무한서고

푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 복소 푸리에 급수(Complex Fourier Series)

0) 서론

저번 포스팅까지 '푸리에 ~~~'의 모든 개념을 첫 푸리에 급수가 태동한 sin, cos함수로 끝까지 살펴보았습니다.

그러나 사실 푸리에 적분부터는 복소지수함수(Complex exponential function)로 나타낸 표현이 일반적입니다만, 통일성을 위해 sin과 cos으로 만들어진 초기 푸리에 급수에서부터 저희는 변환까지 유도해 보았죠!

기착지에서 다시 출발한 지금, 저번 포스팅까지 쭉 따라왔었던 급수~변환까지 흐름을 다시한번 따라가되, 이번에는 복소지수함수로 진행해 볼까합니다!

그럼 다시 한번 그 여정을 떠나보죠!

푸리에 오디세이! 다시 출항합니다!

1) 복소지수함수로 나타내기

1748년 오일러는 sin과 cos을 복소지수함수로 표현을 확장합니다.(오일러의 공식: $ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$)<자세한 건 복소수 평면에서의 오일러 공식을 참조하세요!)

그리고 이에따라 sin과 cos으로 나타내던 모든 푸리에 해석은 모두 복소지수함수로 표현이 가능해지죠.

만약 복소지수함수로 표현하게 된다면, sin과 cos으로 나누어져있던 정보들을 단 하나로 통합할 수 있게 됩니다.

말 그대로 sin과 cos의 정보를 '복소평면에서의 원운동' 단 하나로 압축해서 표현할 수 있기 때문이죠.

그리고 이에따라 $a_n,\ b_n$으로 나누어져있던 계수는 $c_n$ 단 하나의 계수로 표현이 가능해지고, 그 진폭과 위상도

진폭 = $ |c_n| $

위상 = $ \tan^{-1} \left( \frac{Im(c_n)}{Re(c_n)} \right) = \arg(c_n) $

이렇게 간단하게 표현 가능해집니다.

그러면 이제 서론에서 말했던 것처럼 다시 처음으로 돌아가서 푸리에 급수부터 적분, 변환까지 복소지수함수형태로 나타내 볼까요?

일단 급수부터 변환해보죠! (다만 역사적으로 푸리에 급수는 원래 cos, sin으로 표기되었습니다. 즉, 이건 일부러 변환해보는 겁니다.)

2) 푸리에 급수를 복소지수함수 형태로 나타내기

1단계: 오일러 공식을 이용하면 cos x와 sin x를 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

\begin{align}
e^{i\theta} &= \cos \theta + i \sin \theta \\
e^{-i\theta} &= \cos \theta - i \sin \theta \\ \\
\cos \theta &= \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \\
\sin \theta &= \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}
\end{align}

위의 두 식을 더해서 정리하면 cos이 표현이 되고, 빼서 정리하면 sin이 표현이되죠!

2단계: 푸리에 급수에 오일러 공식 대입

이제 원래의 푸리에 급수 식에 있는 cos과 sin 항을 방금 유도한 지수 함수 형태로 교체합니다. 여기서 $ \theta = n\frac{\pi}{L}x $입니다.

\begin{align}

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \left(\frac{e^{i \frac{n\pi}{L}x} + e^{-i \frac{n\pi}{L}x}}{2}\right) + b_n \left(\frac{e^{i \frac{n\pi}{L}x} - e^{-i \frac{n\pi}{L}x}}{2i}\right) \right)

\end{align}

3단계: $e^{i\theta}$와 $e^{-i\theta}$항으로 묶기

이제 식을 $e^{i \frac{n\pi}{L}x}$항과 $e^{-i \frac{n\pi}{L}x}$항을 기준으로 다시 묶어줍니다.

\begin{align}

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \left(\frac{a_n}{2} + \frac{b_n}{2i}\right)e^{i \frac{n\pi}{L}x} + \left(\frac{a_n}{2} - \frac{b_n}{2i}\right)e^{-i \frac{n\pi}{L}x} \right)

\end{align}

분모에 있는 허수 i를 분자로 올리기 위해 분모와 분자에 i를 곱해주면 ($\frac{1}{i} = -i$), 식은 다음과 같이 정리됩니다.

\begin{align}

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \left(\frac{a_n - ib_n}{2}\right)e^{i \frac{n\pi}{L}x} + \left(\frac{a_n + ib_n}{2}\right)e^{-i \frac{n\pi}{L}x} \right)

\end{align}

여기서 sin과 cos을 하나의 복소지수함수로 만들면서 재밌게도, 푸리에 급수 수식에서 삼각함수 형태가 사라지는 대신 비슷한 모양($e^{i \frac{n\pi}{L}x}, e^{-i \frac{n\pi}{L}x}$)의 항이 생기는 것을 볼 수 있습니다.

