푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 라플라스 변환(Laplace Transform)

푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 라플라스 변환(Laplace Transform)

 

📘 푸리에 오디세이(Fourier odyssey) 시리즈

• 🌅 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 급수(Fourier Series)1 ~ 그 찬란한 서막
• 🛠️ 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 급수(Fourier Series)2 ~ 근사식을 만들어 보자!
• 📐 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 급수(Fourier Series)3 ~ 직교성
• 🔢 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 급수(Fourier Series)4 ~ 계수
• 🔍 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 해석(Fourier Analysis)
• ♾️ 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 적분(Fourier Integral)
• 🔄 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 변환(Fourier Transform)
• 🌀 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 복소 푸리에 급수(Complex Fourier Series)
• 💫 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 복소 푸리에 적분(Complex Fourier Integral)
• ⚛️ 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 복소 푸리에 변환(Complex Fourier Transform)
• 💻 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 변환 for 컴퓨터(Fourier Transform for computer)
• 💡 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 라플라스 변환(Laplace Transform)

 

 

0) 서론

딱 포스팅을 들어오시자마자 '엥?'하고 놀라신 분들 있으실거라 믿습니다.

 

"아니 푸리에 오디세이에 '푸리에'말고 '라플라스'가 등장한다고?"

(푸리에도 사람이름, 라플라스도 사람이름입니다.)

 

네, 바로 대망의 푸리에 오디세이 그 마지막 장의 주제는 '라플라스 변환'입니다.

 

왜 이 라플라스 변환이 푸리에 오디세이의 최종장이 되는지 이제부터 한번 살펴볼까요?

 

 

1) 라플라스 변환과의 연결!?

푸리에 오디세이의 최종장이 왜 '라플라스 변환'이냐 하면...

푸리에 변환이 라플라스 변환의 발전에 직접적인 영향을 주었다는 사실을 알고 계신가요?

라플라스 변환은 푸리에 변환을 일반화하고 특정 문제를 해결하기 위해 확장한 형태로 볼 수 있습니다.

즉, 이전에 말했던 '푸리에'라고 하는 산의 꼭대기에서 볼 수 있는 '그 너머의 세상' 바로 그것이죠!

 

 

2) 푸리에 변환의 한계

푸리에 변환은 신호 분석에 매우 강력한 도구이지만, 결정적인 한계가 하나 있었습니다.

바로 변환이 수렴(converge)하려면 함수(신호)가 특정 조건을 만족해야 한다는 점입니다.

가장 중요한 조건은 시간이 무한대로 갈 때 신호의 크기가 0에 가까워져, 신호의 전체 에너지(크기를 제곱해서 적분한 값)가 유한해야 한다는 것입니다.

 

하지만 현실의 많은 물리계나 공학 시스템에서는 시간이 지남에 따라 크기가 계속 커지는, 즉 발산(diverge)하는 함수가 자주 나타납니다.

예를 들어, 공진(resonance) 현상이나 불안정한 시스템의 반응이 그렇습니다. 푸리에 변환은 이런 함수들을 다룰 수 없었습니다.

 

 

3) 라플라스 변환의 해결책: 강제 수렴

라플라스 변환은 이 문제를 해결하기 위해 푸리에 변환에 '감쇠 인자(damping factor)'라는 개념을 도입했습니다.

 

아이디어는 간단합니다.

원래 발산해서 다룰 수 없었던 함수 $f(t)$에, 시간이 지날수록 급격히 작아지는 지수함수 $e^{-σt}$를 곱해버리는 것입니다.

이 σ(시그마)가 바로 감쇠 인자입니다.

 

이렇게 하면, 원래 발산하던 함수도 강제로 크기가 줄어들게 되어 푸리에 변환이 가능한 형태로 바뀝니다.

 

이것이 라플라스 변환의 핵심입니다.

 

- 푸리에 변환:

$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i \omega t} dt $

- 라플라스 변환:

$ L(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt $

 

한가지 재밌는 사실은 라플라스 변환은 '시점(=0)'이 존재하는 문제를 풀기위해 고안되었다는 사실입니다.

그래서 적분 시점이 0부터이지요.

이론상 -∞부터도 계산할 수는 있어서 이렇게 계산하는 것을 양측 라플라스 변환, 0부터 시작하는걸 단측 라플라스변환이라고도 합니다.

 

여기서 라플라스 변환의 변수 s는 복소수, 즉 s=σ+iω입니다.

$e^{-i \omega t}$ 부분: 푸리에 변환과 마찬가지로 신호를 주파수 성분으로 분해하는 역할을 합니다.

