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푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 급수(Fourier Series)4 ~ 계수

0) 서론

자, 지금까지 우리는

• 1. 푸리에의 직관('임의의 함수도 삼각함수로 나타낼 수 있어')
• 2. 2가지 장애물을 극복(비주기함수, sin과 cos 사용)하여 푸리에(가 만들었을 것이라 예상되는) 초기식 만들기
• 3. 두번째 장애물과 푸리에 초기식이 자명한 이유 증명

이렇게 크게 세 단계를 거쳐왔습니다.

진짜 기나긴 여정이었는데요, 이제 단 한 가지만 더 하면 푸리에 급수란 산의 정상에 오르게 됩니다.

그리고 '푸리에 오디세이' 중 '푸리에 급수'를 정복하게 되는 거죠!

아, '한 가지'가 뭐냐구요? 네 저번 포스팅 말미에서 얘기했던 정체불명의 계수 $ a_n$, $b_n$을 말하는 거죠!

항상 동트기 전이 제일 어둡고, 정상 직전에 숨이 깔딱깔딱한 깔딱고개가 있는 법입니다.

지금까지 잘 따라오셨다면, 단숨에 정상까지 올라가 보자구요!

1) 푸리에 계수?

자, 이제 남은건 '푸리에 계수' 즉, 우리가 만든 (푸리에가 만들었을 것이라 예상되는)초기식에서 $a_n, \ b_n$입니다.

$ f(x) \sim \sum \limits _{n=0}^{\infty} ( a_n \cos (n \frac{\pi}{L}x) \ + \ b_n \sin (n \frac{\pi}{L}x) ) $

식에서 살펴보자면, 각 cos과 sin 앞에 붙은 계수죠. 이걸 통칭해서 '푸리에 계수'라고 부른답니다.

요거까지 알아내면, 이제 f(x)를 삼각함수로 근사할 수 있는 완전한 급수를 얻게 됩니다!

2) 필터로 거르면 무엇이 남을까요?

일단 의미부터 생각해봅시다.

푸리에 계수 $a_n$(이든 $b_n$이든)의 의미는

뒤에오는 삼각함수의 x계수(주파수)가 n인 항의 '크기'를 알려주는 겁니다.

값이 크면 전체적으로 모든 급수에서 해당하는 항의 기여도가 '크다'고 볼 수 있겠죠? 역도 마찬가지입니다.

그러면 정말 당연하게도, 전체 함수에서 해당하는 그 n항(cos nx, sin nx)만 딱 골라야 합니다.

어떻게 보자면 필터로 나머지는 다 흘려 보내고, 딱 하나만 거르는 것과 똑같지요.

여기서 필터 역할을 해주는게 바로 '직교성'입니다.

또한 n이 주파수(우리가 세운 식에서는 $n \frac{\pi}{L}$)라고 했으니 주파수 필터라고도 할 수 있습니다.

이전 포스팅에서 cos이던 sin이던 똑같은 성분에 대해서만 값이 있었고, 그 외에 다른 성분들에 대해서는 모두 0이 되어버리는 걸 기억하시나요?

푸리에의 원래 개념으로 돌아가서보면, f(x)는 무수히 많은 cos nx와 sin nx로 이루어집니다.

그리고 그것들 하나하나마다 다 계수가 있겠죠. 그리고 그 모든 것들의 총합이 f(x)가 되는 겁니다.

(와닿지 않으면 벡터를 생각해보세요. 벡터는 공간상에서 x와 y로 이루어지는데, 이 x와 y에 계수가 붙으면서 다양한 벡터를 나타냅니다. 똑같은 상황이죠.)

따라서 원래 함수 f(x)에, cos nx를 곱해서 적분해주면 그 결과는 cos nx에 대해서만 값이 나오겠죠?

그리고 바로 이 cos nx에 대해서만 나온 값이 cos nx의 계수란 것을 알 수 있습니다.

이걸 이용하는 겁니다.

현재 우리는 개념설명을 위해 cos nx와 sin nx를 구분하지 않고 말하고 있으나, 사실상 이 둘은 $ a_n,\ b_n $의 다른 계수를 가지므로 이제부터는 cos nx와 $ a_n$에 대해서만 말해보겠습니다. 그러나 이 개념은 sin nx와 $ b_n$에도 동일하게 적용됩니다.

3) 수식으로 살펴봅시다!

다시 한번 강조하지만, f(x)에서 딱 원하는 cos nx의 계수만 거르려면, f(x)에 cos nx를 곱해서 적분하면 그 결과가 바로 $ a_n $이 될 것입니다.