$e^{i \frac{n\pi}{L}x}$를 다시 정리해보면 $e^{i \frac{\pi x}{L}\ n}$

$e^{-i \frac{n\pi}{L}x}$를 다시 정리해보면 $e^{i \frac{\pi x}{L}\ -n}$

여기서 우리는 양수 n을 가지는 $e^{i \frac{n\pi}{L}x}$를 '양수 인덱스', 음수 n을 가지는 $e^{-i \frac{n\pi}{L}x}$를 '음수 인덱스' 항이라고 부르겠습니다.

4단계: 복소 계수 $c_n$ 정의

이제 복잡한 계수 부분을 새로운 복소 계수 $c_n$으로 치환하여 식을 단순화합니다.

n=0:

$ c_0 = \frac{a_0}{2} $

n≥1 일 때 (양수 인덱스):

$ c_n = \frac{a_n - ib_n}{2} $

n≤-1 일 때 (음수 인덱스):

$ c_{-n} = \frac{a_n + ib_n}{2} \quad (n \ge 1) $

이제부터는 등식관계로 연결되어 있기 때문에 $c_n$만 가지고 연산을 진행할 것입니다.

즉, $a_n$, $b_n$을 당장은 고려하지 않을 것입니다. 그러나 등식으로 연결되어있으므로 $c_n$을 제대로 구해서 정리하면 후에 $a_n$, $b_n$도 깔끔하게 정리될 수 있겠죠?

이 새로운 계수들을 3단계의 식에 대입하면 다음과 같습니다.

\begin{align}

f(x) = c_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( c_n e^{i \frac{n\pi}{L}x} + c_{-n} e^{-i \frac{n\pi}{L}x} \right) \\

f(x) = c_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n e^{i \frac{n\pi}{L}x} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} c_{-n} e^{-i \frac{n\pi}{L}x} \\

\end{align}

5단계: 합(Summation) 범위 통합

위 식을 보면 n이 양수일 때의 합과 음수일 때의 합으로 나뉘어 있습니다. 이것을 하나의 합으로 합칠 수 있습니다.

- $ \sum\limits_{n=1}^\infty c_n e^{i\frac{n\pi}{L}x} $는 n이 1부터 ∞까지의 합입니다.

- $ \sum\limits_{n=1}^\infty c_{-n} e^{-i\frac{n\pi}{L}x} $에서 인덱스를 k=-n으로 바꾸면, n이 1,2,3,…로 변할 때 k는 -1,-2,-3,…로 변합니다. 따라서 이 합은 $ \sum\limits_{k=-1}^{-\infty} c_k e^{i\frac{k\pi}{L}x} $와 같습니다. k는 더미변수이므로 다시 n으로 바꿔써주면 $ \sum\limits_{n=-1}^{-\infty} c_n e^{i\frac{n\pi}{L}x} $

이것들을 $c_0$ 항과 모두 합치면, n이 -∞부터 ∞까지 모든 정수를 포함하는 하나의 합으로 표현할 수 있습니다.

\begin{align}

f(x) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{n\pi}{L}x}

\end{align}

이 식에 n=0을 대입하면, 바로 $c_0$가 나오고 그 외에는 위에서 정리한대로 양수 인덱스와 음수 인덱스를 합칠 수 있으므로 아주 깔끔하고 우아하게 수식을 단 하나의 항으로 나타낼 수 있게 됩니다.

6단계: 복소 계수 $c_n$의 적분 형태 유도

마지막으로, 계수 $c_n$을 $a_n$과 $b_n$을 거치지 않고 원래 함수 $f(x)$에서 바로 구할 수 있는 적분 형태로 유도합니다.

