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푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 복소 푸리에 변환(Complex Fourier Transform)

📘 푸리에 오디세이(Fourier odyssey) 시리즈

0) 서론

이번 포스팅은 지금까지 우리가 유도해온 복소 푸리에 변환을 개념적으로 한 번 더 살펴보고, 예제를 풀어보는 시간을 가질까 합니다!

1) 결과식 뜯어보기

이전까지의 포스팅을 차근차근 따라오셨으면 사실 식 자체를 받아들이는데 큰 문제는 없습니다.

그러나 문제는 결과식만 보면 ‘이게 뭔뜻이야?’하는 경우가 많다는 거죠..

그래서 한번 결과식을 다시한번 뜯어보겠습니다.

$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i \omega t} dt $

이 푸리에 변환 식이 무슨뜻일까요?

여기서 f(t)는 원래 함수입니다. 이 함수를 -무한대에서 무한대까지 특정 주파수 $e^{-i \omega t}$랑 얼마나 비슷한지를 계산하는 함수라고 생각하시면 됩니다.

내적개념으로 ‘두 함수의 곱의 적분이, 두 함수가 얼마나 서로 비슷한지 알려준다'로 생각하셔도 좋고,

동역학적으로 f(t)가 계수인 $\omega$속도로 회전하는 벡터를 전체시간($(-\infty, \infty)$)에 대해 다 더했을 때(적분) 상쇄되는 것 빼고 남는 성분이 뭐냐 라고 생각해도 무방합니다.

그리고 여기서 사실 한발짝 더 나아가보면, 위에서 ‘켤레복소수'를 언급했었습니다.

사실상 복소수영역에서 A라는 복소함수와 B라는 복소함수의 내적은 A와 B*(켤레복소수)의 곱으로 계산합니다.

그래서 우리는 원래 항상 $e^{i \omega t}$를 기준으로 생각하지만(역변환 식에서는 제대로 $e^{i \omega t}$를 곱해줍니다) 내적개념상 푸리에 변환식에서는 -부호가 붙은 켤레복소수인 $e^{-i \omega t}$를 곱하는거죠!

\begin{align}

F_c(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega t) dt \\

F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(\omega t) dt

\end{align}

같은 맥락에서 삼각함수의 형태는 이해가 훨씬 쉽죠. 복소지수보다 더 직관적입니다.
(여기서는 내적개념으로 이해하는게 제일 쉽겠네요)

2) 적분 영역 살펴보기

적분 영역에 대해서도 결과만 보면 의아하실 수 있습니다.(뭐 차근차근 따라오셨다면 딱히 헛갈리실 것 없겠지만..)

\begin{align}

f(x) &= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} [F_c(\omega)\cos(\omega x) + F_s(\omega)\sin(\omega x)] d\omega \\

F_c(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega t) dt \\

F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(\omega t) dt

\end{align}

삼각함수형태가 더 직관적이므로, 여기서부터 설명을 해보자면

여기서 푸리에 변환 부분(Fc, Fs)에서 적분구간이 -무한대~무한대인이유는 함수전체에서 해당 파형이 얼마나 들어있나를 알아내기 위한 필터이기때문이고,

전체식에서 0부터 무한대인 이유는 그 모든 주파수 성분을 다 모아서 적분하기 때문이죠.(왜 0부터인지는 마이너스 주파수 설명하면서 설명드렸죠? 삼각함수형태에서는 마이너스 주파수가 없습니다.)

\begin{align}

f(x) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i \omega x} d\omega \\

F(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i \omega t} dt

\end{align}

마찬가지로 복소지수형태도 마찬가지입니다.

다만, 복소지수의 경우 마이너스 주파수가 있어서 원래함수로 복원할 때 적분구간이 -무한대~무한대가 되죠.

3) 왜 푸리에 적분(역변환)에서 복소지수함수형태랑 삼각함수형태에서 계수가 달라요?

이거는 애초에 cos과 sin이 복소지수로 어떻게 표현되는지 보시면 바로 이해가 됩니다.

잘 생각해보세요. 둘 다 2로 나눴던거 기억나시나요? 그겁니다.

다시한번 개념적으로 살펴보면 복소지수함수 하나는 sin이던 cos이던 양/음의 주파수 두개를 가지게 되므로 2로 나눠주어야하는거죠!

재미있게도 이 결과는 적분 구간과도 형태적으로 일치합니다. 복소지수 형태에서는 적분 구간이 $(-\infty,\ \infty)$로 두 배가 되면서, 계수 역시 1/2이 붙는 형태가 되죠. 이렇게 연관 지어 기억하시면 더 쉽습니다.

4) 상수 계수의 의미

마지막으로.. 복소푸리에변환에서 $\frac{1}{2\pi}$'상수 계수'의 경우 우리는 항상 계산하면서 '급수->적분->변환'의 개념을 살려서 '역변환'에 몰아놨는데요(삼각함수로 나타낸 푸리에 변환에서는 $\frac{1}{\pi}$),

이 상수계수는 사실 어디에 붙어있어도 크게 상관은 없어서 혹시 다른 문헌에서 보시다가 이 부분이 조금 달라도 너무 당황하시진 않으셔도 됩니다.(심지어 이 $2\pi$를 $\omega = 2\pi f$관계를 이용해서 지수로 넣어버릴 수도 있어요. 그러면 상수계수가 사라지죠)

어찌됐든 중요한 건 복소푸리에변환에서 정변환과 역변환을 한 번씩 거치면 총 $\frac{1}{2\pi}$가 곱해져야 원래 함수로 돌아온다는 약속 그 자체입니다.
(왜 $\frac{1}{2\pi}$가 곱해져야하는지는.. 가장 쉽게는 주파수를 radian단위계로 만들었기때문에 다시 돌려놔 주어야 한다는거고, 중간정도로는 삼각함수처럼 자기자신과의 내적 적분시 $2\pi$만큼 배가된다는 개념, 어렵게는 디랙델타함수로 유도할 수 있습니다.)

삼각함수 형식 푸리에 변환에서 잘 안쓰지만 그래도 삼각함수에서는 왜 $\frac{1}{\pi}$여야하냐면, 삼각함수의 제곱의 한주기 적분은 정확히 π이기 때문입니다.

원래 함수 f(x)에 cos을 곱해서 ‘자기자신과 같은 성분'만 뽑아낼 때 f(x)의 cos성분과 곱해준 cos이 곱해져 [계수*cos²]이 생기기 때문에 π로 나눠 줘야 원래 cos성분의 계수값이 나오죠.

5) 예제

이야~ 여기까지 모든 '푸리에 ~~~'에 대해 알아보았습니다!

그러면 예시 문제를 하나 풀어보지 않을 수 없겠죠?

진짜진짜 쉬운 예시문제를 풀어보겠습니다!

디랙 델타함수라는 것이 있습니다.

이 함수는

$t=0$이 아닌 모든 곳에서 값은 0입니다.
($t \neq 0 \to \delta(t) = 0$)$t=0$에서 값은 무한대입니다. ($\delta(0) = \infty$)
전체 구간에 대해 적분하면 그 값은 1입니다. ($\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1$)

이 세가지 특징을 가지는 함수인데요.

따라서 우리가 이산 상황에서 크로네커 델타를 썼던 것과 마찬가지로, 샘플링 특성을 가지고 있죠.

쉽게 생각해서 '딱 0인 점에서만 피크가 찍히는 함수'라고 생각하셔도 됩니다.

1] 델타함수를 푸리에 변환하기

그럼 이 델타함수를 푸리에 변환하면 어떻게 될까요?

\begin{align}
F(\omega) &= \mathcal{F}\{\delta(t)\} \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)e^{-i\omega t} dt
\end{align}

델타 함수의 'Sifting Property' (샘플링 성질)에 의해, ∫ f(t)δ(t) dt = f(0) 입니다.

여기서 정리하면 $ f(t) = e^{-i\omega t} $ 가 되므로, t=0일 때의 값 $ f(0) = e^{-i\omega 0} = 1 $ 입니다.

따라서,

$ F(\omega) = 1 $

입니다.

수식으로는 간단하게 풀렸는데, 그럼 그 의미는 무엇일까요?

시간영역에서 디랙 델타함수처럼 생긴 그래프를 만들려면, 주파수 영역에서 주파수의 크기(진폭)가 1인 모든 주파수 성분을 다 더해야한다.

입니다.

역변환 관점이 직관적으로 이해하기 쉬워서 역변환 관점에서 서술했지만, 반대로 변환관점에서 서술해본다면 다음과 같을 겁니다.

시간영역에서 디랙 델타함수처럼 생긴 그래프는, 주파수 영역에서 주파수의 크기(진폭)가 1인 모든 주파수 성분으로 분해된다.

조금 더 살펴보자면, 모든 주파수 성분을 다 더하면 0점에서는 모든 주파수 성분이 '보강 간섭'을 일으켜서 무한대의 크기가 되고, 그 외 지점에서는 모든 주파수 성분이 '상쇄 간섭'을 일으켜서 0이 된다고 볼 수 있겠네요!

여기서 또한 재밌는 사실을 하나 뽑아낼 수 있는데, 어떤 식을 푸리에 변환 했다가 역변환하면 다시 자기 자신으로 돌아와야 하잖아요?

그렇다면 주파수 영역에서 1인 함수를 역변환 했을 때 다시 디랙델타함수가 나와야 할 것입니다.

$ \delta(t) = \mathcal{F}^{-1}\{1\} $

그러면 다시 푸리에 역변환 식으로 풀어쓰면

\begin{align}
\delta(t) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} 1 * e^{i\omega t} d\omega \\
\delta(t) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t} d\omega \\
2\pi \delta(t) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t} d\omega \\
2\pi \delta(k) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{ik x} dx \quad (일반화)
\end{align}

즉, 재밌게도 디랙델타함수는 새로운 적분표현을 가지게 됩니다.

2] 1인 상수함수를 푸리에 변환하기

그럼 이번엔 반대로 시간 영역에서 1인 함수를 푸리에 변환하면 어떻게 될까요?

\begin{align}
F(\omega) &= \mathcal{F}\{1\} \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} 1 * e^{-i\omega t} dt \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(-\omega) t} dt \\
\end{align}

여기서 아까 찾은 델타 함수의 적분 표현 $ 2\pi \delta(k) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{ik x} dx $를 이용합시다.

$ k = -\omega, \ x = t $로 놓고 정리하면

\begin{align}
F(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(-\omega) t} dt \\
2\pi \delta(-\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(-\omega) t} dt \\ \\
F(\omega) &= 2\pi \delta(-\omega)
\end{align}

가 되겠네요.

여기서, 디랙델타함수는 우함수($\delta(-x) = \delta(x)$)이므로

$ F(\omega) = 2\pi \delta(\omega) $

즉, 시간영역에서 1인 상수 함수를 푸리에 변환하면 $ 2\pi \delta(\omega) $라는 함수를 얻습니다.

그리고 이 수식의 의미는

시간 영역에서 영원히 1인 신호($f(t)=1$)를 만들기 위해서는, 오직 하나의 주파수($\omega=0$, 즉 DC 성분)만 필요하며, 그 성분의 총량(세기)은 정확히 $2\pi$여야 한다

는 뜻입니다.(역변환 관점 서술)

6) 마무리

이번 포스팅에서는 지금까지의 개념들을 한번 싹 정리해보는 시간을 가졌습니다.

아무래도 복소지수함수로 넘어오면서 다시 짚어봐야 할 개념들도 많고, 이래저래 챙겨야하는게 많은 포스팅이었네요!

그래도 잘 따라와 주셔서 감사합니다!

사실상 이 푸리에 오디세이의 어려운 부분은 이번 포스팅까지로 정리되었다고 볼 수 있습니다.

어떻게보면 두번째 기착지네요!

다음에는 가벼운 내용으로 '푸리에 ~~~'의 활용과 한번 더 개념 확장 정도만 하면 이 대장정은 끝을 맞이합니다!

이 푸리에 오디세의 대단원의 막까지 같이 달려주시죠!

얼마 안남았습니다!

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푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 복소 푸리에 적분(Complex Fourier Integral)

📘 푸리에 오디세이(Fourier odyssey) 시리즈

0) 서론

저번 포스팅에서는 우리가 삼각함수로 만들어본 푸리에 급수를 복소지수함수꼴로 변형해 보았습니다.

더불어 더 나아가서 처음부터 복소지수함수 형태로도 유도해보았는데요.

이렇게 두 가지 경로를 전부 확인해 보는 것이 크게 도움이 되기 때문에 포스팅이 조금 길어져도 두 가지 모두 확인해 보았습니다.

이번에는

푸리에 적분을 복소지수함수표현으로 나타내보겠습니다.

이제 우리는 cos, sin으로 만들어진 푸리에 적분표현도 알고 복소지수함수로 표현된 푸리에 급수표현도 아니까 이번에도 푸리에 적분을 두가지 방법으로 다 구해보죠.

먼저 cos, sin으로 표현된 푸리에 적분을 복소지수함수로 표현해보겠습니다.

그 이후 복소지수함수로 표현된 푸리에 급수를 푸리에 적분으로 확장해보도록 하죠.

또한 푸리에 변환은 개념적 도약이지만, 이미 우리는 그 단계를 거쳐왔으므로 여기서는 푸리에 적분에서 자연스럽게 푸리에 변환까지 유도합니다.

1) cos, sin으로 표현된 푸리에 적분을 복소지수함수로 변환하기

cos과 sin으로 표현된 푸리에 적분은 다음과 같았습니다.

\begin{align}

f(x) &= \int_{0}^{\infty} [A(\omega)\cos(\omega x) + B(\omega)\sin(\omega x)] d\omega \\

A(\omega) &= \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega t) dt \\

B(\omega) &= \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(\omega t) dt

\end{align}

이제 직접 변환해봅시다.

1단계: 계수 함수 $A(\omega)$와 $B(\omega)$를 f(x) 식에 대입하기

먼저, $f(x)$를 나타내는 첫 번째 식에 $A(\omega)$와 $B(\omega)$의 적분 정의를 직접 대입합니다.

$f(x) = \int_{0}^{\infty} \left[ \left(\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega t) dt\right)\cos(\omega x) + \left(\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(\omega t) dt\right)\sin(\omega x) \right] d\omega$

2단계: 적분 순서 변경 및 식 정리

$f(t)$와 $\frac{1}{\pi}$는 ω에 대한 적분에서 상수 취급할 수 있으므로, 적분 순서를 바꾸고 공통된 항을 묶어줍니다.

$f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) [\cos(\omega t)\cos(\omega x) + \sin(\omega t)\sin(\omega x)] dt \, d\omega$

3단계: 삼각함수 합차 공식을 이용한 단순화

대괄호 [] 안의 항은 코사인의 덧셈정리, cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB와 정확히 일치합니다. 이를 이용해 식을 단순화합니다.

$f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega(x-t)) dt \, d\omega$

4단계: 오일러 공식을 사용하여 cos을 복소지수함수로 변환

이제 핵심 단계입니다. 오일러 공식 $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$를 적용하여 $\cos(\omega(x-t))$를 복소지수함수 형태로 바꿉니다.

$f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \left( \frac{e^{i\omega(x-t)} + e^{-i\omega(x-t)}}{2} \right) dt \, d\omega$

상수 1/2를 밖으로 빼내고, 두 개의 지수 항으로 식을 분리합니다.

$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i\omega(x-t)} dt \, d\omega + \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega(x-t)} dt \, d\omega$

5단계: 적분 구간 통합을 위한 변수 치환

현재 ω에 대한 적분 구간은 0부터 ∞까지입니다. 이것을 -∞부터 ∞까지로 합치기 위해 트릭을 사용합니다. 두 번째 항에 집중해 봅시다.

두 번째 항에서 변수를 ω′=-ω로 치환합니다.

-치환: ω′=-ω ⟹ ω=-ω′

-미분: dω′=-dω ⟹ dω=-dω′

-적분 구간: ω가 0→∞로 변할 때, ω′은 0→-∞로 변합니다.

이것을 두 번째 항에 적용하면 다음과 같습니다.

$두 번째 항 = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{-\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i(-\omega')(x-t)} dt \, (-d\omega') $

$-d\omega'$의 마이너스 부호는 적분 구간의 순서($0 \to -\infty$)를 뒤집는 데($-\infty \to 0$) 사용될 수 있습니다.

$두 번째 항 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{0} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i\omega' (x-t)} dt \, d\omega'$

여기서 $\omega'$는 더미 변수(dummy variable)이므로 다시 ω로 이름을 바꿔도 무방합니다.

$두 번째 항 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{0} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i\omega(x-t)} dt \, d\omega $

6단계: 두 적분의 통합

이제 원래의 첫 번째 항과 변환된 두 번째 항을 봅시다.

적분구간이 연속되고, 두 항의 내부 적분 형태가 완전히 똑같으므로, ω에 대한 적분 구간을 합칠 수 있습니다.

\begin{align}

f(x) &= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i\omega(x-t)} dt \, d\omega + \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{0} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i\omega(x-t)} dt \, d\omega \\

f(x) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i\omega(x-t)} dt \right] d\omega

\end{align}

마지막으로, 지수 항을 $e^{i\omega x} \cdot e^{-i\omega t}$로 분리하여 식을 최종 형태로 정리합니다.

$ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt \right] e^{i\omega x} d\omega $

삼각함수 형태에서 복소지수형태로 '푸리에 적분'을 유도하였습니다.

7단계: 푸리에 변환 쌍(Pair) 정의

$ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt \right] e^{i\omega x} d\omega $

여기서 대괄호 [] 안의 부분은 시간 함수 $f(t)$를 주파수 함수로 변환하는 푸리에 변환(Fourier Transform)으로 정의됩니다.

$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt $

7단계의 결과를 푸리에 변환식을 써서 다시 나타내면

$ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega x} d\omega $

이렇게 되고, 이것을 우리는 '푸리에 역변환'이라고 부릅니다.

