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사이클로이드(Cycloid) 회전체의 표면적(겉넓이) 구하기(회전체적분, 겉넓이적분)

사이클로이드(Cycloid) 시리즈 목차

• 사이클로이드(Cycloid)의 길이 구하기 (선적분)
• 사이클로이드의 면적 구하기 (면적분)
• 사이클로이드(Cycloid)의 부피 구하기 (회전체적분, 부피적분)
• 사이클로이드(Cycloid) 회전체의 표면적(겉넓이) 구하기 (회전체적분, 겉넓이적분)

0. 서론

자 오늘은 대망의 마지막시간!

사이클로이드의 선 길이, 넓이, 회전체 부피까지 알아봤으면 그다음은 무엇? 바로바로 표면적이다~

그럼 바로 알아보도록하죠~

1. 어떻게 구할건데?

표면적은 원기둥의 옆 넓이에서 힌트를 얻어보면 되는데, 원기둥의 옆 넓이는 원기둥의 원주길이($ 2 \pi r $)에다가 높이를 곱한 것이잖아요?

그러면 이걸 그래프로 가져와보면~

저번에 구하면서 생각해 봤듯이 이 회전체는 아주 얇은 원판으로 이루어져 있을테니 이 원판의 옆넓이를 구해보면 되겠슴다.

원판의 옆 넓이는 위에서 봤듯이 원주길이에 높이를 곱한것인데, 적분을 하려면 여기서 일반적인 높이 대신 미소높이(아주아주 작은 높이)를 곱해주면 되겠죠?

자 회전체에서 원판의 반지름은 바로 $ y $죠, 그리고 높이는? 전에 선 길이를 적분할때처럼 아주 미소한 변화량만큼의 곡선길이 일겁니다.($ \sqrt{dx^2 + dy^2} $)

그리고 이거를 매개변수 $ t $에 대해서 0부터 $ 2 \pi $까지 싹 모으면 짜잔, 옆넓이 즉 표면적이 나오겠군요!

2. 구해보자

즉, $ r = y, \ y = r(1 - \cos t), \ dh = \sqrt{dx^2 + dy^2}  $ 여기서 dh는 미소 높이를 의미합니다.

식으로 써보면

$ S = \int_0^{2\pi} 2\pi y \ dh $

$ S = 2 \pi \int_0^{2 \pi} y * \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} \ dt $

$ S = 2 \pi r \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt $

이렇게 매개변수 식이 최종적으로 정리가 되겠습니다.

여기서, $ \frac{dx}{dt}=r(1 - \cos t,) \ \frac{dy}{dt} = r\sin t $ 니까

$ S = 2 \pi r \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * r\sqrt{(1 - \cos t)^2 + (\sin t)^2} dt $

$ S = 2 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{(1 - \cos t)^2 + (\sin t)^2} dt $

$ (1 - \cos t)^2 $ 풀어주고,

$ S = 2 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{1 - 2\cos t + (\cos t)^2 + (\sin t)^2} dt $

$ (\cos t)^2 + (\sin t)^2 = 1 $이니까

$ S = 2 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{1 - 2\cos t + 1} dt $

$ S = 2 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{2 - 2\cos t} dt $

$ S = 2 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{2(1 - \cos t)} dt $

$ S = 2 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{2(2\sin^2 \frac{t}{2})} dt \quad \leftarrow \cos (\frac{t}{2}+\frac{t}{2}) = \cos^2 \frac{t}{2} + \sin^2 \frac{t}{2} = 1 - 2\sin^2 \frac{t}{2} = 2\cos^2 \frac{t}{2} -1 $

$ S = 4 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sqrt{\sin^2 \frac{t}{2}} dt $

원래 $ \sqrt{A^2} = |A| $지만, 적분 구간 $ t \in [0, 2\pi] $에서 $ \frac{t}{2} $의 범위는 $ [0, \pi] $가 되고, 이 범위에서 $ \sin \frac{t}{2} \ge 0$ 이므로 절댓값 없이 정리가 가능합니다.

$ S = 4 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos t) * \sin \frac{t}{2} dt $

아까와 마찬가지로 $ \cos t = 1 - 2\sin^2 \frac{t}{2} $로 바꿔주면,

$ S = 4 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} 2 \sin^2 \frac{t}{2} * \sin \frac{t}{2} dt $

$ S = 8 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} \sin^2 \frac{t}{2} * \sin \frac{t}{2} dt $

$ S = 8 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} \sin^3 \frac{t}{2} dt $

이렇게 간단하게 정리가 됩니다.

그런데, 저번에도 말씀드렸다시피 삼각함수의 세제곱은 바로 적분으로 풀 수가 없으니 찢어줍시다.

$ S = 8 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} \sin^2 \frac{t}{2} * \sin \frac{t}{2} dt $

삼각함수 항등식에서 $ (\cos t)^2 + (\sin t)^2 = 1 $이니까 $ (\cos \frac{t}{2})^2 + (\sin \frac{t}{2})^2 = 1 $이겠죠?

$ S = 8 \pi r^2 \int_0^{2 \pi} (1 - \cos^2 \frac{t}{2}) * \sin \frac{t}{2} dt \quad \leftarrow \cos \frac{t}{2} = u, -\frac{1}{2} \sin \frac{t}{2} dt = du \Leftrightarrow \sin \frac{t}{2} dt = -2du $

그리고나서 치환해줍니다.

$ S = 8 \pi r^2 \int (1 - u^2) * (-2) du $

이제 엄청 쉽게 풀릴 일만 남은 것 같죠?

아, 저번처럼 치환했다가 다시 돌아올거라 아래끝 위끝은 치환값으로 계산 안합니다.

치환 하고 적분한 다음 다시 원래대로 안돌리고 그 상태에서 값을 구하기위해 하는게 사실상 아래끝 위끝 값을 치환값으로 바꿔주는건데, 저희는 그냥 적분 후 다시 삼각함수로 돌리겠습니다.(즉, 아래끝 위끝 치환값은 계산 안하고 진행)

$ S = -16 \pi r^2 \int (1 - u^2) du $

$ S = -16 \pi r^2 (\int 1 du - \int u^2 du) $

$ S = -16 \pi r^2 (u - \frac{1}{3}u^3) $

$ S = -16 \pi r^2 (\cos \frac{t}{2}]_0^{2 \pi} - \frac{1}{3}(\cos \frac{t}{2})^3]_0^{2 \pi}) \quad \leftarrow \cos \frac{t}{2} = u $

보시다시피, 치환값을 다시 원래대로 돌립니다. 적분구간은 그대로겠죠?

$ S = -16 \pi r^2 ((-1 - 1) - \frac{1}{3}(-1 - 1)) $

$ S = -16 \pi r^2 (-2 + \frac{2}{3}) $

$ S = -16 \pi r^2 (-\frac{6}{3} + \frac{2}{3}) $

$ S = -16 \pi r^2 * -\frac{4}{3} $

$ S = \frac{64}{3} \pi r^2 $

3. 결론

따라서, 사이클로이드의 회전체의 표면적(겉넓이)는 $ \frac{64}{3} \pi r^2 $ 이라는 것이 밝혀졌습니다!