$c_n = \frac{a_n-ib_n}{2}\ (n\ge1) $에 원래 $a_n,\ b_n$의 적분 공식을 대입합니다.

(참고로 제가 위에서 등식으로 연결되어있어 $c_n$만 잘 정리해서 계산하면 나중에 $a_n$, $b_n$도 잘 정리될거라했죠? 여기서 '$c_{-n}$식으로는 안되냐!' 고 하면, 실제로 결과는 완전 똑같이 나온답니다!)

\begin{align}

a_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\cos\left(\frac{n\pi}{L}x\right) dx \quad (n=0, 1, 2, ...) \\

b_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right) dx \quad (n=1, 2, 3, ...) \\ \\

c_n &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\left(\frac{n\pi}{L}x\right)dx - i \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)dx \right) \\ &= \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) \left( \cos\left(\frac{n\pi}{L}x\right) - i\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right) \right) dx

\end{align}

여기서 괄호 안의 식은 오일러 공식에 의해 $e^{-i \frac{n\pi}{L}x}$ 와 같습니다. 따라서 $c_n$의 최종 형태는 다음과 같습니다.

\begin{align}

c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x)e^{-i \frac{n\pi}{L}x} dx

\end{align}

그리고 우리는 n이 양수인 것에서 출발했지만, 재밌게도 이렇게 계산된 $c_n$은 $ c_0 $도 포함한답니다.

아까 $c_0 = \frac{a_0}{2}$이었고, $a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) dx $이었죠.

풀어보면

$ c_0 = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) dx $가 되는데, 이건 아까 $c_n$식에서 n에 0을 대입하면 나오는 식과 동일합니다.

최종 결과

다시 정리하면, 복소 푸리에 급수(Complex Fourier Series)와 복소 푸리에 계수(Complex Fourier Coefficients)는

\begin{align}

f(x) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{n\pi}{L}x}\\

c_n &= \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x)e^{-i \frac{n\pi}{L}x} dx \quad (n = 0, \pm1, \pm2, ...)

\end{align}

입니다.

그리고 재밌게도 cos, sin을 통합하여 두개의 항을 하나의 항으로 나타내자, 급수의 영역이 더 늘어난 걸($(-\infty, -1)$ 구간이 추가되었죠?) 보실 수 있습니다.

사실상 항이 많은 것보다는 영역이 2배인게 좀 더 깔끔하니 훨씬 간결한 식이 되었습니다.

3) 음수 인덱스에 의해 생겨나는 음수 주파수

그러나 여기서 자세히 살펴보면... 주파수가 음수인게 있네요!? 이게 가능한 일인가요?

이 의문의 핵심은 실수 신호인 코사인파 하나를 만들기 위해 두 개의 복소지수 함수가 필요하다는 점에 있습니다.

오일러 공식으로 코사인 함수를 다시 살펴보겠습니다.

$ \cos(\omega t) = \frac{e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}}{2} = \frac{1}{2}e^{i\omega t} + \frac{1}{2}e^{-i\omega t} $

이 식을 해석하면 다음과 같습니다.

• $e^{i\omega t}$: 복소 평면에서 반시계 방향(양의 방향)으로 회전하는 벡터를 나타냅니다. 이것이 바로 양의 주파수 (+ω) 성분입니다.
• $e^{-i\omega t}$: 복소 평면에서 시계 방향(음의 방향)으로 회전하는 벡터를 나타냅니다. 이것이 바로 음의 주파수 (-ω) 성분입니다.

실수 세상의 단순한 코사인파(좌우 진동) 하나는, 복소 세상에서는 이 두 개의 반대 방향으로 회전하는 벡터(성분)가 합쳐져야만 만들어집니다. 두 벡터의 허수 부분(수직 방향)은 서로 상쇄되고, 실수 부분(수평 방향)만 남아 우리가 아는 진동이 되는 것이죠.

즉, 마이너스 주파수는 물리적으로 존재하지 않는 유령 같은 개념이 아니라, 실수 신호를 수학적으로 표현하기 위해 필연적으로 등장하는 짝(pair) 성분입니다.

4) 삼각함수로 나타낸 푸리에 급수에서는 음수 주파수가 안보이는데요?

