요렇게 생긴 삼각형이랍니다. 정삼각형의 각 꼭지점에서 그 변을 반지름으로하는 호를 그렸을 때 만들어지는 도형이죠! 그리고 이 도형의 특징은! 바로 등폭도형(curve of constant width)이라는거죠! 그 뜻은 이 도형의 어느 양 끝을 기준으로 삼아도 폭이 일정하다는 말입니다.(그도그럴게 정삼각형의 한 변을 기준으로 각각 호를 그렸으니 너무나도 당연한 결과죠!) 그리고 여기서 폭은 정삼각형의 한 변의 길이가 됩니다. 그러나 오늘은 이 뢸로 삼각형을 소개하는 것 뿐만이 아니라, 이 뢸로삼각형을 같은 넓이로 4등분해 볼건데요! 왜 요런짓을 하는지는 나중에 마무리부분에서 보기로 하고 일단 4등분 고고싱 해보죠 고고싱~
수식세우기-
1] 전체 넓이 구하기
일단 4등분을 하려면 과거 >>직선 두개로 원 삼등분하기<<처럼 전체 넓이를 기준으로 계산을 하는 것이 편합니다. 따라서 이 뢸로 삼각형의 전체 넓이 S를 구해보겠습니다. 언뜻 '아니 곡선으로 이루어진 도형의 넓이를 어떻게 구해?' 싶지만, 의외로 부채꼴의 조합이므로 계산이 어렵지 않아요! [전체넓이 = 한 부채꼴의 넓이*3 - 삼각형의 넓이*2] 로 구할 수 있답니다! 여기서 부채꼴의 반지름 r은 등폭도형이므로 폭 d와 같습니다.(폭 d는 정삼각형 한 변의 길이와도 같죠) 또한 부채꼴의 각도는 60도이므로(정삼각형의 한 각과 같습니다) 라디안으로 쓰면 $ \frac{\pi}{3} $죠 한 부채꼴의 넓이: $ \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}d^2\frac{\pi}{3} $ 정삼각형의 넓이: $ \frac{\sqrt{3}}{4}d^2 $ 그렇다면 부채꼴 넓이 *3-정삼각형 넓이는 $ S = \frac{1}{2}d^2\frac{\pi}{3}*3 - \frac{\sqrt{3}}{4}d^2*2 $ $ S = \frac{1}{2}d^2(\pi - \sqrt{3}) $ 자, 그러면 이 전체넓이의 $ \frac{1}{4} $을 부분넓이 구하는 식에서 찾으면 되겠죠? $ \frac{S}{4} = \frac{1}{8}d^2(\pi - \sqrt{3}) $
2] 부분넓이 구하기
자, 이제 '어느 높이에서 이 뢸로 삼각형의 넓이는 이만큼입니다~'하고 알려주는 부분넓이 공식이 필요한데... 아무래도 호(arc)이다 보니 계산이 녹록치 않아보이죠? 일단 계산이 쉽게 좌표 세팅부터 해주겠습니다.
자, 먼저 정삼각형의 밑변을 x축에 접하게두고, y축의 중심에 놓습니다. 이렇게두면 정삼각형은 y축으로 이등분이 되는 꼴이 되겠죠, 그리고 좌우 대칭일 겁니다 이걸로 일단 4등분을 할 때 세로로 2등분은 해결이 되었습니다. 무조건 세로로 2등분하면 넓이는 절반이 되겠죠 그렇다면 가로로 2등분 점을 찾아야 한다는 결과에 도달합니다. 그러면 세로로 2등분, 가로로 어느정도 높이에서 2등분하면 전체 넓이의 $ \frac{1}{4} $이 되는 넓이가 나올겁니다. 이 높이를 찾으면 되겠네요. 폭이 d라고 했으니, 오른쪽 빨간색 호의 중심은 왼쪽아래 빨간점이 되겠고 좌표는 ($-\frac{d}{2}$, 0) 그러면 이 부채꼴의 원래 원의 방정식은 $ (x + \frac{d}{2})^2+y^2=d^2 $이 될겁니다. 그럼 이 식을 정리해서, x좌표에 대한 식으로 변형한 다음 0부터 어떤 지점 a까지 적분하면 이 뢸로삼각형의 부채꼴의 일부의 넓이를 구할 수 있겠네요! 이 넓이를 T라고 해보죠(a부터 $ \frac{\sqrt{3}}{2}d $까지 구할 수도 있으나, 밑끝이나 위끝에 0이 들어가야 적분식이 깔끔해지는 경향이 있어 그냥 0부터 적분하겠습니다.) 자, 근데 하나 문제가 있죠. 이거는 0부터 적분해가는 식인데, 저희가 놓은 좌표대로면 아래쪽 활꼴(주황색)의 넓이가 반영이 안됩니다. 근데, 뭐 이 활꼴의 넓이는 너무 쉬우니까 바로 계산해보죠 활꼴의 넓이 = 부채꼴의 넓이-삼각형의 넓이 $ A_{sector} = \frac{1}{2}d^2\frac{\pi}{3} $ $ A_{triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4}d^2 $ $ A_{segment} = \frac{1}{2}d^2\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{4}d^2 $ $ A_{segment} = \frac{1}{2}d^2(\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}) $ 근데 여기서 절반의 넓이만 포함되어야하므로 $ \frac{1}{2}A_{segment} = \frac{1}{4}d^2(\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}) $ 그러면 $ \frac{1}{4}S = \frac{1}{2}A_{segment} + T$(0부터 a까지 부채꼴의 일부의 넓이 적분) 이면 높이 a를 구할 수 있겠군요! 