그리고 푸리에 변환과 역변환을 묶어서 푸리에 변환쌍이라고 부릅니다.

더불어 복소지수 형태는 '푸리에 적분'에서 생기는 계수가 바로 주파수 스펙트럼이 되어 식이 훨씩 깔끔해 졌습니다.(삼각함수로 나타낸 푸리에 적분에서는 계수 상태일땐 $\frac{1}{\pi}$가 붙어있다가, 푸리에 변환으로 정의한 식에서는 또 빠지고 그랬습니다.)

2) 복소지수함수로 표현된 푸리에 급수를 푸리에 적분으로 확장

삼각함수 형태에서 푸리에 급수를 푸리에 적분으로 확장하는 것과 기본 개념이 완전히 동일하기 때문에, 아마 기시감을 많이 느끼실거라 생각합니다.

개념상 그때와 중복되는 내용이 많겠지만, 그럼에도 불구하고 제대로 이해하고 있는지 한번씩 점검해보시면 좋을 것 같습니다.

핵심 아이디어는 주기 2L을 무한대(L→∞)로 보내는 것입니다. 이렇게 하면 주기 함수가 비주기 함수로 확장되고, 이산적인 주파수 성분의 합(Σ)이 연속적인 주파수 성분의 적분(∫)으로 변하게 됩니다.

1단계: 복소 푸리에 급수 정의하기

주기가 2L인 함수 $f(x)$는 다음과 같은 복소 푸리에 급수로 표현됩니다.

복소 푸리에 급수

$ f(x) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{n\pi}{L}x} $

복소 푸리에 계수

$ c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x)e^{-i \frac{n\pi}{L}x} dx $

푸리에 급수에서 주파수는 $\frac{\pi}{L}$의 정수배(n)로 이산적입니다. 이를 연속적인 주파수 변수로 바꾸기 위해 새로운 변수를 정의합니다.

이산 각주파수(Discrete Angular Frequency):

$ \omega_n = \frac{n\pi}{L} $

주파수 간격(Frequency Spacing): 인접한 주파수 사이의 간격입니다.

$ \Delta\omega = \omega_{n+1} - \omega_n = \frac{(n+1)\pi}{L} - \frac{n\pi}{L} = \frac{\pi}{L} $

이제 이 새로운 변수들을 사용하여 원래의 푸리에 급수 식에 계수 $c_n$의 정의를 직접 대입하여 하나의 식으로 만듭니다. (적분 변수는 t로 바꾸어 x와의 혼동을 피합니다.)

$ f(x) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \left[ \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(t)e^{-i \frac{n\pi}{L}t} dt \right] e^{i \frac{n\pi}{L}x} $

2단계: 식을 Δω로 표현하기

위에서 정의한 $ \Delta \omega = \frac{\pi}{L} $ 관계로부터 $\frac{1}{L} = \frac{\Delta\omega}{\pi}$를 얻을 수 있습니다. 이것을 $c_n$ 부분의 $\frac{1}{2L}$에 대입합니다.

$ f(x) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \left[ \frac{\Delta\omega}{2\pi} \int_{-L}^{L} f(t)e^{-i \omega_n t} dt \right] e^{i \omega_n x} $

이제 식의 순서를 조금 바꾸어 합의 맨 뒤에 Δω가 오도록 합니다.

$ f(x) = \frac{1}{2\pi} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-L}^{L} f(t)e^{-i \omega_n t} dt \right] e^{i \omega_n x} \Delta\omega $

이 형태는 리만 합(Riemann Sum)의 형태와 매우 유사합니다.

3단계: 극한 취하기 (L→∞)

이제 함수의 주기를 무한대로 보내는 극한을 취합니다. L→∞가 되면 다음과 같은 변화가 일어납니다.

- 주기 → 비주기: 함수는 더 이상 주기적이지 않고, 전체 실수 범위에서 정의됩니다. 따라서 적분 범위도 $(-\infty, \infty)$로 확장됩니다.

- 주파수 간격 → 0: $\Delta\omega = \frac{\pi}{L}$ → 0. 주파수 간격이 무한히 작아져 미분소 dω가 됩니다.

- 이산 주파수 → 연속 주파수: 이산적인 값들($ω_n$)이 모든 실수 값을 갖는 연속 변수 ω가 됩니다.

- 합(Summation) → 적분(Integral): 리만 합의 정의에 따라, Δω→0일 때 합 ∑은 적분 ∫으로 바뀝니다.

이 극한을 위 식에 적용하면,

$ f(x) = \lim\limits_{L \to \infty} \frac{1}{2\pi} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-L}^{L} f(t)e^{-i \omega_n t} dt \right] e^{i \omega_n x} \Delta\omega $

는 다음과 같이 변환됩니다.

$ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i \omega t} dt \right] e^{i \omega x} d\omega $

4단계: 푸리에 변환 쌍(Pair) 정의

이제 위 식에서 대괄호 [] 안의 부분을 새로운 함수 $F(\omega)$로 정의합니다. 이것이 바로 푸리에 변환입니다.

$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i \omega t} dt $

이 $F(\omega)$는 각 주파수 성분 ω가 얼마나 강하게 포함되어 있는지를 나타내는 "주파수 스펙트럼"입니다.

이것을 f(x) 식에 다시 대입하면 역 푸리에 변환을 얻습니다.

$ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i \omega x} d\omega $

이로써 복소푸리에급수를 복소푸리에적분으로 변환하고, 거기에서 바로 푸리에 변환까지 유도해 보았습니다.

3) 마무리

저번 포스팅에서 한번에 달려야 할 부분이 많아 길어졌기에, 이번 포스팅은 깔끔하게 적분과 변환 유도까지만 진행해보았습니다.

이제 수식적으로 모든 유도는 끝났습니다.

다음 포스팅에서는 복소푸리에변환을 한번 더 개념적으로 살펴보고 간단한 예제를 한번 풀어보도록 하죠!

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푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 복소 푸리에 급수(Complex Fourier Series)

📘 푸리에 오디세이(Fourier odyssey) 시리즈

0) 서론

저번 포스팅까지 '푸리에 ~~~'의 모든 개념을 첫 푸리에 급수가 태동한 sin, cos함수로 끝까지 살펴보았습니다.

그러나 사실 푸리에 적분부터는 복소지수함수(Complex exponential function)로 나타낸 표현이 일반적입니다만, 통일성을 위해 sin과 cos으로 만들어진 초기 푸리에 급수에서부터 저희는 변환까지 유도해 보았죠!

기착지에서 다시 출발한 지금, 저번 포스팅까지 쭉 따라왔었던 급수~변환까지 흐름을 다시한번 따라가되, 이번에는 복소지수함수로 진행해 볼까합니다!

그럼 다시 한번 그 여정을 떠나보죠!

푸리에 오디세이! 다시 출항합니다!

1) 복소지수함수로 나타내기

1748년 오일러는 sin과 cos을 복소지수함수로 표현을 확장합니다.(오일러의 공식: $ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$)<자세한 건 복소수 평면에서의 오일러 공식을 참조하세요!)

그리고 이에따라 sin과 cos으로 나타내던 모든 푸리에 해석은 모두 복소지수함수로 표현이 가능해지죠.

만약 복소지수함수로 표현하게 된다면, sin과 cos으로 나누어져있던 정보들을 단 하나로 통합할 수 있게 됩니다.

말 그대로 sin과 cos의 정보를 '복소평면에서의 원운동' 단 하나로 압축해서 표현할 수 있기 때문이죠.

그리고 이에따라 $a_n,\ b_n$으로 나누어져있던 계수는 $c_n$ 단 하나의 계수로 표현이 가능해지고, 그 진폭과 위상도

진폭 = $ |c_n| $

위상 = $ \tan^{-1} \left( \frac{Im(c_n)}{Re(c_n)} \right) = \arg(c_n) $

이렇게 간단하게 표현 가능해집니다.

그러면 이제 서론에서 말했던 것처럼 다시 처음으로 돌아가서 푸리에 급수부터 적분, 변환까지 복소지수함수형태로 나타내 볼까요?

일단 급수부터 변환해보죠! (다만 역사적으로 푸리에 급수는 원래 cos, sin으로 표기되었습니다. 즉, 이건 일부러 변환해보는 겁니다.)

2) 푸리에 급수를 복소지수함수 형태로 나타내기

1단계: 오일러 공식을 이용하면 cos x와 sin x를 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

\begin{align}
e^{i\theta} &= \cos \theta + i \sin \theta \\
e^{-i\theta} &= \cos \theta - i \sin \theta \\ \\
\cos \theta &= \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \\
\sin \theta &= \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}
\end{align}

위의 두 식을 더해서 정리하면 cos이 표현이 되고, 빼서 정리하면 sin이 표현이되죠!

2단계: 푸리에 급수에 오일러 공식 대입

이제 원래의 푸리에 급수 식에 있는 cos과 sin 항을 방금 유도한 지수 함수 형태로 교체합니다. 여기서 $ \theta = n\frac{\pi}{L}x $입니다.

\begin{align}

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \left(\frac{e^{i \frac{n\pi}{L}x} + e^{-i \frac{n\pi}{L}x}}{2}\right) + b_n \left(\frac{e^{i \frac{n\pi}{L}x} - e^{-i \frac{n\pi}{L}x}}{2i}\right) \right)

\end{align}

3단계: $e^{i\theta}$와 $e^{-i\theta}$항으로 묶기

이제 식을 $e^{i \frac{n\pi}{L}x}$항과 $e^{-i \frac{n\pi}{L}x}$항을 기준으로 다시 묶어줍니다.

\begin{align}

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \left(\frac{a_n}{2} + \frac{b_n}{2i}\right)e^{i \frac{n\pi}{L}x} + \left(\frac{a_n}{2} - \frac{b_n}{2i}\right)e^{-i \frac{n\pi}{L}x} \right)

\end{align}

분모에 있는 허수 i를 분자로 올리기 위해 분모와 분자에 i를 곱해주면 ($\frac{1}{i} = -i$), 식은 다음과 같이 정리됩니다.

\begin{align}

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \left(\frac{a_n - ib_n}{2}\right)e^{i \frac{n\pi}{L}x} + \left(\frac{a_n + ib_n}{2}\right)e^{-i \frac{n\pi}{L}x} \right)

\end{align}

여기서 sin과 cos을 하나의 복소지수함수로 만들면서 재밌게도, 푸리에 급수 수식에서 삼각함수 형태가 사라지는 대신 비슷한 모양($e^{i \frac{n\pi}{L}x}, e^{-i \frac{n\pi}{L}x}$)의 항이 생기는 것을 볼 수 있습니다.

$e^{i \frac{n\pi}{L}x}$를 다시 정리해보면 $e^{i \frac{\pi x}{L}\ n}$

$e^{-i \frac{n\pi}{L}x}$를 다시 정리해보면 $e^{i \frac{\pi x}{L}\ -n}$

여기서 우리는 양수 n을 가지는 $e^{i \frac{n\pi}{L}x}$를 '양수 인덱스', 음수 n을 가지는 $e^{-i \frac{n\pi}{L}x}$를 '음수 인덱스' 항이라고 부르겠습니다.

4단계: 복소 계수 $c_n$ 정의

이제 복잡한 계수 부분을 새로운 복소 계수 $c_n$으로 치환하여 식을 단순화합니다.

n=0:

$ c_0 = \frac{a_0}{2} $

n≥1 일 때 (양수 인덱스):

$ c_n = \frac{a_n - ib_n}{2} $

n≤-1 일 때 (음수 인덱스):

$ c_{-n} = \frac{a_n + ib_n}{2} \quad (n \ge 1) $

이제부터는 등식관계로 연결되어 있기 때문에 $c_n$만 가지고 연산을 진행할 것입니다.

즉, $a_n$, $b_n$을 당장은 고려하지 않을 것입니다. 그러나 등식으로 연결되어있으므로 $c_n$을 제대로 구해서 정리하면 후에 $a_n$, $b_n$도 깔끔하게 정리될 수 있겠죠?

이 새로운 계수들을 3단계의 식에 대입하면 다음과 같습니다.

\begin{align}

f(x) = c_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( c_n e^{i \frac{n\pi}{L}x} + c_{-n} e^{-i \frac{n\pi}{L}x} \right) \\

f(x) = c_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n e^{i \frac{n\pi}{L}x} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} c_{-n} e^{-i \frac{n\pi}{L}x} \\

\end{align}

5단계: 합(Summation) 범위 통합

위 식을 보면 n이 양수일 때의 합과 음수일 때의 합으로 나뉘어 있습니다. 이것을 하나의 합으로 합칠 수 있습니다.

- $ \sum\limits_{n=1}^\infty c_n e^{i\frac{n\pi}{L}x} $는 n이 1부터 ∞까지의 합입니다.

- $ \sum\limits_{n=1}^\infty c_{-n} e^{-i\frac{n\pi}{L}x} $에서 인덱스를 k=-n으로 바꾸면, n이 1,2,3,…로 변할 때 k는 -1,-2,-3,…로 변합니다. 따라서 이 합은 $ \sum\limits_{k=-1}^{-\infty} c_k e^{i\frac{k\pi}{L}x} $와 같습니다. k는 더미변수이므로 다시 n으로 바꿔써주면 $ \sum\limits_{n=-1}^{-\infty} c_n e^{i\frac{n\pi}{L}x} $

이것들을 $c_0$ 항과 모두 합치면, n이 -∞부터 ∞까지 모든 정수를 포함하는 하나의 합으로 표현할 수 있습니다.

\begin{align}

f(x) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{n\pi}{L}x}

\end{align}

이 식에 n=0을 대입하면, 바로 $c_0$가 나오고 그 외에는 위에서 정리한대로 양수 인덱스와 음수 인덱스를 합칠 수 있으므로 아주 깔끔하고 우아하게 수식을 단 하나의 항으로 나타낼 수 있게 됩니다.

6단계: 복소 계수 $c_n$의 적분 형태 유도

마지막으로, 계수 $c_n$을 $a_n$과 $b_n$을 거치지 않고 원래 함수 $f(x)$에서 바로 구할 수 있는 적분 형태로 유도합니다.

$c_n = \frac{a_n-ib_n}{2}\ (n\ge1) $에 원래 $a_n,\ b_n$의 적분 공식을 대입합니다.

(참고로 제가 위에서 등식으로 연결되어있어 $c_n$만 잘 정리해서 계산하면 나중에 $a_n$, $b_n$도 잘 정리될거라했죠? 여기서 '$c_{-n}$식으로는 안되냐!' 고 하면, 실제로 결과는 완전 똑같이 나온답니다!)

\begin{align}

a_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\cos\left(\frac{n\pi}{L}x\right) dx \quad (n=0, 1, 2, ...) \\

b_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right) dx \quad (n=1, 2, 3, ...) \\ \\

c_n &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\left(\frac{n\pi}{L}x\right)dx - i \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)dx \right) \\ &= \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) \left( \cos\left(\frac{n\pi}{L}x\right) - i\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right) \right) dx

\end{align}

여기서 괄호 안의 식은 오일러 공식에 의해 $e^{-i \frac{n\pi}{L}x}$ 와 같습니다. 따라서 $c_n$의 최종 형태는 다음과 같습니다.

\begin{align}

c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x)e^{-i \frac{n\pi}{L}x} dx

\end{align}

그리고 우리는 n이 양수인 것에서 출발했지만, 재밌게도 이렇게 계산된 $c_n$은 $ c_0 $도 포함한답니다.

아까 $c_0 = \frac{a_0}{2}$이었고, $a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) dx $이었죠.

풀어보면

$ c_0 = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) dx $가 되는데, 이건 아까 $c_n$식에서 n에 0을 대입하면 나오는 식과 동일합니다.

최종 결과

다시 정리하면, 복소 푸리에 급수(Complex Fourier Series)와 복소 푸리에 계수(Complex Fourier Coefficients)는

\begin{align}

f(x) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{n\pi}{L}x}\\

c_n &= \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x)e^{-i \frac{n\pi}{L}x} dx \quad (n = 0, \pm1, \pm2, ...)

\end{align}

입니다.

그리고 재밌게도 cos, sin을 통합하여 두개의 항을 하나의 항으로 나타내자, 급수의 영역이 더 늘어난 걸($(-\infty, -1)$ 구간이 추가되었죠?) 보실 수 있습니다.

사실상 항이 많은 것보다는 영역이 2배인게 좀 더 깔끔하니 훨씬 간결한 식이 되었습니다.

3) 음수 인덱스에 의해 생겨나는 음수 주파수

그러나 여기서 자세히 살펴보면... 주파수가 음수인게 있네요!? 이게 가능한 일인가요?

이 의문의 핵심은 실수 신호인 코사인파 하나를 만들기 위해 두 개의 복소지수 함수가 필요하다는 점에 있습니다.

오일러 공식으로 코사인 함수를 다시 살펴보겠습니다.

$ \cos(\omega t) = \frac{e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}}{2} = \frac{1}{2}e^{i\omega t} + \frac{1}{2}e^{-i\omega t} $

이 식을 해석하면 다음과 같습니다.

$e^{i\omega t}$: 복소 평면에서 반시계 방향(양의 방향)으로 회전하는 벡터를 나타냅니다. 이것이 바로 양의 주파수 (+ω) 성분입니다.
$e^{-i\omega t}$: 복소 평면에서 시계 방향(음의 방향)으로 회전하는 벡터를 나타냅니다. 이것이 바로 음의 주파수 (-ω) 성분입니다.

실수 세상의 단순한 코사인파(좌우 진동) 하나는, 복소 세상에서는 이 두 개의 반대 방향으로 회전하는 벡터(성분)가 합쳐져야만 만들어집니다. 두 벡터의 허수 부분(수직 방향)은 서로 상쇄되고, 실수 부분(수평 방향)만 남아 우리가 아는 진동이 되는 것이죠.

