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푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 급수(Fourier Series)3 ~ 직교성

📘 푸리에 오디세이(Fourier odyssey) 시리즈

• 🌅 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 급수(Fourier Series)1 ~ 그 찬란한 서막
• 🛠️ 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 급수(Fourier Series)2 ~ 근사식을 만들어 보자!
• 📐 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 급수(Fourier Series)3 ~ 직교성
• 🔢 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 급수(Fourier Series)4 ~ 계수
• 🔍 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 해석(Fourier Analysis)
• ♾️ 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 적분(Fourier Integral)
• 🔄 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 변환(Fourier Transform)
• 🌀 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 복소 푸리에 급수(Complex Fourier Series)
• 💫 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 복소 푸리에 적분(Complex Fourier Integral)
• ⚛️ 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 복소 푸리에 변환(Complex Fourier Transform)
• 💻 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 변환 for 컴퓨터(Fourier Transform for computer)
• 💡 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 라플라스 변환(Laplace Transform)

0) 서론

저번 포스팅까지 '왜 푸리에는 어떤 함수를 삼각함수로 근사하려고 했나'와 '이 개념을 수학적인 식으로 만들기'를 거쳐왔습니다.

그리고 의미있게 '푸리에 급수식(초안)'을 만들 수 있었죠!

그러나 단순히 '개념'만으로 '수식'을 구성하기에는 조금 찝찝한 구석이 있죠?

그래서 이번 포스팅에서는 이 '개념'을 '수식'으로 만드는데 필요한 수학적 개념들을 조금 살펴보겠습니다.

수학적으로 조금 더 나아간 부분이므로 약간 어려울 수 있지만, 그래도 진짜 제일 쉽게 설명한다고 노력하고 또 노력했으니 차분차분 읽어주세요~

1) 직교성이란?

다시한번 강조하지만, 이제부터 조금 어려워집니다.(차라리 이렇게 어렵다고 여러번 강조해야 덜 어렵게 느껴질 수 있으니까요...?)

기억나실지 모르겠습니다만, 이전 포스팅에서 지나가듯이 sin x와 sin 2x(일반화 해서 sin mx와 sin nx)는 직교한다는 말을 했었습니다.('근본적으로 다른' 함수를 찾을 때 삼각함수의 세 군데 자리를 하나하나 살펴보면서 말했었죠!)

그리고 우함수, 기함수 성분을 말하며 sin과 cos도 같이 써야한다고 했는데요.(이거는 이전 포스팅 '2)'번 항에서 논의 했었네요!)

조금 쉽게 설명하려고 '개념'에서 출발해서 설명한 내용이지만, 사실 이 모든걸 관통하는 기본적인 수학 법칙이 있답니다.

그것은 바로바로! '직교성'이라는 개념입니다.

그럼 이 '직교성'이란게 무엇이냐! 바로 설명들어갑니다!

세상을 n차원 공간으로 본다면 n개의 '독립적'인 축이 있어야 n차원 공간을 묘사할 수 있습니다.

가장 쉽게 볼 수 있는 예시가 xy좌표(카르테시안 좌표)입니다.

이 둘은 x성분 y성분이 서로 독립적이고, 하나의 성분은 절대로 다른 성분을 나타낼 수 없습니다.

그리고 이 두 성분의 조합으로 좌표위의 모든 점을 표현할 수 있게되죠.

바로 이 '독립적'인 두 축을 서로 '직교'한다고 하고, 다른 말로 이 두 축은 '직교성'을 가진다고 합니다!

서로가 서로에게 독립적이고, 따라서 한쪽이 없으면 아예 그쪽은 나타내지조차 못하는 거죠!(xy좌표계에서 y축이 없다면, y축 방향으로는 아예 움직이지도 못하고 따라서 표시할 방법이 없잖아요!?)

아까 위에서 말했던 sin과 cos성분도 마찬가지입니다.

