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원넓이의 부정적분 구하기원넓이의 부정적분 구하기 - 1) 일반공식으로 구해보기

원넓이를 처음 배우는 것은 초등학교 때, $\pi$를 3.14 근사값으로 배우면서 공식 암기와 함께 시작한다.

이후 중학교 과정에서 수의 확장과 함께 무리수로 $\pi$를 배워 무리수가 들어간 공식으로 배우고, 고등학교에 이르러서는 적분을 통해 원의 넓이를 새삼스레 다시 구해본다.

결국 우리의 수학 교과과정은 원에 대해서 배우는 것이다 라고 말해도 과언이 아닐 정도이다.

여기서 고등학교에서 정적분으로 원의 넓이를 구할 때 기계적으로 치환, 공식대입, 정적분을 통해서 '아 그냥 그렇게 되는구나'라고 알고 넘어가는 사람들이 대다수 일 터.

이번에 뭔가 궁금증이 생겨서 다시 풀어보니, 예전엔 그냥 단순히 치환하고 공식을 대입해서 풀었던 여기에는 참 많은 이유들이 있다는 것을 알게되었다.

그리하여 부정적분을 통해서 왜 이렇게 치환하고 그것으로 어떻게 넓이를 구하는지 알아보고자 한다.

물론 원은 사분원 넓이의 네배이니까 적분으로 원넓이 공식을 유도할 때 처럼, 반지름이 1인 단위원을 기준으로 하여 사분원의 넓이를 구하는 식으로 진행한다.

1] 일반식으로 원 넓이 구하기

부정적분으로 넘어가기 전에, 우리가 아는 일반 공식으로 $x$축에 대한 원의 넓이를 구할 수 있다.

딱 위의 그림에서와 같이 한번에 구하려면 왠지 적분을 써야 할 것 같지만,

위 그림과 같이 부채꼴과 삼각형으로 나눠서 구한다면 쉽게 원의 부분 넓이를 구할 수 있다.

부채꼴의 넓이는 호도법으로 전체 각도($2\pi$(360도))에 대한 원 넓이 $\pi r^2$을 전체 각도에 대한 부분각도의 비 만큼 곱해주면( $\frac{\theta}{2\pi}$ ) 부채꼴의 넓이($\frac{\theta}{2\pi}*\pi r^2 = \frac{1}{2} r^2\theta$)가 나온다.

물론 여기서는 r(반지름)을 1로 놨으니 r 변수는 사라질 것이다.

부채꼴의 각도를 기준으로 놨으니, 이제 삼각형도 계산할 수 있다. 삼각형의 넓이는 가로*세로/2이다.

xy좌표축의 x와 y의 값을 $\theta$로 표현하면 단위원의 매개변수 표현법에 의거 $y=sin\theta, x=cos\theta$로 표현할 수 있다. 다만 여기서는 부채꼴의 각도를 기준으로 표현을 했으니 우리가 쓰는 좌표축의 $y$값이 $cos\theta$가 될것이며 $x$값은 $sin\theta$가 될 것이다. 뭔가 두 길이가 달라진 것 같지만, 사실상 직사각형에서의 삼각형이니 두개는 대칭이다.(엄밀히 매개변수 표현법으로 $y=sin\theta, x=cos\theta$이니, 위의 예에서 $y=sin(90-\theta), x=cos(90-\theta)$가 되고 각각, $y=sin(90-\theta)=cos\theta$, $x=cos(90-\theta)=sin\theta$의 관계가 성립한다.)

수식으로 표현하면 $\frac{1}{2}sin\theta cos\theta$가 삼각형의 넓이가 될 것이다.

그리하여 두 식을 더한 $\frac{1}{2} \theta + \frac{1}{2}sin\theta cos\theta$ 값이 저 사다리꼴과 같은 도형의 부분 넓이가 된다는 것을 알았다.

여기까지 우리는 각도를 알면 그 각도에 해당하는 원의 사다리꼴과 같은 도형의 부분넓이를 구할 수 있게 되었으나, 반드시 각도를 알아야 한다는 단점이 있다.

여기서 x축 값 만으로 이 넓이를 구하려면, arcsin값만 알면 된다. 위의 그래프에서 x값과 같은 값을 나타내는 것은 $\theta$ 각도를 가지고 구한 $sin$값과 같다는 것을 알 수 있다. 그렇다면, 반대로 x값을 sin함수의 역함수인 arcsin에 넣어주면, 그 값에 해당하는 각도가 구해질 것이고, 그 각도값으로 부채꼴의 넓이 공식에 적용하면 부채꼴의 넓이를 알 수 있으므로 arcsin만 써주면 해결이다.