즉, 마이너스 주파수는 물리적으로 존재하지 않는 유령 같은 개념이 아니라, 실수 신호를 수학적으로 표현하기 위해 필연적으로 등장하는 짝(pair) 성분입니다.

4) 삼각함수로 나타낸 푸리에 급수에서는 음수 주파수가 안보이는데요?

원래의 푸리에 급수에서는 cos(nωt) 와 sin(nωt) 만 사용했습니다. 여기서는 주파수를 나타내는 n이 양수(n≥1)였죠.

마이너스 주파수 개념이 명시적으로 필요 없었던 이유는 코사인과 사인의 대칭성(우함수/기함수 성질) 때문입니다.

코사인은 우함수(cos(-x)=cos(x))이므로, 음수 주파수 성분은 양수 주파수 성분과 완벽히 동일하여 이미 표현에 포함되어 있었습니다.($a_n = c_n + c_{-n} $)
사인은 기함수(sin(-x)=-sin(x))이므로, 음수 주파수 성분은 양수 주파수 성분의 계수 부호를 바꾸는 것과 같아 그 효과가 계수에 흡수될 수 있었습니다.($b_n = i(c_n-c_{-n})$)

즉, 이 두 성질 덕분에 마이너스 주파수 성분은 양수 주파수 항 안에 그 효과가 '숨어' 있었던 셈입니다. 복소 푸리에 급수는 이 숨어있던 성분을 양과 음의 주파수로 명확하게 분리해서 보여주는 것입니다.

복소 푸리에 급수는 이렇게 숨겨져 있던 두 회전 성분을 명확하게 분리하여 보여주는 더욱 상세한 분석 방법인 것입니다.

따라서 이는 단순히 '항은 절반, 영역은 두 배'가 되는 표면적인 변환을 넘어, 합쳐져있던 '음의 주파수'와 '양의 주파수'를 더욱 자세하게 쪼개 볼 수 있는 방법까지 제공하는 매우 유용한 도구가 됩니다.

추가로 $c_n$과 f(x)가 real value만을 가지는 함수라고 했을 때 조금 재밌는 관계가 나오는데요, $c_n$을 켤레복소수로 만들면(=$c_{-n}$) real축에대해 대칭인 점을 얻을 수 있다고 했잖아요?

수식으로 써보면 $| c_n | = | c_{-n} |$이고 $ \arg(c_n) = -\arg(c_{-n}) $입니다.

즉 크기는 같고 위상이 반대라는 말이죠.

그리고 이것으로 재밌는 성질이 하나 도출되는데…

진폭은 우함수 성질, 위상은 기함수 성질을 가진다는겁니다!

그래서 사실 우리는 복소푸리에 급수에 대해 $(-\infty, \infty)$ 까지 계산을 수행하지만 사실은 한쪽만($(0, \infty)$) 수행해도 된다는 말이기도 합니다.(더 자세히는 들어가지 않겠습니다.)

5) 더 나아가기

근데 왠지 급수자체도 복소지수로 구해보고 싶지 않나요!?

사실 푸리에가 처음 제안한 방식은 삼각함수인 cos, sin으로 근사하는 방법이었고, 이것을 먼저 유도한 다음 복소지수로 넘어가는것이 사실 역서적으로나 개념적으로나 맞겠습니다만...

근데 왠지 아예 푸리에 급수 자체도 복소지수로 구해볼 수 있지 않을까 하는 도전정신이 일어나지 않나요?

일단 뭐니뭐니해도 우리를 가장 애먹였던 '직교성'만 잘 구할 수 있으면 사실 복소지수자체로 푸리에 급수를 구하는 것도 어렵지만은 않아보입니다.

핵심 아이디어는 주기 함수 $f(x)$를 'sin이나 cos그래프로 근사한다'는 개념이 아니라 '복소 평면에서 회전하는 벡터들의 합으로 표현하는 것'입니다. 각 벡터는 복소 지수 함수 $e^{i \frac{n\pi}{L}x}$로 나타낼 수 있습니다.

원래 삼각함수 푸리에 급수가 '원래 함수 그래프에 여러 파동의 모양을 맞춰보는' 느낌이었다면, 복소 푸리에 급수는 '회전 운동의 조합으로 원하는 궤적을 그리는' 느낌입니다. 즉, 복소 평면에서 각자의 속도로 회전하는 여러 벡터들을 조합하여, 그 끝이 최종적으로 함수 $f(x)$의 궤적을 따라가도록 만드는 것과 같습니다.

그리고 벡터의 덧셈 연산은 '평행사변형 법' 말고도 '삼각형 법' 즉, 한 벡터의 종점에 다른 벡터의 시점을 연결하는 방법도 있죠.

그래서 이 방법을 사용하면 최종 벡터의 끝이 한번쯤은 보았을 법 한 '그림그리는 펜'의 역할을 수행해서 그림도 그릴 수 있답니다!(물론 복소평면에서 그려지니까 함수 자체도 복소함수가 되어야겠죠?)

자, 이제 직접 구해봅시다.

1단계: 복소 푸리에 급수 형태 가정

먼저, 주기 2L을 갖는 함수 $f(x)$가 다음과 같은 복소 지수 함수의 무한합으로 표현될 수 있다고 가정합니다. 여기서 c_n은 각 주파수 성분의 크기와 위상을 나타내는 복소 계수입니다.

$ f(x) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{n\pi}{L}x} $

이 부분도 사실은 '가정'입니다.

우리가 처음에 삼각함수로 푸리에 급수를 나타낼 때도 원래 처음엔 '이렇지 않을까?'하면서 식을 만들었었죠.

뭐 사실 복소 푸리에 급수 형태를 처음부터 생각해 낸다는건, 삼각함수 푸리에 급수 형태를 생각해내는 것보다 훨씬훨씬 어려울 겁니다.

그러나 일단 삼각함수 푸리에 급수의 도움을 받던, 어찌됐던 일단 '가정'에 성공했다고 치고 진행해봅시다.

이제 우리의 목표는 이 식에서 계수 $c_n$을 구해내는 것입니다.

2단계: 복소 지수 함수의 직교성(Orthogonality) 활용

계수 $c_n을$ 분리해내기 위해 복소 지수 함수의 중요한 성질인 직교성을 이용합니다. 두 복소 지수 함수 $e^{i \frac{n\pi}{L}x}$와 $e^{i \frac{m\pi}{L}x}$를 한 주기($-L$부터 $L$까지)에 대해 곱해서 적분하면, 두 주파수가 같을 때(n=m)만 0이 아닌 값이 나옵니다.

단, 내적을 계산할 때는 한쪽에 켤레 복소수(Complex Conjugate)를 취해주어야 합니다. 즉, $e^{i \frac{m\pi}{L}x}$의 켤레 복소수인 $e^{-i \frac{m\pi}{L}x}$를 곱합니다.

$\int_{-L}^{L} e^{i \frac{n\pi}{L}x} \cdot e^{-i \frac{m\pi}{L}x} dx = \int_{-L}^{L} e^{i \frac{(n-m)\pi}{L}x} dx = \begin{cases} 2L & \text{if } n=m \\ 0 & \text{if } n \neq m \end{cases}$

해당 결과는 직접 적분을 해봐도 되고, 뒤에 나올 '상대속도'개념으로 생각해도 명확하죠!

이 성질 덕분에 무한한 항들의 합에서 우리가 원하는 특정 계수($c_m$)만 정확히 "뽑아낼" 수 있습니다.

여기서 살짝 켤레복소수의 의미를 살펴보면,

1) 대수적으로는 '허수'를 제거하기위해 사용합니다.
더하면 2배의 실수만 나오고, 곱하면 각 성분을 거듭제곱한 것들끼리 더한 실수만 나오죠.
2) 기하학적으로는 복소수의 '원점으로 부터의 길이'를 나타냅니다.
각 성분을 피타고라스 정리로 정리하면 원래 복소수에 켤레복소수를 곱한 값이 나오죠
3) 동역학에서 실제로 원운동을 하는 점으로 본다면, 반대방향의 회전을 나타냅니다.

그리고 재밌게도 복소지수에서 곱셈은 길이(계수)의 곱과 회전각도(지수)의 덧셈으로 나타나죠.

그래서 복소지수에 같은 켤레복소수를 곱하는 행위는 항상 회전각도를 0으로 만들어서 결과가 항상 '실수'가 나오게 하는 것 입니다.

그럼 만약에 회전 속도가 다른 두 복소수는 어떨까요?

켤레복소수는 '반대방향의 회전'을 뜻한다고 하였습니다.

즉, 이말은 A * (B*)를 곱하면 그 회전 속도는 '상대속도'개념이 됩니다. A에서 B를 봐도 되고, B에서 A를 봐도 되지만, 어찌됐든 그 상대속도가 0이면, 두 값은 어찌됐든 특정한 값(벡터의 합)을 가지고 회전한다는 뜻이고 상대속도가 0이 아니라면 한 주기동안 모든 방향을 공평하게 가리킨다 = 원운동이므로 평균하면 0이 된다 = 내적 개념에서 둘은 비슷한 점이 단 하나도 없다.

가 됩니다. 그래서 켤레복소수를 써야만 하는 거죠.

3단계: 특정 계수($c_m$) 분리하기

1단계에서 가정한 식의 양변에 특정 주파수 성분(m)에 해당하는 켤레 복소수 $e^{-i \frac{m\pi}{L}x}$를 곱해줍니다.

$f(x) \cdot e^{-i \frac{m\pi}{L}x} = \left( \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{n\pi}{L}x} \right) \cdot e^{-i \frac{m\pi}{L}x}$

이제 이 식의 양변을 한 주기(-L부터 L까지)에 대해 적분합니다.

$ \int_{-L}^{L} f(x) e^{-i \frac{m\pi}{L}x} dx = \int_{-L}^{L} \left( \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{n\pi}{L}x} e^{-i \frac{m\pi}{L}x} \right) dx $

우변의 적분과 합계 기호의 순서를 바꿀 수 있으므로, 식은 다음과 같이 정리됩니다.

$\int_{-L}^{L} f(x) e^{-i \frac{m\pi}{L}x} dx = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n \int_{-L}^{L} e^{i \frac{n\pi}{L}x} e^{-i \frac{m\pi}{L}x} dx$

4단계: 직교성을 적용하여 계수($c_n$) 공식 유도

이제 2단계에서 본 직교성을 우변에 적용할 차례입니다. 우변의 적분 값은 n=m일 때를 제외하고는 모두 0이 됩니다. 따라서 무한히 많던 합계(∑) 항들이 모두 사라지고 n=m인 단 하나의 항만 남게 됩니다.

$ \int_{-L}^{L} f(x) e^{-i \frac{m\pi}{L}x} dx = c_m \cdot (2L) $

이제 이 식을 우리가 구하려던 계수 $c_m$에 대해 정리합니다.

$c_m = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) e^{-i \frac{m\pi}{L}x} dx$

여기서 인덱스 m은 특정 항을 지칭하기 위해 사용한 것이므로, 일반적인 인덱스 n으로 다시 바꾸어 써주면 복소 푸리에 계수를 구하는 최종 공식을 얻게 됩니다.

결론

복소 푸리에 급수

$ f(x) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{n\pi}{L}x} $

복소 푸리에 계수

$ c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) e^{-i \frac{n\pi}{L}x} dx \quad (n = 0, \pm1, \pm2, ...)$

삼각함수로 나타낸 푸리에 급수에서의 변환과 똑같죠?

6) 마무리

와.. 오늘은 진짜 긴 호흡의 포스팅이었습니다.

아무래도 복소지수함수로 표현하다보니, 수식적인 부분도 바꿔야하고 더욱 큰 부분은 개념적으로 더 자세하게 살펴볼 것이 많아져서 그것들을 짚어보느라 좀 많이 길어진 것 같습니다.

진짜 여기까지 따라오셨으면 또 큰 산을 하나 넘은거나 마찬가집니다.

'개념의 확장'

이게 제일 어려운건데, 벌써 삼각함수로 나타낸 푸리에 급수에서 한번, 해석에서 한번, 변환에서 한번, 그리고 복소지수함수로의 변환에서 한번...

여러번의 개념의 확장을 거쳐 여기까지 당도하신거잖아요!

앞으로 남은 포스팅은 몇개 되지만, 지금까지보다 더 큰 개념의 확장은 없을 겁니다.(소소하게는 있겠지만요)

이미 여러분께서 확장하신 개념의 크기가 앞으로의 포스팅도 전부 커버할 것이라고 봅니다!

고지가 얼마 안남았습니다!

조금만 힘냅시다!

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📘 푸리에 오디세이(Fourier odyssey) 시리즈

0) 서론

아 드디어 기나긴 여정을 지나 푸리에 변환(Fourier Transform)이란 곳에 도달했습니다!

저번 포스팅의 마무리에서 언급한 것처럼 더이상 수식적 변화를 다루지는 않을 겁니다.(아주 약간의 사소한 변화는 있습니다)

즉, 푸리에 변환이라는건 푸리에 적분을 바탕에 깔고, 급수->해석 으로 패러다임 전환을 했던 것과 같은 느낌을 가지는 그런 것입니다.

1) 푸리에 변환

그럼 도대체 푸리에 변환이란 무엇일까요?

엄밀히 따지자면 푸리에 적분과 수식 자체는 같습니다.(애초에 푸리에 변환은 '개념'입니다. 수식을 가지는 '도구'는 푸리에 적분입니다)

그런데 뭐가 다르냐구요? 보는 대상이 다릅니다.

푸리에 적분까지는 그 태생인 푸리에 급수의 영향(원 함수를 근사하기)을 벗어나지 못했습니다.

따라서 푸리에 적분도 보면 맨 앞에 원래 함수 'f(x) ='이 항상 붙습니다.

그러나 우리는 이제 여기서 계수들을 따로 떼서 독립적인 주파수함수로 보는겁니다.

따라서 '푸리에 변환'이라고 하면 '메인 포인트'가 '원래함수 f(x)'를 '주파수 영역으로 보기'가 되는거고, 반대로 푸리에 역변환을 해야 f(x)를 근사하기 즉, 푸리에 적분이 되는 겁니다.

즉, 이전까지 급수, 적분은 '원 함수에 근사를 시켰더니 그 계수가 주파수의 정보를 주더라' 라는 개념이었으면,

푸리에 변환은 목적 자체가 '주파수의 정보를 얻기위해 원함수를 조작하자'로 패러다임을 변환시킨거죠.

한 문장으로 정리됩니다.

개념적인 내용이라 여러번 반복해서 다시 정리하자면

푸리에 적분 (역변환): f(x)라는 함수는 보통 시간(t) 또는 공간(x) 영역의 함수입니다. 푸리에 적분은 주파수 영역의 정보를 이용해 시간/공간 영역의 원래 함수 f(x)를 '재구성'하는 데 초점을 맞춥니다.
f(x) = ∫ [주파수 정보] dω
푸리에 변환: 반면 푸리에 변환은 시간/공간 영역의 함수 f(x)를 **'분해'**해서 그 안에 어떤 주파수(ω) 성분이 얼마나 들어있는지, 즉 주파수 영역의 함수 F(ω)를 얻어내는 데 집중합니다.
F(ω) = ∫ f(x) [변환식] dx

사실, 급수나 적분과는 다르게 약간 추상적인 내용이므로 비유를 하나 들어보겠습니다.

푸리에 변환을 이해하는 가장 좋은 비유는 빛을 분해하는 프리즘입니다.

원래 함수 f(t): 여러 색이 합쳐진 백색광입니다. 겉으로 봐서는 어떤 색이 얼마나 섞여 있는지 알 수 없습니다. (시간 영역)
푸리에 변환 $\mathcal{F}(f(t))$: 프리즘의 역할을 합니다. 백색광을 통과시켜 색깔별로 쫙 펼쳐줍니다.
변환된 함수 F(ω): 프리즘을 통과해 나온 무지개(스펙트럼)입니다. 빨간색은 얼마나, 파란색은 얼마나 강하게 포함되어 있는지 명확하게 보입니다. (주파수 영역)
푸리에 역변환 $\mathcal{F}^{-1}(F(\omega))$: 프리즘을 거꾸로 통과시키는 것과 같습니다. 펼쳐진 무지개를 다시 모아 원래의 백색광으로 만듭니다.

이처럼 푸리에 변환은 그냥 보기에는 복잡한 하나의 신호(백색광)를 그 본질적인 재료(각 색깔의 빛)들로 분해해서 분석하는 강력한 도구인 셈입니다.

그리고 진짜 재밌는 부분은 이렇게 관점을 바꿈으로써, 단순한 계수를 만들어내는 함수가 아닌 시공간에 대한 원함수 f(x)를 다른 영역의 함수 F(ω)랑 1:1로 대응을 시킬 수 있었다는 겁니다.(그 전까지는 그냥 계수를 만들어내는 함수 그 이상도 이하도 아니었기 때문에 이런 생각을 못했던거죠. 푸리에 급수에서 해석으로의 관점변화와 유사합니다)

즉, 말 그대로 시공간에 대한 함수 f(x)를 주파수 스펙트럼에 대한 함수 F(ω)로 '변환'하는 거죠.(그리고 이 '변환'이라는건 하나의 '규칙' 또는 '연산자'로 본다는 의미입니다.)

2) 수학적으로 무슨 차이가 있는가?

수학적 계산(적분 공식)은 본질적으로 동일합니다. 하지만 이 개념적 전환이 다음과 같은 거대한 차이를 만들어냅니다.