영역으로 보자면, 오른쪽 위에 해당하는 1사분면만 적분이 되어야 하구요 일단 찾은 원의 방정식을 정리해봅시다. $ (x + \frac{d}{2})^2+y^2=d^2 $ $ (x + \frac{d}{2})^2=d^2-y^2 $ $ x + \frac{d}{2}=\pm \sqrt{d^2-y^2} $ $ x=\sqrt{d^2-y^2} - \frac{d}{2} $ 로 정리가 되었습니다. 여기서 마지막줄로 정리할 때 제곱근의 양수만 취한 것은 오른쪽 영역만 표현하는 함수를 얻기 위함이며, y값이 음수와 양수를 모두 포함하더라도 적분 자체에서 0부터 a까지 적분할 예정이므로 y값의 영역이 정해지기에 문제가 없습니다! 그러면 적분을 해봅시다 $ T = \int_{0}^{a} (\sqrt{d^2-y^2} - \frac{d}{2}) dy $ $ T = \int_{0}^{a} \sqrt{d^2-y^2} dy - \int_0^a \frac{d}{2} dy $ $ T = \int_{0}^{a} \sqrt{d^2-y^2} dy - [\frac{d}{2}y]^a_0 $ $ T = \int_{0}^{a} \sqrt{d^2-y^2} dy - \frac{d}{2}a $ 자, 적분의 뒤쪽영역은 아주 쉽게 적분이 되었으나, 앞쪽은 쉽지 않아보이네요? 원을 적분할 때 가장 많이 쓰이는 트릭이 치환 적분에서 y를 r * sin t로 놓는 것입니다. 똑같이 적용해보죠 $ y = d*sin\theta $ $ dy = d*cos\theta d\theta $ $ T_1 = \int_{0}^{a} \sqrt{d^2-(d*sin\theta)^2} * d*cos\theta d\theta $ $ T_1 = \int_{0}^{a} d*\sqrt{1-(sin\theta)^2} * d*cos\theta d\theta $ $ T_1 = \int_{0}^{a} d^2*\sqrt{1-(sin\theta)^2} * cos\theta d\theta $ $ 1-sin^2\theta $는 항등식에 따라 $ cos^2\theta $와 같으니 $ T_1 = \int_{0}^{a} d^2*\sqrt{(cos\theta)^2} * cos\theta d\theta $ $ T_1 = \int_{0}^{a} d^2*cos\theta * cos\theta d\theta $ $ T_1 = \int_{0}^{a} d^2*cos^2\theta d\theta $ 여기서 삼각함수의 제곱은 적분불가하므로 더 쉬운 형태로 바꿔주겠습니다. cos 2배각을 이용하면 $ cos^2\theta = \frac{1+cos2\theta}{2} $ 이므로 $ T_1 = \int_{0}^{a} d^2*\frac{1+cos2\theta}{2} d\theta $ $ T_1 = \frac{d^2}{2}\int_{0}^{a} (1+cos2\theta) d\theta $ 자, 여기서 변수치환 했으니 당연히 아래끝 위끝도 변경해줘야합니다. 여기서 y가 0일땐, $ \theta $도 0이므로 아래끝은 동일하게 0이고, 위끝이 a인 경우엔, $ a = d*sin\theta $ $ \frac{a}{d} = sin\theta $ $ arcsin \frac{a}{d} = \theta $ 로 정리되므로, 위끝 아래끝 바꿔서 최종식을 써보면 $ T_1 = \frac{d^2}{2}\int_{0}^{arcsin \frac{a}{d}} (1+cos2\theta) d\theta $가 되겠네요 $ T_1 = \frac{d^2}{2}(\int_{0}^{arcsin \frac{a}{d}} 1 d\theta + \int_{0}^{arcsin \frac{a}{d}} cos2\theta) d\theta $ $ T_1 = \frac{d^2}{2} ([\theta]^{arcsin \frac{a}{d}}_{0}+ \int_{0}^{arcsin \frac{a}{d}} cos2\theta) d\theta $ $ T_1 = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + \int_{0}^{arcsin \frac{a}{d}} cos2\theta) d\theta $ $ T_1 = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + [\frac{1}{2}sin2\theta]^{arcsin \frac{a}{d}}_{0}) $ 여기서 sin 2t는 2sin t cos t와 같으므로 $ T_1 = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + [sin\theta cos\theta]^{arcsin \frac{a}{d}}_{0}) $ $ T_1 = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + sin(arcsin \frac{a}{d}) * cos(arcsin \frac{a}{d})) $ 여기서 arcsin은 sin의 역함수이므로 $ f(f^{-1}(x)) = x $를 이용하여 $ sin(arcsin \frac{a}{d}) = \frac{a}{d} $ cos(arcsin)의 경우 $ \theta = arcsin \frac{a}{d} $ $ sin \theta = \frac{a}{d} $ $ sin^2\theta + cos^2\theta = 1 $ $ cos\theta = \sqrt{1-sin^2\theta} $ $ cos\theta = \sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2} $ 로 정리되므로 $ T_1 = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + \frac{a}{d} \sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}) $ 이 되며 결국 총 식은 $ T = \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + \frac{a}{d} \sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}) - \frac{d}{2}a $ 자, 이제 다 왔습니다. $ \frac{1}{4}S = \frac{1}{2}A_{segment} + T $ $ \frac{1}{8}d^2(\pi - \sqrt{3}) = \frac{1}{4}d^2(\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{d^2}{2} (arcsin \frac{a}{d} + \frac{a}{d} \sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}) - \frac{d}{2}a $ 식이 복잡하니 정리해보죠. 일단 $ \frac{2}{d^2} $으로 양변 곱해줍니다. $ \frac{1}{4}(\pi - \sqrt{3}) = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}) + (arcsin \frac{a}{d} + \frac{a}{d} \sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}) - \frac{a}{d} $ 풀어서 상수항 정리하면, $ \frac{\pi}{12} = arcsin(\frac{a}{d})+\frac{a}{d}\sqrt{1-\left(\frac{a}{d}\right)^2}-\frac{a}{d} $ 이 식에서 a를 찾아주면 영점에서 얼만큼 위로 올라가서 가로선을 그어야 4등분이 되는지가 나오며, 이를 $ \frac{\sqrt{3}}{2}d-a $를 하면 삼각형의 위쪽 꼭지점(주황색)으로부터의 거리를 구할 수 있습니다. 참고로 이 방정식은 초월방정식이라 사람이 일반해를 구할수는 없고, 계산기의 도움을 빌려야합니다. 이번에는 wolframalpha도 두손두발 들고 뻗어버렸기에, chatgpt를 이용하여 계산하면 gpt의 불확실한 결과(매번 결과가 달라지는)로 인해 다시 수식정리해서 wolframalpha로 계산하면 $ a = 0.268309283804244d $ 로 결과가 나오고, $ \frac{\sqrt{3}}{2}d-a $이 식에 넣어 계산하면 0.597716119980195d 라는 결과가 나오게 됩니다.
3] 수식적 결론
결국 폭의 0.5977위치에서(삼각형의 꼭지점에서부터 0.5977d 위치에서) 가로로 한번, 이후 세로로 중앙을 한번 자르면 정확하게 이 뢸로삼각형을 4등분 할 수 있습니다.(전체 폭의 60%쯤 되는 위치네요. 위와같은 형태에선 정확한 절반보다 조금 아래라고 생각하시면 될 것 같습니다.)
마무리-
이 뢸로삼각형은 의외로 활용도가 꽤 있습니다. 벽을 네모나게 뚫는 드릴도 이 뢸로삼각형을 응용하고 있으며, 무엇보다 폭이 어디에서재도 같다는 성질은 아주 요긴하게 쓰일 수 있습니다. 가령 약을 만들때도, 이 뢸로 삼각형의 모양대로 타정하면 약이 어떤 슬라이드를 지나갈때 막힘없이 원과 비슷하게 흘러갈 수 있겠죠 그래서 실제로 시판되는 약중에서도 이 뢸로삼각형의 모양인 약들이 꽤 있습니다. 그중에 대표적인게 바라크루드(Baraclude)인데요, 실제로 약의 정보를 보면 가로 세로 높이가 같은 뢸로삼각형임을 알 수 있습니다. 0.5mg 제형의 경우 8.4mm의 폭을 가지는데, 이걸 계산한 결과에 대입하면 삼각형의 한 꼭지점에서부터 5mm떨어진 지점에서 가로로한번 세로로한번 자르면 된다는 결론이 나오죠.