그렇다면 삼각형 부분은 어떻게 해결할 것인가?

사실 이 삼각형 부분은 x축 값이 밑변, 원의 방정식에서 x값을 대입한 값이 y값이다. 즉, y값은 $y = \sqrt{1-x^2}$이다.

이렇게 되면, 우리는 일반식으로 원에서의 사다리꼴과 같은 형태의 넓이를 x값에 따라 얻을 수 있는 일반식을 만들 수 있다.

$\frac{1}{2} arcsin\, x + \frac{1}{2}\cdot x \cdot \sqrt{1-x^2}$

다음 포스팅에서는 이를 부정적분으로 구해보는 시간을 가져볼 예정이다.

피보나치 수열의 일반항과 비율의 극한(황금비)

피보나치 수열하면 모르는 사람이 없을 정도로 아주 간단한 규칙을 가진 수열이다.

바로 앞의 두 숫자를 더하면 다음 숫자가 나오는 수열이다.

여기서 앞의 두 숫자는 1, 1 이다.

그러면 바로 아래와 같은 수열이 나오게 된다.

1 1 2 3 5 8 13 ...

물론 이 수열의 극한은 무한대로 발산할 것이 분명하지만, 이 수열의 두 항의 '비율'의 극한은 수렴할까? 수렴한다면 어디로 수렴할까? 한번 확인해보자.

여기서 수열의 극한을 확인하려면 항상 일반항이 있어야 한다. 그러나 피보나치 수열은 '앞의 두 수를 더하면 다음 숫자가 된다'는 점화식만 있는 형태이다. 그러면 이 점화식을 통해서 일단 피보나치 수열의 일반항을 구해보도록 하자.

피보나치 수열의 일반항 구하기

1. 피보나치 수열의 점화식을 써보자.

  피보나치 수열은 이 전의 두 항을 더하면 다음 항이 되는 수열이다.

  $ a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} $

  이러한 형태 점화식만 있는 상태로 등차, 등비, 멱급수 등등등 그 어떤 수열의 형태도 아니다.

2. 일반식으로 확장

  이 수열의 상태만으로는 우리가 뭔가 찝쩍거릴 건덕지가 없으니까, 일반적인 일반식으로 확장한 뒤 근과 계수와의 관계(Vieta's formulas, 두 근을 $ \alpha, \; \beta $로 놓으면 $ px^2+qx+r=0 $의 방정식에서 $ \alpha + \beta = - \frac{q}{p}, \alpha \beta = \frac{r}{p} $의 관계가 생긴다는 공식)를 활용하여 근을 활용한 일반식으로 변화시켜 볼 것이다. 참고로 수열에서 항수는 차수가 다른 방정식과 동일하게 볼 수 있다.(더 자세한 내용은 >>점화식에서의 특성방정식(characteristic equation)<<에서 확인할 수 있다.)

  $ a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} \Rightarrow x^2 = x + 1 \Leftrightarrow x^2 -x -1 = 0 $와 같이 쓴뒤, $ px^2+qx+r=0 $의 일반식으로 변환시켜주면, $ p = 1, q = -1, r = -1 $이 되고, 근과 계수와의 관계에서 $ \alpha+\beta=-\frac{q}{p}=1, \; \alpha \beta = \frac{r}{p} = -1 $이다.

  이는 다시 쓰면, $ p $가 기본적으로 1이기 때문에 $ \alpha+\beta = -q, \; \alpha \beta = r $이라고 놓을 수 있다.

  그래서 일반식을 다시 근과 계수와의 관계를 이용하여 계수가 아닌 근의 형태로 표현해주면

  $ x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta = 0 $

  이를 다시 수열의 항을 통해서 표현해주면

  $ a_{n+2} = (\alpha+\beta)a_{n+1} - \alpha \beta a_n $과 같은 근을 활용한 일반식으로 확장이 되었다.

  이때, $ a_1 = 1, \; a_2 = 1, \; \alpha + \beta = 1, \; \alpha \beta = -1 $이다.

3. 반복되는 형태를 만들어서 계산가능하게 만들자

  과거 >>https://omnil.tistory.com/172<<포스팅에서 감마함수를 팩토리얼로 변환하는 과정과 같이 등식의 좌변과 우변이 반복되는 형태를 만들어주게 되면 계산이 되지 않을 것 같은 등식도 계산이 된다. 특히 최종단계를 우리가 직접 계산해서 값을 알 수 있다면 더더욱이 말이다. 참고로 감마함수는 n=1일때 값이 1이며, 우리는 뭔가 이런단계를 거치면 1항이 1, 2항이 1이라는 것을 통해서 값을 구할 수 있을 것이다.