쌍대성(Duality)의 발견: '시간 영역'과 '주파수 영역'이라는 두 개의 독립적인 세계가 있으며, 푸리에 변환과 역변환을 통해 서로를 오갈 수 있다는 '쌍대성' 개념이 확립되었습니다. 이는 한쪽 세계에서 풀기 어려운 문제를 다른 쪽 세계에서 쉽게 풀 수 있는 길을 열었습니다.(컨볼루션(Convolution) 정리가 대표적입니다. 시간영역에서의 두 함수의 복잡한 컨볼루션 연산은 주파수영역으로 푸리에 변환 한 두 함수를 단순히 곱해서 역변환한 결과와 같다는 정리입니다.)
연산자(Operator)로서의 변환: '변환'이라는 이름을 붙임으로써, 이 과정은 단순한 공식이 아니라 함수에 작용하는 하나의 수학적 연산자로 취급되기 시작했습니다. 이 연산자는 선형성(Linearity) 같은 중요한 성질을 가지며, 이를 통해 시스템 분석, 미분방정식 풀이 등 훨씬 복잡하고 추상적인 문제에 체계적으로 적용할 수 있게 되었습니다.
분석의 대상화: 스펙트럼 자체를 주인공으로 만들면서, "이 신호는 저주파 성분이 강하다", "이 시스템은 특정 주파수를 차단한다"와 같이 주파수 관점에서 세상을 분석하고 해석하는 것이 자연스러워졌습니다.

결론적으로, 사인/코사인 관점에서의 발전은 수학 공식의 변화가 아닌, 공식을 해석하는 패러다임의 전환입니다. 함수를 재구성하는 '도구'였던 계수 함수를, 함수를 분석하는 '결과물'이자 독립적인 '스펙트럼 함수'로 바라보기 시작한 것이 바로 푸리에 적분에서 푸리에 변환으로의 핵심적인 지적 도약입니다.

3) 수식적으로는 어떻게 정의 되는데?

푸리에 적분과는 수식적으로 같다고 하였으나, 아주 약간 다른 부분이 있습니다.

푸리에 적분에서는

\begin{align}

f(x) &= \int_{0}^{\infty} [A(\omega)\cos(\omega x) + B(\omega)\sin(\omega x)] d\omega \\

A(\omega) &= \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega t) dt \\

B(\omega) &= \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(\omega t) dt

\end{align}

이와같이, 계수 함수 안에 $ \frac{1}{\pi} $을 포함하였으나, 푸리에 변환에서는 '심플 이즈 베스트'원칙에 따라 이 상수부분이 없는 걸 채택합니다. 즉,

\begin{align}

F_c(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega t) dt \\

F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(\omega t) dt

\end{align}

이렇게 정의합니다. 여기서 Fc와 Fs는 cos에 대한 푸리에 변환, sin에 대한 푸리에 변환을 의미합니다.

따라서 푸리에 역변환은

\begin{align}

f(t) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} [F_c(\omega)\cos(\omega t) + F_s(\omega)\sin(\omega t)] d\omega

\end{align}

이렇게 쓰여지겠죠?

여기서도 관점이동이 보이시나요? 단순 푸리에 적분일때는 어떻게든 $ \frac{1}{\pi} $를 안쪽으로 넣어서 전체 식 자체가 '이쁘게 보이게'만들고, 푸리에 변환일때는 각각의 주파수 함수에 집중해서 거기서 $ \frac{1}{\pi} $를 빼는걸요!

4) 용어정리

자, 이제 우리는 '푸리에 ~~~'이라고 하는 모든 용어를 알게 되었습니다.

자세히 풀어써보자면 포스팅 순서대로, 푸리에 급수(Fourier Series), 푸리에 해석(Fourier Analysis), 푸리에 적분(Fourier Integral), 푸리에 변환(Fourier Transform)의 네 가지 용어죠.

자 여기서 개념적 이해를 돕기 위해 제가 약간 순서를 섞어 놓았는데요
(말그대로 '약간!'입니다. 혹시 깨달으셨나요? 포스팅이 개념-수학-개념-수학-... 처럼 단짠단짠, 밀당으로 구성되었다는 사실!)

여기에서 각 용어의 범위를 정확히 알려드리도록 하겠습니다.

1] 푸리에 해석(Fourier Analysis)

사실상 푸리에 해석이라는 것이 제일 최상위 개념입니다.

신호/함수를 주파수 성분으로 분해하여 분석하는 모든 이론과 학문 분야 자체를 의미합니다.

실제 포스팅에서도 개념상 큰 패러다임 전환이 있었던 파트였죠.

그리고 이 '최상위 개념'이란걸 표현하기 위해 사실상 푸리에 급수 바로 뒤에 배치해서 "푸리에 급수만으로도 '푸리에 해석'이란게 가능해요(=더 상위 개념으론 당연히 가능하겠죠?)"라는 걸 보여드리려고 했는데, 잘 전달되었는가 모르겠습니다!

2] 푸리에 급수(Fourier Series)

우리가 제일 처음 살펴보았듯이, 말 그대로 '푸리에 ~~~'라는 푸리에 오디세이(대장정)를 시작하는 사실상 제일 첫걸음입니다.

시작은 주기함수로 임의의 함수를 근사하려는 목적이었지만, 그 이면엔 '주파수 차원'을 엿볼 수 있는 강력한 개념을 숨기고 있었습니다.

'구간'이 정해져있어 주기함수를 다루는 방법론이 되며, '급수'라는 말에 걸맞게 이산(Discrete) 신호를 출력하게 됩니다.(이산 스펙트럼)

역사적으로 '급수'라는 말 자체가 '방법(도구)'과 '결과(개념)'를 모두 포함하고 있어(테일러 급수, 매클로린 급수 등 전부 '무한합의 방법'과 그 결과로 나타나는 '결과'를 한번에 통칭하죠) 푸리에 급수라는 말은 '근사하는 방법(도구)'과 '주파수 영역으로 분해(개념)'라는 두 가지 개념을 모두 포함하고 있습니다.

3] 푸리에 적분(Fourier Integral)

바로 이전 포스팅에서 살펴보았듯이, 푸리에 급수의 한계(주기)를 돌파하기위해 '비주기'으로 개념을 확장한 하나의 수학적 '도구'입니다.

푸리에 급수로 근사하기 어려운 비주기 함수를 근사하려는 목적이었죠.

이 푸리에 적분을 수행하면, 비주기 함수에 대한 '완벽한 수학적 참값'을 얻어낼 수 있으며, 연속 스펙트럼을 출력합니다.

4] 푸리에 변환(Fourier Transform)

사실 이 용어가 하나 추가되면서 엄청난 혼란을 주게 됩니다.

그리고 그 혼란의 근원은 푸리에 급수에서는 합쳐져있던 도구와 개념이 분리되어 표현된 용어이기 때문이죠.

주기함수에 대한 이산적인 결과를 도출하는 도구와 개념이 푸리에 급수라는 용어에 한꺼번에 포함되어 있었다면,

비주기함수에 대한 연속적인 결과를 도출하는 도구는 '푸리에 적분'으로 개념은 '푸리에 변환'으로 분리되어 표현되어 있습니다.

(정확히는 두 용어에서 수학식 자체는 공유를 하지만, '근사'에 목적을 둔 '푸리에 적분'식 자체는 '푸리에 역변환'이죠)

그럼 왜 하필 '푸리에 변환'이라고 개념을 따로 정의를 했을까요?(이번 포스팅의 주제로 열심히 설명하였으나 다시 한 번 정리해봅시다!)

일단 이 '푸리에 변환'이라고 하는 개념을 밑에서 받쳐주는 도구인 '푸리에 적분'을 사용해 보니, 단순히 계산 툴을 넘어 시간 영역의 함수 $f(t)$를 주파수 영역의 함수 $F(\omega)$와 대응(mapping)시키고, 이에 따라 하나의 연산(operation)을 만들어 낼 수 있다는 '가능성'이 발견되었습니다.

그리고 이 '가능성'을 더욱 심화 발전시켜, 이 $t \leftrightarrow \omega$ 영역을 오가는 관계 전체와 그 관계에서 파생되는 모든 중요 성질(예: 선형성, 시간 이동, 주파수 이동, 그리고 가장 중요한 컨볼루션 정리(Convolution Theorem) 등)을 모두 포함하는 더 크고 확장된 개념을 정립하게 되었죠.

그리고 이 '더 큰 개념'에 '푸리에 변환(Fourier Transform)'이라는 이름을 붙여준 겁니다.

말 그대로 "'시간'과 '주파수' 각 영역을 '변환'시킨다"는 개념을 명확히 표현한 것입니다.

5) 마무리

이로써 '푸리에 ~~~'에 해당하는 모든 용어를 전부 다루어, 길고 긴 푸리에 오디세이(대장정)를 일단락 하는 포스팅이었습니다.

사실상 여기까지 따라오셨으면, 개념상 '푸리에 ~~~'의 모든 개념을 알게되신 겁니다!

다만, sin, cos의 삼각함수가 나오면 항상 따라나오는 그 분(오일러)의 발견에 따라 수식을 어떻게 다르게 나타낼 수 있는지 그 방법을 알아보고, 마지막 푸리에 변환에서 '쌍대성'과 관련해서 더욱 발전한 개념 바로 이 두 가지만 더 살펴보면 이 길고 긴 푸리에 오디세이가 끝나게 됩니다.

기착지와 같은 포스팅이라 지금까지의 대단원을 정리해보고, 앞으로 남은 부분을 살펴보았습니다.

다음 포스팅부터는 진짜 수식의 향연입니다.. 마음 단단히 먹고 다시 끝을 향해 달려가봅시다!

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푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 적분(Fourier Integral)

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0) 서론

이로써 푸리에 급수를 통해서 '임의의 함수'를 근사하던 것(푸리에 급수)에서 부터 출발해서,

오히려 반대로 그 '임의의 함수'를 주파수별로 '분해' 할 수 있고, 이를 바탕으로 임의의 함수를 주파수 별로 분석 할 수 있다는 것을 알았습니다.(푸리에 해석(분해))

그리고 조금만 더 생각해보면, 이 주파수별로 분해된 정보들(진폭, 위상)로 거꾸로 '임의의 함수'를 다시 '합성' 할 수 있다는 걸 아실 수 있겠죠?(푸리에 해석(합성) 혹은 푸리에 역해석)

자, 여기까지가 저번 포스팅에서 다루었던 내용입니다.

1) 푸리에 급수의 한계

여기서 푸리에 급수는 '임의의 함수'를 근사하는 도구라고 했습니다.

그리고 특히 그 '임의의 함수'가 '주기가 2L인 함수'일 경우 이 푸리에 급수는 더욱더 강력해지죠.

주기성을 가지는 삼각함수로 근사하는 방식이니 '초기함수'가 애초에 주기성을 가지면 더할 나위 없이 좋겠죠?

따라서 주기가 2L인 함수를 [-L, L] 구간에서 분석할 경우, 푸리에 급수로 유의미한 푸리에 계수들을 얻어낼 수 있었습니다.

그리고 마찬가지로 0~L구간에서 비주기 함수더라도 -L~L구간으로 확장시키면 주기함수가 되니까 이또한 유의미한 푸리에 계수를 뽑아낼 수 있...을 거라 생각했는데.. 비주기 함수를 강제로 주기함수로 만들어버리면

1) 내가 정한 L값에 따라 주파수 성분이 멋대로 바뀌고(기본주파수는 L과 관련이있죠?)
2) 억지로 자른 경계면(대표적으로 x=0)의 불연속 문제(Gibbs phenomenon:불연속점이 있는 함수를 푸리에 급수로 근사할 때, 불연속점 주변에서 오버슈팅(overshooting)이 발생하는 현상) 때문에 있지도 않던 '유령' 주파수들이 잔뜩 튀어나옵니다
3) 더불어 단 한번만 있는 신호였는데도 2L주기를 가지고 무한히 반복하는 신호처럼 호도하기까지하죠.

결국 이렇게 '억지로'만들어낸 비주기 함수의 푸리에 급수는 0~L구간에서의 그래프 '근사'에는 성공하지만, 반대로 유의미한 '계수 추출' 즉 '분석'에는 완전히 실패하게 됩니다.

주파수로 분해해볼 수 있는 과실을 맛봤던 사람들이, 과연 포기했을까요? 아니면 어떻게 해서든 이 비주기함수도 주파수 분석이 가능한 방법을 만들어냈을까요?

정답은 뭐 당연히 후자겠죠.

왜냐하면 현실 세계의 수많은 중요한 신호들—한 번의 충격, 짧은 음성, 순간적인 금융 데이터—가 모두 비주기 함수였기 때문입니다.

그리고 이것이 바로 푸리에 적분(Fourier Integral)의 탄생설화입니다.

2) 푸리에 적분이란?

그럼 푸리에 적분은 이걸 어떻게 해결했을까요?

지금 제시된 세가지 문제 모두 인위적인 경계면 -L, L로 한정하는게 문제였습니다.

그렇다면 문제는 매우 간단해집니다.

그냥 이 주기를 없애버리면 됩니다.

어떻게요? 주기를 무한대로 보내버리면 이 비주기함수는 -무한대~무한대 전체 구간을 하나의 거대한 '주기'로 간주하는 것입니다!

그리고 이 '주기를 무한대로 보낸다'는 단순하지만 대담한 아이디어 하나가, 푸리에 해석의 세계를 완전히 바꾸어 놓습니다. 띄엄띄엄 떨어져 있던 주파수들은 촘촘한 연속체로 변하고, 덧셈 기호(∑)는 적분 기호(∫)에게 자리를 내주게 되죠.

즉, 말 그대로 이산적인 푸리에 급수(∑)에서 무한의 개념을 가진 연속적인 푸리에 적분(∫)으로 변화가 일어난 겁니다.

그럼 지금까지 기본적으로 왜 푸리에 급수에서 푸리에 적분으로 개념이 확장되게 되었는지 알아보았으면, 실제로 수식으로 이것을 따라가 볼까요?

3) 수식으로 살펴보기

푸리에 급수는 다음과 같이 완성했습니다.

\begin{align}

f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos (\frac{n \pi}{L}x) \ + \ b_n \sin (\frac{n \pi}{L}x) ) \\

a_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\cos\left(\frac{n\pi}{L}x\right) dx \quad (n=0, 1, 2, ...) \\

b_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right) dx \quad (n=1, 2, 3, ...)

\end{align}

이제 이 푸리에 급수를 적분으로 바꿔보죠! 차근차근 따라오시면 됩니다!

1단계: 계수를 급수 식에 대입

위 계수 공식을 원래의 급수 식에 대입합니다. (적분 변수는 원 푸리에식의 x와의 혼동을 피하기 위해 t로 사용합니다.)

$ f(x) = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)dt + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left[ \left(\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) \cos(\frac{n\pi}{L}t) dt\right)\cos(\frac{n\pi}{L}x) + \left(\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(t) \sin(\frac{n\pi}{L}t) dt\right)\sin(\frac{n\pi}{L}x) \right] $

적분을 밖으로 빼내어 정리하면 다음과 같아집니다.

$ f(x) = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)dt + \frac{1}{L} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \int_{-L}^{L} f(t) \left[ \cos(\frac{n\pi}{L}t)\cos(\frac{n\pi}{L}x) + \sin(\frac{n\pi}{L}t)\sin(\frac{n\pi}{L}x) \right] dt $

삼각함수의 덧셈정리 cos(A−B)=cosAcosB+sinAsinB를 이용해 괄호 안의 식을 간단히 만듭니다.

$ f(x) = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)dt + \frac{1}{L} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \int_{-L}^{L} f(t) \cos\left(\frac{n\pi}{L}(t-x)\right) dt $

2단계: 주파수 변수 도입 및 극한 적용

이제 주기를 무한대로 보내는 과정(L→∞)을 적용합니다.

각주파수 $\omega_n = \frac{n\pi}{L}$와 주파수 간격 $\Delta\omega = \frac{\pi}{L}$를 정의합니다.

이로부터 $\frac{1}{L} = \frac{\Delta\omega}{\pi}$를 얻습니다.

이 관계를 위 식에 대입합니다.

$ f(x) = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)dt + \frac{1}{\pi} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left[ \int_{-L}^{L} f(t) \cos(\omega_n(t-x)) dt \right] \Delta\omega $

이제 극한 L→∞를 취합니다.

첫 번째 항: 함수 $f(x)$가 절대적분 가능하다면($\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt < \infty$), L→∞일 때 함수의 평균값인 첫 번째 항은 0으로 수렴합니다.
두 번째 항: 합(summation)은 리만 합의 정의에 따라 적분(integral)으로 바뀝니다.
- $\sum\limits_{n=1}^\infty \rightarrow \int_0^\infty $ [n은 '순서'이고 적분구간은 $\omega$의 '값'이므로 n=1 → 적분구간 0으로 바뀝니다]
- $\Delta \omega \rightarrow d \omega $
- $ \omega_n \rightarrow \omega $
- 적분 구간 [−L, L] → [−∞, ∞]

따라서 식은 다음과 같이 변환됩니다.

$ f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega(t-x)) dt \right] d\omega $

3단계: 푸리에 적분 공식 유도

위 식은 푸리에 적분의 한 형태입니다. 여기서 다시 삼각함수 덧셈정리 $\cos(\omega(t-x)) = \cos(\omega t)\cos(\omega x) + \sin(\omega t)\sin(\omega x)$를 사용하여 식을 전개하면 최종적인 푸리에 적분 공식을 얻을 수 있습니다.

3-1단계: 삼각함수 덧셈정리 적용

가장 안쪽에 있는 cos 항을 분리하는 것이 목표입니다. 이를 위해 삼각함수의 덧셈정리 공식을 사용합니다.

사용할 공식: cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB
(여기서 A = ωt, B = ωx로 치환합니다.)

이 공식을 cos(ω(t-x))에 적용하면 다음과 같이 전개됩니다.

$ \cos(\omega(t-x)) = \cos(\omega t)\cos(\omega x) + \sin(\omega t)\sin(\omega x) $

이 전개된 식을 원래의 적분 식에 다시 대입합니다.

