무한서고

멱급수 전개(Power series expansion)으로 피보나치 수열 풀기

결국 피보나치 수열 풀다가 멱급수까지 왔네요...

1. 계차의 등비수열로 풀기

2. 특성방정식으로 풀기

1. 멱급수로 피보나치 수열 풀기?

전 포스팅에서 왜 특성방정식으로 풀 수 있지?하면서 파보다가, 어느 Quora글에서 "멱급수로 풀다보면 자연스럽게 나와~"라는 걸 보고 멱급수로 풀어보았네요. 얼추 비슷한 형태가 나오기는 하지만 엄밀하게 멱급수에서 도출 가능한 생성함수는 특성방정식으로 유도하는 것과는 -부호의 차이가 있습니다. 이를 감안하면 사실상 멱급수에서 도출하는 생성함수가 1.번으로 풀때 사용되는 근과 계수의 관계에서의 변환($ a_{n+2} = x^2 $)에서도 사용되고, 2.번으로 풀때 놓게 되는 $ a_{n} = x^n $과도 연관이 생기니 어떻게보자면 근원을 잘 판 것 같습니다.

2. 어떻게 풀건데?

2-1. 일단 멱급수가 뭔데?

멱급수는 영어로 Power series, 혹은 한자로 冪級數라고 쓰입니다.

네이버 지식백과의 설명을 보자면

일반적으로 $ \sum a_ń(x-a)^ń $인 꼴로 나타낼 수 있는 급수를 말한다. 정급수(整級數)라고도 한다. $ a_0, a_1, …, a_ń $이 상수, $ x $가 변수인 다항식 $ a_0+a_1 x+a_2 x^2+…+ a_ń x^ń $을 무한히 연장한 식

      $ a_0+a_1 x+a_2 x^2+…+a_ń x^ń+… $

을 말한다. (후략)
[네이버 지식백과] 멱급수 [power series, 冪級數] (두산백과 두피디아, 두산백과)

라네요. 결국 특정 상수와 변수를 무한히 더한 급수를 말합니다.

그리고 이 멱급수는 등비급수의 성질을 띄기 때문에 공비라고 볼 수 있는 x의 값에 따라 수렴/발산이 정해지게 되는데, 이번에 저희는 이 멱급수의 특성을 가지고 상수항을 만들어내는 생성함수를 찾아낼 것이기 때문에 사실상 변수의 상태가 크게 중요하지 않게됩니다. 그래서 저희는 여기서 Formal power series(굳이 한국어로 번역하자면 형식적 멱급수?)를 사용할 것입니다. Formal의 뜻은 말그대로 '형식적'이라는 말로 공비 x의 범위를 따지지 않을 것이야요~ 하는 말입니다.

2-2. 시작은 어떻게 할건데?

자, 일단 처음 식을 놓는 것 부터가 아주 중요할 것 같네요. 천릿길도 한걸음부터!

일단 생성함수를 정의해보죠. 아까 보았던 멱급수를 그대로 대입해 줄 겁니다.

생성함수라고 해서 별거 없습니다. 그냥 '어떤 수를 생성하는 규칙을 가진 함수'라고 보면 됩니다.

Generating function(생성함수)의 이름을 따서 $ g(x) $라고 정의해봅시다!

그리고 피보나치 수열을 멱급수의 상수로 놓아봅시다.(피보나치 수열=$ F_n $, $ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} $)

$ g(x) = \sum\limits_0^\infty F_n x^n $

$ g(x) = F_0 x^0 + F_1 x^1 + F_2 x^2 + F_3 x^3 + ... $

이런 식이 나올겁니다. 시작이 반입니다. 이미 반 했습니다!

여기서 $ x^0 = 1,\ x^1 = x $이고, 피보나치 수열의 특성상 $ F_0 = 1,\ F_1 = 1 $이므로 식을 다시 정리해보면,

$ g(x) = 1 + x + \sum\limits_2^\infty F_n x^n $
$ g(x) = 1 + x + \sum\limits_2^\infty (F_{n-1} + F_{n-2}) x^n\ \ \because F_n = F_{n-1}+F_{n-2} $
$ g(x) = 1 + x + \sum\limits_2^\infty F_{n-1} x^n + \sum\limits_2^\infty F_{n-2} x^n $
$ g(x) = 1 + x + x\sum\limits_2^\infty F_{n-1} x^{n-1} + x^2\sum\limits_2^\infty F_{n-2} x^{n-2} $
$ g(x) = 1 + x + x\sum\limits_1^\infty F_{n} x^{n} + x^2\sum\limits_0^\infty F_{n} x^{n} $