$e^{-\sigma t}$ 부분: 신호를 강제로 수렴시키는 감쇠 인자 역할을 합니다.

 

결론적으로, 라플라스 변환은 푸리에 변환이 다루지 못했던 발산하는 함수까지 분석할 수 있도록 '강제 수렴'이라는 안전장치($e^{-\sigma t}$)를 추가한 확장판이라고 할 수 있습니다.

이 덕분에 제어 공학, 회로 이론 등 시스템의 안정성을 분석하는 분야에서 필수적인 도구가 되었습니다.

 

 

4) 라플라스 변환은 무슨 의미가 있는가?

1] 시스템 특성 분석

푸리에 변환이 주로 주어진 신호 자체의 주파수 구성을 분석하는 데 의미가 있다면, 라플라스 변환은 주로 시스템의 고유한 특성을 분석하는 데 강력한 의미가 있습니다.

 

라플라스 변환의 가장 중요한 결과물은 전달함수(Transfer Function)(H(s))입니다.

전달함수는 시스템의 '주민등록증'이나 'MBTI 성격 유형'과 같습니다.

어떤 입력 신호가 들어오기 전, 그 시스템이 근본적으로 어떻게 행동할지를 알려주는 고유 정보를 가지고 있죠.

 

예를 들어, 전달함수를 통해 s-평면 위에 '폴(Pole)'이라는 점들의 위치를 찍어보면, 그 시스템이 안정한지, 불안정한지, 얼마나 빠르게 반응하는지, 진동하는지 등의 모든 핵심적인 특성을 한눈에 파악할 수 있습니다.

 

조금 더 나아가 볼까요?

푸리에 변환의 결과인 '스펙트럼'은 2차원이었습니다.(주파수vs크기, 주파수vs위상)

그럼 전달함수의 결과는 몇 차원일까요?

 

전달함수의 결과는 3차원입니다.

• 바닥 (2D 평면): 입력값인 s-평면 ($s = \sigma + i\omega$)이 바닥을 이룹니다. 가로축은 감쇠/성장을 나타내는 $\sigma$, 세로축은 주파수를 나타내는 $\omega$입니다.
• 높이 (z축): s-평면의 각 점 $(s)$에 해당하는 라플라스 변환의 출력값 $F(s)$의 크기, 즉 $|F(s)|$를 높이로 표시합니다.

 

그러나 사실 이 전달함수를 3차원으로 다 그려보지는 않습니다.

 

보통 2차원으로 살펴보게 되는데,

여기서 제일 쉽게 전달함수를 보는 방법은 크게 두 가지가 있습니다.

1. 폴-영점 지도(Pole-zero map)
   3차원 지형의 높낮이를 모두 무시하고, 하늘에서 s-평면을 내려다보며 가장 중요한 지형지물인 산봉우리(폴)와 호수(영점)의 위치만 지도에 표시하는 방식입니다.(산봉우리(Pole) 위치: X 로 표시, 호수(Zero) 위치: O 로 표시)
   
   이 2차원 지도 한 장만 있으면, 산봉우리(X)들의 위치를 보고 시스템의 안정성, 응답 속도 등 가장 근본적인 특성을 즉시 파악할 수 있습니다.
   
   
   
2. 보드 선도 (Bode Plot)(특정 경로 탐사 보고서)
   3차원 지형 전체를 보는 대신, 우리가 가장 관심 있는 특정한 경로를 따라 걸어가면서 높이(크기)와 지형의 기울기(위상) 변화를 기록한 보고서입니다. 그리고 이 '특정한 경로'가 바로 푸리에 변환에 해당하는 허수축($\sigma=0$)입니다.
   
   즉, 보드 선도는 라플라스 변환이라는 거대한 3차원 세계에서 푸리에 변환에 해당하는 부분만 잘라내서 상세히 분석하는 것입니다.
   
   보드 선도는 두 개의 2차원 그래프로 구성됩니다.
   - 크기 선도 (Magnitude Plot): 주파수($\omega$)에 따라 신호의 크기를 얼마나 증폭시키거나 감소시키는지를 나타냅니다. (지도의 '고도' 정보)
   - 위상 선도 (Phase Plot): 주파수($\omega$)에 따라 신호의 위상(타이밍)을 얼마나 변화시키는지를 나타냅니다. (지도의 '경사' 정보)
   
   이 그래프는 특정 주파수의 입력에 시스템이 어떻게 반응하는지를 보여주기 때문에 필터나 제어기를 설계할 때 절대적으로 필요한, 가장 실용적인 지도입니다.

 

2] 미분을 곱셈으로

라플라스 변환이 '계산의 제왕'으로 불리는 이유는 단 하나, 미적분 방정식을 단순한 대수(사칙연산) 문제로 바꿔주기 때문입니다.