수식으로 써보죠.

일단 위에서 살펴봤던 초기식을 써봅시다.

\begin{align}

f(x) & \sim \sum \limits _{n=0}^{\infty} ( a_n \cos (n \frac{\pi}{L}x) \ + \ b_n \sin (n \frac{\pi}{L}x) ) \\

& \sim \sum \limits _{n=0}^{\infty} a_n \cos (n \frac{\pi}{L}x) \ + \sum_{n=0}^{\infty} b_n \sin (n \frac{\pi}{L}x)

\end{align}

지금까지는 '근사'의 개념을 강조하기 위해 ~기호를 사용했지만, 이제부터는 계수를 구체적으로 계산하기 위해 위 식이 성립한다고 '가정'하고 등호 =를 사용하겠습니다. $f(x)$와 삼각함수 급수를 같게 만드는 $a_n,\ b_n$값을 찾아내는 여정인 셈이죠.

자 여기서 양변에 이제 $ \cos (m \frac{\pi}{L}x)$ 를 곱해줍시다. 위에서는 쉽게 mx라고 하였지만, 우리는 $m \frac{\pi}{L}$까지가 x의 계수입니다.

여기서 문자 m을 쓰는 이유는, 이미 '초기식'에서 n을 쓰고 있으니 이와 구별해주기 위해서 일부러 다른 문자 m을 씁니다.

일단 우리는 $\cos (m \frac{\pi}{L}x)$를 알고 싶으니까, 양변에 곱해줍시다!

$f(x)\cos (m \frac{\pi}{L}x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \cos (n \frac{\pi}{L}x)\cos (m \frac{\pi}{L}x) \ + \sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n \sin (n \frac{\pi}{L}x)\cos (m \frac{\pi}{L}x)$

여기서 양변 적분 취해주면

$ \int_{-L}^{L} f(x)\cos (m \frac{\pi}{L}x) dx = \int_{-L}^{L} \left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \cos (n \frac{\pi}{L}x)\cos (m \frac{\pi}{L}x) \ + \sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n \sin (n \frac{\pi}{L}x)\cos (m \frac{\pi}{L}x) \right) dx$

적분의 성질은 '덧셈'이므로(조금 어렵게 말해서 선형성(Linearity)을 가지는 연산이므로), 덧셈에 대해 각 항으로 분배할 수 있으며 합 기호인 시그마와 연산 순서를 바꿀 수 있습니다.

따라서 다시 써보면

$ \int_{-L}^{L} f(x)\cos (m \frac{\pi}{L}x) dx = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \int_{-L}^{L} \cos (n \frac{\pi}{L}x)\cos (m \frac{\pi}{L}x) dx \ + \sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n \int_{-L}^{L} \sin (n \frac{\pi}{L}x)\cos (m \frac{\pi}{L}x) dx $

이렇게 정리가 될 것입니다.

자, 이제 여기서 이전 직교성 포스팅에서 고생한 것이 빛을 발합니다.

직교성 기억나시나요?

\begin{align}

\int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx &= L\delta_{mn}\\

\int_{-L}^{L} \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx &= L\delta_{mn}\\

\int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx &= 0

\end{align}

위의 수식을 이 직교성을 이용하면 바로 깔끔하게 정리할 수 있습니다.

\begin{align}

\int_{-L}^{L} f(x)\cos (m \frac{\pi}{L}x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} a_n L\delta_{mn} \ + \sum_{n=0}^{\infty} b_n 0 \\

&= \sum_{n=0}^{\infty} a_n L\delta_{mn} \\

\end{align}

바로 이렇게 정리가 되어버리죠!

자, 이제 크로네커 델타($\delta_{mn}$)의 마법이 시작됩니다.

$\delta_{mn}$은 $n=m$일 때만 1이고 나머지 모든 경우에는 0입니다.

이 성질은 마치 무한한 $a_n$의 행렬에서 우리가 원하는 $a_m$ 항만 정확히 '선별(sifting)'해내는 것과 같습니다.

시그마($\sum$)를 직접 풀어서 써보면 이 과정이 명확하게 보입니다.

\begin{align}

    \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n L\delta_{mn} &= (a_0 L \delta_{m0}) + (a_1 L \delta_{m1}) + (a_2 L \delta_{m2}) + \dots + (a_m L \delta_{mm}) + \dots \\

    &= (a_0 L \cdot 0) + (a_1 L \cdot 0) + (a_2 L \cdot 0) + \dots + (a_m L \cdot 1) + \dots

\end{align}

여기서 $m$번째 항의 $\delta_{mm}$만 1이 되고, 나머지 모든 $\delta_{mn}$ ($n \neq m$) 항들은 0이 됩니다.