로 정리됩니다. 여기서 $ \sum\limits_0^\infty F_{n} x^{n} $은 정의에 따라 $ g(x) $와 같고,

피보나치 수열의 정의를 따라 $ F_0 x^0 = 1 $ 이므로

$ \sum\limits_0^\infty F_n x^n = \sum\limits_1^\infty F_n x^n +1  $
$ \sum\limits_0^\infty F_n x^n -1 = \sum\limits_1^\infty F_n x^n $
$ g(x)-1 = \sum\limits_1^\infty F_n x^n $

입니다. 따라서 식을 $ g(x) $로 정리하면,

$ g(x) = 1 + x + x\sum\limits_1^\infty F_{n} x^{n} + x^2\sum\limits_0^\infty F_{n} x^{n} $
$ g(x) = 1 + x + x(g(x)-1) + x^2g(x) $
$ g(x) = 1 + x + xg(x)-x + x^2g(x) $
$ g(x) = 1 + xg(x)+ x^2g(x) $
$ g(x) - xg(x) - x^2g(x) = 1 $
$ (1 - x - x^2)g(x) = 1 $
$ g(x) = \frac{1}{1-x-x^2} $

이로써 생성함수식이 나왔습니다. 미지의 x값이 들어가면 어떤 숫자를 내보내 주는 함수입니다. 근데 여기서 어떤 x값이 들어가야 어떤수가 생성이 되는지 알 수 없기 때문에 바로 x의 값을 알아내러 출동하죠!

2-3. x 값 찾으러 출발!

2차 식이니까 x의 값도 2개가 나올 것입니다.

다만, 여기서 재밌는 점은 생성함수의 꼴이 2차 다항함수의 꼴이라는 점 입니다.

결국 분수의 꼴로 나타내어졌지만, 2차 다항함수의 선형결합으로 이루어진 것이 피보나치 수열의 생성함수이고 이를 토대로 특성방정식을 사용할 수 있는게 아닌가 생각이 듭니다.

여튼 각설하고, 다시 x의 해를 구하러 가봅시다!

2차 다항식의 분수꼴은 뭔가 해를 구하기 껄쩍지근하니, 부분분수로 쪼개봅시다.

부분분수로 쪼개려면 분모가 곱셈으로 연결되어있어야하는데, 까짓것 이차 다항식이니까 임의의 해를 놓고 인수분해해버리죠 뭐

$ g(x) = \frac{1}{1-x-x^2} $

$ g(x) = -\left(\frac{1}{x^2+x-1}\right) $

여기서 임의의 해를 $ r_1, r_2 $라 하겠습니다.

그리고 이 식에 근과 계수와의 공식(Vieta's formulas)을 적용하면 $ r_1 r_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1 $이 되고, 여기서 $ r_1 $과 $ r_2 $의 관계식이 도출됩니다. $ r_1=-\frac{1}{r_2} $

자, 그러면 분모를 인수분해하시오

$ g(x) = -\left(\frac{1}{(x-r_1)(x-r_2)}\right) $

부분분수로 짜갤때는 일정한 계수가 짜개진 분수 앞에 하나씩 붙습니다. 이 계수를 $ A, B $라고 하죠.

흔히 아는 부분분수 공식 $ \frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right) $과 완전히 같은 공식이에요. 앞에 붙는 $ \frac{1}{B-A} $를 계수처럼 놓았을 뿐입니다.

$ g(x) = -\left(\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}\right) $
$ -\left(\frac{1}{(x-r_1)(x-r_2)}\right) = -\left(\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}\right) $
$ \frac{1}{(x-r_1)(x-r_2)} = \frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2} $
$ 1 = A(x-r_2)+B(x-r_1) $

이 때, $ x = r_1 $이면,

$ 1 = A(r_1-r_2)+B(r_1-r_1)  \Leftrightarrow A = \frac{1}{r_1-r_2} $

또한, $ x = r_2 $이면,

$ 1 = A(r_2-r_2)+B(r_2-r_1)  \Leftrightarrow B = \frac{1}{r_2-r_1} $

즉 $ A = -B $임을 알 수 있습니다.

