피보나치 수열의 일반항과 비율의 극한(황금비)

피보나치 수열하면 모르는 사람이 없을 정도로 아주 간단한 규칙을 가진 수열이다.

바로 앞의 두 숫자를 더하면 다음 숫자가 나오는 수열이다.

여기서 앞의 두 숫자는 1, 1 이다.

그러면 바로 아래와 같은 수열이 나오게 된다.

1 1 2 3 5 8 13 ...

물론 이 수열의 극한은 무한대로 발산할 것이 분명하지만, 이 수열의 두 항의 '비율'의 극한은 수렴할까? 수렴한다면 어디로 수렴할까? 한번 확인해보자.

여기서 수열의 극한을 확인하려면 항상 일반항이 있어야 한다. 그러나 피보나치 수열은 '앞의 두 수를 더하면 다음 숫자가 된다'는 점화식만 있는 형태이다. 그러면 이 점화식을 통해서 일단 피보나치 수열의 일반항을 구해보도록 하자.

피보나치 수열의 일반항 구하기

1. 피보나치 수열의 점화식을 써보자.

  피보나치 수열은 이 전의 두 항을 더하면 다음 항이 되는 수열이다.

  $ a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} $

  이러한 형태 점화식만 있는 상태로 등차, 등비, 멱급수 등등등 그 어떤 수열의 형태도 아니다.

2. 일반식으로 확장

  이 수열의 상태만으로는 우리가 뭔가 찝쩍거릴 건덕지가 없으니까, 일반적인 일반식으로 확장한 뒤 근과 계수와의 관계(Vieta's formulas, 두 근을 $ \alpha, \; \beta $로 놓으면 $ px^2+qx+r=0 $의 방정식에서 $ \alpha + \beta = - \frac{q}{p}, \alpha \beta = \frac{r}{p} $의 관계가 생긴다는 공식)를 활용하여 근을 활용한 일반식으로 변화시켜 볼 것이다. 참고로 수열에서 항수는 차수가 다른 방정식과 동일하게 볼 수 있다.(더 자세한 내용은 >>점화식에서의 특성방정식(characteristic equation)<<에서 확인할 수 있다.)

  $ a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} \Rightarrow x^2 = x + 1 \Leftrightarrow x^2 -x -1 = 0 $와 같이 쓴뒤, $ px^2+qx+r=0 $의 일반식으로 변환시켜주면, $ p = 1, q = -1, r = -1 $이 되고, 근과 계수와의 관계에서 $ \alpha+\beta=-\frac{q}{p}=1, \; \alpha \beta = \frac{r}{p} = -1 $이다.

  이는 다시 쓰면, $ p $가 기본적으로 1이기 때문에 $ \alpha+\beta = -q, \; \alpha \beta = r $이라고 놓을 수 있다.

  그래서 일반식을 다시 근과 계수와의 관계를 이용하여 계수가 아닌 근의 형태로 표현해주면

  $ x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta = 0 $

  이를 다시 수열의 항을 통해서 표현해주면

  $ a_{n+2} = (\alpha+\beta)a_{n+1} - \alpha \beta a_n $과 같은 근을 활용한 일반식으로 확장이 되었다.

  이때, $ a_1 = 1, \; a_2 = 1, \; \alpha + \beta = 1, \; \alpha \beta = -1 $이다.

3. 반복되는 형태를 만들어서 계산가능하게 만들자

  과거 >>https://omnil.tistory.com/172<<포스팅에서 감마함수를 팩토리얼로 변환하는 과정과 같이 등식의 좌변과 우변이 반복되는 형태를 만들어주게 되면 계산이 되지 않을 것 같은 등식도 계산이 된다. 특히 최종단계를 우리가 직접 계산해서 값을 알 수 있다면 더더욱이 말이다. 참고로 감마함수는 n=1일때 값이 1이며, 우리는 뭔가 이런단계를 거치면 1항이 1, 2항이 1이라는 것을 통해서 값을 구할 수 있을 것이다.

  $ a_{n+2} = (\alpha+\beta)a_{n+1} - \alpha \beta a_n $

  $ a_{n+2} = \alpha a_{n+1} + \beta a_{n+1} - \alpha \beta a_n $

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta a_{n+1} - \alpha \beta a_n $

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta (a_{n+1} - \alpha a_n) $

  이렇게 변환하면 등식의 좌변과 우변의 공동되는 부분의 한 항 차이가 $ \beta $배라는 것을 알 수 있다. 바로 이것으로 우리가 아는 $ a_2 $와 $ a_1 $를 가지고 계산할 수 있는 형태로 반복계산이 가능하다.