따라서 이 무한한 덧셈의 결과는 단 하나의 항, 즉 $a_m L$ 만이 남게 됩니다.

$ \int_{-L}^{L} f(x)\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx = a_m L $

정말 깔끔하지 않나요?

이제 $a_m$을 구하기 위해 양변을 $L$로 나누기만 하면 됩니다.

동시에 좌우변 위치 바꾸어서 보면

$ a_m = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\cos\left(\frac{m\pi}{L}x\right) dx $

문자가 하나로 정리되므로 다시 n으로 바꿔보면

$ a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\cos\left(\frac{n\pi}{L}x\right) dx $

자, 이렇게 cos의 n번째 주파수의 계수를 뽑아냈습니다.

4) 제일 쉬운 $a_0$에 적용해보기

그럼 $ a_0 $를 계산해볼까요?

cos 0은 1이므로,

\begin{align}

a_0 &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cdot 1 dx\\

&=\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) dx\\

\int_{-L}^{L} f(x) dx &= a_0 \cdot L

\end{align}

가 되겠군요.

그런데 재밌게도, 우리는 초기식에서도 $a_0$를 계산할 수 있습니다.

n이 정확히 0인 상황을 보면 cos 0은 1, sin 0은 0이므로

\begin{align}

f(x) &= \sum\limits_{n=0}^{\infty} ( a_n \cos (n \frac{\pi}{L}x) \ + \ b_n \sin (n \frac{\pi}{L}x) ) \\

&= a_0 \cdot 1 + b_0 \cdot 0\\

f(x)&=a_0

\end{align}

입니다.

그리고 여기서 양변을 -L~L까지 적분해주면

\begin{align}

\int_{-L}^{L}f(x)dx &=\int_{-L}^{L} a_0 dx \\

&= a_0 \int_{-L}^{L} dx \\

&= a_0 \left[ x \right]^{L}_{-L} \\

\int_{-L}^{L}f(x)dx &= a_0 \cdot 2L

\end{align}

음! ...아? 잠시만요.. '계수 필터로' 계산한 $a_0$와 '초기식'으로 계산한 $a_0$가 값이 다릅니다...?

둘 중 하나는 틀렸거나, 우리가 무언가 놓쳤다는 뜻입니다. 무엇이 진실일까요?

정답은 '정의(원래식)를 직접 적분한 것'이 항상 옳다는 것입니다. 그렇다면 '계수 필터'의 일반 공식이 n=0일 때만큼은 적용되지 않는다는 뜻이 됩니다.

왜 그럴까요?

그것은 바로 이전 포스팅에서 다루었던 직교성 적분 값 때문입니다.

cos과 cos의 내적은 항상 $ L $이었잖아요?(m, n을 쓰지 않으므로 크로네커 델터도 제외했습니다.)

그런데, 아주 독특하게도 n=0이면 이 값은 2L이 됩니다.

(자세히 들여다보세요. 이전 포스팅에서 직교성 계산할때 항상 'n, m은 양의 정수 (positive integers)'이 단서가 붙어있었답니다!)

$a_n$공식을 유도할 때 사용했던 내적 값이 n=0일 때만 유일하게 2배였던 것입니다! 이 예외 때문에, n≥1에 대해 완벽하게 작동하던 $a_n$ 공식이 $a_0$에는 맞지 않았던 것입니다.

뭔가가 오류가 난거죠.

그렇다면 이 문제를 어떻게 해결해야 할까요? 두 가지 방법이 있습니다.

• 1. $ a_0 $를 위한 공식을 따로 만든다.
• 2. 원래의 급수 정의(a.k.a 초기식)를 수정한다.

근데, $a_0$만을 위해 계수 공식을 따로 만드는건 원래의 급수 정의를 약간 수정하는 것보다 훨씬 더 아름답지 않기 때문에 그냥 원래의 급수 정의를 고쳐줍시다.(진짜 이 이유 때문이에요...!)

지금 '초기식'으로 계산한 $a_0$가 '계수필터'로 계산한 $a_0$보다 두배 더 크니, 초기식에서 $a_0$만 따로 빼서 2를 나눈 항을 만들어주면 깔끔하겠네요!