$ f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \left( \cos(\omega t)\cos(\omega x) + \sin(\omega t)\sin(\omega x) \right) dt \right] d\omega $

3-2단계: 안쪽 적분 분리 및 변수 분리

이제 대괄호 [...] 안의 적분을 두 부분으로 나눕니다. 적분 변수는 t이므로, t와 무관한 항들은 적분 기호 밖으로 빼낼 수 있습니다.

먼저 f(t)를 괄호 안으로 분배합니다.

$ \int_{-\infty}^{\infty} \left( f(t)\cos(\omega t)\cos(\omega x) + f(t)\sin(\omega t)\sin(\omega x) \right) dt $
적분의 성질에 따라 두 개의 적분으로 분리합니다.

$ \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\cos(\omega t)\cos(\omega x) dt + \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\sin(\omega t)\sin(\omega x) dt $
각 적분에서 t에 무관한 항(cos(ωx)와 sin(ωx))을 적분 기호 밖으로 꺼냅니다.

$ \cos(\omega x) \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\cos(\omega t) dt + \sin(\omega x) \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\sin(\omega t) dt $

3-3단계: 최종 공식 정리 및 A(ω), B(ω) 정의

위에서 정리한 식을 다시 원래의 전체 식에 대입합니다.

$ f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \left[ \cos(\omega x) \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\cos(\omega t) dt + \sin(\omega x) \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\sin(\omega t) dt \right] d\omega $

너무 식이 길어지니 푸리에 급수처럼 cos과 sin에 대한 계수 형태로 다시 정리해보면,

\begin{align}

f(x) &= \int_{0}^{\infty} [A(\omega)\cos(\omega x) + B(\omega)\sin(\omega x)] d\omega \\

A(\omega) &= \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega t) dt \\

B(\omega) &= \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(\omega t) dt

\end{align}

이것이 삼각함수 형태의 푸리에 급수에서 직접 유도된 푸리에 적분(Fourier Integral)입니다.

이산적인 합 ∑이 연속적인 적분 ∫으로, 이산적인 계수 $ a_n,\ b_n $이 연속적인 함수 $A(\omega), B(\omega)$로 바뀐 것을 확인할 수 있습니다.

4) 마무리

네, 이렇게 '푸리에 급수'에서 '푸리에 적분'으로 확장되는 과정을 살펴보았습니다.

다시 정리해보자면,

푸리에 급수를 여러 난관을 헤쳐가며 만들었지만,
그 이후에 '구간설정의 문제'로 발생하는 여러 문제들을 해결하기위해,
이산적인 급수를 연속적인 적분으로 확장하였다

로 정리해 볼 수 있겠습니다.

다음 포스팅 주제는 바로 대망의 '푸리에 변환(Fourier Transform)'!

그러나 사실 거창한건 아니고 '푸리에 해석(Fourier Analysis)'처럼 약간의 개념적 변화를 다루게 됩니다.(즉 수식은 딱 여기 쓴 것 까지!)

어찌됐든 다음편도 재밌을 예정이니 기대해주세요!

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푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 해석(Fourier Analysis)

📘 푸리에 오디세이(Fourier odyssey) 시리즈

0) 서론

이로써 저번까지 푸리에 급수에 대해서 완벽하게 알아보았습니다.

그렇게 '특정 구간내에서 정의된 임의의 함수도 삼각함수로 근사할수 있지롱!'에서 끝나는 것 같았는데...

1) 푸리에.. 해석...???

이 푸리에 급수를 보던 사람들이 또 다른 생각을 반짝이기 시작합니다.

이전에 직교성에서도 알아봤듯이 직교하는 두 함수는 두개의 '축'이라고 볼 수도 있다고 했잖아요?

그리고 두개의 축이 각자 어느정도인지만 정해주면 그 공간상에서 모든 점을 표현할 수도 있다고 했습니다.

그 말인 즉슨 임의의 주기함수도 sin과 cos의 조합으로 만들 수 있다는 셈이 됩니다.

더불어 주파수가 다른 sin과 cos도 서로 직교한다고했으니, 이 개념까지 더하면

'특정 주파수를 가지는 임의의 순수 정현파(pure sinusoid wave)를 만들어낼 수 있다'가 됩니다.

여기서 정현파(sinusoid wave)는 sin, cos과 같은 물결파(단일 주파수 파형(pure single-frequency wave))를 말합니다.

그리고 이 기본 주파수의 모든 정수배를 다 더하고, 각 항에 해당하는 '푸리에 계수'를 곱해주게 되면 결과적으로 독특한 파형을 나타내게 되고, 이게 결국 특정 구간에서 임의의 함수를 근사해 내게 되죠.

여기서 관점을 조금만 바꿔보면 푸리에 급수는 이제 단순히 '임의의 함수'를 근사하는데에서 멈추지 않고, '임의의 함수'를 주파수별로 '분해'까지 할 수 있다는 걸 알게된거죠!

그리고 그 주파수별 분해는 결국 cos과 sin의 계수인 $a_n$과 $b_n$에 의해 가능해집니다.

이것을 푸리에 해석이라고 합니다.

이 강력한 관점의 전환은 세상을 바꾸어 놓았습니다.

예를 들어, 오디오 이퀄라이저(EQ)는 소리라는 복잡한 파형을 푸리에 해석으로 주파수별로 분해한 뒤, 특정 주파수(저음, 고음 등)의 진폭을 조절하고 다시 합치는 원리입니다.

MP3 압축은 사람이 잘 듣지 못하는 주파수 성분을 찾아내 진폭을 줄여 데이터 크기를 줄이는 기술이죠.

즉, 시간의 흐름 속에서는 파악하기 힘든 신호의 '특성'을 주파수 세계에서는 명확히 볼 수 있게 된 것입니다.

2) 이미지로 생각해보기

단위원에서 cos nx축과 sin nx축을 생각해봅시다.

푸리에 해석은 다음 두 가지 핵심 정보를 알려줍니다.

1] 진폭(Magnitude or Amplitude): 각 주파수 성분이 얼마나 강한가?

특정 주파수에서의 진폭은 cos 축으로 $a_n$, sin축으로 $b_n$만큼인 빨간 벡터의 길이와 같습니다.

즉, 진폭의 크기는 $\sqrt{a_n^2+b_n^2} $이죠.(피타고라스 정리죠?)

2] 위상(Phase): 각 주파수 성분이 어떤 타이밍에서 시작하는가?

또한 특정 주파수에서의 위상(=시작점)은 이 벡터의 각도와 같습니다.

즉, $\phi_n = \tan^{-1}(\frac{b_n}{a_n}) $이죠.

그리고 이걸 기본주파수의 정수배인 모든 주파수에 대하여 해석할 수 있게 된겁니다!

패러다임 시프트죠. 시간에 대한 함수를 주파수로 분해하다니요!

3) 주파수 스펙트럼

여기서 한발 더 나아가보자면, 분석의 결과를 그래프화 할 수도 있지 않을까요?

그리고 이 그림을 바로 '주파수 스펙트럼'이라고 합니다.

우리가 두가지의 정보(진폭, 위상)을 알수 있었던 만큼, 이 '주파수 스펙트럼'도 두 가지가 있는데요

1] 한가지는 가로축은 주파수, 세로축은 해당 주파수 성분의 세기(진폭)를 나타낸 주파수 스펙트럼입니다.

위의 그림에서 첫 번째 그래프죠.

이 스펙트럼을 보면, 어떤 복잡한 파형이라도 '어떤 주파수 성분들이 얼마나 강하게 섞여있는지'를 한눈에 파악할 수 있습니다. 예를 들어 사각파(Square Wave)를 주파수로 분해하면, 기본 주파수와 그 홀수배 주파수들(3배, 5배, 7배...)의 성분만 나타나는 독특한 스펙트럼을 보여줍니다.

우리가 흔히 '저음이 풍부하다' 또는 '고음이 날카롭다'라고 말할 때 주로 이 진폭 스펙트럼을 이야기하는 것입니다.

2] 다른 한가지는 가로축은 주파수, 세로축은 해당 주파수 성분의 위상을 나타낸 주파수 스펙트럼입니다.

위의 그림에서 두 번째 그래프입니다.

이 스펙트럼은 '각 주파수 성분이 어떤 타이밍(시작점)에서 시작하는가?'를 알려주면서, 파형의 실제 모양을 결정합니다. 모든 주파수 성분들이 어떻게 정렬되어 더해지는지를 지시하여, 뾰족한 부분, 완만한 부분 등 신호의 구체적인 형태를 만들어냅니다.

4) 마무리

이번에는 저번 포스팅까지 수학적으로 어려운 길을 지나신 여러분께 약간의 휴식을 드릴 겸 개념적인 내용으로 채워보았습니다.

이 포스팅에서 여러 이야기가 나왔지만, 최종적으로 정리해보자면 결국

임의의 함수를 근사하기 위해 만들어졌던 푸리에 급수가,
발상의 전환으로
임의의 함수를 푸리에 급수로 나타내었을 때 각 주파수 별로 분해할 수 있게 되었고
이를 바탕으로 임의의 함수를 주파수 별로 분석할 수 있는 툴을 제공해주었다.

입니다.

그리고 이 발상의 전환을 '푸리에 해석'이라고 하죠.

근데 여기서 조금만 더 생각해보면 이 주파수별로 분해된 정보들(진폭, 위상)을 이용해서 거꾸로 '임의의 함수'를 다시 '합성' 할 수도 있지 않을까요?

말 그대로 분해의 역과정이죠!

그래서 일반적으로 '푸리에 해석'이라고하면 그 안에 '분해'와 '합성'을 전부 포함하는 의미로 사용합니다.

그러나 가끔 푸리에 '해석'을 '분해'와 동일하게 생각하는 경우엔 '합성'을 '푸리에 역해석'이라고 부르기도 한답니다.

푸리에 오디세이는 아직 끝나지 않았고, 앞으로 다룰 내용이 많지만 급수가 끝나는 바로 이 시점에서 '푸리에 해석'을 소개시켜드린건,
사실상 '푸리에 급수'만 가지고도 '해석'이 가능하다는 걸 알려드리고 싶어서였습니다.(말 그대로 '발상의 전환' 즉, '개념'이었기 때문에 사실상 '푸리에 ~~~'인 모든 툴을 가지고 하는 '행위'가 '푸리에 해석'인거죠!)

결국 푸리에 해석이라는 개념은 '시간'축에서의 함수를 또다른 하나의 축인 '주파수'축을 추가하여 다른 관점에서 볼 수 있게 만들어준 '패러다임 시프트'였습니다!

마지막으로 이 '패러다임 시프트'를 시각적으로 이해하기 좋은 이미지를 하나 첨부하고 이번 포스팅을 마무리하겠습니다.

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0) 서론

자, 지금까지 우리는

1. 푸리에의 직관('임의의 함수도 삼각함수로 나타낼 수 있어')
2. 2가지 장애물을 극복(비주기함수, sin과 cos 사용)하여 푸리에(가 만들었을 것이라 예상되는) 초기식 만들기
3. 두번째 장애물과 푸리에 초기식이 자명한 이유 증명

이렇게 크게 세 단계를 거쳐왔습니다.

진짜 기나긴 여정이었는데요, 이제 단 한 가지만 더 하면 푸리에 급수란 산의 정상에 오르게 됩니다.

그리고 '푸리에 오디세이' 중 '푸리에 급수'를 정복하게 되는 거죠!

아, '한 가지'가 뭐냐구요? 네 저번 포스팅 말미에서 얘기했던 정체불명의 계수 $ a_n$, $b_n$을 말하는 거죠!

항상 동트기 전이 제일 어둡고, 정상 직전에 숨이 깔딱깔딱한 깔딱고개가 있는 법입니다.

지금까지 잘 따라오셨다면, 단숨에 정상까지 올라가 보자구요!

1) 푸리에 계수?

자, 이제 남은건 '푸리에 계수' 즉, 우리가 만든 (푸리에가 만들었을 것이라 예상되는)초기식에서 $a_n, \ b_n$입니다.

$ f(x) \sim \sum \limits _{n=0}^{\infty} ( a_n \cos (n \frac{\pi}{L}x) \ + \ b_n \sin (n \frac{\pi}{L}x) ) $

식에서 살펴보자면, 각 cos과 sin 앞에 붙은 계수죠. 이걸 통칭해서 '푸리에 계수'라고 부른답니다.

요거까지 알아내면, 이제 f(x)를 삼각함수로 근사할 수 있는 완전한 급수를 얻게 됩니다!

2) 필터로 거르면 무엇이 남을까요?

일단 의미부터 생각해봅시다.

푸리에 계수 $a_n$(이든 $b_n$이든)의 의미는

뒤에오는 삼각함수의 x계수(주파수)가 n인 항의 '크기'를 알려주는 겁니다.

값이 크면 전체적으로 모든 급수에서 해당하는 항의 기여도가 '크다'고 볼 수 있겠죠? 역도 마찬가지입니다.

그러면 정말 당연하게도, 전체 함수에서 해당하는 그 n항(cos nx, sin nx)만 딱 골라야 합니다.

어떻게 보자면 필터로 나머지는 다 흘려 보내고, 딱 하나만 거르는 것과 똑같지요.

여기서 필터 역할을 해주는게 바로 '직교성'입니다.

또한 n이 주파수(우리가 세운 식에서는 $n \frac{\pi}{L}$)라고 했으니 주파수 필터라고도 할 수 있습니다.

이전 포스팅에서 cos이던 sin이던 똑같은 성분에 대해서만 값이 있었고, 그 외에 다른 성분들에 대해서는 모두 0이 되어버리는 걸 기억하시나요?

푸리에의 원래 개념으로 돌아가서보면, f(x)는 무수히 많은 cos nx와 sin nx로 이루어집니다.

그리고 그것들 하나하나마다 다 계수가 있겠죠. 그리고 그 모든 것들의 총합이 f(x)가 되는 겁니다.

(와닿지 않으면 벡터를 생각해보세요. 벡터는 공간상에서 x와 y로 이루어지는데, 이 x와 y에 계수가 붙으면서 다양한 벡터를 나타냅니다. 똑같은 상황이죠.)

따라서 원래 함수 f(x)에, cos nx를 곱해서 적분해주면 그 결과는 cos nx에 대해서만 값이 나오겠죠?

그리고 바로 이 cos nx에 대해서만 나온 값이 cos nx의 계수란 것을 알 수 있습니다.

이걸 이용하는 겁니다.

현재 우리는 개념설명을 위해 cos nx와 sin nx를 구분하지 않고 말하고 있으나, 사실상 이 둘은 $ a_n,\ b_n $의 다른 계수를 가지므로 이제부터는 cos nx와 $ a_n$에 대해서만 말해보겠습니다. 그러나 이 개념은 sin nx와 $ b_n$에도 동일하게 적용됩니다.

3) 수식으로 살펴봅시다!

다시 한번 강조하지만, f(x)에서 딱 원하는 cos nx의 계수만 거르려면, f(x)에 cos nx를 곱해서 적분하면 그 결과가 바로 $ a_n $이 될 것입니다.

수식으로 써보죠.

일단 위에서 살펴봤던 초기식을 써봅시다.

\begin{align}

f(x) & \sim \sum \limits _{n=0}^{\infty} ( a_n \cos (n \frac{\pi}{L}x) \ + \ b_n \sin (n \frac{\pi}{L}x) ) \\

& \sim \sum \limits _{n=0}^{\infty} a_n \cos (n \frac{\pi}{L}x) \ + \sum_{n=0}^{\infty} b_n \sin (n \frac{\pi}{L}x)

\end{align}

지금까지는 '근사'의 개념을 강조하기 위해 ~기호를 사용했지만, 이제부터는 계수를 구체적으로 계산하기 위해 위 식이 성립한다고 '가정'하고 등호 =를 사용하겠습니다. $f(x)$와 삼각함수 급수를 같게 만드는 $a_n,\ b_n$값을 찾아내는 여정인 셈이죠.

자 여기서 양변에 이제 $ \cos (m \frac{\pi}{L}x)$ 를 곱해줍시다. 위에서는 쉽게 mx라고 하였지만, 우리는 $m \frac{\pi}{L}$까지가 x의 계수입니다.

여기서 문자 m을 쓰는 이유는, 이미 '초기식'에서 n을 쓰고 있으니 이와 구별해주기 위해서 일부러 다른 문자 m을 씁니다.

일단 우리는 $\cos (m \frac{\pi}{L}x)$를 알고 싶으니까, 양변에 곱해줍시다!

$f(x)\cos (m \frac{\pi}{L}x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \cos (n \frac{\pi}{L}x)\cos (m \frac{\pi}{L}x) \ + \sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n \sin (n \frac{\pi}{L}x)\cos (m \frac{\pi}{L}x)$

여기서 양변 적분 취해주면

$ \int_{-L}^{L} f(x)\cos (m \frac{\pi}{L}x) dx = \int_{-L}^{L} \left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \cos (n \frac{\pi}{L}x)\cos (m \frac{\pi}{L}x) \ + \sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n \sin (n \frac{\pi}{L}x)\cos (m \frac{\pi}{L}x) \right) dx$

적분의 성질은 '덧셈'이므로(조금 어렵게 말해서 선형성(Linearity)을 가지는 연산이므로), 덧셈에 대해 각 항으로 분배할 수 있으며 합 기호인 시그마와 연산 순서를 바꿀 수 있습니다.

따라서 다시 써보면

$ \int_{-L}^{L} f(x)\cos (m \frac{\pi}{L}x) dx = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \int_{-L}^{L} \cos (n \frac{\pi}{L}x)\cos (m \frac{\pi}{L}x) dx \ + \sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n \int_{-L}^{L} \sin (n \frac{\pi}{L}x)\cos (m \frac{\pi}{L}x) dx $

이렇게 정리가 될 것입니다.

자, 이제 여기서 이전 직교성 포스팅에서 고생한 것이 빛을 발합니다.

