칙: (a * b) * c = a * (b * c)  
• 항등원: ∃e ∈ S, ∀a ∈ S, e * a = a * e = a  (∃표시는 ~가 존재할때 라는 뜻입니다)
• 역원: ∀a ∈ S, ∃a⁻¹ ∈ S, a * a⁻¹ = e  
• 교환법칙: ∀a, b ∈ S, a * b = b * a