원래의 푸리에 급수에서는 cos(nωt) 와 sin(nωt) 만 사용했습니다. 여기서는 주파수를 나타내는 n이 양수(n≥1)였죠.

마이너스 주파수 개념이 명시적으로 필요 없었던 이유는 코사인과 사인의 대칭성(우함수/기함수 성질) 때문입니다.

• 코사인은 우함수(cos(-x)=cos(x))이므로, 음수 주파수 성분은 양수 주파수 성분과 완벽히 동일하여 이미 표현에 포함되어 있었습니다.($a_n = c_n + c_{-n} $)
• 사인은 기함수(sin(-x)=-sin(x))이므로, 음수 주파수 성분은 양수 주파수 성분의 계수 부호를 바꾸는 것과 같아 그 효과가 계수에 흡수될 수 있었습니다.($b_n = i(c_n-c_{-n})$)

즉, 이 두 성질 덕분에 마이너스 주파수 성분은 양수 주파수 항 안에 그 효과가 '숨어' 있었던 셈입니다. 복소 푸리에 급수는 이 숨어있던 성분을 양과 음의 주파수로 명확하게 분리해서 보여주는 것입니다.

복소 푸리에 급수는 이렇게 숨겨져 있던 두 회전 성분을 명확하게 분리하여 보여주는 더욱 상세한 분석 방법인 것입니다.

따라서 이는 단순히 '항은 절반, 영역은 두 배'가 되는 표면적인 변환을 넘어, 합쳐져있던 '음의 주파수'와 '양의 주파수'를 더욱 자세하게 쪼개 볼 수 있는 방법까지 제공하는 매우 유용한 도구가 됩니다.

추가로 $c_n$과 f(x)가 real value만을 가지는 함수라고 했을 때 조금 재밌는 관계가 나오는데요, $c_n$을 켤레복소수로 만들면(=$c_{-n}$) real축에대해 대칭인 점을 얻을 수 있다고 했잖아요?

수식으로 써보면 $| c_n | = | c_{-n} |$이고 $ \arg(c_n) = -\arg(c_{-n}) $입니다.

즉 크기는 같고 위상이 반대라는 말이죠.

그리고 이것으로 재밌는 성질이 하나 도출되는데…

진폭은 우함수 성질, 위상은 기함수 성질을 가진다는겁니다!

그래서 사실 우리는 복소푸리에 급수에 대해 $(-\infty, \infty)$ 까지 계산을 수행하지만 사실은 한쪽만($(0, \infty)$) 수행해도 된다는 말이기도 합니다.(더 자세히는 들어가지 않겠습니다.)

5) 더 나아가기

근데 왠지 급수자체도 복소지수로 구해보고 싶지 않나요!?

사실 푸리에가 처음 제안한 방식은 삼각함수인 cos, sin으로 근사하는 방법이었고, 이것을 먼저 유도한 다음 복소지수로 넘어가는것이 사실 역서적으로나 개념적으로나 맞겠습니다만...

근데 왠지 아예 푸리에 급수 자체도 복소지수로 구해볼 수 있지 않을까 하는 도전정신이 일어나지 않나요?

일단 뭐니뭐니해도 우리를 가장 애먹였던 '직교성'만 잘 구할 수 있으면 사실 복소지수자체로 푸리에 급수를 구하는 것도 어렵지만은 않아보입니다.

핵심 아이디어는 주기 함수 $f(x)$를 'sin이나 cos그래프로 근사한다'는 개념이 아니라 '복소 평면에서 회전하는 벡터들의 합으로 표현하는 것'입니다. 각 벡터는 복소 지수 함수 $e^{i \frac{n\pi}{L}x}$로 나타낼 수 있습니다.

원래 삼각함수 푸리에 급수가 '원래 함수 그래프에 여러 파동의 모양을 맞춰보는' 느낌이었다면, 복소 푸리에 급수는 '회전 운동의 조합으로 원하는 궤적을 그리는' 느낌입니다. 즉, 복소 평면에서 각자의 속도로 회전하는 여러 벡터들을 조합하여, 그 끝이 최종적으로 함수 $f(x)$의 궤적을 따라가도록 만드는 것과 같습니다.