직교성 기억나시나요?

\begin{align}

\int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx &= L\delta_{mn}\\

\int_{-L}^{L} \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx &= L\delta_{mn}\\

\int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx &= 0

\end{align}

위의 수식을 이 직교성을 이용하면 바로 깔끔하게 정리할 수 있습니다.

\begin{align}

\int_{-L}^{L} f(x)\cos (m \frac{\pi}{L}x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} a_n L\delta_{mn} \ + \sum_{n=0}^{\infty} b_n 0 \\

&= \sum_{n=0}^{\infty} a_n L\delta_{mn} \\

\end{align}

바로 이렇게 정리가 되어버리죠!

자, 이제 크로네커 델타($\delta_{mn}$)의 마법이 시작됩니다.

$\delta_{mn}$은 $n=m$일 때만 1이고 나머지 모든 경우에는 0입니다.

이 성질은 마치 무한한 $a_n$의 행렬에서 우리가 원하는 $a_m$ 항만 정확히 '선별(sifting)'해내는 것과 같습니다.

시그마($\sum$)를 직접 풀어서 써보면 이 과정이 명확하게 보입니다.

\begin{align}

\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n L\delta_{mn} &= (a_0 L \delta_{m0}) + (a_1 L \delta_{m1}) + (a_2 L \delta_{m2}) + \dots + (a_m L \delta_{mm}) + \dots \\

&= (a_0 L \cdot 0) + (a_1 L \cdot 0) + (a_2 L \cdot 0) + \dots + (a_m L \cdot 1) + \dots

\end{align}

여기서 $m$번째 항의 $\delta_{mm}$만 1이 되고, 나머지 모든 $\delta_{mn}$ ($n \neq m$) 항들은 0이 됩니다.

따라서 이 무한한 덧셈의 결과는 단 하나의 항, 즉 $a_m L$ 만이 남게 됩니다.

$ \int_{-L}^{L} f(x)\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx = a_m L $

정말 깔끔하지 않나요?

이제 $a_m$을 구하기 위해 양변을 $L$로 나누기만 하면 됩니다.

동시에 좌우변 위치 바꾸어서 보면

$ a_m = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\cos\left(\frac{m\pi}{L}x\right) dx $

문자가 하나로 정리되므로 다시 n으로 바꿔보면

$ a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\cos\left(\frac{n\pi}{L}x\right) dx $

자, 이렇게 cos의 n번째 주파수의 계수를 뽑아냈습니다.

4) 제일 쉬운 $a_0$에 적용해보기

그럼 $ a_0 $를 계산해볼까요?

cos 0은 1이므로,

\begin{align}

a_0 &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cdot 1 dx\\

&=\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) dx\\

\int_{-L}^{L} f(x) dx &= a_0 \cdot L

\end{align}

가 되겠군요.

그런데 재밌게도, 우리는 초기식에서도 $a_0$를 계산할 수 있습니다.

n이 정확히 0인 상황을 보면 cos 0은 1, sin 0은 0이므로

\begin{align}

f(x) &= \sum\limits_{n=0}^{\infty} ( a_n \cos (n \frac{\pi}{L}x) \ + \ b_n \sin (n \frac{\pi}{L}x) ) \\

&= a_0 \cdot 1 + b_0 \cdot 0\\

f(x)&=a_0

\end{align}

입니다.

그리고 여기서 양변을 -L~L까지 적분해주면

\begin{align}

\int_{-L}^{L}f(x)dx &=\int_{-L}^{L} a_0 dx \\

&= a_0 \int_{-L}^{L} dx \\

&= a_0 \left[ x \right]^{L}_{-L} \\

\int_{-L}^{L}f(x)dx &= a_0 \cdot 2L

\end{align}

음! ...아? 잠시만요.. '계수 필터로' 계산한 $a_0$와 '초기식'으로 계산한 $a_0$가 값이 다릅니다...?

둘 중 하나는 틀렸거나, 우리가 무언가 놓쳤다는 뜻입니다. 무엇이 진실일까요?

정답은 '정의(원래식)를 직접 적분한 것'이 항상 옳다는 것입니다. 그렇다면 '계수 필터'의 일반 공식이 n=0일 때만큼은 적용되지 않는다는 뜻이 됩니다.

왜 그럴까요?

그것은 바로 이전 포스팅에서 다루었던 직교성 적분 값 때문입니다.

cos과 cos의 내적은 항상 $ L $이었잖아요?(m, n을 쓰지 않으므로 크로네커 델터도 제외했습니다.)

그런데, 아주 독특하게도 n=0이면 이 값은 2L이 됩니다.

(자세히 들여다보세요. 이전 포스팅에서 직교성 계산할때 항상 'n, m은 양의 정수 (positive integers)'이 단서가 붙어있었답니다!)

$a_n$공식을 유도할 때 사용했던 내적 값이 n=0일 때만 유일하게 2배였던 것입니다! 이 예외 때문에, n≥1에 대해 완벽하게 작동하던 $a_n$ 공식이 $a_0$에는 맞지 않았던 것입니다.

뭔가가 오류가 난거죠.

그렇다면 이 문제를 어떻게 해결해야 할까요? 두 가지 방법이 있습니다.

1. $ a_0 $를 위한 공식을 따로 만든다.
2. 원래의 급수 정의(a.k.a 초기식)를 수정한다.

근데, $a_0$만을 위해 계수 공식을 따로 만드는건 원래의 급수 정의를 약간 수정하는 것보다 훨씬 더 아름답지 않기 때문에 그냥 원래의 급수 정의를 고쳐줍시다.(진짜 이 이유 때문이에요...!)

지금 '초기식'으로 계산한 $a_0$가 '계수필터'로 계산한 $a_0$보다 두배 더 크니, 초기식에서 $a_0$만 따로 빼서 2를 나눈 항을 만들어주면 깔끔하겠네요!

그래서 초기식은

\begin{align}

f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos (n \frac{\pi}{L}x) \ + \ b_n \sin (n \frac{\pi}{L}x) )

\end{align}

이렇게 되겠네요!

뭔가 제일 처음의 '초기식'보다는 조금 수학적으로 '단순미'는 떨어졌지만, 무엇보다도 답이 엄밀한게 수학에서는 더 맞으니까요!

같은 개념으로 $ b_n $을 구하면

$ b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right) dx \quad (n=1, 2, 3, ...) $

이 됩니다.

n이 0일땐 sin항은 아예 0이 되기때문에 n은 1부터죠!

따라서 푸리에 급수를 다시 써보면 아래와 같이 정리됩니다.

\begin{align}

f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos (\frac{n \pi}{L}x) \ + \ b_n \sin (\frac{n \pi}{L}x) ) \\

a_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\cos\left(\frac{n\pi}{L}x\right) dx \quad (n=0, 1, 2, ...) \\

b_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right) dx \quad (n=1, 2, 3, ...)

\end{align}

푸리에 식과 계수필터까지 완성된, 완벽한 '푸리에 급수' 세트입니다!

5) 또 다른 관점: 상수항은 왜 '핸디캡'을 받을까?

$ a_0$ 항에 $\frac{1}{2}$이 붙는 이유를 에너지나 신호의 '세기' 관점에서도 이해할 수 있습니다.

푸리에 급수에 등장하는 $\cos(nx)$나 $\sin(nx)$ 같은 삼각함수들은 양(+)과 음(-)을 끊임없이 오가는 진동 신호(AC 성분)입니다.

따라서 그냥 적분을 해서는 이 친구들의 '세기' 혹은 '크기'를 알 수 없고(0이 되어버리니까요) 제곱을 해서 그것을 판단합니다.

따라서 이 주기함수들은 제곱을 해서 적분을 해보면, 그 구간 전체 넓이(직사각형)보다 항상 '절반'만큼만 크기를 가지게 되죠.

마치 에너지를 최대로 썼다가 완전히 쉬는 것을 반복하는 것과 같아서, 평균적으로는 가진 에너지의 절반만 전체 함수에 기여하는 셈입니다.

반면, $ a_0$는 진동 없이 항상 같은 값을 유지하는 상수 신호(DC 성분)입니다. 쉬지 않고 언제나 100% 자신의 값을 기여하죠.

이 때문에 같은 크기(진폭)를 가지더라도, 상수항의 평균적인 기여분(에너지)이 진동하는 삼각함수의 기여분보다 정확히 2배 큽니다.

따라서 모든 항(상수항과 삼각함수항)을 '동일한 기준'에서 바라보기 위해, 항상 100% 일하는 상수항에 일종의 '핸디캡'을 주어 절반으로 나눠주는 것입니다. 이는 상수항의 '세기'를 다른 항들과 같은 기준으로 맞춰주려는 물리적인 의미를 담고 있습니다.

6) 마무리

이렇게 해서 '푸리에 급수'를 이해하기 위한 모든 과정이 끝났습니다.

여러분은 과거 '푸리에'가 하고 싶었던 '임의의 함수를 sin과 cos으로 근사하기'라는 목표를 완벽하게 이루었습니다.

(아 물론 역시나 '근사'이기때문에 진짜 모든 '임의의 함수'를 근사할 수는 없고, 수학적으로 '조금 착한' 함수들만 가능한데.. 이를 디리클레 조건이라고 합니다. 함수에 불연속인 지점이 있더라도 그 개수가 유한하고, 전체적으로 너무 심하게 요동치지 않으면 된다 정도의 조건을 만족하는 함수들만 근사가 되긴 합니다)

근데.. '뭐가 더 많지 않냐'구요? '주파수 영역 어쩌구 막 이러던데?'라구요?

거기까지 갈 길도 아주 멀고 험난합니다.

천릿길도 한걸음 부터!

기나긴 푸리에 오디세이(여정)도 푸리에 급수 부터!

고생하셨습니다.

속닥속닥-

아, 참고로 f(x)의 에너지는 제곱의 적분으로 구할 수 있는데, 재밌게도 푸리에 계수의 제곱의 합에 구간L을 곱해준 것과 같답니다!

f(x)가 굉장히 복잡한 함수면 직접 제곱할 수 없으니까, 푸리에 급수로 근사하고 그 계수들을 제곱해서 다 더하는거죠!(거기다 L배!)

에너지 보존 법칙 때문에 그렇대요!(파르스발의 정리(Parseval's Theorem)라고 한다나 뭐라나~)

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푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 급수(Fourier Series)3 ~ 직교성

📘 푸리에 오디세이(Fourier odyssey) 시리즈

0) 서론

저번 포스팅까지 '왜 푸리에는 어떤 함수를 삼각함수로 근사하려고 했나'와 '이 개념을 수학적인 식으로 만들기'를 거쳐왔습니다.

그리고 의미있게 '푸리에 급수식(초안)'을 만들 수 있었죠!

그러나 단순히 '개념'만으로 '수식'을 구성하기에는 조금 찝찝한 구석이 있죠?

그래서 이번 포스팅에서는 이 '개념'을 '수식'으로 만드는데 필요한 수학적 개념들을 조금 살펴보겠습니다.

수학적으로 조금 더 나아간 부분이므로 약간 어려울 수 있지만, 그래도 진짜 제일 쉽게 설명한다고 노력하고 또 노력했으니 차분차분 읽어주세요~

1) 직교성이란?

다시한번 강조하지만, 이제부터 조금 어려워집니다.(차라리 이렇게 어렵다고 여러번 강조해야 덜 어렵게 느껴질 수 있으니까요...?)

기억나실지 모르겠습니다만, 이전 포스팅에서 지나가듯이 sin x와 sin 2x(일반화 해서 sin mx와 sin nx)는 직교한다는 말을 했었습니다.('근본적으로 다른' 함수를 찾을 때 삼각함수의 세 군데 자리를 하나하나 살펴보면서 말했었죠!)

그리고 우함수, 기함수 성분을 말하며 sin과 cos도 같이 써야한다고 했는데요.(이거는 이전 포스팅 '2)'번 항에서 논의 했었네요!)

조금 쉽게 설명하려고 '개념'에서 출발해서 설명한 내용이지만, 사실 이 모든걸 관통하는 기본적인 수학 법칙이 있답니다.

그것은 바로바로! '직교성'이라는 개념입니다.

그럼 이 '직교성'이란게 무엇이냐! 바로 설명들어갑니다!

세상을 n차원 공간으로 본다면 n개의 '독립적'인 축이 있어야 n차원 공간을 묘사할 수 있습니다.

가장 쉽게 볼 수 있는 예시가 xy좌표(카르테시안 좌표)입니다.

이 둘은 x성분 y성분이 서로 독립적이고, 하나의 성분은 절대로 다른 성분을 나타낼 수 없습니다.

그리고 이 두 성분의 조합으로 좌표위의 모든 점을 표현할 수 있게되죠.

바로 이 '독립적'인 두 축을 서로 '직교'한다고 하고, 다른 말로 이 두 축은 '직교성'을 가진다고 합니다!

서로가 서로에게 독립적이고, 따라서 한쪽이 없으면 아예 그쪽은 나타내지조차 못하는 거죠!(xy좌표계에서 y축이 없다면, y축 방향으로는 아예 움직이지도 못하고 따라서 표시할 방법이 없잖아요!?)

아까 위에서 말했던 sin과 cos성분도 마찬가지입니다.

주기함수를 기준으로 우함수/기함수로 간단하게 설명드렸지만, 사실은 단위원을 그려보면 sin x는 단위원의 높이 성분을, cos x는 단위원의 밑변 성분을 나타냅니다. 그리고 이 두 함수는 90도의 수직관계를 이루고있죠. 이 관계를 말할때 '직교한다'고 합니다.

cos x가 나타내는 부분과 sin x가 나타내는 부분은 같은 x에 대해서 항상 수직방향의 성분을 나타내게 된다.

이미지상으로 살펴보았다면 이제, n차원에서 n개의 축이 서로 직교하는 것을 상상하실 수 있을겁니다.(가장 간단하게는 2차원 평면에서 xy축이 서로 직교하는거겠죠?)

그런데 이게 서로 직교하는지는(=서로 수직인지는) 어떻게 알 수 있을까요?

2) 직교성 판단

가장 단순한 방법은 그냥 각도를 재는겁니다.

그러나 직접 각도를 재는 것은 추상적인 공간으로 갈수록 어려운 일입니다.

대신 각도를 수학적으로 다루기 쉬운 코사인(cosine) 함수로 이용하는 건 어떨까요?

벡터 사이의 각 θ가 0°에서 180°범위에 있을 때, cos θ 값은 유일하게 결정됩니다. 특히 우리가 원하는 직각(90°)일 때 cos 90°=0 이라는 아주 특별하고 유용한 값을 갖습니다.

이 성질을 이용하면 '두 벡터가 수직인가?'라는 기하학적 질문을 '두 벡터 사이 각의 코사인 값이 0인가?'라는 훨씬 간단한 대수적 질문으로 바꿀 수 있습니다.

그리고 이 개념을 사용하는 것이 바로 '내적'입니다. 두 벡터의 크기와 그 끼인각의 cos값을 곱한 것으로 정의되죠.($ |a||b|cos t $)

그래서 결국 '두 벡터의 내적이 0이다 = 서로 직교다'라는 것을 알 수 있습니다.

그런데 벡터의 내적을 1) 벡터의 크기와 그 끼인각으로 정의하는 방법도 있지만, 생각해보면 2) 두 벡터의 각 성분의 곱으로 나타내는 방법도 있습니다.

벡터의 각 성분은 각 축의 값 즉 쉽게말해 좌표라고 볼 수 있습니다.

$ a = (a_x, a_y) $

$ b = (b_x, b_y) $

그리고 두 벡터의 각 성분의 곱으로 나타내는 내적은

$ a \cdot b = a_xb_x + a_yb_y $

입니다.

여기서

aₓbₓ의 의미는? 두 벡터의 가로 성분끼리의 관계를 나타내는 값입니다.

aᵧbᵧ의 의미는? 두 벡터의 세로 성분끼리의 관계를 나타내는 값입니다.

두 벡터가 직교할 때, 한쪽의 가로 성분(aₓ)은 다른 쪽의 세로 성분(bᵧ)과 비례하고(bᵧ ∝ aₓ), 한쪽의 세로 성분(aᵧ)은 다른 쪽의 가로 성분(bₓ)과 부호가 반대로 비례(bₓ ∝ -aᵧ)하는 관계가 필연적으로 만들어집니다.

그리고 이 두 비례식은 같은 정도로 비례합니다.

위의 비례관계를 가지고 수식을 만들어보면 아래와 같습니다.(비례식은 비례상수(c)를 도입하면 등호로 만들 수 있습니다.)

\begin{align}
b_y & = c a_x \\
b_x & = c (-a_y) \\
a_x b_x & = a_x c (-a_y) \\
a_y b_y & = a_y c a_x \\
a_xb_x + a_yb_y & = - c a_x a_y + c a_x a_y \\
& = 0\\
\end{align}

이 때문에 aₓbₓ와 aᵧbᵧ는 크기는 같고 부호는 정확히 반대인 값이 될 수밖에 없습니다.

따라서 두 벡터가 직교할 때 이 두 항을 더하면 무조건 0이 되죠.

직관적이 아니라 수식적으로는 코사인 제 2법칙을 사용하고 각 값에 좌표 값을 대입하면 바로 알 수 있습니다.

그럼 다시 정의할 수 있습니다.

두 벡터가 직교한다 = 두 벡터의 각 성분별 곱의 합이 0이다.

이 놀라운 원리를 '함수'의 세계로 확장해 봅시다. 함수는 무한한 차원의 벡터로 볼 수 있습니다. 벡터의 각 성분이 $a_x, \ a_y$였던 것처럼, 함수 $f(x)$의 각 성분은 모든 x에 대한 함숫값 그 자체라고 생각할 수 있습니다.

그렇다면 벡터의 내적이 '각 성분(component)의 곱의 합'이었듯이, 함수의 내적은 '모든 지점에서의 함수값 곱의 총합'으로 정의할 수 있습니다.