  $ a_{n+2} = (\alpha+\beta)a_{n+1} - \alpha \beta a_n $

  $ a_{n+2} = \alpha a_{n+1} + \beta a_{n+1} - \alpha \beta a_n $

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta a_{n+1} - \alpha \beta a_n $

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta (a_{n+1} - \alpha a_n) $

  이렇게 변환하면 등식의 좌변과 우변의 공동되는 부분의 한 항 차이가 $ \beta $배라는 것을 알 수 있다. 바로 이것으로 우리가 아는 $ a_2 $와 $ a_1 $를 가지고 계산할 수 있는 형태로 반복계산이 가능하다.

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta (a_{n+1} - \alpha a_n) $

  $ a_{n+1}-\alpha a_{n} = \beta (a_{n} - \alpha a_{n-1}) $

  $ \Rightarrow a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta^2 (a_{n} - \alpha a_{n-1}) $

  이런식으로 $ \beta $배씩 곱해주면 우항을 a2와 a1항으로 계산할 수 있는 형태로 만들어줄 수 있다.

  이 때, $ \beta $가 몇개 생기는지는 항 수를 보고 생각하면 된다.

  우변의 맨 오른쪽항이 a2항에서 a1항으로 떨어지게 되면, $ \beta $는 한개가 생길 것이다. 즉, an항에서 a1항으로 떨어지면 (n-1)개의 $ \beta $가 생성될 것이다.

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta \cdot \beta^{n-1} \cdot (a_{2} - \alpha a_1) $

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta \cdot \beta^{n-1} \cdot (1 - \alpha \cdot 1) \leftarrow \because a_2=1,\; a_1=1 $

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta \cdot \beta^{n-1} \cdot \beta \leftarrow \because \alpha + \beta = 1 $

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta^{n+1} $

  즉  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} $는 $ \beta $를 $ n+1 $번 곱한 것이니 항수 만큼 $ \beta $를 곱해주는 횟수가 된다는 것을 알 수 있다. 그렇다면 우리가 알고싶은 $ a_n $을 기준으로 하는 식으로 바꿔주면

  $ a_{n}-\alpha a_{n-1} = \beta^{n-1} \cdots (1)$

  이 되고, 이는 $ \alpha $ 변수와 $ \beta $ 변수를 바꾸어도 변수위치만 바뀐 동일한 식이 나온다.

  $ a_{n}-\beta a_{n-1} = \alpha^{n-1} \cdots (2)$

4. 연립하여 $ a_n $에 대한 일반항으로 풀어준다.

  변수 두개에 식이 두개가 나왔으니 연립방정식으로 풀 수 있다.

  (2)식에 $ \frac{\alpha}{\beta} $배를 해준 뒤 (1)-(2)식을 해줘서 $ a_{n-1} $항을 소거하여 $ a_n $의 일반항을 얻을 수 있다.

  $ a_{n}-\alpha a_{n-1} = \beta^{n-1} \cdots (1)$

  $ \frac{\alpha}{\beta}a_{n}-\alpha a_{n-1} = \frac{\alpha^{n}}{\beta} \cdots (2)$

  $ (1)-(2) $

  $ a_{n}-\frac{\alpha}{\beta}a_n = \beta^{n-1}-\frac{\alpha^n}{\beta} $

  $ \beta a_{n}-\alpha a_n = \beta^{n}-\alpha^n $

  $ (\beta -\alpha) a_n = \beta^{n}-\alpha^n $

  $ \therefore a_n = \frac{\beta^{n}-\alpha^n}{\beta -\alpha} $

  일반항 겟!!

  이제 일반항에 값만 대입해주면 진짜 n에 몇번째 항인지만 대입해주면 거기에 해당하는 값이 나오는 일반항이 된다.

5. $ \alpha $와 $ \beta $의 값 구하여 일반항에 대입하기

  여기서 $ \alpha $와 $ \beta $는 사실 $ x^2 -x -1 = 0 $의 두 근과 같기 때문에 근의 공식을 통하여 바로 값을 구할 수 있다.

  $ ax^2+bx+c = 0 $에서 두 근은 $ \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $식으로 구할 수 있다.
  $ \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}, \; a=1, \: b=-1, \: c=-1 $

  $ \beta = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \; \alpha = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} $

  $ a_n = \frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}} $

  $ \therefore a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right) $

  이렇게 피보나치 수열의 일반항을 구했다!!

  근데, 유리수의 합으로 나타나는 피보나치 수열에서 일반항에 무리수가 들어가는 것이 신기하지 않은가!