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta (a_{n+1} - \alpha a_n) $

  $ a_{n+1}-\alpha a_{n} = \beta (a_{n} - \alpha a_{n-1}) $

  $ \Rightarrow a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta^2 (a_{n} - \alpha a_{n-1}) $

  이런식으로 $ \beta $배씩 곱해주면 우항을 a2와 a1항으로 계산할 수 있는 형태로 만들어줄 수 있다.

  이 때, $ \beta $가 몇개 생기는지는 항 수를 보고 생각하면 된다.

  우변의 맨 오른쪽항이 a2항에서 a1항으로 떨어지게 되면, $ \beta $는 한개가 생길 것이다. 즉, an항에서 a1항으로 떨어지면 (n-1)개의 $ \beta $가 생성될 것이다.

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta \cdot \beta^{n-1} \cdot (a_{2} - \alpha a_1) $

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta \cdot \beta^{n-1} \cdot (1 - \alpha \cdot 1) \leftarrow \because a_2=1,\; a_1=1 $

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta \cdot \beta^{n-1} \cdot \beta \leftarrow \because \alpha + \beta = 1 $

  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} = \beta^{n+1} $

  즉  $ a_{n+2}-\alpha a_{n+1} $는 $ \beta $를 $ n+1 $번 곱한 것이니 항수 만큼 $ \beta $를 곱해주는 횟수가 된다는 것을 알 수 있다. 그렇다면 우리가 알고싶은 $ a_n $을 기준으로 하는 식으로 바꿔주면

  $ a_{n}-\alpha a_{n-1} = \beta^{n-1} \cdots (1)$

  이 되고, 이는 $ \alpha $ 변수와 $ \beta $ 변수를 바꾸어도 변수위치만 바뀐 동일한 식이 나온다.

  $ a_{n}-\beta a_{n-1} = \alpha^{n-1} \cdots (2)$

4. 연립하여 $ a_n $에 대한 일반항으로 풀어준다.

  변수 두개에 식이 두개가 나왔으니 연립방정식으로 풀 수 있다.

  (2)식에 $ \frac{\alpha}{\beta} $배를 해준 뒤 (1)-(2)식을 해줘서 $ a_{n-1} $항을 소거하여 $ a_n $의 일반항을 얻을 수 있다.

  $ a_{n}-\alpha a_{n-1} = \beta^{n-1} \cdots (1)$

  $ \frac{\alpha}{\beta}a_{n}-\alpha a_{n-1} = \frac{\alpha^{n}}{\beta} \cdots (2)$

  $ (1)-(2) $

  $ a_{n}-\frac{\alpha}{\beta}a_n = \beta^{n-1}-\frac{\alpha^n}{\beta} $

  $ \beta a_{n}-\alpha a_n = \beta^{n}-\alpha^n $

  $ (\beta -\alpha) a_n = \beta^{n}-\alpha^n $

  $ \therefore a_n = \frac{\beta^{n}-\alpha^n}{\beta -\alpha} $

  일반항 겟!!

  이제 일반항에 값만 대입해주면 진짜 n에 몇번째 항인지만 대입해주면 거기에 해당하는 값이 나오는 일반항이 된다.

5. $ \alpha $와 $ \beta $의 값 구하여 일반항에 대입하기

  여기서 $ \alpha $와 $ \beta $는 사실 $ x^2 -x -1 = 0 $의 두 근과 같기 때문에 근의 공식을 통하여 바로 값을 구할 수 있다.

  $ ax^2+bx+c = 0 $에서 두 근은 $ \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $식으로 구할 수 있다.
  $ \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}, \; a=1, \: b=-1, \: c=-1 $

  $ \beta = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \; \alpha = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} $

  $ a_n = \frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}} $

  $ \therefore a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right) $

  이렇게 피보나치 수열의 일반항을 구했다!!

  근데, 유리수의 합으로 나타나는 피보나치 수열에서 일반항에 무리수가 들어가는 것이 신기하지 않은가!

피보나치 수열의 비율의 극한

이렇게 일반항을 구했으면 비율의 극한도 쉽게 구할 수 있다.

여기서는 더 큰수를 더 작은수로, 즉 $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $의 비를 구할 것이다.