연속적인 값의 총합을 구하는 수학적 도구가 바로 적분(integral)입니다. 따라서 두 함수 $f(x),\ g(x)$가 특정 구간 $[a,b]$에서 직교하는지는 두 함수의 곱을 해당 구간에서 적분하여 0이 되는지로 판별할 수 있습니다.

$ \int_a^b f(x)g(x) dx = 0 $

이렇게 벡터에서 함수로, 덧셈에서 적분으로 개념이 확장되는 것을 볼 수 있습니다.

3) 삼각함수 간 직교성 판단의 실제

자, 위에서 sin과 cos은 직교한다고 기하학적으로 이해했습니다.

또한 sin mx, sin nx도 서로 직교한다고 직관적으로 이해했습니다.

그러나 이제 엄밀한 수학의 세계로 들어가면, 이것을 또 공식으로 성립함이 증명이 되어야 합니다.

그럼 참 어려운 이 길을 가봅시다.

우리는 여기서 세가지가 직교하는지 살펴보면 됩니다.

1) sin mx, sin nx [sin 간]
2) cos mx, cos nx [cos 간]
3) sin mx, cos nx [sin과 cos 간](위에서 이미지로 살펴보았던 기하학적 관계는 m=n인 경우이며, 더 일반적으로 모든 x의 계수에 대해 살펴봅시다)

그리고 위에서도 봤듯이 적분구간이 필요한데... 이 적분구간은 -L~L이겠죠?

1. $\int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx$

n, m은 양의 정수 (positive integers)

삼각함수 곱-합 변환 공식: sin(A)sin(B) = 1/2 * [cos(A-B) - cos(A+B)]

\begin{align}

& \int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx \\

&= \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left[ \cos\left(\frac{(n-m)\pi x}{L}\right) - \cos\left(\frac{(n+m)\pi x}{L}\right) \right] dx

\end{align}

자, 여기서 적분 이후 값을 대입하기 전에, 먼저 생각해봅시다.

우리는 모든 m과 모든 n에 대해서 생각을 하고 있습니다.

그렇다면 즉, m=n인 상황도 있을 것이고, m≠n인 상황도 있을 겁니다.

일단 m≠n인 상황을 보죠.

Case 1: m≠n

\begin{align}

  &= \frac{1}{2} \left[ \frac{L}{(n-m)\pi}\sin\left(\frac{(n-m)\pi x}{L}\right) - \frac{L}{(n+m)\pi}\sin\left(\frac{(n+m)\pi x}{L}\right) \right]_{-L}^{L} \\

  &= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{L\sin((n-m)\pi)}{(n-m)\pi} - \frac{L\sin((n+m)\pi)}{(n+m)\pi} \right) - \left( \frac{L\sin(-(n-m)\pi)}{(n-m)\pi} - \frac{L\sin(-(n+m)\pi)}{(n+m)\pi} \right) \right] \\

  &= \frac{1}{2} [ (0 - 0) - (0 - 0) ] = 0

\end{align}

여기서 k가 정수일 때 $ \sin(k\pi) = 0 $ 이므로 모든 sin 항이 전부 0이 됩니다.

Case 2: m = n

m=n이면 적분항의 $\cos((n-m)\frac{\pi x}{L})$는 $\cos(0) = 1$이 됩니다.

\begin{align}

  & \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left[ 1 - \cos\left(\frac{2n\pi x}{L}\right) \right] dx \\

  &= \frac{1}{2} \left[ x - \frac{L}{2n\pi}\sin\left(\frac{2n\pi x}{L}\right) \right]_{-L}^{L} \\

  &= \frac{1}{2} \left[ \left( L - \frac{L}{2n\pi}\sin(2n\pi) \right) - \left( -L - \frac{L}{2n\pi}\sin(-2n\pi) \right) \right] \\

  &= \frac{1}{2} [ (L - 0) - (-L - 0) ] = \frac{1}{2} [2L] = L

\end{align}

따라서 이걸 조건으로 나누어 쓰면

\begin{equation}

\int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx =

\begin{cases}

0 & \text{if } n \neq m \\

L & \text{if } n = m

\end{cases}

\end{equation}

이렇게 되겠네요.

그런데, 이걸 조건으로 나누어 쓰면 뭔가 딱 떨어지게 답이 안나오는 느낌이죠?

여기서 우리는 '크로네커 델타$\delta_{ab}$'라는 특수한 함수를 쓰게 됩니다.

크로네커 델타는 밑첨자 a와 b가 같을때만 1이라는 값을 가지고, 아니면 모든 값이 0이라는 값을 가지는 특수한 함수입니다.

(수학에서 델타 함수는 한가지가 더 있는데요, 바로 디랙 델타 함수라는 것 입니다. 나머지 값은 다 0이고 0에서만 무한대 값을 가지는 친구인데 나중에 나오면 더 자세히 알아보죠.)

그래서 이 크로네커 델타 함수를 쓰면

\begin{equation}

\int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx = L\delta_{mn}

\end{equation}

요렇게 깔끔하게 한줄로 수식이 나옵니다.

이제 다음 cos cos로 넘어가 볼까요? sin sin에서 이미 중요한 개념을 다뤄서 cos cos는 좀 더 빠르게 정리할 수 있을겁니다.

2. $\int_{-L}^{L} \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx$

n, m은 양의 정수 (positive integers)

삼각함수 곱-합 변환 공식: cos(A)cos(B) = 1/2 * [cos(A-B) + cos(A+B)]

\begin{align}

& \int_{-L}^{L} \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx \\

&= \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left[ \cos\left(\frac{(n-m)\pi x}{L}\right) + \cos\left(\frac{(n+m)\pi x}{L}\right) \right] dx

\end{align}

Case 1: m≠n

\begin{align}

&= \frac{1}{2} \left[ \frac{L}{(n-m)\pi}\sin\left(\frac{(n-m)\pi x}{L}\right) + \frac{L}{(n+m)\pi}\sin\left(\frac{(n+m)\pi x}{L}\right) \right]_{-L}^{L} \\

&= \frac{1}{2} [ (0 + 0) - (0 + 0) ] = 0

\end{align}

여기서 k가 정수일 때 $ \sin(k\pi) = 0$ 이므로 모든 sin 항이 전부 0이 됩니다.

Case 2: m = n

m = n이면 적분항의 $\cos((n-m)\frac{\pi x}{L})$는 $\cos(0) = 1$이 됩니다.

\begin{align}

  & \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left[ 1 + \cos\left(\frac{2n\pi x}{L}\right) \right] dx \\

  &= \frac{1}{2} \left[ x + \frac{L}{2n\pi}\sin\left(\frac{2n\pi x}{L}\right) \right]_{-L}^{L} \\

  &= \frac{1}{2} \left[ \left( L + \frac{L}{2n\pi}\sin(2n\pi) \right) - \left( -L + \frac{L}{2n\pi}\sin(-2n\pi) \right) \right] \\

  &= \frac{1}{2} [ (L + 0) - (-L + 0) ] = \frac{1}{2} [2L] = L

\end{align}

따라서 이걸 조건으로 나누어 쓰면

\begin{equation}

\int_{-L}^{L} \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx =

\begin{cases}

0 & \text{if } n \neq m \\

L & \text{if } n = m

\end{cases}

\end{equation}

크로네커 델타($\delta_{mn}$)를 이용하면:

\begin{equation}

\int_{-L}^{L} \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx = L\delta_{mn}

\end{equation}

3. $\int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx$

이거는 두 가지 방법을 이용해서 구해볼 수 있는데, 두 가지 다 해보도록 하겠습니다.

Method 1: 우함수(Even)/기함수(Odd) 성질 이용

피적분 함수 $f(x) = \sin(\frac{n\pi x}{L})\cos(\frac{m\pi x}{L})$는 기함수($\sin$)와 우함수($\cos$)의 곱이므로 기함수입니다.

\begin{align}

f(-x) &= \sin\left(\frac{-n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{-m\pi x}{L}\right) \\

&= -\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) = -f(x)

\end{align}

대칭적인 구간 $[-L, L]$에서 기함수의 정적분은 항상 0입니다.

\begin{equation}

\int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx = 0

\end{equation}

Method 2: 삼각함수 공식 이용

삼각함수 곱-합 변환 공식: sin(A)cos(B) = 1/2 * [sin(A+B) + sin(A-B)]

\begin{align}

& \int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx \\

&= \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left[ \sin\left(\frac{(n+m)\pi x}{L}\right) + \sin\left(\frac{(n-m)\pi x}{L}\right) \right] dx

\end{align}

Case 1: m ≠ n

\begin{align}

&= \frac{1}{2} \left[ -\frac{L}{(n+m)\pi}\cos\left(\frac{(n+m)\pi x}{L}\right) - \frac{L}{(n-m)\pi}\cos\left(\frac{(n-m)\pi x}{L}\right) \right]_{-L}^{L} \\

&= -\frac{L}{2\pi} \left[ \left( \frac{\cos((n+m)\pi)}{n+m} + \frac{\cos((n-m)\pi)}{n-m} \right) - \left( \frac{\cos(-(n+m)\pi)}{n+m} + \frac{\cos(-(n-m)\pi)}{n-m} \right) \right] = 0

\end{align}

cos 함수는 우함수(even function)이므로 cos (t) = cos (-t)

따라서 정적분의 위 끝값과 아래 끝값이 같아져 결과는 0

Case 2: m = n

m = n이면 적분항의 $\sin((n-m)\frac{\pi x}{L})$는 $\sin(0) = 0$이 됩니다.

\begin{align}

  & \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{2n\pi x}{L}\right) dx \\

  &= \frac{1}{2} \left[ -\frac{L}{2n\pi}\cos\left(\frac{2n\pi x}{L}\right) \right]_{-L}^{L} \\

  &= -\frac{L}{4n\pi} \left[ \cos(2n\pi) - \cos(-2n\pi) \right] \\

  &= -\frac{L}{4n\pi} [ 1 - 1 ] = 0

\end{align}

따라서 어떤 방법을 쓰던, 모든 양의 정수 m, n에 대해 결과는 항상 0입니다.

\begin{equation*}

\int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx = 0

\end{equation*}

최종적으로 sin과 cos은 모든 상황에서 직교하며,

같은 함수끼리는 같은 x의 계수(주파수)일 때만 값을 가지고, 그 외에는 모두 직교한다는 사실을

이미 직관적으로 우리는 알고있지만,

굳이굳이 어렵게 수식적으로 확인해 보았습니다.

이 긴 증명은 무엇을 의미할까요?

바로 푸리에 급수의 근간을 이루는 모든 sin, cos 함수들이 서로 독립적인 '좌표축'의 역할을 한다는 것을 수학적으로 확인한 것입니다.

5) 마무리

오늘은 조금 수학적으로 어려웠습니다

오늘의 포스팅은, 이전 포스팅까지 우리가 '개념적'으로 알게 된 사실들을, 수학적으로 엄밀하게 증명하고 정제해내는 과정이었습니다.

여기까지 따라오셨으면, 사실상 푸리에 급수의 대부분은 다 이해하신 겁니다.

이제 남은건 $a_n$, $b_n$이라는 알 수 없는 계수들만 파헤치면 푸리에 급수는 완전 정복하게 되는 셈이죠!

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0) 서론

'푸리에 ~~~'를 이루는 푸리에 급수, 푸리에 해석, 푸리에 적분, 푸리에 변환 중 우리는 저번 포스팅에서 '도대체 왜 어째서 푸리에 급수가 생긴거에요?'라는 질문에 답을 이끌어 냄으로써 푸리에 급수의 첫 발을 내딛었습니다.

그럼 이번 포스팅에서는 이 개념을 수식으로 만드는 과정을 한번 볼까요?

1) 개념에서 수식으로... 그러나 봉착한 문제점

뭐, 저번 포스팅에서 보셨던 것 처럼 '푸리에 급수를 만드는 이유' 여기까진 시원시원하게 개념확장이 되었습니다만...

곧 하나의 문제가 발을 걸고 넘어집니다.

'임의의 함수(f(x))'를 '주기 함수(sin x, cos x)'로 근사할 거라고 했잖아요?

근데.. 임의의 함수가 비주기 함수면 어떻게해요?

주기 함수로 근사할거면, 주기가 있어야 하잖아요. 근데 내가 근사하고 싶은 함수가 주기가 없는데 어떻게 주기함수로 근사해요?

아... 이거 정말 근간부터 흔들리는 문제가 아닐 수 없습니다...

그러나 푸리에는 진짜 매우 간단한 아이디어로 이것을 그냥 해결해버립니다.

"어? '주기' 함수란건 어떤 특정한 '패턴'이 반복된다는거잖아? 그럼 그냥 한번 더 반복해서 '주기'를 만들어버리면 끝나는거 아냐?"

예.. 끝났습니다.

가령 저번 포스팅에서 말한 열방정식의 '구간' 혹은 '막대의 길이'를 0~L이라고 본다면, 이 안에서의 초기 함수는 비주기 함수일 수도 있지만, '구간'을 -L~0~L로 2배로 만들어서, 0~L에서 정의된 함수를 -L~0구간에서 반복한다면, -L~L구간에서는 무조건 이 함수는 주기 함수가 됩니다!

이야 문제가 해결 됐네요?

...는 아직 완전히 해결되진 않았죠..

그럼 이 '반복'을 어떤 기준으로 할 건지가 또 문제에요.

선택지가 세개나 있어요.

1) 원점으로 대칭해서 만든다.(조금 어렵게 기함수 대칭)
2) y축으로 대칭해서 만든다.(조금 어렵게 우함수 대칭)
3) 그냥 함수 자체를 복사-붙여넣기 한다.

여러분은 어떤 방식이 제일 좋아보이시나요?

사실 보편적으로는 3번 '그냥 한번 더 반복 시킨다'가 일반적입니다.

그러나 1번과 2번은 잘 보면, 1번 방식으로 대칭시키면 sin 형태가 좀 더 비슷하게 생겼고, 2번 방식으로 대칭시키면 cos 형태가 좀 더 비슷하게 생겼죠?

그래서 위에서 살펴봤던 특수한 상황(디리클레 조건, 노이만 조건)에서는 임의로 우리가 대칭을 선택해서 만들고, 그렇지 않다면 일반적으로 그냥 함수를 한번 더 복사 붙여넣기 해서 쓴답니다.

그리고 이렇게 세가지 방법으로 근사를 하게 되면 전부 -L~L에서는 다른 모양의 주기함수지만, 0~L사이에서는 원래의 초기함수 f(x)를 완벽하게 근사해낸답니다!

그래서 사실 '어떤 방식으로 만들까'는 크게 의미가 없긴해요.(다시한번 말하지만 특수한 상황에서는 특수한 해가 더 잘 맞기는 합니다!)

어찌 되었든, 여기까지 진행하면 -L~L구간에서 완벽한 한 주기를 가지는 주기함수를 만들 수 있으니 우리를 발목잡았던 큰 문제도 해결이 되고, 푸리에 급수를 만들기에 충분한 전제조건이 만들어졌습니다.

이제 진짜 푸리에 급수에 발을 담가볼까요?

2) 아 근데 또 문제가!

아니 이제 진짜 본격적으로 들어가나 했는데... 또 하나 걸리는게 있습니다.

사실 sin이나 cos이 두 함수는 위상만 90도 차이나는 똑같은 함수잖아요? 그럼 사실 둘 중에 하나만 써도 되는거 아닌가요?

그러나.. 두 함수는 결정적으로 다른 차이가 있습니다.

바로 원점대칭이냐(Odd part, 기함수), y축대칭이냐(Even part, 우함수)하는 차이죠.

그리고 결국 이 기본적인 차이가, 어떤 함수를 근사함에 있어 '기함수'부분을 담당하는 부분과 '우함수'부분을 담당하는 부분을 나눠서 설명가능하게 해주는 부분입니다.

결론적으로 sin과 cos은 주기만 다른 비슷한 함수가 아니라, 서로가 절대 대체할 수 없는 고유한 영역(대칭성)을 책임지는 독립적인 두 개의 축(axis)과 같습니다.

따라서 결국에는 sin과 cos을 같이 써줘야 주기함수에 대한 분석이 된답니다!

3) 푸리에 급수식을 만들자!

자, 이제 모든 전제조건이 갖춰졌으니, 우리의 직관대로 근사식을 써 봅시다.

1) 이 식은 cos과 sin으로 이루어져있습니다.
$ f(x) \sim \cos x \ + \ \sin x $
2) 단일 항으로는 근사가 절대 불가능하니 급수식을 써봅니다. 그러나 '근사'가 좋아지려면 아무래도 '무한'까지 더해야 비슷해지겠죠?
$ f(x) \sim \sum \limits _{n=0}^{\infty} ( \cos x \ + \ \sin x ) $
3) 근데 각 항만으로는 묘사가 불완전할 것 같습니다. 따라서 각 항에 '강조'를 뜻하는 '계수'도 붙여줍시다.
$ f(x) \sim \sum \limits _{n=0}^{\infty} ( a_n \cos x \ + \ b_n \sin x ) $

자, 이제 문제는 단 두가지만 남았습니다.

1) 주기는 어떻게 할 것인지?
2) 어떤 종류의 sin과 cos을 더할 것인지?

1번 문제푸터 살펴보죠.

뭐 사실 간단합니다.

sin, cos은 $ 2\pi $의 주기를 가지는 함수이고, 현재 우리가 만든 주기 함수는 $ 2L $의 주기를 가지는 함수입니다.

그럼 아주 자연스럽게 $ 2L $주기를 가지는 함수를 $ 2\pi $로 바꾸려면, 임의의 값에 $ \frac{\pi}{L} $를 붙여주면 될 겁니다.

따라서

$ f(x) \sim \sum \limits _{n=0}^{\infty} ( a_n \cos (\frac{\pi}{L}x) \ + \ b_n \sin (\frac{\pi}{L}x) ) $

요렇게 식이 만들어지겠네요!

