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푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 급수(Fourier Series)1 ~ 그 찬란한 서막

📘 푸리에 오디세이(Fourier odyssey) 시리즈

• 🌅 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 급수(Fourier Series)1 ~ 그 찬란한 서막
• 🛠️ 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 급수(Fourier Series)2 ~ 근사식을 만들어 보자!
• 📐 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 급수(Fourier Series)3 ~ 직교성
• 🔢 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 급수(Fourier Series)4 ~ 계수
• 🔍 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 해석(Fourier Analysis)
• ♾️ 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 적분(Fourier Integral)
• 🔄 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 변환(Fourier Transform)
• 🌀 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 복소 푸리에 급수(Complex Fourier Series)
• 💫 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 복소 푸리에 적분(Complex Fourier Integral)
• ⚛️ 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 복소 푸리에 변환(Complex Fourier Transform)
• 💻 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 변환 for 컴퓨터(Fourier Transform for computer)
• 💡 푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 라플라스 변환(Laplace Transform)

0) 서론

오랜만에 쓰는 포스팅입니다.

이전에 '연속글'의 형태로 몇가지 주제를 다뤄봤었는데요(카탈란수열, 대학교 2학년의 꿈 등)

이번에는 아주 조금만 수학/공학(신호처리 등)/물리학으로 넘어가도, 무조건 마주치게 되는 '푸리에 ~~~'를 다뤄볼까 합니다.

푸리에 ~~~는 푸리에 급수, 푸리에 적분, 푸리에 변환 이렇게 나눠져있는데 사실상 셋은 다 다른 것을 지칭하는 용어랍니다.

이제, 우리는 이 '푸리에 ~~~'를 여행하는 장대한 여정을 떠나볼까 합니다!

뭔가 엄청나게 긴 여정이 될 것 같지만, 일단 시작은 가볍게 출발해보도록 하죠!

첫 시작은 '푸리에 급수' 그리고 그 중에서도 '왜 하필 푸리에는 이런 생각을 떠올렸을까?'을 중심으로 살펴보도록 하겠습니다.

1) 푸리에?

푸리에 급수, 푸리에 적분, 푸리에 변환~ 뭐 이러지만, 결국 '푸리에'는 뭘까요?

사실 좀 당연하다면 당연하지만, 푸리에는 사람 이름입니다.

풀네임은 조제프 푸리에(Joseph Fourier, 1768–1830)죠.

그리고 시작하면서 가장 중요한 이 '푸리에 급수'

앞으로 차근차근 살펴볼 것이긴 하지만, 단 한마디로 먼저 정의를 해보자면

푸리에 급수는 '일정한 주기 내에서 일반적인 함수를 sin과 cos으로 근사하는 방법'을 말한답니다!

그럼 용어정리가 끝났으니 바로 다음으로 진행해 볼까요?

2) 푸리에 급수는 왜 생겼나?

자, 앞서 용어의 정의에서 '근사하는 방법'이라고 썼습니다.

그럼 푸리에는 대체 왜 어째서 가만히 잘 있는 함수를 굳이굳이 sin과 cos으로 근사하려고 했을까요?

때는, 1822년으로 거슬러 올라갑니다.

푸리에는 열 방정식(Heat Equation)을 연구하고 있었습니다.

조금 더 쉽게 풀어 쓰자면, 열 전도 방정식이죠. '특정 구간에서 열이 어떻게 변화하는가?'에 대한 것인데..

뭐든지 '변화'에 대해서 알아보자고 한다면 진짜 어려운 길을 가게 됩니다.

순간의 변화는 결국 미분개념으로 확장될 수 밖에 없기에 미분 방정식이 등장해버리는거죠.(심지어 전미분도 아니고 편미분 방정식이 막 나온답니다)

맛보기로 1차원 열 방정식 u(x, t)를 써볼까요? 이 함수 u는 시간 t에서 위치 x의 온도를 나타냅니다.

$ \frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $

와우.. 대단하죠?

물론 수학적으로 이것을 풀수는 있습니다. 변수분리법을 적용하고 고유함수를 구하면 풀리긴 하죠.