주기함수를 기준으로 우함수/기함수로 간단하게 설명드렸지만, 사실은 단위원을 그려보면 sin x는 단위원의 높이 성분을, cos x는 단위원의 밑변 성분을 나타냅니다. 그리고 이 두 함수는 90도의 수직관계를 이루고있죠. 이 관계를 말할때 '직교한다'고 합니다.

이미지상으로 살펴보았다면 이제, n차원에서 n개의 축이 서로 직교하는 것을 상상하실 수 있을겁니다.(가장 간단하게는 2차원 평면에서 xy축이 서로 직교하는거겠죠?)

그런데 이게 서로 직교하는지는(=서로 수직인지는) 어떻게 알 수 있을까요?

2) 직교성 판단

가장 단순한 방법은 그냥 각도를 재는겁니다.

그러나 직접 각도를 재는 것은 추상적인 공간으로 갈수록 어려운 일입니다.

대신 각도를 수학적으로 다루기 쉬운 코사인(cosine) 함수로 이용하는 건 어떨까요?

벡터 사이의 각 θ가 0°에서 180°범위에 있을 때, cos θ 값은 유일하게 결정됩니다. 특히 우리가 원하는 직각(90°)일 때 cos 90°=0 이라는 아주 특별하고 유용한 값을 갖습니다.

이 성질을 이용하면 '두 벡터가 수직인가?'라는 기하학적 질문을 '두 벡터 사이 각의 코사인 값이 0인가?'라는 훨씬 간단한 대수적 질문으로 바꿀 수 있습니다.

그리고 이 개념을 사용하는 것이 바로 '내적'입니다. 두 벡터의 크기와 그 끼인각의 cos값을 곱한 것으로 정의되죠.($ |a||b|cos t $)

그래서 결국 '두 벡터의 내적이 0이다 = 서로 직교다'라는 것을 알 수 있습니다.

그런데 벡터의 내적을 1) 벡터의 크기와 그 끼인각으로 정의하는 방법도 있지만, 생각해보면 2) 두 벡터의 각 성분의 곱으로 나타내는 방법도 있습니다.

벡터의 각 성분은 각 축의 값 즉 쉽게말해 좌표라고 볼 수 있습니다.

$ a = (a_x, a_y) $

$ b = (b_x, b_y) $

그리고 두 벡터의 각 성분의 곱으로 나타내는 내적은

$ a \cdot b = a_xb_x + a_yb_y $

입니다.

여기서

aₓbₓ의 의미는? 두 벡터의 가로 성분끼리의 관계를 나타내는 값입니다.

aᵧbᵧ의 의미는? 두 벡터의 세로 성분끼리의 관계를 나타내는 값입니다.

두 벡터가 직교할 때, 한쪽의 가로 성분(aₓ)은 다른 쪽의 세로 성분(bᵧ)과 비례하고(bᵧ ∝ aₓ), 한쪽의 세로 성분(aᵧ)은 다른 쪽의 가로 성분(bₓ)과 부호가 반대로 비례(bₓ ∝ -aᵧ)하는 관계가 필연적으로 만들어집니다.

그리고 이 두 비례식은 같은 정도로 비례합니다.

위의 비례관계를 가지고 수식을 만들어보면 아래와 같습니다.(비례식은 비례상수(c)를 도입하면 등호로 만들 수 있습니다.)

\begin{align}
b_y & = c a_x \\
b_x & = c (-a_y) \\
a_x b_x & = a_x c (-a_y) \\
a_y b_y & = a_y c a_x \\
a_xb_x + a_yb_y & = - c a_x a_y + c a_x a_y \\
& = 0\\
\end{align}

이 때문에 aₓbₓ와 aᵧbᵧ는 크기는 같고 부호는 정확히 반대인 값이 될 수밖에 없습니다.

따라서 두 벡터가 직교할 때 이 두 항을 더하면 무조건 0이 되죠.

직관적이 아니라 수식적으로는 코사인 제 2법칙을 사용하고 각 값에 좌표 값을 대입하면 바로 알 수 있습니다.

그럼 다시 정의할 수 있습니다.

두 벡터가 직교한다 = 두 벡터의 각 성분별 곱의 합이 0이다.