이번엔 비율을 구할 것이기 때문에, 숫자까지 들어간 일반항 보다는 문자로 표현된 더 한눈에 보기 간편한 일반항을 사용하여 극한을 구해볼 것이다.

1. 비율 식 구하기

  $ a_{n+1} = \frac{\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}}{\beta -\alpha} $

  $ a_{n} = \frac{\beta^{n}-\alpha^{n}}{\beta -\alpha} $

  $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}}{\beta -\alpha}}{\frac{\beta^{n}-\alpha^{n}}{\beta -\alpha}} $

  $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}}{\beta^{n}-\alpha^{n}} $

  $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\beta-\alpha \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^n}{1-\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{n}} $

2. 극한 씌워주기

  $ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\beta-\alpha \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^n}{1-\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{n}} $

  여기서 $ \beta = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \; \alpha = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} $이고, $ \beta $가 $ \alpha $보다 크기 때문에 $ \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^n $항은 $ n $이 무한대로 갈 때 값이 0으로 수렴한다.

  참고로 실제 값을 대입해서 계산해본 $ \left(\frac{\alpha}{\beta}\right) $ 값은 $ \frac{\sqrt{5}-3}{2} $이며, 그 값은 약 -0.382이다. 즉, 이 값을 무한대로 제곱할 경우 양과 음을 반복 진동하며 수렴한다.

  즉, 극한을 취한 뒤의 값은

  $ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\beta-\alpha 0}{1-0} $

  $ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \beta $

  $ \therefore \beta $

  이며, 이 $ \beta $값은  $ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $이므로, 피보나치 수열의 비율의 극한 값은 $ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $이 된다.

  그러면 이 값은 과연 무엇일까

황금비

  인생을 살면서 '황금비'라는 단어를 한번은 들어본다.

  황금비는 1: 1.618로써 근사하면 5:8정도의 비율을 나타내는 것을 황금비라고 한다.

  이것은 우리가 어떤 비율을 봤을 때 가장 아름답다고 생각하는 비율이라고 하는데, 이 1.618이라는 값은

  $ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $을 계산하면 나오는 값이다.

  즉, 피보나치 수열의 비율을 극한으로 가져가면 황금비를 가진다는 사실!

Gamma function(감마함수)를 통하여 gamma(n+1)=n!(팩토리얼, factorial) 증명

1. 감마함수 정의

    $ \Gamma \left ( n \right ) = \int_{0}^{\infty }e^{-x}\cdot x^{n-1 }\: dx $

2. gamma(n+1) = n! 증명

  2-1) gamma(n+1) 재정의

    $ \Gamma \left ( n+1 \right ) = \int_{0}^{\infty }e^{-x}\cdot x^{n }\: dx $

  2-2) gamma(n+1) 부분적분

    부분적분법

    $ \int u(x)v'(x) \; dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\: dx $

    부분적분

    $ \int_{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}\: dx = [-x^{n}e^{-x}]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty }nx^{n-1}(-1)e^{-x}\: dx $

    $ \int_{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}\: dx = \lim_{x\rightarrow \infty}(-x^{n}e^{-x})-(0e^{0}) + n \int_{0}^{\infty }x^{n-1}e^{-x}\: dx $

    $ \int_{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}\: dx = n \int_{0}^{\infty }x^{n-1}e^{-x}\: dx $

    $ \Gamma (n+1) = n \Gamma (n) $

  2-3) gamma(1) 계산

    $ \Gamma (1) = \int_{0}^{\infty}e^{-x} \cdot x^{1-1} \: dx $

    $ \qquad \, = [-e^{-x}]_{0}^{\infty} $

    $ \qquad \, = \lim_{x\rightarrow \infty} (-e^{-x}) - (-e^{0}) $

    $ \qquad \, = 0 - (-1) $

    $ \qquad \, = 1 $

  2-4) 순환 반복하므로 gamma(n+1)은 n!

    $ \Gamma (n+1) = n \Gamma (n) $

    $ \Gamma (n) = (n-1) \Gamma (n-1) \Rightarrow \Gamma(n+1) = n \times (n-1) \times \Gamma (n-1) $

    $ \vdots $

    $ \Gamma (2) = 1 \cdot \Gamma (1) $

    $ \Gamma (1) = 1 $

    $ \Gamma (n+1) = n \times (n-1) \times ... \times 2 \times 1 $

    $ \therefore \Gamma (n+1) = n! = \int_{0}^{\infty}e^{-x}\cdot x^{n} \: dx $