그래서 초기식은

\begin{align}

f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos (n \frac{\pi}{L}x) \ + \ b_n \sin (n \frac{\pi}{L}x) )

\end{align}

이렇게 되겠네요!

뭔가 제일 처음의 '초기식'보다는 조금 수학적으로 '단순미'는 떨어졌지만, 무엇보다도 답이 엄밀한게 수학에서는 더 맞으니까요!

같은 개념으로 $ b_n $을 구하면

$ b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right) dx \quad (n=1, 2, 3, ...) $

이 됩니다.

n이 0일땐 sin항은 아예 0이 되기때문에 n은 1부터죠!

따라서 푸리에 급수를 다시 써보면 아래와 같이 정리됩니다.

\begin{align}

f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos (\frac{n \pi}{L}x) \ + \ b_n \sin (\frac{n \pi}{L}x) ) \\

a_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\cos\left(\frac{n\pi}{L}x\right) dx \quad (n=0, 1, 2, ...) \\

b_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right) dx \quad (n=1, 2, 3, ...)

\end{align}

푸리에 식과 계수필터까지 완성된, 완벽한 '푸리에 급수' 세트입니다!

5) 또 다른 관점: 상수항은 왜 '핸디캡'을 받을까?

$ a_0$ 항에 $\frac{1}{2}$이 붙는 이유를 에너지나 신호의 '세기' 관점에서도 이해할 수 있습니다.

푸리에 급수에 등장하는 $\cos(nx)$나 $\sin(nx)$ 같은 삼각함수들은 양(+)과 음(-)을 끊임없이 오가는 진동 신호(AC 성분)입니다.

따라서 그냥 적분을 해서는 이 친구들의 '세기' 혹은 '크기'를 알 수 없고(0이 되어버리니까요) 제곱을 해서 그것을 판단합니다.

따라서 이 주기함수들은 제곱을 해서 적분을 해보면, 그 구간 전체 넓이(직사각형)보다 항상 '절반'만큼만 크기를 가지게 되죠.

마치 에너지를 최대로 썼다가 완전히 쉬는 것을 반복하는 것과 같아서, 평균적으로는 가진 에너지의 절반만 전체 함수에 기여하는 셈입니다. 

반면, $ a_0$는 진동 없이 항상 같은 값을 유지하는 상수 신호(DC 성분)입니다. 쉬지 않고 언제나 100% 자신의 값을 기여하죠.

이 때문에 같은 크기(진폭)를 가지더라도, 상수항의 평균적인 기여분(에너지)이 진동하는 삼각함수의 기여분보다 정확히 2배 큽니다.

따라서 모든 항(상수항과 삼각함수항)을 '동일한 기준'에서 바라보기 위해, 항상 100% 일하는 상수항에 일종의 '핸디캡'을 주어 절반으로 나눠주는 것입니다. 이는 상수항의 '세기'를 다른 항들과 같은 기준으로 맞춰주려는 물리적인 의미를 담고 있습니다.

6) 마무리

이렇게 해서 '푸리에 급수'를 이해하기 위한 모든 과정이 끝났습니다.

여러분은 과거 '푸리에'가 하고 싶었던 '임의의 함수를 sin과 cos으로 근사하기'라는 목표를 완벽하게 이루었습니다.

(아 물론 역시나 '근사'이기때문에 진짜 모든 '임의의 함수'를 근사할 수는 없고, 수학적으로 '조금 착한' 함수들만 가능한데.. 이를 디리클레 조건이라고 합니다. 함수에 불연속인 지점이 있더라도 그 개수가 유한하고, 전체적으로 너무 심하게 요동치지 않으면 된다 정도의 조건을 만족하는 함수들만 근사가 되긴 합니다)

근데.. '뭐가 더 많지 않냐'구요? '주파수 영역 어쩌구 막 이러던데?'라구요?

거기까지 갈 길도 아주 멀고 험난합니다.

천릿길도 한걸음 부터!

기나긴 푸리에 오디세이(여정)도 푸리에 급수 부터!

고생하셨습니다.

속닥속닥-

아, 참고로 f(x)의 에너지는 제곱의 적분으로 구할 수 있는데, 재밌게도 푸리에 계수의 제곱의 합에 구간L을 곱해준 것과 같답니다!

f(x)가 굉장히 복잡한 함수면 직접 제곱할 수 없으니까, 푸리에 급수로 근사하고 그 계수들을 제곱해서 다 더하는거죠!(거기다 L배!)

에너지 보존 법칙 때문에 그렇대요!(파르스발의 정리(Parseval's Theorem)라고 한다나 뭐라나~)