이 놀라운 원리를 '함수'의 세계로 확장해 봅시다. 함수는 무한한 차원의 벡터로 볼 수 있습니다. 벡터의 각 성분이 $a_x, \ a_y$였던 것처럼, 함수 $f(x)$의 각 성분은 모든 x에 대한 함숫값 그 자체라고 생각할 수 있습니다.

그렇다면 벡터의 내적이 '각 성분(component)의 곱의 합'이었듯이, 함수의 내적은 '모든 지점에서의 함수값 곱의 총합'으로 정의할 수 있습니다.

연속적인 값의 총합을 구하는 수학적 도구가 바로 적분(integral)입니다. 따라서 두 함수 $f(x),\ g(x)$가 특정 구간 $[a,b]$에서 직교하는지는 두 함수의 곱을 해당 구간에서 적분하여 0이 되는지로 판별할 수 있습니다.

$ \int_a^b f(x)g(x) dx = 0 $

이렇게 벡터에서 함수로, 덧셈에서 적분으로 개념이 확장되는 것을 볼 수 있습니다.

3) 삼각함수 간 직교성 판단의 실제

자, 위에서 sin과 cos은 직교한다고 기하학적으로 이해했습니다.

또한 sin mx, sin nx도 서로 직교한다고 직관적으로 이해했습니다.

그러나 이제 엄밀한 수학의 세계로 들어가면, 이것을 또 공식으로 성립함이 증명이 되어야 합니다.

그럼 참 어려운 이 길을 가봅시다.

우리는 여기서 세가지가 직교하는지 살펴보면 됩니다.

• 1) sin mx, sin nx [sin 간]
• 2) cos mx, cos nx [cos 간]
• 3) sin mx, cos nx [sin과 cos 간](위에서 이미지로 살펴보았던 기하학적 관계는 m=n인 경우이며, 더 일반적으로 모든 x의 계수에 대해 살펴봅시다)

그리고 위에서도 봤듯이 적분구간이 필요한데... 이 적분구간은 -L~L이겠죠?

1. $\int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx$

n, m은 양의 정수 (positive integers)

삼각함수 곱-합 변환 공식: sin(A)sin(B) = 1/2 * [cos(A-B) - cos(A+B)]

\begin{align}

  & \int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx \\

  &= \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left[ \cos\left(\frac{(n-m)\pi x}{L}\right) - \cos\left(\frac{(n+m)\pi x}{L}\right) \right] dx

\end{align}

자, 여기서 적분 이후 값을 대입하기 전에, 먼저 생각해봅시다.

우리는 모든 m과 모든 n에 대해서 생각을 하고 있습니다.

그렇다면 즉, m=n인 상황도 있을 것이고, m≠n인 상황도 있을 겁니다.

일단 m≠n인 상황을 보죠.

Case 1: m≠n

\begin{align}

  &= \frac{1}{2} \left[ \frac{L}{(n-m)\pi}\sin\left(\frac{(n-m)\pi x}{L}\right) - \frac{L}{(n+m)\pi}\sin\left(\frac{(n+m)\pi x}{L}\right) \right]_{-L}^{L} \\

  &= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{L\sin((n-m)\pi)}{(n-m)\pi} - \frac{L\sin((n+m)\pi)}{(n+m)\pi} \right) - \left( \frac{L\sin(-(n-m)\pi)}{(n-m)\pi} - \frac{L\sin(-(n+m)\pi)}{(n+m)\pi} \right) \right] \\

  &= \frac{1}{2} [ (0 - 0) - (0 - 0) ] = 0

\end{align}

여기서 k가 정수일 때 $ \sin(k\pi) = 0 $ 이므로 모든 sin 항이 전부 0이 됩니다.