(과거 푸리에 변환이 함수간의 conv 연산을 주파수 영역에서 단순한 곱센 연산으로 처리할 수 있었다는 걸 기억하시나요?)

 

미분방정식은 풀기가 매우 까다롭습니다. 하지만 라플라스 변환을 이용하면 이 과정이 마법처럼 간단해집니다.

• 미분 → 곱셈: 시간 영역에서의 미분($\frac{d}{dt}f(t)$)은 라플라스 변환을 거치면 단순히 s를 곱하는 것(sF(s))으로 바뀝니다.
• 적분 → 나눗셈: 시간 영역에서의 적분(∫f(t)dt)은 s로 나누는 것($\frac{1}{s}F(s)$)으로 바뀝니다.

 

따라서 복잡한 미분방정식을 라플라스 변환하여 간단한 대수식으로 바꾼 뒤, F(s)에 대해 정리하고, 그 결과를 역변환(주로 표를 보고 찾음)하여 최종 답 f(t)를 구하는 방식을 사용합니다.

 

푸리에 변환으로도 미분을 곱셈(iω 곱하기)으로 바꿀 수 있지만, 라플라스 변환이 더 선호되는 이유는 다음과 같습니다.

• 초기값 문제: 라플라스 변환은 시스템의 초기 조건(f(0))을 자연스럽게 수식에 포함시켜 주기 때문에 현실적인 문제 풀이에 훨씬 적합합니다.
• 수렴 문제: 푸리에 변환은 발산하는 함수를 다룰 수 없지만, 라플라스 변환의 σ 성분이 발산하는 함수도 강제로 수렴시켜 분석할 수 있게 해줍니다. 이 때문에 불안정한 시스템도 다룰 수 있습니다.

 

 

5) 라플라스 변환이있다면 마찬가지로 라플라스 역변환이라는 것도 있나?

네 당연히 있습니다.

그러나 라플라스 변환자체가 복소평면(s-plane)이 연관되어있다보니 엄청나게 어렵고 복잡한 식이 나타납니다.

 

$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty} F(s)e^{st} ds$

 

이 식은 브롬위치 적분(Bromwich integral)이라고 불리며, 복소수 평면에서 특정 경로를 따라 적분해야 하므로, 복소해석학에 대한 깊은 이해가 없으면 직접 계산하기가 거의 불가능합니다. 실제로 공학 문제를 풀 때 이 정의를 직접 이용하는 경우는 거의 없습니다

(여기서 $\gamma$의 역할: ​$\gamma$는 적분 경로를 결정하는 실수 값입니다. ​적분은 복소 평면에서 실수부가 $\gamma$인 수직선($Re(s) = \gamma$)을 따라 $\gamma - i\infty$ 에서 $\gamma + i\infty$ 까지 수행됩니다.
이때 $\gamma$는 매우 중요한 조건이 있는데, 바로 $F(s)$의 모든 특이점(singularities)보다 오른쪽에 위치해야 한다는 것입니다.
즉, 적분 경로가 $F(s)$가 불안정해지는 모든 점들을 피해서 그 오른쪽에 그어져야 올바른 역변환 값을 얻을 수 있습니다.)

 

그럼 역변환은 쓰임새가 없을까요?

 

아니죠! 위에서 ‘계산의 제왕'이라는 말이 나왔던걸 기억하실 겁니다.

 

라플라스 변환을 하면 원래 식이 매우 간단해지고 이 변환식을 간단히 정리해서 역변환을 하면 정말 쉽게 답을 구할 수 있답니다.

 

그런데 역변환은 매우 어렵다면서요

 

그래서 수학자들이 미리 간단한 함수들에 대한 변환/역변환 표, 이른바 '라플라스 변환 쌍(Laplace Transform Pairs)'을 미리 만들어놨죠!

 

그때그때마다 연산을 매번 하는 것이 아니라 미리 연산된 결과를 그때그때 적용하는 거랍니다!

 

6) 마무리

이로써 기나긴 '푸리에 오디세이'를 모두 마칩니다.

 

이 모든 과정을 아주 단순히 한 문장으로 써보면 다음과 같습니다.

주기 함수를 분석하려다 보니 푸리에 급수가 나왔고, 비주기 함수를 다루려고 주기를 무한대로 보냈더니 푸리에 변환이 되었으며, 심지어 발산하는 불안정한 함수까지 다루기 위해 감쇠 인자를 추가했더니 라플라스 변환이 탄생했습니다.

 

이 거대한 서사에 몸을 맡겨주신 여러분 감사합니다.

 

대성하십시오!