저번 시간에 원 내부의 사다리꼴과 같은 도형의 넓이를 구하는 방법을 가장 기본적인 공식(부채꼴 공식+삼각형 공식)을 가지고 구해보았습니다.
원 내부의 하얀부분은 "활꼴의 절반"이라고 쉽게 설명이 가능한데, 그 반대편에 대한 용어는 따로 존재하지 않네요..
이번 시간에는 이것을 부정적분으로 x값을 가지고 바로 구하는 방법을 알아볼까 합니다.
저번에 각도 $\theta$를 부채꼴 부분으로 잡았는데, 이번에도 한번 이렇게 잡아서 수식을 전개해보려고 합니다.
부채꼴 부분이 $\theta$입니다.
일단 이렇게 특수한 상황에 가기 전에, 일반적으로 원의 넓이를 적분으로 어떻게 구하는지 다시 한번 살펴보도록하겠습니다.
자, 일단 원의 방정식은 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$입니다. 저희는 $r$이 1인 단위원을 사용하기 때문에 식은 더욱 간단하게 $x^{2}+y^{2}=1$이 되겠네요.
이를 좀 더 보기 편하게 y에 대한 값으로 나타내면(x의 값에 따라 y값을 결정하는 방식) $y=\pm \sqrt{1-x^{2}}$으로 정리할 수 있습니다.
이 때 부호에 따라 양의 부호는 y축을 기준으로 0보다 위에 그려지는 반원을, 음의 부호는 아래쪽에 그려지는 반원을 의미합니다.
현재 저희는 위에 그려지는 반원 중에서도 1사분면 위의 사반원에 대해 구하려고 하고 있으므로, 이에 대한 적분 수식은 $\int \sqrt{1-x^2} \, dx$라고 볼 수 있습니다.
여기서 루트가 들어간 적분은 그냥 풀기에 너무 힘들기 때문에 x를 치환시켜 줄 것입니다.
예전에 고등학교 때 적분을 공부하면서 도대체 왜 치환하는지 의문을 가졌었는데, 실상은 치환해서 더 쉬운 형태로 만들어서 적분을 쉽게 만들기 위해서 하는 작업입니다 치환적분은!
루트를 없애줄 수 있으면서 적분 형태를 간단하게 해줄 수 있는 것이 무엇이 있나 한번 살펴보다보니, 언뜻 지나가는 공식이 있습니다.
$ sin^{2} \theta + cos^{2} \theta = 1 $이라는 공식이지요.(이 공식은 그냥 암기할 게 아니라, 너무 당연한 것을 표현한 것입니다. 아까 단위원의 방정식은 $x^{2}+y^{2}=1$이라고 했습니다. 이것은 원 위에서 무조건 성립하는 값입니다. 여기서 매개변수 표현법을 사용하면 $y=sin \theta, x=cos \theta$라고 했습니다. 즉, 단위원의 방정식에 매개변수 표현법을 사용하여 표현 방법만 x, y 변수가 아닌 $\theta$변수 로 바꿔준 것이 됩니다.)
이항해보면
$cos^{2} \theta =1-sin^{2} \theta$
제곱을 제거하면
$cos \theta = \sqrt{1-sin^{2} \theta}$
어디선가 많이 본 보양이지요?
즉, $x$를 $sin \theta$로 치환하면 자연스럽게 루트가 들어간 식이 정리되면서 적분이 가능한 형태로 바뀔 것 같습니다!
원넓이를 처음 배우는 것은 초등학교 때, $\pi$를 3.14 근사값으로 배우면서 공식 암기와 함께 시작한다.
이후 중학교 과정에서 수의 확장과 함께 무리수로 $\pi$를 배워 무리수가 들어간 공식으로 배우고, 고등학교에 이르러서는 적분을 통해 원의 넓이를 새삼스레 다시 구해본다.
결국 우리의 수학 교과과정은 원에 대해서 배우는 것이다 라고 말해도 과언이 아닐 정도이다.
여기서 고등학교에서 정적분으로 원의 넓이를 구할 때 기계적으로 치환, 공식대입, 정적분을 통해서 '아 그냥 그렇게 되는구나'라고 알고 넘어가는 사람들이 대다수 일 터.
