푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 복소 푸리에 적분(Complex Fourier Integral)

푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 복소 푸리에 적분(Complex Fourier Integral)

 

0) 서론

저번 포스팅에서는 우리가 삼각함수로 만들어본 푸리에 급수를 복소지수함수꼴로 변형해 보았습니다.

더불어 더 나아가서 처음부터 복소지수함수 형태로도 유도해보았는데요.

이렇게 두 가지 경로를 전부 확인해 보는 것이 크게 도움이 되기 때문에 포스팅이 조금 길어져도 두 가지 모두 확인해 보았습니다.

 

이번에는

 푸리에 적분을 복소지수함수표현으로 나타내보겠습니다.

이제 우리는 cos, sin으로 만들어진 푸리에 적분표현도 알고 복소지수함수로 표현된 푸리에 급수표현도 아니까 이번에도 푸리에 적분을 두가지 방법으로 다 구해보죠.

먼저 cos, sin으로 표현된 푸리에 적분을 복소지수함수로 표현해보겠습니다.

그 이후 복소지수함수로 표현된 푸리에 급수를 푸리에 적분으로 확장해보도록 하죠.

 

또한 푸리에 변환은 개념적 도약이지만, 이미 우리는 그 단계를 거쳐왔으므로 여기서는 푸리에 적분에서 자연스럽게 푸리에 변환까지 유도합니다.

 

 

1) cos, sin으로 표현된 푸리에 적분을 복소지수함수로 변환하기

cos과 sin으로 표현된 푸리에 적분은 다음과 같았습니다.

\begin{align}

f(x) &= \int_{0}^{\infty} [A(\omega)\cos(\omega x) + B(\omega)\sin(\omega x)] d\omega \\

A(\omega) &= \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega t) dt \\

B(\omega) &= \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(\omega t) dt

\end{align}

 

이제 직접 변환해봅시다.

1단계: 계수 함수 $A(\omega)$와 $B(\omega)$를 f(x) 식에 대입하기

먼저, $f(x)$를 나타내는 첫 번째 식에 $A(\omega)$와 $B(\omega)$의 적분 정의를 직접 대입합니다.

$f(x) = \int_{0}^{\infty} \left[ \left(\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega t) dt\right)\cos(\omega x) + \left(\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(\omega t) dt\right)\sin(\omega x) \right] d\omega$

 

2단계: 적분 순서 변경 및 식 정리

$f(t)$와 $\frac{1}{\pi}$는 ω에 대한 적분에서 상수 취급할 수 있으므로, 적분 순서를 바꾸고 공통된 항을 묶어줍니다.

$f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) [\cos(\omega t)\cos(\omega x) + \sin(\omega t)\sin(\omega x)] dt \, d\omega$

 

3단계: 삼각함수 합차 공식을 이용한 단순화

대괄호 [] 안의 항은 코사인의 덧셈정리, cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB와 정확히 일치합니다. 이를 이용해 식을 단순화합니다.

$f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega(x-t)) dt \, d\omega$

 

4단계: 오일러 공식을 사용하여 cos을 복소지수함수로 변환

이제 핵심 단계입니다. 오일러 공식 $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$를 적용하여 $\cos(\omega(x-t))$를 복소지수함수 형태로 바꿉니다.

$f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \left( \frac{e^{i\omega(x-t)} + e^{-i\omega(x-t)}}{2} \right) dt \, d\omega$

상수 1/2를 밖으로 빼내고, 두 개의 지수 항으로 식을 분리합니다.

$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i\omega(x-t)} dt \, d\omega + \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega(x-t)} dt \, d\omega$

 

5단계: 적분 구간 통합을 위한 변수 치환

현재 ω에 대한 적분 구간은 0부터 ∞까지입니다. 이것을 -∞부터 ∞까지로 합치기 위해 트릭을 사용합니다. 두 번째 항에 집중해 봅시다.

 

두 번째 항에서 변수를 ω′=-ω로 치환합니다.

-치환: ω′=-ω ⟹ ω=-ω′

-미분: dω′=-dω ⟹ dω=-dω′

-적분 구간: ω가 0→∞로 변할 때, ω′은 0→-∞로 변합니다.