그리고 실제 x를 풀어보자면 이 두 근을 각각 $r_1,\ r_2$로 놓았기 때문에

$ x^2 + x - 1 \Rightarrow a=1,\ b=1,\ c=-1 $

근의 공식에서

$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $
$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4}}{2} \Leftarrow a=1,\ b=1,\ c=-1 $
$ x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\ or\ \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} $
$ r_1 = -\frac{1 - \sqrt{5}}{2},\ r_2= - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $

이며, $ A $ 값도 직접 찾아보자면,

$ A = \frac{1}{r_1-r_2} = \frac{1}{-\frac{1 - \sqrt{5}}{2} - (-\frac{1 + \sqrt{5}}{2})} = \frac{1}{\sqrt5} $

입니다.

본격적으로 수식을 정리하기 전, 미지수와 그 관계들을 모두 찾아보았는데요, 다시한번 정리해보겠습니다.

$ x = r_1\ or\ r_2 $

$ r_1 r_2 = -1 \Leftrightarrow r_1 = -\frac{1}{r_2} \Leftrightarrow r_2 = -\frac{1}{r_2} $

$ A = \frac{1}{r_1-r_2} $

$ A = -B $

$ r_1 = -\frac{1 - \sqrt{5}}{2},\ r_2= - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $

$ A = \frac{1}{\sqrt5} $

자, 본격적으로 식을 풀어봅시다!

2-4. 본격적으로 멱급수 해체!

다시 정리했던 식으로 돌아가 봅시다.

$ g(x) = -\left(\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}\right) $
$ g(x) = -\frac{A}{x-r_1}-\frac{B}{x-r_2} $
$ g(x) = \frac{A}{r_1-x}+\frac{B}{r_2-x} $
$ g(x) = \frac{1}{r_1}\frac{A}{1-\frac{x}{r_1}}+\frac{1}{r_2}\frac{B}{1-\frac{x}{r_2}} $
$ g(x) = \frac{A}{r_1}\frac{1}{1-\frac{x}{r_1}}+\frac{B}{r_2}\frac{1}{1-\frac{x}{r_2}} $
$ g(x) = \frac{A}{r_1}\frac{1}{1+r_2 x}+\frac{B}{r_2}\frac{1}{1+r_1 x} \Leftarrow r_1 = -\frac{1}{r_2},\ r_2 = -\frac{1}{r_2}$

여기서 무한 등비 급수 공식인 $ \sum\limits_0^\infty ar^n = \frac{a}{1-r} $을 적용하면,
$ g(x) = \frac{A}{r_1}\sum\limits_0^\infty(-r_2 x)^n+\frac{B}{r_2}\sum\limits_0^\infty(-r_1 x)^n$
$ g(x) = \frac{A}{r_1}\sum\limits_0^\infty(-r_2 )^n x^n+\frac{B}{r_2}\sum\limits_0^\infty(-r_1 )^n x^n$
$ g(x) = \sum\limits_0^\infty \left(\frac{A}{r_1}(-r_2 )^n+\frac{B}{r_2}(-r_1 )^n\right)x^n$
$ g(x) = \sum\limits_0^\infty \left(A(-r_2)^{n+1}+B(-r_1)^{n+1}\right)x^n \Leftarrow r_1 = -\frac{1}{r_2},\ r_2 = -\frac{1}{r_2} $
$ \sum\limits_0^\infty F_n x^n = \sum\limits_0^\infty \left(A(-r_2)^{n+1}+B(-r_1)^{n+1}\right)x^n $

여기서 양변 무한등비급수를 제거해주면

$ F_n = A(-r_2)^{n+1}+B(-r_1)^{n+1} $

피보나치 수열의 항만 나오게 되었습니다. 그리고 결국 이 식이 피보나치 상수를 만들어내는 생성함수인 격인데요, 결국 특정 상수를 만들어내는 생성함수 = 일반항이겠죠?

본격적으로 수를 대입하기전에 이 식을 좀 더 간단히 만들어보겠습니다.

$ F_n = A(-r_2)^{n+1}-A(-r_1)^{n+1} \because B = -A $
$ F_n = A\left((-r_2)^{n+1}-(-r_1)^{n+1}\right) $

3. 답은?

이제 대망의 실제 값 대입만 남았습니다.

