무한서고

0에서 1사이의 x^x(x의 x승) 적분 값 계산(integral from 0 to 1 x to the power x dx)

1. Gamma function(감마함수)를 통하여 gamma(n+1)=n! 증명

  https://omnil.tistory.com/172에 증명 되어 있음

2. $e^x$의 매클로린 급수(Maclaurin series)를 구하기

  매클로린 급수의 일반항

    $p(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

  $e^x$는 모든 미분 차수에 대하여 그대로 $e^x$이며, $x=0$일 때 항상 1값을 갖는다.

  따라서, $e^x$를 매클로린 급수로 전개하면

    $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

3. $x^x$를 변환하기

  $\int_0^1 x^x dx$

  $= \int_0^1 e^{x\, ln\, x} dx \leftarrow \because x$ 는 $e^{ln\, x}$와 같으므로, $x^x = e^{x\, ln\, x}$

  $= \int_0^1 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x\, ln\, x)^n}{n!} dx \leftarrow \because e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ 이므로

  $= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_{0}^{1} (x\, ln\, x)^n dx$

4. $-ln\, x$를 $t$로 치환하기

  $-ln\, x = t$

  $ln\, x = -t$

  $x = e^{-t}$

  $dx = -e^{-t}dt$

  $x = 1 \rightarrow t = 0$

  $x = 0 \rightarrow t = \infty$

  $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_{0}^{1} (x\, ln\, x)^n dx$

  $= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_{\infty}^{0} e^{-nt}(-t)^n(-e^{-t}) dt$

  $= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_{0}^{\infty} e^{-nt}(-t)^n(e^{-t}) dt$

  $= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_{0}^{\infty} e^{-t(n+1)}(-t)^n dt$

  $= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \int_{0}^{\infty} e^{-t(n+1)}t^n dt$

5. $t(n+1)$을 $p$로 다시 치환해주기

  $t(n+1) = p$

  $t = \frac{p}{n+1}$

  $dt = \frac{1}{n+1} dp$

  $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \int_{0}^{\infty} e^{-t(n+1)}t^n dt$

  $= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \int_{0}^{\infty} e^{-p} \frac{p^n}{(n+1)^n} \frac{1}{n+1} dp$

  $= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \int_{0}^{\infty} e^{-p} \frac{p^n}{(n+1)^{(n+1)}} dp$

  $= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \frac{1}{(n+1)^{(n+1)}} \int_{0}^{\infty} e^{-p} p^n dp$

  $= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \frac{1}{(n+1)^{(n+1)}} n! \leftarrow \because \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n} dx = n!$

  $= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)^{(n+1)}} \leftarrow \because n!$ 약분

  $= 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^3} - ...$

6. 결과

  $\simeq 0.783431$