Case 2: m = n

m=n이면 적분항의 $\cos((n-m)\frac{\pi x}{L})$는 $\cos(0) = 1$이 됩니다.

\begin{align}

  & \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left[ 1 - \cos\left(\frac{2n\pi x}{L}\right) \right] dx \\

  &= \frac{1}{2} \left[ x - \frac{L}{2n\pi}\sin\left(\frac{2n\pi x}{L}\right) \right]_{-L}^{L} \\

  &= \frac{1}{2} \left[ \left( L - \frac{L}{2n\pi}\sin(2n\pi) \right) - \left( -L - \frac{L}{2n\pi}\sin(-2n\pi) \right) \right] \\

  &= \frac{1}{2} [ (L - 0) - (-L - 0) ] = \frac{1}{2} [2L] = L

\end{align}

따라서 이걸 조건으로 나누어 쓰면

\begin{equation}

\int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx =

\begin{cases}

0 & \text{if } n \neq m \\

L & \text{if } n = m

\end{cases}

\end{equation}

이렇게 되겠네요.

그런데, 이걸 조건으로 나누어 쓰면 뭔가 딱 떨어지게 답이 안나오는 느낌이죠?

여기서 우리는 '크로네커 델타$\delta_{ab}$'라는 특수한 함수를 쓰게 됩니다.

크로네커 델타는 밑첨자 a와 b가 같을때만 1이라는 값을 가지고, 아니면 모든 값이 0이라는 값을 가지는 특수한 함수입니다.

(수학에서 델타 함수는 한가지가 더 있는데요, 바로 디랙 델타 함수라는 것 입니다. 나머지 값은 다 0이고 0에서만 무한대 값을 가지는 친구인데 나중에 나오면 더 자세히 알아보죠.)

그래서 이 크로네커 델타 함수를 쓰면

\begin{equation}

\int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx = L\delta_{mn}

\end{equation}

요렇게 깔끔하게 한줄로 수식이 나옵니다.

이제 다음 cos cos로 넘어가 볼까요? sin sin에서 이미 중요한 개념을 다뤄서 cos cos는 좀 더 빠르게 정리할 수 있을겁니다.

2. $\int_{-L}^{L} \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx$

n, m은 양의 정수 (positive integers)

삼각함수 곱-합 변환 공식: cos(A)cos(B) = 1/2 * [cos(A-B) + cos(A+B)]

\begin{align}

  & \int_{-L}^{L} \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx \\

  &= \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left[ \cos\left(\frac{(n-m)\pi x}{L}\right) + \cos\left(\frac{(n+m)\pi x}{L}\right) \right] dx

\end{align}

Case 1: m≠n

\begin{align}

  &= \frac{1}{2} \left[ \frac{L}{(n-m)\pi}\sin\left(\frac{(n-m)\pi x}{L}\right) + \frac{L}{(n+m)\pi}\sin\left(\frac{(n+m)\pi x}{L}\right) \right]_{-L}^{L} \\

  &= \frac{1}{2} [ (0 + 0) - (0 + 0) ] = 0

\end{align}

여기서 k가 정수일 때 $ \sin(k\pi) = 0$ 이므로 모든 sin 항이 전부 0이 됩니다.

Case 2: m = n

m = n이면 적분항의 $\cos((n-m)\frac{\pi x}{L})$는 $\cos(0) = 1$이 됩니다.

\begin{align}

  & \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left[ 1 + \cos\left(\frac{2n\pi x}{L}\right) \right] dx \\

  &= \frac{1}{2} \left[ x + \frac{L}{2n\pi}\sin\left(\frac{2n\pi x}{L}\right) \right]_{-L}^{L} \\

  &= \frac{1}{2} \left[ \left( L + \frac{L}{2n\pi}\sin(2n\pi) \right) - \left( -L + \frac{L}{2n\pi}\sin(-2n\pi) \right) \right] \\

  &= \frac{1}{2} [ (L + 0) - (-L + 0) ] = \frac{1}{2} [2L] = L

\end{align}

따라서 이걸 조건으로 나누어 쓰면

\begin{equation}

\int_{-L}^{L} \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx =

\begin{cases}

0 & \text{if } n \neq m \\

L & \text{if } n = m

\end{cases}

\end{equation}

크로네커 델타($\delta_{mn}$)를 이용하면:

\begin{equation}

\int_{-L}^{L} \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx = L\delta_{mn}

\end{equation}

3. $\int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx$

이거는 두 가지 방법을 이용해서 구해볼 수 있는데, 두 가지 다 해보도록 하겠습니다.