원 식은,

$ F_n = A\left((-r_2)^{n+1}-(-r_1)^{n+1}\right) $

실제 값은,

$ r_1 = -\frac{1 - \sqrt{5}}{2},\ r_2= - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $

$ A = \frac{1}{\sqrt5} $

이었죠? 대입해줍시다.

$ F_n = \frac{1}{\sqrt5} \left(( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} )^{n+1}-( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} )^{n+1}\right) $

짜잔, 피보나치 수열의 일반항이 풀렸습니다.

참고로 여기서는 수열의 첫 항이 1이 아니라 0이므로 일반항에서 지수항이 n이 아니라 n+1인 점을 주목해주세요

진짜 맞는지 직접 값을 대입해봅시다.

$ F_{-1} = \frac{1}{\sqrt5} \left(( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} )^{0}-( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} )^{0}\right) = 0 $ (실제 피보나치 수열에는 없는 부분이지만 1, 1, 2, 3, 5... 식으로 앞의 두 수를 더해서 다음 수가 나오는 것으로 생각해보면 초항 앞은 0임을 생각해 볼 수 있습니다.)

$ F_0 = \frac{1}{\sqrt5} \left(( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} )^{1}-( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} )^{1}\right) = 1 $

$ F_1 = \frac{1}{\sqrt5} \left(( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} )^{2}-( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} )^{2}\right) = \frac{1}{\sqrt5} \left(\frac{1+2\sqrt5+5-(1-2\sqrt5+5)}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt5} \left( \frac{1+2\sqrt5+5-1+2\sqrt5-5}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt5} \left( \frac{4\sqrt5}{4} \right) =  1 $

네 첫 두항은 1, 1 이고, $ F_2 $부터는 3차식이기때문에 계산이 까다롭지만, wolfram alpha를 돌려보면 제대로 2, 3, 5... 나오는 것을 확인할 수 있습니다.

제대로 구했네요!

실제로 이전 포스팅인 점화식에서의 특성방정식에서 도출한 결과와 같습니다!(참고로 특성방정식에서 도출한 초항은 n이 1입니다.)

피보나치 수열의 일반항과 비율의 극한(황금비)

피보나치 수열하면 모르는 사람이 없을 정도로 아주 간단한 규칙을 가진 수열이다.

바로 앞의 두 숫자를 더하면 다음 숫자가 나오는 수열이다.

여기서 앞의 두 숫자는 1, 1 이다.

그러면 바로 아래와 같은 수열이 나오게 된다.

1 1 2 3 5 8 13 ...

물론 이 수열의 극한은 무한대로 발산할 것이 분명하지만, 이 수열의 두 항의 '비율'의 극한은 수렴할까? 수렴한다면 어디로 수렴할까? 한번 확인해보자.

여기서 수열의 극한을 확인하려면 항상 일반항이 있어야 한다. 그러나 피보나치 수열은 '앞의 두 수를 더하면 다음 숫자가 된다'는 점화식만 있는 형태이다. 그러면 이 점화식을 통해서 일단 피보나치 수열의 일반항을 구해보도록 하자.

피보나치 수열의 일반항 구하기

1. 피보나치 수열의 점화식을 써보자.

  피보나치 수열은 이 전의 두 항을 더하면 다음 항이 되는 수열이다.

  $ a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} $

  이러한 형태 점화식만 있는 상태로 등차, 등비, 멱급수 등등등 그 어떤 수열의 형태도 아니다.

2. 일반식으로 확장

  이 수열의 상태만으로는 우리가 뭔가 찝쩍거릴 건덕지가 없으니까, 일반적인 일반식으로 확장한 뒤 근과 계수와의 관계(Vieta's formulas, 두 근을 $ \alpha, \; \beta $로 놓으면 $ px^2+qx+r=0 $의 방정식에서 $ \alpha + \beta = - \frac{q}{p}, \alpha \beta = \frac{r}{p} $의 관계가 생긴다는 공식)를 활용하여 근을 활용한 일반식으로 변화시켜 볼 것이다. 참고로 수열에서 항수는 차수가 다른 방정식과 동일하게 볼 수 있다.(더 자세한 내용은 >>점화식에서의 특성방정식(characteristic equation)<<에서 확인할 수 있다.)

