무한서고

삼각함수의 일반각(18도, 36도) 구하기

0. 서론

삼각함수를 처음 배울 때 특수각에 대한 값은 다 암기를 합니다. 특수각은 0도, 30도, 45도, 60도, 90도의 다섯가지죠!

그리고 '일반각은 어려워서 못구한다~ 계산기 써야해~'라고 배우죠!

그런데 갑자기 18도, 36도는 어떻게 구하냐구요?

에이 구할 수 있으니까 글을 썼겠죠..!?

그렇다면 이 신기한 각도를 구하는 여정을 떠나봅시다.

1. sin과 cos값의 신비

학창시절에 뭐 90도, 180도, 등등 더하면 부호가 바뀌고 함수가 바뀌고~ 하는 것들을 배우셨을 겁니다.

그때당시엔 그냥 무작정 외웠지만...

sin과 cos함수 사이에는 아주 깊은 연이 있답니다..!

수식으로 바로 써보자면, $ \sin t = \cos (\frac{\pi}{2}-t) $

즉, 합이 90도($ \frac{\pi}{2} $)가 되는 두 각도의 사인 값과 코사인 값은 서로 같답니다!

(직각 삼각형을 그려보면 아주 명확히 나오죠!)

2. 18도를 구해보자

자 그럼 여기서 18도는 어떻게 구할까요?

잘 보면, 18도를 5배하면 90도가 되는 것을 알 수 있죠!

그렇다면 18도를 그냥 A라고 쓰면, $ 5A = \frac{\pi}{2} $겠네요!

그리고 아까 sin과 cos의 관계에서 sin의 각과 cos의 각의 합이 90도이면 서로 같다고 했으니..

$ \sin 2A = \cos 3A $가 되겠군요?(2A+3A=5A=90도)

배각공식과 3배각 공식을 쓰면

$ 2\sin A \cos A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A $

여기서 삼각함수 항등식 $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $을 적용하면,

$ 2\sin A \cos A = 4\cos A (1-\sin^2 A) - 3 \cos A $

이 식에서 $ \cos A $는 0이 아니므로, 좌우변 모두 나눠주면

$ 2\sin A = 4(1-\sin^2 A) - 3 = 1 - 4\sin^2 A$

다시 수식 정리해주면

$ 4 \sin^2 A + 2 \sin A -1 = 0 $으로 정리가 되겠군요.

$ \sin A $를 t로 치환하고 근의 공식을 적용하면,

$ 4 t^2 + 2t -1 =0 $

$ t = \frac{-1 + \sqrt{1+4}}{4} \lor \frac{-1 - \sqrt{1+4}}{4} $

이렇게 나오겠죠? 그러나 여기서 $ \sin A $는 무조건 양수 값만 가질 것이므로

$ \sin A = \frac{-1 + \sqrt{1+4}}{4} $

즉, $ \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4} $입니다.

오, $ \sin 18^\circ $는 쉽게 구했군요! 그렇다면 cos도 같은 방법으로 구하면.... 아 쉽지 않아요...

sin의 경우와 다르게 수식이 쉽게 정리되지 않습니다.

그렇다면 cos은 구하지 못하는 걸까요?

아니죠!

우리에게는 삼각항등식이 있잖아요!

$ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $

$ \sin^2 18^\circ + \cos^2 18^\circ = 1 $

$ \cos^2 18^\circ = 1 - \sin^2 18^\circ $

$ \cos^2 18^\circ = 1 - \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)^2 $

따라서

$ \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} $

3. 36도를 구해보자

$ \cos 36^\circ $는 어떻게 구할까요?

$ \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 1 - \sin^2 A - \sin^2 A = 1- 2\sin^2 A $

이므로, 아까 구한 $ \sin 18^\circ $를 이용하면

$ \cos 36^\circ = 1 - 2 \sin^2 18^\circ $

$ \cos 36^\circ = 1- 2 \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)^2 $

따라서

$ \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4} $

여기서 삼각항등식을 이용하면 쉽게 $ \sin 36^\circ $도 구할 수 있습니다.

$ \sin^2 36^\circ = 1 - \left( \frac{\sqrt{5}+1}{4} \right)^2 $

$ \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} $

4. 마무리

이렇게 일반각 18도와 36도의 값을 알아 보았습니다.

더해서 90도가 되는 각은 sin과 cos이 같다고 했으니, 위의 각만 알고있어도 72도, 54도의 값은 알고있는거나 마찬가지 입니다.

이번 포스팅에서 tan는 언급이 없었는데, 사실 tan는 sin과 cos의 조합으로 이루어진 함수이므로 sin, cos값만 알고있으면 tan값은 알고있는거나 마찬가지이므로 따로 언급을 하지 않았습니다.