그리고 벡터의 덧셈 연산은 '평행사변형 법' 말고도 '삼각형 법' 즉, 한 벡터의 종점에 다른 벡터의 시점을 연결하는 방법도 있죠.

그래서 이 방법을 사용하면 최종 벡터의 끝이 한번쯤은 보았을 법 한 '그림그리는 펜'의 역할을 수행해서 그림도 그릴 수 있답니다!(물론 복소평면에서 그려지니까 함수 자체도 복소함수가 되어야겠죠?)

자, 이제 직접 구해봅시다.

1단계: 복소 푸리에 급수 형태 가정

먼저, 주기 2L을 갖는 함수 $f(x)$가 다음과 같은 복소 지수 함수의 무한합으로 표현될 수 있다고 가정합니다. 여기서 c_n은 각 주파수 성분의 크기와 위상을 나타내는 복소 계수입니다.

$ f(x) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{n\pi}{L}x} $

이 부분도 사실은 '가정'입니다.

우리가 처음에 삼각함수로 푸리에 급수를 나타낼 때도 원래 처음엔 '이렇지 않을까?'하면서 식을 만들었었죠.

뭐 사실 복소 푸리에 급수 형태를 처음부터 생각해 낸다는건, 삼각함수 푸리에 급수 형태를 생각해내는 것보다 훨씬훨씬 어려울 겁니다.

그러나 일단 삼각함수 푸리에 급수의 도움을 받던, 어찌됐던 일단 '가정'에 성공했다고 치고 진행해봅시다.

이제 우리의 목표는 이 식에서 계수 $c_n$을 구해내는 것입니다.

2단계: 복소 지수 함수의 직교성(Orthogonality) 활용

계수 $c_n을$ 분리해내기 위해 복소 지수 함수의 중요한 성질인 직교성을 이용합니다. 두 복소 지수 함수 $e^{i \frac{n\pi}{L}x}$와 $e^{i \frac{m\pi}{L}x}$를 한 주기($-L$부터 $L$까지)에 대해 곱해서 적분하면, 두 주파수가 같을 때(n=m)만 0이 아닌 값이 나옵니다.

단, 내적을 계산할 때는 한쪽에 켤레 복소수(Complex Conjugate)를 취해주어야 합니다. 즉, $e^{i \frac{m\pi}{L}x}$의 켤레 복소수인 $e^{-i \frac{m\pi}{L}x}$를 곱합니다.

$\int_{-L}^{L} e^{i \frac{n\pi}{L}x} \cdot e^{-i \frac{m\pi}{L}x} dx = \int_{-L}^{L} e^{i \frac{(n-m)\pi}{L}x} dx = \begin{cases} 2L & \text{if } n=m \\ 0 & \text{if } n \neq m \end{cases}$

해당 결과는 직접 적분을 해봐도 되고, 뒤에 나올 '상대속도'개념으로 생각해도 명확하죠!

이 성질 덕분에 무한한 항들의 합에서 우리가 원하는 특정 계수($c_m$)만 정확히 "뽑아낼" 수 있습니다.

여기서 살짝 켤레복소수의 의미를 살펴보면,

• 1) 대수적으로는 '허수'를 제거하기위해 사용합니다.
  더하면 2배의 실수만 나오고, 곱하면 각 성분을 거듭제곱한 것들끼리 더한 실수만 나오죠.
• 2) 기하학적으로는 복소수의 '원점으로 부터의 길이'를 나타냅니다.
  각 성분을 피타고라스 정리로 정리하면 원래 복소수에 켤레복소수를 곱한 값이 나오죠
• 3) 동역학에서 실제로 원운동을 하는 점으로 본다면, 반대방향의 회전을 나타냅니다.

그리고 재밌게도 복소지수에서 곱셈은 길이(계수)의 곱과 회전각도(지수)의 덧셈으로 나타나죠.

그래서 복소지수에 같은 켤레복소수를 곱하는 행위는 항상 회전각도를 0으로 만들어서 결과가 항상 '실수'가 나오게 하는 것 입니다.

그럼 만약에 회전 속도가 다른 두 복소수는 어떨까요?

켤레복소수는 '반대방향의 회전'을 뜻한다고 하였습니다.