  $ a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} \Rightarrow x^2 = x + 1 \Leftrightarrow x^2 -x -1 = 0 $와 같이 쓴뒤, $ px^2+qx+r=0 $의 일반식으로 변환시켜주면, $ p = 1, q = -1, r = -1 $이 되고, 근과 계수와의 관계에서 $ \alpha+\beta=-\frac{q}{p}=1, \; \alpha \beta = \frac{r}{p} = -1 $이다.

  이는 다시 쓰면, $ p $가 기본적으로 1이기 때문에 $ \alpha+\beta = -q, \; \alpha \beta = r $이라고 놓을 수 있다.

  그래서 일반식을 다시 근과 계수와의 관계를 이용하여 계수가 아닌 근의 형태로 표현해주면

  $ x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta = 0 $

  이를 다시 수열의 항을 통해서 표현해주면

  $ a_{n+2} = (\alpha+\beta)a_{n+1} - \alpha \beta a_n $과 같은 근을 활용한 일반식으로 확장이 되었다.

  이때, $ a_1 = 1, \; a_2 = 1, \; \alpha + \beta = 1, \; \alpha \beta = -1 $이다.

3. 반복되는 형태를 만들어서 계산가능하게 만들자

  과거 >>https://omnil.tistory.com/172<<포스팅에서 감마함수를 팩토리얼로 변환하는 과정과 같이 등식의 좌변과 우변이 반복되는 형태를 만들어주게 되면 계산이 되지 않을 것 같은 등식도 계산이 된다. 특히 최종단계를 우리가 직접 계산해서 값을 알 수 있다면 더더욱이 말이다. 참고로 감마함수는 n=1일때 값이 1이며, 우리는 뭔가 이런단계를 거치면 1항이 1, 2항이 1이라는 것을 통해서 값을 구할 수 있을 것이다.

  $ a_{n+2} = (\alpha+\beta)a_{n+1} - \alpha \beta a_n $

  $ a_{n+2} = \alpha a_{n+1} + \beta a_{n+1} - \alpha \beta a_n $

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta a_{n+1} - \alpha \beta a_n $

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta (a_{n+1} - \alpha a_n) $

  이렇게 변환하면 등식의 좌변과 우변의 공동되는 부분의 한 항 차이가 $ \beta $배라는 것을 알 수 있다. 바로 이것으로 우리가 아는 $ a_2 $와 $ a_1 $를 가지고 계산할 수 있는 형태로 반복계산이 가능하다.

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta (a_{n+1} - \alpha a_n) $

  $ a_{n+1}-\alpha a_{n} = \beta (a_{n} - \alpha a_{n-1}) $

  $ \Rightarrow a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta^2 (a_{n} - \alpha a_{n-1}) $

  이런식으로 $ \beta $배씩 곱해주면 우항을 a2와 a1항으로 계산할 수 있는 형태로 만들어줄 수 있다.

  이 때, $ \beta $가 몇개 생기는지는 항 수를 보고 생각하면 된다.

  우변의 맨 오른쪽항이 a2항에서 a1항으로 떨어지게 되면, $ \beta $는 한개가 생길 것이다. 즉, an항에서 a1항으로 떨어지면 (n-1)개의 $ \beta $가 생성될 것이다.

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta \cdot \beta^{n-1} \cdot (a_{2} - \alpha a_1) $

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta \cdot \beta^{n-1} \cdot (1 - \alpha \cdot 1) \leftarrow \because a_2=1,\; a_1=1 $

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta \cdot \beta^{n-1} \cdot \beta \leftarrow \because \alpha + \beta = 1 $

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta^{n+1} $

  즉  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} $는 $ \beta $를 $ n+1 $번 곱한 것이니 항수 만큼 $ \beta $를 곱해주는 횟수가 된다는 것을 알 수 있다. 그렇다면 우리가 알고싶은 $ a_n $을 기준으로 하는 식으로 바꿔주면

  $ a_{n}-\alpha a_{n-1} = \beta^{n-1} \cdots (1)$

  이 되고, 이는 $ \alpha $ 변수와 $ \beta $ 변수를 바꾸어도 변수위치만 바뀐 동일한 식이 나온다.

  $ a_{n}-\beta a_{n-1} = \alpha^{n-1} \cdots (2)$

4. 연립하여 $ a_n $에 대한 일반항으로 풀어준다.

  변수 두개에 식이 두개가 나왔으니 연립방정식으로 풀 수 있다.

