세상에서 가장 아름다운 수식(박사가 사랑한 수식, 오일러 항등식)

세상에서 가장 아름다운 수식(박사가 사랑한 수식, 오일러 항등식)

 

0. 서론

세상에서 가장 아름다운 수식 혹은 박사가 사랑한 수식을 아시나요?

바로 오일러 항등식(Euler's identity)

$ e^{\pi i}+1 = 0 $인데요(관련글 복소수 평면에서의 오일러 공식(Euler's formula))

왜 가장 아름다운 수식이라고 했을까요?

오늘은 이 이유를 알아보도록 하겠습니다.

 

1. 오일러의 공식에서 오일러 항등식으로 변형

오일러의 공식은 $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $입니다.

그리고 여기서 x에 $ \pi $를 대입하면, $ e^{\pi i} = -1 $를 얻을 수 있습니다.

그리고 -1을 이항하면(혹은 1을 양변에 더해주면) $ e^{\pi i} +1 = 0 $이라는 오일러 항등식이 만들어집니다.

 

참고로 항등식(identity)이라는 말은 '기호의 조작 없이 항상 참인 형태의 수식'을 의미합니다.

 

여기서 $ e^{\pi i} = -1 $은 왜 따로 안부르고, $ e^{\pi i} +1 = 0 $만 오일러 항등식이라고 부를까요?

두 가지 가능성 있는 이야기를 해보겠습니다.

 

1-1. 대입 결과 vs 자명한 등식

$ e^{\pi i} = -1 $는 사실 오일러 공식 $ e^{ix} = \cos x + i \sin x $에서 $ \pi $를 대입해준 결과에 불과합니다.

즉, 오일러 공식의 한가지 대입 결과(=특수 케이스)라고 볼 수 있는 형태이지요.

그러나, $ e^{\pi i} +1 = 0 $는 오일러 공식에 값을 대입한 결과를 "자명한 등식" 형태로 재정리한 것이라고 볼 수 있습니다.

따라서 이렇게 재정리된 식을 따로 '오일러 항등식'이라고 명명해 준 것이죠.

 

1-2. '0(無)'과 관계짓기

$ e^{\pi i} = -1 $ 자체로도 충분히 아름답습니다.

그러나 수학자들은 '+1=0' 형태로 이항하여 '0(無)'과의 관계를 만드는 것을 선호합니다. 이는 모든 중요한 요소들이 더해져 완벽한 '없음'의 상태, 즉 균형을 이룬다는 철학적 의미를 더하기 때문입니다.

실제로도 어떤 방정식을 푼다고 하면 '=0'으로 놓고 푸는 것이 일반적이고, 이런 것들이 '자명한 등식'이라는 느낌에 암암리에 영향을 미치지 않았을까 싶습니다.

 

2. 5개의 가장 기초적이고 중요한 수를 모두 포함

이 하나의 수식에 아래의 상수가 모두 들어 있습니다:

• $ e $ : 자연로그의 밑, 미적분과 자연성장의 핵심
• $ i $ : 허수 단위, 복소수 체계의 근간
• $ \pi $ : 원주율, 기하학과 주기성의 상징
• $ 1 $ : 곱셈 항등원, 수의 단위
• $ 0 $ : 덧셈 항등원, 무의 개념

이 5개는 각각 다른 수학적 영역을 대표합니다. 그들이 하나의 방정식에 조화롭게 등장하는 것은 극히 드문 일입니다.

 

 

3. 최소한의 수식으로 최대한의 의미 전달

이 수식은 다음의 특성을 모두 만족합니다:

• 등식(=)
• 지수함수
• 복소수
• 원주율
• 음수
• 항등식 형태

즉, 구조적으로 단순하면서도 의미적으로는 극단적으로 복잡하고 깊이 있는 내용을 담고 있습니다.

 

 

4. 해석학, 대수학, 복소수, 삼각함수, 위상수학까지 아우름

이 수식의 기원은 복소수 평면에서의 오일러 공식:

$ e^{ix} = \cos x + i\sin x $

입니다.(관련글 복소수 평면에서의 오일러 공식(Euler's formula))

여기서 $ \pi $ 를 대입하면 자연스럽게 오일러 항등식이 됩니다. 즉,

$ e^{i\pi} = -1 \Rightarrow e^{i\pi} + 1 = 0 $

이것은 복소수의 극형태 표현, 삼각함수와의 연계, 그리고 지수함수의 본질까지 포괄합니다.

 

 

5. 수학자들이 ‘신의 언어’라고 불렀을 정도로 완벽한 조화

리처드 파인만(Richard Feynman)은 이 수식을 "수학에서 가장 놀라운 공식"이라 칭했습니다.("Feynman once described Euler's identity as 'our jewel' in mathematics") 또 다른 수학자들은 이 수식을 "수학이 예술과 과학의 경계에서 빛나는 순간"이라고 평합니다.

 

 

6. 실제 응용성과 철학적 깊이 모두 갖춤

이 수식은 단지 아름답기만 한 것이 아니라, 파동 이론, 양자역학, 신호처리, 회전군 이론, 푸리에 해석 등에서도 핵심 역할을 합니다.

철학적으로도, “무(0)”와 “존재(1)”, “무한한 성장($e$)”, “회전과 순환($\pi$)”, “상상($i$)”이 함께 관계를 맺고 있다는 해석도 존재합니다.

 

 

7. 결론: 왜 아름다운가?

서로 다른 영역의 근본적인 수학 개념들이 극도로 단순한 형태로 만났기 때문입니다.

마치 우주와 시간, 존재와 무, 실재와 상상이 단 하나의 언어로 압축된 듯한 느낌을 주기 때문에, 이 수식을 보고 많은 수학자들이 "숭고함" 혹은 "경외심"을 느끼기 때문이죠..!

혹시 "아니 이 식이 왜 아름다운거야?" 싶으셨던 분들! 이 포스팅으로 이해하는데 도움이 되셨길 바랍니다!