 

이것을 두 번째 항에 적용하면 다음과 같습니다.

 

$두 번째 항 = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{-\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i(-\omega')(x-t)} dt \, (-d\omega') $

 

$-d\omega'$의 마이너스 부호는 적분 구간의 순서($0 \to -\infty$)를 뒤집는 데($-\infty \to 0$) 사용될 수 있습니다.

 

$두 번째 항 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{0} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i\omega' (x-t)} dt \, d\omega'$

 

여기서 $\omega'$는 더미 변수(dummy variable)이므로 다시 ω로 이름을 바꿔도 무방합니다.

 

$두 번째 항 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{0} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i\omega(x-t)} dt \, d\omega $

 

6단계: 두 적분의 통합

이제 원래의 첫 번째 항과 변환된 두 번째 항을 봅시다.

 

적분구간이 연속되고, 두 항의 내부 적분 형태가 완전히 똑같으므로, ω에 대한 적분 구간을 합칠 수 있습니다.

 

\begin{align}

f(x) &= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i\omega(x-t)} dt \, d\omega + \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{0} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i\omega(x-t)} dt \, d\omega \\

f(x) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i\omega(x-t)} dt \right] d\omega

\end{align}

 

마지막으로, 지수 항을 $e^{i\omega x} \cdot e^{-i\omega t}$로 분리하여 식을 최종 형태로 정리합니다.

$ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt \right] e^{i\omega x} d\omega $

 

삼각함수 형태에서 복소지수형태로 '푸리에 적분'을 유도하였습니다.

 

7단계: 푸리에 변환 쌍(Pair) 정의

$ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt \right] e^{i\omega x} d\omega $

여기서 대괄호 [] 안의 부분은 시간 함수 $f(t)$를 주파수 함수로 변환하는 푸리에 변환(Fourier Transform)으로 정의됩니다.

 

$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt $

 

7단계의 결과를 푸리에 변환식을 써서 다시 나타내면

$ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega x} d\omega $

이렇게 되고, 이것을 우리는 '푸리에 역변환'이라고 부릅니다.

 

그리고 푸리에 변환과 역변환을 묶어서 푸리에 변환쌍이라고 부릅니다.

 

더불어 복소지수 형태는 '푸리에 적분'에서 생기는 계수가 바로 주파수 스펙트럼이 되어 식이 훨씩 깔끔해 졌습니다.(삼각함수로 나타낸 푸리에 적분에서는 계수 상태일땐 $\frac{1}{\pi}$가 붙어있다가, 푸리에 변환으로 정의한 식에서는 또 빠지고 그랬습니다.)

2) 복소지수함수로 표현된 푸리에 급수를 푸리에 적분으로 확장

삼각함수 형태에서 푸리에 급수를 푸리에 적분으로 확장하는 것과 기본 개념이 완전히 동일하기 때문에, 아마 기시감을 많이 느끼실거라 생각합니다.

개념상 그때와 중복되는 내용이 많겠지만, 그럼에도 불구하고 제대로 이해하고 있는지 한번씩 점검해보시면 좋을 것 같습니다.

 

핵심 아이디어는 주기 2L을 무한대(L→∞)로 보내는 것입니다. 이렇게 하면 주기 함수가 비주기 함수로 확장되고, 이산적인 주파수 성분의 합(Σ)이 연속적인 주파수 성분의 적분(∫)으로 변하게 됩니다.

 

1단계: 복소 푸리에 급수 정의하기

주기가 2L인 함수 $f(x)$는 다음과 같은 복소 푸리에 급수로 표현됩니다.

 

복소 푸리에 급수

$ f(x) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{n\pi}{L}x} $

복소 푸리에 계수

$ c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x)e^{-i \frac{n\pi}{L}x} dx $

 

푸리에 급수에서 주파수는 $\frac{\pi}{L}$의 정수배(n)로 이산적입니다. 이를 연속적인 주파수 변수로 바꾸기 위해 새로운 변수를 정의합니다.