즉, 이말은 A * (B*)를 곱하면 그 회전 속도는 '상대속도'개념이 됩니다. A에서 B를 봐도 되고, B에서 A를 봐도 되지만, 어찌됐든 그 상대속도가 0이면, 두 값은 어찌됐든 특정한 값(벡터의 합)을 가지고 회전한다는 뜻이고 상대속도가 0이 아니라면 한 주기동안 모든 방향을 공평하게 가리킨다 = 원운동이므로 평균하면 0이 된다 = 내적 개념에서 둘은 비슷한 점이 단 하나도 없다.

가 됩니다. 그래서 켤레복소수를 써야만 하는 거죠.

3단계: 특정 계수($c_m$) 분리하기

1단계에서 가정한 식의 양변에 특정 주파수 성분(m)에 해당하는 켤레 복소수 $e^{-i \frac{m\pi}{L}x}$를 곱해줍니다.

$f(x) \cdot e^{-i \frac{m\pi}{L}x} = \left( \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{n\pi}{L}x} \right) \cdot e^{-i \frac{m\pi}{L}x}$

이제 이 식의 양변을 한 주기(-L부터 L까지)에 대해 적분합니다.

$ \int_{-L}^{L} f(x) e^{-i \frac{m\pi}{L}x} dx = \int_{-L}^{L} \left( \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{n\pi}{L}x} e^{-i \frac{m\pi}{L}x} \right) dx $

우변의 적분과 합계 기호의 순서를 바꿀 수 있으므로, 식은 다음과 같이 정리됩니다.

$\int_{-L}^{L} f(x) e^{-i \frac{m\pi}{L}x} dx = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n \int_{-L}^{L} e^{i \frac{n\pi}{L}x} e^{-i \frac{m\pi}{L}x} dx$

4단계: 직교성을 적용하여 계수($c_n$) 공식 유도

이제 2단계에서 본 직교성을 우변에 적용할 차례입니다. 우변의 적분 값은 n=m일 때를 제외하고는 모두 0이 됩니다. 따라서 무한히 많던 합계(∑) 항들이 모두 사라지고 n=m인 단 하나의 항만 남게 됩니다.

$ \int_{-L}^{L} f(x) e^{-i \frac{m\pi}{L}x} dx = c_m \cdot (2L) $

이제 이 식을 우리가 구하려던 계수 $c_m$에 대해 정리합니다.

$c_m = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) e^{-i \frac{m\pi}{L}x} dx$

여기서 인덱스 m은 특정 항을 지칭하기 위해 사용한 것이므로, 일반적인 인덱스 n으로 다시 바꾸어 써주면 복소 푸리에 계수를 구하는 최종 공식을 얻게 됩니다.

결론

복소 푸리에 급수

$ f(x) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{n\pi}{L}x} $

복소 푸리에 계수

$ c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) e^{-i \frac{n\pi}{L}x} dx \quad (n = 0, \pm1, \pm2, ...)$

삼각함수로 나타낸 푸리에 급수에서의 변환과 똑같죠?

6) 마무리

와.. 오늘은 진짜 긴 호흡의 포스팅이었습니다.

아무래도 복소지수함수로 표현하다보니, 수식적인 부분도 바꿔야하고 더욱 큰 부분은 개념적으로 더 자세하게 살펴볼 것이 많아져서 그것들을 짚어보느라 좀 많이 길어진 것 같습니다.

진짜 여기까지 따라오셨으면 또 큰 산을 하나 넘은거나 마찬가집니다.

'개념의 확장'

이게 제일 어려운건데, 벌써 삼각함수로 나타낸 푸리에 급수에서 한번, 해석에서 한번, 변환에서 한번, 그리고 복소지수함수로의 변환에서 한번...

여러번의 개념의 확장을 거쳐 여기까지 당도하신거잖아요!

앞으로 남은 포스팅은 몇개 되지만, 지금까지보다 더 큰 개념의 확장은 없을 겁니다.(소소하게는 있겠지만요)

이미 여러분께서 확장하신 개념의 크기가 앞으로의 포스팅도 전부 커버할 것이라고 봅니다!

고지가 얼마 안남았습니다!

조금만 힘냅시다!