자, 이제 선의 길이를 구할 수있는 '도구'는 찾아내고 정의를 마쳤는데... 정작 이 사이클로이드의 한 점을 어떻게 x와 y로 표현할 수 있을 것인가!?
가장 쉬운 방법은 원이 어떤 각도 t만큼 돌아갔을 때 그 각도에 대해서 x와 y가 정의가 되므로 이를 이용하여 매개변수로 나타낼 수 있겠다!
출처: 나무위키
자, 가장 쉬운 y부터 보자, y는 원이 t만큼 돌아갔을 때(위 그림에서 \theta ), 반지름 r에 대해서 r - r cos t 만큼 움직인 것을 알 수 있겠는가?(위 그림에서 원이 \theta 만큼 돌아갔을 때 \overline{CI} - \overline{CK} 가 y의 위치임을 알 수 있다. 이를 \overline{CI} = r,\ \overline{CK} = r cos \theta 로 치환하면 바로 식이 나온다)
그럼 x는? 원이 t만큼 돌아갔을 때 원의 중심이 x축으로 이동한 거리는, 그 호의 길이와 같다. 왜냐고? 바닥에 원 둘레를 딱 붙이고 돌아갔을테니까!(위 그림에서 \overline{OI} = \overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{\rm PI} )
그러면 원의 중심은 r t (위 그림에서 \overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{\rm PI} = \overline{OI} )만큼 움직였을 테고, 여기서 x는 r sin t (위 그림에서 \overline{PK} )만큼 원의 중심보다 뒤에 있을 테니 r t - r sin t 가 되겠다.
다시 쓰면
x = r t - r sin t = r(t-sin t) y = r - r cos t = r(1-cos t)
자, 이렇게 x와 y좌표를 나타낼 수 있는 관계식도 찾았다! 그렇다면 이제 바로 선적분 들어가보자
2-3. 매개변수로 표현된 선적분 풀기!
dx = r(1-cos t) dt \Leftrightarrow \frac{dx}{dt} = r(1-cos t) dy = r sin t dt \Leftrightarrow \frac{dy}{dt} = r sin t
\int \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2} dt \int \sqrt{(r(1-cos t))^2+(r sin t)^2} dt
근데 t가 0에서부터 2 \pi 즉, 한바퀴 굴러갈때 거리를 잴거니까 적분의 위끝, 아래끝은 각각 0과 2\pi 다.
\int_{0}^{2\pi} \sqrt{r^2((1-cos t)^2+(sin t)^2)} dt \int_{0}^{2\pi} r \sqrt{((1-cos t)^2+(sin t)^2)} dt r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{((1-cos t)^2+(sin t)^2)} dt
r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1-2cos t+(cos t)^2+(sin t)^2} dt
r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1-2cos t+1} dt \leftarrow cos^2 x + sin^2 x = 1 r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2-2cos t} dt r \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2(1-cos t)} dt