그러나 이제 2번문제가 발생합니다.

과연 어떤 종류의 sin과 cos을 더할 것인가?

지금 뭔가를 더해서 근사를 해나갈건데, 같은 애들을 더하면 크기만 커지지 종류가 다양해지지는 않습니다. 그렇잖아요?

그러면 뭔가 '근본적으로 다른'(다른말로 '독립적인') 애들을 더해주어야 합니다.

삼각함수에서 무언가 '다르게' 꾸밀 수 있는 부분은 딱 세군데 입니다.

$ (1*) \sin^{(2*)} (3*)x $

1) 계수
2) 지수
3) x의 계수(주기를 결정하는 계수)

그럼 가장 쉽게 '다르게'만들 수 있는 애들은 2)'제곱' 꼴이겠죠? 다항함수에서도 익숙하니까요

그러나 주기함수의 특징은 이 '제곱'이라는게 낮은 차수로 '분해'될 수 있다는 거에요.

아주 간단한 예시를 살펴볼까요?

$ \sin^2 x $는 이런 저런 모종의 과정을 거치면(배각공식이랑 삼각항등식만으로 풀려요) $ \frac{1-\cos 2x}{2} $이 되어버립니다.

결국 sin에 대한 2차항이 상수항과 cos에 대한 1차항으로 분해되어버린거죠.

아, 이러면 '독립적'이지 않고 '종속적'이라고 볼 수 있겠네요... 그러면 제곱꼴은 탈락입니다.

그럼 또 '다르게 만들 수 있는 부분'은 각 주기함수 앞에 붙는 1)'계수'입니다.

하지만 이 방법은 우리가 찾는 '근본적으로 다른(독립적인) 함수'를 만드는 방법으로 부적절합니다.

왜냐하면 계수들은 $\sin x$라는 함수의 근본적인 '종류(kind)'나 '모양'을 바꾸지 못하기 때문입니다.

$\sin x$와 $5 \cdot \sin x$는 주기도 같고 모양도 같습니다.

단지 진폭(amplitude) 즉, '세기'만 다를 뿐이죠.

따라서 계수는 '독립적인 종류의 함수'를 만드는 변수가 될 수 없으므로, 일단 '근본적으로 다른 함수'를 만드는 방법에서는 탈락입니다.

(그러나 다른 부분에서 쓸모가 있으므로 일단 계수 자체는 $a_n$, $b_n$이라고 일단 놔둬보기로 하죠!)

그럼 마지막으로 남은 '다르게 만들 수 있는 부분'은 각 3)'삼각함수 내에 곱해지는 x의 계수' 즉, 주기를 결정하는 계수입니다.

이 주기를 결정하는 계수는 말 그대로 '지금 정해진 구간 안에 몇개의 주기가 들어가는지'를 알려주는 계수입니다.

삼각함수의 경우 기본 구간이 $ 2\pi $이므로 결국, $2\pi$안에 몇개의 주기가 들어가는지를 알려주게 되겠죠?

그리고 재밌게도, 이렇게 만들어진 애들은 서로 완전히 '다른'친구들입니다.

잘 생각해보세요. 위에서 삼각함수를 조작할 수 있는 부분이 세군데라고 말씀드렸습니다.

sin 2x를 예시로보면, sin x에서 위에서 말한 x의 계수를 제외한 두 부분을 아무리 조작을 해도 절대로 순수하게 sin 2x를 만들어내지 못합니다.

결국, '어떤 종류의 sin과 cos을 더할 것인가? = 완전히 다른 sin과 cos 항들을 찾기' 문제는 x의 계수 즉 주기를 결정하는 계수를 바꿈으로써 해결됩니다.
(나중에 더 논의가 되겠지만, 일단 어려운 말로 써보면 서로 다른 주기를 가진 삼각함수들은 '직교'하고, 한 공간내에서 '직교'하는 항들은 '서로 완전히 다른'='독립적인' 친구들입니다. 이해가 안되셔도 좋아요. 어차피 다음 포스팅에서 다룰겁니다!)

그러면 이제 함수가 얼추 완성이 되었네요!

$ f(x) \sim \sum \limits_{n=0}^{\infty} ( a_n \cos (n \frac{\pi}{L}x) \ + \ b_n \sin (n \frac{\pi}{L}x) ) $

식을 설명해보자면,

임의의 함수 f(x)를 근사할겁니다~
근데 근사라서 완전히 동치(=)라고는 '일단은' 보기 어려우니 $\sim$이라는 기호로 '근사했어요~'라고 표기하겠습니다~
급수니까 일단 0부터 무한까지 다 더해줄께요~
함수는 cos과 sin이 둘 다 필요해요~
여기에 각자 곱해지는 계수는 각각 $a_n$, $b_n$이라고 할께요~
삼각함수의 주기 $2\pi$를 현재주기 $2L$로 바꿔줄께요~
'서로 근본적으로 다른 함수'들을 더해야하니까 $x$의 계수를 n으로 놓고 급수식 안에서 계속 바꿔줄께요~
짜잔! 우리가 논의했던 모든 것들이 포함된 수식이 완성되었네요!

아마 푸리에가 제일 처음 세우고 뿌듯해 했을 식이 이 식이 아닐까 싶습니다!

4) 조금 더 나아가 볼까요?

왜 하필 x의 계수(주파수)를 바꿔줄 때 n이라는 정수배만 사용하는 것이 타당할까요?

1. 공간 각주파수(ω)와 비례상수

앞서 2L 주기의 함수를 2π 주기의 삼각함수에 맞추기 위해 π/L이라는 비례상수를 사용했습니다.

사실 이 값에는 공간 각주파수(ω₀)라는 이름이 붙어있습니다.

용어만 어려운데, '각주파수'는 '단위 길이당 위상(각도)이 얼마나 변하는가'를 나타내는 비율입니다.

여기서 한 번의 완전한 진동(1 cycle)은 각도로 2π 라디안에 해당합니다. 푸리에 급수에서 이 한 번의 진동이 일어나는 '공간의 길이'는 2L이죠. 따라서 '단위 길이당 각도 변화량'을 의미하는 공간 각주파수 ω₀는 (총 각도) / (총 길이) = 2π / 2L = π/L 이 됩니다.

따라서 다시 써보면 공간 각주파수 $ \omega_0 = \frac{\pi}{L} $입니다.

재밌게도 위에서 살펴봤던 비례상수 개념처럼 사용한 $\frac{\pi}{L} $과 동일하죠.

2. 정상파(Standing Wave)와의 연결

정상파(standing wave)라는 걸 아시나요?

정상파는 마치 파가 서있는 것처럼(standing), 특정 구간에서 마디(node)라고 불리는 점들이 기준점에서 움직이지 않는 파를 말해요.

그리고 이 정상파는 공간 주파수가 무조건 정수배밖에 될 수 없습니다.(즉, n이 정수여야만 하는 가장 직관적인 예시죠)

그 이유는 정상파가 생성되는 물리적 조건 때문입니다.

1. 먼저 0부터 L까지 양 끝이 고정된 줄을 상상해 봅시다. 이 줄이 진동할 때 가장 단순한 모양은 가운데가 볼록한 반 파장 형태일 것입니다.
2. 이 모양을 -L부터 L까지 확장해서 보면, 완벽한 한 주기를 가진 파동이 됩니다. 이것이 바로 주파수가 $ \omega_0 = \frac{\pi}{L} $인 기본 진동(1차 고조파(Harmonic wave))입니다.(고조파란 기본주파수의 정수배가 되는 주파수를 갖는 파를 말합니다)
3. 이제 0부터 L 사이에 마디(node)를 하나, 둘씩 추가하며 더 복잡한 정상파를 만들어도(줄이 더 복잡하게 진동해도), 이 파동들은 모두 기본 진동의 주파수에 정확히 정수배(2배, 3배...)가 되는 파동들만 가능합니다.(이외의 주파수는 경계 조건을 만족하지 못해 즉시 사라져버리죠)
4. 이러한 정상파의 물리적 모양을 완벽하게 설명하는 함수가 바로 정현파(sin)이며, 이는 주기만 다른 코사인(cos) 함수에도 동일하게 적용됩니다.

열방정식의 해 역시 이러한 물리적 제약 조건의 영향을 받습니다.

여기서 열방정식의 해가 어차피 sin or cos로 나오기에 그걸 역으로 초기조건을 근사한다는 푸리에 급수의 개념에서, -L~L구간에서는 기본 주파수($\frac{\pi}{L}$)의 정수배에 해당하는 파동들 만이 남게됩니다.

따라서 푸리에 급수에서 주파수의 정수배(고조파, harmonics)만 보는 것이 말이 되는 이유입니다.

수식으로 써보면 $ n \omega_0 x = n \frac{\pi}{L} x $이죠.

그럼 여기서 잠깐!

푸리에도 이 개념을 알고 사용한게 맞을까요!?

정답은 맞다입니다!

푸리에의 아이디어는 순수 수학의 세계에서 갑자기 튀어나온 것이 아니라, 당대의 물리학자들이 오랫동안 고민하던 문제의 연장선에 있었습니다.

이전 포스팅에서 살짝 지나치듯이 언급했는데, 푸리에 이전에도 다니엘 베르누이가 진동하는 현에 대해서 줄의 움직임이 기본 진동(sin x)과 그 정수배 진동(sin 2x, sin 3x)의 합으로 표현할 수 있다고 주장했던 것 기억나시나요?

푸리에는 베르누이와 같은 선대 학자들의 물리적 직관을 이어받아, '모든 함수는 정수배 주파수를 가진 삼각함수의 합으로 표현될 수 있다'는 대담한 주장할 수 있었던 것이죠.

3. 시간과 공간의 용어 정리

한가지 헛갈리실 수 있는 포인트가, 푸리에 급수에서는 '공간 주기, 공간 주파수'를 다룹니다.

우리가 흔히 생각하는 주기와 주파수는 '시간'에 대한 것인데, 푸리에 급수에서는 시간보다는 '공간' 즉 길이에 대해서 생각하게 되죠.

엄밀히 따지자면, 시간의 주기에 해당하는건 공간의 파장이고, 시간의 주파수에 해당하는게 공간 주파수, 시간의 각주파수는 파수라고 하는 개념이 되는데, 푸리에 급수에서는 일반적인 '주기, 주파수, 각주파수'라는 용어를 공간에 대하여 사용합니다.

5) 마무리

어떻게 이전 포스팅보다는 아주 째끔 어려운 포스팅이 되었습니다만, 차분히 따라오셨다면 '푸리에 급수식'이 왜 그렇게 만들어졌는지 확실하게 아셨을 것이라 믿습니다!

다음 포스팅은 조금 더 수학적으로 들어가면서 아주 재금 더 어려워질껄요...?(아마)

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푸리에 오디세이(Fourier Odyssey): 푸리에 급수(Fourier Series)1 ~ 그 찬란한 서막

📘 푸리에 오디세이(Fourier odyssey) 시리즈

0) 서론

오랜만에 쓰는 포스팅입니다.

이전에 '연속글'의 형태로 몇가지 주제를 다뤄봤었는데요(카탈란수열, 대학교 2학년의 꿈 등)

이번에는 아주 조금만 수학/공학(신호처리 등)/물리학으로 넘어가도, 무조건 마주치게 되는 '푸리에 ~~~'를 다뤄볼까 합니다.

푸리에 ~~~는 푸리에 급수, 푸리에 적분, 푸리에 변환 이렇게 나눠져있는데 사실상 셋은 다 다른 것을 지칭하는 용어랍니다.

이제, 우리는 이 '푸리에 ~~~'를 여행하는 장대한 여정을 떠나볼까 합니다!

뭔가 엄청나게 긴 여정이 될 것 같지만, 일단 시작은 가볍게 출발해보도록 하죠!

첫 시작은 '푸리에 급수' 그리고 그 중에서도 '왜 하필 푸리에는 이런 생각을 떠올렸을까?'을 중심으로 살펴보도록 하겠습니다.

1) 푸리에?

푸리에 급수, 푸리에 적분, 푸리에 변환~ 뭐 이러지만, 결국 '푸리에'는 뭘까요?

사실 좀 당연하다면 당연하지만, 푸리에는 사람 이름입니다.

풀네임은 조제프 푸리에(Joseph Fourier, 1768–1830)죠.

그리고 시작하면서 가장 중요한 이 '푸리에 급수'

앞으로 차근차근 살펴볼 것이긴 하지만, 단 한마디로 먼저 정의를 해보자면

푸리에 급수는 '일정한 주기 내에서 일반적인 함수를 sin과 cos으로 근사하는 방법'을 말한답니다!

그럼 용어정리가 끝났으니 바로 다음으로 진행해 볼까요?

2) 푸리에 급수는 왜 생겼나?

자, 앞서 용어의 정의에서 '근사하는 방법'이라고 썼습니다.

그럼 푸리에는 대체 왜 어째서 가만히 잘 있는 함수를 굳이굳이 sin과 cos으로 근사하려고 했을까요?

때는, 1822년으로 거슬러 올라갑니다.

푸리에는 열 방정식(Heat Equation)을 연구하고 있었습니다.

조금 더 쉽게 풀어 쓰자면, 열 전도 방정식이죠. '특정 구간에서 열이 어떻게 변화하는가?'에 대한 것인데..

뭐든지 '변화'에 대해서 알아보자고 한다면 진짜 어려운 길을 가게 됩니다.

순간의 변화는 결국 미분개념으로 확장될 수 밖에 없기에 미분 방정식이 등장해버리는거죠.(심지어 전미분도 아니고 편미분 방정식이 막 나온답니다)

맛보기로 1차원 열 방정식 u(x, t)를 써볼까요? 이 함수 u는 시간 t에서 위치 x의 온도를 나타냅니다.

$ \frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $

와우.. 대단하죠?

물론 수학적으로 이것을 풀수는 있습니다. 변수분리법을 적용하고 고유함수를 구하면 풀리긴 하죠.

일단 이부분은 여기서 다룰내용은 아니므로 넘어가겠습니다만, 여튼 이걸 풀면 최종적으로 답은 결국 '삼각함수'로 나오게 됩니다.

tan함수는 어차피 sin과 cos의 조합이므로, 기본 삼각함수라고하면 sin(정현)과 cos(여현)의 두가지죠?

그리고 실제로 이 함수의 해답도 sin이나 cos으로 나옵니다.

물론 두가지가 다 한번에 나오는 건 아니고, 이게 애초에 '열 방정식'이라고 했잖아요? 그래서 특정 구간의 양 끝 조건에 따라 답이 둘 중 하나로 나옵니다.

구간 양 끝에서 온도가 0인 조건(어렵게는 Dirichlet 경계조건)이면 sin함수가 나옵니다. 직관적으로 이해 되시죠? sin은 주기의 시작과 끝이 0이니까요.

반대로 구간 양 끝에서 온도가 일정(절연)인 조건(어렵게는 Neumann 경계조건)이면 cos함수가 나옵니다. 이것도 그래프상 이해가 가죠?

자, 뭐 결론이라고 할 해답부분에서는 너무나도 자연스럽게 삼각함수가 튀어나옴을 알 수 있습니다.

그럼 자연스럽게 거꾸로 생각이 들겁니다.

'최종 결론이 삼각함수로 나온다면, 반대로 초기조건도 삼각함수로 나타낼 수 있지 않을까?'

네, 뭔가 당연한 귀결 같아보입니다.

그러나 초기 조건을 나타내는 함수는 말 그대로 '임의의' 함수입니다.

아닌말마따나 초기 열 분포는 진짜 내가 맘대로 줄 수도 있잖아요? 특정 길이를 가진 막대기 중간중간 가열할수도있고...

뭐 여튼 그래서 이 초기함수는 이쁘게 sin, cos의 모양이 아니라 진짜 제멋대로 생긴 함수죠.

상수함수일수도, 다항함수일수도, 지수함수일수도 있습니다. 혹은 톱니 같은 형태일수도 있죠.

그럼 이걸 푸리에의 생각에 대입해보면 다음과 같이 나올겁니다.

'임의의 함수도 삼각함수로 나타낼 수.. 있지 않을까나!?'

물론 딱 생각해봐도 단일 삼각함수로 '임의의 함수를 근사'한다는 건 택도 없기때문에, 삼각함수의 무한급수의 형태를 빌리게 되죠.
다시 써보자면

'임의의 함수도 삼각급수로 나타낼 수 있지 않을까나!?'

네, 이렇게 푸리에가 처음에 왜 '일정한 주기 내에서 일반적인 함수를 sin과 cos으로 근사하는 방법'(푸리에 급수)을 생각했는지 아시겠나요?

그리고 이 생각을 가진 지금 우리는 '푸리에 급수'라는 개념의 출발점에 선 겁니다.

물론 이전에도 이런 논의가 없었던 건 아닙니다.

과거 1700년대 중반 이미 "진동하는 현의 수학적 기술"에 관련하여 다니엘 베르누이는 '현의 해를 삼각함수들의 무한급수로 전개하자'고 하였고, 오일러와 다랑베르는 부분적으로는 동의했지만 '임의의 함수'를 삼각함수의 무한급수로 표현할 수 있는지에 대해서는 회의적인 상황이었죠.

근데, 푸리에는 이 아이디어를 과감하게 맞다고 '가정'하고 논지를 진행시킨거죠. 본인의 직관에 자신이 있었던 겁니다.

그래서 결국 이 방법론은 '푸리에 ~~~'이라는 이름이 붙게 됩니다.

자, 이제 푸리에 급수가 왜 탄생했는지, 더 나아가 왜 탄생할 수 밖에 없었는지 아시겠죠?

3) 마무리

첫 포스팅부터 너무 길면, 흥미가 떨어질 수 있습니다.

첫 시작은 가볍게!

그럼 이제 다음부터 진짜 푸리에 급수를 구하는 여정을 시작해 봅시다.

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