이번에 뭔가 궁금증이 생겨서 다시 풀어보니, 예전엔 그냥 단순히 치환하고 공식을 대입해서 풀었던 여기에는 참 많은 이유들이 있다는 것을 알게되었다.
그리하여 부정적분을 통해서 왜 이렇게 치환하고 그것으로 어떻게 넓이를 구하는지 알아보고자 한다.
요런식으로 x가 0부터 0.5일때 원의 넓이를 구하는 방법을 알아보려고 한다.
물론 원은 사분원 넓이의 네배이니까 적분으로 원넓이 공식을 유도할 때 처럼, 반지름이 1인 단위원을 기준으로 하여 사분원의 넓이를 구하는 식으로 진행한다.
1] 일반식으로 원 넓이 구하기
부정적분으로 넘어가기 전에, 우리가 아는 일반 공식으로 $x$축에 대한 원의 넓이를 구할 수 있다.
딱 위의 그림에서와 같이 한번에 구하려면 왠지 적분을 써야 할 것 같지만,
호와 삼각형으로 나눠서 구한다면?
위 그림과 같이 부채꼴과 삼각형으로 나눠서 구한다면 쉽게 원의 부분 넓이를 구할 수 있다.
부채꼴의 넓이는 호도법으로 전체 각도($2\pi$(360도))에 대한 원 넓이 $\pi r^2$을 전체 각도에 대한 부분각도의 비 만큼 곱해주면( $\frac{\theta}{2\pi}$ ) 부채꼴의 넓이($\frac{\theta}{2\pi}*\pi r^2 = \frac{1}{2} r^2\theta$)가 나온다.
물론 여기서는 r(반지름)을 1로 놨으니 r 변수는 사라질 것이다.
부채꼴의 각도를 기준으로 놨으니, 이제 삼각형도 계산할 수 있다. 삼각형의 넓이는 가로*세로/2이다.
xy좌표축의 x와 y의 값을 $\theta$로 표현하면 단위원의 매개변수 표현법에 의거 $y=sin\theta, x=cos\theta$로 표현할 수 있다. 다만 여기서는 부채꼴의 각도를 기준으로 표현을 했으니 우리가 쓰는 좌표축의 $y$값이 $cos\theta$가 될것이며 $x$값은 $sin\theta$가 될 것이다. 뭔가 두 길이가 달라진 것 같지만, 사실상 직사각형에서의 삼각형이니 두개는 대칭이다.(엄밀히 매개변수 표현법으로 $y=sin\theta, x=cos\theta$이니, 위의 예에서 $y=sin(90-\theta), x=cos(90-\theta)$가 되고 각각, $y=sin(90-\theta)=cos\theta$, $x=cos(90-\theta)=sin\theta$의 관계가 성립한다.)
$ \theta $를 부채꼴의 각도로 놓았다.
수식으로 표현하면 $\frac{1}{2}sin\theta cos\theta$가 삼각형의 넓이가 될 것이다.
그리하여 두 식을 더한 $\frac{1}{2} \theta + \frac{1}{2}sin\theta cos\theta$ 값이 저 사다리꼴과 같은 도형의 부분 넓이가 된다는 것을 알았다.
여기까지 우리는 각도를 알면 그 각도에 해당하는 원의 사다리꼴과 같은 도형의 부분넓이를 구할 수 있게 되었으나, 반드시 각도를 알아야 한다는 단점이 있다.
여기서 x축 값 만으로 이 넓이를 구하려면, arcsin값만 알면 된다. 위의 그래프에서 x값과 같은 값을 나타내는 것은 $\theta$ 각도를 가지고 구한 $sin$값과 같다는 것을 알 수 있다. 그렇다면, 반대로 x값을 sin함수의 역함수인 arcsin에 넣어주면, 그 값에 해당하는 각도가 구해질 것이고, 그 각도값으로 부채꼴의 넓이 공식에 적용하면 부채꼴의 넓이를 알 수 있으므로 arcsin만 써주면 해결이다.
그렇다면 삼각형 부분은 어떻게 해결할 것인가?
사실 이 삼각형 부분은 x축 값이 밑변, 원의 방정식에서 x값을 대입한 값이 y값이다. 즉, y값은 $y = \sqrt{1-x^2}$이다.
이렇게 되면, 우리는 일반식으로 원에서의 사다리꼴과 같은 형태의 넓이를 x값에 따라 얻을 수 있는 일반식을 만들 수 있다.
$\frac{1}{2} arcsin\, x + \frac{1}{2}\cdot x \cdot \sqrt{1-x^2}$