피보나치 수열의 비율의 극한

이렇게 일반항을 구했으면 비율의 극한도 쉽게 구할 수 있다.

여기서는 더 큰수를 더 작은수로, 즉 $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $의 비를 구할 것이다.

이번엔 비율을 구할 것이기 때문에, 숫자까지 들어간 일반항 보다는 문자로 표현된 더 한눈에 보기 간편한 일반항을 사용하여 극한을 구해볼 것이다.

1. 비율 식 구하기

  $ a_{n+1} = \frac{\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}}{\beta -\alpha} $

  $ a_{n} = \frac{\beta^{n}-\alpha^{n}}{\beta -\alpha} $

  $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}}{\beta -\alpha}}{\frac{\beta^{n}-\alpha^{n}}{\beta -\alpha}} $

  $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}}{\beta^{n}-\alpha^{n}} $

  $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\beta-\alpha \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^n}{1-\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{n}} $

2. 극한 씌워주기

  $ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\beta-\alpha \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^n}{1-\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{n}} $

  여기서 $ \beta = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \; \alpha = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} $이고, $ \beta $가 $ \alpha $보다 크기 때문에 $ \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^n $항은 $ n $이 무한대로 갈 때 값이 0으로 수렴한다.

  참고로 실제 값을 대입해서 계산해본 $ \left(\frac{\alpha}{\beta}\right) $ 값은 $ \frac{\sqrt{5}-3}{2} $이며, 그 값은 약 -0.382이다. 즉, 이 값을 무한대로 제곱할 경우 양과 음을 반복 진동하며 수렴한다.

  즉, 극한을 취한 뒤의 값은

  $ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\beta-\alpha 0}{1-0} $

  $ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \beta $

  $ \therefore \beta $

  이며, 이 $ \beta $값은  $ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $이므로, 피보나치 수열의 비율의 극한 값은 $ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $이 된다.

  그러면 이 값은 과연 무엇일까

황금비

  인생을 살면서 '황금비'라는 단어를 한번은 들어본다.

  황금비는 1: 1.618로써 근사하면 5:8정도의 비율을 나타내는 것을 황금비라고 한다.

  이것은 우리가 어떤 비율을 봤을 때 가장 아름답다고 생각하는 비율이라고 하는데, 이 1.618이라는 값은

  $ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $을 계산하면 나오는 값이다.

  즉, 피보나치 수열의 비율을 극한으로 가져가면 황금비를 가진다는 사실!

Gamma function(감마함수)를 통하여 gamma(n+1)=n!(팩토리얼, factorial) 증명

1. 감마함수 정의

    $ \Gamma \left ( n \right ) = \int_{0}^{\infty }e^{-x}\cdot x^{n-1 }\: dx $

2. gamma(n+1) = n! 증명

  2-1) gamma(n+1) 재정의

    $ \Gamma \left ( n+1 \right ) = \int_{0}^{\infty }e^{-x}\cdot x^{n }\: dx $

  2-2) gamma(n+1) 부분적분

    부분적분법

    $ \int u(x)v'(x) \; dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\: dx $

    부분적분

    $ \int_{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}\: dx = [-x^{n}e^{-x}]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty }nx^{n-1}(-1)e^{-x}\: dx $

    $ \int_{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}\: dx = \lim_{x\rightarrow \infty}(-x^{n}e^{-x})-(0e^{0}) + n \int_{0}^{\infty }x^{n-1}e^{-x}\: dx $

    $ \int_{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}\: dx = n \int_{0}^{\infty }x^{n-1}e^{-x}\: dx $

    $ \Gamma (n+1) = n \Gamma (n) $

  2-3) gamma(1) 계산

    $ \Gamma (1) = \int_{0}^{\infty}e^{-x} \cdot x^{1-1} \: dx $

    $ \qquad \, = [-e^{-x}]_{0}^{\infty} $

    $ \qquad \, = \lim_{x\rightarrow \infty} (-e^{-x}) - (-e^{0}) $

    $ \qquad \, = 0 - (-1) $

    $ \qquad \, = 1 $

  2-4) 순환 반복하므로 gamma(n+1)은 n!

    $ \Gamma (n+1) = n \Gamma (n) $

    $ \Gamma (n) = (n-1) \Gamma (n-1) \Rightarrow \Gamma(n+1) = n \times (n-1) \times \Gamma (n-1) $

    $ \vdots $

    $ \Gamma (2) = 1 \cdot \Gamma (1) $

    $ \Gamma (1) = 1 $

    $ \Gamma (n+1) = n \times (n-1) \times ... \times 2 \times 1 $

    $ \therefore \Gamma (n+1) = n! = \int_{0}^{\infty}e^{-x}\cdot x^{n} \: dx $