일단 이부분은 여기서 다룰내용은 아니므로 넘어가겠습니다만, 여튼 이걸 풀면 최종적으로 답은 결국 '삼각함수'로 나오게 됩니다.

tan함수는 어차피 sin과 cos의 조합이므로, 기본 삼각함수라고하면 sin(정현)과 cos(여현)의 두가지죠?

그리고 실제로 이 함수의 해답도 sin이나 cos으로 나옵니다.

물론 두가지가 다 한번에 나오는 건 아니고, 이게 애초에 '열 방정식'이라고 했잖아요? 그래서 특정 구간의 양 끝 조건에 따라 답이 둘 중 하나로 나옵니다.

구간 양 끝에서 온도가 0인 조건(어렵게는 Dirichlet 경계조건)이면 sin함수가 나옵니다. 직관적으로 이해 되시죠? sin은 주기의 시작과 끝이 0이니까요.

반대로 구간 양 끝에서 온도가 일정(절연)인 조건(어렵게는 Neumann 경계조건)이면 cos함수가 나옵니다. 이것도 그래프상 이해가 가죠?

자, 뭐 결론이라고 할 해답부분에서는 너무나도 자연스럽게 삼각함수가 튀어나옴을 알 수 있습니다.

그럼 자연스럽게 거꾸로 생각이 들겁니다.

'최종 결론이 삼각함수로 나온다면, 반대로 초기조건도 삼각함수로 나타낼 수 있지 않을까?'

네, 뭔가 당연한 귀결 같아보입니다.

그러나 초기 조건을 나타내는 함수는 말 그대로 '임의의' 함수입니다.

아닌말마따나 초기 열 분포는 진짜 내가 맘대로 줄 수도 있잖아요? 특정 길이를 가진 막대기 중간중간 가열할수도있고...

뭐 여튼 그래서 이 초기함수는 이쁘게 sin, cos의 모양이 아니라 진짜 제멋대로 생긴 함수죠.

상수함수일수도, 다항함수일수도, 지수함수일수도 있습니다. 혹은 톱니 같은 형태일수도 있죠.

그럼 이걸 푸리에의 생각에 대입해보면 다음과 같이 나올겁니다.

'임의의 함수도 삼각함수로 나타낼 수.. 있지 않을까나!?'

물론 딱 생각해봐도 단일 삼각함수로 '임의의 함수를 근사'한다는 건 택도 없기때문에, 삼각함수의 무한급수의 형태를 빌리게 되죠.
다시 써보자면

'임의의 함수도 삼각급수로 나타낼 수 있지 않을까나!?'

네, 이렇게 푸리에가 처음에 왜 '일정한 주기 내에서 일반적인 함수를 sin과 cos으로 근사하는 방법'(푸리에 급수)을 생각했는지 아시겠나요?

그리고 이 생각을 가진 지금 우리는 '푸리에 급수'라는 개념의 출발점에 선 겁니다.

물론 이전에도 이런 논의가 없었던 건 아닙니다.

과거 1700년대 중반 이미 "진동하는 현의 수학적 기술"에 관련하여 다니엘 베르누이는 '현의 해를 삼각함수들의 무한급수로 전개하자'고 하였고, 오일러와 다랑베르는 부분적으로는 동의했지만 '임의의 함수'를 삼각함수의 무한급수로 표현할 수 있는지에 대해서는 회의적인 상황이었죠.

근데, 푸리에는 이 아이디어를 과감하게 맞다고 '가정'하고 논지를 진행시킨거죠. 본인의 직관에 자신이 있었던 겁니다.

그래서 결국 이 방법론은 '푸리에 ~~~'이라는 이름이 붙게 됩니다.

자, 이제 푸리에 급수가 왜 탄생했는지, 더 나아가 왜 탄생할 수 밖에 없었는지 아시겠죠?

3) 마무리

첫 포스팅부터 너무 길면, 흥미가 떨어질 수 있습니다.

첫 시작은 가볍게!

그럼 이제 다음부터 진짜 푸리에 급수를 구하는 여정을 시작해 봅시다.