 

이산 각주파수(Discrete Angular Frequency):

$ \omega_n = \frac{n\pi}{L} $

주파수 간격(Frequency Spacing): 인접한 주파수 사이의 간격입니다.

$ \Delta\omega = \omega_{n+1} - \omega_n = \frac{(n+1)\pi}{L} - \frac{n\pi}{L} = \frac{\pi}{L} $

 

이제 이 새로운 변수들을 사용하여 원래의 푸리에 급수 식에 계수 $c_n$의 정의를 직접 대입하여 하나의 식으로 만듭니다. (적분 변수는 t로 바꾸어 x와의 혼동을 피합니다.)

 

$ f(x) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \left[ \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(t)e^{-i \frac{n\pi}{L}t} dt \right] e^{i \frac{n\pi}{L}x} $

 

2단계: 식을 Δω로 표현하기

위에서 정의한 $ \Delta \omega = \frac{\pi}{L} $ 관계로부터 $\frac{1}{L} = \frac{\Delta\omega}{\pi}$를 얻을 수 있습니다. 이것을 $c_n$ 부분의 $\frac{1}{2L}$에 대입합니다.

$ f(x) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \left[ \frac{\Delta\omega}{2\pi} \int_{-L}^{L} f(t)e^{-i \omega_n t} dt \right] e^{i \omega_n x} $

 

이제 식의 순서를 조금 바꾸어 합의 맨 뒤에 Δω가 오도록 합니다.

$ f(x) = \frac{1}{2\pi} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-L}^{L} f(t)e^{-i \omega_n t} dt \right] e^{i \omega_n x} \Delta\omega $

 

이 형태는 리만 합(Riemann Sum)의 형태와 매우 유사합니다.

 

3단계: 극한 취하기 (L→∞)

이제 함수의 주기를 무한대로 보내는 극한을 취합니다. L→∞가 되면 다음과 같은 변화가 일어납니다.

 

- 주기 → 비주기: 함수는 더 이상 주기적이지 않고, 전체 실수 범위에서 정의됩니다. 따라서 적분 범위도 $(-\infty, \infty)$로 확장됩니다.

- 주파수 간격 → 0: $\Delta\omega = \frac{\pi}{L}$ → 0. 주파수 간격이 무한히 작아져 미분소 dω가 됩니다.

- 이산 주파수 → 연속 주파수: 이산적인 값들($ω_n$)이 모든 실수 값을 갖는 연속 변수 ω가 됩니다.

- 합(Summation) → 적분(Integral): 리만 합의 정의에 따라, Δω→0일 때 합 ∑은 적분 ∫으로 바뀝니다.

 

이 극한을 위 식에 적용하면,

 

$ f(x) = \lim\limits_{L \to \infty} \frac{1}{2\pi} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-L}^{L} f(t)e^{-i \omega_n t} dt \right] e^{i \omega_n x} \Delta\omega $

는 다음과 같이 변환됩니다.

$ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i \omega t} dt \right] e^{i \omega x} d\omega $

 

4단계: 푸리에 변환 쌍(Pair) 정의

이제 위 식에서 대괄호 [] 안의 부분을 새로운 함수 $F(\omega)$로 정의합니다. 이것이 바로 푸리에 변환입니다.

$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i \omega t} dt $

 

이 $F(\omega)$는 각 주파수 성분 ω가 얼마나 강하게 포함되어 있는지를 나타내는 "주파수 스펙트럼"입니다.

 

이것을 f(x) 식에 다시 대입하면 역 푸리에 변환을 얻습니다.

$ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i \omega x} d\omega $

 

이로써 복소푸리에급수를 복소푸리에적분으로 변환하고, 거기에서 바로 푸리에 변환까지 유도해 보았습니다.

 

 

3) 마무리

저번 포스팅에서 한번에 달려야 할 부분이 많아 길어졌기에, 이번 포스팅은 깔끔하게 적분과 변환 유도까지만 진행해보았습니다.

이제 수식적으로 모든 유도는 끝났습니다.

다음 포스팅에서는 복소푸리에변환을 한번 더 개념적으로 살펴보고 간단한 예제를 한번 풀어보도록 하죠!