  (2)식에 $ \frac{\alpha}{\beta} $배를 해준 뒤 (1)-(2)식을 해줘서 $ a_{n-1} $항을 소거하여 $ a_n $의 일반항을 얻을 수 있다.

  $ a_{n}-\alpha a_{n-1} = \beta^{n-1} \cdots (1)$

  $ \frac{\alpha}{\beta}a_{n}-\alpha a_{n-1} = \frac{\alpha^{n}}{\beta} \cdots (2)$

  $ (1)-(2) $

  $ a_{n}-\frac{\alpha}{\beta}a_n = \beta^{n-1}-\frac{\alpha^n}{\beta} $

  $ \beta a_{n}-\alpha a_n = \beta^{n}-\alpha^n $

  $ (\beta -\alpha) a_n = \beta^{n}-\alpha^n $

  $ \therefore a_n = \frac{\beta^{n}-\alpha^n}{\beta -\alpha} $

  일반항 겟!!

  이제 일반항에 값만 대입해주면 진짜 n에 몇번째 항인지만 대입해주면 거기에 해당하는 값이 나오는 일반항이 된다.

5. $ \alpha $와 $ \beta $의 값 구하여 일반항에 대입하기

  여기서 $ \alpha $와 $ \beta $는 사실 $ x^2 -x -1 = 0 $의 두 근과 같기 때문에 근의 공식을 통하여 바로 값을 구할 수 있다.

  $ ax^2+bx+c = 0 $에서 두 근은 $ \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $식으로 구할 수 있다.
  $ \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}, \; a=1, \: b=-1, \: c=-1 $

  $ \beta = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \; \alpha = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} $

  $ a_n = \frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}} $

  $ \therefore a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right) $

  이렇게 피보나치 수열의 일반항을 구했다!!

  근데, 유리수의 합으로 나타나는 피보나치 수열에서 일반항에 무리수가 들어가는 것이 신기하지 않은가!

피보나치 수열의 비율의 극한

이렇게 일반항을 구했으면 비율의 극한도 쉽게 구할 수 있다.

여기서는 더 큰수를 더 작은수로, 즉 $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $의 비를 구할 것이다.

이번엔 비율을 구할 것이기 때문에, 숫자까지 들어간 일반항 보다는 문자로 표현된 더 한눈에 보기 간편한 일반항을 사용하여 극한을 구해볼 것이다.

1. 비율 식 구하기

  $ a_{n+1} = \frac{\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}}{\beta -\alpha} $

  $ a_{n} = \frac{\beta^{n}-\alpha^{n}}{\beta -\alpha} $

  $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}}{\beta -\alpha}}{\frac{\beta^{n}-\alpha^{n}}{\beta -\alpha}} $

  $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}}{\beta^{n}-\alpha^{n}} $

  $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\beta-\alpha \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^n}{1-\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{n}} $

2. 극한 씌워주기

  $ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\beta-\alpha \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^n}{1-\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{n}} $

  여기서 $ \beta = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \; \alpha = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} $이고, $ \beta $가 $ \alpha $보다 크기 때문에 $ \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^n $항은 $ n $이 무한대로 갈 때 값이 0으로 수렴한다.

  참고로 실제 값을 대입해서 계산해본 $ \left(\frac{\alpha}{\beta}\right) $ 값은 $ \frac{\sqrt{5}-3}{2} $이며, 그 값은 약 -0.382이다. 즉, 이 값을 무한대로 제곱할 경우 양과 음을 반복 진동하며 수렴한다.

  즉, 극한을 취한 뒤의 값은

  $ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\beta-\alpha 0}{1-0} $

  $ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \beta $

  $ \therefore \beta $

  이며, 이 $ \beta $값은  $ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $이므로, 피보나치 수열의 비율의 극한 값은 $ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $이 된다.

  그러면 이 값은 과연 무엇일까

황금비

  인생을 살면서 '황금비'라는 단어를 한번은 들어본다.

  황금비는 1: 1.618로써 근사하면 5:8정도의 비율을 나타내는 것을 황금비라고 한다.

  이것은 우리가 어떤 비율을 봤을 때 가장 아름답다고 생각하는 비율이라고 하는데, 이 1.618이라는 값은

  $ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $을 계산하면 나오는 값이다.

  즉, 피보나치 수열의 비율을 극한으로 가져가면 황금비를 가진다는 사실!