Method 1: 우함수(Even)/기함수(Odd) 성질 이용

피적분 함수 $f(x) = \sin(\frac{n\pi x}{L})\cos(\frac{m\pi x}{L})$는 기함수($\sin$)와 우함수($\cos$)의 곱이므로 기함수입니다.

\begin{align}

  f(-x) &= \sin\left(\frac{-n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{-m\pi x}{L}\right) \\

  &= -\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) = -f(x)

\end{align}

대칭적인 구간 $[-L, L]$에서 기함수의 정적분은 항상 0입니다.

\begin{equation}

\int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx = 0

\end{equation}

Method 2: 삼각함수 공식 이용

삼각함수 곱-합 변환 공식: sin(A)cos(B) = 1/2 * [sin(A+B) + sin(A-B)]

\begin{align}

  & \int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx \\

  &= \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left[ \sin\left(\frac{(n+m)\pi x}{L}\right) + \sin\left(\frac{(n-m)\pi x}{L}\right) \right] dx

\end{align}

Case 1: m ≠ n

\begin{align}

  &= \frac{1}{2} \left[ -\frac{L}{(n+m)\pi}\cos\left(\frac{(n+m)\pi x}{L}\right) - \frac{L}{(n-m)\pi}\cos\left(\frac{(n-m)\pi x}{L}\right) \right]_{-L}^{L} \\

  &= -\frac{L}{2\pi} \left[ \left( \frac{\cos((n+m)\pi)}{n+m} + \frac{\cos((n-m)\pi)}{n-m} \right) - \left( \frac{\cos(-(n+m)\pi)}{n+m} + \frac{\cos(-(n-m)\pi)}{n-m} \right) \right] = 0

\end{align}

cos 함수는 우함수(even function)이므로 cos (t) = cos (-t)

따라서 정적분의 위 끝값과 아래 끝값이 같아져 결과는 0

Case 2: m = n

m = n이면 적분항의 $\sin((n-m)\frac{\pi x}{L})$는 $\sin(0) = 0$이 됩니다.

\begin{align}

  & \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{2n\pi x}{L}\right) dx \\

  &= \frac{1}{2} \left[ -\frac{L}{2n\pi}\cos\left(\frac{2n\pi x}{L}\right) \right]_{-L}^{L} \\

  &= -\frac{L}{4n\pi} \left[ \cos(2n\pi) - \cos(-2n\pi) \right] \\

  &= -\frac{L}{4n\pi} [ 1 - 1 ] = 0

\end{align}

따라서 어떤 방법을 쓰던, 모든 양의 정수 m, n에 대해 결과는 항상 0입니다.

\begin{equation*}

\int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx = 0

\end{equation*}

최종적으로 sin과 cos은 모든 상황에서 직교하며,

같은 함수끼리는 같은 x의 계수(주파수)일 때만 값을 가지고, 그 외에는 모두 직교한다는 사실을

이미 직관적으로 우리는 알고있지만,

굳이굳이 어렵게 수식적으로 확인해 보았습니다.

이 긴 증명은 무엇을 의미할까요?

바로 푸리에 급수의 근간을 이루는 모든 sin, cos 함수들이 서로 독립적인 '좌표축'의 역할을 한다는 것을 수학적으로 확인한 것입니다.

5) 마무리

오늘은 조금 수학적으로 어려웠습니다

오늘의 포스팅은, 이전 포스팅까지 우리가 '개념적'으로 알게 된 사실들을, 수학적으로 엄밀하게 증명하고 정제해내는 과정이었습니다.

여기까지 따라오셨으면, 사실상 푸리에 급수의 대부분은 다 이해하신 겁니다.

이제 남은건 $a_n$, $b_n$이라는 알 수 없는 계수들만 파헤치면 푸리에 급수는 완전 정복하게 되는 셈이죠!